高考数学核心考点攻略不等式高分答题策略
如何快速解决高考数学中的不等式
如何快速解决高考数学中的不等式高考数学中的不等式一直是让考生头痛的难点。
在考场上，不等式题目往往会占据很大一部分的分值，因此，高考数学中的不等式该如何快速解决呢？以下是一些解决不等式问题的技巧和方法。
一、掌握基本不等式基本不等式常常出现在高考数学考试中，要想在考场上得到高分，必须对其有深入的掌握。
基本不等式的形式是：对于任意正实数$a_1, a_2, …, a_n$，有：$$ \frac{a_1 + a_2 + … + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 … a_n} $$其中等号成立的条件是$a_1 = a_2 = … = a_n$。
对于初学者来说，要掌握基本不等式，必须掌握求平均数和平均数与几何平均数的关系。
只有当我们能够准确地求出平均数并证明其与几何平均数之间的关系时，才能熟练地运用基本不等式。
二、掌握常用不等式的应用常用不等式有：均值不等式、柯西不等式、夹逼定理等。
这些常用不等式的应用能够帮助我们在解决不等式问题时灵活运用。
其中，均值不等式与基本不等式紧密相连，可以更好地帮助我们理解基本不等式的运用。
三、灵活掌握换元法换元法是解决不等式问题的必备技巧之一，有效地应用换元法能够简化不等式的复杂性。
例如，当一本书中大部分不等式的几个变量均在 $\sqrt{ab}$ 意外时，我们可以使用换元法将$\sqrt{ab}$ 替换成 $t$。
四、加减变形法在解决不等式问题时，加减变形法也是常见的技巧之一。
它的基本思想是将几个不等式加起来或者做差，然后通过加减变形法将其转换为更有利于解决的形式。
这种方法需要我们具有一定的直觉和判断力，能够快速分析加减变形的情况，并能够快速转化为有用的方式。
五、分段讨论法分段讨论法在解决不等式问题时也是一种常见的技巧。
其基本原理是将不等式分为不同的部分，并分别讨论每一部分的不等式情况。
例如，当我们需要解决$|ax+b|<c$的不等式问题时，我们可以将其分为 $ax+b<c$ 和 $ax+b>-c$ 两部分来分别讨论。
(整理版)高考中有关不等式的考点分析及解题策略
高考中有关不等式的考点分析及解题策略不等式是高中数学的重要内容，是分析、解决有关数学问题的根底与工具．在近年来的高考中,有关不等式的试题都占有较大的比重(涉及不等式的试题一般占总分的12%左右), 考查内容中不仅有不等式的根底知识、根本技能、根本思想方法,而且注重考查逻辑思维能力、运算能力以及分析问题和解决问题的综合数学能力.有关不等式的题目多数是与函数、方程、数列、三角、解析几何、立体几何及实际问题相互交叉和渗透，而且充分表达出不等式的知识网络所具有的极强的辐射作用。
不等式试题高考中形式活泼且多种多样，既有选择题、填空题，又有解答题。
考试大纲要求： 1、 理解不等式的性质及其证明； 2、 掌握两个〔不扩展到三个〕正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；3、 掌握分析法、综合法、比拟法证明简单的不等式；4、 掌握简单不等式的解法。
下面结合08年典型考题谈谈有关不等式问题的考点分析及解题策略。
一. 选择及填空题中考点分析及解题策略 【典型考题】1.〔天津〕函数2,0()2,x x f x x x +⎧=⎨-+>≤⎩，那么不等式2()f x x ≥的解集是〔A 〕A ． [1,1]- B. [2,2]- C. [2,1]- D. [1,2]-2.〔江西〕假设121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，那么以下代数式中值最大的是〔A 〕A ．1122a b a b +B ．1212a a b b +C ．1221a b a b +D ．123.〔陕西〕“18a =〞是“对任意的正数x ，21ax x+≥〞的〔 A 〕 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.〔浙江〕a ，b 都是实数，那么“22b a >〞是“a >b 〞的〔D 〕A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.〔海南〕1230a a a >>>，那么使得2(1)1i a x -<(1,2,3)i =都成立的x 取值范围是〔 B 〕A.〔0，11a 〕 B. 〔0，12a 〕 C. 〔0，31a 〕 D. 〔0，32a 〕 6.〔上海〕不等式11x -＜的解集是 ．〔0，2〕7.〔山东〕假设不等式｜3x -b ｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，那么b 的取值范围 。
高中数学不等式的解题方法与技巧
高中数学不等式的解题方法与技巧
高中数学不等式的解题方法与技巧有以下几点：
1. 确定不等式的范围：首先要确定不等式的变量范围，例如确
定变量为正数、自然数等，以便后续的推导和计算。
2. 利用基本不等式：基本不等式是指常见的数学不等式，例如
平均不等式、柯西-施瓦茨不等式、均方根不等式等。
通过运用这些
基本不等式，可以简化和推导复杂的不等式。
3. 分析不等式的性质：通过观察不等式的形式和特点，可以得
出不等式的一些性质。
例如，不等式是否对称、是否单调递增等，这些性质可以为解题提供线索。
4. 使用增减法：对于复杂的不等式，可以通过增减法将不等式
变换成简单的形式。
增减法是指在不等式两边同时加减相同的数，从而改变不等式的形式。
通过多次的增减操作，可以逐步简化不等式的形式。
5. 运用数学归纳法：对于涉及自然数的不等式，可以使用数学
归纳法进行证明。
数学归纳法是通过证明某个命题对于自然数n成立，然后再证明对于n+1也成立，从而得出该命题对于所有自然数成立的结论。
6. 剖析复杂不等式：对于特别复杂的不等式，可以使用分段函数、图像、积分等方法进行剖析。
这些方法可以将不等式转化为求解函数的最值或积分的问题，进而求解不等式。
总之，解决高中数学不等式需要灵活运用各种方法和技巧，通过
观察、推导和计算，找到合适的途径来简化不等式、得出结论。
掌握了这些解题方法与技巧，可以提高解决数学不等式问题的能力。
高考数学中如何处理不等式和函数不等式
高考数学中如何处理不等式和函数不等式高中生的一大考验就是高考。
而在高考数学中，不等式和函数不等式是必考的考点。
然而，相较于直观的解题方法，不等式和函数不等式常常需要一定的技巧和灵活的思维方式。
本文将从解不等式和函数不等式的基本方法、案例分析和解题技巧等几个方面来探讨高考数学中如何处理不等式和函数不等式。
一、解不等式和函数不等式的基本方法1、将不等式化为一般形式。
处理不等式的第一步是把它化为一般形式，并且尽量把不等式的系数整理规范化。
然后，要对系数进行讨论来确定解不等式的范围。
举个例子：解不等式 $x-1\ge2x+3$。
我们可以移项化简得到$x\le-4$。
这样，我们就得出了不等式的解，也就是 $(-\infty，-4]$。
2、降低不等关系的阶数。
减少不等式中的绝对值、分式、开方等带有异于一次的函数形式，能促进求根工作。
有时还可以利用平方、移项等方法，将含有不等关系的式子处理为左式和右式的关系，即分成两个简单的不等式。
举个例子：解不等式 $|x+2|+|x+3|\ge5$。
我们可以使用等效方法将不等式处理为两个不等式的和，即 $|x+2|\ge1$ 或$|x+3|\ge4$。
最后的解集为 $x\le-3$ 或 $x\le-2$ 或 $x\ge2$。
3、分类讨论解不等式。
不同的不等式形式需要采用不同的解题方法。
没有一个万能的方法。
因此，我们需要根据特点和个别情况，考虑选择合适的解题方法。
举个例子：解不等式 $\frac{3}{1-x}+\frac{x+1}{x-3}\le0$。
我们可以把不等式的解划分为 $x\le-2$，$-2\lt x\lt1$ 和$x\ge1$ 三个区间来分别进行讨论。
二、案例分析1、绝对值不等式绝对值不等式是高中数学中非常重要的一个概念。
例如： $|x-2|<5$ 。
这里，我们可以先把不等式转化成两种不等式：$x-2<5$ 和 $x-2>-5$，再分别求解，得:x<7 和 x>-3。
高考数学必胜秘诀(6、不等式)
高考数学必胜秘诀在哪？――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结§不等式1、不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a b c d>）； （3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >>（4）若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>. 如（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0<<<则若； ⑤ba ab b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦bc b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b >>若，则0,0a b ><. 其中正确的命题是______（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则ac 的取值范围是______ 2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法.其中比较法（作差、作商）是最基本的方法.如（1）设0,10>≠>t a a 且，比较21log log 21+t t a a 和的大小; （2）设2a >，12p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小; （3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小.3. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针.如（1）下列命题中正确的是( )A 、1y x x =+的最小值是2 B、2y =的最小值是2 C 、423(0)y x x x =-->的最大值是2- D 、423(0)y x x x=-->的最小值是2- （2）若21x y +=，则24x y +的最小值是______（3）正数,x y 满足21x y +=，则yx 11+的最小值为______ 4.常用不等式有：（12211a b a b+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；（3）若0,0a b m >>>，则b b m a a m+<+（糖水的浓度问题）.如如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________5、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论.). 常用的放缩技巧有：211111111(1)(1)1n n n n n n n n n-=<<=-++--=<<=（1）已知c b a >>，求证：222222ca bc ab a c c b b a ++>++ ；(2) 已知R c b a ∈,,，求证：)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++；（3）已知,,,a b x y R +∈，且11,x y a b >>，求证：x y x a y b>++； (4)若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：lg lg lg lg lg lg 222a b b c c a a b c +++++>++； （5）已知R c b a ∈,,，求证：2222a b b c +22()c a abc a b c +≥++；(6)若*n N ∈(1)n +<n ；(7)已知||||a b ≠，求证：||||||||||||a b a b a b a b -+≤-+； （8）求证：2221111223n ++++<. 6.简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集.如（1）解不等式2(1)(2)0x x -+≥.（2）不等式(0x -≥的解集是____（3）设函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{|12}x x ≤<，()0g x ≥的解集为∅，则不等式()()0f x g x >的解集为______（4）要使满足关于x 的不等式0922<+-a x x （解集非空）的每一个x 的值至少满足不等式08603422<+-<+-x x x x 和中的一个，则实数a 的取值范围是______.7.分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解.解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母.如（1）解不等式25123x x x -<--- （2）关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式02>-+x b ax 的解集为_____ 8.绝对值不等式的解法：（1）分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|21|2|432|+-≥-x x （答：x R ∈）；（2）利用绝对值的定义；（3）数形结合； 如解不等式|||1|3x x +->（答：(,1)(2,)-∞-+∞）（4）两边平方：如若不等式|32||2|x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为______. 9、含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”.注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.如（1）若2log 13a <，则a 的取值范围是__________ （2）解不等式2()1ax x a R ax >∈- 提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.如关于x 的不等式0>-b ax 的解集为)1,(-∞，则不等式02>+-bax x 的解集为__________ 10.含绝对值不等式的性质：a b 、同号或有0⇔||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-；a b 、异号或有0⇔||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+.如设2()13f x x x =-+，实数a 满足||1x a -<，求证：|()()|2(||1)f x f a a -<+11.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <如（1）设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是______（2）不等式a x x >-+-34对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围_____（3）若不等式)1(122->-x m x 对满足2≤m 的所有m 都成立，则x 的取值范围_____（4）若不等式na n n1)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是_____ （5）若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围. 2). 能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >；若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.如已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围______3). 恰成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ；若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D .高考数学必胜秘诀在哪？――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结§直线和圆1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围[)π,0.如（1）直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____（2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[ππα∈值的范围是______2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=； （3）直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线： AB BC k k =.如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（2）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则xy 的最大值、最小值分别为______3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线.（2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线.（3）两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线.（4）截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+by a x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.（5）一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A,B 不同时为0)的形式.如（1）经过点（2，1）且方向向量为v =(－1,3)的直线的点斜式方程是___________（2）直线(2)(21)(34)0m x m y m +----=，不管m 怎样变化恒过点______（3）若曲线||y a x =与(0)y x a a =+>有两个公共点，则a 的取值范围是_______提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等⇔直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点.如过点(1,4)A ，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+；（2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；（4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=；（5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解.5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：（1）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =；（2）两平行线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=间的距离为d =.6、直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系：（1）平行⇔12210A B A B -=（斜率）且12210B C B C -≠（在y 轴上截距）； （2）相交⇔12210A B A B -≠；（3）重合⇔12210A B A B -=且12210B C B C -=.提醒：（1） 111222A B C A B C =≠、1122A B A B ≠、111222A B C A B C ==仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=垂直⇔12120A A B B +=.如（1）设直线1:60l x my ++=和2:(2)320l m x y m -++=，当m ＝_______时1l ∥2l ；当m ＝________时1l ⊥2l ；当m _________时1l 与2l 相交；当m ＝_________时1l 与2l 重合;（2）已知直线l 的方程为34120x y +-=，则与l 平行，且过点（—1，3）的直线方程是______（3）两条直线40ax y +-=与20x y --=相交于第一象限，则实数a 的取值范围是____（4）设,,a b c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ++=与sin sin 0bx B y C -+=的位置关系是____（5）已知点111(,)P x y 是直线:(,)0l f x y =上一点，222(,)P x y 是直线l 外一点，则方程1122(,)(,)(,)f x y f x y f x y ++＝0所表示的直线与l 的关系是____（6）直线l 过点（１，０），且被两平行直线360x y +-=和330x y ++=所截得的线段长为9，则直线l 的方程是________7、对称（中心对称和轴对称）问题——代入法：如（1）已知点(,)M a b 与点N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与点P 关于直线0x y +=对称，则点Q 的坐标为_______（2）已知直线1l 与2l 的夹角平分线为y x =，若1l 的方程为0(0)ax by c ab ++=>，那么2l 的方程是__________（3）点Ａ（４，５）关于直线l 的对称点为Ｂ(－2,7)，则l 的方程是_________（4）已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线l :3x －4y+4=0反射.如果反射光线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是_________（5）已知ΔABC 顶点A(3，－１)，ＡＢ边上的中线所在直线的方程为6x+10y －59=0，∠B 的平分线所在的方程为x －4y+10=0，求ＢＣ边所在的直线方程;（6）直线2x ―y ―4=0上有一点Ｐ，它与两定点Ａ（4,－1）、Ｂ（3,4）的距离之差最大，则Ｐ的坐标是______（7）已知A x ∈轴，:B l y x ∈=，C （2，1），ABC 周长的最小值为______提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解.8、简单的线性规划（文）（1） 二元一次不等式表示的平面区域：①法一：先把二元一次不等式改写成y kx b >+或y kx b <+的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域；法二：用特殊点判断；②无等号时用虚线表示不包含直线l ，有等号时用实线表示包含直线l ；③设点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，若11Ax By C ++与22Ax By C ++同号，则P ，Q 在直线l 的同侧，异号则在直线l 的异侧.如已知点A （—2，4），B （4，2），且直线:2l y kx =-与线段AB 恒相交，则k 的取值范围是_（2）线性规划问题中的有关概念：①满足关于,x y 的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件.②关于变量,x y 的解析式叫目标函数，关于变量,x y 一次式的目标函数叫线性目标函数；③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；④满足线性约束条件的解（,x y ）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解；（3）求解线性规划问题的步骤是什么？①根据实际问题的约束条件列出不等式；②作出可行域，写出目标函数；③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解.如（1）线性目标函数z=2x －y 在线性约束条件{||1||1x y ≤≤下，取最小值的最优解是___（2）点（－２，t ）在直线2x －3y+6=0的上方，则t 的取值范围是_________（3）不等式2|1||1|≤-+-y x 表示的平面区域的面积是_________（4）如果实数y x ,满足2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨--≤⎪⎩，则|42|-+=y x z 的最大值_________（4）在求解线性规划问题时要注意：①将目标函数改成斜截式方程；②寻找最优解时注意作图规范.9、圆的方程：⑴圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=. ⑵圆的一般方程：22220(D E 4F 0)＋－x y Dx Ey F ++++=>，特别提醒：只有当22D E 4F 0＋－>时，方程220x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为(,)22D E --，220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++= 表示圆的充要条件是什么？ （0,A C =≠且0B =且2240D E AF +->））；⑶圆的参数方程：{cos sin x a r y b r θθ=+=+（θ为参数），其中圆心为(,)a b ，半径为r .圆的参数方程的主要应用是三角换元：222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==；22x y t +≤cos ,sin (0x r y r r θθ→==≤.⑷()()1122A ,,,x y B x y 为直径端点的圆方程()()()()12120x x x x y y y y --+--=如（1）圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为____________（2）圆心在直线32=-y x 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________（3）已知(1P -是圆{cos sin x r y r θθ==（θ为参数，02)θπ≤<上的点，则圆的普通方程为________，P 点对应的θ值为_______，过P 点的圆的切线方程是___________（4）如果直线l 将圆：x 2+y 2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是____（5）方程x 2+y ２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k 的取值范围为____ （6）若{3cos {(,)|3sin x M x y y θθ===（θ为参数，0)}θπ<<，{}b x y y x N +==|),(，若φ≠N M ，则b 的取值范围是_________10、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b r r +-=>，（1） 点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->；（2） 点M 在圆C 内⇔()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<；（3） 点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=. 如点P(5a+1,12a)在圆(x －１)２＋y 2=1的内部,则a 的取值范围是______ 11、直线与圆的位置关系：直线:0l Ax By C ++=和圆()()222C ：x a y b r -+-= ()0r >有相交、相离、相切.可从代数和几何两个方面来判断：（1） 代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d ，则d r <⇔相交；d r >⇔相离；d r =⇔相切.提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷.如（1）圆12222=+y x 与直线sin 10(,2x y R πθθθ+-=∈≠k π+，)k z ∈的位置关系为____ （2）若直线30ax by +-=与圆22410x y x ++-=切于点(1,2)P -，则ab 的值____（3）直线20x y +=被曲线2262x y x y +--150-=所截得的弦长等于（4）一束光线从点A(－1,1)出发经x 轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是（5）已知(,)(0)M a b ab ≠是圆222:O x y r +=内一点，现有以M 为中点的弦所在直线m 和直线2:l ax by r +=，则( )A ．//m l ，且l 与圆相交B ．l m ⊥，且l 与圆相交C ．//m l ，且l 与圆相离D ．l m ⊥，且l 与圆相离（6）已知圆C ：22(1)5x y +-=，直线L ：10mx y m -+-=.①求证：对m R ∈，直线L 与圆C 总有两个不同的交点；②设L 与圆C 交于A 、B 两点，若AB =求L 的倾斜角；③求直线L 中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程.12、圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为12O O ，，半径分别为12,r r ，则（1）当1212|O O r r |>+时，两圆外离；（2）当1212|O O r r |=+时，两圆外切；（3）当121212<|O O r r r r -|<+时，两圆相交；（4）当1212|O O |r r |=|-时，两圆内切；（5）当12120|O O |r r ≤|<|-时，两圆内含.如双曲线22221x y a b-=的左焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆位置关系为13、圆的切线与弦长：(1)切线①过圆222x y R +=上一点00(,)P x y 圆的切线方程是：200xx yy R +=，过圆222()()x a y b R -+-=上一点00(,)P x y 圆的切线方程是：200()()()()x a x a y a y a R --+--=，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）；②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；③过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；③切线长：过圆220x y Dx Ey F ++++=（222()()x a y b R -+-=）外一点00(,)P x y 所引圆的切线；如设A 为圆1)1(22=+-y x 上动点，PA 是圆的切线，且|PA|=1，则P 点的轨迹方程为__________（2） 弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距d ，弦长一半12a 及圆的半径r 所构成的直角三角形来解：2221()2r d a =+； ②过两圆1:(,)0C f x y =、2:(,)0C g x y =交点的圆(公共弦)系为(,)(,)0f x y g x y λ+=，当1λ=-时，方程(,)(,)0f x y g x y λ+=为两圆公共弦所在直线方程..14.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!。
高考数学不等式考点,高考数学不等式题及解析
考点03不等关系【命题解读】不等式是每年高考都要考察的内容，数学就是研究各种变量间的关系的，因此可以说就是研究相等与不等的，不等式的考察主要有不等式的性质、解法和证明应用等，常常与函数、数列、导数等相结合。
在解答题中是必考的，在集合和函数的定义域、单调性、极值、最值等方面都有，因此应用比较广泛。
【命题预测】预计2021年的高考不等式的考察还是必须的，对于题目的难易度来说，易、中、难都有，主要是以数学运算和逻辑推理为主。
【复习建议】 集合复习策略：1.理解不等关系以及不等式的性质，高考对不等式的考察还是比较稳定的；2.掌握不等式的应用，高考主要是考察不等式的各种应用；3.掌握与不等式考察有关的知识点。
考向一 比较大小1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法{a -b >0⇔a >b ，a -b =0⇔a =b ，a -b <0⇔a <b .(2)作商法{ab >1(a ∈R ，b >0)⇔a >b (a ∈R ，b >0)，ab =1⇔a =b (a ，b ≠0)，a b<1(a ∈R ，b >0)⇔a <b (a ∈R ，b >0).1. 已知2t a b =+，21s a b =++，则t 和s 的大小关系为A ．t s >B ．t s ≥C ．t s <D ．t s ≤【答案】D【解析】s ﹣t =a +b 2+1﹣a ﹣2b =b 2﹣2b +1=（b ﹣1）2≥0，故有 s ≥t ， 故选D ．2. 【2020陕西省期末】若P =Q =()0a ≥，则,P Q 的大小关系是（ ） A ．P Q < B ．P Q =C ．P Q >D ．,P Q 的大小由a 的取值确定 【答案】A【解析】因为220P Q -==<，,P Q >0，所以P Q <，故选A.考向二 不等式性质1.对称性:a>b ⇔b<a (双向性)2.传递性:a>b ，b>c ⇒a>c (单向性)3.可加性:a>b ⇔a+c>b+c (双向性)； a>b ，c>d ⇒a+c>b+d (单向性)4.可乘性:a>b ，c>0⇒ac >bc ； a>b ，c<0⇒ac <bc ；a>b>0，c>d>0⇒ac >bd (单向性)5.乘方法则:a>b>0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)(单向性)6.开方法则:a>b>0⇒√a n>√b n(n ∈N ，n ≥2)(单向性)1. 如果实数,a b 满足：0a b <<，则下列不等式中不成立的是（ ） A ．0a b +>B ．11a b> C ．330a b -<D ．11a b a>-【答案】D【解析】由0a b <<，得0a b a b b b >⇒->-=，A 正确； 由0a b <<，得11a b>，B 正确； 由()()()2332221324a b a b a ab b a b a b b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又0a b <<， 则0a b -<， 所以330a b -<，C 正确.由0a b <<， 得0b ->， 所以0a b a >->， 则11a b a<-，D 错误. 故选D.2. 【2020江苏省期末】若实数m ，n 满足m n >，则下列选项正确的是（ ） A ．()lg 0m n -> B ．1122m n⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．330m n ->D ．m n >【答案】C【解析】根据实数m ，n 满足m n >，取0m =，1n =-，则可排除ABD ． 因为函数3y x =在定义域上单调递增，因为m n >，所以33m n >，即330m n ->故选C ．3. 【2020浙江省杭州第二中学高三其他】若0a b +>，则（ ） A ．ln ln 0a b +> B ．330a b +>C ． tan tan 0a b +>D ．a b >【答案】B【解析】由a b >-得()333a b b >-=-，所以330a b +>.对于A ，取1a b ==，不成立；对于C 取a b π==，不成立；对于D 取1a b ==，不成立. 故选B.题组一（真题在线）1. 【2020年新高考全国Ⅰ】已知a >0，b >0，且a +b =1，则A ．2212a b +≥B ．122a b->C ．22log log 2a b +≥-D2. 【2019年高考全国Ⅰ】已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（ ）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.b c a << 3. 【2019全国 III 卷】若a b >，则（ ）A.ln()0a b ->B.33ab <C.330ab -> D.||||a b >4. 【2019天津高考理科】已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a c b <<B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<5.【2020年高考天津】设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件题组二1. 【2020浙江省课时练习】已知a ,b ,c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项中不一定成立的是（ ） A ．ab ac >B ．()0c b a -<C ．22cb ab <D ．()0ac a c -<2. 【2020浙江省高一课时练习】已知,a b ∈R ，“a b >”是“||||a a b b >”的（ ）.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.【2020浙江省高一单元测试】若12a <<，13b -<<，则a b -的值可能是（ ）． A ．4-B ．2-C ．2D ．44.【2020安徽省六安中学期末（理）】函数()2f x x =，则对任意实数12x x 、,下列不等式总成立的是( )A ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭B ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫ ⎪⎝⎭＜C ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥⎪⎝⎭ D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫⎪⎝⎭＞5. 【2020黑龙江省哈尔滨三中期末（理）】若,,,a b c d R ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．若a b >，c d >，则ac bd > B ．若a b >，则22ac bc >C ．若0a b <<，则11a b< D ．若a b >，则33a b >6. 【2020浙江省高一期末】已知数列{}n a 满足12a >，21n n n a a a +=-，*n N ∈，则下列结论中不一定正确的是（ ） A ．134n n a a +>-，*n N ∈B ．()()321211a a a >--C ．1234311111314a a a a a +++<+- D ．()()()222234551114a a a a -+-+-<+7. 【2020福建省高一期末】下列命题为真命题的是（） A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若00a b c >><且，则22c c a b > D ．若a b >且11a b>，则0ab <题组一1.ABD 【解析】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确； 对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+++=，≤12a b ==时，等号成立，故D 正确； 故选ABD.2. B 【解析】由对数函数的图像可知：2log 0.20a =<；再有指数函数的图像可知：0.221b =>，0.300.21c <=<，于是可得到：a c b <<.3.C 【解析】由函数3y x =在R 上是增函数，且a b >，可得33a b >，即330a b ->.4.A 【解析】551log 2log 2a =<<， 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=，10.200.50.50.5<<，故112c <<， 所以a c b <<.故选A5.A 【解析】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <，据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件.故选A ．题组二1.C 【解析】因为a ,b ,c 满足c b a <<，且0ac <，则0a >，0c <，所以ab ac >一定成立；又因为0b a -<，所以()0c b a ->，即()0c b a -<一定不成立； 因为2b 是否为0不确定，因此22cb ab <也不一定成立；因为0a c ->，所以()0ac a c -<一定成立. 故选C2.A 【解析】由题意，若||a b >，则||0a b >，则a b >，所以2a a a =，则||||a a b b >成立.当1,2a b ==-时，满足a a b b >，但||a b >不一定成立，所以||a b >是a a b >的充分不必要条件. 故选A. 3.C 【解析】13b -<<，31b ∴-<-<，23a b ∴-<-<．故选C.4.A 【解析】依题意()()121222f x f x x x f ++⎛⎫- ⎪⎝⎭222121222x x x x ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭()21204x x -=≥，故()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以A 选项正确.故选A.5.D 【解析】A ：根据不等式的性质可知当0a b >>，0c d >>时，能得到ac bd >.例如当0,1a b ==-，0,1c d ==-，显然a b >，c d >成立，但是ac bd >不成立，故本选项说法不正确； B ：当0c 时，显然22ac bc >不成立，故本选项说法不正确；C ：111111,0,0,00b a b a a b ab b a a b ab a b ab a b---=<<∴>->∴-=>⇒>，故本选项说法不正确；D ：33222213()()()[()],24a b a b a ab b a b a b b -=-++=-++223333130,()0024a b a b a b b a b a b >∴->++>⇒->⇒>，故本选项说法是正确的.故选D6.C 【解析】因为()212=2n n n n n n a a a a a a +-=--，12a >，所以有112n n a a a +>>>.又因为()21=1n nn n n a a a a a +=--，所以()2111111==11n n n n n n na a a a a a a +=---- 对于A 选项，()2221343444020n n n n n n n n a a a a a a a a +>-⇔->-⇔-+>⇔->，故成立； 对于B 选项，()()32321311321211222a aa a a a a a a a a >--⇔>⋅=⇔>，故成立； 对于C 选项，123433111111111111a a a a a a a +++=+<+---，故不成立； 对于D 选项，()()()()22222223423423411123a a a a a a a a a =++-+-+-++-+()()()()334453224=23a a a a a a a a a +++++++-+52554153a a a a +=<<+-+，故成立.故选C.7. BCD 【解析】 选项A ：当0c时，不等式不成立，故本命题是假命题；选项B: 2222,00a b a b a ab ab b a ab b a b <<⎧⎧⇒>⇒>∴>>⎨⎨<<⎩⎩，所以本命题是真命题； 选项C: 22222211000,0c c a b a b c a b a b>>⇒>>⇒<<<∴>，所以本命题是真命题； 选项D:2111100,00b aa b b a ab a b a b ab->⇒->⇒>>∴-<∴<，所以本命题是真命题，所以本题选BCD.考点04 基本不等式【命题解读】基本不等式是高考的一个重点，根据近几年的高考分析，基本不等式的考察主要是利用基本不等式求最值，求未知参数的范围等等，题目难度主要集中在中难度上，基本不等式牵扯到的知识点比较多，主要集中在导数、数列、三角函数、解析几何等等。
高考数学一轮总复习不等式与参数方程的解答技巧
高考数学一轮总复习不等式与参数方程的解答技巧在高考数学中，不等式与参数方程是数学题目中常见的内容之一，掌握其解答技巧对于获取高分至关重要。
本文将介绍一些解答不等式与参数方程问题的实用技巧，帮助考生在高考中应对这一类题目。
一、不等式的解答技巧1. 消元法：通过逐步变形，将不等式转化为更简单的形式。
例如，对于含有分式的不等式，可以通过将分子分母乘以相同的数值，化简为整式不等式。
在变形过程中，需要注意保持不等式方向的不变性。
2. 区间判断法：不等式的解一般是定义域中的一段区间。
通过解一元一次不等式、求解关于解的二元一次不等式等方法，可以确定解在定义域中的范围。
3. 图像法：对于部分不等式，可以将其在坐标系中进行图像表示。
通过观察图像，可以直观地得到不等式的解。
4. 代入法：对于不确定的解，可以采用代入法验证。
将解代入不等式中，判断是否满足不等式的关系。
二、参数方程的解答技巧1. 分段讨论法：当参数方程中含有分段函数时，可以对不同情况进行分别讨论。
通过对每个条件进行求解，再将各个情况的解综合起来，得到整个参数方程的解。
2. 消元法：将参数方程中的某个参数表达式代入另一个参数表达式中，将参数方程化简为常规方程，从而求解。
3. 考虑对称性：当参数方程中存在对称性时，可以通过利用对称性来简化方程的求解。
通过找到一个对称点，将方程的解与该对称点的解联系起来，从而简化解题过程。
4. 图像法：将参数方程在坐标系中进行图像表示，观察图像的特点。
可以通过观察图像来判断参数方程的定义域、值域等信息，进而解答相关问题。
在高考中，不等式与参数方程的解答技巧是考生获取高分的重要保障。
熟练掌握不等式的常见变形规则，灵活应用消元法、区间判断法、图像法和代入法等解题策略，能够有效提升解答不等式题目的准确性和速度。
对于参数方程，理解每个参数的含义和作用，并掌握不同情况下的分段讨论法、消元法、考虑对称性和图像法等解答技巧，能够更好地解决相关题目，提高解题效率。
数学不等式题解题技巧和突破方法
数学不等式题解题技巧和突破方法数学不等式题在高中数学中占有重要地位，也是考试中常见的题型之一。
解不等式题需要一定的技巧和方法，下面将介绍一些常见的解题技巧和突破方法。
1. 分类讨论法不等式题中常常需要对不同情况进行分类讨论，以找到合适的解题方法。
例如，当不等式中存在绝对值时，可以将其分为正数和负数两种情况进行讨论。
又如，当不等式中有分式时，可以根据分子分母的正负性进行分类讨论。
通过分类讨论，可以将复杂的不等式转化为简单的情况进行求解。
2. 套路法解不等式题时，有一些常见的套路可以帮助我们快速解题。
例如，对于形如a^2 - b^2 > 0的不等式，可以将其因式分解为(a+b)(a-b)>0，并根据乘积为正的性质得到解集。
又如，对于形如a^2 + b^2 > 0的不等式，可以直接得到解集为全体实数。
掌握这些套路可以极大地提高解题效率。
3. 变量替换法有时候，通过合适的变量替换可以简化不等式的形式，从而更容易求解。
例如，当不等式中存在平方根时，可以通过令变量等于平方根的形式，将其转化为简单的二次不等式。
又如，当不等式中存在分式时，可以通过变量替换将其转化为一次不等式。
变量替换的关键是找到合适的变量，使得不等式的形式更简单。
4. 递推法有些不等式题目可以通过递推的方式求解。
递推法的关键是找到递推关系式，通过递推关系式将问题化简为简单的情况。
例如，对于形如a^n - b^n > 0的不等式，可以通过递推关系式(a-b)(a^(n-1) + a^(n-2)b + ... + ab^(n-2) + b^(n-1))>0得到解集。
递推法可以帮助我们快速求解复杂的不等式题目。
5. 反证法有些不等式题目可以通过反证法求解。
反证法的关键是假设不等式不成立，然后推导出矛盾的结论。
通过反证法可以排除一些不可能的情况，从而找到合适的解集。
例如，对于形如a^2 + b^2 >= 2ab的不等式，可以假设a^2 + b^2 < 2ab，然后推导出矛盾的结论，从而得出a^2 + b^2 >= 2ab的结论。
2025年高考数学复习核心考点全题型突破(新教材新高考)第03讲 基本不等式(解析版)
A．
f
(x)
x2
1 x2
B． f (x) cos x 1 (0 x )
cos x
2
C． f (x) x2 4 x2 3
D．
f
(x)
3x
4 3x
2
【答案】AD
【详解】对于选项
A：∵x2＞0，∴由基本不等式可得 x2
1 x2
2 ，当且仅当
x2
1 x2
，即
x＝1
或
x= 1时，
等号成立，故选项 A 正确；
x 23
1 2 ，当且仅当 x2 3
x2 3
1 ，
x2 3
即 x2 2 时，等号成立，显然不可能取到，故选项 C 不正确；
对于选项
D：∵3x＞0，∴由基本不等式可得
f
(x)
3x
4 3x
2
2
3x
4 3x
2 2 ，当且仅当 3x
4 3x
，即 x＝
log32 时，等号成立，故选项 D 正确． 故选：AD．
D．若
a,
b
Rห้องสมุดไป่ตู้
，且
ab
0
，则
b a
a b
b a
a b
2
b a
a b
2
【答案】D
【详解】对于 A 选项，当 ab 0 时， b a 0 ，所以 A 选项错误. ab
对于 B 选项，如 x 时， cos x 1 2 0 ，所以 B 选项错误. cos x
对于
C
选项，由于
x
精练核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）下列不等式的证明过程正确的是（ ）
A．若 a,b R ，则 b a 2 b a 2 a b ab
高考数学中的解不等式题技巧
高考数学中的解不等式题技巧高中数学中的解不等式是一个常见、重要而又复杂的话题，这也是每年高考必考的内容之一。
为了在高考中拿到更高的数学成绩，解不等式题的优秀技巧和方法就是必不可少的。
本文将为大家详细介绍高考数学中的解不等式题技巧。
一、确定不等式类型解不等式首先要确定不等式的类型，例如一次不等式、二次不等式以及一次不等式与二次不等式混合形式。
不同类型的不等式可能需要不同的解题方法和工具，所以正确地区分不同类型的不等式是解题的第一要素。
二、移项变号不等式中的每项都可以加上或减去相同的数，也可以乘以或除以相同的数，但是要注意判断是不是乘以负数。
在移项变号的过程中，必须保证不等式的方向不变，因为在不等式两侧同时加上一个正数，不等式转化成一个更大的不等式，而在不等式两侧同时加上一个负数，不等式转化成一个更小的不等式。
三、化简如果一个不等式的系数较复杂或有分数，可以通过合并同类项、约分、通分等等化简的方式，使其变得更简单明了，从而更方便地应用解不等式的技巧。
四、双边平方在处理二次不等式时，我们可以使用“双边平方”的方式将其化简成一次不等式，并继续应用一次不等式的解题方法。
不过，需要注意的是，双边平方的过程会使原不等式一些根号项的变化，并且有时会引入不合法解。
因此，在解二次不等式时，需要先判断根号里面的内容的正负，再进行双边平方，确定解的范围，并得出正确的解。
五、裂项在解不等式时，有时我们发现一个不等式的系数和项数都很复杂，难以应用一般的解题方法，这时候可以尝试使用“裂项”的方法，将不等式分解成几个部分，然后分别处理每个部分，最后得到整个不等式的解。
裂项方法的使用需要观察不等式的因式分解式，找到化简的方法，并找出合理的间隔点以及分段条件。
六、代入对于较复杂的不等式，我们可以先猜测一个解，然后代入验证是否成立，从而快速或全面地解出不等式的解。
这种方法的优点是简单易行，而且针对某些形式的不等式，代入还可以直接得到答案，缩短解题时间。
高中数学不等式解题技巧
高中数学不等式解题技巧高中数学中，不等式是一个重要的知识点，也是考试中常见的题型之一。
解不等式题目需要一定的技巧和方法，下面将介绍一些常见的解题技巧，帮助高中学生更好地应对不等式题目。
1. 转化形式有时候，我们可以通过转化不等式的形式来简化问题。
例如，对于不等式3x-2>5，我们可以将其转化为3x>7，进一步得到x>7/3。
这样，我们就得到了不等式的解集。
2. 加减法原则对于不等式中的加减法，我们需要注意一些原则。
当不等式的两边同时加上（或减去）一个数时，不等号的方向不变。
例如，对于不等式2x+3>7，我们可以将其化简为2x>4，进一步得到x>2。
3. 乘法原则对于不等式中的乘法，我们同样需要注意一些原则。
当不等式的两边同时乘以一个正数时，不等号的方向不变。
例如，对于不等式2x<8，我们可以将其化简为x<4。
但是，当不等式的两边同时乘以一个负数时，不等号的方向需要改变。
例如，对于不等式-2x>8，我们需要将其乘以-1，同时改变不等号的方向，得到2x<-8，进一步得到x<-4。
4. 绝对值不等式绝对值不等式是高中数学中常见的题型之一。
解绝对值不等式的关键是找到绝对值的取值范围。
例如，对于不等式|2x-3|<7，我们可以将其拆分为两个不等式2x-3<7和2x-3>-7，得到x<5和x>-2。
综合起来，我们可以得到-2<x<5，即解集为(-2, 5)。
5. 二次函数不等式二次函数不等式也是高中数学中常见的题型之一。
对于二次函数不等式，我们可以通过求解二次函数的零点来确定不等式的解集。
例如，对于不等式x^2-4x+3>0，我们可以将其化简为(x-1)(x-3)>0，得到x<1或x>3。
综合起来，我们可以得到解集为(-∞, 1)∪(3, +∞)。
综上所述，解不等式题目需要一定的技巧和方法。
高考数学如何解决复杂的不等式题目
高考数学如何解决复杂的不等式题目不等式是高考数学中一个重要的考点，也是考生们容易遇到困惑的难题。
通过掌握一定的解题思路和技巧，我们可以有效地解决复杂的不等式题目。
本文将介绍一些解决不等式题目的方法和策略，帮助考生们应对高考中的挑战。
一、一元一次不等式的解法一元一次不等式是最简单的不等式形式，其解法与一元一次方程相似。
我们可以通过移项和化简的方式来求解。
首先，将所有的项都移到同一边，得到一个等式。
然后我们可以根据系数的正负以及零的位置来判断解集的情况，最后得到不等式的解。
二、二次不等式的解法二次不等式的解法相对复杂一些，需要通过因式分解或配方法等方式来求解。
在解二次不等式时，我们首先要将其转化为一个二次方程，然后再找到方程的解集。
我们可以通过以下两种方法来解二次不等式：1. 因式分解法：将二次不等式化为一个二次方程，通过因式分解将其展开为二个一次因式相乘的形式，然后根据因式的正负来确定解的范围。
2. 配方法：对于一般的二次不等式，我们可以通过配方法将其转化为完全平方的形式。
通过将方程配成完全平方后，我们可以通过解方程的方式来求解不等式。
三、绝对值不等式的解法绝对值不等式是一种特殊的不等式形式，在解法上需要注意绝对值的性质。
对于一元绝对值不等式，我们可以根据绝对值的定义将其分为两种情况来解决：1. 绝对值的定义：|a| = a (a≥0); |a| = -a (a<0)。
2. 情况一：如果不等式中的绝对值对应的是一个非负数，我们可以直接去掉绝对值符号，根据非负数的性质来解不等式。
3. 情况二：如果不等式中的绝对值对应的是一个负数，我们需要将绝对值转化为相反数的形式，然后在解不等式。
四、多元不等式的解法多元不等式是由多个变量构成的不等式，其解法要考虑多个变量之间的关系。
在解多元不等式时，我们可以通过以下步骤来进行：1. 将所有的项移到同一边，化简成一个等式。
2. 利用一元不等式的解法，将多元不等式转化为一元不等式。
高中不等式的解题方法与技巧
高中不等式的解题方法与技巧一般来说，不等式可以分为一元不等式，二元不等式和多元不等式三类，其中，一元不等式是最为常见的，大多数高中考试中都会考察一元不等式。
1、一元不等式一元不等式是指只有一个未知数的不等式，这种不等式的形式可以写成：ax+b>0（或<0、≥0、≤0）其中，a、b是常数，x是未知数，可以是实数、有理数或无理数。
2、二元不等式二元不等式是指有两个未知数的不等式，这种不等式的形式可以写成：ax+by+c>0（或<0、≥0、≤0）其中，a、b、c是常数，x、y是未知数，可以是实数、有理数或无理数。
3、多元不等式多元不等式是指有多个未知数的不等式，一般常用于求解多解方程组，这种不等式的形式可以写成：a1x1+a2x2+…+anxn+c>0（或<0、≥0、≤0）其中，a1、a2、…、an、c是常数，x1、x2、…、xn是未知数，可以是实数、有理数或无理数。
二、一元不等式的解题方法1、将不等式转化为一元一次方程将一元不等式转化为一元一次方程，可以使用两种方法：（1）直接将不等式转化为一元一次方程，该方法简单明了，但不容易看出变量x的解域。
（2）首先求解不等式的最小值、最大值，然后再将不等式转化为一元一次方程，该方法可以很容易地得出变量x的解域。
2、将一元一次方程转化为不等式将一元一次方程转化为不等式的方法很简单：（1）若方程为ax+b=0，则将该方程化简为x=-b/a，当a>0时，则x<-b/a；当a<0时，则x>-b/a。
（2）若方程为ax+b>0，则将该方程化简为x>-b/a；当a>0时，则x>-b/a；当a<0时，则x<-b/a。
三、变形法变形法是一种常用的解决不等式的方法，常用的变形法有：（1）代入法：将一元一次方程的解代入不等式，检验是否满足不等式的要求。
（2）移项法：将不等式中的常数项移动到另一边，便于解决。
高中卷5不等式的解题方法与技巧
高中卷5不等式的解题方法与技巧不等式是数学中重要的概念之一，也是高中数学中常见的题型。
解决不等式问题需要运用一些常见的方法和技巧。
接下来，我将继续介绍不等式的解题方法和技巧。
1.绝对值不等式的解法：当不等式中含有绝对值时，可以先讨论绝对值内外的两种情况，再进行讨论。
例如：，x-a，<b时，可以讨论x-a<b和-x+a<b两种情况。
2.平方不等式的解法：当不等式中含有平方时，可以利用平方的非负性质来解决问题。
若平方项为非负数，则可以将不等式拆分为两个不等式，其中一个不等式是平方项为0的情况。
例如：x^2-4>0，可以拆分为x^2>4和x^2≠0两个不等式，再求解。
3.乘法原理的运用：乘法原理指的是当两个因子相乘为0时，至少有一个因子为0。
在不等式的求解过程中，可以运用乘法原理来判断不等式的解集。
例如：(x-2)(x+3)>0时，可以得到x-2>0和x+3>0两个不等式，再求解。
4.开方不等式的解法：当不等式中含有开方时，需要注意开方的正负性。
如果开方项是正数，那么开方不会影响不等式的方向；如果开方项是负数，那么开方需要改变不等式的方向。
例如：√(x-1)>2时，可以得到x-1>4和x-1<0两个不等式，再求解。
5.引入辅助变量的解法：有时候，我们可以通过引入一个辅助变量来转化原不等式，使得解题更加方便。
例如：求证a(a-1)(a-2)<0，我们可以引入辅助变量x=a-1，原不等式变为x(x+1)(x-1)<0，再求解。
6.不等式的乘方求解法：对于不等式的乘方，可以利用不等式的性质进行推导。
例如：x^3-3x^2>0时，可以将不等式分解为x^2(x-3)>0，再求解。
7.不等式的递减递增性分析法：不等式的递减递增性是指不等式随自变量增大而增大，或随自变量减小而减小的性质。
通过分析不等式的递减递增性，可以得到不等式的解集。
基本不等式十大解题技巧
基本不等式十大解题技巧
基本不等式是数学中的一个重要概念，也是高中数学中的重点和难点之一。
以下是基本不等式解题的十大技巧：
1. 均值不等式法：利用算术平均值与几何平均值的关系，将不等式中的变量转化为平均值的形式，然后利用均值不等式进行证明。
2. 柯西不等式法：利用柯西不等式，将不等式中的变量转化为乘积形式，然后利用柯西不等式进行证明。
3. 均值不等式的逆推法：利用均值不等式的逆命题，将不等式中的变量转化为和的形式，然后利用均值不等式进行证明。
4. 几何平均值不等于算术平均值法：利用几何平均值与算术平均值的关系，将不等式中的变量转化为几何平均值的形式，然后利用不等式进行证明。
5. 利用三角不等式法：利用三角不等式，将不等式中的变量转化为三角形的三边长度，然后利用三角不等式进行证明。
6. 利用柯西不等式的逆推法：利用柯西不等式的逆命题，将不等式中的变量转化为乘积形式，然后利用柯西不等式进行证明。
7. 利用平均不等式法：利用平均不等式，将不等式中的
变量转化为平均值的形式，然后利用不等式进行证明。
8. 利用柯西不等式法的逆推法：利用柯西不等式的逆命题，将不等式中的变量转化为乘积形式，然后利用柯西不等式进行证明。
9. 利用均值不等式的逆推法：利用均值不等式的逆命题，将不等式中的变量转化为和的形式，然后利用均值不等式进行证明。
10. 利用几何平均值不等于算术平均值法的逆推法：利用几何平均值与算术平均值的关系，将不等式中的变量转化为几何平均值的形式，然后利用不等式进行证明。
以上是基本不等式解题的十大技巧，掌握这些技巧可以帮助学生更好地理解和应用基本不等式。
如何应对高考数学中的不等式题目
如何应对高考数学中的不等式题目高考数学中的不等式题目一直以来都是考生普遍认为较为困难的题型之一。
不等式的解题过程需要灵活的思维和熟练的运算能力，因此，掌握一定的解题技巧与方法是非常重要的。
本文将介绍一些应对高考数学中不等式题目的有效方法，帮助考生在考试中取得更好的成绩。
一、理解不等式的基本概念与性质在解决不等式问题之前，首先应该理解不等式的基本概念与性质。
不等式是数学中描述数量关系的一种形式，由不等号“<”、“>”、“≤”、“≥”来表示大小关系。
在解题过程中，应特别注意以下几个基本性质：1. 不等式的加减法性质：如果不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等式的关系不会改变。
2. 不等式的乘法性质：如果不等式的两边同时乘以一个正数（或除以一个正数），不等式的关系不会改变；如果不等式的两边同时乘以一个负数（或除以一个负数），不等式的关系会发生颠倒。
3. 不等式的倒置性质：如果将不等式的两边同时乘以-1，不等式的关系会发生颠倒。
二、掌握解不等式常用的方法和技巧在解决不等式问题时，可以采取以下一些常用的方法和技巧：1. 确定不等式的解集：首先将不等式转化为等价的形式，然后确定其解集。
常见的转化方法包括移项、合并同类项和配方等。
2. 利用数轴表示法：将不等式的解集在数轴上表示出来，有助于直观地理解不等式的解集。
通过画数轴、标出关键点、判定符号等步骤，可以更方便地确定不等式的解集范围。
3. 考虑特殊取值：在解不等式问题时，通过考虑不等式中变量的特殊取值，可以得到一些具体的解集范围。
特别是在遇到分式不等式时，通常可以通过设定分母为0来确定一些特殊取值。
4. 利用函数图像法：将不等式中的不等式关系和函数图像的位置结合起来，可以更直观地解决不等式问题。
通过观察函数图像的上升和下降趋势，可以判断不等式的解集和区间。
三、不等式题目的练习与实战技巧针对高考数学中的不等式题目，考生还需要进行大量的练习和实战演练，以提高解题能力和应对考试的技巧：1. 多做真题和模拟题：通过多做真题和模拟题，学习和掌握不同类型不等式题目的解题方法和技巧。
数学不等式秒杀技巧高中
数学不等式秒杀技巧高中
数学不等式是高中数学中的一个重要概念，掌握一些秒杀技巧可以帮助你快速解决不等式问题。
以下是一些常用的秒杀技巧：
1. 转化技巧：将复杂的不等式转化为简单的不等式，或者将复杂的不等式转化为等式，从而简化问题。
2. 消元技巧：当不等式中含有多个变量时，可以通过消元的方法，将问题转化为一个或两个变量的不等式问题，从而简化问题。
3. 放缩技巧：当不等式中含有一些较大的数或者较小的数时，可以通过放缩的方法，将问题转化为更易于解决的形式。
4. 分类讨论技巧：当不等式中含有多种情况时，可以通过分类讨论的方法，将问题分解为多个小问题，从而逐一解决。
5. 构造反例技巧：当某些特殊情况下的结论与一般情况下的结论不一致时，可以通过构造反例的方法，说明这个结论是错误的。
以上是一些常用的秒杀技巧，但需要注意的是，这些技巧并不是万能的，有些问题可能需要结合多种技巧来解决。
因此，在解决不等式问题时，需要灵活运用各种技巧，根据具体情况选择合适的方法。
高考数学应试技巧之不等式
高考数学应试技巧之不等式高考数学考试中，不等式是一个非常重要的知识点。
掌握好不等式，不仅可以帮助考生在数学科目中获得更高的分数，还能够在学习和生活中起到实际的作用。
本文将从几个方面介绍高考数学应试技巧之不等式。
一、基础知识的掌握首先，考生必须掌握不等式的基础知识。
不等式是指一种包含两个以上变量的关系，其中包含大小比较的符号。
在数学中，一般用符号“<”、“>”、“≤”、“≥”表示大小比较的关系。
例如，当x > 0时，根据不等式“x(2-x)<1”，可以推导出x的取值范围。
其次，考生还应该掌握几种常见的不等式类型，如绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式等。
这些不等式的应用非常广泛，掌握它们对考生来说非常有益处。
二、考试技巧的掌握在考试中，考生需要掌握一些应对不等式题目的技巧。
以下是一些常用的技巧：1.等式的化简对于一些复杂的不等式，首先可以尝试将其化简为等式。
这样可以大大简化问题的难度，并且有利于进一步推导。
例如，对于不等式“x(2-x)<1”，可以将其化简为“x² - 2x + 1 > 0”，这样就可以更方便地求得x的取值范围。
2.逆向思维有些不等式问题看似微不足道，但实际上需要考生进行逆向思维。
具体来说，就是通过推导判断一个不等式是否成立。
例如，当x > 0时，不等式“x(2-x)<1”是否成立呢？通过逆向思考，不难得出结论：不等式成立。
3.巧用基本不等式基本不等式是一种非常基础的不等式类型，它可以帮助考生在很多题目中得到解决。
具体来说，就是通过应用“平均数≥几何平均数≥调和平均数”这一基本不等式，来推导出其他不等式的解。
三、提高能力的方法最后，还有一些方法可以帮助考生提高不等式解题能力，例如：1.多做题目在学习不等式的过程中，考生应该多做一些相关的题目，熟悉各种不等式的应用场景和解题方法。
这样可以帮助考生更好地掌握不等式的应用技巧。
2.举一反三通过对不等式知识点的深入理解，可以更好地应用到其他问题中。
完整版)高考数学不等式解题方法技巧
完整版)高考数学不等式解题方法技巧不等式应试技巧总结1.不等式的性质：1) 同向不等式可以相加；异向不等式可以相减。
例如，若a>b。
c>d，则a+c>b+d（若a>b。
cb-d）。
2) 左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘。
例如，若ab>cd，则a/c>b/d。
3) 左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方。
例如，若a>b>c>0，则a>b或a^n。
b^n。
4) 若ab>0，则a>b时，a^m>b^m；a<b时，a^m<b^m。
例】对于实数a,b,c中，给出下列命题：①若a>b，则ac>bc；②若ac>bc，则a>b；③若aab>b^2；④若a>b>0，则a^(1/2)>b^(1/2)；⑤若a<b<0，则a^3<b^3；⑥若a b；⑦若c>a>b>0，则(c-a)/(c-b)>(a-b)/(c-b)；⑧若a>b>0.c>d>0，则ac>bd。
其中正确的命题是②③⑥⑦⑧。
2) 已知-1≤x+y≤1，1≤x-y≤3，则3x-y的取值范围是1≤3x-y≤7.3) 已知a>b>c，且a+b+c=1，则(c-2a)/2a的取值范围是-2≤(c-2a)/2a≤-1/2.2.不等式大小比较的常用方法：1) 作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果。
2) 作商：常用于分数指数幂的代数式。
3) 分析法。
4) 平方法。
5) 分子（或分母）有理化。
6) 利用函数的单调性。
7) 寻找中间量或放缩法。
8) 图象法。
其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
例】1) 比较log_a(t+1)/log_a(t+2)和1的大小。
当a>1时，log_a(t+1)≤log_a(t+2)（当t=1时取等号）；当0<a<1时，log_a(t+1)≥log_a(t+2)（当t=1时取等号）。
高考数学核心考点攻略：不等式高分答题策略
高考数学核心考点攻略：不等式高分答题策略不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。
因此不等式应用问题表达了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯穿，起到了专门好的促进作用。
在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。
不等式的应用范畴十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中。
诸如集合问题，方程（组）的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着紧密的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。
知识整合家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情形及时传递给家长，要求小孩回家向家长朗诵儿歌，表演故事。
我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高专门快。
1.解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法紧密相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化。
在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一。
通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或差不多不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法能够使得分类标准明晰。
课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。
什么缘故?依旧没有完全“记死”的缘故。
要解决那个问题,方法专门简单,每天花3-5分钟左右的时刻记一条成语、一则名言警句即可。
能够写在后黑板的“积存专栏”上每日一换,能够在每天课前的3分钟让学生轮番讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。
如此,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财宝。
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2019高考数学核心考点攻略不等式高分答
题策略
数学网高考频道小编为高三同学总结归纳了2019高考数学不等式高分答题策略，希望对2019届高三考生在备考中有所帮助，欢迎大家阅读作为参考。
不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。
因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用。
在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。
不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中。
诸如集合问题，方程（组）的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。
1.解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化。
在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一。
通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解
化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰。
2.整式不等式（主要是一次、二次不等式）的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式（组）是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法。
方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用。
3.在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰。
这个工作可让学生分组负责收集整理，登在小黑板上，每周一换。
要求学生抽空抄录并且阅读成诵。
其目的在于扩大学生的知识面，引导学生关注社会，热爱生活，所以内容要尽量广泛一些，可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。
如此下去，除假期外，一年便可以积累40多则材料。
如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料，写起文章来还用乱翻参考书吗?
观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。
随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。
我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。
看得清才能说得正确。
在观察过程中指导。
我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。
有的孩子说“乌云跑得飞快。
”我加以肯定说“这是乌云滚滚。
”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。
”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。
”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。
雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。
”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。
我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。
如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。
通过联想，幼儿能够生动形象地
描述观察对象。
4.证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法。
要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点。
比较法的一般步骤是：作差（商）→变形→判断符号（值）。
一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。
这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。
《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。
这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。
编辑：张健。