数轴上的距离公式和中点公式说明
中点坐标公式和两点距离公式
中点坐标公式和两点距离公式在我们学习数学的过程中，中点坐标公式和两点距离公式就像是两把神奇的钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。
还记得我上高中那会，有一次数学考试，其中有一道题就是让我们求一个线段的中点坐标和两端点之间的距离。
那时候，我心里还在犯嘀咕，这两个公式我到底有没有掌握好呀。
咱们先来说说中点坐标公式。
它就像是一个公平的裁判，能准确地找到两个点的中间位置。
假设有点 A(x₁, y₁)，点 B(x₂, y₂)，那么它们的中点坐标 M 就是((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)。
这个公式看起来简单，可要是不认真理解，做题的时候就容易出错。
比如说，有时候我们会粗心地把分子分母弄混，或者计算的时候出现小差错。
我有个同学小李，有一次做作业就因为马虎，在使用中点坐标公式的时候，把分子的加法算成了减法，结果答案全错了。
被老师批评后，他那懊悔的表情，我到现在都还记得清清楚楚。
从那以后，他每次用这个公式都会反复检查好几遍。
再来说说两点距离公式。
它就像是一把尺子，能精准地量出两点之间的长度。
对于点 A(x₁, y₁)和点 B(x₂, y₂)，它们之间的距离 d 就是√((x₂- x₁)²+ (y₂- y₁)²)。
这个公式在解决几何问题的时候特别有用。
有一次，我们在课堂上做一个关于三角形的题目。
已知三角形的三个顶点坐标，让我们求三角形的边长。
这时候，两点距离公式就派上了大用场。
大家都埋头苦算，教室里只有笔在纸上沙沙作响的声音。
我当时心里也有点紧张，生怕算错。
当我终于算出答案，和老师公布的结果一样时，那种成就感真是无法形容。
在实际生活中，这两个公式也有很多用处呢。
比如说，规划一条从A 地到 B 地的最短路线时，我们可以先找到两地之间的中点，作为一个休息点。
或者要计算两个地点之间的实际距离，也能用上两点距离公式。
总之，中点坐标公式和两点距离公式虽然看起来简单，但是却非常重要。
两点之间的距离公式及中点坐标公式
数轴上两点的距离
A
B
o x1
x2
A x1
o
B x2
所以A,B两点的距离为 两点的距离为: 所以 两点的距离为 d(A,B)= X 2 – X 1
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式
1.两点的距离公式 两点的距离公式
如图：有序实数对 与点P对 如图：有序实数对（ x,y）与点 对 与点 这时（ 称为点P的坐标 应，这时 x,y）称为点 的坐标， 这时 称为点 的坐标， 并记为P（x,y），x叫做点 的横坐 叫做点P的横坐 并记为 叫做点 叫做点P的纵坐标 标，y叫做点 的纵坐标。 叫做点 的纵坐标。
O
AD = (b − a) + c ,
AC = b + c ,
2 2 2
A(0 A(0,0)
B(a,0 B(a,0)
BD = (b − 2a) + c
2 2
2
AC + BD = 4a + 2b + 2c − 4ab,
2 2 2 2 2
= 2(2a + b + c − 2ab), 2 2 2 2 2 AB + AD = 2a + b + c − 2ab, 所以 AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2 ).
证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X 证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X轴建 立平面直角坐标系 xOy ，依据平行四边形的 性质可设点A 性质可设点A，B，C，D的坐标为
(
)
A(0,0), B(a,0), C(b, c), D(b − a, c).
所以 AB
2
2
=a ,
2
8.1.1数轴上的距离公式和中点公式--李晓玲
如，点 A 的坐标为 1 ，记作 A(1)；
点 B 的坐标为－4，记作 B(－4) ．
观察数轴，完成下列题目：
P
－4 －3
B
－2 －1
O
0 1 2
A
3 4 x
（1）点 P 与 －3.5 对应，则点 P 的坐标是 （2）点 A 的坐标是 （3）点 B 的坐标是 （4）点 O 的坐标是 ，记作 ，记作 ，记作 ； ； ．
（2）设点 M(x) 是 A，B 两点的中点，则
x=
3 5 ＝1． 2
即 A，B 的中点坐标为 1 ．
已知点 A（－6），B（－1）， C（2），D（4.5），E（7）
求：（1）|AB|，|AC|，|BD|，|DE|； （2）A，B 的中点坐标；B，E
的中点坐标．
1．数轴上点的坐标． 2．数轴上两点间的距离公式．
x B 1 0 －1 A －2 －3 －4 2 4 3 4 3 2 1 0 －1 －2 －3 －4 B
A
试求两个图中点 A 与 B 之间的距离．
如图：
C
－4 －3 －2
A
－1 0 1
D
2 3 4 x
（1）点 A（－1），C（－3）的中点坐 标是多少？中点坐标与 A，C 两点的坐标有 怎样的关系？ （2）点 A（－1），D（2）的中点坐标是
3．数轴上两点的中点公式．
1. 已知点 A（－5），B（－1），
C（3），D（4），E（8）
求：（1）|AB|，|AC|，|BD|，|DE|；
（2）A，B 的中点坐标；B，E 的中点坐标．
2.在数轴上标出坐标满足下列条 件的所有点： （1）x＜2; (2) ∣x∣≥5;
(3)2＜x＜5;
七上数学动点问题
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动点问题（1）数轴上两点之间的距离公式：|a —b|(2）数轴上两点之间的中点公式：1。
已知A 、B 分别为数轴上两点，A 点对应的数是-20，B 点对应的数为100(1）求AB 中点M 对应的数；（2）若电子蚂蚁P 从B 出发，以6个单位/秒向左运动，电子蚂蚁Q 从A 出发，以4个单位/秒向左运动，电子蚂蚁R 从A 出发，以7个单位/秒向右运动。
当t 为多少的时候，蚂蚁R 恰好位于P 和Q 的中点？2。
如图,已知数轴上有三点A 、B 、C,AB=AC ，点C 对应的数是200（1）若BC=300，求A 点对应的数；（2）在（1）的条件下，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发向左运动，同时动点R 从A 点出发向右运动,当P 、Q 、R 的速度分别为每秒10单位长度、每秒5单位长度、每秒2单位长度，点M 为PR 中点，点N 为线段RQ 中点，多少秒恰好满足MR=4RN?3.已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为-1、3，点P 为数轴上一动点。
当点P 以每分钟1个单位长度的速度从O 点向左运动时,点A 以每分钟5个单位长度向左运动，点B 以每分钟20个单位长度向左运动，若他们同时出发，那么多少分钟后P 点到点A 、点B 的距离相等？4。
如图，若点A 在数轴上对应的数为a ，点B 在数轴上对应的数为b ，且a 、b 满足：|a+2|+（b —1）2=0（1）求线段AB 的长；(2)若点P 是A 左侧的一点，PA 的中点为M ，PB 的中点为N ，当点P 在A 点左侧运动时，有两个结论： ①PM+PN 的值不变②PN—PM 的值不变其中只有一个结论正确，请判断正确结论,并求出其值.5。
数轴上的距离公式和中点公式
填空： 已知数轴上点A表示的数是a, 点B表示的数是b， 点A,B的中点C表示的数是c, AB表示A，B两点的距离：
a b
两点距离AB= |a－b|或 |b－a| ，中点C表示的数c= 2
;
（1）若a=3,b=7，AB= 4
，中点C表示的数c= 5
;
（2）若a=3,b= —7，AB= 10 ，中点C表示的数c= —2 ;
2：如果中点是2？ 或－2？或 －1呢？ 请同学们自己试试看！
－4 －3 －2 －1 0 1
23
4
x
1．数轴上两点间的距离公式．
|AB|＝|a－b|= |b－a|
两点距离怎么找，右减左来大减小， 如果分不清大小，套绝对值错不了。
2．数轴上两点的中点公式．
X ab 2
我在它俩中间住， 就是它倆平均数。
;
（1）若a=3, AB=2,则b= 1或5 ，中点C表示的数c= 2或4 ;
（2）若a=3,b= 6，中点C表示的数c= 4.5 ;
（3）若a=—7,中点C表示的数c=—4，b= —1
;
（4）若b=—5,中点C表示的数c=1，则a= 7
;
谈谈收获
• 熟悉了两点间距离公式和中点公式，； • 数形结合，有图有真相；
两点距离怎么找，右减左来大减小， 如果分不清大小，套绝对值错不了。
A(a)
B(b)
X
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
x
X =?
A，B的中点X的值是多少?
如图：
C
A
D
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
x
（1）线段 AC的中点对应的数是多少？中点 对应的数与 A、C 两数有什么关系？
两点间的距离和中点坐标公式-
例2 已知点S（0，2）、点T（−6，−1），现将线段ST四 等分，试求出各分点的坐标．
巩 固 知 识 典 型 例 题
解 设线段ST的中点 首先求出线段 ST Q的坐标为( xQ , yQ )，
的中点 Q 的坐标，然 则由 S（0 ， 2）、T（−6，−1）得
40.
8． 1
两点间的距离与线段中点的坐标
1
平面内两点间的距离公式
理 论 升 华 整 体 建 构
2
2 2 | P P | ( x x ) ( y y ) 1 2 2 1 2 1 线段的中点坐标公式
x0
x1 x2 y y2 , y0 1 . 2 2
8． 1
两点间的距离与线段中点的坐标
P1 P2 P2 P1
o
x
o
x
|P 1P 2 || x2 x1 |
|P 1P 2 || y2 y1 |
动脑思考 探索新知
y
B2（0,y2)
P2(x2，y2)
B1（0,y1) o
P1(x1，y1)
C x
A1（x1,0)
A2（x2,0)
我们将向量 PP 、P 之间的距离，记作 1 2 1 2 的模，叫做点 P
故 | AD | (1 1)2 (2 0)2 2 2, 即BC边上的中线AD的长度为 2 2．
8． 1
两点间的距离与线段中点的坐标
1．已知点 A(2,3) 和点 B (8, 3)，求线段AB中点的坐标．
运 用 知 识 强 化 练 习
5,0 .
2．已知ABC 的三个顶点为 A(2, 2)、B(4,6)、C (3, 2)， 求AB边上的中线CD的长度．
模型39 数轴上动点问题(原卷版)
1．数轴（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．✮（4）数轴上两点间的距离公式：AB=X B-X A (即：右端点减左端点）(即：中点等于两端点相加除以2）✮（5）数轴上中点数公式：X M=X A+X B2例题精讲【例1】.如图，点A在数轴上表示的数为﹣3，点B表示的数为2，点P在数轴上表示的是整数，点P不与A、B重合，且P A+PB＝5，则满足条件的P点表示的整数有___________.➢变式训练【变式1-1】．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB＝15，且OA＝2OB，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若3AP+2OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m ＝．【变式1-2】．已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发，速度为每秒2个单位，点N从点B出发，速度为M点的3倍，点P从原点出发，速度为每秒1个单位．（1）若点M向右运动，同时点N向左运动，求多长时间点M与点N相距46个单位？（2）若点M、N、P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？（3）当时间t满足t1＜t≤t2时，M、N两点之间，N、P两点之间，M、P两点之间分别有47个、37个、10个整数点，请直接写出t1，t2的值．【例2】．如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为A，B，C，D，E，F，点A落在2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么落在数轴上﹣2023的点是．➢变式训练【变式2-1】．在数轴上，点A，O，B分别表示﹣15，0，9，点P，Q分别从点A，B同时开始沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒4个单位，点Q的速度是每秒1个单位，运动时间为t秒．若点P，Q，O 三点在运动过程中，其中一个点恰好是另外两点为端点的线段的一个中点，则运动时间为秒．【变式2-2】．如图：在数轴上A点表示数﹣3，B点示数1，C点表示数9．（1）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数表示的点重合；（2）若点A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动．①若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值；②当点C在B点右侧时，是否存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．1．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上表示“0cm”“8cm”的刻度分别对应数轴上的是﹣3和x所表示的点，那么x等于（）A．5B．6C．7D．82．等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2021次后，点B（）A．对应的数是2019B．对应的数是2020C．对应的数是2021D．不对应任何数3．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+1|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数﹣1的点的距离，|x﹣2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．结合以上知识，下列说法中正确的个数是（）①若|x﹣2022|＝1，则x＝2021或2023；②若|x﹣1|＝|x+3|，则x＝﹣1；③若x＞y，则|x﹣2|＞|y﹣2|；④关于x的方程|x+1|+|x﹣2|＝3有无数个解．A．1B．2C．3D．44．数轴上点A表示的数是﹣3，把点A向右移动5个单位，再向左移动7个单位到A′，则A′表示的数是．5．数轴上点A表示﹣8，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B，C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动．其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒，t时，M、N两点相遇（结果化为小数）．6．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，点A、B、C对应的数分别是a、b、c，且ab＜0．（1）原点在第部分（填序号）；（2）化简式子：|a﹣b|﹣|c﹣a|﹣|a|；（3）若|c﹣5|+（a+1）2＝0，且BC＝2AB，求点B表示的数．7．已知b是最小的正整数，且（c﹣5）2与|a+b|互为相反数．（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）若P为一动点，其对应的数为x，点P在0和2表示的点之间运动，即0≤x≤2时，化简：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（请写出化简过程）；（3）如图，a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，在（1）的条件下，若点A以1个单位长度/s的速度向左运动，同时，点B和点C分别以2个单位长度/s和5个单位长度/s的速度向右运动．ts后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．8．数轴上有A、B、C三点，如图1，点A、B表示的数分别为m、n（m＜n），点C在点B的右侧，AC﹣AB＝2．（1）若m＝﹣8，n＝2，点D是AC的中点．①则点D表示的数为﹣2．②如图2，线段EF＝a（E在F的左侧，a＞0），线段EF从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动（点F不与B点重合），点M是EC的中点，N是BF的中点，在EF运动过程中，MN的长度始终为1，求a的值；（2）若n﹣m＞2，点D是AC的中点，若AD+3BD＝4，试求线段AB的长．9．如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，其中a＜0，b＞0．（1）若a＝﹣7，b＝3，求线段AB的长度及线段AB的中点C表示的数c；（2）该数轴上有另一点D表示数d．①若d＝2，点D在点B的左侧，且AB＝5BD．求整式2a+8b+2023的值；②若d＝﹣2，且AB＝5BD，能否求整式2a+8b+2023的值？若能，求出该值；若不能，说明理由．10．先阅读，后探究相关的问题【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看做|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．（1）如图，先在数轴上画出表示点4.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为和，B，C两点间的距离是；（2）若点A表示的整数为x，则当x为﹣2时，|x+6|与|x﹣2|的值相等；（3）要使代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．11．如图，已知点O为数轴的原点，点A、B、C、D在数轴上，其中A、B两点对应的数分别为﹣1、3．（1）填空：线段AB的长度AB＝；（2）若点A是BC的中点，点D在点A的右侧，且OD＝AC，点P在线段CD上运动．问：该数轴上是否存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，P A+PB的值随着点P的运动而没有发生变化？（3）若点P以1个单位/秒的速度从点O向右运动，同时点E从点A以5个单位/秒的速度向左运动、点F从点B以20个单位/秒的速度向右运动，M、N分点别是PE、OF的中点．点P、E、F的运动过程中，的值是否发生变化？请说明理由．12．如图，在数轴上，点O表示原点，点A表示的数为﹣1，对于数轴上任意一点P（不与点A点O重合），线段PO与线段P A的长度之比记作k（p），即，我们称k（p）为点P的特征值，例如：点P表示的数为1，因为PO＝1，P A＝2，所以．（1）当点P为AO的中点时，则k（p）＝；（2）若k（p）＝2，求点P表示的数；（3）若点P表示的数为p，且满足p＝2n﹣1，（其中n为正整数，且1≤n≤7），求所有满足条件的k（p）的和．13．把一根小木排放在数轴上，木棒左端点与点A重合，右端点与点B重合，数轴的单位长度为1cm，如图所示．（1）若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点B处时、它的右端点在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左移动时，当它的右端点移动到点A处时，木棒左端点在数轴上对应的数为5，由此可得木棒的长为5cm；我们把这个模型记为“木捧摸型”；（2）在（1）的条件下，已知点C表示的数为﹣2．若木棒在移动过程中，当木棒的左端点与点C相距3cm时，求木棒的右端点与点A的距离；（3）请根据（1）的“木棒模型”解决下列问题．某一天，小字问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要41年才出生；你若是我现在这么大，我就有124岁了，世界级老寿星了，哈哈！”请你画出“木棒模型”示意图，求出爷爷现在的年龄．14．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．（1）若点A表示数﹣1，点B表示的数2，下列各数：，0，1，4，5所对应的点分别为C1，C2，C3，C4，C5，其中是点A，B的“联盟点”的是；（2）点A表示的数是﹣1，点B表示的数是3，P是数轴上的一个动点：①若点P在线段AB上，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；②若点P在点A的左侧，点P、A、B中有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，求出此时点P表示的数．15．如图，点A，O，B，D在同一条直线l上，点B在点A的右侧，AB＝6，OB＝2，点C是AB的中点，如图画数轴．（1）若点O是数轴的原点，则点B表示的数是，点C表示的数是；（2）若点O是数轴的原点时，D点表示的数为x，且AD＝5，求x；（3）若点D是数轴的原点，点D在点A的左侧，点A表示的数为m，且A，B，C，O所表示的数之和等于21，求m；（4）当O是数轴的原点，动点E，F分别从A，B出发，相向而行，点E的运动速度是每秒2个单位长度，点F的运动速度是每秒1个单位长度，当EF＝3时，求点A，B，E，F表示的数之和．16．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a，c满足|a+4|+（c﹣2）2＝0，b是最大的负整数．（1）a＝，b＝，c＝．（2）若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数表示的点重合；（3）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A和点B分别以每秒0.4个单位长度和0.3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒0.2个单位长度的速度向左运动，点C到达原点后立即以原速度向右运动，运动时间为t秒，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，请问：5AB ﹣BC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出5AB﹣BC的值．17．定义：对于数轴上的三点，若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系．如下图，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B就是点A，C的一个“关联点”．（1）写出点A，C的其他三个“关联点”所表示的数：、、．（2）若点M表示数﹣2，点N表示数4，数﹣8，﹣6，0，2，10所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，C5，其中不是点M，N的“关联点”是点．（3）若点M表示的数是﹣3，点N表示的数是10，点P为数轴上的一个动点．①若点P在点N左侧，且点P是点M，N的“关联点”，求此时点P表示的数．②若点P在点N右侧，且点P，M，N中，有一个点恰好是另外两个点的“关联点”，求此时点P表示的数．18．[知识背景]：数轴上，点A，点B表示的数为a，b，则A，B两点的距离表示为AB＝|a﹣b|．线段AB 的中点P表示的数为．[知识运用]：已知数轴上A，B两点对应的数分别为a和b，且（a﹣4）2+|b﹣2|＝0，P为数轴上一动点，对应的数为x．（1）a＝，b＝；（2）若点P为线段AB的中点，则P点对应的数x为，若点B为线段AP的中点，则P点对应的数x为；（3）若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动，点A的速度为每秒1个单位长度，点B的速度为每秒3个单位长度，则经过秒点B追上点A；（4）若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动，它们的速度都为每秒1个单位长度，与此同时点P从表示﹣16的点处以每秒2个单位长度的速度在数轴上向右运动．经过多长时间后，点A、点B、点P 三点中，其中一点是另外两点组成的线段的中点？19．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）探究：①数轴上表示5和3的两点之间的距离是．②数轴上表示﹣1和﹣4的两点之间的距离是．③数轴上表示﹣3和5的两点之间的距离是．（2）归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于．（3）应用：①若数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间，则|a+4|+|a﹣3|的值＝．②若a表示数轴上的一个有理数，且|a﹣1|＝|a+3|，则a＝．③若a表示数轴上的一个有理数，|a﹣1|+|a+2|的最小值是．④若a表示数轴上的一个有理数，且|a+3|+|a﹣5|＞8，则有理数a的取值范围是．（4）拓展：已知，如图2，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．若当电子蚂蚁P 从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以3单位/秒的速度向左运动，求经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，并写出此时点P所表示的数．20．将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18．我们称点A和点C在数轴上的“友好函数”为28个单位长度．动点P从点A出发，以2单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为原来的一半．经过点B后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点B与点O之间时速度变为原来的两倍，经过O后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．（1）动点P从点A运动至点C需要秒，动点Q从点C运动至点A需要秒；（2）P，Q两点相遇时，求出相遇点M在“折线数轴”上所对应的数；（3）是否存在t值，使得点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．21．在数轴上，点M，N对应的数分别是m，n（m≠n，mn≠0），P为线段MN的中点，同时给出如下定义：如果＝10，那么称M是N的“努力点”．例如：m＝1，n＝，M是N的“努力点”．（1）若|m﹣10|+（n+90）2＝0则m＝，n＝；（2）在（1）的条件下，下列说法正确的是（填序号）；①M是P的“努力点”；②M是N的“努力点”③N是M的“努力点”；④N是P的“努力点”（3）若mn＜0，且P是M，N其中一点的“努力点”，求值？22．在数轴上，O为原点，点A，B对应的数分别是a，b（a≠b，ab≠0），M为线段AB的中点．给出如下定义：若OA÷OB＝4，则称A是B的“正比点”；若OA×OB＝4，则称A是B的“反比点”．例如a＝2，时，A是B的“正比点”；a＝2，b＝﹣2时，A是B的“反比点”．（1）若|a+2|+（b﹣4）2＝0，则M对应的数为，下列说法正确的是（填序号）．①A是M的“正比点”；②A是M的“反比点”；③B是M的“正比点”；④B是M的“反比点”；（2）若ab＞0，且M是A的“正比点”，求的值；（3）若ab＜0，且M既是A，B其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，直接写出的值．23．在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段PO与线段P A的长度之比定义为点P的特征值，记作，即＝，例如：当点P是线段OA 的中点时，因为PO＝P A，所以＝1．（1）如图，点P1，P2，P3为数轴上三个点，点P1表示的数是﹣，点P2与P1关于原点对称．①＝；②比较，，的大小（用“＜”连接）；（2）数轴上的点M满足OM＝OA，求；（3）数轴上的点P表示有理数p，已知＜100且为整数，则所有满足条件的p的倒数之和为．24．阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|＝|x﹣0|；这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用：例1：解方程|x|＝4．容易得出，在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4，即该方程的x＝±4；例2：解方程|x+1|+|x﹣2|＝5．由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与﹣1和2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，﹣1和2的距离为3，满足方程的x对应的点在2的右边或在﹣1的左边．若x对应的点在2的右边，如图1可以看出x＝3；同理，若x对应点在﹣1的左边，可得x＝﹣2．所以原方程的解是x＝3或x ＝﹣2．例3：解不等式|x﹣1|＞3．在数轴上找出|x﹣1|＝3的解，即到1的距离为3的点对应的数为﹣2，4，如图2，在﹣2的左边或在4的右边的x值就满足|x﹣1|＞3，所以|x﹣1|＞3的解为x＜﹣2或x＞4．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x+3|＝5的解为；（2）方程|x﹣2020|+|x+1|＝2023的解为；（3）若|x+4|+|x﹣3|≥11，求x的取值范围．。
七年级数学数轴上的动点问题
七年级数学数轴上的动点问题数轴上的线段与动点问题一、与数轴上的动点问题相关的基本概念数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离.主要涉及以下几个概念：1．数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值d=|a-b|,也即用右边的数减去左边的数的差.即数轴上两点间的距离=右边点表示的数—左边点表示的数.2.两点中点公式：线段AB中点坐标=（a+b）÷2.3.点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度.这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标.即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a—b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b.4.数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系.二、数轴不动点问题求解的基本思路和方法：1.标明题目中动点的坐标(一般用含时间t的公式表示)。
2.根据两点间的距离公式，表示问题中相关线段的长度(一般用含时间t的公式表示)。
3.根据题中线段的等价关系(一般是和差关系)列出绝对值方程。
4、解绝对值方程并根据实际问题验算结果.注：数轴上线段的动点问题方法类似1.已知数轴上点a和b对应的数是-2和4，p是数轴上的动点，对应的数是x.A B－2－1 0 1 2 3 4(1)若P为AB线段的三等分点，求P对应的数；（2）数轴上是否存在P，使P到A点、B点距离和为10，若存在，求出x；若不存在，说明理由.(3)如果a点、b点和p点(p点在原点)同时向左移动，它们的速度分别为1、2和1。
个长度单位/分，则第几分钟时，P为AB的中点？2、已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足（c-5）2+|a+b|=0，请回答问题（1）请直接写出a、b、c的值．a=________，b=________，c=________（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在到2之间运动时（即0≤x≤2时），请化简式子：|x+1|-|x-1|+2|x+5|.（3）若点A、点C分别以每秒1个单位和2个单位长度的速度向左运动，请问几秒时，A，C之间的距离为1个单位长度？(4)点a、b、c开始在数轴上移动。
数轴两点间中点公式
数轴两点间中点公式在我们学习数学的旅程中，有一个小小的但非常实用的知识点，那就是数轴两点间中点公式。
这玩意儿看起来可能有点不起眼，但是在解决很多数学问题的时候，那可是大显身手啊！咱先来说说啥是数轴。
想象一下，有一条直直的线，上面标着好多数字，从负数一直到正数，就像一条数字的跑道。
而在这条跑道上的两个点，比如说点 A 和点 B，它们之间就存在着一个神奇的中点。
那这个中点咋算呢？公式就是：中点坐标等于两点坐标之和的一半。
比如说，点 A 的坐标是 x1，点 B 的坐标是 x2，那中点的坐标 M 就是（x1 + x2）/ 2 。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小同学瞪着大眼睛一脸懵地问我：“老师，这有啥用啊？”我笑了笑，给他举了个例子。
假设我们要在一条笔直的公路上找一个中间的位置来建一个休息站，已知公路的起点坐标是 10 公里处，终点坐标是 50 公里处。
那这个休息站应该建在多少公里的地方呢？咱们用中点公式一算，（10 + 50）/2 = 30 公里，是不是一下子就找到答案啦！这个公式在很多实际问题中都能派上用场。
比如说，测量一段距离，要找中间点标记；或者在设计图纸上，确定两个关键点之间的中心位置。
再深入一点，咱们把这个公式拓展到平面直角坐标系中。
如果有两个点 A（x1, y1）和 B（x2, y2），那它们的中点坐标就是（(x1 + x2)/ 2，(y1 + y2)/ 2）。
这就像是在一个大地图上找两个地方的中心一样。
做数学题的时候，这个中点公式也能帮我们节省不少时间。
比如有些几何题，告诉你两个顶点的坐标，让你求中线的方程，这时候中点公式就能轻松搞定第一步，找到中点坐标。
在生活中，我们也经常会不自觉地用到这个概念。
就像分蛋糕，要把蛋糕平均分成两份，其实就是在找中点嘛！总之，数轴两点间中点公式虽然看起来简单，但是用处可大着呢！它就像是我们数学工具包里的一把小锤子，遇到问题的时候敲一敲，说不定就能打开解决问题的大门。
2.1.1 数轴上的基本公式
2.1.1 数轴上的基本公式教材知识检索考点知识清单1．数轴：一条给出了 、 和 的直线叫做数轴，也称直线坐标系．2．数轴上的向量：数轴上的任意一点A 沿着数轴的正向或负向移动到另一点B ，则说点在轴上作了一次 ，简称为向量；用一个实数表示轴上的向量，实数的绝对值为线段AB 的 ，如果起点到终点的方向与轴同向，则此实数为 ．否则为 ，那么这个实数为向量AB 的3．设A 、B 、C 是数轴上的三点，则=AC4．数轴上两点间的距离公式：设),()(21x B x A 、则-== =),(,B A d要点核心解读1．数轴一条给出了原点、度量单位和正方向的直线，叫做数轴或直线坐标系，当点P 与实数x 对应时，称x 为点P 的坐标，记作P （x ）．如图2-1-1 -1所示，数轴x 上的点P 、Q 、R 的坐标依次是x 、-1、2，可分别记为⋅-)2()1()(R Q x P 、、2．向量当数轴上的任意一点A 移动到另一点B 时，就说点在轴上作了一次位移，当点不动时，就说点作了零位移．位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量．今后，我们统一用有向线段表示向量.起点为A 、终点为B 的向量，记为,AB 线段AB 的长度叫做向量AB 的长度或模，记为|,|AB 它体现的是向量的大小；向量的方向由起点指向终点．同向且等长的向量叫做相等的向量；模为1 个单位长度的向量叫做单位向量；向量的坐标(或称数量AB)是一个实数，实数的绝对值就是|,B |A 当向量起点指向终点的方向与轴同向时，这个实数就是AB ；反之，就是BA.例如，如图2-1-1-2所示 ，⋅-=--=-=211212)(,A x x x x BA x x B起点和终点重合的向量是零向量，它没有确定的方向，它的模和坐标都是0．3．数轴上的基本公式如图2 -1 -1 -2所示，不难看出，下面的公式成立： ,BC AB AC +=,12x x AB -=.||||),(2112x x x x B A d -=-=其中，d(A ，B)表示A 、B 两点间的距离．4．利用数轴上两点间的距离公式解决某些绝对值不等式绝对值不等式，尤其是一元一次绝对值不等式，与两点间的距离公式之间存在一定的联系，因此我们可以借助距离公式的几何意义来解决绝对值不等式问题．符合条件1|2|>-x 的点)(x P 位于x 轴的何处？可以用代数法即去掉绝对值符号解不等式，也可以运用距离公式的几何意义即“几何法”来求解．[解析] 解法一：（代数法）解绝对值不等式1|2|>-x 得12>-x 或,12-<-x 即x>3或x<l ，故点P 位于x 轴上M(l)的左侧或N(3)的右侧，解法二：（几何法）如图2 -1-1-3所示，设Q(2)，则,(P d |,2|)-=x Q 由题意可知，P 、Q 两点间的距离大于1，结合数轴可以确定P 点位于M(l)的左侧或N(3)的右侧．典例分类剖析考点1 求数轴上点的坐标及两点间的距离命题规律2已知坐标求距离或已知距离求坐标（或数量）.[例1] 已知数轴上的三点).()5()1(x C B A 、、-(1)当8),(||=+C B d 时，求x ；(2)当0=+CB AB 时，求x ；(3)当B =时，求x ；(4)当1=AC 时，求证：.AC BC AB =+[解析] 本例用到两个公式，即=-=),(,12N M d x x MN ==|MN ||MN =-||12x x .||21x x -其中1x 与2x 分别是M 、N 两点的坐标．[答案] (1)由),()5()1(x C B A 、、-可知.|5|),(,6){1(5|||-==--=x C B d 当8),(||=+C B d 时，有,8|5|6=-+x解得 .73==x x 或(2)由,0=+CB AB 可知,05)1(5=-+--x解得 .11=x(3)由=可知，|,||=且||AB 与||同向，即5)1(5-=--x所以 ,65=-x解得 .11=x(4)当1=AC 时，有 ,1)1(=--x解得 ,0=x所以 .150)1(5AC BC AB ==-+--=+母题迁移 1．若数轴上的顺次四点A ，B ，C ，D ，且),6(),0(),(),7(D C x B A -满足,CD AB =求实数x 考点2 向量的数量与点的坐标的关系命题规律把数轴上的向量转化为点的坐标进行运算，进而求值或证明.[例2] 设A 、B 、C 是数轴上不同于原点O 的任意三点，且.000=+CA C BA B 求证：⋅=+AC B 020101 [解析] 把向量的数量转化为点的坐标．[答案] 设A 、B 、C 在数轴上的坐标分别为).()(b B a A 、),(c C 则.,,,,c a CA b a BA c OC b OB a OA -=-====,0,00=-+-∴=+c a c b a b CA C BA OB 即abc c b 2=+ 又,11011bc c b c b C OB +=+=+且⋅=+∴=AC OB a A 02011,202 [点拨] 证明有关同一数轴上的若干点所成的向量的数量等式或条件等式时，关键要抓住“数量”这一本质，设数轴上点的坐标，把向量的数量转化为点的坐标，通过化简即可证明．母题迁移 2．已知数轴上点A 、B 、P 的坐标分别为).()3()1(x P B A 、、-(1)当P 与B 的距离是P 与A 的距离的3倍时，求⋅)(x P(2)若 P 到A 和B 的距离都是2时，求),(x P 此时P 与线段AB 有怎样的关系？ (3)在线段AB 上是否存在点P(x)，使得P 到A 和B 的距离都是3?若存在，求出P(x)；若不存在，请说明理由.考点3 利用数轴上的基本公式解决实际问题命题规律将实际问题转化为数轴上的基本公式这一数学问题，进而加以解决．[例3] 一条公路由西向东设有A 、B 、C 、D 、E 五个站点，相邻两个站点之间的距离依次为32千米、48千米、40千米、36千米，且在公路旁A 、E 两站的中点处设有加油站．请你以加油站为原点，正东为正方向，cm 201为单位长度画数轴，并将五个站点在数轴上表示出来． [解析] 由于例题中已规定了数轴的原点、正方向和单位长度，因此，解决问题的关键在于确定五个站点分别在加油站的哪一侧，与加油站的距离是多少？[答案] 因为,36404832+>+所以A 、B 两站在加油站西侧（原点左侧），G 、D 、E 三站在加油站东侧（原点右侧）．因为A 站到E 站的距离为156********=+++（千米），所以A 、E 两站到加油站（原点）的距离为78千米，而+-=-4078,463278（,2)36=,423678=-所以B 、C 、D 三站到加油站（原点）的距离依次为46千米、2千米、42千米，即A 、B 、C 、D 、E 五站在数轴上表示的数依次为 .784224678、、、、--取cm 201为单位长度，画数轴如图2 -1-1-4所示．[点拨] 解决实际问题的关键是将实际问题数学化，即建立数学模型，而数学模型是近几年高考的热点，同学们在日常生活中要注意观察、了解、总结数学与社会、生活之间的密切联系．母题迁移 3．某海洋救护站接到一船只发出的求救信号，船只在救护站正东方100 km 的A 处，正以每小时20 km 的速度缓慢靠近救护站，接到求救信号后，救护站立即派出救护艇以每小时180 km 的速度驶向求救船只，问救护艇会在何位置遇到求救船只？考点4 ∣a-b ∣的几何意义命题规律利用∣a –b ∣的几何意义解决不等式或方程中的问题．[例4] 对一切,R x ∈证明.5|3||2|≥-++x x[解析] 讨论2-≤x 或32≤<-x 或3>x 三段可求得原不等式的解，这里给出用数轴上两点间的距离公式解题的方法，即将|2|+x 看成数轴上的坐标为x 与-2的两点的距离，把|3|-x 也看成两点的距离，结合数轴求解不等式．[答案] 设点A 、B 、P 在数轴上的坐标为-2、3、x ，则.|3||||,2|||,5|32|||-=+==--=x BP x AP AB由平面几何知识知|,|||||AB BP AP ≥+当且仅当P 点在线段AB 上时取“=”， .5|3||2|≥-+⋅+∴x x上式当且仅当32≤≤-x 时，“=”成立．母题迁移 4．根据下列条件，在数轴上分别画出点⋅)(x P;2||)1(<x ;2||)2(=x ;2||)3(>x ;2|1|)4(>-x .2|1|)5(>+x优化分层测讯学业水平测试1．不在数轴上画点，确定下列各组点中，哪一组中的点C 位于点D 的右侧( )．A ．C （-3）和D( -4)B ．C(3)和D(4)C ．C （-4）和D(3)D ．C （-4）和D( -3)2．下列说法中正确的个数有( )．①数轴上的向量的坐标一定是一个实数；②向量的坐标等于向量的长度；③向量AB 与向量BA 的长度是一样的；④如果数轴上两个向量的坐标相等，那么这两个向量相等．1.A2.B3.C4.D3．A 、B 、C 三点都在数轴上，且A 是线段BC 的中点，则以下四个结论：;BC AB =①;AC BC =②0||||=-CA AB ③中，正确命题的序号是4．若点A （x ）位于点B(2)和点C(8)之间，则x 的取值范围是5．在数轴上画出以下各点．⋅=/=/+-)0,0)(||||();2();3();2(y x yy x x D C B A6．对点A(a)和点B( -a)在数轴上的位置，你认为有几种，依据是什么？高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分x8 =40分）1．数轴上A 、B 、C 的坐标分别为-7、2、3，则CA AB +的值为( )1.A 19.B 1.-C 19.-D2．对于数轴上的任意三点A 、B 、0，在如下向量的坐标关系中，不成立的是( )．A B AB A 00.-= 00.=++BA B AO B OB AO AB C +=. 0.=++BO AO AB D3．当数轴上的三点A 、B 、0不重合时，它们的位置关系有六种情况，其中使-=和 ||||||OA OB AB -=同时成立的情况有( )．A.l 种B.2种C.3种D.6种4．数轴上的两点),2()2(a x B x A +、则A 、B 两点的位置关系为( )．A.A 在B 的左侧B.A 在B 的右侧C.A 与B 重合 D ．由a 的值决定5.A 、B 为数轴上的两点，A 点坐标为,5,2=AB 则B 点坐标为( )．3.-A 7.B 37.-或C 37.或-D6．A 、B 、C 是同一直线上的三点，若等式AC BC AB =+成立，则( )．A.A 在B 、C 之间B.B 在C 、A 之间 C ．C 在A 、B 之间 D ．以上都有可能7．已知数轴上的点A 、B ，其中点B 的坐标为,2||,2=BA 则点A 的坐标为( )．4.A 2.-B 0.C 40.或D8．数轴上点),4()8()(--B A x P 、、若|,|2||=则=x ( )．0.A 316.⋅-B 316.C 3160.-或D 二、填空题（5分x4 =20分）9. A 、B 、C 、D 是数轴上的任意四点，则=+++DA CD BC AB10.已知数轴上三点),3()0()2(C B A 、、-则的坐标为 ，BC 的坐标为 ,的坐标为11．若不等式a x x >++-|3||1|恒成立，则实数a 的取值范围为12.已知数轴上的向量、、B AB 的坐标分别为==BC AB 、2,45-=-DC 、则=|| =AD ,三、解答题（10分x4 =40分）13.求满足下列各式的x 的范围． );,29(2)9,()1(x d x d < ⋅-≥+)0,()20,86()2(2x x d x d14．(1)在数轴上求一点的坐标，使它到点A （-1）与到点B(5)的距离相等；(2)在数轴上求一点的坐标，使它到点A(O)的距离是它到点B(-9)的距离的⋅2115.已知点A （x)位于)(2x B 的右侧，求d(A ，B)的最大值．16.已知数轴上有点),3()1()2(D B A 、、-点C 在直线AB 上，且有,21=BC AC 延长DC 到E ，使,41),(),(=E D d E C d 求点E 的坐标，。
坐标中点公式和距离公式的区别和联系
坐标中点公式和距离公式的区别和联系在数学中，坐标中点公式和距离公式是两种常用的计算方式，用于测量和描述平面上的点之间的位置关系。
虽然它们的应用场景有所不同，但在某些方面又存在联系。
1. 坐标中点公式坐标中点公式用于确定平面上两个点的中点坐标。
假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们想要找到这两个点之间的中点坐标C(x, y)。
根据坐标中点公式，中点C的横坐标可以通过以下方式计算：x = (x1 + x2) / 2中点C的纵坐标可以通过以下方式计算：y = (y1 + y2) / 2通过这个公式，可以轻松地找到任意两个点的中点坐标。
坐标中点公式常常用于计算线段的中点和图形的重心等。
2. 距离公式距离公式用于计算平面上两个点之间的距离。
假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们想要计算这两个点之间的距离d。
根据距离公式，两点之间的距离d可以通过以下方式计算：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)这个公式基于勾股定理，通过计算两点间的水平距离和垂直距离，最后使用平方根得到两点间的直线距离。
距离公式在几何学中非常重要，常用于计算线段、直角三角形、多边形等的长度。
它能够量化点与点之间的空间距离，从而帮助我们解决许多与位置和距离相关的问题。
区别与联系尽管坐标中点公式和距离公式的应用场景和计算方式有所不同，但它们之间也存在着一些联系。
首先，这两个公式都是计算平面上的点。
坐标中点公式用于计算两个点的中点坐标，而距离公式用于计算两个点之间的距离。
其次，这两个公式的计算都是基于坐标的。
坐标中点公式通过取两个点的横纵坐标的平均值来计算中点的坐标，而距离公式则使用两点的坐标差的平方和来计算距离。
最后，这两个公式都提供了一种计算平面上点的方法，能够帮助我们在几何学和数学问题中解决与点相关的计算和分析。
在实际应用中，这两个公式常常相辅相成。
例如，在分析图形的特性时，可以使用坐标中点公式找到中点，然后结合距离公式计算各个点之间的距离，从而得到关于图形的更多信息。
第6讲+非同一般的数轴2024-2025学年人教版七年级数学上册
第6讲非同一般的数轴板块一数轴、距离与方程(1)两点距离两点之间的距离的表示方法(A,B 两点之间的距离记为AB)位置明确(右减左):AB=a-b.位置不明确(加绝对值):AB=|a-b|.典例精讲【例】已知数轴上点 A 表示的数为-1，数轴上 A，B 两点之间的距离用“AB”表示.(1)若点 B 表示的数为1,则AB= ;若点 B 表示的数为10,则 AB= ;(2)若点 B 表示的数为-2,则AB= ;若点B 表示的数为-10,则AB= ;(3)若点 B 表示的数为x,且点 B 在点A 的右侧,则AB= (用含 x的式子表示);(4)若点B 表示的数为x,则AB= (用含x的式子表示);(5)若点 A,B 之间的距离为5,求点 B 表示的数.实战演练1.数轴上，点 A 表示的数为-3，点 B 在点A 的左侧，且距离为2个单位长度，点 C 在点 B 的右侧，且与点 B 的距离为 7 个单位长度.求点 B 和点 C 表示的数.2.数轴上，点 A 表示的数为-2，点 B 表示的数为6，C 为数轴上一点，且A，C 两点之间的距离AC=5,求 B,C 两点之间的距离(即 BC 的长).板块二数轴、距离与方程(2)两点中点典例精讲【例】已知数轴上点 A 表示的数为-1，B 为数轴上一点，M为AB 的中点.(1)若点 B 表示的数为-10,则点 M 表示的数为 ;(2)若点 B 表示的数为x，则点M 表示的数为 (用含 x的式子表示)；(3)若A,B 之间的距离为5,求点 M 表示的数;(4)若点 B 表示的数为x，点 M 表示的数为5.求点 B 表示的数.实战演练1.数轴上,点A,B 分别表示-2和5,则A,B 两点间的距离AB= ,线段AB 的中点表示的数是.2.如图，数轴上点 A 表示的数为-2，点 B 表示的数为10，C 为数轴上一点，且.BC=4,M 为AC的中点.求点 M 表示的数.3.在数轴上，点A，B，C 表示的数分别为-6，8和x，若这三点中其中一个点是另两个点对应线段的中点，求 x 的值.4.在数轴上,点A,B,C 表示的数分别为-6,8和x,若 P 为AC 的中点,Q为BC 的中点,求 PQ的长.板块三数轴、距离与方程(3)距离和差倍分一、点 P在A,B之间二、点 P 在点 B 右侧三、点 P 的位置不确定PA=x-a;PB=x-b;PA=|x-a|;PB=|x-b|;PA+PB=|典例精讲【例】如图，A，B 两点在数轴上表示的数分别为-10 和14. (1)求 A,B 两点间的距离AB 的长;(2)若点C 在数轴上A,B 两点之间,且AC=BC.求点C 表示的数;(3)P 为数轴上一点,且PA+PB=30,求点 P 对应的数;(4)点 D 在数轴上,且BD=3AD,求点 D 对应的数.实战演练1.已知数轴上点 A 在原点的左边，到原点的距离为8，点 B 在原点的右边，点 A 移动到点 B，要经过32个单位长度.(1)求 A,B 两点所对应的数;(2)若点C也是数轴上的点，且点C 到点B 的距离是点C 到原点的距离的3倍，求点C 所对应的数.2.在一条不完整的数轴上从左到右有点 A，B，C，其中，AB=2,BC=1,,如图所示,设点 A,B,C所对应数的和是p.(1)若以点 B 为原点，写出点 A，C 所对应的数，并计算 p 的值；若以点 C 为原点，p 又是多少?(2)若原点 O 在图中数轴上点C 的右边，且(CO=38,,求 p 的值.3.如图，数轴上点 A，B 表示的数分别为−10) 和 10,C 为数轴上一点.(1)若AC+BC=28,，求点 C 表示的数；(2)若2AC=3BC,，求点 C 表示的数.。
数轴上的距离公式和中点公式
B(x2)
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
x
一般地，在数轴上，如果 A(x1)，B(x2)，
则这两点的距离公式为
|AB|＝|x2－ x1|．
在以上例子中，我们遇到的数轴都是水平放置的，
如果数轴不是水平放置的 ( 如图所示 ) ，数轴上的距离
公式成立吗？
如，点 A 的坐标为 1 ，记作 A(1)； 点 B 的坐标为－4，记作 B(－4) ．
观察数轴，完成下列题目：
PB O
A
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
x
（1）点 P 与 －3.5 对应，则点 P 的坐标是 ，记作 ； （2）点 A 的坐标是 ，记作 ； （3）点 B 的坐标是 ，记作 ； （4）点 O 的坐标是 ，记作 ．
C A DB
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
x
（1）图中点 A 的坐标是 ，点 B 的坐标是 ，
点 C 的坐标是 ，点 D 的坐标是 ； （2）点 A 与 B 之间的距离 |AB|＝ ；点 C 与 A
之的距离 |CA|＝ ；点 B 与 C 之间的距离 |BC|
＝． （3）你能找出数轴上两点间距离与两个点的坐
2
即 A，B 的中点坐标为 1 ．
练习二
已知点 A（－6），B（－1），C（2），D （4.5），
E（7），求：
1. |AB|，|AC|，|BD|，|DE|； 2. A，B 的中点坐标；B，E 的中点坐标．
归纳小结
数轴上两点间 的距离公式．
数轴上两点的 中点公式．
数轴上点的坐 标．
课后作业
x
B
4 3
2
1
0
A －1 －2
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《数轴上的距离公式和中点公式》课件内容介绍
适用范围：职业中学数学教学
作品名称：数轴上的距离公式和中点公式
本节是中等职业教育数学（基础模块下册）第八章第一节内容，
一、主要内容
1、教学目标的明确：
（1）、理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，会表示数轴上的某点的坐标。
（2）、掌握数轴上的距离公式和中点公式，并能用这两个公式解决有关问题。
（3）、培养学生勇于发现、勇于探索的精神以及合作交流等良好品质。
2、教学重点
数轴上的距离公式和中点公式
3、教学难点
数轴上的距离公式和中点公式的应用
二、本课教学流程
导入——回忆知识——讲授数轴上点的坐标的表示——探究、讨论、总结，得出数轴上的距离公式——再探究、再讨论，得出数轴上的中点公式——教师总结——例题示范——练习——作业布置
三、教学特点
这节课本着“教学创新，思维拓展，培养能力”的原则进行设计.通过问题的思考解决，由讨论探究的方式来调动学生的学习积极性，多媒体课件有重点、有顺序的推导公式、应用公式，提升学生的素养，培养学生的探究、讨论、总结的综合能力。