扭摆法测量切变模量和转动惯量

扭摆法测量切变模量和转动惯量
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ﻩ
实验四ﻩ材料的切变模量与刚体转动惯量的测定（扭摆法）
【实验目的】
本实验通过用扭摆法测量钢丝及铜丝材料的切变模量,了解测量材料切变模量的基本方法，进一步掌握基本长度量和时间测量仪器的正确使用方法,同时还可以用扭摆法测量各种形状刚体绕同一轴转动的转动惯量以及同一刚体绕不同轴转动的转动惯量，加深对转动惯量的概念及对垂直轴定理和平行轴定理的理解。

【仪器和用具】
1、切变模量与转动惯量实验仪
2、仪器使用方法
(1）取下仪器上端夹头，并把它拧松,将钢丝一端插入夹头孔中，然后把夹头拧紧,再 把夹头放回横梁上。

用同样的方法,把钢丝的下端固定在爪手的夹头上。

(2）转动上端的“扭动旋钮”（９)使爪手一端的铷铁硼小磁钢(5）对准固定在立柱上的霍耳开关(4）。

同时调整霍耳开关的位置，使之高度与小磁钢一致。

(3）调节立柱的两个底脚螺丝。

使小磁钢靠近霍耳开关,并使它们之间相距为8毫米左 右。

（４）转动横梁上的“标致旋钮”(8),使它的刻线与“扭动旋钮”(9）上的刻线相一致 当旋转“扭动旋钮”（9）一个角度后，即刻又恢复到起始位置。

此时爪手将绕钢丝作摆动。

（5)爪手有多种功能。

圆环可水平放在爪手上面作振动。

也可以垂直装在爪手下面作振 动。

爪手还可以安置条形棒或柱形棒作振动,以测得不同的周期值,并求出钢丝材料的切变模
图1 切变模量与转动惯量实验仪简图 （其中2表示环状刚体垂直和水平二种状态放置）
1
2 2
3 8 4
5
6 7 1、爪手 2、环状刚体 3、待测材料 4、霍耳开关
5、铷铁硼小磁钢
6、底座
7、数字式计数计时仪
8、标志旋钮
9、扭动旋钮
9
量或刚体的转动惯量。

3、数字式计数计时仪使用
(1）开启电源开关，使仪器预热1０分钟。

（２)按住上升键,使预置计数值达到实验要求。

（3)使爪手作扭转振动。

当铷铁硼小磁钢靠近霍耳开关约1．０ｃｍ距离时，霍耳开关将导
通,即产生计时触发脉冲信号。

(4）数字式计数计时仪有延时功能。

当扭摆作第一周期振动时，将不计时，计数为０。

当计数显示1时,才显示计时半个周期。

(5)计数计时结束,可以读出由于爪手振动在霍耳开关上产生计时脉冲的计数值和总时间，其中计数2次为一个周期。

要查阅每半个周期时间,只要按一次下降键即可。

４、另外,还需要螺旋测微仪,游标卡尺,米尺,电子天平（公用）。

图2 实验装置实物照片
【实验原理】
材料在弹性限度内应力同应变的比值是度量物体受力时变形大小重要参量。

正应力同线应变的比值，称为杨氏模量;剪应力同剪应变的比值,称剪切弹性模量，又简称切变模量。

与杨氏模量相似,切变模量在各行各业有着广泛的应用。

直至和人民大众日常生活密切相关的建筑物抗震等性能都与切变模量参量有关。

设有某一弹性固体的一个长方形体积元,顶面(底面)面积为A，它的顶面固定,如图３所示。

在它底面上作用着一个与平面平行而且均匀分布的切力F,在这个力作用下,两个侧面将转过一定角度α，见图3,通常称这样一种弹性形变为切变。

在切变角α较小的情况下,作用
F A与切变角α成正比。

在单位面积上的切力/
F
O
O P
P
0φ
α
L
R
图
αG A
F
=
（1)
图３
式中G 是一个物质常数，称为切变模量。

G 的单位为2
Nm -，大多数材料的切变模量约为杨氏模量的１/3到1／2,在实验中,待测样品是一根上下均匀而细长的钢丝或铜丝,从几何上说,就是一个细长圆柱体,如图4所示。

设圆柱体的半径为R ,高为L ,其上端固定,下端面受到一个外加扭转力矩的作用,于是圆柱体中各体积元（取半径为r 、厚为dr ,高为L 的圆环状柱体为体积元），每个体积元上端固定，下端受一扭转力矩作用，根据公式（1)，每个体积元受到的外力矩为
2d 22M r G rdr Gr dr αππα==外 ﻩﻩ(2)
设圆柱体底部绕轴转动了0φ角，如果1α<︒，则弧长
s L α≈,而0s r φ=,所以
L
r 0
ϕα=
（3）
(2)式代入(3)式,得到
30
2r dr
dM G L
πϕ=外
(4)
对(４)式积分，可等到总力矩
4
300022R
G R
M r dr G L L
ππϕϕ==⎰外
（5）
圆柱体内的弹性力矩为0M ,平衡时有0M M =-外
α
A
令L
R G D 4
2π
=，则有0M D φ=-外
对于一定的物体D 是常数，称为扭转系数。

扭摆的结构如图5所示，爪手及圆环安放位置如图5所示,若使爪手绕中心轴转过某一角度0φ，然后放开，则爪手将在弹性扭转力矩M 作用下作周期性的自由振动,这就构成一个扭摆。

若钢丝(或铜丝）在扭转振动中的角位移以φ表示,爪手整个装置对其中心轴的转动惯量为0I ,根据转动定律则有
202d M D I dt ϕϕ=-= 即 0022=+ϕϕI D
dt
d
上述方程是一个常见的简谐振动微分方程,它的振动周期应是
02I T D
π
=
(６）
由图6所示，将一个已知内外半径、厚度和质量的环状刚体、分别水平放在爪手上及垂直放在爪手上，绕同一轴(钢丝)转动测得的振动周期分别为Ｔ1和Ｔ2。

而环状刚体在绕轴(环心)作水平转动时转动惯量为1I ,环状刚体处于垂直状态绕同一直径作转动时转动惯量为2I ,爪手绕中心轴转动时转动惯量为0I ,那么由(6)式可以知道,
爪
螺
扎O
O ’
d
c b
O ’
爪(
(b 圆
O
’
爪
圆环
图5
图6
b
图3
d
圆c
22
1
014()T I I D π=+ ; 22
2024()T I I D
π=+
从两式中消去0I ,并将代入，可以得到切变模量G 的 表达式为
12
4
22
128.T I I L G R T π-=
-
(7）
由理论计算可知,环状刚体绕中心轴作水平转动的转动惯量1I ，环状刚体绕任一直径转动的转动惯量2I 分别为
22
1m 2
b c I += （8）
2222m 4
12b c d I ⎛⎫
+=+ ⎪⎝⎭) （９)
上式中,b 为环的内半径，c 为环的外半径，m 为环的质量。

d 为环状刚体的厚度。

因此,根据公式(8）、(9)计算得到1I 、2I 。

测量出12T T 、,通过公式(７)就能得到材料的切变模量G 。

另外,公式（6)又可以写成
G
R L
I D I T 4002
2
084ππ==
（１0)
42008R
T L I G π=; L T GR I π82
040=
由上式可以看到，如果已知0I 就可以得到切变模量G ，反之,知道了切变模量G ，就可以得到转动惯量为0I 。

由于0I 是不规则的刚体，很难得到其过中心轴的转动惯量0I ，因此可以利用
G
R L
I D I T 4002
2
084ππ==；
2
2
011
014
()4()8L I I T I I D R G
ππ+=+= 两式相减，得到
221
104
8LI T T R G
π
-=
∴ 1
422108()
LI G R T T π
=- (11）
转动惯量的平行轴定理
理论分析证明,若质量为m 的刚体绕质心轴的转动惯量为0I ,若转轴平行移动距离为x 时,则物体对新轴转动惯量为
2
0I I mx =+ (１２)
垂直轴定理
若已知一块薄板(或薄环）绕位于板（或环）上相互垂直轴（X 和Y 轴)的转动惯量为x I 和y I ，则薄板（或环）绕Z 轴的转动惯量为
z x y I I I =+ (１3）
此即垂直轴定理，由此定理可知：圆盘（或环)通过中心且垂直盘面的转轴的转动惯量为圆盘绕其直径的转动惯量的两倍。

【实验内容和要求】 必做部分
1、 安装实验装置，调整数字式计数计时仪 仪器使用使用注意事项
(1）请勿用手将爪手托起又突然放下，铁制爪手自由下落冲力易将钢丝或铜丝拉断（往往在钢丝与扎头连接处断)。

(2）实验结束请将环放在桌上，以减轻钢丝负重。

(3)材料的切变模量与杨氏模量相似,与材料的成份、热处理工艺等均有关。

如用树脂漆包线测得切变模量与纯铜丝的切变模量不相同。

各种钢丝加工、热处理工艺不相同,切变模量也差异很大。

（4)如果当磁钢靠近霍耳开关时,此时触发指示灯无反应时则是磁钢的磁极放反了，取下来换个方向,就可以了。

(此时触发指示灯为暗）
2、用电子天平称圆环的质量m 。

用游标卡尺测圆环内直径2b 、外直径2c 和高度d ,用螺旋测微仪测量钢丝直径2R ,用米尺测量钢丝长度L （上下固定点O 、O’距离）。

注:钢丝直径、圆环内直径2b 、外直径2c 和高度d 的测量采用多次测量取平均的方法，L 的测量采用单次测量的方法。

３、计算钢丝的切变模量G ,(用两种方法计算并比较）
（1）测量爪手空载时摆动周期0T ；金属圆环水平放置在爪手上时的摆动周期1T ;金属圆环竖直吊置在爪手上时的摆动周期2T 。

(测量周期应该采用多周期多次测量的方法,要测量５～６次,每次测量１0个周期)。

（2)利用（７）、（8)、(９)式计算钢丝的切变模量G 。

４、验证平行轴定理
(1)用电子天平称重钢珠质量m ,用螺旋测微仪测量小钢珠的直径2r ，将两颗钢珠放置在爪手上跟爪手中心轴对称的位置上,并用游标卡尺两个位置的距离d ，测量系统（爪手加
两颗钢珠)绕中心轴的摆动周期4T ，待人公式)(4402
24
I I D
T +=π 可以得到系统通过爪手中心轴的转动惯量()04I I +。

（2)利用内容３测得的钢丝的切变模量G 及空载时测得的爪手通过中心轴的摆动周期
0T ,代入公式（10）,可得到爪手空载时通过中心轴的转动惯量0I ，代入上面得到的()04I I +，
可以得到一个钢珠通过爪手中心轴的转动惯量3I ，验证3I 是否满足平行轴定理：
22432
22()5
I I mr md ==+
式中
2
5
2mr 为一颗钢珠绕任一直径的转动惯量。

选做部分
1、测量铜丝的切变模量,并与钢丝切变模量进行比较。

2、用扭摆测量柱状刚体的绕钢丝轴转动惯量，并与理论计算值进行比较。

３、验证刚体转动的垂直轴定理。

实验数据记录表格和有关计算公式
1、试样参数测量
表一 圆环、方柱、圆柱和小球的几何尺寸测量 测量次数
圆环外直径ｃ（c ｍ)
圆环内直径b （ｃm)
方柱长度
L(cm)
圆柱长度 Ｌ’(ｃm ）
小球的直径2r(cm ）
1 ２ 3 4 5 平均值
表二 测量试样的质量,转动惯量的理论值
试样 圆环I 1０
方柱I ５0
圆柱I 60
小球Ｉ30
质量（g) 转动惯量理论值
（kgm 2
)
2、试样过对称轴的转动惯量的计算公式
圆环的转动惯量 )(2
12221R R m I += 方柱、圆柱的转动惯量 212
1
ml I = 钢珠的转动惯量 25
2mr I =
圆环的转动惯量I 10= ｋgm 2
; 方柱的转动惯量Ｉ50= kgm ２
圆柱的转动惯量I ６０= kg ｍ2
; 钢珠的转动惯量Ｉ30＝ kgm 2
3、琴钢丝和黄铜丝材料切变模量的测量
表三琴钢丝材料的切变模量(计数为N＝20,计时t=10T）第i次１２３４ 5 6 空载时间(１０T0） (s）
平均空载周期T0 (s)
圆环水平放置(10T1） (s)
平均周期T1 （s)
圆环垂直放置(10T2 )(s)
平均周期T2（s)
钢丝直径2R (mｍ)
平均直径 (mm)
钢丝长度Ｌ(ｃm)
钢的切变模量(Nｍ－2）
该琴钢丝切变模量的公认值是7．80×101０Nｍ－２,要求计算百分差。

表四黄铜丝材料的切变模量(计数为N＝20,计时t=1０T) 第i次 1 2 3 4 5 6 空载时间（10T０)（s）
平均空载周期T０(s)
圆环水平放置（10T1）(s）
平均周期T1（s）
圆环垂直放置（10T2）(s)
平均周期Ｔ2(ｓ)
铜丝直径2Ｒ（ｍm)
平均直径(mｍ)
铜丝长度Ｌ(cm)
铜的切变模量( Nm－2）
黄铜丝的切变模量的公认值是3．12×1010Nｍ-２,要求计算百分差。

4、方柱、圆柱的转动惯量测量
表五圆柱和方柱用琴钢丝测得的转动惯量（计数为N＝２０,计时ｔ=10Ｔ)
第i次 1 2 3 4 5 6 空载时间（10T０)(s)
平均空载周期Ｔ0（s)
爪手转动惯量I0( kgｍ2)
加载方拄时间(10T5）(s)
平均周期Ｔ5(s)
爪手加方柱I5（ kgｍ２)
方拄（对称轴)转动惯量I50/
（kgm2）
加载圆拄时间（１０T6)（s)
平均周期T6(ｓ)
圆拄(对称轴）转动惯量I60／( ｋgｍ
2）
分别和计算值比较,算出百分差。

ﻬ5、验证平行轴定理和垂直轴定理
表六钢丝验证垂直轴定理 (计数为Ｎ＝20,计时t=1０Ｔ) 第i次 1 2 3 4 5 6 空载时间（１0T０)(s)
平均空载周期T0（ｓ)
爪手转动惯量I0( kgm２)
圆环水平放置(1０T１）（s)
平均周期Ｔ1（ｓ）
I１( kgm２)
I１0(测量)=I1-I0 (kgｍ2）
I１０(计算)(kgm２)
圆环垂直放置(10T２)(s)
平均周期T２(s)
I2(ｋgm2)
I2０(测量)＝I2－Ｉ０ (ｋgｍ2)
I20（计算）(ｋgm2）
百分差Ｐ= %
表七钢丝验证平行轴定理 (计数为Ｎ=２0,计时t=１0T) 第i次 1 2 3 4 5 6 空载时间（１0Ｔ0)(s)
平均空载周期Ｔ0(s)
爪手转动惯量I０（kgｍ2)
爪手加两个钢珠（１０T４)（s)
平均周期Ｔ４( s）
I4(kgｍ2)
I3０(测量)=(I4-I0）／2 （kgm2)
I30(计算)(ｋｇm２)
百分差P= %
思考题
1、如何计算用此扭摆测量材料的切变模量，主要误差也哪些物理量的测量引
起的？如何计算钢丝切变模量的不确定度?
2、钢丝的切变模量和扭摆的扭转角度有何关系？本实验在测量钢丝的切变模
量时为何要求扭转角度在２π左右?本实验中如果扭转角度等于2π,是否满足
α<1°？。