向量在中学数学中的应用研究报告
向量在中学数学中的应用
向量在中学数学中的应用作者：王军林来源：《考试周刊》2013年第21期摘要：本文基于向量的基本理论与性质，主要介绍了向量在中学数学中的应用，并简单分析了向量学习的误区.关键词：向量数量积平面几何立体几何高中数学中引进向量，给中学数学带来了广阔的天地，无论是在平面几何﹑立体几何﹑解析几何﹑三角函数等方面都有着大大拓宽解题思路的重要作用.向量融“形”“数”于一体，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合.毫不夸张地说，向量的数形迁移思想在中学数学中能得到很好的体现.本文整理了几类向量在中学数学中的应用.一、预备知识1.平面向量的数量积a·b=|a||b|cosθ（a≠0，b≠0，0°≤θ≤180°）坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a·b=xx+yy.2.平面向量的基本定理如果e和e是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ、λ，使a=λe+λe.3.两个向量平行的充要条件a∥b？圳a=λb坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a∥b？圳xy-xy=0.4.两个非零向量垂直的充要条件a⊥b？圳a·b=0坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a⊥b？圳xx+yy=0.二、向量应用的探究1.利用向量解三角问题例1：已知α，β∈（0，），且cosα+cosβ-cos（α+β）=，求α，β的值.解：原条件式可化为sinαsinβ+（1-cosα）cosβ+cosα-=0构造向量={sinα，1-cosα}，={sinβ，cosβ}，|·|=|cosα-|≤？圯（cosα-）≤0？圯cosα=？圯α=由α，β的对称性知β=.2.利用向量解不等式的问题对于不等式问题的解决，有时如果我们利用常规的解法，往往很繁琐.利用两个向量的数量积的一个性质：·=||·||cosθ（其中θ为向量与的夹角），又-1≤cosθ≤1，则易得到以下推论：（1）·≤||·||；（2）|·|≤||·||；（3）当与同向时，·=||·||，当与反向时，·=-||·||；（4）当与共线时，|·|=||·||.下面利用这些性质和推论来看两个例子.例2：已知a和b为正数，求证：（a+b）（a+b）≥（a+b）.证明：设=（a，b），=（a，b）则·=a+b，||=，||=由性质|·|≤||·||，得（a+b）（a+b）≥（a+b）.说明：对于例1根式不等式我们通常采用两边平方的办法，但这种办法运算量大，容易出错.而应用向量法解决不等式的问题，不仅避免了常规解法的不足，而且为解题带来了新的思路.3.利用向量求最值问题最值问题是高中数学中的一个重要问题，在高考中它的考核主要体现在求实际问题，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积（体积）最大（最小）”等诸多实际问题上.解决这些问题的办法则是将其代数化，转化为函数，再利用所学的方法如：换元法，不等式法等求解.下面将介绍利用向量方法解最值问题.例3：已知m，n，x，y∈R，且m+n=a，x+y=b，求mx+ny的最大值.解：设=（m，n），=（x，y），则由向量积的坐标运算得·=mx+ny.而||=，||=，从而有mx+ny≤·.当与同向时，mx+ny取最大值·=.三、注意向量学习的几个误区误区一：“实数a﹑b﹑c由ab=ac，a≠0推出b=c”这一性质在向量推理中不正确.例4：取||=1，||=，与的夹角为45°，||=，与的夹角为0°.显然 = =，但≠.误区二：“如果ab=0，那么a，b中至少有一个为零”在向量推理中不正确.例5：已知||=2，||=3，与的夹角为90°，则有·=2×3×cos90°=0，显然≠，≠.由·=0，可以推出以下四种可能：①=，≠；②≠，=；③=，=；④≠且≠，但⊥.误区三：乘法结合律（ab）·c=a·（bc）在向量推理中不成立.例6：试说明（·）·=·（·）不成立.解：因为在式中·是一个数量，由实数与向量的积的运算的定义，可知左边表示的是与共线的向量，同理，右边表示的是与共线的向量，而向量与一般是不共线的，故（·）·≠·（·）.误区四：平面几何中的性质在向量中不一定成立.例7：判断下列各命题是否正确，并说明为什么？①若∥，∥，则∥.②若||=||，则=±.③单位向量都相等.解：①不正确，取=，则对两不共线向量与，也有∥，∥，但不平行于.②不正确，因为||=||只是说明这两个向量的模相等，但方向未必相同.③不正确，单位向量是模均是1，但对方向没有要求.综上所述，我们发现向量集数与形于一体，沟通了代数、几何与三角函数的联系.利用向量的运算法则、数量积可解决长度、角度、垂直问题，应用实数与向量的积，则可以证明共线、平行等问题，以及它的巧妙应用.其中运用到的数形迁移思想，是重要的数学思想方法.在高中数学中引进向量，充分体现出新教材新思路﹑新方法的优越性，并且对于培养直觉思维﹑逻辑思维﹑运算求解等理性思维能力，具有重要意义.参考文献：[1]人民教育出版社中学教学室.全日制普通高级中学教科书（试验修订本，必修），数学第一册（下）[M].人民教育出版社，2001，11.[2]沈凯.利用向量解平面几何问题[J].中学数学，2003（1）：15-16.[3]张萍.浅谈用向量法解立体几何题[J].中学数学研究，2004（4）：37-38.[4]邹明.用向量方法求空间角和距离[J].数学通报，2004（5）：36-37.[5]吕林根，许子道.解析几何[M].北京：高等教育出版社，1986.[6]白华玉.巧设法向量求点面距与线面角[J].数学通报，2003.2，25-26.。
向量在中学数学解题中的巧用
例２
如图 ２ ，已知三 菱 锥 Ｄ一 ｝ Ｃ的侧棱 ＯＡ ， Ｄ ， Ｏ Ｃ 两两 垂直 ，且 Ｏ Ａ＝ｌ ， ＝Ｏ Ｃ＝２ Ｅ 是 ＤＣ 的 中点 。 ，
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Ａ Ｂ 为正 三 角形 ， Ａ ＝ Ｂ＝ Ｃ＝２ ＡＣ Ｃ Ａ Ｂ 。
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在ＲＡ Ｎ ｔＣ Ｂ中，加 ＝ ２ √ ，可得Ⅳ Ｃ＝√ ２，故：
ｃ ｏ１４ ） （， － ，连结ＭＣ ，作Ｎ ＿ＭＣ￣ Ｈ 。 ，ｉ ＨＬ －
曾经 在 高 中数 学 教学 中解 决一 些 立 体 几何 和代 数 问题 时 ，我 们 仅 仅 应 用 本 书 中 的 定 理 、 公 理 、直 线 的位 置 关 系 ，直线 与 平 面之 间 的关 系 等 。如 果 现 在我 们 重 视用 空 问 向量 概 念来 解 决 问题 的 话 ，在 空 间 中解 决 和证 明较 难 的一 些 问题 时就 会 变 得较 为 容 易 ，而 且还 能 提 高学 生 的 思维 能 力、 分析 能力和 空 间想 象能 力 。 解 （ ） 作 Ｄ 上 Ｃ 垂 足 为 Ｄ ，连 接 Ａ ， 由侧 面 １： Ｏ Ｓ Ｃ为等 要 直 角三 角 形 ， Ａ Ｊ ０ ，如 图 ｌ Ｂ ０ － ，以 ０ 为 标 原点 ， ＯＡ为 轴 正 方向 ，建 立直 角 坐标 系 ｘ ｚ。 ｙ
丽． ： ， ０
相交 直线 Ｓ 、 Ａ 垂赢 ，所 以 ＯＧ 上平 面 Ｓ Ｂ 。 Ｅ Ｂ Ａ
一
Ａ Ｂ＝２，Ｂ ２ ２，Ｓ ＝ Ｂ＝ ３ Ｃ＝ ４ Ａ Ｓ √。
（ ）求 证 ： ． 上 Ｃ ； １
ＯＧ与 一Ｓ的夹 角 记 为 Ｄ ， Ｓ 与平 面 Ｓ Ｂ所 成 的角 Ｄ Ａ
向量在几何中应用研究
向量在几何中应用研究
向量集数形于一身，它是沟通代数、三角函数、几何的一种工具，有着极其丰富的背景。
可以这么说，向量作为中学数学必不可少的一部分进入高中教材，但研究不深，本文主要从简单平面几何、解析几何三方面来研究向量在其中的应用。
将向量作为高中数学的必学内容，是必然的。
无论是从国内外中学数学教学改革的历史经验来看，还是从当前中学数学教学的目的来看，向量进入中学数学，对于更好地学习几何，将来进一步学习高等数学，对于学生灵活运用数学知识解决实际问题都会有启蒙和奠基的作用。
1 向量在简单平面几何中的应用
向量化是几何抽象化的有效工具，是研究几何性质的量化手段，由于平面向量集与有序实数对集关于加法与数乘运算的同构，用向量法证明几何中的平行、垂直、中点等问题有许多简捷之处.
3 总结
在高中数学教材中为向量与的夹角，此公式无论对平面向量，还是空间向量都有明显的几何意义，它的引进为解决平面几何，空间几何，解析几何提供了一个实用，方便的工具，在几何角中具有举足轻重的地位。
向量课题研究报告
向量课题研究报告1. 引言向量是线性代数中的重要概念，在数学和科学领域有着广泛的应用。
本研究报告将讨论向量的基本定义、向量的代数运算、向量的几何表示以及向量的应用等方面的内容。
通过对向量的深入研究，可以帮助我们更好地理解和应用向量在不同领域中的作用。
2. 向量的基本定义在数学中，向量是有大小和方向的量。
向量可以用有序的数对(x,y)或有序的三元组(x,y,z)来表示。
向量通常用箭头表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的指向表示向量的方向。
向量的大小称为向量的模，向量的方向可以通过与坐标轴的夹角来表示。
3. 向量的代数运算向量的代数运算包括向量的加法和数乘。
向量的加法是将对应位置的元素相加得到新的向量，数乘是将向量的每个元素与一个实数相乘得到新的向量。
向量的加法和数乘满足一些基本性质，例如交换律、结合律和分配律等。
这些性质使得我们能够方便地进行向量的运算。
4. 向量的几何表示向量的几何表示是将向量表示为有向线段。
有向线段具有长度和方向，与向量的概念相符。
向量的起点可以选择为坐标原点，终点则表示向量的方向和大小。
几何表示的方法使得我们可以直观地理解和可视化向量。
5. 向量的应用向量在科学和工程领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，向量用来表示力、速度和加速度等物理量；在计算机图形学中，向量用来表示点、方向和颜色等属性；在经济学中，向量用来表示需求、供应和收益等因素。
向量的应用使得我们能够通过运用向量的概念和技巧来解决实际问题。
6. 结论通过本研究报告对向量进行了全面的介绍和讨论。
向量作为线性代数的基础概念，在数学和科学领域有着重要的作用。
本报告从向量的基本定义、向量的代数运算、向量的几何表示以及向量的应用等方面对向量进行了详细分析。
通过研究向量，我们能够更好地理解和应用向量在各个领域中的实际问题。
希望本报告能够为读者提供有关向量的基础知识和应用方法，以便将来的研究和学习中能够更深入地探索向量的奥秘。
向量在中学数学中的应用研究报告
向量在中学数学中的应用研究工作报告一、课题研究的背景及意义向量具有几何形式与代数形式的“双重身份”,它是中学数学知识的一个交汇点,是数学问题解决的重要工具。
《普通高中数学课程标准》对其教学要求为重基础,突出向量作为工具的作用。
本课题对高中数学教科书中的向量内容进行分析,把向量作为数学工具来解决数学问题,列举在教学中积累的应用向量解决问题的实例,并进行分类讨论。
主要是向量在平面几何、函数、等式与不等式、数列、复数、三角函数、平面解析几何等数学问题解决教学方面的应用。
学生在中学阶段必须掌握利用向量来解决常见的数学问题。
在此背景下，“运用向量法解题”是一值得关注和研究的问题。
二、课题研究的目标和内容研究目标本课题研究的目标是明确向量在中学数学解题中的地位，提高对向量解题的认识，有效地促进中学数学中利用向量解题，从解题的内涵、思维过程等方面试图从向量解题的思想方法、解题策略、解题心理、解题案例等方面尽可能全面的阐述向量解题，给学习向量的人提供相应的参考。
1、优化学生认识的结构根据数学学习的同化理论，学生在数学学习的过程中，总是在原有的知识基础上，学习、接受新的知识，使旧知识获得新的意义，使原来的认知结构得到重建和优化。
如学习向量平行与垂直时，可以使原有的直线平行、垂直含义及证明的方法得到扩充，得到同化，充实了学生的知识结构。
在向量的观念下，学生可以从多角度多方面思考数学知识，达到对知识的融合，优化学生认识结构。
2、培养学生的思维品质中学数学教学的目的之一是培养学生的思维能力，而培养数学思维品质是形成数学思维能力的基本条件。
向量的引入给培养学生的思维品质提供了新的方法和途径。
利用向量知识点的多样性，一题多解，培养思维的广阔性；在平面向量这一章中许多概念及有关向量的运算、运算性质、运算律、既类似于实数的相关知识，又有本质区别，这是本章难点，在训练过程中，完善学生认识结论，克服知识负迁移，培养思维的批判性；以课文习题为蓝本实现一题多变，培养思维的灵活性；利用向量形成解题模型，做到一法多题，培养学生思维的聚合性。
向量法在中学数学中的应用开题报告材料
本科毕业论文（设计）开题报告
论文（设计）题目向量法在中学数学中的应用
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向量法在中学数学解题中
向量在中学数学中的应用向量是中学数学的主要内容之一,巧妙地构造向量,利用向量的运算及性质,可以解决证明有关恒等式，不等式、求某些函数极值和有关几何问题。
1.在代数解题中的应用(1)求函数的最值(值域) 利用向量的模的不等式a b a b a b →→→→→→-≤+≤+, a b a b →→→→⋅≤,可以十分简单地求一些较为复杂的、运用常规方法又比较麻烦的最值(值域)问题．例1、求函数()32f x x =++分析：观察其结构特征，由3x +令(3,4),(p q x →→==，则()2f x p q →→=⋅+，且5,2p q →→==．故()212f x p q →→≤+=，当且仅当p →与q →同向，即30x =>时取等号，从而问题得到解决．(2)证明条件等式和不等式 条件等式和不等式的证明，常常要用一些特殊的变形技巧，不易证明．若利用向量来证 明条件等式和不等式，则思路清晰，易于操作，且解法简捷．例2、设22222()()()a b m n am bn ++=+，其中0mn ≠．求证:m a =nb ． 分析：观察已知等式的结构特征，联想到向量的模及向量的数量积，令(,),p a b →= (,)q m n →=，则易知p →与q →的夹角为0或π，所以p →∥q →，0an bm -=，问题得证．(3)解方程(或方程组)有些方程(方程组)用常规方法求解，很难凑效，若用向量去解，思路巧妙，过程简洁． 例3、求实数,,x y z 使得它们同时满足方程： 2313x y z ++=和22249215382x y z x y z ++-++=．分析：将两方程相加并配方得222(2)(33)(2)108x y z ++++=，由此联想到向量模，令(2,33,2),(1,1,1)a x y z b →→=++=，则a b →→==(2)1(33)1a b x y →→⋅=⋅++⋅ (2)118z ++⋅=，又因为18a b a b →→→→⋅≤=，其中等式成立的条件即为方程组的解，即当且仅当12x =133+y =12+z 0>时等式成立，问题解决． (4)解复数问题因为复数可以用向量表示，所以复数问题都可以用向量来研究解决．例4、已知复平面内正方形ABCD 的两对角顶点A 和C 所对应的复数分别为23i +和 44i -，求另外两顶点B 和D 所对应的复数．分析：先求D ，为此得求OD --→．因OD O A A D -→-→-→=+，而AD --→是AC --→依逆时针方向旋转4π，同时将AC --→倍，因此先求AC --→．而AC OC OA --→--→--→=-，故AC --→对应的复数是 44(23)27i i i --+=-，于是AD --→对应的复数是95(27)cos sin4422i i ππ⎫-+=-⎪⎭ 又OD OA AD --→--→--→=+，所以OD --→可求．同理可求OB --→，问题解决．(5)求参变数的范围求参变数的范围是代数中的一个难点，常常要进行讨论，若用向量去解，会收到意想不到的效果.例5、设,,,a b c d R ∈，且22222(0),3k a b c d k k a b c d +++=>+++=，试讨论 ,,,a b c d 的范围．分析：由2222a b c d +++联想到向量的模，令(,,),(1,1,1)p a b c q →→==，则p q a b c k d →→⋅=++=-，p q →→==.由p q p q →→→→⋅≤得k d -≤102d ≤≤，由,,,a b c d 对称性便可得,,,a b c d 的范围． 2.在三角解题中的应用向量的数量积的定义，将向量与三角函数融为一体，体现了向量的模与三角函数之间的关系，为运用向量解决三角函数问题创造了有利的条件．(1)求值例6、已知3cos cos cos()2αβαβ+-+=，求锐角,αβ的值． 分析：由已知得3(1cos )cos sin sin cos 2βαβαβ-+=-，观察其结构特征,联想到向量的数量积，令(1cos ,sin ),(cos ,sin )a b ββαα→→=-=，则3cos 2a b β→→⋅=-，a b →→=．由a b a b →→→→⋅≤得3cos 2β-≤，所以1cos 2β=， 即3πβ=，代入已知等式便可求得α的值．(2)证明恒等式例7、求证：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+分析：由等式右边联想到向量的数量积，令(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ→→==， 则1,1a b →→==，且易知a →与b →的夹角为βα-，则cos()a b a b βα→→→→⋅=-cos()βα=-， 又cos cos sin sin a b αβαβ→→⋅=+，则问题得证．3.在平面几何解题中的应用利用向量加法、减法、数乘和内积的几何意义，可以巧妙而简捷地进行几何证明和解决几何中有关夹角的问题．例8、试证明以三角形的三中线为边可以作成一个三角形.分析：如图，,,AD BE CF 分别为ABC ∆三边上的中线，若要证明,,AD BE CF 能作成一个三角形，只须证明AD BE CF --→--→--→++=0→．证明：设AB --→=c →, BC --→=a →, CA --→=b →,则0a b c →→→→++=，而AD AB BD --→--→--→=+ 12c a →→=+，BE BC CE --→--→--→=+12a b →→=+, 所以 CF CA AF --→--→--→=+12b c →→=+． 于是 AD BE CF --→--→--→++=1()02a b c a b c →→→→→→→+++++=，即以,,AD BE CF 为边可构成一个三角形．4.向量在解析几何中的应用平面向量作为一种有向线段，本身就是线段的一段，其坐标用起点和终点坐标表示，因此向量与平面解析几何有着密切联系．在解析几何中，它可使过去许多形式逻辑的证明转化为数值的计算，化复杂为简单，成为解决问题的一种重要手段和方法.例9、已知一个圆的直径两端点为1122(,),(,)A x y B x y ，求此圆方程.解：设(,)P x y 为圆上异于,A B 的点，由圆周角定理得AP --→⊥BP --→，若(,)P x y 是与点A 或B 重合的点，则AP --→=0→或BP --→=0→，故都有AP --→⋅BP --→=0成立，从而 1122()()()()0x x y y x x y y --+--=，此即为所求圆方程．例10、求过圆22(5)(6)10x y -+-=上的点(6,9)M 的切线方程．解：如图,设(,)N x y 是所求切线上的任意一点，则MN --→(6,9)x y =--， (1,3)O M --→'=,因为MN --→⊥O M --→'，所以MN --→⋅O M --→'=0，即(6)3(9)0x y -+-=，此即为所求切线的方程(即使是,N M 重合时，仍有MN --→⋅O M --→'=0，因为此时MN --→=0→)．5.在立体几何解题中的应用直线与平面所成的角、最小角定理，异面直线所成的角，二面角及其平面角概念、求法，两平面垂直的判定及性质定理，点面、直线与平行面、两平行面、异面直线等四种距离的概念及求法以及用向量解决有关直线、平面的垂直、平行、共面以及夹角与距离问题.例11、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱1111,A D A B 的中点，求BC 和面EFBD 所成的角． 解：如图，建立空间直角坐标系D xyz -，设正方体棱长为2，则坐标为：(2,2,0),(0,0,0),B D 1(1,0,2),(2,1,2),(0,2,2)E F C ， (2,2,0),(1,0D B DE --→--→∴== y1(2,0,2)BC --→=-．设n →(,,)x y z =是平面EFBD 的法向量，n →DB --→⋅0=，n →⋅DE --→0=， 得1,2y x z x =-=-，令2x =-，得(2,2,1)n →=-，设θ为1BC 和面EFBD 所成的角，则111sin cos ,6BC n BC n BC nθ⋅=<>==⋅arcsin 6θ= 综上所述，向量是一种有效的工具，在众多数学问题中有十分广泛的应用．因此，我们应该有意识地运用向量分析问题，借助向量的知识来解决问题．。
向量在中学数学中的应用
向量在中学数学中的应用洛宁一高 吴怡静摘要 向量知识在代数、几何、三角、复数等数学分支中有着非常广泛的应用,利用向量知识可以巧妙而简捷地处理多种问题.文章主要讨论了向量知识在中学数学解题应用中一些新颖而独特的应用. 关键词 向量 数量积 向量法引言向量知识是解决数学问题的重要工具, 用向量法解题，方法新颖、思路清晰、运算简便、提高做题速率，是学生常用的解题方案之一。
下面举例分析向量在中学数学中的一些应用。
1. 向量在代数中的应用向量知识在中学教材中是以几何的形式出现的，给人的感觉是在几何中应用广泛，其实用向量来解决代数中的一些问题也很方便。
下面就介绍这方面的应用。
1.1 等式证明证明等式用常规方法则运算比较繁琐，如果能用向量知识解答运算则就较为简捷。
例1 已知11122=-+-a b b a ，求证a 2+b 2=1.证 设)1(2a a m -=，，()b b n ，21-= ,n 与m 的夹角为θ，][πθ，0∈.则1cos =⋅=⋅θn m n m, 又1==n m,所以cos θ＝1，θ＝0. 所以m //n.因此01122=-⋅--b a ab , 移项然后两边平方，整理得a 2+b 2=1.例2 已知（x 2+y 2+z 2)(a 2+b 2+c 2)=(ax+by+cz)，且x ，y ，z ，a ， b ，c 为非零实数，求证cz b y a x ==. 证 构造向量()()c b a n z y x m ,,,,,==. m 与n 的夹角为θ，[]πθ，0∈，则()()()1cos 222222222=++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=c b a z y x cz by ax n m n m θ, 由此得πθθ==或0,所以m //n.因此cz b y a x ==.1.2 不等式证明证明不等式主要依据有关向量的性质公式，如b a b a ⋅≤⋅.例3 已知a ，b ，c R ∈，且a+2b+3c=6，求证a 2+2b 2+3c 3≥6.证 构造向量()c b a m 32，，=,()321，，=n ,所以6=⋅n m,32132222++⋅++=⋅c b a n m.由向量不等式得32132326222++⋅++≤++=c b a c b a ,即 632222≥++c b a .例4 已知：a,b *∈R ,a+b=1.求证：221212≤+++b a . 证 构造向量()1,1=m，()1212++=b a n ， .则1212+++=⋅b a n m,2=m,2=n .由 n m n m⋅≤⋅ ,得221212≤+++b a .1.3 解方程用向量法解方程，则可使问题得到巧妙而简便的解答。
向量在高中数学中的运用(一)
k2
4m2 12 3 4k 2
பைடு நூலகம்
km
8km 3 4k 2
m2
3m2 12k 2 3 4k 2
解得： m 2k （舍)，或 m k,
若 F 在以 MN 为直径的圆内，则 FM FN 0 ，
即 FM FN x1 1, y1 x2 1, y2 x1x2 x1 x2 1 y1y2 0 ，
2
设
MN
方程为
y
kx
m
，则
3x2
4y2
12
y kx m
3 4k2
x2 8kmx 4m2 12 0 ， x1 x2
8km 3 4k 2
， x1x2
4m2 12 3 4k 2
y1
y2
k x1
x2 2m
k
8km 3 4k 2
2m
6m 3 4k 2
，
y1 y2 kx1 mkx2 m k2x1x2 kmx1 x2 m2
（Ⅲ）设 DP DF 1, 2, 3 , 2, 3 ， 0,1 ， ∴ P , 2, 3 ，∴ BP 1, 2 2, 3 ，又∵平面 ABE 的法向量 n 3, 0,1 ，
∴ sin cos BP, n
3 3 3
3，
2 12 2 22 3 2 4
4
五、向量与立体几何的应用
【解析】（Ⅰ）证明：取 D 为原点， DA 所在直线为 x 轴， DE 所在直线为 z 轴建立空间直
角坐标系，如图，则 A1,0,0， B1,2,0 ， E 0,0, 3 ， F 1, 2, 3 ， ∴ BE 1, 2, 3 ， AB 0,2,0 ，
设平面 ABE 的法向量 n x, y, z ，∴{x 2 y
向量在中学中的应用问题研究报告
向量在中学中的应用问题研究报告一、引言向量是数学中的基本概念之一，它既有大小，又有方向，为解决许多实际问题提供了重要的工具。
在中学阶段，向量既是数学知识的重要组成部分，也是解决物理、工程等实际问题的重要工具。
本报告将探讨向量在中学中的应用问题，以期帮助学生更好地理解和应用向量。
二、向量的基本概念向量是一个有方向的量，表示物体运动或力的作用。
在数学中，向量可以用有向线段来表示，其大小（或长度）和方向分别由线段的长度和角度确定。
在中学阶段，学生需要掌握向量的加法、数乘、向量的模、向量的数量积、向量的向量积、向量的混合积等基本概念和运算方法。
三、向量的应用1.力的合成与分解：在物理中，力是一个向量，可以用向量来表示。
力的合成与分解是向量的重要应用之一。
通过向量的加法，可以求出多个力的合力；通过向量的数乘和向量积，可以求出分力。
这为解决力学问题提供了重要的方法。
2.速度和加速度：速度和加速度是物理学中的重要概念，它们都是向量。
通过向量的数乘和加法，可以计算出物体在一段时间内的位移和速度变化，进而求出加速度。
这为解决运动学问题提供了重要的工具。
3.力的矩：在物理学中，力矩是一个向量，表示力对物体转动作用的量。
通过向量的数量积和向量积，可以求出力矩的大小和方向，进而研究物体的转动。
4.电路分析：在电路分析中，电流、电压、电动势等都是向量。
通过向量的加法、数乘和数量积，可以计算出电路中的电流、电压和电动势等参数。
这为解决电路问题提供了重要的方法。
四、结论通过以上分析可以看出，向量在中学中的应用非常广泛。
学生应该深入理解向量的基本概念和运算方法，掌握向量的加法、数乘、向量的模、向量的数量积、向量的向量积、向量的混合积等基本运算，以便更好地应用于解决实际问题中。
同时，教师也应该注重向量的应用教学，通过实例让学生更好地理解向量的应用价值。
向量在中学数学中的应用
向量在中学数学中的应用向量在解决高中数学问题中的应用主要体现在许多方面，如：空间几何向量、线性向量等。
比较突出的就是空间几何向量，应用比较广泛，主要应用于证明，计算等方面。
由于空间几何类的数学问题比较抽象，要想解决此类问题就需要向量来将其转化，将几何问题转化为比较简单的代数问题，以便于计算和证明。
通过调查分析，学生反映在证明几何问题时，大部分首选向量这一计算方式来解决问题。
在传统的计算方法对比下，无论是学生还是教师更愿意采用向量的方法来解决问题。
立体几何引入空间向量以后确实降低了解题的难度，而在求解过程中，要求学生有很强的运算能力，但由于计算繁琐，直观性较差，学生还是会有很多问题。
最突出的问题就是缺乏空间立体感，还有繁琐的计算容易出现错误。
数学几何的学习空间想象力十分重要，这就给向量使用带来一定的困难，许多学生在确定坐标时不确定，导致解决问题时出现各种错误。
对空间向量的运用不熟练等问题也会直接影响解题速度。
由此可见，向量的使用不能过于盲目，需要具体问题具体分析。
另外，向量在高中数学中使用较多，这就在一定程度上让学习养成依赖的习惯，虽然有些题目可以使用向量，解答稳定。
但是确阻碍了学生思考和探究的热情，只依赖于基础的公式，不能学会活学活用，阻碍了学生创新能力的全面发展，思维过于狭隘，不懂得多方位思考问题。
有些题只是简单的公式代入，甚至有时连图都不用参考，这将不利于培养学生的分析能力、空间想象能力。
此外，学生对于向量知识结构体系了解不够全面。
向量具有形与数的双重身份，它成为高中数学知识的交汇点，成为联系多项数学内容的桥梁，所以学习向量有助于学生理清各种知识间的联系，学生理解了这种联系，可以去构建和改善自己的数学认知结构。
而现实过程中学生们掌握的.向量知识是片面的、独立的，不能建立完整的知识结构体系，这也不利于学生对向量的学习。
最后，高中数学教材中对于向量的了解比较粗略，无法协助学生更加深入细致的介绍，在一定程度上无法满足用户学生的自学，种种问题都就是影响向量化解数学问题的因素。
浅谈向量在中学数学中的一些应用
ｋ６０ Ｋ∈ 后仍为 向量 ａ那么 ａ０ 由此可证明几 ３０ ， Ｚ） ， ＝， 个 向量 和为 ０的一类 问题 ：
例一
求证 ：
ＯＰ ＋ ２ …＋ １ ＯＰ ＋ ＯＰ ０Ｏ
＝
ｎ
设 ＰＰＰ… Ｐ 是 圆 ２３ ｎ
２单 位 向量 的应 用 ． 模 为 １的 向量 叫单位 向量 。 因此 把所 有 表 示单 位 向量 的有 向线段 的起 点 平 移 到一 点 Ｏ，则 终 点 Ｐ
又 是 一种重 要 的数 学工具 。
关键词 ： 向量 ； 二面角 ； 圆。 椭 中图分 类号 ： １ ３ Ｏ ２
文 献标 识码 ： Ａ
文章 编号 ： １ ７ ２ ２ ０ ） ４ ０ ９ — ３ １ ７ — ５ Ｘ（０ ８ ０ — ０ ８ ０ ６
向量 是 “ 载体 ”， 既具 有 独 特 的 丰 富 内涵 ， 是 又
的 内 接 正 ｎ边 形 ， 为 圆 心 。 Ｏ
的集合就构成了以 Ｏ为圆心 ， 单位长度为半径的圆。
－ ． ＋
ｎ
分 析 ：要证
— —
， ＋
——— ｝
如果 以圆心 Ｏ为原点 ， 建立平面直角坐标 系， 就把单 位 向量与直角坐标系中的单位圆联系起来了。根据 三 角 函数定 义 ，单 位 向量 ａ的坐 标 总 可 以设 为 （ Ｏ ｓ 、 ｓ ＣＳ ＣＳ ｉ ０） （ ｉ ０，Ｏ ０， ｎ ｎ ０） 或 （ Ｏ （ ＣＳ 一０） ｓ ，ｉ ｎ （ 一０） （０为任意角 ）那么单位 圆中两个单位 向量 ，
避开较复杂的空间想象 、 简化运算等优点。由此探索 向量 的应 用是非 常有 益 的 。
一
边形 的位置不变 ， 仅各顶点改变了编号而已。 故它们 的和向量不变 ，即 ａ 旋转了 ｎ
向量在中学数学中的应用实施方案
向量在中学数学中的应用研究实施方案一、研究课题向量在中学数学中的应用二、课题的提出随着数学教育的不断发展和时代的快速进步，向量应用得到了蓬勃发展，向量教学也逐渐进入大学、中学的课程教育中。
在高中数学实践及应用中，向量扮演了重要的角色。
随着向量教学的深入，高考内容发生了实质性的变化，尤其是应用题、立体几何问题更注重创新能力及数学应用意识的培养，向量的应用逐渐成为了高考的热点问题。
三、实验的方向与目标、内容1、研究方向向量是高中数学的新增内容，也是数学的重要概念之一，由于它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，与中学数学的许多主干知识综合，形成知识的交汇点．因此，它或作为知识的载体，或作为解决问题的工具，几乎渗透到数学的所有分支之中．本课题就向量在复数，等式不等式，最值，三角，线性规划，几何等问题中的应用进行详细的探讨．2、研究目标：向量已经渗透到中学数学的许多方面，向量法代替传统教学方法已成为现代数学发展的必然趋势。
向量法是一种值得学生花费时间、精力去掌握的一种新生方法，学好向量知识有助于理解和掌握与之有关联的学科。
因此在中学数学教学中加强向量的教学与研究，为更好地学习其它知识做好必要的准备工作就显得尤为重要。
但传统教学思想对向量抵触较大，许多教者认为向量法削弱了学生的空间想象能力，且学生初学向量时接受较为困难，这就要求我们通过我们的不断探索，找出最佳的教和学的方法，发挥向量的作用，使向量真正地面为现代数学的基础。
3、研究内容（1）向量在复数问题中的应用（2）向量在等式和不等式问题中的应用（3）向量在最值问题中的应用（4）向量在三角问题中的应用（5）向量在数列问题中的应用（6）向量在线性规划问题中的应用（7）向量在平面解析几何问题中的应用（8）向量在立体几何问题中的应用四、实施步骤（1）在新一轮的教育理念指导下，针对研究内容，收集、整理有关信息资料，形成研究方案。
（2）建立健全课题研究机构，确保实验研究顺利开展。
向量在中学数学中的应用
向量在中学数学中的应用向量知识在几何、代数、三角、复数等数学分支中有看十分广泛的应用,利用向量这一工具可巧妙而简捷地处理多种题型.向量法解题,可激发学生学习兴趣,拓宽学生的思维,培养学生的创新意识和能力.向量兼有数与形两大特征，向量的三种运算又能有效、简捷地描述图形中的数量关系和图形之间的位置关系，加之向量与坐标系具有天然的联系，所有这些得天独厚的特性使得向量成为解决中学数学有关问题的强有力工具。
一、向量与图形概括起来，运用向量方便、简洁地解决的图形问题大致有以下几类：（1）比例的有关问题；（2）平行与垂直的有关问题；（3）角度与距离的有关问题。
由于平面向量与空间向量没有本质的区别，因此，不管是平面图形还是空间图形，运用向量解决、研究图形问题的思路是一致。
一般情况下，有两种途径：一是选择适当的基向量，其它有向线段用基向量线性表示，然后通过向量的运算求解；二是建立适当的坐标系，运用向量或点的坐标运算求解。
究竟用哪一种方法，可视具体问题而定。
下面举例说明之。
例1 已知P、Q过△OAB的重心G，OP:OA=m，OQ:OB=n, 求证：1m+1n=3。
分析这是涉及到比例的问题，运用向量的加法、数乘运算即可。
图7-23中有众多的线段，不妨以不共线的向量→OA、→OB为基向量，其它有向线段用基向量线性表示。
设→OA=a，→OB =b，则→OD=12( a+b),→OG=13( a+b)，→OP=m→OA,→OQ=n→OB。
→PG=→OG-→OP=(13-m) a+13b,→PQ=→OQ-→OP= n b –m a。
∵P、Q、G共线，∴存在λ，使→PG=λ→PQ，即(13-m) a +13b =λ（n b –m a ）。
整理，得(13-m+λm)a +（13–λn ）b =0，于是，13-m+λm=0，13–λn=0，消去λ，得1m +1n=3。
例1也可以通过建立坐标系，运用向量的坐标运算来解决，读者不妨一试。
浅谈向量在中学几何中的应用
浅谈向量在中学几何中的应用摘要：向量是新教材中的新增内容，以向量为载体的解中学几何问题是新课程高考中出现的新趋势，本文就有关向量在中学几何中的应用谈谈自己的看法。
关键词：向量；向量的模；向量的加法和减法；向量与解析几何；向量与立体几何一.平面向量在解析几何中的应用1.向量坐标与点的坐标向量坐标与点的坐标是不同的，设()()1122,,,A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--，但当向量是以坐标原点为起点时，向量坐标就是点的坐标，即()1,1OA x y =.例1（01天津）设坐标原点为O ，抛物线22y x =与过焦点的直线交于A 、B 两点，则=⋅OB OA解：设()11,A x y 、()22,B x y ，则()11,OA x y =，()22,OB x y =22121212124y y OA OB x x y y y y ∴⋅=+=+，又抛物线22y x =的焦点为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可设直线AB 方程为12x my =+代入22y x =得2210y my --=，121y y ∴=-，故13144OA OB ⋅=-=-。
2.利用向量的数量积求夹角由cos ,a b a b a b ⋅=可知,向量的数量积在解决与长度、角度有关的问题时非常有效. 例2．（04全国）给定抛物线C ：y 2=4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于AB 两点，设l 的斜率为1，求OA 与OB 的夹角的大小；解：抛物线的焦点为F （1，0），直线l 的斜率为1，所以l 的方程为1y x =- 将1y x =-，代入方程24y x =，并整理得 2610x x -+= 设()()1122,,,A x y B x y ，则有126x x +=，121x x =()()()112,212121212,213OA OB x y x y x x y y x x x x ⋅=⋅=+=-++=-222112||||OA OB x y x =+⋅+==∴()cos ,41OA OB OA OB OA OB⋅==-⋅∴OA OB 与夹角的大小为arc cos41π-3.利用0a b a b ⋅=⇔⊥处理解析几何中有关垂直的问题例3．（04重庆）设0p >是一常数，过点()2,0Q 的直线与抛物线22y x = 交于相异两点A 、B ，以线段AB 为直经作圆H （H 为圆心）.试证抛物线顶点在圆H 的圆周上；并求圆H 的面积最小时直线AB 的方程.分析: 证抛物线顶点在圆H 的圆周上,即证OA OB ⊥,即证0OA OB ⋅= 解：由题意，直线AB 不能是水平线，故可设直线方程为：2ay x =-.设()(),,,A A B B A x y B x y ｝，则其坐标满足222ay x y x =-⎧⎨=⎩消去x 可得 2240y ay --=，则24A B A By y a y y +=⎧⎨=-⎩⎪⎩⎪⎨⎧==+=++=+44)(,24)(422B A B A B A B A y y x x a y y a x x因此0,A B A B OA OB x x y y ⋅=+=⊥即OA OB ，故O 必在圆H 的圆周上.又由题意圆心H (),H H x y 是AB 的中点，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=.2,222a y y y a x x x B A H B A H由前已证，OH 应是圆H 的半径，且45||2422++=+=a a y x OH H H . 从而当a=0时，圆H 的半径最小，亦使圆H 的面积最小.例4．（04安徽 春季）如图（1）,A 、B 、C 是长轴为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个端点，BC 过椭圆的中心，,||2||AC BC BC AC ⊥=，求椭圆的方程.解:建立如图（1）的直角坐标系,则()2,0A ,设椭圆方程为22214x y b+=,点C 的坐标为(),m n ,则点B 的坐标为(),m n --.AC BC ⊥,∴0AC BC ⋅=,即()()2,2,20m n m n -⋅=, 图 （1） ∴ 2220m m n -+= ①2BC AC =,∴CO AC =,=∴ 1m =将m=1代入①,得n=1,∴()1,1C 代入椭圆方程得21114b +=,∴ 243b =,x故所求的椭圆方程为223144x y += 4.利用平行向量的等量关系式得到点坐标之间的关系例5．（04全国）设双曲线C ：()22210:1x y a l x y a-=>+=与直线，相交于两个不同的点A 、B ，设直线l 与y 轴的交点为P ，且5,12PA PB =求a 的值.分析:设A 、B 两点的坐标，由512PA PB =就得到了A 、B 两点坐标的等量关系，再利用韦达定理，通过解方程组得a 的值。
向量在中学数学知识体系中应用论文
向量在中学数学知识体系中的应用【摘要】为了加深对向量思想方法的理解，提高学生的数学思维品质，本文介绍了向量在函数、不等式、平面几何、平面解析几何、立体几何等知识体系中的巧妙运用。
【关键词】中学数学向量知识体系向量是近代数学中重要的基本数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。
兼有代数与几何两种形式，具有代数的抽象与严谨和几何的直观，运算简洁而富有新意，有深刻的几何、物理背景。
向量思想方法在教学中的渗透，对提高学生数学解题能力，培养学生数学创造性思维，提高学生数学素质，实现中学数学课程目标等具有很强的现实意义。
向量在初中引入到高中阶段的深入，这深刻体现了向量在整个中学数学中占有特别重要的位置。
高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。
为了使学生进一步提高向量思维方法的领悟能力，需要通过一些实际案例的学习和分析，阐述与交流来提高对向量思想方法体现的理解力，对向量思想方法渗透的感知力，对向量思想方法运用的辨析力。
下面主要举例说明向量思想方法在中学数学中的典型运用。
1.向量在函数中的运用向量与函数表面看来没什么联系，但是深入思考可知向量的模和向量的数量积是联系向量与函数的纽带。
比如函数中求最值问题，就可以采用向量的两个不等关系来进行联系，其，其二。
运用向量思想方法求解函数最值问题时，就应该首先想到上面的两个不等式，运用函数与向量的关系，可以引导学生把向量思想运在解决函数问题，进而加深学生对向量的认识。
案例1 已知,求的最小值。
分析：从所求的式子的特点，可以发现可分别构造向量进行求解。
解：构造向量，则当且仅当同时平行即时等号成立。
解得：评注：由上案例可知，运用向量求函数的最大值的最大优点是解法简单、有规律、较容易理解、易于掌握。
2.向量在不等式的运用向量可以用几何表示（即用有向线段表示）也可以用代数表示（即用坐标表示）。
因此我们必须把图形和数字牢牢的联系起来，也是说向量和图形可以相互转化，用代数方法研究。
向量法在中学数学中的应用
. .- .可修编存档编号学 士 学 位 论 文题 目：向量法在中学数学中的应用教学学院: 数学与计算机科学学院届 别: 2017届专 业: 数学与应用数学学 号: 130700046姓 名: 王雨晴指导教师: X 颖芬完成日期: 2016年 12 月向量法在中学数学中的应用摘要在数学学习中，涉及到的相关解题方法是非常多的，如向量法、几何法、面积法、三角法等，本论文主要针对向量法在中学数学中的应用来进行研究及分析，对于向量法相关的解题方法及技巧进行了详细的研究。
本论文采用归纳演绎的方法对向量法的相关概念、常用公式及定理等进行了介绍，并采用举例分析法对向量法在解题中的实际应用进行了论证，且选择了几个不同的方面来对向量法在中学数学中解题的巧用进行了研究，希望本论文的研究及分析工作能够为类似数学方面的研究带来一定的指导意义。
关键词：向量法；应用；举例分析法；中学数学AbstractIn Learning Mathematics, related to problem-solving approach is very much involved, such as Vector, geometric method, area method, trigonometry, etc., the main application of Vector paper in middle school mathematics for research and analysis carried out on solving Problems associated with the vector methods and techniques have been studied in detail. This paper uses the method of induction and deduction related concepts vector method, monly used formulas and theorems were introduced, and then, using the example of vector analysis method in solving problems of practical application were demonstrated. The paper chose several different aspects of vector method in middle school mathematics problem solving clever use were studied, hoping to research and analysis work in this paper can bring a certain significance for the study of mathematics is similar.Keywords: Vector; applications; for example analysis; Middle School Mathematics目录摘要Ⅰ1 引言12 相关理论知识介绍22.1 向量的概念22.2 向量的表示22.3向量的运算42.3.1 加法运算42.3.2 减法运算42.3.3 数乘运算42.3.4 向量的数量积42.3.5 向量的平移公式52.3.6 线段定比分点公式52.4向量的基本定理52.4.1 平面向量的基本定理52.4.2 空间向量的基本定理52.4.3 共线向量的基本定理62.4.4 共面向量的基本定理63 向量法在中学几何中的应用63.1 向量法在平面几何中的应用63.2 向量法解决立体几何问题73.3 向量法在解析几何中的应用104 向量法在中学代数中的应用154.1 求函数的最值164.2 求参变数X围164.3 解方程174.4 解复数问题174.5 证明条件等式184.6 向量法在证明解不等式问题中的应用184.7 向量法解决方程组问题185 向量法解三角函数的问题195.1 求值195.2 证明恒等式21结论22参考文献23致241 引言对于向量及向量法在中学数学中的应用等相关理论知识而言，它是我国中学数学进行改革之后新增加的内容，目的在于为学生提供更好的工具来解决相关数学问题及更好的拓展学生的思维能力。
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向量在中学数学中的应用研究工作报告
一、课题研究的背景及意义
向量具有几何形式与代数形式的“双重身份”,它是中学数学知识的一个交汇点,是数学问题解决的重要工具。
《普通高中数学课程标准》对其教学要求为重基础,突出向量作为工具的作用。
本课题对高中数学教科书中的向量内容进行分析,把向量作为数学工具来解决数学问题,列举在教学中积累的应用向量解决问题的实例,并进行分类讨论。
主要是向量在平面几何、函数、等式与不等式、数列、复数、三角函数、平面解析几何等数学问题解决教学方面的应用。
学生在中学阶段必须掌握利用向量来解决常见的数学问题。
在此背景下，“运用向量法解题”是一值得关注和研究的问题。
二、课题研究的目标和内容
研究目标
本课题研究的目标是明确向量在中学数学解题中的地位，提高对向量解题的认识，有效地促
进中学数学中利用向量解题，从解题的内涵、思维过程等方面试图从向量解题的思想方法、解题策略、解题心理、解题案例等方面尽可能全面的阐述向量解题，给学习向量的人提供相应的参考。
1、优化学生认识的结构
根据数学学习的同化理论，学生在数学学习的过程中，总是在原有的知识基础上，学习、接受新的知识，使旧知识获得新的意义，使原来的认知结构得到重建和优化。
如学习向量平行与垂直时，可以使原有的直线平行、垂直含义及证明的方法得到扩充，得到同化，充实了学生的知识结构。
在向量的观念下，学生可以从多角度多方面思考数学知识，达到对知识的融合，优化学生认识结构。
2、培养学生的思维品质
中学数学教学的目的之一是培养学生的思维能力，而培养数学思维品质是形成数学思维能力的基本条件。
向量的引入给培养学生的思维品质提供了新的方法和途径。
利用向量知识点的多样性，一题多解，培养思维的广阔性；在平面向量这一章中许多概念及有关向量的运算、运算性质、运算律、既类似于实数的相关知识，又有本质区别，这是本章难点，在训练过程中，完善学生认识结论，克服知识负迁移，培养思维的批判性；以课文习题为蓝本实现一题多变，培养思维的灵活性；利用向量形成解题模型，做到一法多题，培养学生思维的聚合性。
在向量教学中强化数学思想方法，优化思维品质。
3、培养学生建模能力
向量一章的内容，突出的是知识的应用。
新课标准把数学建模能力列为学生学习数学需完成的知识。
向量的工具作是显然的。
这里可以借助物理问题，通过把物理问题转化为数学问题，建立数学知识与物理知识的联系，即把物理问题抽象成数学问题，然后利用数学模型解释相关物理现象，培养学生建模能力。
4、帮助学生养成数学文化素养
向量以其独特的内容、形式和功能，反映了人类文明的优秀文化成果，作为知识的继承者，学生学好向量，完善知识结构，养成自身的数学文化素养。
研究内容
（1）向量在复数问题中的应用
（2）向量在等式和不等式问题中的应用
（3）向量在最值问题中的应用
（4）向量在三角问题中的应用
（5）向量在数列问题中的应用
（6）向量在线性规划问题中的应用
（7）向量在平面解析几何问题中的应用
（8）向量在立体几何问题中的应用
三、课题研究的方法
本课题采用文献研究法、调查研究法、实验研究法与统计研究法相结合的综合研究法。
在研究中应用好一题多解、一题多变、一法多题的解题方法。
1、一题多解，培养思维的广度。
对于一道数学题，往往由于审视的方向不同，而得到不同的解题方法。
进行一题多解的训练，有助于开阔视野，拓宽思路、开发智力、发展能力。
从辩证法的观念出发，建立在矛盾分析法基础上的一题多解，由于它以定向理论为指导，以矛盾分析为武器，这样不仅可以指导人们如何想，而且还能明白为什么这样想，让我们在解题时不仅知其然，而且知其所以然，提高我们解题的自觉性。
一题多解的关键是思维发散，而这种发散是自觉而不盲目的，是必然而不是偶然的，是有章可循而不是生搬硬套的。
例如在平面向量的教学中，我们可以选择典型例题，有意识地在已有的知识范围内，尽可能地提出不同的构想，追求更简洁、更巧妙、更美的解法，有利于培养思维的求异性、灵活性，扩展思维的广度。
2、一题多变，培养思维的灵活性
我们平常所解的习题大都是具有完备的条件和固定的结论的封闭题，它对于巩固知识、建立知识结构起着基础性作用。
但为了培养思维的灵活性、创造性和探究精神，我们可以采用隐去封闭的条件(结论)，或给出结论(条件)探索成立的条件(结论)，或采用类比、引申、拓展等方式实现一题多变，培
养思维的灵活性。
3、一法多题，培养思维的聚合性
一种方法解决多个问题，是一种模型化解题的方式，利于知识的同化，它反映了思维的聚合性，表现为对形式不同的问题，通过化归等手段集中指向同一种方法去解决，它的特点是抛弃那些非本质的繁杂的特征，揭示事物表面现象的深层本质。
四、课题研究步骤
第一阶段（2012年2月—2008年4月）主要任务是组建课题组，查阅资料，收集信息，进行理论学习和交流活动，研究制定课题实施方案。
聘请科研人员对课题进行指导和可行性论证。
第二阶段(2012年5月—2012年10月)主要是全面实施课题方案，定期检测目标完成情况，及时发现问题、解决问题，不断调整、完善方案。
做好资料积累和分类整理工作，并归类妥善管理，进行阶段性小结，实验人员定期写出个案指导、课例、笔记及论文。
第三阶段（2012年11月—12月）主要任务是归纳、整理研究资料，撰写课题研究的总结报告和实验报告，聘请专家论证、结题。
向量在中学数学中的应用研究工作报告
课题负责人：武心兵
课题组成员：宿纪兵张峥刘春燕王红
执笔：宿纪兵。