高三二轮复习专题六函数与导数(教师用)

）设 f x
2
a x 5 6ln x , 其
中 a R , 曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线与 y 轴相交于点 0,6 .
(1) 确定 a 的值 ; (2)
求函数 f x 的单调区间与极值 .
练习 : 设函数 f(x)=ax－ (a+1)ln( x+1)，其中 a -1，求 f(x)的单调区间 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， f ( x) 2 x3 9 x2 12x 8c ， f (x) 6x2 18x 12 6( x 1)(x 2) ． 当 x (0，1) 时， f ( x) 0 ；
当 x (1，2) 时， f ( x) 0 ；
当 x (2，3) 时， f (x) 0 ．
所以，当 x 1 时， f ( x) 取得极大值 f (1) 5 8c ，又 f (0) 8c ， f (3) 9 8c ．
x
2 | log 0.5 x |
1 的零点个数为（
） (A) 1
(B) 2
(C) 3 【答案】 B
(D) 4
【 方法技巧 】函数零点 (即方程的根 )的确定问题，常见的有①数值的确定；②所在区间
的确定； ③个数的确定． 解决这类问题的常用方法有解方程、 根据区间端点函数值的符号数
形结合，尤其是那些方程两边对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解
必须熟练掌握 .
练习 :1 、（ 2011 年高考全国卷文科 10) 设 f (x) 是周期为 2 的奇函数，当 0≤ x≤ 1 时，
5 f ( x) = 2x(1 x) ，则 f ( ) =( )
2
1
A.-
B.
2
1
1
1
C.
D.
4
4
2
【答案】 A
2、（ 2013 年山东高考） 已知函数 f (x) 为奇函数 , 且当 x
A.(0,1) B.[0,1) 【答案】 D
C.(0,1]
D.[0,1]
2、（ 2013 年上海市春季高考数学试卷） 函数 y log 2( x 2) 的定义域是 _______________
【答案】 ( 2, )
考点二 函数的性质（单调性、奇偶性和周期性） 例 2．(2011 年高考全国新课标卷理科 2) 下列函数中，既是偶函数又是区间
间中点，一轴指的是对称轴 .
考点五 指数函数、对数函数及幂函数
指数函数与对数函数的性质：
指数函数
x
y＝ a (a>0 且 a≠ 1)
对数函数
y＝ log x(a>0 且 a≠ 1)
a
定义域
(－∞，＋ ∞）
(0，＋ ∞）
值域 不变性
(0，＋ ∞） 恒过定点 (0,1)
(－ ∞，＋ ∞） 恒过定点 (1,0)
风度中学 2014 届高三二轮复习专题六——函数与导数
【 考点预测 】
1. 对于函数的定义域、值域、图象，一直是高考的热点和重点之一，大题、小题都会考
查，渗透面广 . 特别是分段函数的定义域、值域、解析式的求法是近几年高考的热点
.
3. 由指数函数、对数函数的图象入手，推知单调性，进行相关运算，同时与导数结合在
.
考点七 导数的概念、运算及几何意义
例 8．（2011 年高考山东卷 ) 曲线 y x2 11在点 P(1 ， 12) 处的切线与 y 轴交点的纵坐标是
（）
(A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15 【答案】 C
练习 :1 、（ 2011 年高考江西卷 ) 曲线 y ex 在点 A （ 0,1）处的切线斜率为（）
练习： 1、（ 2013 年重庆高考） y
3 a a 6 6 a 3 的最大值为 ( )
A.9 B.
9
C.
3 D.
32
2
2
【答案】 B
【方法技巧 】求二次函数在某段区间上的最值时， 要利用好数形结合， 特别是含参数的两种
类型： “定轴动区间，定区间动轴 ”的问题，抓住 “三点一轴 ”，三点指的是区间两个端点和区
f ( x 4) f ( x) f ( x) , 所以 x 2 是该函数的对称轴 , 又因为此函数为奇函数 , 定义 域为 R, 所以 f (0) 0, 且函数的图象关于 x 2 对称 , 因为函数 f (x) 在区间 [0,2] 上是增函
数, 所以在 [0,2] 上的函数值非负 , 故 f (1) 0 , 所以 f ( 25) f (25) f (1) 0 ,
.
例 6、 已知函数 y＝ f(x)的周期为 2，当 x∈ [ － 1,1]时 f(x)＝ x2，那么函数 y＝ f (x)的图像与函
数 y＝ |lg x| 的图像的交点共有
()
A． 10 个 答案： A
B． 9 个 C． 8 个
D． 1 个
练习： 1、（ 2013 年高考湖南卷 （理））函数 f x 2ln x 的图像与函数 g x x2 4x 5 的
则当 x 0，3 时， f ( x) 的最大值为 f (3) 9 8c ．
因为对于任意的 x 0，3 ，有 f ( x) c2 恒成立，
所以 9 8c c2 ， 解得 c 1 或 c 9 ， 因此 c 的取值范围为 ( ， 1) (9， ) ．
例 10、（ 2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）
高考压轴题。
】【 高频考点突破 】 考点一函数的定义域
例 1．已知函数 f ( x)
1 的定义域为 M ，g(x)=ln(1 x) 的定义域为 N，则 M∩ N=（
）
1x
（A） { x | x 1} （ B） { x | x 1} （ C） { x | 1 x 1} （ D）
【答案】 C
练习 1、（ 2013 年高考江西卷（理） ） 函数 y= x ln(1-x) 的定义域为
1
, 此时原函数是增函
2
2
4
数; 令 y'
1 2cos x 0 , 得 cosx
1
, 此时原函数是减函数 , 结合余弦函数图象， 可得选 C
2
4
正确 .
【名师点睛】 本题考查函数的图象， 考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的 思维能力 . 【备考提示】 ：函数的图象 , 高考年年必考 , 熟练其图象的解决办法 ( 特值排除法、 函数性质判 断法等 ) 是答好这类问题的关键 .
f (80) f (0) 0 , f (11) f (3) 0 , 所以 f ( 25) f (80) f (11) , 故选 D.
【名师点睛】 本小题考查函数的奇偶性、 单调性、 周期性， 利用函数性质比较函数值的大小 .
【备考提示】： 函数的奇偶性、单调性、周期性，是高考的重点和热点
, 年年必考 ,
0 时 , f ( x)
x2
1 , 则 f ( 1)
x
(A) 2 (B) 0 (C) 1 (D) 2
【答案】 A 考点三 函数的图象
例 4． (2011 年高考山东卷理科 9 文科 10) 函数 y x 2sin x 的图象大致是 ( ) 2
【解析】因为 y'
1 2cos x , 所以令 y'
1 2cos x 0 , 得 cosx
且在区间 [0,2] 上是增函数 , 则 ( )
A. f ( 25) f (11) f (80)
B.
f (80) f (11) f ( 25)
C. f (11) f (80) f ( 25) D.
【答案】 D
【解析】 因为 f (x 8) f (x 4)
f ( 25) f (80) f (11) [ f ( x)] f ( x) , 所以 8 是该函数的周期 ; 又因为
1 A.1 B.2 C. e D.
e
【答案】 A
2、（ 2013 年广东卷） 若曲线 y kx ln x 在点 1, k 处的切线平行于 x 轴 , 则 k ______.
【答案】 1
考点八 导数的应用（单调性、极值、最值）
例 9． 设函数 f ( x) 2 x3 3ax2 3bx 8c 在 x 1 及 x 2 时取得极值．
1．对于两个数都为指数或对数的大小比较： 如果底数相同， 直接应用指数函数或对数 函数的单调性比较；如果底数与指数 (或真数 )皆不同，则要增加一个变量进行过渡比较，或 利用换底公式统一底数进行比较．
2．对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论，解决对
数问题时，首先要考虑定义域，其次再利用性质求解
x
1 ( 1, )
1
Hale Waihona Puke Baidu
a
a
f ' ( x)
—
0
f ( x)
极小值
从上表可知
当x
(
1,1 ) 时，
'
f (x)
0, 函数 f (x) 在 ( 1,1) 上单调递减 .
a
a
1 (, ) a
+
当x
1 (,
) 时， f ' (x) 0, 函数 f (x) 在 ( 1 ,
) 上单调递增 .
a
a
综上所述：当 1 a 0 时，函数 f (x) 在 ( 1, ) 上单调递减 .
1
练习 : 1 ．（ 2013 年上海市春季高考数学试卷） 函数 f ( x) x 2 的大致图像是 ( )
y
y
y
y
0
A
x0
B
x
0 C
x
0
D
x
【答案】 A
2、（ 2010 年高考山东卷文科 11） 函数 y 2x x 2 的图像大致是 ( )
考点四 二次函数的图像与性质：
例 5、已知函数 f (x)＝ x2＋ 2ax＋ 2， x∈[－ 5,5]． (1)当 a＝－ 1 时，求函数 f(x)的最大值和最小值； (2)求实数 a 的取值范围，使 y＝ f (x)在区间 [ － 5,5] 上是单调函数． 解： (1)当 a＝－ 1 时， f(x)＝ x2－ 2x＋ 2＝(x－ 1)2＋1，x∈ [－ 5,5]， ∴ x＝1 时， f(x)取得最小值 1； x＝－ 5 时， f(x)取得最大值 37. (2)函数 f (x)＝ (x＋a )2＋ 2－ a2 的图像的对称轴为直线 x＝－ a， ∵ y＝ f(x)在区间 [ － 5,5] 上是单调函数， ∴－ a≤－5 或－ a≥5. 故 a 的取值范围是 (－ ∞，－ 5]∪[5，＋ ∞）．
D．有无穷多个零点
答案： B
【变式探究】 1、在下列区间中，函数 f(x)＝ ex＋ 4x－ 3 的零点所在的区间为
A
．
(－
1， 4
0)
答案： C
B．
(0，
14)C．
(14，
1 2)
D
．
(
1， 2
3 4)
()
2、 . 函数 f ( x) x2 7x 12 的零点为 .
3、（ 2013 年高考天津卷） 函数 f ( x)
图像的交点个数为（
）
A.3
B.2
C.1
D.0
【答案】 B
2、（ 2013 年上海市春季高考数学试卷） 方程 2 x 8 的解是 _________________
考点六 函数的零点 例 7、 函数 f( x)＝ x－ cosx 在 [0，＋ ∞）内
()
A ．没有零点
B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点
一起的题目是每年必考的内容之一，要在审题、识图上多下功夫，学会分析数与形的结合，
把常见的基本题型的解法技巧理解好、掌握好 .
4. 函数的单调性、最值是高考考查的重点，其考查的形式是全方位、多角度，与导数的
有机结合体现了高考命题的趋势 .
5. 函数的奇偶性、 周期性是高考考查的内容之一 , 其考查形式比较单一 , 但出题形式比较
（Ⅰ）求 a、b 的值；
（Ⅱ）若对于任意的 x [0，3] ，都有 f (x ) c2 成立，求 c 的取值范围．
【解析】（Ⅰ） f (x) 6x2 6ax 3b ，
因为函数 f ( x) 在 x 1 及 x 2 取得极值，则有 f (1) 0 ， f (2) 0 ． 6 6a 3b 0，
即
24 12a 3b 0． 解得 a 3 ， b 4 ．
【解析】 由已知得函数 f (x) 的定义域为 ( 1,
) ，且
'
f (x)
ax 1 (a
1),
x1
（1）当 1 a 0时， f ' (x) 0, 函数 f ( x) 在 ( 1, ) 上单调递减，
（2）当 a
0 时，由 f ' ( x)
0,解得 x
1 .
a
f ' (x) 、 f (x) 随 x 的变化情况如下表
灵活 , 它主要出现在选择题、填空题部分，属基础类题目，复习时要立足课本，切实吃透其
含义并能准确进行知识的应用 .
6. 应用导数的概念及几何意义解题仍将是高考出题的基本出发点
; 利用导数研究函数的
单调性、极值、最值、图象仍将是高考的主题 ; 利用导数解决生活中的优化问题将仍旧是高
考的热点 ; 将导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识结合在一起的综合应用，仍将是
(0, ) 上的增
函数的是（
3
Ayx
【答案】 B
）
By x 1
2
Cy x 1
x
Dy2
练习 :1 、 (2011 年高考江苏卷 ) 函数 f ( x) log 5 (2x 1) 的单调增区间是 __________
【答案】 (
1 ,
)
2
例 3． (2009 年高考山东卷文科 12) 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f (x 4) f ( x) ,