数理逻辑介绍

数理逻辑介绍

1.若干哲学观点

分析哲学也称为语言哲学和逻辑哲学，开始于德国数学家弗雷格对于自然语言的逻辑分析工作，后被奥地利哲学家维特根斯坦发扬光大，使得近代哲学研究成功转型为语言分析，并成为现代哲学研究的主流。学习分析哲学有利于澄清我们对于一些常用概念的认识。以下所列条目是基于本人的理解和独立思考而提出的观点，欢迎批评、指正。

认知对象：客观世界中存在的事物，这是第一认知对象。人们在认知过程中所形成的抽象概念是第二认知对象。概念是人们头脑中的观念，所反映的是对象的相似性（similarity）和不变性（invariance），也称为模式（mode），包括结构模式、行为模式和关系模式。这些抽象模式称为概念的内涵（intension）或者所指（referent）。概念是人们对于客观对象进行抽象所得的观念。一旦形成就拥有不依赖于客观对象的独立存在性。例如，“圆”这个概念来自于客观事物，又超越和独立于客观事物，有自己确定的内涵。因此，概念不是客观事物的附属，而是思维世界中的独立存在。柏拉图（Plato）称之为理念（idea），并且认为理念是独立于物质世界的另一种存在。概念是没有真假对错之分的，它是一个模式，按照该模式可以对现实对象进行归类。例如，我们可以用圆这个概念对事物进行归类，将所有近似圆形的事物归为一类。同类事物具有相同的性质，相同的性质具有相同的作用。因此，对事物进行归类有利于我们有效地认识和应用事物。当然，我们的认知并不满足于获得一些概念，还会继续探索这些概念的属性和相互作用，等等。因此，概念是人类认知的结果，也是进一步认知的对象。

命题：在思维中将某对象归于某模式，即认为某对象具有某性质或者模式，这种思维中的归属联系就是命题。因此，命题也是人们头脑中的一种观念，不过，命题与概念不同，它不是一种模式，不是由客观对象身上升华而成的模式，而仅仅是将一个给定对象与某概念进行联接，将对象归于这个概念所划定的类。如果说概念是进行思维概括操作的结果，那么命题可以说是简单的思维联接操作的结果。因此，命题是有真假对错之分的。如果命题所指代的归属关系是客观存在的，则该命题为真（true），否则为假（false）。

语言：是一个符号系统，用于表达和记录思维中的概念和命题。语言由符号（symbol）和语法（grammar）组成。语法是符号组成语句的规则。语句的功能就是描述我们思维中的概念和命题。在语言中，概念通常用一个简短的名字进行表示，称为词语（word），比较复杂的概念往往用固定词组（set phrase）表示。一个词语所表示的概念称为词语的含义（meaning）或者语义（semanteme）。在一个语言中，定义一个概念就是用词语和句子对概念内涵进行充分而明确地描述。仅仅是表达一个命题的句子称为陈述句（statement），被表达的命题称为该陈述句的语义（semanteme）或者含义（meaning）。有些感叹句、反问句其实也表达了命题，但是它们还有其它的语用表达功能，包括传递说话人的情感、意愿等等。需要注意的是，并非任何陈述句都表达一个命题。例如，“我正在说假话”是陈述句，但其所表达的语义不是命题。

思考：“今天是星期一”所表达的是命题吗？

语句分析：弗雷格将一个句子的成分分为主词、谓词和量词等三个部分。主词表示对象。谓词表示对象的性质、状态和动作，相当于定语和谓语（把状语和补语视为谓语的一部分）。量词用以表示主词所表示的对象的数量，只有两种，即全称量词和存在量词，分别表示“所有”和“存在”。例如，“有的果子成熟了更可口”，其中量词是“有的”，主词是“果子”，谓词有两个，即“成熟了”和“更可口”。我们将要学习的一阶逻辑是对弗雷格的这种

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语言分析方法的形式化。

2.数理逻辑

推理、实验和计算是人类认知活动中的三种主要途径和工具。逻辑学(logic)研究推理规则。推理是从已知的知识中获得其中蕴含的新知识，或者是用已知的知识论证某个判断的真假。

数理逻辑：也称为形式逻辑、符号逻辑，是关于推理的数学理论，其目的是为推理建立数学模型，使得推理和数学证明成为一种有规则的符号运算过程，从而确保推理的正确性。

3.历史

在古希腊时期产生了两种逻辑学：亚里士多德的三段论逻辑（syllogistic logic）和斯多葛学派的命题逻辑（propositional logic，也称语句逻辑或句式逻辑，sentential logic）。

1）亚里士多德的三段论逻辑：这是有记载的最早的逻辑学说。亚里士多德总结了多个推理模式，例如“Barbara模式”：

1 2P Q Q R P R

前提：所有是

前提：所有是

结论：所有是

亚里士多德把这些推理模式合称syllogism。由于这些推理模式都是由两个前提推出一个结论，故中文翻译为“三段论”。三段论所讨论的命题结构比较简单，共有如下4种形式：

SaP：所有S是P。

SeP：没有S是P。

SiP：有的S是P。

SoP：有的S不是P。

其中S和P所表示的词语分别称为主词（subject）和谓词（predicate），分别指代某一类对象。符合上述形式之一的命题称为主谓命题（subject-predicate proposition）。主谓命题所表达的是主词对象对于谓词对象类的隶属关系，其中“所有”和“有的”等词语的作用是量化这个隶属关系。（注：我们这里把some翻译为“有的”，一般教材翻译为“某些”。）注意，在一个语言中，有些词语仅指代唯一的对象，例如一些人名和地名，这些词语称为专名。但是大部分词语所指代是某一类对象中的任何对象，是这些对象的共同名称，简称通名。例如，在“苏格拉底是人”这句话中，“苏格拉底”是专名，“人”是通名，所以这句话所表达的命题是Sip型的，而不是SaP型的。注意，在一个命题中的主词和谓词可以另一个命题的谓词和主词。例如，我们可以说“有的人是苏格拉底”。

三段论的4种图式：设S，P是三段论中结论的主词和谓词。三段论中的两个前提分别涉及P和S，前者称为大前提（major premise），后者称为小前提（minor premise）。联系大小前提的是一个同时出现在这两前提中词语，称为中项（the middle term），暂记为M。在大前提和小前提中，M都可以是主词，也可以是谓词。因此，按照M在两个前提中的位置，三段论被分类为如下4个图式（figure）：

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