弯曲应力和强度

第六章 弯曲应力和强度

1、 纯弯曲时的正应力 横力弯曲时，

0≠=Q dx

dM

。 ，纯弯曲时，梁的横截面上只有弯曲正应力，没有弯曲剪应力。

根据上述实验观察到的纯弯曲的变形现象，经过判断、综合和推理，可作出如下假设： （1）梁的横截面在纯弯曲变形后仍保持为平面，并垂直于梁弯曲后的轴线。横截面只是绕其面内的某一轴线刚性地转了一个角度。这就是弯曲变形的平面假设。

（2）梁的纵向纤维间无挤压，只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。 （2）物理关系

根据梁的纵向纤维间无挤压，而只是发生简单拉伸或压缩的假设。当横截面上的正应力不超过材料的比例极限P ρ时，可由虎克定律得到横截面上坐标为y 处各点的正应力为

y E

E ρ

εσ=

=

该式表明，横截面上各点的正应力σ与点的坐标y 成正比，由于截面上

ρ

E

为常数，说明弯曲正应力沿截面高度按线性规律分布，如图所示。中性轴z 上各点的正应力均为零，中 性轴上部横截面的各点均为压应力，而下部各点则均为拉应力。 （3）静力关系

截面上的最大正应力为

z

I My max

max =

σ 如引入符号

m ax

y I W z

z =

则截面上最大弯曲正应力可以表达为

z

W M

=

max σ 式中，z W 称为截面图形的抗截面模量。它只与截面图形的几何性质有关，其量纲为[]

3

长度。

矩形截面和圆截面的抗弯截面模量分别为： 高为h ，宽为b 的矩形截面：

62

1223

max

bh h bh y I W z

z ===

直径为d 的圆截面：

322

6433

max

d d d y I W z z ∏=∏==

至于各种型钢的抗弯截面模量，可从附录Ⅱ的型钢表中查找。

若梁的横截面对中性轴不对称，则其截面上的最大拉应力和最大压应力并不相等，例如

T 形截面。这时，应把1y 和2y 分别代入正应力公式，计算截面上的最大正应力。

最大拉应力为：

z

t I My 1

)(=

σ 最大压应力为：

z

e I My 2

)(=

σ 2、横力弯曲时的正应力

z

I My

=

σ 对横力弯曲时的细长梁，可以用纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式计算梁的横截面上的弯曲正应力。

3、弯曲正应力强度条件

梁在弯曲时，横截面上一部分点为拉应力，另一部分点为压应力。对于低碳钢等这一类塑性材料，其抗拉和抗压能力相同，为了使横截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到许用应力，常将这种梁做成矩形，圆形和工字形等对称于中性轴的截面。因此，弯曲正应力的强度条件为：

[]σσ≤⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=max

max z W M

对于铸铁等这一类脆性材料，则由于其抗拉和抗压的许用应力不同，工程上常将此种梁的截面做成如T 字形等对中性轴不对称的截面（6-6b ），其最大拉应力和最大压应力的强度条件分别为

[]t z t t I My σσ≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=max

max

)( 和 []c z c

c I My σσ≤⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=max

max )(

式中，t y 和c y 分别表示梁上拉应力最大点和压应力最大点的y 坐标。

[]t σ和[]c σ分别为脆性材料的弯曲许用拉应力和许用压应力。

4、弯曲剪应力

横力弯曲时，梁内不仅有弯矩还有剪力，因而横截面上既有弯曲正应力，又有弯曲剪应力。同时，由于横力弯曲时梁的横截面不再保持为平面，弯曲剪应力不能采用综合变形条件、物理条件及静力条件进行应力分析的方法。本节从矩形截面梁入手，研究梁的弯曲剪应力。

1．矩形截面梁的弯曲剪应力

（1）截面上任意一点的剪应力都平行于剪力Q 的方向。

（2）剪应力沿截面宽度均匀分布，即剪应力的大小只与y 坐标有关。

剪应力τ；顶面上有与τ互等的剪应力τ'。在左、右侧面上的正应力1σ和2σ分别构

z

z

bI QS *='τ

由剪应力互等定理ττ='，可以推导出矩形截面上距中性轴为y 处任意点的剪应力计算公式为

z

z bI QS *

=τ

式中 Q ——横截面上的剪力

z I ——横截面A 对中性轴z 的轴惯性矩

b ——横截面上所求剪应力点处截面的宽度（即矩形的宽度）

*

z S ——横截面上距中性轴为y 的横线以外部分的面积*

A 对中性轴的静矩

矩形截面剪应力计算公式的具体表达式为

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=

2242y h I Q

z

τ

bh

Q

23max =

τ 说明矩形截面上的最大弯曲剪应力为其平均剪应力5.1倍。

2．工字形截面梁的弯曲剪应力

工字形截面可以看做由三个矩形截面组成，因此其弯曲剪应力计算与矩形截面梁类似。

仍然沿用矩形截面梁弯曲剪应力计算公式z

z bI QS *

=τ。

可得腹板上弯曲剪应力的计算公式

()

⎥⎦⎤⎢⎣

⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=

222428y h h h H B bI Q

z τ 0=y 时，在截面中性轴上

()⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡--=8822max h b B BH bI Q z τ