量子力学基础
第01章 量子力学基础
l l
d2 2 n x 2 n2 h2 n x 2 ˆ x n ( x) p sin sin dx 2 l l l l2 l n 2 2 h2 n2 h2 2 2 n ( x) 2 n ( x) l 4 l 4
h2 E1 8ml 2
能级公式表明体系的最低能量不能为零，由于箱内势能
V=0，这就意味着粒子的最低动能恒大于零，这个结果称为
零点能效应。最低动能恒大于零意味着粒子永远在运动，即 运动是绝对的。在分子振动光谱、同位素效应和热化学数据理论
计算等问题中,零点能都有实际意义。
C 波函数与几率密度
2 n x n ( x) sin l l
0 0<x<l ∞ x≤0或x≥l
理。
V(x)=
（1）Schrodinger方程及其解
箱外： ( x) 0
2 d 箱内：H T V 2 0 2m 2m dx 2 2 2
定态Schrodinger方程为
d ( x) E ( x) 2 2m dx
2 c2 l
2 n x n ( x) sin l l
n2 h2 En 8ml 2
n=1,2,3,…
（2）求解结果的讨论
n2 h2 En 8ml 2
2 n x n ( x) sin l l
A 能量量子化
能级公式表明，束缚态微观粒子的能量是不连续的，此即 微观体系的能量量子化效应。相邻两能级的间隔为
★ 根据边界条件确定方程的特解
因为必须是连续和单值的，即 (0)= (l)=0，故有
量子力学三大理论基础
量子力学三大理论基础量子力学是描述微观世界中粒子运动规律的理论体系，其发展史可追溯到20世纪初。
在量子力学的研究中，有三大理论基础是至关重要的，它们分别是波粒二象性、不确定性原理和量子叠加原理。
波粒二象性波粒二象性是最早提出的量子力学的基础概念，指的是微观粒子既具有粒子的特征，如位置和能量，又具有波动的特征，如干涉和衍射。
这个概念首次被德国物理学家德布罗意提出，他认为粒子也像波一样存在一种波动。
之后的实验证实了电子、中子等粒子都具有波动性质，确立了波粒二象性的观念。
波粒二象性的概念不仅揭示了微观世界的新规律，也为量子力学的发展提供了坚实的基础。
通过波粒二象性，我们可以更好地理解微观世界中粒子的行为，例如解释干涉实验结果和电子双缝干涉现象等。
不确定性原理不确定性原理是由著名的物理学家海森堡提出的，其核心思想是在同一时刻无法确定一个粒子的位置和动量。
简单来说，当我们对一个粒子的位置进行测量时，其动量将变得不确定，反之亦然。
这个原理的提出打破了牛顿力学中确定性的观念，揭示了微观世界的一种新奇特性。
不确定性原理的发现对于我们理解和描述微观粒子的行为起到了至关重要的作用。
它不仅给出了一种全新的解释，也为量子力学的进一步发展奠定了基础。
量子叠加原理量子叠加原理是量子力学中的另一个重要基本原理，它表明一个量子系统可以处于多个态的叠加态。
换句话说，在某些情况下，一个粒子不仅可以处于A态或B态，还可以同时处于A态和B态的叠加态。
这种叠加态的出现在经典力学中是难以想象的，但在量子力学中却是一种普遍现象。
量子叠加原理为我们提供了一种全新的量子态描述方式，丰富了我们对于微观粒子行为的认识。
通过对叠加态的研究，科学家们不断深化对量子力学的理解，推动了量子技术和量子计算等领域的发展。
总结以上所述的波粒二象性、不确定性原理和量子叠加原理构成了量子力学的三大理论基础。
这三个基本概念为我们揭示了微观世界中粒子行为的规律，为科学家们探索更深奥的量子世界提供了宝贵的线索。
量子力学的基础概念
量子力学的基础概念量子力学是描述微观领域中粒子行为的物理学理论，它构建了一种不同于经典力学的框架，以解释原子、分子、凝聚态物质等微观领域的现象和行为。
本文将介绍量子力学的基础概念，包括波粒二象性、不确定性原理、量子态和测量等内容。
1. 波粒二象性波粒二象性是量子力学的核心概念之一，它表明微观粒子既具有粒子性质又具有波动性质。
根据德布罗意假说，所有物质粒子都具有波动性，波长与粒子动量成反比。
这一假说在实验中得到了验证，例如电子衍射和干涉实验。
波粒二象性的存在使得量子力学与经典物理有根本性的不同。
2. 不确定性原理不确定性原理是量子力学的重要基础，由海森堡提出。
它指出，在对粒子的某一性质进行测量时，无法同时准确测量它的动量和位置。
也就是说，位置和动量的精确测量是不可能的。
不确定性原理改变了我们对物理世界的认识，揭示了微观领域的不可预测性和局限性。
3. 量子态量子态是描述量子系统的状态，通常用波函数表示。
波函数包含了关于粒子位置、动量和其他性质的概率分布信息。
根据量子力学的计算方法，可以通过波函数预测微观粒子的行为和性质。
量子态还包括叠加态和纠缠态等特殊的量子态，它们展示了量子力学独特的特性。
4. 测量在量子力学中，测量是得到粒子性质信息的过程。
与经典物理不同，量子力学中的测量会导致系统塌缩到一个特定的量子态。
这个过程是不可逆的，而且测量结果是随机的。
根据测量理论，只有对某个性质进行测量后，才能确定该性质的具体取值。
总结：量子力学是一门革命性的物理学理论，它揭示了微观世界的本质和行为规律。
通过对波粒二象性、不确定性原理、量子态和测量等基础概念的介绍，我们可以更好地理解和应用量子力学的理论框架。
这些基本概念为我们解释和预测微观粒子的行为提供了扎实的基础，并在现代科技的发展中发挥着重要作用。
量子力学的发展和应用仍在继续，我们对于微观世界的认知也将逐步深化。
量子力学基础
结论
对微观粒子，讨论其运动轨道及速度是没有意义的。 波函数所反映的只是微观粒运动的统计规律。 区别 宏观物体：讨论它的位置在哪里 宏观物体：讨论它的位置在哪里 位置 微观粒子：研究它在那里出现的几率有多大 微观粒子：研究它在那里出现的几率有多大 几率
波函数的性质
(1) 波函数具有归一性 粒子在整个空间出现的几率：W = ∫ dw = (2) 单值性： 单值性： (3) 连续性 (4) 有限性 波函数的统计解释(玻恩诠释 波函数的统计解释 玻恩诠释) 玻恩诠释
不确定关系
ℏ ∆X ⋅ ∆Px ≥ h ∆X ⋅ ∆Px ≥ 2 ∆t ⋅ ∆E ≥ h ℏ ∆t ⋅ ∆E ≥ 2 尔格秒)，因而在宏观 ℏ 是一个小量(1.05 × 10 −27 世界中，不能得到直接体现。
假如：X的位置完全确定，即∆X → 0 ，则粒子的 动量就完全不能确定，即∆Px → ∞ ， 假如粒子处于 Px 数值完全确定的状态时( ∆Px → 0 ) ，则无法在X方向上把粒子固定住，即X的位置是 完全不确定的。
若体系具有一系列不同的可能状态， 若体系具有一系列不同的可能状态，{Ψ1, Ψ2···}， } 则它们的线性组合Ψ=C1Ψ1,+C2Ψ2+··· 也是该体系的 则它们的线性组合Ψ 一个可能的状态。其中C 为任意复常数。 一个可能的状态。其中C1, C2 ···为任意复常数。 为任意复常数 态叠加原理：统计规律中的几率幅相加律。 （而不是几率的相加律）
量子学说
能量量子化(能量子)的观点违背日常生活经 验，当时没有被人接受，而普朗克本人也 踌躇不前。 其实，从这个假说出发，如果再向前一步 ，就可以得出电磁场能量具有不连续性的 结论，甚至可以得出电磁场包括光在内还 有粒子性的结论，但他没有迈出这关键的 一步。
大学物理理论：量子力学基础
大学物理理论：量子力学基础1. 介绍量子力学是现代物理学的重要分支，它描述了微观粒子的行为和性质。
本文将介绍一些关于量子力学的基本概念和原理。
2. 原子结构和波粒二象性2.1 光电效应光电效应实验证明了光具有粒子性。
解释光电效应需要引入光量子（光子）概念，并讨论能量、动量和波长之间的关系。
2.2 德布罗意假设德布罗意假设认为微观粒子也具有波动性。
通过计算微观粒子的德布罗意波长，可以得出与经典物理不同的结果。
3. 波函数和不确定性原理3.1 波函数及其统计解释波函数描述了一个系统的状态，并包含了关于该状态各个可观测量的信息。
通过波函数，可以计算出一系列平均值，用来描述系统的特征。
3.2 不确定性原理不确定性原理指出，在某些情况下，无法同时准确地确定一个粒子的位置和动量。
这涉及到测量的本质和粒子与波的性质之间的关系。
4. 玻尔模型和量子力学4.1 玻尔模型玻尔模型是描述氢原子中电子运动的经典物理学模型。
它通过量子化角动量来解释氢原子光谱，并提供了首个对原子结构和能级分布的定性解释。
4.2 泡利不相容原理泡利不相容原理说明电子在同一能级上必须具有不同的状态。
这为填充多电子原子如何达到稳态提供了解释。
5. 薛定谔方程及其解析方法5.1 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中最基本的方程。
它描述了波函数随时间演化的规律，以及如何通过波函数求得可观测量的平均值。
5.2 解析方法介绍几种求解薛定谔方程的解析方法，如分离变量法、变换法等，并通过示例问题演示其使用过程和计算结果。
6. 哈密顿算符与算符方法6.1 哈密顿算符哈密顿算符是用于描述系统总能量的数量。
介绍哈密顿算符的概念和性质，并讨论如何通过其本征值和本征函数求解问题。
6.2 算符方法算符是量子力学中描述可观测量的数学工具，介绍常见的一些算符，如位置算符、动量算符等，并讨论它们之间的对易关系。
结论量子力学作为现代物理学的基石，为我们理解微观世界提供了全新的视角。
量子力学基础
③、普朗克公式
1900年，马克思·普朗克，根据能量量子化 的假设拟合实验曲线得出一个经验公式：
此式与实验曲线完全符合，称为普朗克公式。
(普朗克荣获1918年诺贝尔物理学奖)
15
普朗克
二、普朗克能量量子化假设
①、组成黑体腔壁的分子、原子可看作是带电 的线性谐振子，可以吸收和辐射电磁波。
⑶、普朗克公式
如何给出与实验曲线符合的表示式(即M与T、λ的关系)？
①、瑞利—金斯公式 瑞利 (J.W.S.Rayleigh,1842—1919，英国人，1904年因发现 氩获诺贝尔物理学奖) 1877年用经典电磁理论和能 量按自由度均分原理得出：
Mλ(T )= C1λ-4T
金斯（1890年）从另一个角度也给出此结论，故称为瑞 利—金斯公式
②、谐振子只能处于某些特定的能量状态，每
一状态的能量只能是最小能量ε0的整数倍。
而ε0是谐振子处于最低能量状态的能量，它与谐振子的振动频率 成正比，即ε0=hυ，
因此谐振子的能量为
E = nε0=nh， 式中n =1、2、3……为正整数，称为量子数, 16 ε0= h是最小能量称为量子。
普朗克公式的推演
电子被镍晶体衍射实验
戴维孙
电子衍射实验证明了德布罗意物质波的假设， 下图是一束细电子射线穿过金属箔后生成的衍 射图样。按照衍射圆环的距离、金属晶格的大 小，算出的波长几和理论值一致。
由于C.P.汤姆孙和戴维孙的贡献，获得了 1937年诺贝尔物理学奖。
电子束透过多晶铝箔的衍射
K
44
汤姆孙
三、不确定关系 （测不准关系）
电子绕核作圆周运动，其稳定状态满足电子的角动量L
物理化学-量子力学基础
04 量子力学的应用
量子计算
量子计算
量子计算机
利用量子力学原理进行计算，具有经典计 算无法比拟的优势，如加速某些算法、实 现更高级别的加密等。
利用量子比特作为计算基本单位，能够实 现并行计算，大大提高计算效率。
量子算法
量子纠错码
基于量子力学原理设计的算法，如Shor算 法、Grover算法等，能够解决经典计算机 无法有效解决的问题。
不确定性原理
总结词
指在量子力学中，无法同时精确测量某些对立的物理量，如位置和动量、时间和能量等。
详细描述
不确定性原理是量子力学中的重要原理之一，它表明微观粒子的某些物理量无法同时被精确测量。这是因为测量 一个物理量可能会对另一个物理量产生干扰，从而影响其测量精度。这一原理限制了人们获取微观粒子精确信息 的可能性。
量子态和叠加态
总结词
量子态是指微观粒子所处的状态，可以 用波函数来描述；叠加态是指一个量子 系统可以同时处于多个状态的叠加。
VS
详细描述
在量子力学中，微观粒子的状态由波函数 来描述。波函数是一个复数函数，其模方 的物理意义是粒子处于某个状态的概率幅 。当一个量子系统可以同时处于多个状态 时，这些状态被称为叠加态。叠加态是量 子力学中的基本概念之一，它解释了微观 粒子的一些奇特性质，如干涉和纠缠等。
利用量子力学原理设计的错误纠正码，能 够提高量子计算机的稳定性。
量子通信
01
02
03
04
量子密钥分发
利用量子力学原理实现密钥分 发，能够保证通信的安全性。
量子隐形传态
利用量子纠缠实现信息传输， 能够实现无损、无延迟的通信
。
量子雷达
利用量子力学原理实现探测， 能够探测到传统雷达无法探测
量子力学基础
量子力学基础量子力学是现代物理学的基石之一，它描述了微观世界中粒子的行为和性质。
本文将介绍量子力学的基础知识，包括波粒二象性、波函数、测量和不确定性原理等内容。
一、波粒二象性量子力学的核心观念之一是波粒二象性，即物质既可以表现出粒子的离散性质，又可以表现出波的波动性质。
这一观念由德布罗意提出，他认为任何物体都具有波函数。
二、波函数与波动方程波函数是量子力学中描述微观粒子状态的数学函数。
它可以用来计算粒子的位置、动量和能量等物理量。
根据薛定谔方程，波函数满足定态和非定态的波动方程。
三、量子力学中的测量在量子力学中，测量是指对粒子某个物理量进行观测并得到相应的结果。
与经典物理学不同的是，量子物理学中的测量结果是随机的，只能得到概率分布。
四、不确定性原理不确定性原理是量子力学中的重要概念，由海森堡提出。
不确定性原理指出，在给定的时刻，不能同时准确测量一个粒子的位置和动量。
精确测量其中一个物理量，将会导致对另一个物理量的测量结果存在不确定性。
五、量子力学中的算符在量子力学中，算符是用来描述物理量的操作。
比如，位置算符、动量算符和能量算符等。
根据算符的性质，可以求得粒子的期望值和本征态等信息。
六、量子纠缠和超导量子纠缠是量子力学中的一个重要现象，它描述了两个或多个粒子之间的紧密联系。
超导是一种物质在低温条件下具有零电阻和完全抗磁的特性。
七、量子力学的应用量子力学在许多领域都有广泛的应用，尤其是在量子计算、量子通信和量子传感器等前沿科技领域。
量子力学的发展为人类带来了许多革命性的技术和突破。
八、总结量子力学作为现代物理学的重要理论基础，对我们理解微观世界具有重要意义。
本文介绍了量子力学的基础知识，包括波粒二象性、波函数、测量和不确定性原理等内容。
希望读者通过阅读本文，对量子力学有更深入的了解，并能进一步探索其在科学和技术中的应用前景。
第一章 量子力学基础
1.1.3 氢原子光谱与轨道角动量量子化
1913年, Bohr提出一个新模型: 原子中的电子在确定的分 立轨道上运行时并不辐射能量; 只有在分立轨道之间跃迁时才有 不连续的能量辐射; 分立轨道由“轨道角动量量子化”条件确定:
m、v、r分别是电子的质量、线速度和轨道半径，n是一系列正 整数. 由此解释了氢原子的不连续线状光谱. 1922年, Bohr获诺 贝尔物理学奖.
假设 1
微观体系的状态可用一个状态函数或波函数Ψ（x, y, z, t） 描述， Ψ（x, y, z, t）决定了体系的全部可测物理量. 波函数应具有品优性, 包括单值性、连续性、平方可积性.
z 定态波函数 不含时间的波函数ψ(x,y,z)称为定态波函数。 （定态：概率密 度与能量不随时间改变的状态） z 波函数的具体表示形式 用量子力学处理微观体系时，要设法求出波函数的具体表示形 式。而波函数的具体表达式是由解Schrödinger方程得到的。 例如氢原子的1s态的波函数为： ψ 1s =
n=5 n=4 n=3 n=2
n=1
1.1.3 氢原子光谱与轨道角动量量子化
Bohr模型对于单电子原子在多方面应用得很有成效，也 能解释原子的稳定性. 但它竟不能解释 He 原子的光谱，更不 必说较复杂的原子；也不能计算谱线强度。 量子化条件是对的，半径有问题，角动量是错的； 仍属于经典力学，只是认为附加了一些量子化条件——称 为旧量子论
E = hv
λ= h / p
1.1.4 实物微粒的波粒二象性
1927年，戴维逊、革末用电子束单晶衍射法，G.P.汤姆逊用 多晶透射法证实了物质波的存在. 1929年, de Broglie获诺贝尔物 理学奖；1937年，戴维逊、革末、G.P.汤姆逊也获得诺贝尔奖.
第22章量子力学基础
第22章量⼦⼒学基础第22章量⼦⼒学基础⼀、德布罗意物质波德布罗意认为不仅光具有波粒⼆象性，实物粒⼦也具有波粒⼆象性。
描述实物粒⼦波函数中的、与实物粒⼦的能量E和动量p 的德布罗意关系：戴维孙-⾰末电⼦衍射实验，约恩孙电⼦双缝⼲涉实验都证实了电⼦具有的波动性。
⼆、海森伯不确定关系由于微观粒⼦具有波粒⼆象性，我们就⽆法同时精确地测定微观粒⼦坐标与动量，海森伯提出了如下的不确定关系：1、动量-坐标不确定关系2、时间-能量不确定关系三、波函数微观粒⼦具有波粒⼆象性，它不同于经典的波也不同于经典的粒⼦，要描述微观粒⼦群体随时间的变化，引⼊波函数。
波函数确定后，微观粒⼦的波粒⼆象性就能得到准确的描述。
波函数是微观粒⼦的态函数。
1、波函数的物理意义：某⼀时刻在空间某⼀位置粒⼦出现的⼏率正⽐于该时刻该位置波函数的平⽅，或，即⼏率密度2、波函数的归⼀化条件3、波函数的标准条件，单值有限连续。
四、薛定谔⽅程薛定谔⽅程是量⼦⼒学的基础⽅程，由它可解出粒⼦的波函数1、⾃由粒⼦：，，2、势场中粒⼦：*⾮定态：式中，为哈密顿算符。
定态：五、薛定谔⽅程应⽤实例1、⼀维势箱：⾦属中电⼦、原⼦核中质⼦势能分布的理想化模型。
它的势函数阱内⼀维定态薛定谔⽅程解得满⾜边界条件（标准条件）归⼀化条件的解的波函数能量当n=1时为基态能量，也叫零点能。
相应各量⼦数n的波函数，⼏率密度和能级分布如图：2、⼀维势垒：半导体中p-n结处电⼦和空⽳势能分布的简化模型。
3、隧道效应：粒⼦越过或穿透⾼于其总能量的势垒。
4、原⼦、分⼦运动的量⼦化特征：原⼦振动能量：分⼦转动能⼒：5、电⼦⾓动量：轨道⾓动量：，⾃旋⾓动量：，6、氢原⼦的定态：氢原⼦中电⼦的定态薛定谔⽅程解出来的波函数满⾜有限单值连续的标准条件可得下表中的四个量⼦数。
四个量⼦数表征氢原⼦中电⼦状态的特征，如表所列：⾓量⼦数给定以后，可取磁量⼦数给定以后，可取个值，即……⾃旋量⼦数只取两个值，确定电⼦的⾃旋⾓动量某⼀⽅向上的投影原⼦中不可能有两个或两个以上的电⼦具有完全相同的量⼦态，或者说⼀个原⼦中任何两个电⼦不可能具完全相同的四个量⼦数。
量子力学需要的基础课程
量子力学需要的基础课程
要学习量子力学，您需要掌握以下基础课程：
1. 微积分：量子力学中的方程和操作是基于微积分的概念和技巧的。
2. 线性代数：量子力学中的态矢量和算符都是向量和矩阵的概念，因此线性代数是理解量子力学的基础。
3. 经典力学：量子力学是对经典力学的扩展和修正，因此对经典力学的基本原理和概念有一定的了解是有益的。
4. 电磁学：量子力学中的粒子与电磁场的相互作用是重要的研究对象，因此对电磁学的基本原理和概念有一定的了解是必要的。
5. 物理学实验方法：量子力学是通过实验来验证和验证的理论，因此了解物理学实验的基本原理和方法是有益的。
6. 数学物理方法：量子力学中的一些问题需要使用数学物理方法来解决，如泛函分析、群论、微分方程等。
这些课程将为您提供量子力学的基础知识和数学工具，帮助您更好地理解和应用量子力学的原理和方法。
量子力学基础
23.03.2020
17
% 1
R°H
1
n12
1 n22
R° 为H 里德堡常数， R°=H 1.09677576×107m-1
莱曼系（Lyman） n1=1 n2 =2，3... 远紫外区 巴尔麦线系（Balmer） n1=2 n2 =3，4... Hα，Hβ，Hγ，
Hδ为可见区，其 余为近紫外区 帕邢系（Paschen） n1=3 n2 =4，5... 近红外区
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10
Ek 0 ν0
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②对于每一种金属电极， 仅当入射光的频率大于 某一频率时，才有电流 产生，称临阈频率，与 金属性质有关。
③光电效应产生的电子
ν
的初动能随光的频率增 大而增加而与光的强度
无关。
④入射光照射到金属表 面立即有电子逸出，二 者几乎无时间差。
11
根据光波的经典图象，光波的能量与它 的强度（振幅的平方）成正比，而与频率 无关。因此只要有足够的强度，任何频率 的光都能产生光电效应，而电子的动能将 随着光强的增加而增加，与光的频率无关， 这些经典物理学家的推测与实验事实不符。
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电子的波性是和微 粒行为的统计性联
系在一起的。
29
原子和分子中的电子其运动具有波性， 其分布具有几率性。原子和分子的运 动可用波函数描述，而电子出现的几 率密度可用电子云描述。
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3.不确定关系（测不准原理）
测不准原理是由微观粒子本质特性决定的。 1927年海森堡（ （Heisenberg）提出：一个粒子不能同时具有确定的坐标和动 量（也不能将时间和能量同时确定），它要遵循测不准关系。
量子力学的基础
量子力学的基础量子力学是20世纪初建立起来的一门物理学理论，它的出现彻底颠覆了经典物理学的观念。
量子力学的基础包括了几个重要概念和原理，本文将对这些基础内容进行介绍和解析。
一、波粒二象性量子力学的基础之一是波粒二象性。
在经典物理学中，光被认为是粒子的流动，例如光的传播速度可以解释为光粒子在空间中的移动速度。
然而，根据量子力学的观点，光既展现出粒子特性，又表现出波动特性。
这意味着光既可以看作是一束光子流动，又可以看作是波动在空间中传播。
类似地，电子、中子等微观粒子也具有波粒二象性。
二、不确定性原理不确定性原理是量子力学的另一个基础概念。
量子力学认为，对于一个粒子的某些物理量（如位置和动量），无法同时进行精确测量，只能得到其一定范围的测量值。
这就是著名的不确定性原理。
如海森堡不确定性原理就表明，无法同时准确测量一个粒子的位置和动量。
这个原理挑战了经典物理学中的确定性观念，引发了科学界的巨大震动。
三、波函数和量子态量子力学中，波函数是描述粒子运动状态的数学函数。
波函数的平方值给出了粒子存在于某个位置的概率密度，而不再是经典物理学中的精确位置。
波函数可以用于计算任何粒子的性质和行为，因此是量子力学的核心概念之一。
根据波函数的形式，我们可以将粒子的状态分为几种不同的量子态，如基态、激发态等。
四、量子力学算符量子力学中，算符是一个非常重要的概念，用来描述和操作量子力学中的物理量。
算符对应于在物理现象中观察到的各种不同可测量的物理量，如位置、动量、能量等。
通过对算符进行操作和变换，我们可以得到粒子的各种物理性质和运动状态。
五、量子力学的数学框架量子力学除了以上基础概念外，还建立了一套严密的数学框架。
其中包括了波函数的薛定谔方程、量子力学算符的定义和性质、态矢量的表示等。
这些数学工具为量子力学的计算和研究提供了强大的支持。
结论量子力学的基础概念和原理为我们理解微观世界的规律和现象提供了有效的工具。
波粒二象性、不确定性原理、波函数和量子态、量子力学算符以及数学框架等内容是量子力学的重要组成部分。
量子力学的基础知识
量子力学的基础知识
1.波粒二象性：物质既有粒子性又有波动性，既可以表现为粒子，又可以表现为波。
2.可观察量和算符：量子力学中的物理量称作可观察量，其对应的数学操作符称作算符。
3.薛定谔方程：描述量子系统演化的基本方程，它可以用来计算系统的波函数。
4.波函数：描述量子系统状态的函数，包含了系统所有的信息。
5.不确定原理：由于波粒二象性的存在，同一物理量的不同测量结果有一定的不确定性。
6.量子叠加态和纠缠态：量子系统可以处于多个状态的叠加态，同时这些状态之间可以相互影响并产生纠缠。
7.算符的本征值和本征态：算符作用于某个态时，可以得到一个数值和一个相应的本征态，它们是算符所描述的量子系统的重要特征。
8.量子力学的统计解释：许多量子现象都可以用统计方法来解释和描述。
大学物理第17章.量子力学基础
§17.1 物质的波粒二象性 §17.2 不确定关系 §17.3 薛定谔方程 §17.4 一维无限深势阱 §17.5 势垒贯穿 §17.6 氢原子的量子力学处理 §17. 7 多电子原子 §17. 8 量子力学的理论假设
§17.1 物质的波粒二象性
一、德布罗意物质波假设 1.光的二象性
p2 eU , p 2meU
2m h 1.225 nm =0.167nm
pU
2. 汤姆逊（G.P.Thomson）实验（1927） 电子通过金薄膜的衍射实验
实验原理 3. 约恩逊(Jonsson)实验（1961）
电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验 基本数据
a 0.3μm d 1μm
V 50kV 0.5nm
微粒的波动性的应用 -----电子束代替光波来实现成像(电子显微镜)
电子与物质相互作用会产生透射电子，弹性散射电子，能量 损失电子，二次电子，背反射电子，吸收电子，X射线，俄 歇电子，阴极发光等等。电子显微镜就是利用这些信息来对 试样进行形貌观察、成分分析和结构测定。
由于微观粒子具有波粒二象性，这就要求在描述 微观粒子的运动时，要有创新的概念和思想来统一波 和粒子这样两个在经典物理中截然不同的物理图像。 波函数就是作为量子力学基本假设之一引入的一个新 的概念。
量子力学认为：微观粒子的运动状态可用一个复
函数(x,y,z,t)来描述，函数(x,y,z,t) —称为波函数。
2.波函数的统计解释
波动观点
粒子观点
明纹处: 电子波强(x,y,z,t)2大, 电子出现的概率大;
暗纹处: 电子波强(x,y,z,t)2小, 电子出现的概率小 。
可见，波函数模的平方(x,y,z,t)2与粒子在该处
第一章量子力学基础
（3）粒子的动量平方px2值
假设三：本征方程
2 2 2 nx h d 2 ˆ x n 2 2 p sin 4 dx l l h 2 d n 2 nx 2 cos 4 dx l l l
h n 2 nx 2 sin 4 l l l
l
2 l nx ih d nx sin sin dx l 0 l 2 dx l
ih l
nx nx d sin 0 sin l l
l
2 xl
ih sin (nx / l) 0 l 2 x 0
2 ˆ ˆ H － 2 ＋V 8 m h2
：拉普拉斯算符
2 2 2 2 ＝ 2 ＋ 2 ＋ 2 x y z
19
假设三：本征方程
Schrö dinger方程算法解析
一个质量为m的 粒子，在一维 势井中的运动。
0 ， 0 ﹤x ﹤ l V= ∞ ， x ≤0 和 x≥ l
一维势箱中粒子的波函数、能级和几率密度
假设三：本征方程
总结: 势箱中粒子的量子效应：
1.存在多种运动状态，可由Ψ1 ，Ψ2 ，…，Ψn 等描述；
2.能量量子化；
3.存在零点能；
4.没有经典运动轨道，只有几率分布；
5.存在节点，节点多，能量高。
假设三：本征方程 箱中粒子的各种物理量
（1）粒子在箱中的平均位置
力学量 算符 力学量 算符
位置
x
ˆx x
ˆ p
ih ＝ － x 2 π x
x y y x
势能 V
第一章量子力学基础
第⼀章量⼦⼒学基础第⼀章量⼦⼒学基础知识⼀、概念题1、⼏率波：空间⼀点上波的强度和粒⼦出现的⼏率成正⽐，即，微粒波的强度反映粒⼦出现⼏率的⼤⼩，故称微观粒⼦波为⼏率波。
2、测不准关系：⼀个粒⼦不能同时具有确定的坐标和动量3、若⼀个⼒学量A 的算符A作⽤于某⼀状态函数ψ后，等于某⼀常数a 乘以ψ，即，ψψa A=?，那么对ψ所描述的这个微观体系的状态，其⼒学量A 具有确定的数值a ，a 称为⼒学量算符A的本征值，ψ称为A ?的本征态或本征波函数，式ψψa A=?称为A ?的本征⽅程。
4、态叠加原理：若n ψψψψ,,,,321为某⼀微观体系的可能状态，由它们线性组合所得的ψ也是该体系可能存在的状态。
其中：∑=++++=ii i n n c c c c c ψψψψψψ332211，式中n c c c c ,,,,321为任意常数。
5、Pauli 原理：在同⼀原⼦轨道或分⼦轨道上，⾄多只能容纳两个电⼦，这两个电⼦的⾃旋状态必须相反。
或者说两个⾃旋相同的电⼦不能占据相同的轨道。
6、零点能：按经典⼒学模型，箱中粒⼦能量最⼩值为0，但是按照量⼦⼒学箱中粒⼦能量的最⼩值⼤于0，最⼩的能量为228/ml h ，叫做零点能。
⼆、选择题1、下列哪⼀项不是经典物理学的组成部分？ ( )a. ⽜顿(Newton)⼒学b. 麦克斯韦(Maxwell)的电磁场理论c. 玻尔兹曼(Boltzmann)的统计物理学d. 海森堡(Heisenberg)的测不准关系2、下⾯哪种判断是错误的？( )a. 只有当照射光的频率超过某个最⼩频率时，⾦属才能发⾝光电⼦b. 随着照射在⾦属上的光强的增加，发射电⼦数增加，但不影响光电⼦的动能c. 随着照射在⾦属上的光强的增加，发射电⼦数增加，光电⼦的动能也随之增加d. 增加光的频率，光电⼦的动能也随之增加3、根据Einstein的光⼦学说，下⾯哪种判断是错误的？( )a. 光是⼀束光⼦流，每⼀种频率的光的能量都有⼀个最⼩单位，称为光⼦b. 光⼦不但有能量，还有质量，但光⼦的静⽌质量不为0c. 光⼦具有⼀定的动量d. 光的强度取决于单位体积内光⼦的数⽬，即，光⼦密度4、根据de Broglie关系式及波粒⼆象性，下⾯哪种描述是正确的？( )a. 光的波动性和粒⼦性的关系式也适⽤于实物微粒b. 实物粒⼦没有波动性c. 电磁波没有粒⼦性d. 波粒⼆象性是不能统⼀于⼀个宏观物体中的5、下⾯哪种判断是错误的？( )a. 机械波是介质质点的振动b. 电磁波是电场和磁场的振动在空间的传播c. 实物微粒波的强度反映粒⼦出现的⼏率的⼤⼩d. 实物微粒波的强度反映粒⼦出现的⼏率的⼤⼩，也反映了粒⼦在空间振动的强度6、下⾯对宏观物体和微观粒⼦的⽐较哪⼀个是不正确的？( )a. 宏观物体同时具有确定的坐标和动量，可⽤⽜顿⼒学描述，⽽微观粒⼦没有同时确定的位置和动量，需⽤量⼦⼒学描述b. 宏观物体有连续可测的运动轨道，可追踪各个物体的运动轨迹加以分辨；微观粒⼦具有⼏率分布特性，不可能分辨出各个粒⼦的轨道。
量子力学基础
Gˆi (q,t) Gii (q,t)
其中Gi为常数。 将Ψ(q,t)描写的状态称为力学量的本征态，此式称 为力学量的本征方程；
Gi称为的第i个本征值； Ψ(q,t)为相应的本征函数
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6/8/2020
1.1 基本假设----假设3
[,] 0,[ pˆ, pˆ] 0,[, pˆ] i
对易子的几个基本规则： [Fˆ , Gˆ ] [Gˆ , Fˆ ]
[Fˆ , Gˆ Hˆ ] [Fˆ , Gˆ ] [Fˆ , Hˆ ] [FˆGˆ , Hˆ ] [Fˆ , Hˆ ]Gˆ Fˆ[Gˆ , Hˆ ] [Fˆ , Gˆ Hˆ ] [Fˆ , Gˆ ]Hˆ Gˆ[Fˆ , Hˆ ]
第一章 量子力学基础
1.1 量子力学基本假设 1.2 算符 1.3 力学量同时有确定值的条件 1.4 测不准关系 1.5 Pauli原理
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6/8/2020
1.1 基本假设—假设1
•假设1---状态函数和几率
（1）状态函数和几率
• 微观体系的任何状态可由坐标波函数Ψ(q,t)来表示。
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6/8/2020
1.1 基本假设---假设1
简并本征态的线性组合仍是该体系的本征态，且本
征值不变；非简并本征态的线性组合也仍是该体系的可
能状态，但一般不再是本征态，而是非本征态.
a
1 2
(2s
2 px
2 py
2 pz )
a
1 2
(2s
2 px
2 py
2 pz )
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量子力学基础习题一、单选题1、在热平衡状态下，黑体的辐出度M（T）与（）成正比。
A．T B．T2C．T3D．T42、设有两个黑体，它们的热平衡温度分别为T1、T2（T1>T2），那么，对应于各自的最大单色辐出度的波长λ1、λ2之间的关系为（）A．λ1=λ2B．λ1<λ2C．λ1>λ2D．λ1=2λ23、一束紫外光照射到金属铯的表面产生光电效应，其光电流的强度决定于（）A、临界频率B、驰豫时间C、入射光强度D、遏止电位4、一束紫外光照射到某种金属的表面产生光电效应，其光电子的动能决定于（）A．入射光强度B．入射光频率C．脱出功D．驰豫时间5、设微观自由粒子的速度远小于光速，则根据德布罗意关系，该粒子的波函数可表示成（）A．球面波B．单色球面波C．平面波D．单色平面波6、在电子衍射实验中，设加速电压为100V，则电子的德布罗意波长约为（）A．10nm B．1.0nmC．0.10nm D．0.01nm7、设光的频率为ν，则该光子的质量可表示为（）hA．hνB．νhνC．mc2D．2c8、量子力学的测不准关系反映了（）A、微观粒子的固有特性B、测量仪器的精度C、微观粒子的质量D、测量方法9、设电子和质子具有相同的动能，德布罗意波长分别为λe和λp，则有（）A．λe>λp B．λe=λpC．λe<λp D．无法判断10、微观粒子在空间某处出现的概率与该处（）成正比A．波函数B．波函数的平方C．波函数的绝对值D．波函数的绝对值的平方11、波函数的标准化条件是（）A．连续B．有限C．归一化D．单值、有限、连续12、处于无限深势阱中的粒子（）A．能量连续，动量连续B．能量量子化，但动量连续C．能量量子化，动量也量子化D．能量连续，但动量量子化二、判断题1、熔炉中的铁水发出的光是热幅射。
（）2、人体也向外发出热幅射，其波长范围在紫外区，所以人的肉眼看不到。
（）3、自然界中的一切物体都具有波粒二象性。
（）4、一束光照射到金属表面能否产生光电效应，关键在于入射光的强度是否足够大。
（）5、电子衍射实验中，电子的德布罗意波长决定于加速电压。
（）6、不确定关系是反映微观粒子运动的普遍规律。
（）7、波函数必须满足归一化条件。
（）8、薛定谔方程是描述微观粒子运动的基本方程。
（）三、填空题1、黑体是一个理想模型，它是指。
2、光电效应是光的的反映。
3、在光电效应中，电子吸收光子遵守规则。
4、红限频率是指。
5、非相对论性的一维自由粒子的波函数可以表达为。
6、质量为10.0g的子弹，速度为1000m/s，它的德布罗意波长为。
7、不确定关系可以用来区分粒子和粒子，划分力学和力学的界限。
8、德布罗意波既不是机械波又不是电磁波，而是一种。
9、无限深势阱中的粒子的能量必定是。
10、STM的理论基础是。
四、简答题1、绝对黑体是不是不发射任何辐射？2、光电效应和康普顿散射都包含电子与光子的相互作用过程。
试分析各个作用过程。
3、如果一束光照射某一金属不产生光电效应，现用一只聚光镜将光聚焦在一点后再照射该金属，这时是否会产生光电效应？为什么？4、4、同一金属，如有光电效应产生，则入射光的强度与光电流有何关系？5、5、何理解波函数的归一化条件？五、计算题1、将恒星看成绝对黑体，测得它们的最大单色辐出度相对应的波长分别是：太阳λa=0.55μm，北极星λb=0.35μm，天狼星λc=0.29μm，它们的表面温度分别T a、T b、T c，试求各恒星表面的温度，并按大小对T a、T b、T c进行排序。
2、一个全辐射体在加热过程中，其最大单色辐出度对应的波长从0.800μm变化到0.400μm，求此时的辐出度是原来的几倍。
3、已知金属铂的电子逸出功是6.30eV，求该金属的红限波长。
4、波长为250nm的紫外线，照射到逸出功为2.50eV的金属钡的表面上，试求光电子运动的初速率。
5、试求波长分别为400nm的可见光、0.10nm的伦琴射线和0.0020nm的γ射线这三种光子的质量、动量和能量。
6、求动能为50eV的电子的德布罗意波长。
7、经400V的电压加速后，一个带有与电子相同电荷的粒子的德布罗意波长为2.00×10－12m，求这个粒子的质量。
8、一颗质量为10.0g的子弹以1000m/s的速率飞行，试求：（1）它的德波罗意波长；（2）若测得子弹位置的不确定量为0.1cm，则其速率的不确定量是多少？9、测得一个电子的速率为200m/s，精度为0.10%，问此电子位置的不确定量是多少？10、夜间地面降温主要是由于地面的热辐射。
如果晴天夜里地面温度为－50C，按黑体辐射计算，每平方米地面失去热量的速率多大？11、室温（300K）下的中子称为热中子。
求热中子的德布罗意波长。
12、粒子处在无限深势阱中，求粒子的能量和波函数。
) (xU0 x<0 or x>a∞ x<0<x<ax∞+a/2U(x)参考答案一、单选题1、D分析：斯忒藩公式M （T ）=σT 42、B分析：由λm T =b 可知T 越高，λm 越小，所以λ1<λ2 3、C分析：光电流的强度主要决定于光电子的数量，而后者又主要决定于入射光的照射强度。
4、B分析：由光电方程Ah m -=νυ22可直接看出ν增加，22υm 也增加。
5、D分析：自由粒子的动量和能量均为常数。
根据德布罗意关系，其相应的波长和强度（幅度）也为恒量，这样的波就是单色平面波。
6、C分析：公式nm22.1U≈λ，U =100V ，所以nm 122.0≈λ7、D分析：光子的能量为E=hν，爱因斯坦的质能方程为E=mc 2，由以上两式就得出2ch m ν=8、A 9、A分析：由公式mE h2=λ，当E 相同时，m 大，则λ小。
10、D分析：根据波函数的统计诠释可知，微观粒子在空间某处出现的概率必然与粒子在该处的波函数的绝对值的平方成正比。
11、D 12、C分析：在无限深势阱中的粒子处于束缚状态，其能量及动量必然是量子化的，只能取一些不连续的值。
二、判断题1、√2、×分析：人体发出热幅射，其波长范围在红外区，所以人的肉眼看不到。
3、√分析：波动性在微观领域体现明显，在宏观领域无法体现。
4、×分析：能否产生光电效应取决于入射光的频率，与其强度无关。
5、√分析：meU h mEh 22==λ6、√7、√8、√三、填空题1、将辐射到它上面的辐射完全吸收的物体2、粒子性3、要么电子不吸收光子，要么电子吸收全部光子，即遵守“全/无”4、使金属发射光电子所需照射的光的最小频率5、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=)(2cos ),(xp Et h A t x Ψπ 6、6.63×10—35m7、宏观；微观；经典；量子 8、概率波 9、量子化的10、量子力学中的遂道效应四、简答题1、答：不是。
绝对黑体吸收辐射（电磁波）的能力最强，同时它辐出辐射（电磁波）的能力也最强，所以它也能辐射各种频率的电磁波。
2、答：光电效应是金属中的电子吸收光子的过程，一个电子吸收一个光子后挣脱表面束缚而成为自由电子。
康普顿散射是电子与光子发生弹性碰撞的过程，电子和光子的方向发生改变，能量也发生交换，但总的能量不变。
3、答：不会。
因为能否产生光电效应只决定于入射光的频率而与强度（亮度）无关。
4、答：光电流的大小与光电子的数量成正比，而后者决定于照射光的强度。
5、答：对一个微观粒子，它出现在全空间的概率应该是100%。
五、计算题1、解：根据维恩位移定律 b T =m λ 得 m λbT =，其中b =2.897×10-3m ·K ，代入各个波长值而得到各星球表面温度分别为：K103.51055.010897.2363⨯≈⨯⨯=--a TK103.81035.010897.2363⨯≈⨯⨯=--b TK100.11029.010897.2463⨯≈⨯⨯=--c T可见， T c >T b >T a2、解：根据λT = b 可知，λ减小时，T 增加，所以λ从0.800μm 变化到0.400μm ，T 升高了2倍。
根据M （T ）=σT 4可知，单色辐出度增加到原来的2 4=16倍。
3、解：设红限频率为ν0，由A =hν0 或0λhcA =，得到相应的红限波长为 197nmm 1097.1106.130.6100.31063.67198340=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==---Ahc λ4、解：由 AhcA h m -=-=λνυ221 得m/s10932.0)106.150.210250100.31063.6(101.92)(2619983431⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-=----A hcmλυ5、解：（1）对可见光λ=400nm ，eV 11.3105.71063.6Hz105.710400100.314341498=⨯⨯⨯==⨯=⨯⨯==--νλνh E c由得由得227934m/s,kg 1066.1104001063.6 mc E p h p =⋅⨯=⨯⨯==---λkg10553.0)100.3(106.111.33528192--⨯=⨯⨯⨯==cE m（2）对λ=0.10nm 的伦琴射线，用同样方法可求得E=12.44keV ， p =6.63×10－24kg ·m/s ， m =2.212×10－32kg（3）对λ=0.0020nm 的γ射线，用同样方法求出得 E =622keV ， p =3.32×10－22kg ·m/s, m =1.106×10－30㎏。
6、解：由公式得和p h mpE ==λ22nm173.0106.150101.921063.62193134=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==---mEh λ7、解：由公式得meUh 2=λkg1059.8400106.1)100.2(2)1063.6(2281921223422----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==eUhm λ8、解：（1）由,υλm p ph ==及得m1063.61010101063.6353334---⨯=⨯⨯⨯==υλm h（2）若∆x =0.1cm=0.1×10－2m由∆x ∆p =h 和∆p =m ∆v 得∆x ·m ∆v =h m/s1063.6101.0100.101063.6292334----⨯=⨯⨯⨯⨯=∆=∆xm h υ9、解： 由 ∆x ∆p =h 得 m1064.3001.0200101.91063.633134---⨯=⨯⨯⨯⨯=∆=∆=∆υm h ph x10、解：将地面视为黑体，每平方米地面失去热量的速率即地面的辐出度M （T ）M =σT 4= 5.67×10－8×2684=292.5 W/m 211、解：根据统计物理，在室温下中子的平均平动能为J1021.63001038.123232123--⨯=⨯⨯⨯==kT E k中子的静能为E 0=m n c 2=1.67×10－27×（3.0×108）2 =1.50×10－10J因为E k <<E 0，所以不考虑相对论效应，于是得到nm146.01021.61067.121063.62212734≈⨯⨯⨯⨯⨯==---kmEh λ12、解：因为U （x ）与时间无关，所以粒子处于定态。