2017年高考数学一题多解——江苏卷
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,含解析)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题江苏卷参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 球的体积34π3R V =，其中R 是球的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B = ，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1． 【考点】集合的运算、元素的互异性【名师点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B =∅⊆ 等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．2．已知复数(1i)(12i)z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ▲ ．【解析】(1i)(12i)1i 12i z =++=++==【考点】复数的模【名师点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(i)(i)a+b c+d =()()i(,)ac bd +ad +bc a,b,c d -∈R ．其次要熟悉复数相关概念，如复数i(,)a+b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭复数为i a b -．3．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件． 【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18． 【考点】分层抽样【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ． 4．右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出y 的值是 ▲ ．【答案】2-【解析】由题意得212log 216y =+=-，故答案为2-． 【考点】条件结构的流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构、条件结构和伪代码的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环的初始条件、循环次数、循环的终止条件，要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项． 5．若π1tan(),46α-=则tan α= ▲ ．【答案】75【考点】两角和的正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的． （3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角． 6．如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是 ▲ ．【答案】32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r π⨯==π．故答案为32． 【考点】圆柱的体积、球的体积【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．7．记函数()f x D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ▲ ．【答案】59【考点】几何概型【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解． （2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213xy -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ ．【答案】【考点】双曲线渐近线、准线【名师点睛】（1）已知双曲线方程22221x y a b-=求渐近线：22220x y by x a b a -=⇒=±；（2）已知渐近线y mx =可设双曲线方程为222m x y λ-=；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点．9．等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a = ▲ ．【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=． 【考点】等比数列的前n 项和公式、通项公式【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．10．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ▲ ． 【答案】30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．【考点】基本不等式求最值【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．11．已知函数31()2e exx f x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】1[1,]2-【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数()f x 的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在函数()f x 的定义域内．12．如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1OA 与OC的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m n += ▲ ．【答案】3【解析】由tan 7α=可得sin α=cos α=易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2100n m m +=⎪⎪=，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=． 【考点】向量表示【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法． （3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．13．在平面直角坐标系xOy 中，(12,0),(0,6),A B -点P 在圆22:50O x y +=上，若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ ．【答案】[-【考点】直线与圆、线性规划【名师点睛】对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或取值范围．14．设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1{n D x x n -==，*}n ∈N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ ．【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况， 在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质， 若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质，因此10n mq p=，则10()nm q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分， 且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点，因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．【考点】函数与方程【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明EF AB ∥，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得BC ⊥平面ABD ，则BC ⊥AD ，再由AB ⊥AD 及线面垂直判定定理得AD ⊥平面ABC ，即可得AD ⊥AC ．试题解析：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB ∥． 又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ．【考点】线面平行判定定理、线面垂直判定与性质定理、面面垂直性质定理【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直． 16．（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，取得最大值3；5π6x =时，取得最小值-．【解析】试题分析：（1）先由向量平行的坐标表示得3sin x x =，再根据同角三角函数的基本关系可得5π6x =；（2）先由向量数量积的坐标表示并结合配角公式得π(6))f x x =+，再根据x 的取值范围及余弦函数的性质可求得最值．试题解析：（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,=b ，a ∥b ，所以3sin x x =． 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan3x =-，所以5π6x =．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b ．因为，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()6x -≤+≤于是，当ππ66x +=，即0x =时，取到最大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，取到最小值-．【考点】向量共线、数量积、三角函数的最值【名师点睛】（1）向量平行：1221x y x y ⇒=∥a b ，,,λλ≠⇒∃∈=0R ∥a b b a b ，BA AC OA λ=⇔=111OB OC λλλ+++ ；（2）向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b ；（3）向量加减乘：±=a b 221212(,),||,||||cos ,x x y y ±±=⋅=⋅<>a a a b a b a b ． 17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）．试题解析：（1）设椭圆的半焦距为c ．因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =，228a c=，解得2,1a c ==，于是b ==E 的标准方程是22143x y+=．因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y +-，直线2l 的斜率为001x y --，从而直线1l 的方程：001(1)x y x y +=-+， ① 直线2l 的方程：001(1)x y x y -=--． ② 由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以2001(,)x Q x y --． 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，即22001x y -=或22001x y +=． 又P 在椭圆E 上，故2200143x y +=．由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得0077x y ==220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解． 因此点P的坐标为． 【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系【名师点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数关系或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上（点的坐标满足曲线方程）等． 18．（本小题满分16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．【答案】（1）16；（2）20．【解析】试题分析：（1）转化为直角三角形ACM 中，利用相似性质求解AP 1；（2）转化到三角形EGN 中，先利用直角梯形性质求角1EGG ∠，再利用正弦定理求角ENG ∠，最后根据直角三角形求高，即为l 没入水中部分的长度．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，OO 1⊥平面EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG ． 同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1． 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处． 过G 作GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，则GK =OO 1=32． 因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而140GG ===．于是4s i 3s555N Eα=∠． 记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ， 故P 2Q 2=12，从而EP 2=2220sin P NEGQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm) 【考点】正、余弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化； 第三步：求结果． 19．（本小题满分16分）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++ 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”． （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．【答案】（1）见解析；（2）见解析．试题解析：（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-， 从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6， 因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”．（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，因此， 当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236．② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥，所以345,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'．在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以132a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列． 【考点】等差数列定义及通项公式【名师点睛】证明{}n a 为等差数列的方法：①用定义证明：1(n n a a d d +-=为常数）；②用等差中项证明：122n n n a a a ++=+；③通项法：n a 为关于n 的一次函数；④前n 项和法：2n S An Bn =+．20．（本小题满分16分）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >；（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．【答案】（1）3a >；（2）见解析；（3）36a <≤．试题解析：（1）由32()1f x x ax bx =+++，得222()323()33a a f x x axb x b '=++=++-．当3a x =-时，()f x '有极小值23ab -．因为()f x '的极值点是()f x 的零点．所以33()1032793a a a ab f -=-+-+=，又0a >，故2239a b a=+．因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231(27)039a b a a-=-≤，即3a ≥．当3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；当3a >时，()=0f x '有两个相异的实根1=3a x -，2=3a x -．列表如下：故()f x 的极值点是12,x x ．从而3a >．因此2239a b a=+，定义域为(3,)+∞．（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=．从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++346420.279a ab ab -=-+=记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a-=-+，所以213()=9h a a a -+，3a >．因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减． 因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤．因此a 的取值范围为(36]，． 【考点】利用导数研究函数得单调性、极值及零点【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象的交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足． 求证：（1）PAC CAB ∠=∠； （2）2AC AP AB =⋅．【答案】（1）见解析；（2）见解析．（2）由（1）知，APC ACB △∽△，故AP ACAC AB=，即2·AC AP AB =． 【考点】圆的性质、相似三角形【名师点睛】（1）解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：①直接应用相交弦、切割线定理及其推论；②当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握． （2）应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等． B ．[选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵0110,.1002⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B（1）求AB ；（2）若曲线221:182x y C +=在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程． 【答案】（1）；（2）228x y +=．（2）设00(,)Q x y 为曲线1C 上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(,)P x y ，则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎡⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎤⎥⎣⎦⎦⎢，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x yx y =⎧⎪⎨=⎪⎩． 因为点00(,)Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=，从而22188x y +=，即228x y +=．因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2:C 228x y +=． 【考点】矩阵乘法、线性变换【名师点睛】（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）矩阵变换：a b x x c d y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''． C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【解析】试题分析：先将直线l 的参考方程化为普通方程，再根据点到直线距离公式得点P 到直线l 的的距离d ==【考点】参数方程与普通方程的互化【名师点睛】（1）将参数方程化为普通方程，消参数时常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法；（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．D ．［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明：8.ac bd +≤【答案】见解析【考点】柯西不等式【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB =AD =2，AA 1120BAD ∠=︒． （1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； （2）求二面角B-A 1D-A 的正弦值．【答案】（1）17；（2）4． 【解析】试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，进而得相关点的坐标，求出直线A 1B 与AC 1的方向向量，根据向量数量积求出方向向量夹角，最后根据异面直线所成角与方向向量夹角之间相等或互补可得夹角的余弦值；（2）根据建立的空间直角坐标系，得相关点的坐标，求出各半平面的法向量，根据向量数量积求出法向量的夹角，最后根据二面角与法向量夹角之间关系确定二面角的正弦值． 试题解析：在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E ． 因为AA 1⊥平面ABCD ，所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD ．如图，以1{,,}AE AD AA为正交基底，建立空间直角坐标系A -xyz ． 因为AB =AD =2，AA 1120BAD ∠=︒．则11(0,0,0),1,0),(0,2,0),A B D E A C -．（1）111,AB AC =-= ，则1111111,1cos ,77||||A B AC A B AC A B AC ⋅-⋅===-． 因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17．设二面角B -A 1D -A 的大小为θ，则3|cos |4θ=． 因为[0,]θ∈π，所以sin θ==．因此二面角B -A 1D -A． 【考点】空间向量、异面直线所成角及二面角【名师点睛】利用法向量求解空间线面角、面面角的关键在于“四破”：①破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；②破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；③破“求法向量关”，求出平面的法向量；④破“应用公式关”． 23．（本小题满分10分）已知一个口袋中有m 个白球，n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥)，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n + 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,,)k m n =+ ．（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，()E X 是X 的数学期望，证明：()()(1)nE X m n n <+-．【答案】（1）nm n+；（2）见解析． 试题解析：（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为：11C C n m n n m nn p m n -+-+==+． （2）随机变量X 的概率分布为随机变量X 的期望为11C 111(1)!()C C (1)!()!n m nm nk n nk n k n m nm n k E X k k n k n -++-==++-=⋅=⋅--∑∑． 所以1(2)!1(2)!()C (1)!()!(1)C (2)!()!m nm nn n k n k nm nm nk k E X n k n n n k n ++==++--<=-----∑∑ 222121(1C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ----+-+=++++- 12221121(C C C C )(1)C n n n n n n n m n nm nn ------+-+=++++- 12221(C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ---+-+=+++- 12221(C C )(1)C n n m n m n nm nn --+-+-+==+- 11C (1)C ()(1)n m n n m nn n m n n -+-+==-+-， 即()()(1)nE X m n n <+-．【考点】古典概型概率、排列组合、随机变量及其分布、数学期望 【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：（1）“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；（2）“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；（3）“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；（4）“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(,)X B n p )，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．。
2017年高考真题——数学(江苏卷)含解析
1 ，两准线之间的距离为 8.点 P 在椭圆 E 上，且位于第一象限，过点 F1 作直线 PF1 的垂线 l1,过点 F2 作 2
直线 PF2 的垂线 l2. （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）若直线 l1，l2 的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标.
18. （本小题满分 16 分） 如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为 32cm，容器Ⅰ的底面对角线 AC 的长为 10 7 cm，容器Ⅱ的两底面对学科*网角线 EG，E1G1 的长分别为 14cm 和 62cm. 分别在容器Ⅰ 和容器Ⅱ中注入水，水深均为 12cm. 不计） （1）将 l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱 CC1 上，求 l 没入水中部分的长度； （2）将 l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱 GG1 上，求 l 没入水中部分的长度. 现有一根玻璃棒 l，其长度为 40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略
7 63 ，S6 ， 4 4
11.已知函数
f x = x3 2x+ex -
1 ex
，其中 e 是自然数对数的底数，若
f a-1 +f 2a2 0 ，则实数 a 的取值范围是
。
A ,O A 与O B ,O C ,的模分别为 1,1， 2 ， O C 的夹角为 ，且 12.如图，在同一个平面内，向量 O A +n O B 与O C 的夹角为 45°。若 O C =m O B （m，n R） tan =7， O ，则 m+n=
13.在平面直角坐标系 xOy 中，A（-12,0），B（0,6），点 P 在圆 O：x2+y2=50 上，若 点 P 的横坐标的取值范围是 .
2017年高考数学江苏卷(附参考答案及详解)
第 $$ 题 图
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参考答案与详细解析
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写在题中横线上
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2017年高考江苏卷数学试题解析(参考版).doc
2017年高考江苏卷数学试题解析（参考版）1. 1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【解析】(1)(12)112z i i i i =++=++=3.18【解析】所求人数为300601810000⨯=，故答案为18．4.2- 【解析】由题意212log 216y =+=-，故答案为－2．5.75 【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ππαππααππα+-+=-+===---．故答案为75．6.32 【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r ππ⨯==．故答案为32． 7.59【解析】由260x x +-≥，即260x x --≤，得23x -≤≤，学￥科网根据几何概型的概率计算公式得x D ∈的概率是3(2)55(4)9--=--.8.【答案】【解析】右准线方程为x =，渐近线为y x =，则P，Q，1(F，2F，则S ==. 9.【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=. 10.【答案】30【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立.11. 1[1,]2- 【解析】因为31()2e ()ex xf x x f x x -=-++-=-，所以函数()f x 是奇函数， 因为22()32e e 322e e 0x x x x f 'x x x --=-++≥-+⋅≥，所以数()f x 在R 上单调递增，又21)02()(f f a a +-≤，即2())2(1a a f f ≤-，所以221a a ≤-，即2120a a +-≤， 解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围为1[1,]2-.14.115.【解析】（1）在平面ABD 内，AB ⊥AD ，EF AD ⊥，则AB EF ∥.∵AB ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，∴EF ∥平面ABC .（2）∵BC ⊥BD ，平面ABD I 平面BCD =BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，∴BC ⊥平面ABD .∵AD ⊂平面ABD ，∴BC ⊥AD .∵AB ⊥AD ，,BC AB ⊂平面ABC ，BC AB B =I ，∴AD ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，∴AD ⊥AC.16. 【解析】（1）∵a ∥b ，∴3sin 3cos x x =-，又cos 0x ≠，∴3tan 3x =-，∵，∴5π6x =. （2）()π3cos 3sin 23sin()3f x x x x =-=--.∵，∴ππ2π[,]333x -∈-，∴3πsin()123x -≤-≤，∴()233f x -≤≤，当ππ33x -=-，即0x =时，取得最大值，为3；当ππ32x -=，即5π6x =时，取得最小值，为3-.17.【解析】（1）∵椭圆E的离心率为12，∴12ca=①.∵两准线之间的距离为8，∴228ac=②.联立①②得2,1a c==，∴3b=，故椭圆E的标准方程为22143x y+=.（2）设00(,)P x y，则000,0x y>>，由题意得1(1)1(1)xy xyxy xy+⎧=-+⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩，整理得21x xxyy=-⎧⎪-⎨=⎪⎩，∵点00(,)P x y在椭圆E上，∴2200143x y+=，∴222002(1)33y xy-=，∴2200169,77x y==，故点P的坐标是4737(,).18.【解析】（1）记玻璃棒与1CC交点为H，则2230CH AH AC=-=，3sin4HAC∠=，没入水中的部分为1216sin HAC=∠(cm).19.【解析】当{a n}为等差数列时，∵1112n k n k n n n k na a a a a ka--+-++++++++=L L，∴111(21)n k n k n n n n k na a a a a a k a--+-+++++++++=+L L，∴(21)(21)2n k n kna ak k a-+++=+，∴2n k n k na a a-++=.（2）21124n n n n na a a a a--+++++=（2n>，n∈Z），3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=（2n >，n ∈Z ）， ∴11448n n n a a a -++=，∴112n n n a a a -++=， ∴数列{a n }是等差数列.20. 【解析】（1）因为2()32f x x ax b '=++，所以()620f x x a ''=+=，所以3ax =-， 所以()03af -=，所以3239a b a =+， 因为24120a b ∆=->，所以3a >. （2）26345-39813b a a a =-+， 23459(27)813y t t t a =-+=> 因为135278t =<，所以min (27)0y y >=，所以b ²>3a .21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．作答．．。
(精校版)2017年江苏数学高考试题文档版(含答案)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合{}=1,2A ，{}=+2,3B a a ，若A B ={1}则实数a 的值为________2.已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件.4.右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出的y 的值是 .5.若tan 1-=46πα⎛⎫ ⎪⎝⎭,则tan α= .6.如图，在圆柱O1 O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。
记圆柱O1 O2的体积为V1 ,球O的体积为V2，则12VV的值是7.记函数2()6f x x x=+-的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是8.在平面直角坐标系xoy中,双曲线2213xy-=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q，其焦点是F1 , F2 ,则四边形F1 P F2 Q的面积是9.等比数列{}n a的各项均为实数，其前n项的和为S n，已知36763，44S S==，则8a=10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x的值是11.已知函数()3xx12x+e-e-f x=x，其中e是自然数对数的底数，若()()2a-1+2a≤f f0，则实数a的取值范围是。
(精校版)2017年江苏数学高考真题文档版(含答案)
x3
2x+ex - 1 ex
，其中 e 是自然数对数的底数，若
f a-1 +f 2a2 0 ，则实数 a 的取值范围是
。
12.如图，在同一个平面内，向量 OA , OB , OC ,的模分别为 1,1， 2 ，OA 与 OC 的夹角为 ，且 tan =7， OB 与 OC 的夹角为 45°。若OC =m OA +nOB （m，nR），则 m+n=
球 O 的体积为 V2
，则 V1 V2
的值是
7.记函数 f (x) 6 x x2 的定义域为 D.在区间[-4,5]上随机取一个数 x，则 x D 的概率是
8.在平面直角坐标系 xoy
中
,双曲线 x2 3
y2
1
的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P,Q，其焦点是 F1 ,
F2 ,则四边形 F1 P F2 Q 的面积是
2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4.作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 5.如需改动，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分，请把答案填写在答题卡相应位置上
已知函数 f x = x3 a x2 bx 1(a 0,b R)有极值，且导函数 f ， x 的极值点是
f x 的零点。（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1） 求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；
（2） 证明：b²>3a;
2017年高考真题——数学(江苏卷)含解析
上，若·2019.（本小题满分16分）对于给定的正整数k ,若数列l a n l 满足a a a a a a a --+-++-++++++=1111......2n k n k n n n k n k nk =2ka n 对任意正整数n(n> k) 总成立，则称数列l a n l 是“P(k)数列”.(1)证明：等差数列l a n l 是“P(3)数列”；（2）若数列l a n l 既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：l a n l 是等差数列.2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学II（附加题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共2页，均为非选择题（第21题~ 第23题）。
本卷满分为40分，考试时间为30分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需改动，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答。
若多做，则按作答的前两小题评分。
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A.【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足。
23. （本小题满分10）已知一个口袋有m 个白球，n 个黑球（m,n ,n 2）,这些球除颜色外全部相同。
现将口袋中的球随机∈2N ≥的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，……，m+n 的抽屉内，其中第k 次取球放入编号为k 的抽屉（k=1,2,3，……，m+n ）.（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;（2）随机变量x 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(x)是x 的数学期望，证明。
2017年高考真题——数学(江苏卷)含答案(精校版)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷）数学I 注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题).本卷满分为160分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0。
5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4。
作答试题,必须用0。
5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5。
如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上 1。
已知集合{}=1,2A,{}=+2,3B a a ,若AB ={1}则实数a 的值为________2.已知复数z=(1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________ 3。
某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件.4.右图是一个算法流程图,若输入x 的值为116,则输出的y 的值是 。
5。
若tan 1-=46πα⎛⎫ ⎪⎝⎭，则tan α= .6。
如图,在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。
记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ,则12V V 的值是7.记函数2()6f x x x =+-的定义域为D 。
在区间［-4,5］上随机取一个数x,则x ∈ D 的概率是 8.在平面直角坐标系xoy 中，双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q ，其焦点是F 1 ， F 2 ,则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是9。
2017年高考江苏数学试题及答案(word解析版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2017年江苏，1，5分】已知集合}2{1A =，，23{},B a a =+．若{}1A B =,则实数a 的值为_______．【答案】1【解析】∵集合}2{1A =，,23{},B a a =+．{}1A B =，∴1a =或231a +=,解得1a =．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．（2）【2017年江苏，2,5分】已知复数()()1i 12i z =-+，其中i 是虚数单位，则z 的模是_______． 【答案】10【解析】复数()()1i 12i 123i 13i z =-+=-+=-+，∴()221310z =-+=．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （3）【2017年江苏，3，5分】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400，300，100件．为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取_______件． 【答案】18【解析】产品总数为2004003001001000+++=件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为6061000100=，则应从丙 种型号的产品中抽取630018100⨯=件．【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致,按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．(4）【2017年江苏，4，5分】如图是一个算法流程图：若输入x 的值为116，则输出y 的值是_______．【答案】2-【解析】初始值116x =,不满足1x ≥，所以41216222log 2log 2y =+=-=-． 【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法,注意解题方法的积累，属于基础题．（5)【2017年江苏，5，5分】若1tan 46πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．则tan α=_______．【答案】75【解析】tan tantan 114tan 4tan 161tan tan 4παπααπαα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+，∴6tan 6tan 1αα-=+，解得7tan 5α=． 【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题． （6）【2017年江苏，6,5分】如如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱12O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ，则12VV 的值是________．【答案】32【解析】设球的半径为R ，则球的体积为：343R π，圆柱的体积为：2322R R R ππ⋅=．则313223423V R R V ππ==．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．(7）【2017年江苏，7,5分】记函数2()6f x x x =+- 的定义域为D ．在区间[45]-，上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．【答案】59【解析】由260x x +-≥得260x x --≤，得23x -≤≤，则2[]3D =-，，则在区间[45]-，上随机取一个数x ,则x ∈D 的概率()()325549P --==--． 【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D ，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．（8）【2017年江苏,8，5分】在平面直角坐标系xoy 中 ，双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是1F ，2F ，则四边形12F PF Q 的面积是_______． 【答案】23【解析】双曲线2213x y -=的右准线:32x =，双曲线渐近线方程为：33y x =，所以33,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,33,22Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， ()12,0F -．()22,0F ．则四边形12F PF Q 的面积是：143232⨯⨯=．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．（9)【2017年江苏，9，5分】等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知374S =，6634S =,则8a =________． 【答案】32【解析】设等比数列{}n a 的公比为1q ≠,∵374S =，6634S =，∴()311714a q q -=-，()6116314a q q -=-， 解得114a =,2q =．则7812324a =⨯=．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． （10）【2017年江苏，10,5分】某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小,则x 的值是________． 【答案】30【解析】由题意可得:一年的总运费与总存储费用之和=6009006442240x x x x⨯+≥⨯⨯⋅=（万元）． 当且仅当30x =时取等号．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力,属于基础题．（11）【2017年江苏，11，5分】已知函数()312x x f x x x e e=-+-，其中e 是自然数对数的底数，若()()2120f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是________．【答案】11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】函数()312x xf x x x e e =-+-的导数为：()21132220x xxx f x x e e e e '=-++≥-+⋅=，可得()f x 在R 上 递增;又()()()331220x x x x f x f x x x e e x x e e--+=-++-+-+-=，可得()f x 为奇函数，则()()2120f a f a -+≤，即有()()()2211f a f a f a ≤--=-，即有221a a ≤-，解得112a -≤≤．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．（12）【2017年江苏，12，5分】如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC ，的模分别为1，1,2，OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=，OB 与OC 的夹角为45︒。
2017年江苏数学高考真题(含答案)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合{}=1,2A ，{}=+2,3B a a ，若A B ={1}则实数a 的值为________2.已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件.4.右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出的y 的值是 .5.若tan1 -= 46πα⎛⎫⎪⎝⎭,则tanα= .6.如图，在圆柱O1 O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。
记圆柱O1 O2的体积为V1 ,球O的体积为V2，则12VV的值是7.记函数2()6f x x x=+-的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是8.在平面直角坐标系xoy中,双曲线2213xy-=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q，其焦点是F1 , F2 ,则四边形F1 P F2 Q的面积是9.等比数列{}n a的各项均为实数，其前n项的和为S n，已知36763，44S S==，则8a=10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x的值是11.已知函数()3xx12x+e-e-f x=x，其中e是自然数对数的底数，若()()2a-1+2a≤f f0，则实数a的取值范围是。
2017年江苏数学高考真题(含答案)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合{}=1,2A ，{}=+2,3B a a ，若A B ={1}则实数a 的值为________2.已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件.4.右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出的y 的值是 .5.若tan1 -= 46πα⎛⎫⎪⎝⎭,则tanα= .6.如图，在圆柱O1 O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。
记圆柱O1 O2的体积为V1 ,球O的体积为V2，则12VV的值是7.记函数2()6f x x x=+-的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是8.在平面直角坐标系xoy中,双曲线2213xy-=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q，其焦点是F1 , F2 ,则四边形F1 P F2 Q的面积是9.等比数列{}n a的各项均为实数，其前n项的和为S n，已知36763，44S S==，则8a=10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x的值是11.已知函数()3xx12x+e-e-f x=x，其中e是自然数对数的底数，若()()2a-1+2a≤f f0，则实数a的取值范围是。
2017年高考数学真题试卷(江苏卷)含逐题详解
2017年江苏省高考数学试卷一.填空题1．（5分）已知集合A={1,2},B={a,a2+3}．若A∩B={1},则实数a的值为．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i）,其中i是虚数单位,则z的模是．3．（5分）某工厂生产甲,乙,丙,丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为,则输出y的值是．5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．6．（5分）如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上,下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是．7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中,双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是．9．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项为S n,已知S3=,S6=,则a8=．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣,其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是．12．（5分）如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tanα=7,与的夹角为45°．若=m+n（m,n∈R）,则m+n=．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中,A（﹣12,0）,B（0,6）,点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20,则点P的横坐标的取值范围是．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1）上,f（x）=,其中集合D={x|x=,n∈N*},则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是．二.解答题15．（14分）如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F（E与A,D不重合）分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC.（2）AD⊥AC．16．（14分）已知向量=（cosx,sinx）,=（3,﹣）,x∈[0,π]．（1）若∥,求x的值.（2）记f（x）=,求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．17．（14分）如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E：=1（a＞b＞0）的左,右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程.（2）若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标．18．（16分）如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅰ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm,容器Ⅰ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅰ中注入水,水深均为12cm．现有一根玻璃棒l,其长度为40cm．（容器厚度,玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度.（2）将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度．19．（16分）对于给定的正整数k,若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…+a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立,则称数列{a n}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”.（2）若数列{a n}既是“P（2）数列”,又是“P（3）数列”,证明：{a n}是等差数列．20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0,b∈R）有极值,且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式,并写出定义域.（2）证明：b2＞3a.（3）若f（x）,f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求a的取值范围．二.非选择题,附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图,AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点C,AP⊥PC,P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB.（2）AC2 =AP•AB．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=,B=．（1）求AB.（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2,求C2的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为（t为参数）,曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值．［选修4-5：不等式选讲］24．已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd≤8．【必做题】25．如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值.（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．26．已知一个口袋有m个白球,n个黑球（m,n∈N*,n≥2）,这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1,2,3,…,m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p.（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E（X）是X的数学期望,证明E（X）＜．2017年江苏省高考数学试卷参考答案与试卷解析一.填空题1．（5分）（2017•江苏）已知集合A={1,2},B={a,a2+3}．若A∩B={1},则实数a的值为1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1,2},B={a,a2+3}．A∩B={1}.∴a=1或a2+3=1.解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义及性质的合理运用．2．（5分）（2017•江苏）已知复数z=（1+i）（1+2i）,其中i是虚数单位,则z的模是．【分析】利用复数的运算法则,模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i.∴|z|==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则,模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题．3．（5分）（2017•江苏）某工厂生产甲,乙,丙,丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取18件．【分析】由题意先求出抽样比例即为,再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件,而抽取60辆进行检验,抽样比例为=.则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件.故答案为：18【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致,按照一定的比例,即样本容量和总体容量的比值,在各层中进行抽取．4．（5分）（2017•江苏）如图是一个算法流程图：若输入x的值为,则输出y的值是﹣2．【分析】直接模拟程序即得结论．【解答】解：初始值x=,不满足x≥1.所以y=2+log2=2﹣=﹣2.故答案为：﹣2．【点评】本题考查程序框图,模拟程序是解决此类问题的常用方法,注意解题方法的积累,属于基础题．5．（5分）（2017•江苏）若tan（α﹣）=．则tanα=．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1.解得tanα=.故答案为：．【点评】本题考查了两角差的正切公式,属于基础题6．（5分）（2017•江苏）如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上,下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是．【分析】设出球的半径,求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R,则球的体积为：R3.圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则==．故答案为：．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）（2017•江苏）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4,5]上随机取一个数x,则x∈D 的概率是．【分析】求出函数的定义域,结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0,得﹣2≤x≤3.则D=[﹣2,3].则在区间[﹣4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率P==.故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算,结合函数的定义域求出D,以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．8．（5分）（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中,双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程,得到P,Q坐标,求出焦点坐标,然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x=,双曲线渐近线方程为：y=x.所以P（,）,Q（,﹣）,F1（﹣2,0）．F2（2,0）．则四边形F1PF2Q的面积是：=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查计算能力．9．（5分）（2017•江苏）等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项为S n,已知S3=,S6=,则a8=32．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1,S3=,S6=,可得=,=,联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1.∵S3=,S6=,∴=,=.解得a1=,q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．10．（5分）（2017•江苏）某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x,利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题．11．（5分）（2017•江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣,其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是[﹣1,] ．【分析】求出f（x）的导数,由基本不等式和二次函数的性质,可得f（x）在R上递增,再由奇偶性的定义,可得f（x）为奇函数,原不等式即为2a2≤1﹣a,运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣的导数为：f′（x）=3x2﹣2+e x+≥﹣2+2=0.可得f（x）在R上递增.又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0.可得f（x）为奇函数.则f（a﹣1）+f（2a2）≤0.即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a）.即有2a2≤1﹣a.解得﹣1≤a≤.故答案为：[﹣1,]．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用,注意运用导数和定义法,考查转化思想的运用和二次不等式的解法,考查运算能力,属于中档题．12．（5分）（2017•江苏）如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tanα=7,与的夹角为45°．若=m+n（m,n∈R）,则m+n=3．【分析】如图所示,建立直角坐标系．A（1,0）．由与的夹角为α,且tanα=7．可得cosα=,sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin（α+45°）=．B．利用=m+n （m,n∈R）,即可得出．【解答】解：如图所示,建立直角坐标系．A（1,0）．由与的夹角为α,且tanα=7．∴cosα=,sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m,n∈R）.∴=m﹣n,=0+n.解得n=,m=．则m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质,和差公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．13．（5分）（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中,A（﹣12,0）,B（0,6）,点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20,则点P的横坐标的取值范围是[﹣5,1] ．【分析】根据题意,设P（x0,y0）,由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0,分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域,联立直线与圆的方程可得交点的横坐标,结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意,设P（x0,y0）,则有x02+y02=50.=（﹣12﹣x0,﹣y0）•（﹣x0,6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20.化为：12x0﹣6y0+30≤0.即2x0﹣y0+5≤0,表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域.联立,解可得x0=﹣5或x0=1.结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5,1].故答案为：[﹣5,1]．【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系,关键是利用数量积化简变形得到关于x0,y0的关系式．14．（5分）（2017•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1）上,f（x）=,其中集合D={x|x=,n∈N*},则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8．【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1）上,f（x）=,其中集合D={x|x=,n∈N*},分析f（x）的图象与y=lgx图象交点的个数,进而可得答案．【解答】解：∵在区间[0,1）上,f（x）=.第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数.又f（x）是定义在R上且周期为1的函数.∴在区间[1,2）上,f（x）=,此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点.同理：区间[2,3）上,f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点.区间[3,4）上,f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点.区间[4,5）上,f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点.区间[5,6）上,f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点.区间[6,7）上,f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点.区间[7,8）上,f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点.区间[8,9）上,f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点.在区间[9,+∞）上,f（x）的图象与y=lgx无交点.故f（x）的图象与y=lgx有8个交点.即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8.故答案为：8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,函数的图象和性质,转化思想,难度中档．二.解答题15．（14分）（2017•江苏）如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F（E与A,D不重合）分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC.（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论.（2）通过取线段CD上点G,连结FG,EG使得FG∥BC,则EG∥AC,利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD,结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG,从而可得结论．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD,EF⊥AD,且A,B,E,F四点共面.所以AB∥EF.又因为EF⊊平面ABC,AB⊆平面ABC.所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC.（2）在线段CD上取点G,连结FG,EG使得FG∥BC,则EG∥AC.因为BC⊥BD,所以FG∥BC.又因为平面ABD⊥平面BCD.所以FG⊥平面ABD,所以FG⊥AD.又因为AD⊥EF,且EF∩FG=F.所以AD⊥平面EFG,所以AD⊥EG.故AD⊥AC．【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定,考查空间想象能力,考查转化思想,涉及线面平行判定定理,线面垂直的性质及判定定理,注意解题方法的积累,属于中档题．16．（14分）（2017•江苏）已知向量=（cosx,sinx）,=（3,﹣）,x∈[0,π]．（1）若∥,求x的值.（2）记f（x）=,求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣,问题得以解决.（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1）∵=（cosx,sinx）,=（3,﹣）,∥.∴﹣cosx=3sinx.∴tanx=﹣.∵x∈[0,π].∴x=.（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+）.∵x∈[0,π].∴x+∈[,].∴﹣1≤cos（x+）≤.当x=0时,f（x）有最大值,最大值3.当x=时,f（x）有最小值,最大值﹣2．【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质,属于基础题17．（14分）（2017•江苏）如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E：=1（a＞b＞0）的左,右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程.（2）若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标．【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c,由椭圆的准线方程x=±,则2×=8,即可求得a和c 的值,则b2=a2﹣c2=3,即可求得椭圆方程.（2）设P点坐标,分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率,则即可求得l2及l1的斜率及方程,联立求得Q点坐标,由Q在椭圆方程,求得y02=x02﹣1,联立即可求得P点坐标.方法二：设P（m,n）,当m≠1时,=,=,求得直线l1及l1的方程,联立求得Q点坐标,根据对称性可得=±n2,联立椭圆方程,即可求得P点坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==,则a=2c,①椭圆的准线方程x=±,由2×=8,②由①②解得：a=2,c=1.则b2=a2﹣c2=3.∴椭圆的标准方程：.（2）方法一：设P（x0,y0）,则直线PF2的斜率=.则直线l2的斜率k2=﹣,直线l2的方程y=﹣（x﹣1）.直线PF1的斜率=.则直线l2的斜率k2=﹣,直线l2的方程y=﹣（x+1）.联立,解得：,则Q（﹣x0,）.由P,Q在椭圆上,P,Q的横坐标互为相反数,纵坐标应相等,则y0=.∴y02=x02﹣1.则,解得：,则.又P在第一象限,所以P的坐标为：P（,）．方法二：设P（m,n）,由P在第一象限,则m＞0,n＞0.当m=1时,不存在,解得：Q与F1重合,不满足题意.当m≠1时,=,=.由l1⊥PF1,l2⊥PF2,则=﹣,=﹣.直线l1的方程y=﹣（x+1）,①直线l2的方程y=﹣（x﹣1）,②联立解得：x=﹣m,则Q（﹣m,）.由Q在椭圆方程,由对称性可得：=±n2.即m2﹣n2=1,或m2+n2=1.由P（m,n）,在椭圆方程,,解得：,或,无解.又P在第一象限,所以P的坐标为：P（,）．【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查直线的斜率公式,考查数形结合思想,考查计算能力,属于中档题．18．（16分）（2017•江苏）如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅰ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm,容器Ⅰ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅰ中注入水,水深均为12cm．现有一根玻璃棒l,其长度为40cm．（容器厚度,玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度.（2）将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度．【分析】（1）设玻璃棒在CC1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,过N作NP∥MC,交AC于点P,推导出CC1⊥平面ABCD,CC1⊥AC,NP⊥AC,求出MC=30cm,推导出△ANP∽△AMC,由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,过点N作NP⊥EG,交EG于点P,过点E作EQ ⊥E1G1,交E1G1于点Q,推导出EE1G1G为等腰梯形,求出E1Q=24cm,E1E=40cm,由正弦定理求出sin∠GEM=,由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．【解答】解：（1）设玻璃棒在CC1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N.在平面ACM中,过N作NP∥MC,交AC于点P.∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱,∴CC1⊥平面ABCD.又∵AC⊂平面ABCD,∴CC1⊥AC,∴NP⊥AC.∴NP=12cm,且AM2=AC2+MC2,解得MC=30cm.∵NP∥MC,∴△ANP∽△AMC.∴=,,得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N.在平面E1EGG1中,过点N作NP⊥EG,交EG于点P.过点E作EQ⊥E1G1,交E1G1于点Q.∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台,∴EE1=GG1,EG∥E1G1.EG≠E1G1.∴EE1G1G为等腰梯形,画出平面E1EGG1的平面图.∵E1G1=62cm,EG=14cm,EQ=32cm,NP=12cm.∴E1Q=24cm.由勾股定理得：E1E=40cm.∴sin∠EE1G1=,sin∠EGM=sin∠EE1G1=,cos.根据正弦定理得：=,∴sin,cos.∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=.∴EN===20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．【点评】本题考查玻璃棒l没入水中部分的长度的求法,考查空间中线线,线面,面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力,运算求解能力,空间想象能力,考查数形结合思想,化归与转化思想,是中档题．19．（16分）（2017•江苏）对于给定的正整数k,若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…+a n+k﹣1+a n+k=2ka n 对任意正整数n（n＞k）总成立,则称数列{a n}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”.（2）若数列{a n}既是“P（2）数列”,又是“P（3）数列”,证明：{a n}是等差数列．+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质,a n﹣3+a n+1）═2×3a n,根据“P（k）数列”的定义,可得数列{a n}是“P（3）数列”.（a n﹣1+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n,a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n,变形整理即可求（2）由“P（k）数列”的定义,则a n﹣2得2a n=a n﹣1+a n+1,即可证明数列{a n}是等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n}首项为a1,公差为d,则a n=a1+（n﹣1）d.则a n+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3.﹣3=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1）.=2a n+2a n+2a n.=2×3a n.∴等差数列{a n}是“P（3）数列”.（2）证明：由数列{a n}是“P（2）数列”则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n,①数列{a n}是“P（3）数列”a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n,②+a n﹣2+a n+a n+1=4a n﹣1,③由①可知：a n﹣3a n﹣1+a n+a n+2+a n+3=4a n+1,④由②﹣（③+④）：﹣2a n=6a n﹣4a n﹣1﹣4a n+1.整理得：2a n=a n﹣1+a n+1.∴数列{a n}是等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质,考查数列的新定义的性质,考查数列的运算,考查转化思想,属于中档题．20．（16分）（2017•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0,b∈R）有极值,且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式,并写出定义域.（2）证明：b2＞3a.（3）若f（x）,f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求a的取值范围．【分析】（1）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b,进而再求导可知g′（x）=6x+2a,通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣,从而f（﹣）=0,整理可知b=+（a＞0）,结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0,b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根,进而可知a＞3．（2）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27）,结合a＞3可知h （a）＞0,从而可得结论.（3）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣,利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2,进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣,因式分解即得结论．【解答】（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1.所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b,g′（x）=6x+2a.令g′（x）=0,解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0,g（x）=f′（x）单调递增,当x＜﹣时g′（x）＜0,g（x）=f′（x）单调递减.所以f′（x）的极小值点为x=﹣.由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点.所以f（﹣）=0,即﹣+﹣+1=0.所以b=+（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0,b∈R）有极值.所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根.所以4a2﹣12b＞0,即a2﹣+＞0,解得a＞3.所以b=+（a＞3）．（2）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27）.由于a＞3,所以h（a）＞0,即b2＞3a.（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣.设x1,x2是y=f（x）的两个极值点,则x1+x2=,x1x2=.所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2=﹣+2.又因为f（x）,f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣.所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣.因为a＞3,所以2a3﹣63a﹣54≤0.所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0.所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0.由于a＞3时2a2+12a+9＞0.所以a﹣6≤0,解得a≤6.所以a的取值范围是（3,6]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,极值,考查运算求解能力,考查转化思想,注意解题方法的积累,属于难题．二.非选择题,附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．（2017•江苏）如图,AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点C,AP⊥PC,P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB.（2）AC2 =AP•AB．【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB,即可证明．【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C,∴∠ACP=∠ABC．∵AB为半圆O的直径,∴∠ACB=90°．∵AP⊥PC,∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP,∠CAB=90°﹣∠ABC.∴∠PAC=∠CAB．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB.∴=．∴AC2 =AP•AB．【点评】本题考查了弦切角定理,圆的性质,三角形内角和定理,三角形相似的判定与性质定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2017•江苏）已知矩阵A=,B=．（1）求AB.（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2,求C2的方程．【分析】（1）按矩阵乘法规律计算.（2）求出变换前后的坐标变换规律,代入曲线C1的方程化简即可．【解答】解：（1）AB==.（2）设点P（x,y）为曲线C1的任意一点.点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x0,y0）.则=,即x0=2y,y0=x.∴x=y0,y=.∴,即x02+y02=8.∴曲线C2的方程为x2+y2=8．【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换,属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为（t为参数）,曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值．【分析】求出直线l的直角坐标方程,代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数,从而得出最短距离．【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0.∴P到直线l的距离d==.∴当s=时,d取得最小值=．【点评】本题考查了参数方程的应用,属于基础题．［选修4-5：不等式选讲］24．（2017•江苏）已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd≤8．【分析】a2+b2=4,c2+d2=16,令a=2cosα,b=2sinα,c=4cosβ,d=4sinβ．代入ac+bd化简,利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）,即可得出．【解答】证明：∵a2+b2=4,c2+d2=16.令a=2cosα,b=2sinα,c=4cosβ,d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64,当且仅当时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．【点评】本题考查了对和差公式,三角函数的单调性,不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．【必做题】25．（2017•江苏）如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值.（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．【分析】在平面ABCD内,过A作Ax⊥AD,由AA1⊥平面ABCD,可得AA1⊥Ax,AA1⊥AD,以A为坐标原点,分别以Ax,AD,AA1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A,B,C,D,A1,C1的坐标,进一步求出,,,的坐标．（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值.（2）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量,再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值,进一步得到正弦值．【解答】解：在平面ABCD内,过A作Ax⊥AD.∵AA1⊥平面ABCD,AD,Ax⊂平面ABCD.∴AA1⊥Ax,AA1⊥AD.以A为坐标原点,分别以Ax,AD,AA1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°.∴A（0,0,0）,B（）,C（,1,0）.D（0,2,0）.A1（0,0,）,C1（）．=（）,=（）,,．（1）∵cos＜＞==．∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.（2）设平面BA1D的一个法向量为.由,得,取x=,得.取平面A1AD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为,则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角,训练了利用空间向量求空间角,是中档题．26．（2017•江苏）已知一个口袋有m个白球,n个黑球（m,n∈N*,n≥2）,这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1,2,3,…,m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p.（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E（X）是X的数学期望,证明E（X）＜．【分析】（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球,则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）,由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．（2）X的所有可能取值为,…,,P（x=）=,k=n,n+1,n+2,…,n+m,从而E（X）=（）=,由此能证明E（X）＜．【解答】解：（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球.则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）===．证明：（2）∵X的所有可能取值为,…,.P（x=）=,k=n,n+1,n+2,…,n+m.∴E（X）=（）==＜==•（）==.∴E（X）＜．【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列,数学期望等基础知识,考查推理论证能力,运算求解能力,空间想象能力,考查数形结合思想,化归与转化思想,是中档题．。
2017年高考真题——数学(江苏卷) 含解析
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合{}=1,2A ，{}=+2,3B a a ，若A B ={1}则实数a 的值为________2.已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件4.右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出的y 的值是5.若tan 1-=46πα⎛⎫ ⎪⎝⎭,则tan α= 6.如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下面及母线均相切。
记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则12V V 的值是7.记函数()f x =的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x ，则x ∈ D 的概率是 8.在平面直角坐标系xoy k ,双曲线2213x y -= 的右准线与学科&网它的两条渐近线分别交于点P,Q ，其焦点是F 1 , F 2 ,则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是9.等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为Sn ，已知36763，44S S ==， 则8a =10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则x 的值是11.已知函数()3xx 12x+e -e -f x =x ，其中e 是自然数对数的底数，若()()2a-1+2a ≤f f 0，则实数a 的取值范围是 。
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,含答案)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上 1.已知集合{}=1,2A ，{}=+2,3B a a，若AB ={1}则实数a 的值为________2.已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件.4.右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出的y 的值是 .5.若tan 1-=46πα⎛⎫ ⎪⎝⎭,则tan α= .6.如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。
记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则12V V 的值是7.记函数()f x =的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x ，则x ∈ D 的概率是8.在平面直角坐标系xoy 中 ,双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q ，其焦点是F 1 , F 2 ,则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是9.等比数列{}na 的各项均为实数，其前n 项的和为S n，已知36763，44SS ==， 则8a =10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是11.已知函数()3xx12x+e -e-f x =x ，其中e 是自然数对数的底数，若()()2a-1+2a ≤f f 0，则实数a 的取值范围是 。
2017年高考江苏卷数学试题解析参考版
2017年高考江苏卷数学试题解析（参考版）1. 1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【解析】(1)(12)112z i i i i =++=++=3.18【解析】所求人数为300601810000⨯=，故答案为18．4.2- 【解析】由题意212log 216y =+=-，故答案为－2．5.75 【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ππαππααππα+-+=-+===---．故答案为75．6.32 【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r ππ⨯==．故答案为32． 7.59【解析】由260x x +-≥，即260x x --≤，得23x -≤≤，学￥科网根据几何概型的概率计算公式得x D ∈的概率是3(2)55(4)9--=--.8.【答案】【解析】右准线方程为x =，渐近线为y x =，则P，Q，1(F，2F，则S ==. 9.【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=. 10.【答案】30【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立.11. 1[1,]2- 【解析】因为31()2e ()ex xf x x f x x -=-++-=-，所以函数()f x 是奇函数， 因为22()32e e 322e e 0x x x x f 'x x x --=-++≥-+⋅≥，所以数()f x 在R 上单调递增，又21)02()(f f a a +-≤，即2())2(1a a f f ≤-，所以221a a ≤-，即2120a a +-≤， 解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围为1[1,]2-.14.115.【解析】（1）在平面ABD 内，AB ⊥AD ，EF AD ⊥，则AB EF ∥.∵AB ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，∴EF ∥平面ABC . （2）∵BC ⊥BD ，平面ABD平面BCD =BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，∴BC ⊥平面ABD .∵AD ⊂平面ABD ，∴BC ⊥AD .∵AB ⊥AD ，,BC AB ⊂平面ABC ，BC AB B =，∴AD ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，∴AD ⊥AC.16. 【解析】（1）∵a ∥b ，∴3sin 3cos x x =-，又cos 0x ≠，∴3tan 3x =-，∵，∴5π6x =. （2）()π3cos 3sin 23sin()3f x x x x =-=--.∵，∴ππ2π[,]333x -∈-，∴3πsin()123x -≤-≤，∴()233f x -≤≤，当ππ33x -=-，即0x =时，取得最大值，为3；当ππ32x -=，即5π6x =时，取得最小值，为3-.17.【解析】（1）∵椭圆E的离心率为12，∴12ca=①.∵两准线之间的距离为8，∴228ac=②.联立①②得2,1a c==，∴3b=，故椭圆E的标准方程为22143x y+=.（2）设00(,)P x y，则000,0x y>>，由题意得1(1)1(1)xy xyxy xy+⎧=-+⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩，整理得21x xxyy=-⎧⎪-⎨=⎪⎩，∵点00(,)P x y在椭圆E上，∴2200143x y+=，∴222002(1)33y xy-=，∴2200169,77x y==，故点P的坐标是4737(,).18.【解析】（1）记玻璃棒与1CC交点为H，则2230CH AH AC=-=，3sin4HAC∠=，没入水中的部分为1216sin HAC=∠(cm).19.【解析】当{a n}为等差数列时，∵1112n k n k n n n k na a a a a ka--+-++++++++=，∴111(21)n k n k n n n n k na a a a a a k a--+-+++++++++=+，∴(21)(21)2n k n kna ak k a-+++=+，∴2n k n k na a a-++=.（2）21124n n n n na a a a a--+++++=（2n>，n∈Z），3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=（2n >，n ∈Z ）， ∴11448n n n a a a -++=，∴112n n n a a a -++=， ∴数列{a n }是等差数列.20. 【解析】（1）因为2()32f x x ax b '=++，所以()620f x x a ''=+=，所以3ax =-， 所以()03af -=，所以3239a b a =+， 因为24120a b ∆=->，所以3a >. （2）26345-39813b a a a =-+， 23459(27)813y t t t a =-+=> 因为135278t =<，所以min (27)0y y >=，所以b ²>3a .21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．作答．．。
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江苏卷
2017年江苏卷第5题：若tan 1-=46πα⎛⎫ ⎪⎝⎭,则tan α=
【答案】75
【知识点】两角和与差的正切公式
【试题分析】本题主要考查了两角和与差的正切公式，属于基础题。
解法一：直接法
由61)4tan(=-π
α，得6
1tan 4tan 14tan tan =+-αππ
α，故可知57tan =α 解析二：整体代换
11tan()tan 7644tan tan[()]1445
1tan()tan 1446
ππαππααππα+-+=-+===---． 解法三：换元法
令t =-4π
α，则61tan =t ，t +=4πα.所以57tan 11tan )4tan(tan =-+=+=t t t πα
2017年江苏卷第9题（5分）等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项为S n ，已知S 3=，S 6=
，则a 8= ．
法二：65436144
7463a a a s s ++==-=- 84
71433
21654===++++q a a a a a a
S 3=，∴
，得a 1=，则a 8==32． 法三：9133
2165432136=+=+++++++=q a a a a a a a a a s s ∴q=2
∴，得a 1=，则a 8==32．
2017年江苏卷第15题．（14分）如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E 、F （E 与A 、D 不重合）分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．
求证：（1）EF ∥平面ABC ；
（2）AD ⊥AC ．
法二：
在线段CD 上取点G ，连结FG 、EG 使得FG ∥BC ，则EG ∥AC ，
因为BC ⊥BD ，所以FG ⊥BD ，
又因为平面ABD ⊥平面BCD ，
所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，
又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，
所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，
故AD⊥AC．
法三：在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC， BC⊥BD，∴FG⊥BD，
又 平面ABD⊥平面BCD，
∴FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，
又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，
∴AD⊥平面EFG，
又 FG∥BC，则EG∥AC，
∴平面EFG//平面ABC
∴AD⊥平面ABC,
又 AC⊂平面ABC，
∴AD⊥AC.。