第02章构件的内力分析2讲义
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第2章 构件内力分析基础
第2章构件内力分析基础学习目标理解各种基本变形的受力和变形特点；掌握各种基本变形的内力特点、计算方法；掌握各种基本变形的内力图、力矩图的画法。
2．1构件的变形2．1．1构件的基本要求机械工作时，组成机械的各个构件都要受到外力的作用。
例如，吊起重物的钢丝绳要承受重物的重力、轧钢机轧辊要受到钢坯阻力的作用等。
构件在载荷作用下都会发生一定的变形，随着载荷的继续增加，有些构件可能会突然断裂，有些构件则发生过大变形直至破坏。
为了保证构件正常工作，每一个构件都要有承受足够载荷的能力。
具有一定承载能力的构件，要满足下面3个方面的要求：1．强度要求强度是构件抵抗破坏的能力，满足强度要求是指正常受力的构件不能被破坏。
这是对构件的最基本的要求。
例如，吊起重物的钢丝绳不允许断裂，齿轮在传动过程中不允许破损，机器主轴不允许折断或扭坏等。
2．刚度要求刚度是构件抵抗变形的能力，满足刚度要求是指正常受力的构件的变形量不能超过允许的限度。
有时构件在载荷的作用下虽然不会发生破坏，但如果变形过大，会导致构件不能正常工作。
例如，齿轮轴变形过大会影响齿轮的啮合状况，如图2—l(a)所示；车床主轴变形过大会影响工件的加工精度，如图2—l(b)所示。
因此，对于自身变形会影响机械工作性能的构件，必须满足一定的刚度要求。
图2—1受载荷作用的构件变形3．稳定性要求稳定性是构件保持原有平衡状态的能力。
对于中心受压的细长直杆，例如，图2—2(a)所示的内燃机的挺杆、图2—2(b)所示的千斤顶的顶杆等，当压力较小时，受压杆件均能保持直线的平衡状态，但随着压力的增加，压杆会突然变弯而丧失工作能力，这种现象称为丧失稳定，简称失稳。
因此，要求压杆必须在工作中始终保持原有的直线状态，即具有足够的稳定性。
为了满足构件在强度、刚度、稳定性3个方面的要求，达到安全可靠的目的，必须为构件选择适当的材料、合理的截面形状和尺寸，同时还必须尽可能降低材料的消耗量，以符合经济的原则。
材料力学第2章 杆件的内力与内力图讲解
材料力学
梁(杆件)弯曲变形时 外力与内力之间的关系
材料力学
平衡微分方程
y
O
x
x
dx
考察 dx 微段的受力与平衡
q(x)
M
M+d M
FQ
FQ+ dFQ
材料力学
考察 dx 微段的受力与平衡
y
q(x)
M
M+d M
O
C
x
FQ
FQ+ dFQ
ΣFy=0:
FQ+q dx- FQ－d FQ =0
ΣMC=0: -M+(M+dM)- FQ dx-q dx ·dx /2=0
内力分量的正负号与观察者位置的关系：
轴力的正负号与观察者位置无关； 剪力的正负号与观察者位置无关； 弯矩的正负号与观察者位置有关。
材料力学
轴力的正负号与观察者位置无关
材料力学
剪力的正负号与观察者位置无关
材料力学
弯矩的正负号与观察者位置有关
材料力学
刚架内力图的画法
(1) 无需建立坐标系； (2) 控制面、平衡微分方程； (3) 弯矩的数值标在受拉边； (4) 轴力、剪力画在里侧和外侧均可，
q
q
A
B
C
C
q
A
B
D
qa
F RA
F RB
4a
a
l
F RA l
F RB
FQ 9qa/4
＋
M
81qa2/32
x
－
qa 7qa/4
＋
qa2
x
FQ
ql
＋
x
－
ql
ql2/2
机械设计基础_02内力分析
弯曲内力与弯矩图
2.6.1 梁的分类
根据梁的支承简化情况，在工程实际中常见的梁分为三类 简支梁: 一端为固定铰支座，另一端为活动铰支座（图219a）。 外伸梁 : 一端或两端有外伸部分的简支梁（图2-19b）。 悬臂梁 : 一端为固定端，另一端为自由端（图2-19c）。
在简支梁和外伸梁中，两支座之间的距离称为梁的跨度。
重点难点
重点：杆件基本变形内力的计算。 难点：弯曲内力、组合变形内力计算。
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机械设计基础
Machine Design Foundation
2.1 基本变形、
组合变形的概念
返回
机械设计基础
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轴向拉伸与压缩
2.1.1 轴向拉伸与压缩
1.工程实例 2.受力特点：沿杆件轴向作用一对等值、反向的拉力
2.3 轴向拉压内力
返回
机械设计基础
Machine Design Foundation
轴力与轴力图
2.3.1 轴力
截面法是求内力的基本方 法。如图2-12所示，AB杆 在一对拉力F作用下产生拉 伸变形。下面用截面法求 拉杆内力。 切 — 用m—m截面将杆件 一分为二； 取 — 左段为研究对象； 代 — 右段对左段的作用用 拉力FN代替； 平 — 列平衡方程：
(0 x1 a)
(0 x1 a)
CB段：
FS ( x 2 ) FB Fa l
(a x 2 l )
(a x 2 l )
M ( x 2 ) FB (l x 2 )
Fa (l x 2 ) l
（3）画剪力、弯矩图 由剪力方程可知，AC、CB两段均为水平直线，画剪力 图如图2-23（b）所示。画弯矩图如图2-23（c）所示。
第2章 杆件的内力
16
建筑力学与结构
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1）工程中的受弯杆—— 在工程实际中，受荷载作用而产生弯曲变形的 杆是常见的，通常把它们叫做受弯杆或称之为梁。
17
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图2.20简支梁图
2.21悬臂梁图
2.22外伸梁
18
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2 图2.23（a）所示的梁是立体杆，设沿杆长为x 轴，在横截面上设y轴铅垂向下，z轴水平向右。当 外力（荷载与支座反力）都作用在纵向对称平面之 内时，梁弯曲之后，其轴线将变成挠曲线，它仍在
24
建筑力学与结构
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图2.28 剪力图与弯矩图的坐标轴之假设
25
建筑力学与结构
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2 既然剪力和弯矩都将随着x（横截面位置）的 变化而变化，那么两者均可以表示为坐标x的函数 ，即
26
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27
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28
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第2章
第一节 内力的概念
杆件的内力
内力”是指构件的内部之力,它与作用在构件的 外力（如荷载、约束反力）是相对应的。在研究外 力之后，需要由表及里地探索构件的内力。如果你 想了解内力究竟是怎么回事，那就请看下面的内容 吧。
1
建筑力学与结构
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一、内力的概念 从结构的外部看，结构在荷载（属于外在的主 动力）作用下处于平衡，并产生约束反力,这都属 于力的外效应。在荷载作用下结构还会发生变形， 这是力的内效应。从结构的内部看，结构变形时, 各质点之间的相对位置都会发生改变，其内因是存 在各质点之间的相互作用力，这就是内力。其外因 当然是荷载（即外力）作用而引起的，故又把它称 之为“附加内力”。
第二讲 内力分析
第二章 内力分析
§2-1 内力的概念
§2-2 杆横截面上的内力
§2-3 载荷与内力的关系 §2-4 内力图
§2-1 内力及截面法
一. 内力 (Internal Forces) 变形体受力后，由于外力作用内部各点相 对距离发生改变而产生的相互作用力的增量。
F1
弹性体内力的特征: ⒈连续分布力系 ⒉与外力组成平衡力系
A
q=20kN/m
x
N(x) = ∑Fx = P ＋ qx
B P=10kN
B.扭转时杆横截面上的内力
1 m A 1 m B 2 2
5m
C
3
4
3m
E
D 3 4
T1 = ∑mx = m = －3m＋5m －m = m T2 = ∑mx = m ＋m = －3m＋5m = 2m T3 = ∑mx = m ＋m － 5m = －3m = －3m T4 = T3 = －3m
F2
F3
Fn
Байду номын сангаас
将分布内力系向截面上一点的简化得： 主矢 Ro ( Resultant Force ) 主矩 Mo（ Resultant Moment ) My Ro o o Rz Rx Mx
Ry
Mz
主矢.主矩在坐标轴方向有六个内力分量，可由平衡方程求解。
二.截面法—求内力的基本方法
截一为二， 弃一留一， 局部平衡， 求出内力。
y
m
M(x) Q(x)
o
dx
M(x)+dM Q(x)+dQ
x
∑y = 0 ∑Mo = 0
Q(x)
－ Q(x) － dQ = 0
－M (x) － Q(x) dx － m ＋M(x) ＋ dM = 0 dQ =0 ; dM = m
§2-1 内力的概念
§2-2 杆横截面上的内力
§2-3 载荷与内力的关系 §2-4 内力图
§2-1 内力及截面法
一. 内力 (Internal Forces) 变形体受力后，由于外力作用内部各点相 对距离发生改变而产生的相互作用力的增量。
F1
弹性体内力的特征: ⒈连续分布力系 ⒉与外力组成平衡力系
A
q=20kN/m
x
N(x) = ∑Fx = P ＋ qx
B P=10kN
B.扭转时杆横截面上的内力
1 m A 1 m B 2 2
5m
C
3
4
3m
E
D 3 4
T1 = ∑mx = m = －3m＋5m －m = m T2 = ∑mx = m ＋m = －3m＋5m = 2m T3 = ∑mx = m ＋m － 5m = －3m = －3m T4 = T3 = －3m
F2
F3
Fn
Байду номын сангаас
将分布内力系向截面上一点的简化得： 主矢 Ro ( Resultant Force ) 主矩 Mo（ Resultant Moment ) My Ro o o Rz Rx Mx
Ry
Mz
主矢.主矩在坐标轴方向有六个内力分量，可由平衡方程求解。
二.截面法—求内力的基本方法
截一为二， 弃一留一， 局部平衡， 求出内力。
y
m
M(x) Q(x)
o
dx
M(x)+dM Q(x)+dQ
x
∑y = 0 ∑Mo = 0
Q(x)
－ Q(x) － dQ = 0
－M (x) － Q(x) dx － m ＋M(x) ＋ dM = 0 dQ =0 ; dM = m
材料力学 第二章 构件的内力分析
1 TC 1
m Mx（kN· ）
2 TA C 2 A
3 TD 3 D
M x1 4300 N m M x 2 6690 N m M x 3 2859 N m
画扭矩图
4.3
+
x
0
－
-2.859
38
2.3 直杆扭转时的内力及内力图
课堂练习 试画出下面轴的扭矩图
2kN· m 5kN· m 3kN· m
+
x
－
－
23
2.2 直杆轴向拉伸（压缩）时的内力及内力图
课堂练习： 试画出下列直杆的轴力图
2 kN
4 kN
6kN
24
2.2 直杆轴向拉伸（压缩）时的内力及内力图
做的如何？
2 kN
4 kN
6kN
FN (kN) 2
+
0 -2 -4
－ －
x
25
2.3 直杆扭转时的内力及内力图
杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直 于杆件轴线的两个力偶，杆的任意两横截面将绕轴线相
如何将分布内力简化？
4
Fn
2.1 内力和截面法
内力简化过程： 1、在截面上选择力
F1
y
FR
MO
系简化中心，建立 坐标系。 2、将力系简化为主
O
F2
x 矢FR和主矩MO。
3、将主矢和主矩沿 坐标轴进行分解。
z
5
2.1 内力和截面法
内力简化
F1
y
Fy
My
Fx
O
F2
x
Mz
Mx
z
Fz
6
2.1 内力和截面法
第二章 杆件的内力分析
A
FAY
x1
M /l
C
l
x2
B
FBy
FBY
M ＝0， F
A
y
0
M FAy＝M / l FBy＝ -M//ll 2．写出剪力和弯矩方程
Ma / l
AC：
M x1 ＝Mx1 / l
CB：
Mb / l M（）＝M（l） 0 0
0 x1 a FQ x2 ＝M / l 0 x2 b M x2 ＝ Mx2 / l 0 x2 b
FN F
即轴力的值
若取m-m截面右段，解得的轴力相同。
由于外力的作用线与杆件的轴线重合，内力的作用线也与杆件的轴线 重合。所以称为轴力。
7
目录
三、轴力正负号：使杆拉为正、压为负。
F
F FN F F FN
FN F
F FN F F FN F
在截面附近取微椴
FN
+
FN
FN _ FN
四、轴力图：表示轴力沿杆件轴线 的变化规律的图形。
F5
1、截 2、取
m
F4 F4
F1 F2
F5
m
F3 F3
3、代 4、平
F1 F2
2
目录
例2-1
悬臂梁受集中力作用，试求梁的内力中截面上的内力。
F
n
解：1.用n-n截面截断梁
2.取截面以左为研究对象
a F
n
a
3.将去掉的部分的作用用 内力表示
4.建立平衡方程
y
Fy＝0
- F FQ 0 FQ F M Fa
M
x
第2章 杆件的内力分析
与观察者位置无关
FQ FQ
与观察者位置有关
内
刚架内力图的画法
力 (1) 无需建立坐标系；
图 (2) 控制面、平衡微分方程；
(3) 弯矩的数值标在受拉边;
刚 (4) 轴力、剪力画在里侧和外侧均可，
架 内
但需标出正负号；
力 图
(5) 注意节点处的平衡关系。
节点处的平衡关系
内
FN
FQ
力
图
FQ
FN
刚
材料力学(I)
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第2章
杆件的内力分析
第
2
章
引言
杆
件
平衡微分方程
的 内
内力图
力
结论与讨论
分
析
引 言
引 言(Introduction)
内力(Internal Forces) 内力主矢与内力主矩(Resultant
Force and Resultant Moment) 内力分量(Components of the
概 念
刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡
，则其任何局部也必然是平衡的。
内力与外力的相依关系
平
衡
微
分
方
程
某一截面上的内力与作用在该截
内 力
面一侧局部杆件上的外力相平衡；
与
外
在荷载无突变的一段杆的各截面
力 关
上内力按相同的规律变化；系Biblioteka 平 衡结论
微
分 方
杆件各截面上内力
程 变化规律随着外力的变
FQ
架
内 力
M
M FN
图
FQ
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机编程实现。
2020/7/30
材料力学
14
第2章 结束
作业： 2-1 2-3 2-5
2-10 2-12 2-18 (a) (c) (f)
2-38 (c) (f) 2-47 2-20 (a) (f)
x
a
0
0 1
x a ax
3. 定义n=-1时，x-a-1为单位脉冲函数，即函数。
4. 定义n=-2时，x-a-2为单位偶极函数。
5. 规定 x x a n dx 1 x a n1 n 0
n 1
奇异函数的积分： 按一般指数函数 进行积分运算
x x a 2 dx x a 1 x x a 1 dx x a 0
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材料力学
2
例11 平面刚架由竖杆AB和横杆BC在B点刚性连接而 成。试分析刚架的内力，并作内力图。
解：(1) 求支座反力
Fx 0, FAx qa
1
Fy 0,
FAy
qa 2
1
M A (F ) 0,
FCy
qa 2
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材料力学
3
(2) 求内力
杆BC的内力：从C端开始截取
2.4 刚架和曲杆的内力
1. 刚架：
由直杆刚性地连接起来的结构。
2. 平面刚架：
杆件和载荷都在同一平面内。
3. 刚节点： 杆件间的刚性连接
受力变形时，节点处杆件间的夹角保持不变。 与铰接点不同，刚节点可以传递力和力矩。
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材料力学
1
2.4 刚架和曲杆的内力
4. 刚架内力： 轴力、扭矩、剪力和弯矩。
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材料力学
8
二、奇异函数Fn(x)图像 1. x-a-2 单位偶极函数
2. x-a-1 单位脉冲函数(函数)
3. x-a0 单位阶跃函数
4. x-a1 单位斜坡函数
5. x-a2 指数平方函数
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材料力学
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三、用奇异函数表示载荷
1. 集中力偶矩：单位偶极函数
q(x) = mx-a-2 2. 集中力：单位脉冲函数
FS1
FCy
1 2
qa
M1
FCy1
1 2
qa1
(0 1 a)
FN
2
FCy
1 qa 2
FS2 q2
(0 2 a)
M
1
FCy a
1 2
q
2 2
1 2
qa2
1 2
q
2 2
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材料力学
5
例14 图示一端固定的水平放置的四分之一圆弧形细 长曲杆，半径为R，曲杆自由端受垂直方向的力F作 用。写出曲杆的内力方程。
材料力学
13
四、奇异函数的特点 Fn(x)=x-an
1. 函数x-a是一种固定写法，尖括号<> 不可拆分。 2. 管后不管前：以x=a为界，a之前为零，a之后才有非零值；
最右端载荷可以不写进表达式中。 3. 尖括号<>外的因子不可以乘进尖括号内。 4. 用奇异函数求内力，方法简单、规范、统一，便于计算
关于画内力的总结： 1. 根据内力与载荷集度间关系，可以通过积分方法，求出
内力方程，并作内力图。
剪力、弯矩与分布力间关系
dFS (x) q(x), dx
dM (x) dx FS (x)
2. 当构件上有集中载荷或力偶作用或载荷集度发生突变时， 积分则要以集中载荷作用点或集度突变处为分段点进行 分段积分。
8
2
22
解：按奇异函数取值规定， 将结果写成常规函数形式
FS
(
x)
3 8
ql
qx
M
(x)
3
qlx
q
x2
82
(0 x l ) 2
FS
(x)
1 8
ql
M
(x)
1
ql(l
x)
8
( l x l) 2
说明：
积分时不必加积分常数，因为A端
的剪力已作为已知值代入，剪力的
左端边界条件己满足。
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q(x) = Fx-a-1 3. 分布力：单位阶跃函数
q(x) = qx-a0 4. 广义载荷：q(x)
集中力偶矩 集中力 均布力
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材料力学
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例15 图示简支梁左半边受均布载荷q的作用。试用奇异函数 表示梁上载荷，并通过积分求剪力方程和弯矩方程。
解：(1) 求支座反力
FAy
3 ql, 8
FBy
1 8
ql
(2) 用奇异函数表示广义载荷
q(x)
FAy
x
1
q
x
0
q
x
l 2
0
3 ql x 1 q x 0 q x l 0
8
2
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材料力学
11
例15
q(x) 3 ql x 1 q x 0 q x l 0
8
2
解：(3) 求内力 求剪力：对广义载荷积分
FS (x) q(x)dx
5. 内力符号： (1) 轴力、扭矩和剪力：规定相同。 轴力、扭矩矢量方向与截面外法线方向一致为正，
反之为负；
剪力使微段有逆时针转动的趋势时为正，反之为
负。
(2) 弯矩：水平杆、竖杆、斜杆。 方法1：由局部坐标系来确定。 方法2：画在杆件受压侧，即凹侧，不标正负
6. 内力与载荷的微分关系仍成立。 7. 曲杆：与刚架相同。
3. 为避免分段带来的繁琐，引进数学工具－奇异函数，使 问题可以简便地在整个杆上进行积分。
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麦考雷函数(Macaulay):Fn(x)
材料力学
7
一、奇异函数Fn(x)定义 1. 定义n 0时
Fn
(x)
x
a
n
(x
0 a)n
xa xa
n 0,1, 2,
2. 定义n=0时，x-a0为单位阶跃函数
长1的分离体。
FS1
M1
FCy
FCy1
1 2
qa
(0
1 2
qa1
1
a)
杆AB的内力：从B端开始截取
长2且包括杆BC作为分离体。源自(0 2 a)FN
2
FCy
1 qa 2
FS2 q2
(0 2 a)
M
1
FCy a
1 2
q22
1 qa2 2
1 2
q22
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材料力学
4
(3) 画内力图
解：自A点起在角度处截取一段曲
杆AC为分离体。 在截面中心建立坐标系：
r：径向坐标 s：周向坐标 z：垂直向坐标 截面上内力：
F 沿z方向作用 剪力 FS F 对r轴的力矩 弯矩 M F 对s轴的力矩 扭矩 T
FS=F，M=FRsin，T=FR(1-cos)
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材料力学
6
2.5 奇异函数
3 ql x 0 q x 1 q x l 1
8
2
求弯矩：对剪力积分
M (x) FS (x)dx
3 ql x 1 q x 2 q x l 2
8
2
2
2
(4) 画内力图
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材料力学
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例15
FS (x)
3 ql 8
x
0
q
x
1
q
x
l 2
1
M (x) 3 ql x 1 q x 2 q x l 2
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材料力学
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第2章 结束
作业： 2-1 2-3 2-5
2-10 2-12 2-18 (a) (c) (f)
2-38 (c) (f) 2-47 2-20 (a) (f)
x
a
0
0 1
x a ax
3. 定义n=-1时，x-a-1为单位脉冲函数，即函数。
4. 定义n=-2时，x-a-2为单位偶极函数。
5. 规定 x x a n dx 1 x a n1 n 0
n 1
奇异函数的积分： 按一般指数函数 进行积分运算
x x a 2 dx x a 1 x x a 1 dx x a 0
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例11 平面刚架由竖杆AB和横杆BC在B点刚性连接而 成。试分析刚架的内力，并作内力图。
解：(1) 求支座反力
Fx 0, FAx qa
1
Fy 0,
FAy
qa 2
1
M A (F ) 0,
FCy
qa 2
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(2) 求内力
杆BC的内力：从C端开始截取
2.4 刚架和曲杆的内力
1. 刚架：
由直杆刚性地连接起来的结构。
2. 平面刚架：
杆件和载荷都在同一平面内。
3. 刚节点： 杆件间的刚性连接
受力变形时，节点处杆件间的夹角保持不变。 与铰接点不同，刚节点可以传递力和力矩。
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2.4 刚架和曲杆的内力
4. 刚架内力： 轴力、扭矩、剪力和弯矩。
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二、奇异函数Fn(x)图像 1. x-a-2 单位偶极函数
2. x-a-1 单位脉冲函数(函数)
3. x-a0 单位阶跃函数
4. x-a1 单位斜坡函数
5. x-a2 指数平方函数
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三、用奇异函数表示载荷
1. 集中力偶矩：单位偶极函数
q(x) = mx-a-2 2. 集中力：单位脉冲函数
FS1
FCy
1 2
qa
M1
FCy1
1 2
qa1
(0 1 a)
FN
2
FCy
1 qa 2
FS2 q2
(0 2 a)
M
1
FCy a
1 2
q
2 2
1 2
qa2
1 2
q
2 2
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例14 图示一端固定的水平放置的四分之一圆弧形细 长曲杆，半径为R，曲杆自由端受垂直方向的力F作 用。写出曲杆的内力方程。
材料力学
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四、奇异函数的特点 Fn(x)=x-an
1. 函数x-a是一种固定写法，尖括号<> 不可拆分。 2. 管后不管前：以x=a为界，a之前为零，a之后才有非零值；
最右端载荷可以不写进表达式中。 3. 尖括号<>外的因子不可以乘进尖括号内。 4. 用奇异函数求内力，方法简单、规范、统一，便于计算
关于画内力的总结： 1. 根据内力与载荷集度间关系，可以通过积分方法，求出
内力方程，并作内力图。
剪力、弯矩与分布力间关系
dFS (x) q(x), dx
dM (x) dx FS (x)
2. 当构件上有集中载荷或力偶作用或载荷集度发生突变时， 积分则要以集中载荷作用点或集度突变处为分段点进行 分段积分。
8
2
22
解：按奇异函数取值规定， 将结果写成常规函数形式
FS
(
x)
3 8
ql
qx
M
(x)
3
qlx
q
x2
82
(0 x l ) 2
FS
(x)
1 8
ql
M
(x)
1
ql(l
x)
8
( l x l) 2
说明：
积分时不必加积分常数，因为A端
的剪力已作为已知值代入，剪力的
左端边界条件己满足。
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q(x) = Fx-a-1 3. 分布力：单位阶跃函数
q(x) = qx-a0 4. 广义载荷：q(x)
集中力偶矩 集中力 均布力
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例15 图示简支梁左半边受均布载荷q的作用。试用奇异函数 表示梁上载荷，并通过积分求剪力方程和弯矩方程。
解：(1) 求支座反力
FAy
3 ql, 8
FBy
1 8
ql
(2) 用奇异函数表示广义载荷
q(x)
FAy
x
1
q
x
0
q
x
l 2
0
3 ql x 1 q x 0 q x l 0
8
2
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例15
q(x) 3 ql x 1 q x 0 q x l 0
8
2
解：(3) 求内力 求剪力：对广义载荷积分
FS (x) q(x)dx
5. 内力符号： (1) 轴力、扭矩和剪力：规定相同。 轴力、扭矩矢量方向与截面外法线方向一致为正，
反之为负；
剪力使微段有逆时针转动的趋势时为正，反之为
负。
(2) 弯矩：水平杆、竖杆、斜杆。 方法1：由局部坐标系来确定。 方法2：画在杆件受压侧，即凹侧，不标正负
6. 内力与载荷的微分关系仍成立。 7. 曲杆：与刚架相同。
3. 为避免分段带来的繁琐，引进数学工具－奇异函数，使 问题可以简便地在整个杆上进行积分。
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麦考雷函数(Macaulay):Fn(x)
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一、奇异函数Fn(x)定义 1. 定义n 0时
Fn
(x)
x
a
n
(x
0 a)n
xa xa
n 0,1, 2,
2. 定义n=0时，x-a0为单位阶跃函数
长1的分离体。
FS1
M1
FCy
FCy1
1 2
qa
(0
1 2
qa1
1
a)
杆AB的内力：从B端开始截取
长2且包括杆BC作为分离体。源自(0 2 a)FN
2
FCy
1 qa 2
FS2 q2
(0 2 a)
M
1
FCy a
1 2
q22
1 qa2 2
1 2
q22
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(3) 画内力图
解：自A点起在角度处截取一段曲
杆AC为分离体。 在截面中心建立坐标系：
r：径向坐标 s：周向坐标 z：垂直向坐标 截面上内力：
F 沿z方向作用 剪力 FS F 对r轴的力矩 弯矩 M F 对s轴的力矩 扭矩 T
FS=F，M=FRsin，T=FR(1-cos)
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2.5 奇异函数
3 ql x 0 q x 1 q x l 1
8
2
求弯矩：对剪力积分
M (x) FS (x)dx
3 ql x 1 q x 2 q x l 2
8
2
2
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(4) 画内力图
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例15
FS (x)
3 ql 8
x
0
q
x
1
q
x
l 2
1
M (x) 3 ql x 1 q x 2 q x l 2