第6章 利率期限结构理论01

整体对未来短期利率的预期E（rk）。
根据预期理论，收益率曲线的形状是由投资者的预期决定的。一般的，收益率曲线向上倾斜表明投资者预期短 期利率将变高，而收益率曲线向下倾斜则表明投资者预期短期利率将变低。如果投资者预期短期利率保持不变，收 益率曲线就应该是水平的。
【例题6.2】当前1年期零息债券的到期收益率为7%，2年期零息债券到期收益率为8%。财政部计划发行2年期 债券，息票利率为9%，每年付息。债券面值为100美元，并按票面价值收回。如果收益率曲线的预期理论是正确的， 则市场预期明年该债券售价为（ A．87.6 【答案】B 【解析】由零息票收益率曲线推导下一年的远期利率： B．99.99 ）美元。 D．101.35 E．132.2 C．102.4
相除得：
如果远期利率的期限不是1年，通常用fi,,j表示从0时刻看i时刻的，期限为j年的远期利率。 ④几种利率的区别
☞ 短期利率仅对利率的期限有限制，对期限从何时开始没有限制；
☞ 即期利率和远期利率则仅对期限的开始时点有限制，而对期限的长短没有限制。
【例题6.1】根据表6-1回答（1）~（3）。表6-1列出的是面值1000美元，但期限不同的零息债券的价格。 表6-1
图6-1
分析图6-1中的国债收益率曲线，可得： 第一，收益率随着期限的不同而不同；
收益率曲线样图
第二，曲线变动的斜率有时为正有时为负，也可能出现为零（即切线为水平）的情况； 第三，对于期限结构的不同部分，存在不同的曲率（弯曲程度），即有平滑的部分（缓和的弯曲）和尖锐的部
分（剧烈的弯曲）。
2．预期理论 预期理论或称为纯粹预期理论，该理论的假设是： （1）不存在违约风险； （2）所有投资者都是风险中性的； （3）没有交易成本； （4）所有投资者都能准确预测未来的利率； （5）投资者对债券不存在期限偏好。 预期理论的结论是： 长期零息债券的到期收益率等于当前短期利率和未来预期短期利率的几何平均，即 （1+yn）n=（1+r1）（1+f1,1）…（1+fn-1.1） 其中yn为n年期零息债券的到期收益率；fk-1,1为第k期的远期利率；r1为一年期短期利率。远期利率fk-1,1等于市场
不符的结果。
（3）阶梯函数法 在一个给定的到期日范围内使用一个不变的利率，得到一个在某一时段内固定的收益率曲线，也称局部平直的 收益率曲线，该方法称为阶梯函数法。 说明：该方法要对曲线上阶梯或跳跃的位置进行假定。跳跃点通常与零息债券收益率曲线的已知利率点相对应。 问题及解决方法： 由阶梯型的曲线导出远期收益率曲线时会产生尖点。如果使用过少的“阶梯”构造收益率曲线，远期曲线中的 尖点就将比较尖。此问题可以通过在收益率曲线曲率较大的地方使用更多的已知利率点来解决。 （4）其他直接法：波动率调整插值法 首先从简单的线性插值中得出相关结果，然后利用一个既定的公式对已发行有价证券的价格进行调整。该方法 使用了一些自变量的组合，因变量是加在简单线性插值结果之上的利差。通过回归分析，从实际历史交易数据中可 以得到自变量与因变量之间的函数关系。假定函数关系可以是线性的，也可以是二次加“型”的。
（1）3年期的零息债券的到期收益率是（ A．6.21% 【答案】B 【解析】3年零息债券的到期收益率是y3，则 B．6.33% C．6.35%
）。 D．6.37% E．6.38%
831.92 1000/(1 y3 )3
可得y3=6.33%。
（2）第3年预计的远期利率是（
A．6% 【答案】C B．7% C．8%
【要点详解】 §6.1 传统的利率期限结构理论 1．利率期限结构的含义 利率期限结构：仅在期限长短方面存在差异的证券的收益率和期限之间的关系。 （1）几种利率的概念 ①短期利率 ☞ 实际中，期限为1年之内的利率； ☞ 在随机利率模型中，则是指期限无限小的利率，即瞬时利率。 一般地，n年期面值为1的零息债券的当前价格为：
§6.2 接法和间接法两种构建方式。 1．直接法
收益源自文库曲线的构建原理
证券提供的现金流总是离散的，理论上只能得到收益率曲线上有限个点。为了得到整条收益率曲线，主要有直
直接法：利用息票债券市场价格推导出隐含零息债券价格的方法。 假设条件：为了讨论问题方便，假定n个到期收益率恰可由n种零息债券的价格解出。 表示t时刻的n种付息债券价格组成的n维列向量；
）美元。
y1
1000 1 5.00% 952.38
0.5
1000 y2 898.47 y4 (
1 5.50%
1000 0.25 ) 1 6.99% 763.23
相关的到期收益率：y1=5.00％，y2=5.50％，y3=6.33％，y4=6.99％。所以债券的价格为
第二篇 利率期限结构与随机利率模型 第6章 利率期限结构理论 【考试要求】 6.1 传统的利率期限结构理论 利率期限结构的含义 预期理论 期限溢价理论 市场分割理论 6.2 收益率曲线的构建原理 直接法 间接法 6.3 利率风险的度量
Macaulay久期与修正久期
Macaulay凸度与修正凸度 有效久期与有效凸度 久期与凸度的应用：资产负债匹配
解得： f1,1
9.01% 。
1.082 1 f1,1 1.0901 1.07
利用下一年的期望利率9.01%，计算债券的预计价格，得： p=109/1.0901=99.99（美元）
3．期限溢价理论 期限溢价理论是考虑到风险溢价的影响，对纯粹预期假设理论的修正理论。 流动性偏好假设：由于短期债券清偿的期限较短，利率变化导致的价格波动比长期债券要小得多，因而短期债 券的流动性比长期债券高。如果投资者是风险回避者，对高流动性债券的偏好将使得短期债券的利率水平低于长期 债券。 期限溢价理论认为：长期利率是预期短期利率与流动性补贴之和。假定大多数投资者偏好持有短期证券。为了 吸引投资者持有期限较长的债券，必须向他们支付流动性补贴。 流动性补偿的数额是市场为将期限延长到预定年限所需要的超额收益。 流动性补贴随着期限的增加而增加。按照流动性偏好假设，实际观察到的收益率曲线总是比完全由纯粹预期假 设所预计的要高。 到期收益率yn的计算方法：
表示这n种债券相对应的n×n维现金流矩阵（包括利息和本金）。在这里假设各种债券现金流的流入时间均为 tj；
用
代表t时刻的零息债券价格组成的n维列向量，其中B（t，tj）表示tj时刻到期的1单位面值的零息债券在t时刻的 价格。 计算：由利息理论容易得到下列方程：
用矩阵表示为：
（6.2） 假设F是可逆的，即假设各种债券的支付之间不存在线性相关关系，（6.2）式可写为： 说明：推导出来的价格并不是真实的零息债券的市场价值，而是与市场价格保持一致的隐含的零息债券价格。
其中，ri为第i年的年利率，即第i年的短期利率。 ②即期利率：期限从0时刻（即当前时刻）开始的利率。 到期收益率与短期利率之间的关系可以表示为： （6.1）
yi表示i年期零息债券的到期收益率。
说明：即期利率可以理解为当前时刻零息债券的到期收益率。
③远期利率 ☞ 指利用不同期限的到期收益率推出未来的短期利率。 通常用fi,1表示从0时刻看未来i时刻的，期限为1年的远期利率； ☞ 计算公式：由 式可以得到：
收益率曲线的构建：将所得的隐含的零息债券价格代入
yt ,ti [ B(t , ti )]

1 ti t
1
即得t时刻发行的期限为 ti t 的零息债券的到期收益率 yt , ti 。 图6-2为通过计算得到的收益率绘得收益率曲线的散点图。其中横坐标为债券的到期时间，单位为年；纵坐标 为相应零息债券的到期收益率。
1120 120 120 120 1176.7 （美元） 1.06994 1.06333 1.0552 1.05
（2）收益率曲线 以横坐标代表债券的期限，纵坐标代表相应的利率或收益率，称此描述利率期限结构的曲线为收益率曲线。 说明：本章讨论的是债券及其相应的到期收益率相联系的利率期限结构。
A．根据预期理论，如果收益率曲线是向上倾斜的，市场会预期短期利率上升
B．收益率曲线的形状与投资者的预期决定无关 C．根据市场分割理论，可以大致将市场的投资者分为短期，长期投资者 D．根据期限溢价理论，短期债券的流动性比长期债券低 E．常称期限为1年之内的利率为即期利率 【答案】A 【解析】B项，根据预期理论，收益率曲线的形状是由投资者的预期决定的；C项，根据市场分割理论，可以大 致将市场的投资者分为短期，中期，长期三类；D项，根据期限溢价理论，短期债券的流动性比长期债券高； E项， 常称期限为1年之内的利率为短期利率；所以正确选项为A。
图6-2
从观察到的收益率构造零息债券的到期收益率曲线
需要借助一定的方法由离散零息债券的到期收益率推导出完整的零息债券的到期收益率曲线，常用的方法有： （1）线性插值法 假设已知t时刻的期限为ti和tj的零息债券的到期收益率分别是 的零息债券的到期收益率 yt , tk 为：
yt , ti、yt , t j， 利用线性插值法，期限为tk（ti<tk<tj）
优点：
①与简单的线性插值法相比，采用了更多的历史信息，对已发行的有价证券收益率的估计更接近于交易者在实 际交易中所获得的收益率； ②原理较为简单且运算速度快，在市场发生重大变动的日子中能够多次对模拟结果加以更新，更贴近市场。 缺陷：
其中rk为第k年预期的短期利率；1Lk为第k年开始的1年期的流动性补贴，一般假设1Lk为k的增函数。
4．市场分割理论 市场分割理论也称为区间偏好理论。 市场分割理论认为：市场是由具有不同期限偏好的投资者构成的。大致将市场的投资者分为短期、中期、长期 投资者三类。 贷款者和借款者分割的市场行为基本上决定了收益率曲线的形态。 在极端情况下，某种特定期限的利率完全取决于该期限的资金的供求状况，与其他期限的供求状况毫不相关。 贷款市场是按照期限完全分割的，将这些分割的曲线的交点连在一起，就决定了收益率曲线。 通常情况下，如果在某一期限范围内出现与其他期限范围较大的收益率的偏差，投资者将抛弃原来的期限偏好； 但如果没有出现较大的收益率的偏差，投资者将保持原来的期限偏好，从而导致贷款市场是局部分割的。 结论：如果债券期限的供求不平衡，债券就要在预期收益的基础上溢价或折价售出。 说明：按照区间偏好假设，预期的未来短期即期利率与隐含远期利率之间没有正式关系，收益率曲线的形状是 资金的供给与需求决定的。 【例题6.3】下面说法正确的是（ ）。
缺陷： ①从市场上看，某些债券的流动性通常要低于新发行的债券，因此其实际交易时的收益率也要略高于线性插值 的结果； ②线性插值得出的曲线不是光滑的，其一阶导数在连接点上不存在，即使存在，其大小和符号的变化也较大； ③使用线性插值法导出的零息债券的远期收益率曲线仍是不光滑的。
（2）活动曲线法 原理：构造一个多项式或者一组不同阶的多项式，以形成一条把所有已知利率点连接起来的平滑曲线。 前提假设是收益率曲线是多项式形式的。常采用一个二阶或高阶多项式对各利率点进行拟合。使用二阶多项式 所构造的活动曲线是二次活动曲线，使用三阶多项式所形成的曲线是三次活动曲线，以此类推。 优点： ①二次以上的活动曲线的一阶导数的大小和符号都不会在某些点发生突变； ②其模拟结果比线性插值法更接近观察到的利率； ③其曲线形状与实际的利率点间的凸状弧线相仿。 缺陷： ①已知的信息仅为有限个利率点，无法确定收益率曲线准确的函数形式。 ②无法对该方法中假设进行客观的评价。 ③当活动曲线法应用于那些一阶导数的符号在较小期限范围内发生反向变动的曲线的利率点时，会产生与现实
）。
D．9% E．10%
【解析】898.47（1+y3）3=1000，831.92（1+y2）2=1000，则
f 2,1
(1 y3 )3 898.47 1 1 8% (1 y2 )2 831.92
（3）面值是1000美元，期限是4年，年付息票率是12％的债券的价格是（ A．1716.7 【答案】B 【解析】计算1年期和4年期零息债券的到期收益率分别为： B．1176.7 C．1167.7 D．1165.7 E．1163.7