7-2平面曲线的弧长及旋转体的侧面积

S1= ∫ 2π y 1 + y′ dx = π ∫ 4 x − 3dx = (5 5 − 1). 6 1 由直线段 y = 2 x(0 ≤ x ≤ 2) 绕 x 轴旋转一
2 2
2
π
1
1
周所得的旋转面的面积为
2 0
1 5 S 2= ∫ 2π ⋅ x ⋅ dx = 5π . 2 2
因此, 因此,所求旋转体的表面积为
练习题答案
a 2 1 3 5 3 2、 3、 一、1、1 + ln ； 2、 π ； 3、 + ln . 2 2 12 2 2 3 8 5 二、 [( ) 2 − 1]. 9 2 三、6a . 四、8a .
2 3 3 )a, a ) . 六、(( π − 3 2 2
2 2
= n∫
0
sin t + cos t + 2 sin t cos t dt 2 2 2 2
sin t + cos t dt = n∫ = 4n. 0 2 2
π
三、参数方程情形
曲线弧为
x = ϕ (t ) , y = ψ (t )
= r (θ ) + r ′ (θ )dθ ,
2 2
故弧长 s = ∫α r (θ ) + r ′ (θ )dθ .
β
2 2
例 4 求阿基米德螺线 r = aθ (a > 0)上相应
的弧长. 于 θ 从 0 到 2π 的弧长. 解Q
r′ = a,
β α
2π
∴ s=∫
′ 2 (θ )dθ r (θ ) + r
第二节 平面曲线的弧长与 旋转体的侧面积
一、 平面曲线弧长的概念 二、 直角坐标系情况 三、 参数方程情况 四、 极坐标情况 五、旋转体的侧面积 六、 小结
一、平面曲线弧长的概念
设A、B 是曲线弧上的 y 两个端点， 两个端点，在弧上插 入分点
A = M 0 , M 1 ,L M i , L , M n −1 , M n = B
o
M2 M1 M n −1
B = Mn
A = M0
x
并依次连接相邻分点得一内接折线， 并依次连接相邻分点得一内接折线， 当分点的数目无限增加且每个小弧段 n 都缩向一点时， 都缩向一点时， 此折线的长 ∑ | M i −1 M i | i =1 的极限存在， 的极限存在，则称此极限为曲线弧 AB 弧长. 的弧长.
b 2 a
x
例1
解
2 3 计算曲线 y = x 2 上相应于 x 从 a 到 3
1 2
的一段弧的长度. b 的一段弧的长度
Q y′ = x ,
= 1 + ( x )2 dx = 1 + xdx , ∴ ds
a b
1 2
所求弧长为
s =∫
b a
2 1 + xdx = [(1 + b ) − (1 + a ) ]. 3
(α ≤ t ≤ β )
上具有连续导数. 其中ϕ ( t ), ψ ( t )在[α , β ]上具有连续导数.
ds = (dx )2 + (dy )2 = [ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t )](dt )2
= ϕ ′ 2 ( t ) + ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t )dt .
π
2 2 0
2
例6(980208) 设有曲线 y = x − 1, 过原点作其切线 求由此曲线、切线及 x 轴围成的平面 求由此曲线、 图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体 的表面积 解 设切点的横坐标为 x , 则切点为
0
( x0 , x0 − 1),
曲线 y = x − 1 在此点的切线
0
斜率为
的全长. 例 3 求星形线 x + y = a (a > 0) 的全长
解 星形线的参数方程为
x = a cos 3 t 3 y = a sin t
( 0 ≤ t ≤ 2π )
2 3
2 3
2 3
根据对称性 s = 4s1 ( s 第一象限部分的弧长 第一象限部分的弧长)
1
= 4∫
π 2 0
S =S +S =
1 2
π
6
(11 5 − 1).
六、小结
平面曲线弧长的概念 弧微分的概念
求弧长的公式 参数方程情形下
直角坐标系下 极坐标系下
练 习 题
填空题： 一、填空题： 1 、曲线 y = ln x 上相应于 3 ≤ x ≤ 8 的一段弧长为 ____________； ____________； 2 、渐 伸 线 x = a(cos t + t sin t ) ， y = a (sin t − t cos t ) 的一段弧长为______ ______； 上相应于 t 从 0 变到 π 的一段弧长为______； 3 4 3 、曲 线 rθ = 1 自 θ = 至 θ = 一 段 弧 长 为 4 3 ____________ . 2 x 2 3 2 二、计算半立方抛物线 y = ( x − 1) 被抛物线 y = 3 3 截得的一段弧的长度 . 三、计算星形线 x = a cos 3 t ， y = a sin 3 t 的全长 .
α
β
例5 求半径为 的球面面积 求半径为R的球面面积 的球面面积. 解 该球面可以看成由参数方程为
x = R cos t 0≤t ≤π y = R sin t 旋转而成. 的半圆绕 x 旋转而成
所以
S = ∫ 2π R sin t [ − R sin t ] + [ R cos t ] dt = 4π R
二、直角坐标情形
设曲线弧为
y = f ( x ), (a ≤ x ≤ b) 其中 f ( x ) 在 [a , b]上有
y
y = f ( x)
} dy
一阶连续导数. 一阶连续导数. 取积分变量为 x, 在 [a , b] o a x x + dx b 上任取小区间 [ x , x + dx ]， 以对应小切线段的长代替小弧段的长 小切线段的长 (dx )2 + (dy )2 = 1 + y′ 2 dx 弧长元素 ds = 1 + y′ 2 dx 弧长 s = ∫ 1 + y′ dx .
2
=∫
0
a θ + a dθ = a ∫0
2 2 2
2π
θ + 1dθ
2
a = 2π 1 + 4 π 2 + ln( 2π + 1 + 4 π 2 ) . 2
[
]
五、旋转体的侧面面积
如果旋转体是由连续曲线 y = f ( x ) 、 直线 x = a 、 x = b 及 x 轴所围成的曲边 轴旋转一周而成的立体， 梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体， 为多少？ 其 侧面 面积 为多少？ 其中 y = f ( x ) 有 y 连续 导数. 导数. ds 侧面面积公式
S = ∫ 2π f ( x )ds
b a
o
2
= ∫ 2π f ( x ) 1 + [ f ′( x )] dx
b a
x
若曲线方程以参数形式给出： 若曲线方程以参数形式给出：
x = x( t ) y = y( t )
α≤t≤β
则
S = ∫ 2π y( t ) [ x′( t )]2 + [ y′( t )]2 dt
3 2 3 2
例2
解
计算曲线 y = ∫0 n
x n
sinθ dθ 的弧长
( 0 ≤ x ≤ nπ ) .
x 1 x ′ = n sin ⋅ = sin , y n n n
s= ∫
b a
1 + y′ dx = ∫0
2
nπ
x 1 + sin dx n
x = nt
π
∫0
π
1 + sin t ⋅ ndt
的全长. 四 、求心形线 r = a ( 1 + cos θ ) 的全长. 证明： 五 、证明：曲线 y = sin x ( 0 ≤ x ≤ 2 π ) 的弧长等于椭圆 x 2 + 2 y 2 = 2 的周长. 的周长. 六 、在 摆线 x = a ( t − sin t ), y = a ( 1 − cos t ) 上求 分 摆 的点的坐标. 线第一拱成1 : 3 的点的坐标.
′)2 + ( y′)2 dt = 4∫ 3a sint costdt (x
π 2 0
= 6a .
四、极坐标情形
曲线弧为
r = r (θ ),
(α ≤ θ ≤ β )
其中r (θ )在 [α , β ]上具有连续导数
x = r (θ ) cosθ ∴ ds = (dx )2 + (dy )2 ,(α ≤ θ ≤ β ) Q y = r (θ ) sinθ
1 , 2 x −1
0 0
1 ( x − x ), y − x − 1= 2 x −1
0
又因它经过原点， 代入， 又因它经过原点，以点 (0,0) 代入，得 1 −2( x − 1) = − x , 即 y = x , 切点为 (2,1). 2
0 0
由曲线段 y = x − 1(1 ≤ x ≤ 2) 绕 x轴旋转 一周所得的旋转面的面积为
dx = [r ′(θ )cosθ − r (θ )sinθ ]dθ Q dy = [r ′(θ )sinθ + r (θ )cosθ ]dθ
ds = (dx ) + (dy )