第02章构件的内力分析2讲义

机编程实现。
2020/7/30
材料力学
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第2章 结束
作业： 2-1 2-3 2-5
2-10 2-12 2-18 (a) (c) (f)
2-38 (c) (f) 2-47 2-20 (a) (f)
x
a
0
0 1
x a ax
3. 定义n=-1时，x-a-1为单位脉冲函数，即函数。
4. 定义n=-2时，x-a-2为单位偶极函数。
5. 规定 x x a n dx 1 x a n1 n 0
n 1
奇异函数的积分： 按一般指数函数 进行积分运算
x x a 2 dx x a 1 x x a 1 dx x a 0
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例11 平面刚架由竖杆AB和横杆BC在B点刚性连接而 成。试分析刚架的内力，并作内力图。
解：(1) 求支座反力
Fx 0, FAx qa
1
Fy 0,
FAy
qa 2
1
M A (F ) 0,
FCy
qa 2
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(2) 求内力
杆BC的内力：从C端开始截取
2.4 刚架和曲杆的内力
1. 刚架：
由直杆刚性地连接起来的结构。
2. 平面刚架：
杆件和载荷都在同一平面内。
3. 刚节点： 杆件间的刚性连接
受力变形时，节点处杆件间的夹角保持不变。 与铰接点不同，刚节点可以传递力和力矩。
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2.4 刚架和曲杆的内力
4. 刚架内力： 轴力、扭矩、剪力和弯矩。
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二、奇异函数Fn(x)图像 1. x-a-2 单位偶极函数
2. x-a-1 单位脉冲函数(函数)
3. x-a0 单位阶跃函数
4. x-a1 单位斜坡函数
5. x-a2 指数平方函数
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三、用奇异函数表示载荷
1. 集中力偶矩：单位偶极函数
q(x) = mx-a-2 2. 集中力：单位脉冲函数
FS1
FCy
1 2
qa
M1
FCy1
1 2
qa1
(0 1 a)
FN
2
FCy
1 qa 2
FS2 q2
(0 2 a)
M
1
FCy a
1 2
q
2 2
1 2
qa2
1 2
q
2 2
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例14 图示一端固定的水平放置的四分之一圆弧形细 长曲杆，半径为R，曲杆自由端受垂直方向的力F作 用。写出曲杆的内力方程。
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四、奇异函数的特点 Fn(x)=x-an
1. 函数x-a是一种固定写法，尖括号<> 不可拆分。 2. 管后不管前：以x=a为界，a之前为零，a之后才有非零值；
最右端载荷可以不写进表达式中。 3. 尖括号<>外的因子不可以乘进尖括号内。 4. 用奇异函数求内力，方法简单、规范、统一，便于计算
关于画内力的总结： 1. 根据内力与载荷集度间关系，可以通过积分方法，求出
内力方程，并作内力图。
剪力、弯矩与分布力间关系
dFS (x) q(x), dx
dM (x) dx FS (x)
2. 当构件上有集中载荷或力偶作用或载荷集度发生突变时， 积分则要以集中载荷作用点或集度突变处为分段点进行 分段积分。
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2
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解：按奇异函数取值规定， 将结果写成常规函数形式
FS
(
x)
3 8
ql
qx
M
(x)
3
qlx
q
x2
82
(0 x l ) 2
FS
(x)
1 8
ql
M
(x)
1
ql(l
x)
8
( l x l) 2
说明：
积分时不必加积分常数，因为A端
的剪力已作为已知值代入，剪力的
左端边界条件己满足。
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q(x) = Fx-a-1 3. 分布力：单位阶跃函数
q(x) = qx-a0 4. 广义载荷：q(x)
集中力偶矩 集中力 均布力
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例15 图示简支梁左半边受均布载荷q的作用。试用奇异函数 表示梁上载荷，并通过积分求剪力方程和弯矩方程。
解：(1) 求支座反力
FAy
3 ql, 8
FBy
1 8
ql
(2) 用奇异函数表示广义载荷
q(x)
FAy
x
1
q
x
0
q
x
l 2
0
3 ql x 1 q x 0 q x l 0
8
2
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例15
q(x) 3 ql x 1 q x 0 q x l 0
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解：(3) 求内力 求剪力：对广义载荷积分
FS (x) q(x)dx
5. 内力符号： (1) 轴力、扭矩和剪力：规定相同。 轴力、扭矩矢量方向与截面外法线方向一致为正，
反之为负；
剪力使微段有逆时针转动的趋势时为正，反之为
负。
(2) 弯矩：水平杆、竖杆、斜杆。 方法1：由局部坐标系来确定。 方法2：画在杆件受压侧，即凹侧，不标正负
6. 内力与载荷的微分关系仍成立。 7. 曲杆：与刚架相同。
3. 为避免分段带来的繁琐，引进数学工具－奇异函数，使 问题可以简便地在整个杆上进行积分。
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麦考雷函数(Macaulay):Fn(x)
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一、奇异函数Fn(x)定义 1. 定义n 0时
Fn
(x)
x
a
n
(x
0 a)n
xa xa
n 0,1, 2,
2. 定义n=0时，x-a0为单位阶跃函数
长1的分离体。
FS1
M1
FCy
FCy1
1 2
qa
(0
1 2
qa1
1
a)
杆AB的内力：从B端开始截取
长2且包括杆BC作为分离体。源自(0 2 a)FN
2
FCy
1 qa 2
FS2 q2
(0 2 a)
M
1
FCy a
1 2
q22
1 qa2 2
1 2
q22
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(3) 画内力图
解：自A点起在角度处截取一段曲
杆AC为分离体。 在截面中心建立坐标系：
r：径向坐标 s：周向坐标 z：垂直向坐标 截面上内力：
F 沿z方向作用 剪力 FS F 对r轴的力矩 弯矩 M F 对s轴的力矩 扭矩 T
FS=F，M=FRsin，T=FR(1-cos)
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2.5 奇异函数
3 ql x 0 q x 1 q x l 1
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求弯矩：对剪力积分
M (x) FS (x)dx
3 ql x 1 q x 2 q x l 2
8
2
2
2
(4) 画内力图
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例15
FS (x)
3 ql 8
x
0
q
x
1
q
x
l 2
1
M (x) 3 ql x 1 q x 2 q x l 2