变分法简介

；而如果恒有 ，则称函数 f) (| x ) ； f(x f ( x) |f(( 0 ) 0) xy ) ( x) | 。 f ( x ) 在 x0 点取极大值。 1. | y( x 2. 有时要求
f ( x ) 在点 x0 点取极值（极小或极大）的必要条件是在该点的导数为 0。 y( x ) 称为函数 y ( x ) 的变分。 这里的函数
x0
x1
J[ y, z] F ( x, y, z, y, z)dx
x0
x1
其中，F 已知，且具有连续的二阶偏导数。 【2】 二元函数 u( x, y) , v ( x, y)
J [u] F ( x, y, u, ux , uy )dxdy
D
(0.4) (0.5)
J [u, v] F ( x, y, u, v, ux , v x , uy , v y )dxdy
D
其中 ux
u u v v , uy , vx ,vy 。 x y x y
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泛函的极值
Variational Methods
函数的极值概念 所谓 指 当 及 其 附 近 | x x0 | 时 ， 恒 有 f (y x 所谓函数 “附近” ，指的是： x0 点 取 极 小 值 ， 是 y函 ( x数 ) ()x在 ) 在另一个函数 y( x) x 在 x0 点
与复合函数概念的区别
【注意】 ：泛函不同于复合函数，例如 g g( f ( x)) 。 对于后者，给定一个 x 值，仍然是有一个 g 值与之对应； 对于前者，则必须给出某一区间上的函数 y(x)，才能得到一个泛函值 J[y]； 定义在同一区间上的函数不同，泛函值当然不同； 为了强调泛函值 J[y]与函数 y(x)只讲的依赖关系，常常又把函数 y(x)称为变量函数。 泛函的形式可以是多种多样的。
泛函的概念

Variational Methods
函数概念 泛函的概念
【函数】所谓函数，是指给定自变量 x（定义在某个区间内）的任一数值，就有一个 y 与之 对应。y 称为 x 的函数，记为 y=f(x)。

【泛函】简单地说，泛函就是整个函数为自变量的函数。这个概念，可以看成是函数概念的推广。 【定义】 设对于（某一函数集合内的）任意一个函数 y ( x ) ，有另一个数 J[y]与之对应，则称 J[y]为 y(x)的泛 函。这里的函数集合，即泛函的定义域，通常包含要求 y(x)满足一定的边界条件，并且具有连续的二阶导数。 这样的 y(x)称为可取函数。
c 的圆沿 x 轴滚动时圆周上的一点所描出的曲线中的一段。 2
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泛函的极值
【解】 ： 现在来解决开始提出的问题。由熟知的旋转面的面积公式
所以，这时的 Euler-Lagrange 方程也可以有首次积分：
y F F 常量C y
（1.4）
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泛函的极值
【例 1】 【捷线问题】 （续前例） 。
【解】 ：因为 F
Variational Methods
1 y 2 不含 x ，所以欧拉方程首次积分为 2 gy
的曲线就称为短程线或测地线。
【解】 ： 设这条曲线的方程可以写成
y y( x), z z( x) ,( x0 xk x1 )
（1）
式中， y ( x ), z ( x ) 为连续可微函数。因为曲线在曲面 f ( x, y, z ) 0 上，所以 y ( x ), z ( x ) 应该满足约束条件
【例 1】设在 x，y 平面上有一簇曲线 y y( x ) , x [a, b] ，其长度
L ds
C x1
x0
1 y2 dx
显然，y(x)不同，L 也不同，即 L 的数值依赖于整个函数 y(x)而改变。L 和函数 y(x)之间的 这种依赖关系，就称为泛函关系。
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f ( x , y, z ) 0
（2）
由高等数学知识知道，曲线(1)的长度为
L
x1
x0
1 y2 ( x) z2 ( x)dx
（3）
这样，短程线问题可归结为在满足约束条件（2）在，寻求过 A、B 两点的方程（1） ，使得积分（3）取得最小值。
短程线的变分问题称为约束极值问题或条件极值问题。
d F 0 dx y
所以，立即就可以得到它的首次积分：
（1.3）
F 常量C 。 y
【2】泛函中的 F F ( y, y) 不显含 x 可以证明，
F d F d F F d F F F y F y y y y y y dx y dx y dx y y y y
v
ds dt
图
最速降线
1 y 2
dx dt
（4）
由式（1） 、 （2）消去 v 并积分，得到质点沿曲线从 A 点滑行到 B 点所需要的时间为
T
x1
1 y2 2 gy
0
dx
（5）
显然， T 是依赖于函数 y y ( x ) 的函数， y y ( x ) 取不同的函数， T 也就有不同的值与之对应。 这样，捷线问题在数学上就归结为在满足条件 (2)的所有函数（1）中，求使得积分（5）取 最小值的函数。
的极值曲线 y y ( x ) 应满足必要条件
F d F 0 y dx y
或 （1.2）
Fy Fxy Fyy y Fyy y 0
方程（1）中 F 是 x, y, y 的已知函数并有二阶连续偏导数， （2）称为（1）的欧拉(Euler)—拉格 朗日（Lagrange）方程。
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泛函的极值
【泛函极值的必要条件】
泛函
Variational Methods
J [ y] F ( x, y, y)dx
x0
x1
的两种常见的特殊情形。
【1】 泛函中 F F ( x, y) 不显含 y 这时的 Euler-Lagrange 方程就是
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泛函关系的建立举例
Variational Methods
【例 3 】 【短程线问题】 （约翰 . 伯努利于 1697 年提出）在光滑曲面 f ( x, y, z ) 0 上给定
A( x0 , y0 , z0 ) 和 B( x0 , y0 , z0 ) 两点，在该曲面上求连接这两点的一条最短曲线 C。这条长度最短
1 y 2 y 2 c1 2 gy 2 gy (1 y2 )
令c
1 ，将上式化简，得到 2 gc12
y
y(1 y2 ) c
c c c sin 2 (1 cos 2 ) 2 1 y 2
令 y cot ，则方程化为
又因
dx
dy c sin 2 d c sin cos d c (1 cos 2 )d y cot cot
O A(0,0)
x
【解】 ：现在来建立这个问题的数学模型。如图所示， 取 A 为平面直角坐标系的原点，x 轴置于水平位置， y 轴正向朝下。显然，最速降线应该在这个平面内。 于是 A 点的坐标就是（0，0） 。设 B 点的坐标为 ( x1 , y1 ) 。 取连接 A 和 B 的曲线方程为
y
h v
mg
J [ y y] J [ y] 。
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泛函的极值
【泛函极值的必要条件】
【定理 1】 使 J [ y] a F ( x, y, y)dx 取得极值的函数 y=y(x)且满足固定边界条件
y(a) y0 , y(b) y1
b
Variational Methods
泛函关系的建立举例
用且初速度为零的质点从 A 点到 B 点沿这条曲线运动时所需时间最短。
Variational Methods
【例 2】 【最速降线或捷线问题】 （历史上的第一个变分法问题，1696 年约翰.伯努利在给雅各布.伯努利的公开信中提
出）设 A、B 是铅直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连接 A、B 的平面曲线中，求出一条曲线，使仅受重力作
变分法简介
Variational Methods
教 学 内 容

泛函的概念

【重点】：泛函的概念，如何建立泛函关系 【重点】：泛函极值的概念，泛函取极值的必要条件
泛函的极值

泛函的条件极值

【重点】：泛函的条件极值的必要条件
【重点】: 哈密顿原理及其应用
哈密顿原理

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泛函关系的建立举例
变分特性直到 1744 年才由欧拉解决。
【解】 ： 设闭曲线的参数方程为
Variational Methods
【例 4】 【等周问题】在平面上给定长度为 L 的所有光滑闭曲线中，求出一条能围成最大面积 的曲线。这就是它命名的由来。早在古希腊时期，人们就知道这条曲线是一个圆周。但它的
x c (2 sin 2 ) c2 2
积分，得
由边界条件 y (0) 0 ，得到 c2 0 。令 t 2 ，则得到捷线问题的解为
c x (t sin t ) 2 y c (1 cos t ) 2
上述方程是摆线 （也称旋轮线） 的参数方程， 其中 c 由边界条件 y( x1 ) y1 来确定。 因此， 捷线是半径为
可以使用同样的方法定义泛函的极值。

泛函函数的极值概念
考虑如下泛函的极值问题
J [ y] F ( x, y, y)dx
x0
x1
（1.1）
【泛函的极值】 ： “当变量函数为 y ( x ) 时， 泛函 J[y]取极小值” 的含义就是： 对于极值函数 y ( x ) 及其“附近”的变量函数 y( x) y( x) ，恒有
Variational Methods
mgh mv mg(h y) mv
1 2 2 Βιβλιοθήκη Baidu 1 2
2
O A(0,0)
x
式中， v0 0 ，g 是重力加速度，故有
h v （3） B ( x , y ) 1 1
v 2 gy
y
mg
设 y y ( x ) 为质点的运动方程，质点沿着该曲线从 A 运动到 B 点。 质点的原点速度可以表示为
B ( x1 , y1 )
图
最速降线
y y( x) (0 x x1 )
它在区间 [0, x1 ] 的两个端点满足条件
（1）
y(0) 0, y( x1 ) y1
（2）
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泛函关系的建立举例
设 M(x,y)为曲线 y y ( x ) 上的任意一点，则由能量守恒定律可得如下关系：
A
1 1 xdy ydx ( xy yx)dt 2 2 C C
（3）
于是，等周问题就是满足条件（2）的所有曲线（1）中，求使得积分(3)其最大值的曲线。 （2） 称为等周条件。
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泛函的概念

Variational Methods
x x(t ), y y(t ) , (t0 t t1 )
（1）
其中，函数 x(t ), y(t ) 连续可微，且 x(t0 ) x(t1 ) , y(t0 ) y(t1 ) 。再设闭曲线的长度是 L，即
L
t1
0
x2 (t ) y2 (t )dt
（2）
根据格林公式，这条曲线所围成的面积是
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泛函的概念

Variational Methods
本讲涉及的泛函关系
在此我们只限于用积分定义的泛函： 【1】 一元函数 y(x)，z(x)
J [ y] F ( x, y, y)dx
x0
x1
(0.1) (0.2) (0.3)
J [ y] F ( x, y, y, y)dx