直觉模糊集理论及应用. 上册(雷英杰[等]著)思维导图
模糊集合
第二章：模糊集合与模糊计算模糊理论的产生一方面是为描述客观世界中的模糊现象，另一方面是为了将人类的知识引入到智能系统中去，提高智能系统的智能水平。
“模糊”译自英文“Fuzzy”一词，其含义可以解释为：“朦胧的、模糊的；不精确的；不合逻辑的、不分明的”。
因此，曾有人提议兼顾其音义将Fuzzy译为“乏晰”，但最终没有得到大众的认可。
经过数十年的发展，“模糊”作为一个技术形容词已经得到了广泛使用。
如模糊计算、模糊推理、模糊控制等等。
§2.1 模糊性分析2.1.1 模糊性在客观世界中，有的概念在特定的场合有明确的外延，例如国家、货币、法定年龄、地球是行星等等。
而有的概念的外延往往并不明确，例如发展中国家、著名球星、俊男靓女、冷与热等等。
是不是发展中国家，不同的人有不同的理解。
这种没有明确外延的概念，我们说它具有模糊性(fuzziness)。
当然，模糊性通常是指对概念的定义及理解上的不确定性，如酷、聪明、舒适等等。
关于什么是聪明，我们永远不可能列举出它应满足的全部条件。
至于什么是酷，不同的时代可能有不同的理解。
不容置疑的是在现实生活中，这种模糊现象是普遍存在的。
模糊性来源于事物的变化过程。
处于过渡阶段，事物的基本特征就是性态的不确定性，类属的不清晰性，也就体现出模糊性。
例如“青年人”这个模糊概念。
根据图2.1.1给出的关于人的成长阶段，按照经典集合的描述方法，一般认为年龄在14~25岁之间的人是青年人，其特征函数值取为1，其它年龄段的人都不是青年人。
儿童时期少年时期青年时期中年时期老年时期年龄图2.1.1 经典数学描述下人的成长时期但是，在14~25岁之外就截然不是青年人吗?答案是否定的。
因为人的生命是一个连续的过程，一个人从少年走向青年是一日一日积累的一个渐变的过程。
从差异的一方(如少年)到差异的另一方(如青年)，这中间经历了一个由量变到质变的连续过渡过程，这种过渡性造成了划分上的不确定性。
(第五讲)模糊理论PPT课件
2021/3/12
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模糊集与隶属函数（3）
例2.8 论域U={高山，刘水，秦声}，用模糊集A表 示“学习好”这个概念。
解：先给出三人的平均成绩：
高山：98分，刘水：90分，秦声：86分 上述成绩除以100后，就分别得到了各自对“学
习好”的隶属度：
μA(高山)=0.98,μA(刘水)=0.90 ,μA(秦声)=0.86 则模糊集A为：
则A：B A(u) B (u) / u
uU
1/u
[1 (u 25)2]1 / u
[1 ( 5 )2]1 / u
0u25
25uu
5
uu100
u 50
A B A(u) B (u) / u uU
[1 ( 5 )2]1 / u
[1 (u 25)2]1 / u
50uu
u 50
]1
当50 u 100
9
模糊集的表示方法（3）
• 无论论域U有限还是无限，离散还是连续， 扎德用如下记号作为模糊集A的一般表示 形式:
A A(u)/u uU
• U上的全体模糊集，记为：
F(U)={A|μA:U→[0,1]}
2021/3/12
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模糊集的运算（1）
模糊集上的运算主要有：包含、交、并、补等等。
uu100
5
A 1/u
1[1 ( 5 )2]1 / u
2021/3/120u50
50u100
u 50
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模糊集的运算（4）
其它的模糊集运算：
• 有界和算子 和有界积算子
A B:m in{1,A(u)B(u)} AB:m ax{0,A(u)B(u)1 }
• 概率和算子ˆ 与实数积算子·
模糊数学理论
μ A∩ B = μ A (u ) ∧ μ B (u )
∧
为取极小值运算。
2006-6-9
中科院寒旱所遥感室
16
1.4 集合运算
− 定义2-6 补：模糊集合A的不隶属度函数 μ A ，对所有 的 u ∈ U ，被逐点定义为 μ = 1 − μ A (u )
−
A
例2-3 设论域 U = {u1 , u2 , u3 , u4 , u5 } 中的两个模糊子集为：
A ∩ ( A ∪ B) = A，A ∪ ( A ∩ B) = A
________
A∩ B = B ∪ A， ∪ B = B ∩ A A
___
___ ________
___
___
（9）、双重否认律 A = A
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1.5
模糊集的截集——从模糊中寻找确定，“矬子里选将军”
定义：设A∈F(U), λ∈[0,1] 则： (1)
Aλ = {u | u ∈ U , A(u ) ≥ λ}
称λ为阈值（或置信水平）
•
称Aλ 为A的一个- λ截集，
(2)
Aλ = {u | u ∈ U , A(u ) > λ} 称Aλ 为A的一个- λ强截集
A的支集 A的核 KerA={u|u ∈U,A(u)=1}
1
(λA)(u)= λ ∧A(u)
1 λ 0 λ A(u) U
0
A(u)
U
数积的性质：1 若λ 1 < λ 2 则λ 1 A ⊆ λ 2 A 2 若A < B 则λA ⊆ λB
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1.6
分解定理——模糊集用截集表示：分解定理1
模糊集理论及应用
求U×V
解： U×V＝{ (红桃，A)，（红 桃, 2），……，（梅花, K） }
模糊关系
模糊关系 相像关系：两者间的“相像”幵非非此即彼，而是亦此亦彼，具有程度
上的差异，具有程度上差异的关系就是模糊关系。
λ水平截集
解：
（1）λ水平截集
A1={ u3 } A0.6={ u2,u3,u4 }
A0.5={ u2,u3,u4,u5 }
A0.3={ u1,u2,u3,u4,u5 } （2）核、支集 KerA={ u3 } SuppA={ u1,u2,u3,u4,u5 }
模糊数
模糊数 如果实数域上的模糊集A的隶属函数μ A (u)在R上连续，且具有如下性 质：
直积U×V的一个模糊子集R成为从U到V的一个模糊关系，记为 U R的论域为U×V。 特别地，当U=V时，R称为U上的二元模糊关系；若R的论域为n个集合
R
V
的直积U1×U2×…×Un，则称R为n元模糊关系。
模糊关系
模糊关系的表示 R= ∫ μR(u, v) / (u, v)
U×V
例 X={ x1，x2，x3 }表示父辈的3个人x1，x2，x3 的集合，而Y={ y1， y2，y3，y4 }为他们子辈的集合，“相像关系”R∈ δ （ U×V ）是 一模糊关系，则
相等：A = B aij = bij； 包含：A B a ≤b ；
ij ij
幵：A∪B = (aij∨bij)m×n；
交：A∩B = (aij∧bij)m×n；
余：Ac = (1- aij)m×n。
0.1 0.3 0.2 例 设A , B 0.2 0.1 0.3 0.2 0.3 0.1 A B , A B 0.3 0.2 0.2 0.1 ，则 0.2 0.1 c 0.9 0.7 , A 0.1 0.8 0.9
2.1 模糊集合及模糊关系
精确集合的隶属函数：
1 A 0 如果 X A 如果 X A
模糊集合： 称为论域或域
A {( x, A ( x)) | x X } A ( x) 称为模糊集合 A的隶属函数（简写为 MF )
如果 X 是对象x的集合，则 X 的模糊集合 A ：
所不同的是模糊在东方天生就受到欢迎。大部分东方人一 接触模糊理论，就感到很自然，好象本来就如此，应该这样处 理。日本采用的则是实用主义的态度，他们只开发那些与直接 应用有关的概念，而对那些 广泛理论的概念至少先放在一边。 1987年日本模糊地铁电力机车自动运输系统投入运行。90年代 模糊家电风靡日本，给日本企业家带来巨大效益。 中国所取得的这个领域的成就是以模糊数学理论为主。我 国模糊理论方面的研究处于世界先进水平，先后出版了几十本 有关模糊理论方面的书籍，每年发表的论文也非常多。相比之 下工程技术应用则相对较弱。目前国内，模糊逻辑控制的应用 研究工作正在蓬勃开展 ，并引起越来越多的人的兴趣。
例题： 设论域X={x1,x2,x3,x4} 以及模糊集合
求：A∪B ， A∩B ， A ， B
精确集合
X 6
1
X 6
A 0
A 1
13
X 6
模糊集合
A ( x) 1
A ( x) [0, 1]
1
6
13
隶属函数的性质： a) 定义为有序对； b) 隶属函数在0和1之间； c) 其值的确定具有主观性和个人的偏好。
隶属函数是一条曲线，定义了怎样将输入 空间（论域）上的每一点映射到一个从0 到1 之间的隶属度。
而用模糊集合来定义，就要用对某一个模糊元素具有0到 1之间连续变化隶属度的特征函数来描述，在模糊逻辑中与 人的感觉一致，小的温度变化只会引起系统性能的逐渐变化， 14.9°C与15°C属于同一个集合的程度是很接近的。在这种 情况下，32°C被认为属于“舒适”的程度是0.3，还同时属 于“热”的程度是0.7。
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投稿邮箱：***************你读书时候是不是有一类学生？他们学习不熬夜，考前不突击，但是门门课成绩都很好，爸妈说这叫“天资过人”。
去年同学会，我重逢那位“天资过人”的老同学，聊起对他的羡慕时他谦虚说：“大家的智商都差不多，可能我学习方法比较好。
”然后他就把当年的笔记给我看，大概是这样的——手绘思维导图示意图（图片来源于网络）后来我知道，这就是“思维导图”（Thinking Map），一种图形思维工具。
在美国新加坡思维导图已经成为小学生的必修课，近几年国内热度也上来了。
思维导图的理论是“可视化思维”（Visible Thinking）。
1967年，哈佛大学教育学院成立“零点计划”，对思维方式进行研究，其中一个明星项目就是“可视化思维”——被可视化的思维更有利于理解和记忆，现在已经是一种比较公认的高效学习方法了。
回过头再想，当年我们学习遇到困难无非就是：没兴趣、记不住、转不了弯。
使用“思维导图”的过程比传统死记硬背要主动且有趣得多，理清思路后又便于记忆，掌握原理后也减少难以融会贯通的问题。
“蓝橡树未来学校”针对1-3年级学生，订制了一个双12“思维导图探究课程礼包”，礼包包含有2节“思维导图课” 4节“社区探究主题课”，另外赠送2节“升学指导家长课”。
学生课程均为全英文外教授课！在2节思维导图课程中，学生将学到8种思维导图，这8张思维导图都是美国小学生最常使用的。
今天橡树君就根据课程内容总结这8种思维导图，如何使用？什么情况下用？一目了然。
（下文可能包含课程关键细节的透露）一、整理思路的利器：圆圈图（Circle Map）•常用指数：五颗星•使用场景：定义一件事情、展开一个主题等Circle Map是用于把一件主题，知识点，事物展开联想，或者描述细节。
它由一大一小两个圆圈构成，小圆圈里放的是你想要展开的主题，大圆圈里放的是和这个主题相关的细节和特征。
第四章计算智能(2)-模糊推理1
经典二值（布尔）逻辑
在经典二值（布尔）逻辑体系中，所有的分类 都被假定为有明确的边界；（突变） 任一被讨论的对象，要么属于这一类，要么不 属于这一类； 一个命题不是真即是假，不存在亦真亦假或非 真非伪的情况。（确定）
1
天气冷热
雨的大小
风的强弱
人的胖瘦
年龄大小
个子高低
2
模糊数学
•模糊概念 模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间 无明显分界线 年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、 高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨。 模糊数学就是用数学方法研究模糊现象。
3
模糊数学的产生与基本思想
•产生 1965年，L.A. Zadeh（扎德） 发表了文章《模糊集 》
5
IEEE 系列杂志 主要杂志25种，涉及模糊内容20,000余种 • 国际会议 IFSA (Int. Fuzzy Systems Association) EUFIT、NAFIP、Fuzzy-IEEE、IPMU • 涉及学科 模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析， 模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支 分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；
并以此数作为 R1°R2 第i行第j列的元素。
R2=
0.2 0.4 0.6
0.8 0.6 0.4
求 R1°R2
42
模糊推理
模糊命题 模糊概念 1 张三是一个年轻人。 2 李四的身高为1.75m左右。模糊数据 3 他考上大学的可能性在60％左右。 对相应事件发生 的可能性或确信 4 明天八成是个好天气。 程度作出判断。 5 今年冬天不会太冷的可能性很大。
33
模糊二元关 系R是以 U×V为论域 的一个模糊 子集，序偶 (u,v)的隶属 度为uR(u,v)
直觉模糊集的可能与必要包含度
不等 同 于逻 辑否 定 ， 于是 Ａｔｎ ｓｏ ａ ａｓ ｖ于 １ ８ ９０ 年提 出了直觉模 糊 集 ， 于 论 域 Ｕ 上 的任 意 对 ｚ， 出了隶属 函数 （ 和非隶 属 函数 ） 给 ） （ ， 且 满足 （ ） ＋ （ ） １ ７ ） １ ｚ ≤ ， （ 一 一 （ 一 ｒ ） （ ） 示 了犹豫 度 ． ｚ表 作为 模糊集 的推广 ， 觉 直 模糊集 在处理 不完备 与不 确 定信 息方 面更 符
定 义 ２ ２ 设 Ａ， ∈ Ｉ Ｘ） 且 Ａ 一 ． Ｂ Ｆ（ ， ｛ ，Ａ ｚ ，Ａ ） ： ＜ Ｕ （ ） （ ＞Ｘ∈Ｘ） Ｂ一 ｛ ｚ Ｕ （ ） ， （ ，Ｂｚ ，
第３ Ｏ卷第 ４期
２ １ 年 ４月 ０１
数 学教 学 研 究
５ ９
即 １ － ａ 一 （ 口 １ ２ （ ） ３ 一 ） ａ一 ０ ，
为混 合单 调包 含度．
２ 直 觉模 糊 集的可能 与 必要算 子
定 义 ２ ４ 设 Ａ， ． Ｂ∈Ｉ Ｘ） 则 直 觉 模 Ｆ（ ， 糊集 Ａ 包含 Ｂ 的必要 度定义 为 ： （ Ｂ） ＮＪＡ， ＝
Ｄ（ ／ Ａ一 Ｂ ） ．
以前 给出 的直 觉模 糊集 的包 含定义 都 是
分 明的 ， 么包含 要么 不包 含 ， 要 因而 违背 了直 觉模 糊 集 的思 想 和模 糊 逻 辑 的性 质． 通 常 在 的模 糊 集 中， 们 构 建 映 射 Ｄ（ ／ ， 得 我 Ｂ Ａ） 使 Ｄ（ Ａ） Ｂ／ 表示 了模 糊 集 Ａ 包 含 于 Ｂ 的程 度 ．
糊集 上 的包 含 度 扩 展 到直 觉 模 糊 集上 ， 出 给 示 犹豫度 ． 我们 将 Ｘ 上 所有 直 觉模 糊 集 的全
模糊数学-模糊数学基本知识
隶属函数参数化
1. 三角形隶属函数
0
trig ( x;
a,
b,
c)
x a ba
cx
cb
0
xa a xb b xc
cx
trig(x; a,b, c) max(min( x a , c x), 0) ba cb
参数a,b,c确定了三角形MF三个顶点的x坐标。
2. 梯形隶属函数
0
xa
trap(x, a, b, c, d )
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
❖ (2)模糊子集运算的基本性质
模糊集合间的并、交、补（余）运算 具有如下的性质.
1)幂等律 A~ A~ A~, A~ A~ A~
2)交换律 A~ B~ B~ A~; A~ B~ B~ A~
3)结合律 ( A~ B~) C~ A~ (B~ C~),
论域U上的模糊集A由隶属函数uA来表征， uA的大小反映了x对于模糊子集的从属程度。 模糊子集完全由隶属函数来描述。
❖ 模糊子集的表示方法 （1）向量法
（2）查德表示法 有限集 无限集
模糊集举例 例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则 AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
经典集合论的例子： 设U={ 红桃，方块，黑桃，梅花 }
V={ A，1，2，3，4，5，6，7，8，9， 10，J, Q, K } 求U×V
解： U×V＝{ (红桃，A)，（红 桃, 2），……，（
梅花, K） }
35
模糊关系论例子： 设有一组学生U:
U={ 张三，李四，王五 } 他们对球类运动V:
( A~ B~) C~ A~ (B~ C~).
第一章模糊集的基本概念
6.集合的运算规律
幂等律： A∪A = A， A∩A = A； 交换律： A∪B = B∪A， A∩B = B∩A； 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C )， ( A∩B )∩C = A∩( B∩C )； 吸收律： A∪( A∩B ) = A，A∩( A∪B ) = A； 分配律：( A∪B )∩C = ( A∩C )∪( B∩C )； ( A∩B )∪C = ( A∪C )∩( B∪C )； 0-1律：A∪U = U ， A∩U = A ； A∪ = A ， A∩ = ； 还原律： (Ac)c = A ； 对偶律： (A∪B)c = Ac∩Bc，(A∩B)c = Ac∪Bc； 排中律： A∪Ac = U， A∩Ac = .
§1.2 模糊理论的数学基础
一 经典集合
1.经典集合具有两条基本属性：
元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明, 即一个元素x要么属于集合A(记作xA),要么不属 于集合(记作xA)，二者必居其一. 2.集合的表示法 (1)枚举法，A={x1 , x2 ,…, xn}； (2)描述法，A={x | P(x)}.
记R=(rij)n×n, R2 =(rij(2))n×n.
先设R具有传递性.
若rij(2) =0，则有rij(2) ≤ rij .
若rij(2) =1，则由于
rij(2) = ∨{(rik∧rkj) | 1≤k≤n} = 1，
故存在1≤s≤n，使得
(ris∧rsj) = 1，
即ris= 1, rsj= 1.
由于R具有传递性，ris= 1, rsj= 1， 则rij =1. 综上所述 R2≤R. 再设R2≤R，则对任意的 i , j , k，若有 rij =1， rjk = 1，
2.关系的三大特性 定义9 设R为 X 上的关系 (1) 自反性：若 X 上的任何元素都与自己有关 系R，即R (x , x) =1，则称关系 R 具有自反性； (2) 对称性：对于X 上的任意两个元素 x , y， 若 x 与y 有关系R 时，则 y 与 x 也有关系R，即 若R (x , y ) =1，则R ( y , x ) = 1，那么称关系R具 有对称性； (3) 传递性：对于X上的任意三个元素x, y, z， 若x 与y 有关系R，y 与z 也有关系R 时，则x与z 也 有关系R，即若R (x , y ) = 1，R ( y , z ) =1，则R ( x , z ) = 1，那么称关系R具有传递性.
第三章 模糊认知图
第三章模糊认知图3.1认知图因果知识通常涉及许多相互作用的事物及其关系，由于缺乏有力的分析工具，因此，对这类知识的处理显得比较困难。
在这种情况下，一些其它技术包括定性推理技术就被应用到因果知识的处理中。
认知图就是这种定性推理技术的一种。
认知图是一个新兴的研究领域，它是一种计算智能，提供了一个有效的软计算工具来支持基于先验知识的自适应行为。
对它的研究涉及到模糊数学、模糊推理、不确定性理论及神经网络等诸多学科。
认知图的显著特点就是可利用系统的先验知识、并对复杂系统的子系统具有简单的可加性，能表示出用树结构、Bayes网络及Markov模型等很难表示的具有反馈的动态因果系统。
在认知图中很容易鸟瞰系统中各事物间如何相互作用，每个事物与那些事物具有因果关系。
认知图通常由概念(concept)与概念间的关系(relations of concepts)组成。
概念(用节点表示)可以表示系统的动作、原因、结果、目的、感情、倾向及趋势等，它反映系统的属性、性能与品质。
概念间的关系表示概念间的因果关系(用带箭头的弧表示，箭头的方向表示因果联系的方向)。
3.2认知图的发展简史认知图首先由Tloman于1948年在 Cognitive Maps in Rats and Men一文中提出的，其最初目的是想为心理学建立一个模型，此后认知图便被应用到其他方向和领域中。
人们把认知图描述为有向图，认为认知图是由一些弧连接起来节点的集合，但不同的学者对弧与节点赋予不同的含义。
1955年Kelly依据个人构造理论(Personal construct theory)提出了认知图，概念间的关系是三值的，即利用“+”、“-"表示概念间不同方向因果关系的影响效果，“O”表示概念间不具有因果关系。
1976年Axelord在 structure of Decision –The Cognitive Maps of Political Elites 中提出的认知图比Kelly的更接近于动态系统。
模糊模式识别法
X
Y
~
(
x)
x
0,
μ
o ~
x
1
x
50 5
2
1
,
0 x 50 50 x 200
1,
Y ~
x
1
x
25 5
2
1
,
0 x 25 25 x 200
③ 年轻与年老的隶属函数曲线
年轻 1
年老
0.5
0
25
50 55
年龄 100
7.2.2 隶属函数的确定
隶属函数是模糊集合赖以存在的基石。正确地确定隶属函 数是利用模糊集合恰当地定量表示模糊概念的基础。
头发为n根者为秃头， 头发为n+1根者为秃头， 头发为n+2根者为秃头，
…… 头发为n+k根者为秃头。
其中，k是一个有限整数，显然k完全可以取得很大。
结论：头发很多者为秃头。
类似地：没有头发者不是秃头
2．模糊数学的诞生 模糊数学：有关描述和处理模糊性问题的理论和方法的学科。 模糊数学的基本概念：模糊性。
根据具体研究的需要而定。
2）子集
对于任意两个集合A、B，若A的每一个元素都是B的元素，
则称A是B的“子集”，记为
A B或；B若B中A存在不属于
A的元素，则称A是B的“真子集”，记为
A 。B或B A
3）幂集
对于一个集合A，由其所有子集作为元素构成的集合称
为A的“幂集”。
例：论域X={ 1, 2 }，其幂集为
~A
的核为
x0
；
x0
的两边分别有点
x1
和
x2
，使得
A ~
(
x1
基于直觉模糊Petri网的知识表示和推理
基于直觉模糊Petri网的知识表示和推理孟飞翔;雷英杰;余晓东;雷阳【摘要】针对模糊Petri网存在隶属度单一的问题,将直觉模糊集理论与Petri网理论相结合,构建直觉模糊Petri网(Intuitionistic Fuzzy Petri Nets,IFPN)模型,用于知识的表示和推理.首先构建了IFPN模型,并将其应用于知识的表示,通过在模型中引入抑止转移弧,解决了否命题的表示问题.其次提出了基于矩阵运算的IFPN推理算法,通过修改变迁触发后token值的传递规则,解决了推理过程中的事实的保留问题;通过修改变迁的触发规则,抑制了变迁的重复触发.最后对推理算法进行了分析,并举例验证了提出的IFPN模型及其推理算法的可行性,结果表明IFPN是对FPN的有效扩充和发展,其对推理结果的描述更加细腻、全面.【期刊名称】《电子学报》【年(卷),期】2016(044)001【总页数】10页(P77-86)【关键词】直觉模糊Petri网;直觉模糊产生式规则;知识表示;直觉模糊推理【作者】孟飞翔;雷英杰;余晓东;雷阳【作者单位】空军工程大学防空反导学院,陕西西安710051;空军工程大学防空反导学院,陕西西安710051;空军工程大学防空反导学院,陕西西安710051;武警工程大学,陕西西安710086【正文语种】中文【中图分类】TP18FPN是基于模糊产生式规则(Fuzzy Production Rules，FPRs)的知识系统的良好建模工具［1］，自C G Looney［2］1988年提出FPN，国内外学者对基于FPN 的知识表示及其推理方法进行了深入的研究.Shyi-Ming Chen提出了基于FPN的知识表示方法和推理算法［3］，并将权值引入FPN中，提出了加权模糊Petri网(Weighted Fuzzy Petri Nets，WFPN)［4］.Gao Meimei等［5］研究了否命题在模糊推理Petri网(Fuzzy Reasoning Petri Nets，FRPNs)中的表示方法，并提出了基于矩阵运算的FRPNs推理算法.汪洋等［6］指出了文献［5］中的否命题表示方法存在不一致性的问题，并提出了一种含有否命题逻辑的一致性模糊Petri网(Consistent Fuzzy Petri Nets，CFPN)，用同一库所同时表示原命题和否命题.贾立新等［7］提出了基于矩阵运算的FPN形式化推理算法，充分利用了Petri网的并行运算能力，但计算出的结果命题可信度可能大于1.随着知识的表示日益复杂，传统的FPN并不能很好的满足知识表示的需求.许多学者对其进行了扩展，提出了多种扩展FPN模型.Xiaoou Li等［8，9］提出了一种具有学习能力的自适应模糊Petri网(Adaptive Fuzzy Petri Nets，AFPN).Hu-Chen Liu等［10，11］提出了一种动态自适应模糊Petri网(Dynamic Adaptive Fuzzy Petri Nets，DAFPN)，该模型具有动态适应能力，因而能更准确地表示复杂的基于知识的专家系统.Victor R L Shen［12］提出了一种高级模糊Petri网(High-Level Fuzzy Petri Nets，HLFPN)，能同时表示IF-THEN和IF-THEN-ELSE规则，从而具有了解决否定问题的能力.Witold Pedrycz［13］在FPN中加入时间因素，提出了模糊时间Petri网(fuzzy timed Petri Nets，ftPNs).近年来，FPN被广泛应用于知识的表示和推理［10，11］、建模仿真［14］以及故障诊断［15］等领域，但对FPN的研究始终局限于将Zadeh模糊集(Zadeh Fuzzy Sets，ZFS)理论和Petri网理论相结合.ZFS采用单一标度(即隶属度或隶属函数)定义模糊集，只能描述“亦此亦彼”的“模糊概念”，无法表示中立状态，FPN在继承ZFS优点的同时，也继承了其隶属度单一缺点.而直觉模糊集(Intuitionistic Fuzzy Sets，IFS)［16］由于增加了一个新的属性参数——非隶属度函数，因此可以描述“中立”的概念，它更加细腻地刻画了客观世界的模糊本质，是对ZFS最有影响的一种扩充和发展.为此，本文将IFS理论与Petri理论网相结合构建IFPN模型用于知识的表示和推理.通过在IFPN模型中引入抑制转移弧，修改变迁触发后库所token值的传递规则以及变迁的触发条件，解决了否命题的表示，事实的保留和变迁的重复触发等问题.Atanassov对直觉模糊集给出如下定义.定义1(直觉模糊集［16］)设X是一个给定论域，则X上的一个直觉模糊集A为其中μA(x): X→［0，1］和γA(x): X→［0，1］分别表示A的隶属函数和非隶属函数，且对于A上的所有x∈X，满足0≤μA(x)+γA(x)≤1.由隶属度μA(x)和非隶属度γA(x)所组成的有序区间对＜μA(x)，γA(x)＞为直觉模糊数.当X为连续空间时，当X = { x1，x2，…，xn}为离散空间时，对于X中的直觉模糊子集A，称πA(x)= 1 -μA(x)-γA(x)为A中x的直觉指数(Intuitionistic Index)，它是x 对A的犹豫程度(Hesitancy degree)的一种测度.显然，对于每一个x∈X，0≤πA(x)≤1，且对于X中的每一个一般模糊子集A，πA(x)=1 -μA(x)-［1 -μA(x)］=0，∀x∈X.定义2(直觉模糊集基本运算［16］)设A和B是论域X上的直觉模糊子集，则有(1)A∩B ={〈x，μA(x)∧μB(x)，γA(x)∨γB(x)〉|∀x∈X}(2)A∪B ={〈x，μA(x)∨μB(x)，γA(x)∧γB(x)〉|∀x∈X}(3)(4)A⊆B⇔∀x∈X，［μA(x)≤μB(x)∧γA(x)≥γB(x)］(5)A⊂B⇔∀x∈X，［μA(x)＜μB(x)∧γA(x)＞γB(x)］(6)A = B⇔∀x∈X，［μA(x)=μB(x)∧γA(x)=γB(x)］3.1 直觉模糊产生式规则FPRs是产生式规则与ZFS理论相结合的产物，它既具有产生式规则知识表示直观的优点又具有模糊推理的功能，但存在隶属度单一的缺点.为此，本节将产生式规则与IFS理论相结合，构建直觉模糊产生式规则(Intuitionistic Fuzzy Production Rules，IFPR)用于知识的表示.假设R = { R1，R2，…，Rn}是一个IFPR集，规则Ri最基本的形式如下:其中dj和dk是直觉模糊命题，分别表示规则Ri的前提条件和结论，它们的真值为θj和θk; CFi和λi分别表示规则Ri的可信度和阈值;θj、θk、CFi和λi为直觉模糊数.(1)类型1:简单的IFPR假设θj=(μj，γj)，λi=(αi，βi)，CFi=(Cμi，Cγi)，(ⅰ)当且仅当同时满足μj≥αi，γj≤βi时，Ri才被应用，此时dk的真值为θk=(μk，γk)，其中:(ⅱ)其他条件下，dk的真值不变.(2)类型2:具有合取式前提条件的IFPRRi: IF dj1AND dj2AND…AND djnTHEN dk(CFi，λi)假设θjm=(μjm，γjm)(m = 1，2，…，n)，λi=(αi，βi)，CFi=(Cμi，Cγi)，(ⅰ)当且仅当同时满足min(μj1，μj2，…，μjn)≥αi，max(γj1，γj2，…，γjn)≤βi时，Ri才被应用，此时dk的真值为θk=(μk，γk)，其中:(ⅱ)其他条件下，dk的真值不变.(3)类型3:具有析取式前提条件的IFPR可以等价为如下n条规则假设djm(m =1，2，…，n)的真值为θjm=(μjm，γjm)，λi=(αi，βi)，CFi=(Cμi，Cγi)，规则Ri中dk的真值为θk=(μk，γk)，等价规则Rim(m = 1，2，…，n)中dk的真值为θkm=(μkm，γkm)，(ⅰ)如果等价规则Ri1，Ri2，…，Rin中存在一条或者多条规则被应用，则规则Ri 被应用，Ri中的dk的最终真值为θk=(μk，γk)，其中:在等价规则Rim(m =1，2，…，n)中，①当且仅当同时满足μjm≥αi，γjm≤βi时，Rim才被应用，此时Rim中的dk的真值为θkm=(μkm，γkm)，其中②其他条件下，Rim中的dk的真值θkm=(μkm，γkm)不变.(ⅱ)如果等价规则Ri1，Ri2，…，Rin都未被应用，则规则Ri未被应用，此时Ri中的dk的真值θk=(μk，γk)不变.(4)类型4:具有合取式结论的IFPRRi: IF djTHEN dk1AND dk2AND…AND dkn(CFi，λi)假设dj的真值为θj=(μj，γj)，λi=(αi，βi)，CFi=(Cμi，(ⅱ)其他条件下，dkm的真值不变.(5)类型5:具有析取式结论的IFPR由于该类型的规则推理结果不确定，不允许出现在规则库中，本文不做讨论.3.2 否命题的表示在一个规则集中，命题的原命题和否命题可能同时存在.如规则集S1= { R1，R2}，其中为合理表示原命题与否命题，文献［9］通过引入负权值表示否定的含义;文献［17］用两个不同的库所分别表示原命题和否命题，但这会增加模型的复杂度;文献［5］用抑止弧和新库所分别表示前提条件和结论中的否命题，但存在模型表示不唯一和推理结果矛盾等问题.文献［6］将原命题和否命题分别理解为该命题在规则中起促进和阻碍作用(例如R1中┐d2在推理中阻碍了d4的发生)，通过在模型的转移弧上加入标志“-”来区分促进和阻碍作用(没有标志的转移弧为正转移弧，表示促进作用;带有“-”的为抑制转移弧，表示阻碍作用)，成功地用同一库所同时表示原命题和否命题，避免了改变原模型的结构.本文将这种表示方法引入IFPN模型中，用于表示模型中的原命题和否命题.规则集S1可用图1表示.Cγi)，(ⅰ)当且仅当同时满足μj≥αi，γj≤βi，Ri才被应用，dkm(m =1，2，…，n)的真值为θkm=(μkm，γkm)，其中:3.3 IFPN的定义定义3(直觉模糊Petri网)IFPN可定义为一个11元组IFPN =(P，T，D，I，IN，O，ON，δ，θ，Th，CF)，其中(1)P = { p1，p2，…，pn}是一个有限库所集合;(2)T = { t1，t2，…，tm}是一个有限变迁集合;(3)D = { d1，d2，…，dn}是一个有限命题集合，| P |= |D|，P∩T∩D =Ø;(4)I: P×T→{ 0，1}是一个表示从库所到变迁(从命题到规则)的n×m维输入正转移矩阵，其矩阵元素I(pi，tj)满足如下条件:当存在由pi到tj的正转移弧时，I(pi，tj)=1;否则I(pi，tj)= 0，其中i = 1，2，…，n，j = 1，2，…，m;(5)IN: P×T→{ 0，1}是一个表示从库所到变迁(从命题到规则)的n×m维输入抑制转移矩阵，其矩阵元素I(pi，tj)满足如下条件:当存在由pi到tj的抑制转移弧时，IN(pi，tj)=1;否则IN(pi，tj)= 0，其中i = 1，2，…，n，j =1，2，…，m; (6)O: P×T→{ 0，1}是一个表示从变迁到库所(从规则到结论)的n×m维输出正转移矩阵，其矩阵元素O(pi，tj)满足如下条件:当存在由tj到pi的正转移弧时，O(pi，tj)=1;否则O(pi，tj)=0，其中i =1，2，…，n，j =1，2，…，m;(7)ON: P×T→{ 0，1}是一个表示从变迁到库所(从规则到结论)的n×m维输入抑制转移矩阵，其矩阵元素I(pi，tj)满足如下条件:当存在由tj到pi的抑制转移弧时，ON(pi，tj)= 1;否则ON(pi，tj)= 0，其中i = 1，2，…，n，j =1，2，…，m;(8)δ: P→D表示库所与命题之间的一一对应关系，其中δ(pi)= di;(9)θ=(θ1，θ2，…，θn)T是一个n维列向量，表示库所的token值(即命题的模糊真值)，其中θi=(μi，γi)是一个直觉模糊数，表示库所pi中的命题di的真值;命题的初始真值记作(10)Th =(λ1，λ2，…，λm)T是一个m维列向量，表示变迁的阈值(即规则启动的条件)，其中λj=(αj，βj)是一个直觉模糊数，表示变迁tj的阈值(即规则Rj启动的条件);(11)CF = diag(CF1，CF2，…，CFm)为一个m×m维的矩阵，表示规则的可信度，其中CFj=(Cμj，Cγj)为一直觉模糊数，表示规则Rj的可信度; Cμj表示规则Rj可信度的支持程度，称作置信度，Cγj表示规则Rj可信度的反对程度，称作非置信度.定理1 FPN是IFPN的特例.证明当库所pi中的命题di(i = 1，2，…，n)的直觉模糊指数πi(x)=0时，即满足条件μi(x)+γi(x)= 1，此时库所中的直觉模糊命题变成了模糊命题，IFPN即简化成了FPN，所以FPN是IFPN的特例.3.4 基于IFPN的知识表示方法IFPR集与IFPN模型的对应关系如下，可用表1表示.按照表1所示的对应关系，可以将IFPR集映射为IFPN.(1)简单的IFPR的IFPN模型其中，库所pj和pk分别表示规则的前提条件命题dj和结论命题dk; pj和pk中的token值θj=(μj，γj)和θk=(μk，γk)分别表示dj和dk的真值;λi=(αi，βi)表示变迁ti的阈值(即规则Ri的阈值); CFi=(Cμi，Cγi)表示变迁ti的可信度(即规则Ri的可信度)，θj、θk、λi和CFi为直觉模糊数.当且仅当同时满足μj≥α，γj≤β，变迁ti才能触发(即规则Ri应用)，pk的token值(即dk的真值)θk=(μk，γk)，其中:(2)具有合取式前提条件的IFPR的IFPN模型假设djm(m =1，2，…，n)和dk的真值分别为θjm=(μjm，γjm)和θk=(μk，γk)，λi=(αi，βi)，CFi=(Cμi，Cγi).当且仅当同时满足min(μj1，μj2，…，μjn)≥αi，max(γj1，γj2，…，γjn)≤βi时，ti才能触发(即Ri应用)，pk的token值(即dk的真值)θk=(μk，γk)，其中:(3)具有析取式前提条件的IFPR的IFPN模型假设djm(m =1，2，…，n)和dk的真值分别为θjm=(μjm，γjm)和θk=(μk，γk)，λi=(αi，βi)，CFi=(Cμi，Cγi).如果pj1，pj2，…，pjn的中有m个库所pj1，pj2，…，pjm(1≤m≤n)的token值同时满足μjm≥αi，γjm≤βi，则变迁tj1，tj2，…，tjm触发(此时Ri应用)，pk 的token值(即dk的真值)θk=(μk，γk)，其中:(4)具有合取式结论的IFPR的IFPN模型假设pj，pk1，pk2，…，pkn的token值分别为θj，θk1，θk2，…，θkn，其中θj=(μj，γj)，当且仅当同时满足μj≥αi，γj≤βi，ti才能触发(即Ri应用)，pki的token值(即dki的真值)θki=(μki，γki)，其中:4.1 IFPN的扩展为更好地利用IFPN进行模糊推理，需要解决以下两个问题:事实的保留和变迁的重复触发.(1)事实的保留事实的保留是指在IFPN推理过程中当变迁t触发后，输出库所的token值更新，而输入库所的token值保持不变.传统的FPN描述的是信息(token值)的流动，当信息从输入库所流到输出库所，便在输入库所中消失了，这相当于在推理过程中推理的前提条件随着结论的出现而消失，显然不符合知识处理的要求.为了保留初始事实，Nazareth［18］提出从变迁到它的所有输入库所都增加一条额外的有向弧，该方法会增加模型的复杂度.C G Looney［2］通过复制token值，将初始token留在输入库所而将token的副本放入到输出库所，从而解决了事实保留的问题.Gao Meimei等［5］通过修改推理算法达到了保留了事实的目的.本文通过修改变迁触发后库所token值的传递规则，解决IFPN推理过程中事实保留的问题.假设在变迁tk触发前，库所中的token值为θk=其中表示库所pi中的token值.变迁tk触发后，库所中的token值为其中，O(tk)和ON(tk)表示变迁tk的输出库所集合.通过修改变迁触发后库所token值的传递规则，既保留了事实又没有改变原IFPN 的结构，从而避免了降低推理效率.(2)抑制变迁的重复触发(避免规则重复使用)在基于IFPR的推理过程中，如果规则的前提条件没有改变，那么该规则最多只能应用一次.相应地在基于IFPN的推理过程中，若变迁的输入库所没有变化，则该变迁最多只能触发一次.而事实得到保留后(即输入库所的token值得到保留)，变迁的触发条件就一直满足，这会导致已经触发过的变迁重复触发，从而导致反复执行同一条规则，增加不必要的计算.为此Nazareth［18］提出为每个变迁增加一个只包含单个token值的库所，在变迁触发后，这个库所的token值消失，从而避免了变迁的重复触发，但这会增加库所的数目，导致模型变的更加复杂.本文通过在基于IFPN的推理算法中增加“判断每个变迁的等效输入是否大于先前的输入”这一步骤，来避免变迁的重复触发.对任意变迁，只要其所有输入库所的等效输入不大于先前的等效输入，该变迁就没必要触发.4.2 基于IFPN的推理算法4.2.1 定义算子为了简洁地表示推理算法，定义如下算子:(1)乘法算子⊗: C = A⊗B，其中(2)加法算子⊕: C = A⊕B，其中(3)比较算子㊀: C = A㊀B，其中(4)比较算子: C = AB，其中(5)直乘算子⊙: C = A⊙B，其中(6)向量否定算子neg已知θ=(θ1，θ2，…，θn)T=((μ1，γ1)，(μ2，γ2)，…，(μn，γn))T，则4.2.2 基于IFPN的推理算法非循环网是指没有回路和环形的网，在大多数实际应用的知识库中几乎不存在循环［5］.因此本文假设构建的基于IFPR的IFPN模型是一个非循环网，即模型中不存在回路.定义4 (直接可达集，可达集［1，3］)在IFPN模型中，假设ti是一个变迁，pi、pj、pk是库所，如果pi∈I(ti)∩IN(ti)并且pj∈O(ti)∩ON(ti)，则称从pi直接可达pj.如果从pi直接可达pj，且从pj直接可达pk，则称从pi可达pk.所有从pi直接可达的库所构成的集合称为pi的直接可达集(immediate reachability set)，记为IRS(pi).所有从pi可达的库所构成的集合称为pi的可达集(reachability set)，记为RS(pi).假设IFPR集S中有n个命题，m条规则，对应的IFPN模型有n个库所，m个变迁，则基于IFPN的推理算法如下:4.3 算法分析定义5(源库所，终结库所［8］)如果一个库所没有输入库所，就称该库所为源库所(Source Places);如果一个库所没有输出库所，就称该库所为终结库所(Sink Places).定义6(路径［8］)对一个给定的库所p，如果p可以通过变迁t1，t2，…，tn顺序地从源库所中获取token值，则称变迁序列t1，t2，…，tn为库所p的一个路径(route).如果变迁序列t1，t2，…，tn可以依次被触发，则称该路径为活动路径.定理2是推理结束的充分条件，但不是必要条件.证明(1)当，由式(14～16)可知=((0，1)，(0，1)，…，(0，1))T，Yk=((0，1)，(0，1)，…，(0，1))T，θk=θk -1⊕Yk=θk -1，此时推理必然结束，即=((0，1)，(0，1)，…，(0，1))T是推理结束的充分条件.(2)当≠((0，1)，(0，1)，…，(0，1))T，如果变迁的等效输入不大于阈值，由式(14)可知((0，1)，(0，1)，…，(0，1))T仍成立，此时Yk=((0， 1)，(0，1)，…，(0，1))T，θk=θk -1⊕Yk=θk -1.所以((0，1)，(0，1)，…，(0，1))T不是推理结束的必要条件.定理3 θk=θk -1是推理结束的充要条件.该定理显然成立，证明略过.定理4该推理算法可以在有限k次循环后结束，其中1≤k≤h +1，h表示IFPN模型中的最长路径的变迁数目.证明(1)先证该推理算法可以在有限k次循环后结束假设在第k次推理结束时，θk=θk -1，显然根据定理3，推理已经结束.(2)再证1≤k≤h +1(ⅰ)先证k = h +1假设h表示IFPN模型中的最长路径的变迁数目，我们只需证明当k = h + 1时，推理结束后1)，(0，1)，…，(0，1))T或者θh +1=θh.已知假设pi为该最长路径的终结库所，对应的变迁为ti，则在推理进行到第h步和第h + 1步，库所pj(j = 1， 2，3，…，n，j≠i)中的token值完全相同，即θh和θh +1中除了终结库所的token值不同，其他的库所的token值完全相同，而各个变迁的等效输入只与它的输入库所的token值相关，与它的输出库所token值无关.所以综上所知，k = h和k = h +1时，各个变迁的等效输入ρh和ρh +1相同.由式(13)可知((0，1)，(0，1)，…，(0，1))T，根据定理2，此时推理结束. (ⅱ)再证k＜h +1成立当k = j，j＜h +1时，如果各个未触发变迁的等效输入小于对应变迁的阈值，则有(0，1)，…，(0，1))T，此时变迁不再触发.根据式(14～16)可知θk不再变化，所以k＜h + 1时，推理也可能结束.综上所述，定理得证.定理5该推理算法的复杂度为O(nm2).证明假设IFPN模型中不存在回路，那么在一般情况下，推理算法的复杂度为O(knm)，其中k为推理算法循环的次数，考虑最坏的情况，即推理循环了h + 1 次(h表示IFPN模型中的最长路径的变迁数目)，那么总的算法复杂度为O((h+1)nm)= O((m +1)nm)，即为O(nm2).所以，假设IFPR集S中有n个命题，m条规则，对应的IFPN模型有n个库所，m个变迁，则基于IFPN的推理算法的复杂度为O(nm2).规则集S2如下:其中R5可以等效为如下两条规则:R6在图6所示的IFPN模型中，可以忽略.规则集S2的IFPN模型如图6所示.已知n =10，m =6，推理过程如下:(1)推理开始，令k =1ρ1==((0.5，0.3)，(0.5，0.3)，(0.8，0.1)，(0，1)，(0，1)，(0，1))T，((0.5，0.3)，(0.5，0.3)，(0.8，0.1)，(0，1)，(0，1)，，推理继续.=((0.5，0.3)，(0.5，0.3)，(0.8，0.1)，(0，1)，(0，1)，(0，1))T，Y1=((0，1)，(0，1)，(0，1)，(0，1)，(0，1)，(0.35，0.44)，(0.4，0.37)，(0.48，0.28)，(0，1)，(0，1))T，θ1=((0.6，0.3)，(0.7，0.1)，(0.5，0.3)，(0.7，0.1)，(0.8，0.1)，(0.35，0.44)，(0.4，0.37)，(0.48，0.28)，(0，1)，(0，1))T，θ1≠θ0，推理继续.(2)此时k =2ρ2=((0.5，0.3)，(0.5，0.3)，(0.8，0.1)，(0.35， 0.44)，(0，1)，(0.48，0.28))T，(0，1)，(0，1)，(0.35，0.44)，(0，1)，(0.48，0.28))T，≠((0，1)，(0，1)，…，(0，1))T推理继续.=((0，1)，(0，1)，(0，1)，(0.35，0.44)，(0，1)，(0.48，0.28))T，Y2=((0，1)，(0，1)，(0，1)，(0，1)，(0，1)，(0，1)，(0，1)，(0，1)，(0.245，0.496)，(0.24，0.496))T，θ2=((0.6，0.3)，(0.7，0.1)，(0.5，0.3)，(0.7，0.1)，(0.8，0.1)，(0.35，0.44)，(0.4，0.37)，(0.48，0.28)，(0.245，0.496)，(0.24，0.496))T，θ2≠θ1，推理继续.(3)此时k =3ρ3=((0.5，0.3)，(0.5，0.3)，(0.8，0.1)，(0.35， 0.44)，(0.496，0.245)，(0.48，0.28))T，((0，1)，(0，1)，(0，1)，(0，1)，(0.496，0.245)，(0，1))T，ρ'3≠((0，1)，(0，1)，…，(0，1))T推理继续.=((0，1)，(0，1)，(0，1)，(0，1)，(0.496，0.245)，(0，1))T，Y3=((0，1)，(0，1)，(0，1)，(0，1)，(0，1)，(0，1)，(0，1)，(0，1)，(0，1)，(0.248，0.4715))T，θ3=((0.6，0.3)，(0.7，0.1)，(0.5，0.3)，(0.7，0.1)，(0.8，0.1)，(0.35，0.44)，(0.4，0.37)，(0.48，0.28)，(0.245，0.496)，(0.248，0.4715))T，θ3≠θ2，推理继续.(4)此时k =4ρ4=((0.5，0.3)，(0.5，0.3)，(0.8，0.1)，(0.35， 0.44)，(0.496，0.245)，(0.48，0.28))T，((0，1)，(0，1)，(0，1)，(0，1)，(0，1)，(0，1))T，推理结束，命题的最终真值为通过实例验证可以发现本文提出的IFPN模型及推理算法与现有方法的不同之处主要有以下几点:(1)本文采用一个库所同时表示原命题和否命题，该方法并未增加库所的数目，避免了增加计算的复杂度.(2)算法的Step3通过增加“判断每个变迁的等效输入是否大于先前的输入”这一步，抑制了变迁的重复触发，避免了重复推理.(3)算法的Step6保留了事实，避免了推理过程中前提条件的丢失，更符合实际推理过程.(4)与基于FPN的推理方法相比，本文提出的基于IFPN的推理方法的克服了FPN 推理结果隶属度单一的缺陷，推理结果中增加了非隶属度，对推理结果的表示更加细腻、全面，更符合客观实际.如命题d10的真值为(0.248，0.4715)，表示d10的隶属度为0.248，非隶属度为0.4715.本文将IFS理论与Petri网理论相结合，构建了IFPN模型用于知识的表示和推理，解决了IFPN模型中否命题的表示，基于IFPN推理过程中事实的保留和变迁的重复触发等问题.实例验证表明本文构建的IFPN克服了现有FPN隶属度单一的缺陷，由于增加了非隶属度，使得IFPN对知识的表示更加准确;提出的基于矩阵运算的推理算法，在推理过程中充分利用了Petri网的图形描述和并行运算能力，使得推理能够自动运行并且提高了推理的效率.［1］鲍培明.基于BP网络的模糊Petri网的学习能力［J］.计算机学报，2004，27(5): 695 -702.Bao Peiming.Learning capability in fuzzy Petri nets based on BP net［J］.Chinese Journal of Computers，2004，27(5): 695 -702.(in Chinese)［2］C G Looney.Fuzzy Petri nets for rule-based decision making［J］.IEEE Transactions on Systems，Man，and Cybernetics，1998，18(1): 178 -183. ［3］Shyi-Ming Chen，Jyh-Sheng Ke，Jin-Fu Chang.Knowledge representation using fuzzy Petrinets［J］.IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering，1990，2(3): 311 -319.［4］Shyi-Ming Chen.Weighted fuzzy reasoning using weighted fuzzy Petri nets［J］.IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering，2002，14(2): 386 -397.［5］Meimei Gao，MengChu Zhou，Xiaoguang Huang，ZhimingWu.Fuzzy reasoning Petri nets［J］.IEEE Transactions on Systems，Man，and Cybernetics-Part A: Systems and Humans，2003，33(3): 314 -324. ［6］汪洋，林闯，曲扬，等.含有否定命题逻辑推理的一致性模糊Petri网模型［J］.电子学报，2006，34(11): 1955 -1960.Wang Yang，Lin Chuang，Qu Yang，et al.Consistentfuzzy Petri nets model for logic programs withnegation［J］.Acta Electronica Sinica，2006，34(11): 1955 - 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直觉模糊关系的α-分解
２ 直 觉模 糊 关 系 可 （分解 的充 要条 件 ） ［ 一
这一节主要给出直觉模糊关系 Ｒ可 ． 分解的概念及其等价刻画。 定义 １ 定义二元运算 ａ Ｌ× －Ｌ如下 ： ｓ， ） （ ， ） ， ： Ｌ－ ＋ Ｖ（１ １ ，ｓ ｔ ∈ ｔ ２２
＝
‘
，
定义 ２ 设 Ｒ Ｆ （ ｙ ， １Ｓ Ｘ× ）如果存在 Ｅ Ｆ （ ）Ｂ∈ Ｆ （， ＩＳ Ｘ ， ＩＳ 】 使得 Ｒ＝ ａ ， Ｖ（ ，） × ， ） Ａ Ｂ 即 ） Ｅ 】 ， ，
０ 或 Ｒ ｘ） ＝ 其中 ａ Ｅ 是一个仅与 Ｙ ） （ ，） ａ ， ， Ｌ 有关的常数且 ａ ＜ １０ （ ，）。 证明： 若 Ｒ是可 仅分解的 ， 一 由定义 ２知 ， 存在 Ａ∈ Ｆ （ ）Ｂ∈ Ｆ （ ） ￣ｓ ｘ ， ＩＳ Ｙ 使得 Ｒ＝ ａ Ａ Ｂ。则对于每个
Ｍａ ． Ｏ Ｏ ｒ２ １ Ｖ０． ６ Ｎ ． １２ ｏ １
［ 文章编号】６３ ２４ （００ ０ － ０ ６ ０ １７ － ９４ ２ １） １ ０８ － ５
直觉 模糊 关 系的 Ｏ一 解 Ｌ分
郭 智 莲
（． １ 西北政法大学 经济管理学院 ， 西安 ７ ０６ ； ２ 陕西师范大学 数学与信息科学学院 ， 西安 ７ ０６ ） １０ ３ ． １０ ２
２１ ００年 ３ 月
陕西理工学院学报 （ 自然科 学版）
Ｊｕｎｌ ｆ ｈａｘ Ｕ ｉ ｒｔ ｏ Ｔｃｎｌｇ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｃ ｄｔｎ ｏｒａ ｏ Ｓ ａｎｉ ｎ ｅｓｙ ｆ ｅｈ ｏ ｙ（ ａ ｒｌ ｃｅ ｅＥ ｉｏ ） ｖ ｉ ｏ ｕ ｎ ｉ
第２ ６卷第 １ 期
［ 摘
要 】 提 出直觉模糊 关 系 Ｒ是可 仪分 解的概念 。得 到 直觉模 糊 关 系 Ｒ是 可 一 一 分解的 两
直觉模糊概念图知识表示及相关操作
为扩大应用范围，本文提出直觉模糊概念图，用直觉模糊集取代模糊概念图中的一般模糊集，并设计了相应直觉模糊概念图的基本操作。
概念图可定义为CG=(C，R,F)，其中C={c1,…,cm}表示概念集合，ci(i=1,…,m)为概念节点；R={r1,…,rn}为关系集合，ri(i=1,…,n)为关系节点；F=(C×R)∪(R×C)表示概念与关系的映射关系。概念图的结构有显式和线性两种表示形式，显示表示就是图形结构表示。概念图是一个有向连通二部图，两个部类分别为概念节点和关系节点。概念节点表示问题领域中具体或抽象的实例，用方框表示；关系节点表示概念节点之间的相互联系，用圆圈表示。节点之间的作用方向即为弧的方向。为了便于处理图形知识，一般用方括号表示概念节点，用圆括号表示关系节点，即为概念图的线性表示。其概念节点有两个域，标号域(Concept type label)和所指域(Reference)，前者用来表示一般的、不确定的概念，后者用来表示具体概念，可以是一个特定的集合或值。本质上说，Reference是concept type 的具体化。若所指域为非确定的，则可对其省略，这时用“*”表示所指域。
对于给定的两个直觉模糊概念图G1、G2，对它们进行连接操作，得到直觉模糊概念图G3，其方法如下：