离散数学第二版邓辉文编著第一章第五节习题答案

1.5集合的划分与覆盖习题1.51.设},,,{d c b a A =，求出集合A 的所有不同的划分.解可以按照划分的块的数目依次求出A 的所有不同的划分共15个. 仅一个划分块:}},,,{{1d c b a =π.有两个划分块: }},,{},{{2d c b a =π，}},,{},{{3d c a b =π，}},,{},{{4d b a c =π，}},,{},{{5c b a d =π；}},{},,{{6d c b a =π，}},{},,{{7d b c a =π，}},{},,{{8c b d a =π. 有三个划分块: }},{},{},{{9d c b a =π，}},{},{},{{10d b c a =π，}},{},{},{{11c b d a =π，}},{},{},{{12d a c b =π，}},{},{},{{13c a d b =π，}},{},{},{{14b a d c =π.有四个划分块: }}{},{},{},{{15d c b a =π.2.对于整数集合Z ，令}Z |3{1∈=k k A ，}Z |13{2∈+=k k A ，}Z |23{3∈+=k k A , 则},,{321A A A 是Z 的划分. 试验证之.解因为(1)≠i A ∅，3,2,1=i .(2)=⋂j i A A ∅，3,2,1,,=≠j i j i .(3)=⋃⋃321A A A Z.所以，},,{321A A A 是Z 的划分.3.设}|{I i A i ∈=π是集合A 的一种划分，对于集合B ，所有≠⋂B A i ∅的B A i ⋂组成的集合是B A ⋂的划分. 试证明之.证对于任意j i ≠，因为=⋂j i A A ∅，于是=⋂⋂=⋂⋂⋂B A A B A B A j i j i )()(∅=⋂B ∅.又因为A AI i i =∈ ，所以B A B A B A Ii iI i i ⋂=⋂=⋂∈∈ )(. 故≠⋂⋂B A B A i i |{∅},I i ∈是B A ⋂的划分.4.设集合A 有两种划分}|{1I i A i ∈=π和}|{2J j B j ∈=π，问21ππ⋃是否必是A 的划分，为什么？21ππ-呢?解21ππ⋃及21ππ-均不一定是A 的划分. 例如},,,{d c b a A =，取A 的划分为 }},,{},{{1d c b a =π，}},{},{},{{2c b d a =π，这时}},,{},,{},{},{{21d c b c b d a =⋃ππ，}},,{{21d c b =-ππ，它们都不是A 的划分.5.证明: 设1≥n ，则(1).1)1,(=n S(2).1),(=n n S(3).12)2,(1-=-n n S证 (1)和(2)显然.(3)将n 个元素的集合A 划分成2个块1A 和2A ，先将A 中的第一个放在第一个块1A 中，对于其余的1-n 个元素分别考虑是否与第一个元素在同一个块1A 中，只有两种情况发生: 1A x ∈或1A x ∉，于是共有1122...22--=⋅⋅⋅n n 种放的方式，但要排除所有元素都在1A 中而2A 为空的情形. 故.12)2,(1-=-n n S 6.设},,,,,,,,,,{j i h g f e d c b a A =},,,,{1d c b a A = },,,{2g f e A = },,,,{3i g e d A =},,,{4j h d A =},,,{5j i h A =},,,,,,{6j h f c b a A =分别判定下列集合是否是A 的划分、覆盖: (1)},,{521A A A . (2)},,{531A A A . (3)}.,{63A A(4)}.,,{432A A A解显然对于任意61≤≤i ，有≠i A ∅.(1)因为=⋂21A A ∅，=⋂51A A ∅，=⋂52A A ∅且A A A A =⋃⋃521，所以},,{521A A A 是A 的划分.(2)由于A f ∈而531A A A f ⋃⋃∉，所以},,{531A A A 不是A 的覆盖.(3)因为=⋂63A A ∅，且A A A =⋃63，所以},{63A A 是A 的划分.(4)由于A a ∈而432A A A a ⋃⋃∉，所以},,{432A A A 不是A 的覆盖.7.写出集合},{b a A =的所有不同的覆盖.解由A 得到的非空子集为},{},{},{b a b a ，于是},{b a A =的所有不同的覆盖分别为(1)}},{{b a .(2)}}{},{{b a .(3)}},{},{{b a a .(4)}},{},{{b a b .(5)}},{},{},{{b a b a .。

离散数学课后习题答案(第一章)

1-1，1-2 （1）指出下列哪些语句是命题，那些不是命题，如果是命题，指出它的真值。 a) 离散数学是计算机科学系的一门必修课。是命题，真值为 T。 b) 计算机有空吗？不是命题。 c) 明天我去看电影。是命题，真值要根据具体情况确定。 d) 请勿随地吐痰。不是命题。 e) 不存在最大的质数。是命题，真值为 T。 f) 如果我掌握了英语，法语，那么学习其他欧洲语言就容易多了。是命题，真值为 T。 g) 9+5 ≤ 12. 是命题，真值为 F。 h) X=3. 不是命题。 i) 我们要努力学习。不是命题。（2）举例说明原子命题和复合命题。原子命题：我爱北京天安门。复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。（3）设 P 表示命题“天下雪。 ”
f) A → ( B ∨ C ) ⇔ ( A ∧ ¬B) → C 证明：A→(B∨C)⇔ ┐A∨(B∨C) ⇔ (┐A∨B)∨C ⇔┐(A∧┐B)∨C ⇔ (A∧┐B)→C g) ( A → D ) ∧ ( B → D ) ⇔ ( A ∨ B ) → D 证明：(A→D)∧(B→D)⇔(┐A∨D)∧(┐B∨D) ⇔(┐A∧┐B)∨D ⇔ ┐(A∨B)∨D ⇔ (A∨B)→D h) (( A ∧ B ) → C ) ∧ ( B → ( D ∨ C )) ⇔ ( B ∧ ( D → A)) → C 证明：((A∧B)→C)∧(B→(D∨C)) ⇔(┐(A∧B)∨C)∧(┐B∨(D∨C)) ⇔ (┐(A∧B)∧(┐B∨D))∨C ⇔(┐(A∧B) ∧┐(┐D∧B))∨C ⇔┐((A∧B)∨(┐D∧B))∨C ⇔ ((A∨┐D)∧B)→C ⇔ (B∧(D→A))→C （8）化简以下各式： A）((A→B) ↔ (┐B→┐A))∧C 解：((A→B) ↔ (┐B→┐A))∧C ⇔ ((┐A∨B) ↔ (B∨┐A))∧C ⇔ ((┐A∨B) ↔ (┐A∨B))∧C ⇔T∧C ⇔C B）A∨(┐A∨(B∧┐B)) 解：A∨(┐A∨(B∧┐B))⇔(A∨┐A)∨(B∧┐B)⇔T∨F⇔T

离散数学课后习题答案(最新)

习题参考解答习题1.11、（3）P：银行利率降低Q：股价没有上升P∧Q（5）P：他今天乘火车去了北京Q：他随旅行团去了九寨沟PQ（7）P：不识庐山真面目Q：身在此山中Q→P，或～P→～Q（9）P：一个整数能被6整除Q：一个整数能被3整除R：一个整数能被2整除T：一个整数的各位数字之和能被3整除P→Q∧R ，Q→T2、（1）T （2）F （3）F （4）T （5）F（6）T （7）F （8）悖论习题 1.31（3）)()()()()()(R P Q P R P Q P R Q P R Q P →∨→⇔∨⌝∨∨⌝⇔∨∨⌝⇔∨→（4）()()()(())()(()())(())()()()()P Q Q R R P P R Q R P P R R P Q R P P R P R Q R Q P ∧∨∧∨∧=∨∧∨∧=∨∨∧∧∨∧=∨∧∨∧∨∧∨=右2、不，不，能习题 1.41(3) (())~((~))(~)()~(~(~))(~~)(~)P R Q P P R Q P P R T P R P R Q Q P R Q P R Q →∧→=∨∧∨=∨∧=∨=∨∨∧=∨∨∧∨∨、主合取范式)()()()()()()()()()()()()()())(())(()()(())()())(()((Q P R P Q R P Q R R Q P R Q P R Q P Q P R Q P R P Q R P Q R R Q P R Q P R Q P R Q P Q Q P R P P Q R R R Q Q P P R Q R P P Q R P P Q R P ∧∧∨∧⌝∧∨⌝∧⌝∧∨∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝=∧∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨⌝∧⌝∧∨∧⌝∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝=∨⌝∧∧∨∨⌝∧⌝∧∨∨⌝∧∨⌝∧⌝=∧∨⌝∧∨⌝=∨⌝∧∨⌝=→∧→ ————主析取范式(2) ()()(~)(~)(~(~))(~(~))(~~)(~)(~~)P Q P R P Q P R P Q R R P R Q Q P Q R P Q R P R Q →∧→=∨∧∨=∨∨∧∧∨∨∧=∨∨∧∨∨∧∨∨ 2、()~()(~)(~)(~~)(~)(~~)P Q R P Q R P Q P R P Q R P Q R P R Q →∧=∨∧=∨∧∧=∨∨∧∨∨∧∨∨∴等价3、解：根据给定的条件有下述命题公式：（A →（C ∇D ））∧～（B ∧C ）∧～（C ∧D ）⇔（～A ∨（C ∧～D ）∨（～C ∧D ））∧（～B ∨～C ）∧（～C ∨～D ）⇔（（～A ∧～B ）∨（C ∧～D ∧～B ）∨（～C ∧D ∧～B ）∨（～A ∧～C ）∨（C ∧～D ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～C ））∧（～C ∨～D ）⇔（（～A ∧～B ）∨（C ∧～D ∧～B ）∨（～C ∧D ∧～B ）∨（～A ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～C ）） ∧（～C ∨～D ）⇔（～A ∧～B ∧～C ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～B ∧～C ）∨ （～A ∧～C ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～C ∧～C ）∨（～A ∧～B ∧～D ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～D ）∨（～C ∧D ∧～B ∧～D ）∨（～A ∧～C ∧～D ）∨ （～C ∧D ∧～C ∧～D ）（由题意和矛盾律）⇔（～C ∧D ∧～B ）∨（～A ∧～C ）∨（～C ∧D ）∨（C ∧～D ∧～B ）⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～C ∧D ∧～B ∧～A ）∨ （～A ∧～C ∧B ）∨ （～A ∧～C ∧～B ）∨ （～C ∧D ∧A ）∨ （～C ∧D ∧～A ）∨（C ∧～D ∧～B ∧A ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～A ）⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧D ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧～D ）∨（～A ∧～C ∧～B ∧D ）∨ （～A ∧～C ∧～B ∧～D ）∨（～C ∧D ∧A ∧B ）∨ （～C ∧D ∧A ∧～B ）∨ （～C ∧D ∧～A ∧B ）∨ （～C ∧D ∧～A ∧～B ）∨（C ∧～D ∧～B ∧A ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～A ） ⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧D ）∨ （～C ∧D ∧A ∧～B ）∨ （～C ∧D ∧～A ∧B ） ∨（C ∧～D ∧～B ∧A ）⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧D ）∨（C ∧～D ∧～B ∧A ）三种方案：A 和D 、 B 和D 、 A 和C习题 1.51、（1）需证()(())P Q P P Q →→→∧为永真式()(())~(~)(~())~~(~)(()(~))~(~)(~)()P Q P P Q P Q P P Q P P P Q P Q TP Q P Q T P Q P P Q →→→∧=∨∨∨∧∨=∨∨∧∨=∨∨∨=∴→⇒→∧（3）需证S R P P →∧⌝∧为永真式SR P P T S F S R F S R P P ⇒∧⌝∧∴⇔→⇔→∧⇔→∧⌝∧3A B A B ⇒∴→ 、为永真式。

第1章离散数学习题解答

1. 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。

⑴中国有四大发明。

⑵计算机有空吗?⑶不存在最大素数。

⑷ 21+3＜5。

⑸老王是山东人或河北人。

⑹ 2与3都是偶数。

⑺小李在宿舍里。

⑻这朵玫瑰花多美丽呀!⑼请勿随地吐痰!⑽圆的面积等于半径的平方乘以p。

⑾只有6是偶数，3才干是2的倍数。

⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。

⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。

解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。

2. 将下列复合命题分成若干原子命题。

⑴李辛与李末是兄弟。

⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。

⑶天正在下雨或湿度很高。

⑷刘英与李进上山。

⑸王强与刘威都学过法语。

⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。

⑺我既不看电视也不过出，我在睡觉。

⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。

解：⑴本命题为原子命题；⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服；⑶p：天在下雨；q：湿度很高；⑷p：刘英上山；q：李进上山；⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语；⑹p：你看电影；q：我看电影；⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。

3. 将下列命题符号化。

⑴他一面吃饭，一面听音乐。

⑵ 3是素数或2是素数。

⑶若地球上没有树木，则人类不克不及生存。

⑷ 8是偶数的充分需要条件是8能被3整除。

⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。

⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。

⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。

解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：p→q⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p↔q⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p⑹p：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：p↔q。

离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案(可编辑修改版).

离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案1.2 映射的有关概念习题1.21. 分别计算⎡1. 5⎤，⎡-1⎤，⎡-1. 5⎤，⎣1. 5⎦，⎣-1⎦，⎣-1. 5⎦.解⎡1. 5⎤=2，⎡-1⎤=-1，⎡-1. 5⎤=-1，⎣1. 5⎦=1，⎣-1⎦=-1，⎣-1. 5⎦=-2.2. 下列映射中，那些是双射? 说明理由.(1)f :Z →Z , f (x ) =3x .(2)f :Z →N , f (x ) =|x |+1.(3)f :R →R , f (x ) =x 3+1.(4)f :N ⨯N →N , f (x 1, x 2) =x 1+x 2+1.(5)f :N →N⨯N , f (x ) =(x , x +1).解 (1)对于任意对x 1, x 2∈Z，若f (x 1) =f (x 2) ，则3x 1=3x 2，于是x 1=x 2，所以f 是单射. 由于对任意x ∈Z，f (x ) ≠2∈Z，因此f 不是满射，进而f 不是双射.(2)由于2, -2∈Z且f (2) =f (-2) =3，因此f 不是单射. 又由于0∈N，而任意x ∈Z均有f (x ) =|x |+1≠0，于是f 不是满射. 显然，f 不是双射.(3)对于任意对x 1, x 2∈R，若f (x 1) =f (x 2) ，则x 1+1=x 2+1，于是x 1=x 2，所以f 是单射. 对于任意y ∈R，取x =(y -1) ，这时1⎡⎤3f (x ) =x +1=⎢(y -1) 3⎥+1=(y -1) +1=y ，⎣⎦33313所以f 是满射. 进而f 是双射.(4)由于(1, 2), (2, 1) ∈N⨯N 且(1, 2) ≠(2, 1) ，而f (1, 2) =f (2, 1) =4，因此f 不是单射. 又由于0∈N，而任意(x 1, x 2) ∈N⨯N 均有f (x 1, x 2) =x 1+x2+1≠0，于是f 不是满射. 显然，f 就不是双射.(5)由于x 1, x 2∈N，若f (x 1) =f (x 2) ，则(x 1, x 1+1) =(x 2, x 2+1) ，于是x 1=x 2，因此f 是单射. 又由于(0, 0) ∈N⨯N ，而任意x ∈N均有f (x ) =(x , x +1) ≠(0, 0) ，于是f 不是满射. 因为f 不是满射，所以f 不是双射.3. 对于有限集合A 和B ，假定f :A →B且|A |=|B |，证明: f 是单射的充要条件是f 是满射. 对于无限集合，上述结论成立吗？举例说明.证(⇒) 因为f 是单射，所以|A |=|f (A ) |. 由于|A |=|B |，所以|f (A ) |=|B |. 又因为B 有限且f (A ) ⊆B ，故f (A ) =B ，即f 是满射.(⇐) 若f 是满射，则f (A ) =B . 由于|A |=|B |，于是|A |=|f (A ) |. 又因为A 和B 是有限集合，因此f 是单射.对于无限集合，上述结论不成立. 例如f :N →N，f (x ) =2x ，f 是单射，但f 不是满射.4. 设f :A →B , 试证明:(1)f I B =f .(2)I A f =f .特别地，若f :A →A，则f I A =I A f =f .证 (1)对于任意x ∈A，由于f (x ) ∈B，所以(f I B )(x ) =I B (f (x )) =f (x ) ，因此f I B =f .(2)对于任意x ∈A，由于I A (x ) =x ，所以(I A f )(x ) =f (I A (x )) =f (x ) ，于是有I A f =f .由(1)和(2)知，若f :A →A，则f I A =I A f =f .5. 试举出一个例子说明f f =f 成立，其中f :A →A且f ≠I A . 若f 的逆映射存在，满足条件的f 还存在吗?解令A ={a , b , c }，f (a ) =f (b ) =f (c ) =a ，即对于任意x ∈A，f (x ) =a ，显然f :A →A且f ≠I A . 而对于任意x ∈A，有(f f )(x ) =f (f (x )) =f (a ) =a ，因此f f =f .若f f =f 且f 的逆映射f -1存在，由第3题知f f =f =f I A ，所以-1-1于是利用定理7有(f f ) f =(f f ) I A ，f -1 (f f ) =f -1 (f I A ) ，进而I A f =I A I A ，因此f =I A . 所以若f 的逆映射存在，满足条件的f 不存在.6. 设f :A →B , g :B →C . 若f 和g 是满射，则f g 是满射，试证明.证因为f 是满射，所以f (A ) =B . 又因为g 是满射，所以g (B ) =C . 于是(f g ) (A ) =g (f (A )) =g (B ) =C ，因此f g 是A 到C 的满射.另证对于任意z ∈C，因为g 是满射，于是存在y ∈B使得g (y ) =z . 又因为f 是满射，存在x ∈A使得f (x ) =y . 因此，(f g )(x ) =g (f (x )) =g (y ) =z ，所以f g 是A 到C 的满射.7. 设f :A →B , g :B →C . 试证明: 若f g 是单射，则f 是单射. 试举例说明，这时g 不一定是单射.证对于任意x 1, x 2∈A，假定f (x 1) =f (x 2) ，则显然g (f (x 1)) =g (f (x 2)) ，即(f g )(x 1) =(f g )(x 2) . 因为f g 是单射，所以x 1=x 2，于是f 是单射.例如A ={a , b }，B ={1, 2, 3}，C ={α,β,γ,δ}，令f (a ) =1, f (b ) =2，g (1) =α, g (2) =β, g (3) =β，则显然有(f g )(a ) =g (f (a )) =g (1) =α, (f g )(b ) =g (f(b )) =g (2) =β,于是f g 是A 到C 的单射，但g 显然不是单射.8. 设f :A →B , 若存在g :B →A，使得f g =I A 且g f =I B ，试证明: f 是双射且f -1=g .证因为f g =I A ，而I A 是单射，所以f 是单射. 又因为g f =I B ，而I B 是满射，所以f 是满射. 因此f 是双射.由于f 是双射，所以f而(f -1-1存在. 因为f g =I A ，于是f -1 (f g ) =f -1 I A . f ) g =f -1 I A 且I B g =f -1，所以有f -1=g .9. 设f :A →B , g :B →C . 若f 和g 是双射，则f g 是双射且(f g ) -1=g -1 f -1.-1-1证根据定理4(1)(2)知，f g 是双射. 下证(f g ) =g f -1. 因为(f g ) (g -1 f -1) =f (g g -1) f -1=f I B f -1=f f -1=I A ， (g -1 f -1) (f g ) =g -1 (f -1 f ) g =g -1 I B g =g -1 g =I C ，在上面的推导中多次利用了定理7. 由第7题知，(f g ) -1=g -1 f10. 设G 是集合A 到A 的所有双射组成的集合，证明(1)任意f , g ∈G，有f g ∈G .(2)对于任意f , g , h ∈G，有(f g ) h =f (g h ).(3)I A ∈G且对于任意f ∈G，有I A f =f I A =f .(4)对于任意f ∈G，有f -1-1. ∈G且f f -1=f -1 f =I A .证 (1)由定理5.(2)由定理7.(3)由第3题.(4)由定理4.11. 若A = {a , b , c }, B = {1, 2}, 问A 到B 的满射、单射、双射各有多少个? 试推广你的结论.解将A 中的3个元素对应到B 中的2个元素，相当于将3个元素分成2部分，共有3种分法; 在计算A 到B 的满射个数时还需要将B 中元素进行排列，共有2种排列方式，于是A 到B 的满射共有3⨯2=6个(请自己分别写出A 到B 的6个满射).由于|A |=3, |B |=2，所以A 到B 的单射没有，进而A 到B 的双射也没有. 假设|A |=m , |B |=n .(1) A到B 的满射若m(2) A到B 的单射若m >n ，不存在单射；若m ≤n，由于B 中任意选取m 个m 元素，再将其进行全排列都得到A 到B 的单射，故A 到B 的单射共有C n ⋅m ! 个.(3)A 到B 的双射若m ≠n，不存在双射；若m =n ，此时B 中元素的任意一个排列均可得到一个A 到B 的双射，因此A 到B 的双射共有m ! 个.12. 设A , B , C , D 是任意集合，f 是A 到B 的双射， g 是C 到D 的双射，令h :A ⨯C →B⨯D ，对任意(a , c ) ∈A⨯C , h (a , c ) =(f (a ), g (c )). 证明:h 是双射.证对于任意(a 1, c 1) ∈A⨯C ，(a 2, c 2) ∈A⨯C ，假定h (a 1, c 1) =h (a 2, c 2) ，即(f (a 1), g (c 1)) =(f (a 2), g (c 2)) ，于是f (a 1) =f (a 2) 且g (c 1) =g (c 2) ，根据已知条件有a 1=a 2且c 1=c 2，进而(a 1, c 1) =(a 2, c 2) ，因此h 是单射.任意(b , d ) ∈B⨯D ，则b ∈B , d ∈D，由于f 是A 到B 的双射且g 是C 到D 的双射，于是存在a ∈A , c ∈C使得f (a ) =b , g (c ) =d ，因此h (a , c ) =(f (a ), g (c )) =(b , d ) ，所以h 是满射.故h 是双射.13. 设f :A →B , g :B →C , h :C →A，若f g h =I A ，g h f =I B ，h f g =I C ，则f , g , h 均可逆，并求出f -1, g -1, h -1.证因为恒等映射是双射，多次使用定理6即可得结论.由于f g h =I A ，所以f 是单射且h 是满射. 由于g h f =I B ，所以g 是单射且f 是满射. 由于h f g =I C ，所以h 是单射且g 是满射. 于是f , g , h 是双射，因此f , g , h 均可逆.由于f g h =I A ，所以f -1=g h 且h -1=f g ，进而g -1=h f .14. 已知Ackermann 函数A :N ⨯N →N的定义为(1)A (0, n ) =n +1, n ≥0;(2)A (m , 0) =A (m -1, 1), m >0;(3)A (m , n ) =A (m -1, A (m , n -1)), m >0, n >0.分别计算A (2, 3) 和A (3, 2) .解由已知条件有A (0, 1) =2，A (1, 0) =A (0, 1) =2，于是A (1, 1) =A (0, A (1, 0)) =A (0, 2) =2+1=3，A (1, 2) =A (0, A (1, 1)) =A (0, 3) =3+1=4，由此可进一步得出A (1, n ) =n +2，A (2, 0) =A (1, 1) =3，A (2, 1) =A (1, A (2, 0)) =A (1, 3) =3+2=5，A (2, 2) =A (1, A (2, 1)) =A (1, 5) =5+2=7， A (2, 3) =A (1, A (2, 2)) =A (1, 7) =7+2=9. 因此有A (2, n ) =2n +3，A (3, 0) =A (2, 1) =2⋅1+3=5，A (3, 1) =A (2, A (3, 0)) =A (2, 5) =2⋅5+3=13， A (3, 2) =A (2, A (2, 2)) =A (2,13) =2⋅13+3=29. 所以有A (2, 3) =9, A (3, 2) =29.。

离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案

1.2 映射的有关概念习题1.21. 分别计算⎡⎤5.1，⎡⎤1-，⎡⎤5.1-，⎣⎦5.1，⎣⎦1-，⎣⎦5.1-.解 ⎡⎤25.1=，⎡⎤11-=-，⎡⎤15.1-=-，⎣⎦15.1=，⎣⎦11-=-，⎣⎦25.1-=-.2.下列映射中，那些是双射? 说明理由.(1).3)(,Z Z :x x f f =→(2).1||)(,N Z :+=→x x f f(3).1)(,R R :3+=→x x f f(4).1),(,N N N :2121++=→⨯x x x x f f(5)).1,()(,N N N :+=⨯→x x x f f解 (1)对于任意对∈21,x x Z ，若)()(21x f x f =，则2133x x =，于是21x x =，所以f 是单射. 由于对任意∈x Z ，∈≠2)(x f Z ，因此f 不是满射，进而f 不是双射.(2)由于∈-2,2Z 且3)2()2(=-=f f ，因此f 不是单射. 又由于∈0N ，而任意∈x Z 均有01||)(≠+=x x f ，于是f 不是满射. 显然，f 不是双射.(3)对于任意对∈21,x x R ，若)()(21x f x f =，则113231+=+x x ，于是21x x =，所以f 是单射. 对于任意∈y R ，取31)1(-=y x ，这时y y y x x f =+-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+=1)1(1)1(1)(3313，所以f 是满射. 进而f 是双射.(4)由于∈)1,2(),2,1(N ⨯N 且)1,2()2,1(≠，而4)1,2()2,1(==f f ，因此f 不是单射. 又由于∈0N ，而任意∈),(21x x N ⨯N 均有01),(2121≠++=x x x x f ，于是f 不是满射. 显然，f 就不是双射.(5)由于∈21,x x N ，若)()(21x f x f =，则)1,()1,(2211+=+x x x x ，于是21x x =，因此f 是单射. 又由于∈)0,0(N ⨯N ，而任意∈x N 均有)0,0()1,()(≠+=x x x f ，于是f 不是满射. 因为f 不是满射，所以f 不是双射.3.对于有限集合A 和B ，假定B A f →:且||||B A =，证明: f 是单射的充要条件是f 是满射. 对于无限集合，上述结论成立吗？举例说明.证(⇒)因为f 是单射，所以|)(|||A f A =. 由于||||B A =，所以|||)(|B A f =. 又因为B 有限且B A f ⊆)(，故B A f =)(，即f 是满射.(⇐)若f 是满射，则B A f =)(. 由于||||B A =，于是|)(|||A f A =. 又因为A 和B 是有限集合，因此f 是单射.对于无限集合，上述结论不成立. 例如N N :→f ，x x f 2)(=，f 是单射，但f 不是满射.4.设,:B A f →试证明:(1).f I f B =(2).f f I A =特别地，若A A f →:，则f f I I f A A == .证 (1)对于任意A x ∈，由于B x f ∈)(，所以)())(())((x f x f I x I f B B == ，因此.f I f B =(2)对于任意A x ∈，由于x x I A =)(，所以)())(())((x f x I f x f I A A == ，于是有.f f I A =由(1)和(2)知，若A A f →:，则f f I I f A A == .5.试举出一个例子说明f f f = 成立，其中A A f →:且A I f ≠. 若f 的逆映射存在，满足条件的f 还存在吗?解令},,{c b a A =，a c f b f a f ===)()()(，即对于任意A x ∈，a x f =)(，显然A A f →:且A I f ≠. 而对于任意A x ∈，有a a f x f f x f f ===)())(())(( ，因此f f f = .若f f f = 且f 的逆映射1-f 存在，由第3题知A I f f f f ==，所以)()(11A I f f f f f --=，于是利用定理7有A I f f f f f )()(11--=，进而A A A I I f I =，因此A I f =. 所以若f 的逆映射存在，满足条件的f 不存在.6.设C B g B A f →→:,:. 若f 和g 是满射，则g f 是满射，试证明.证因为f 是满射，所以B A f =)(. 又因为g 是满射，所以C B g =)(. 于是C B g A f g A g f ===)())(())(( ，因此g f 是A 到C 的满射.另证对于任意C z ∈，因为g 是满射，于是存在B y ∈使得z y g =)(. 又因为f 是满射，存在A x ∈使得y x f =)(. 因此，z y g x f g x g f ===)())(())(( ，所以g f 是A 到C 的满射.7.设C B g B A f →→:,:. 试证明: 若g f 是单射，则f 是单射. 试举例说明，这时g 不一定是单射.证对于任意A x x ∈21,，假定)()(21x f x f =，则显然))(())((21x f g x f g =，即))(())((21x g f x g f =. 因为g f 是单射，所以21x x =，于是f 是单射.例如},{b a A =，}3,2,1{=B ，},,,{δγβα=C ，令2)(,1)(==b f a f ，ββα===)3(,)2(,)1(g g g ，则显然有,)1())(())((α===g a f g a g f ,)2())(())((β===g b f g b g f 于是g f 是A 到C 的单射，但g 显然不是单射.8.设,:B A f →若存在A B g →:，使得A I g f = 且B I f g = ，试证明: f 是双射且.1g f =-证因为A I g f = ，而A I 是单射，所以f 是单射. 又因为B I f g = ，而B I 是满射，所以f 是满射. 因此f 是双射.由于f 是双射，所以1-f存在. 因为A I g f = ，于是A I f g f f 11)(--=.而A I f g f f 11)(--=且1-=f g I B ，所以有.1g f =-9.设C B g B A f →→:,:.若f 和g 是双射，则g f 是双射且111)(---=f g g f .证根据定理4(1)(2)知，g f 是双射. 下证111)(---=f g g f . 因为A B I f f f I f f g g f fg g f ====------111111)()()( ， C B I g g g I g g f f g g f f g ====------ 111111)()()(，在上面的推导中多次利用了定理7. 由第7题知，111)(---=f g g f .10.设G 是集合A 到A 的所有双射组成的集合，证明(1)任意G g f ∈,，有G g f ∈ .(2)对于任意G h g f ∈,,，有).()(h g f h g f =(3)G I A ∈且对于任意G f ∈，有f I f f I A A == .(4)对于任意G f ∈，有G f ∈-1且A I f f f f ==-- 11.证 (1)由定理5.(2)由定理7.(3)由第3题.(4)由定理4.11.若A = {a , b , c }, B = {1, 2}, 问A 到B 的满射、单射、双射各有多少个? 试推广你的结论.解将A 中的3个元素对应到B 中的2个元素，相当于将3个元素分成2部分，共有3种分法; 在计算A 到B 的满射个数时还需要将B 中元素进行排列，共有2种排列方式，于是A 到B 的满射共有623=⨯个(请自己分别写出A 到B 的6个满射).由于2||,3||==B A ，所以A 到B 的单射没有，进而A 到B 的双射也没有. 假设n B m A ==||,||.(1) A 到B 的满射若n m <，不存在满射；若n m ≥，先将m 个元素划分成n 个块(参见1.5节)，共有),(n m S 种方式；再将B 中元素进行全排列，共有!n 种方式，于是A 到B 的满射共有!),(n n m S ⋅个.(2) A 到B 的单射若n m >，不存在单射；若n m ≤，由于B 中任意选取m 个元素，再将其进行全排列都得到A 到B 的单射，故A 到B 的单射共有!m C m n ⋅个.(3)A 到B 的双射若n m ≠，不存在双射；若n m =，此时B 中元素的任意一个排列均可得到一个A 到B 的双射，因此A 到B 的双射共有!m 个.12.设A , B , C , D 是任意集合，f 是A 到B 的双射， g 是C 到D 的双射，令D B C A h ⨯→⨯:，对任意,),(C A c a ⨯∈)).(),((),(c g a f c a h = 证明:h 是双射.证对于任意C A c a ⨯∈),(11，C A c a ⨯∈),(22，假定),(),(2211c a h c a h =，即))(),(())(),((2211c g a f c g a f =，于是)()(21a f a f =且)()(21c g c g =，根据已知条件有21a a =且21c c =，进而),(),(2211c a c a =，因此h 是单射.任意D B d b ⨯∈),(，则D d B b ∈∈,，由于f 是A 到B 的双射且g 是C 到D 的双射，于是存在C c A a ∈∈,使得d c g b a f ==)(,)(，因此),())(),((),(d b c g a f c a h ==，所以h 是满射.故h 是双射.13.设A C h C B g B A f →→→:,:,:，若A I h g f = ，B I f h g = ，C I g f h = ，则h g f ,,均可逆，并求出111,,---h g f .证因为恒等映射是双射，多次使用定理6即可得结论.由于A I h g f = ，所以f 是单射且h 是满射. 由于B I f h g = ，所以g 是单射且f 是满射. 由于C I g f h = ，所以h 是单射且g 是满射. 于是h g f ,,是双射，因此h g f ,,均可逆.由于A I h g f = ，所以h g f =-1且g f h =-1，进而f h g =-1.14.已知Ackermann 函数N N N :→⨯A 的定义为(1);0,1),0(≥+=n n n A(2);0),1,1()0,(>-=m m A m A(3).0,0)),1,(,1(),(>>--=n m n m A m A n m A分别计算)3,2(A 和)2,3(A .解由已知条件有2)1,0(=A ，2)1,0()0,1(==A A ，于是312)2,0())0,1(,0()1,1(=+===A A A A ，413)3,0())1,1(,0()2,1(=+===A A A A ，由此可进一步得出2),1(+=n n A ，3)1,1()0,2(==A A ，523)3,1())0,2(,1()1,2(=+===A A A A ，725)5,1())1,2(,1()2,2(=+===A A A A ， 927)7,1())2,2(,1()3,2(=+===A A A A . 因此有32),2(+=n n A ，5312)1,2()0,3(=+⋅==A A ，13352)5,2())0,3(,2()1,3(=+⋅===A A A A ， 293132)13,2())2,2(,2()2,3(=+⋅===A A A A . 所以有29)2,3(,9)3,2(==A A .。

离散数学习题与解答

第一章集合、关系与函数习题答案1、用列举法表示下列集合。

（1）{x|x 是小于20的正偶数}={2，4，6，8，10，12，14，16，18}（2）{x|x 是整数，x 2＜80}={0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8} （3）{x|x=3k ，k 是小于10的素数}={6,9,15,21}（4）{x|x 是能整除30的正整数}={1，2，3，5，6，10，15，30}（5）{x|x 是小于30的素数}={2，3，5，7，11，13，17，19，23，29}2、用特征法表示下列集合。

（1）{1，3，5，…，99}={x|x 是正奇数，x ≤99}（2）{1，4，9，16，25}={x|x=k 2,k 是正整数，k ≤5}（3）{5，10，15，…，100}={x|x=5k,k 是正整数，k ≤20}（4）{1，23，2，25，3，27，4}={x|x=21+k ，k 是正整数，k ≤7} 3、设A ，B ，C 是集合，确定下列命题是否正确，并说明理由。

（1）如果A ∈B,B ⊆C,则A ⊆C 。

解：不正确。

例如，A={a}，B={{a},b}，C={{a},b }。

易见A ∈B,B ⊆C 但A C。

（2）如果A ∈B,B ⊆C,则A ∈C 。

解：正确。

因为B ⊆C ，所以B 中元素都属于C ，而A ∈B ，所以A ∈C 。

（3）如果A ⊆B,B ∈C,则A ∈C 。

解：不正确。

例如，A={a}，B={a,b}，C={{a,b}}。

易见A ⊆B,B ∈C 但A ∉C 。

（4）如果A ⊆B,B ∈C,则A ⊆C 。

解：不正确。

例如，A={a}，B={a,b}，C={{a,b}}。

易见A ⊆B,B ∈C 但A C。

4、确定下列命题是否正确。

（1）φ⊆φ 正确。

（2）φ∈φ 错误。

（3）φ⊆{φ} 正确。

离散数学第二版课后答案pdf

离散数学第二版课后答案pdf选择题：1. 以下哪个函数不是单射？A. f(x)=x+1B. f(x)=x²C. f(x)=sin(x)D. f(x)=|x|2. 设 A={1,2,3},B={2,3,4},则A∪B=？A. {1,2,3,4}B. {2,3}C. {1,2,3}D. {1,2,3,4,5}3. 若 5n+1 是完全平方数，则 n 的取值范围是？A. n 是任意自然数B. 1、3、11C. 2、3、7D. 0、2、84. 若 P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)=0.1，则P(A∪B)=？A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.55. 在一个 10 个点的完全图中，不同颜色的边有红、蓝、绿三色，其中红边有 3 条，蓝边有 2 条，绿边有 5 条，则将这 10 个点分成涂3 种颜色的三部分的方案数为？A. 6552B. 1260C. 3150D. 5040选择题答案：1. C2. D3. B4. A5. C填空题：1. 用 1,2,3,4,5 这 5 个数字，能组成多少个长度为 3 的无重复的数字串？答：602. 已知 a+b=7，a-b=3，则 a²-b²=？答：203. 一个无向图有 8 条边，则它的图的边数有多大范围？答：4≤边数≤284. 在一组含有 5 个正整数的数列中，最大值是最小值的 3 倍，则这5 个数中的最小值不能小于多少？答：55. 若 G 是一个有 n 个点的简单无向图，且 G 不是完全图，则 G 中边的数量最少是多少？答：n填空题答案：1. 602. 203. 4≤边数≤284. 55. n解答题：1. 一张简单无向图 G 有 10 个顶点和 20 条边，证明 G 中至少有 3 个度数为偶数的顶点。

答：设 G 中度数为奇数的点的个数为 x，度数为偶数的点的个数为 y，则 x+y=10，2x+4y=40，化简得 x=2y-10，由于每个点的度数都是偶数或奇数，所以 2x+20-y 是偶数，即 2(2y-10)+20-y=3y-10 是偶数，即 y 是奇数。

第1章集合、映射与运算

– 自然数集合N可递归定义, 在后面章节定义命题公式及谓词公式时还会用此法.
有限集合A的元素个数|A|.
Remarks 1.集合中的元素可以是集合, 例如A = {a, {a, b}, b, c}. 2.集合之间的元素原则上是没有次序的, 如 A = {a, {a, b}, b, c}就是 {a, b, c , {a, b}}; 3.集合中的元素原则上不重复, 如{a, {a, b}, b, b, c}还是集合A. 不含有任意元素的集合称为空集, 记为或不含有任意元素的集合称为空集, 记为 { }.
1.1.2 子集 A B, 特别地是任意集合的子集. A = B. Theorem 1-2(P3) (1) A A. (2) A B, B A A = B. (3) A B, B C A C.
Theorem 1-3 A = B A B 且 B A.
注意 ∈与的不同. 例1-2 由A B, B∈ C可否得出A C? Solution 不成立,例如A = {a, b}, B = {a, b, c}, C = {a, {a, b, c}}. 课堂练习: 4, 5. 1.1.3 幂集 P( X ) = {A| A X} X = {a, b} P(X) = {, {a}, {b}, {a, b}}.
B × A = {(1, a), (2, a), (1, b), (2, b)}
B×C = {(1, ), (2, )}
C×A×B = {(, a, 1), (, b, 1), (, a, 2), (, b, 2)}.
Theorem Hint
| A|= m,| B |= n A× B |= mn. | A× B = {( x, y) | x ∈ A, y ∈B}.
(x, y, z)

邓辉文离散数学章节

习题 4.2122 4.3 谓词公式的解释及类型 124 4.3.1 谓词公式的解释 124 4.3.2 谓词公式的类型 125 习题 4.3125 4.4 逻辑等值的谓词公式 127 4.4.1 谓词公式等值的定义 127 4.4.2 基本等值式 127 习题 4.4129 4.5 谓词公式的前束范式 129 4.5.1 谓词公式的前束范式的定义 129 4.5.2 谓词公式的前束范式的计算 130 习题 4.5130 4.6 谓词逻辑中的推理 131 4.6.1 逻辑蕴涵式 131 4.6.2 基本推理规则 131 4.6.3 谓词逻辑的自然推理系统 132 习题 4.6134 第 5 章代数结构 136 5.1 代数结构简介 136 5.1.1 代数结构的定义 136 5.1.2 两种最简单的代数结构: 半群及独异点 137 5.1.3 子代数 138 5.1.4 代数结构的同态与同构 138 习题 5.1140 5.2 群的定义及性质 141 5.2.1 群的有关概念 141 5.2.2 子群 143 5.2.3 群的同态 144 习题 5.2144 5.3 环和域 145 5.3.1 环的定义 145 5.3.2 几种特殊的环 146 5.3.3 域的定义 147 5.3.4 有限域 148 习题 5.3149 5.4 格与布尔代数 150 5.4.1 格的定义和性质 150 5.4.2 分配格 153 5.4.3 有补格 154 5.4.4 布尔代数 155 习题 5.4157 第 6 章图论 159 6.1 图的基本概念 159 6.1.1 图的定义 159 6.1.2 邻接 161
否定联结词
Hale Waihona Puke 瘙綈p81 3.2.2 合取联结词 p∧q81 3.2.3 析取联结词 p∨q81 3.2.4 异或联结词 pq82 3.2.5 条件联结词 p→q82 3.2.6 双条件联结词 pq83 3.2.7 与非联结词 p↑q83 3.2.8 或非联结词 p↓q84 3.2.9 条件否定联结词 p→nq84 习题 3.284 3.3 命题公式及其真值表 85 3.3.1 命题公式的定义 85 3.3.2 命题的符号化 86 3.3.3 命题公式的真值表 86 3.3.4 命题公式的类型 87 习题 3.388 3.4 逻辑等值的命题公式 89 3.4.1 逻辑等值的定义 90 3.4.2 基本等值式 91 3.4.3 等值演算法 92 3.4.4 对偶原理 93 习题 3.493 3.5 命题公式的范式 95 3.5.1 命题公式的析取范式及合取范式 95 3.5.2 命题公式的主析取范式及主合取范式 98 习题 3.5103 3.6 联结词集合的功能完备性 104 3.6.1 联结词的个数 104 3.6.2 功能完备联结词集 105 习题 3.6107 3.7 命题逻辑中的推理 108 3.7.1 推理形式有效性的定义 108 3.7.2 基本推理规则 109 3.7.3 命题逻辑的自然推理系统 110 习题 3.7114 第 4 章谓词逻辑 116 4.1 个体、谓词、量词和函词 116 4.1.1 个体 116 4.1.2 谓词 117 4.1.3 量词 117 4.1.4 函词 119 习题 4.1119 4.2 谓词公式及命题的符号化 120 4.2.1 谓词公式 120 4.2.2 命题的符号化 120

离散数学第二版邓辉文编著第一章第六节习题答案

离散数学第二版邓辉文编著第一章第六节习题答案第一篇：离散数学第二版邓辉文编著第一章第六节习题答案1.6 集合对等习题1.6 1.证明: 任意无限集合均存在可数子集.证设A是无限集合，取a0∈A，则A-{a0}是无限集合.取a1∈A，则A-{a0,a1}是无限集合.一直下去，即可得到无限集合A的可数子集{a0,a1,...an,...}.2.证明:(0,1)~[0,1].证由于(0,1)是无限集合，而任意无限集合均存在可数子集，设{a0,a1,...an,...}是(0,1)开区间的一个可数子集合，令f:(0,1)→[0,1]，满足下面的条件f(a0)=0,f(a1)=1, f(ai)=ai-2,i≥2;f(x)=x,x∉{a0,a1,...,an,...}.显然，f 是(0,1)到[0, 1]的一个双射.故(0,1)~[0,1].3.证明: [0,1]~[a,b],a<b.证令f:[0,1]→[a,b]，f(x)=a+(b-a)x，容易证明f是一个双射，进而[0,1]~[a,b].4.有理数集合Q是可数集合.证由于正有理数集合Q+ = ⎨⎧n⎫m,n∈N,m≠0,m与n互素⎬，令⎩m⎭f:Q+→N⨯N，⎛n⎫f ⎪=(m,n)，⎝m⎭则f是单射，所以|Q+| ≤|N⨯N|.由于N~N⨯N，于是|Q+| ≤|N|=ℵ0.而Q+是无限集合，所以|Q+| ≥|N|=ℵ0.于是|Q+| = ℵ0.所以正有理数集合Q+是可数集合.显然Q+与所有负有理数集合Q-对等，而Q = Q+⋃Q-⋃{0}，所有Q是可数集合.5.证明: 全体无理数组成的集合R –Q与R有相同的基数.证在全体无理数集合R –Q中选取可数子集{a0,a1,...an,...}，因为Q可数，设Q = {b0,b1,...bn,...}.构造映射f:R-Q→R如下f(a2i)=ai,f(a2i+1)=bi,i=0,1,2,...；f(x)=x,x∉{a0,a1,...,an,...}.则f:R-Q→R是双射，所以R – Q与R有相同的基数.6.对于任意集合A，P(A)是A的幂集，证明: |A|<|P(A)|.证令g:A→P(A),g(x)={x}，则g是A到P(A)的单射，所以|A|≤|P(A)|.假设|A|=|P(A)|，则存在A到P(A)的双射f.令S={x|x∉f(x)}，则S⊆A.因为f是A到P(A)的双射，必存在y∈A是得f(y)=S.考虑是否y∈S.由于y∈S⇔y∈{x|x∉f(x)}⇔y∉f(y)⇔y∉S，这是一个矛盾.于是|A|=|P(A)|不成立，因此有|A|<|P(A)|.第二篇：离散数学习题及答案离散数学考试试题（A卷及答案）一、（10分）某项工作需要派A、B、C和D 4个人中的2个人去完成，按下面3个条件，有几种派法？如何派？(1)若A去，则C和D中要去1个人；(2)B和C不能都去；(3)若C去，则D留下。

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第1章集合、映射与运算1 1.1 集合的有关概念11.1.1 集合11.1.2 子集31.1.3 幂集41.1.4 n元组51.1.5 笛卡儿积6习题1.161.2 映射的有关概念71.2.1 映射的定义71.2.2 映射的性质91.2.3 逆映射101.2.4 复合映射11习题1.2131.3 运算的定义及性质14 1.3.1 运算的定义141.3.2 运算的性质17习题1.3211.4 集合的运算221.4.1 并运算221.4.2 交运算231.4.3 补运算241.4.4 差运算261.4.5 对称差运算27习题1.4281.5 集合的划分与覆盖29 1.5.1 集合的划分291.5.2 集合的覆盖32习题1.5321.6 集合的对等321.6.1 集合对等的定义331.6.2 无限集合331.6.3 集合的基数341.6.4 可数集合341.6.5 不可数集合351.6.6 基数的比较35习题1.636第2章关系37 2.1 关系的概念372.1.1 n 元关系的定义37 2.1.2 2元关系382.1.3 关系的定义域和值域41 2.1.4 关系的表示422.1.5 函数的关系定义43习题2.1442.2 关系的运算462.2.1 关系的集合运算462.2.2 关系的逆运算462.2.3 关系的复合运算472.2.4 关系的其他运算51习题2.2512.3 关系的性质522.3.1 自反性522.3.2 反自反性532.3.3 对称性542.3.4 反对称性552.3.5 传递性56习题2.3582.4 关系的闭包592.4.1 自反闭包 r(R )592.4.2 对称闭包 s(R )602.4.3 传递闭包 t(R )61习题2.4642.5 等价关系652.5.1 等价关系的定义652.5.2 等价类66习题2.5682.6 相容关系692.6.1 相容关系的定义692.6.2 相容类70习题2.6712.7 偏序关系712.7.1 偏序关系的定义712.7.2 偏序集的哈斯图732.7.3 偏序集中的特殊元素74习题2.776第3章命题逻辑783.1 命题的有关概念78习题3.1803.2 逻辑联结词803.2.1 否定联结词瘙綈 p813.2.2 合取联结词p ∧q813.2.3 析取联结词p∨q813.2.4 异或联结词p q823.2.5 条件联结词p →q823.2.6 双条件联结词p q833.2.7 与非联结词p↑q833.2.8 或非联结词p↓q843.2.9 条件否定联结词p → n q84习题3.2843.3 命题公式及其真值表853.3.1 命题公式的定义853.3.2 命题的符号化863.3.3 命题公式的真值表863.3.4 命题公式的类型87习题3.3883.4 逻辑等值的命题公式893.4.1 逻辑等值的定义903.4.2 基本等值式913.4.3 等值演算法923.4.4 对偶原理93习题3.4933.5 命题公式的范式953.5.1 命题公式的析取范式及合取范式953.5.2 命题公式的主析取范式及主合取范式98 习题3.51033.6 联结词集合的功能完备性1043.6.1 联结词的个数1043.6.2 功能完备联结词集105习题3.61073.7 命题逻辑中的推理1083.7.1 推理形式有效性的定义1083.7.2 基本推理规则1093.7.3 命题逻辑的自然推理系统110习题3.7114第4章谓词逻辑1164.1 个体、谓词、量词和函词1164.1.1 个体1164.1.2 谓词1174.1.3 量词1174.1.4 函词119习题4.11194.2 谓词公式及命题的符号化1204.2.1 谓词公式1204.2.2 命题的符号化1204.3 谓词公式的解释及类型1244.3.1 谓词公式的解释1244.3.2 谓词公式的类型125习题4.31254.4 逻辑等值的谓词公式1274.4.1 谓词公式等值的定义1274.4.2 基本等值式127习题4.41294.5 谓词公式的前束范式1294.5.1 谓词公式的前束范式的定义1294.5.2 谓词公式的前束范式的计算130习题4.51304.6 谓词逻辑中的推理1314.6.1 逻辑蕴涵式1314.6.2 基本推理规则1314.6.3 谓词逻辑的自然推理系统132习题4.6134第5章代数结构1365.1 代数结构简介1365.1.1 代数结构的定义1365.1.2 两种最简单的代数结构: 半群及独异点137 5.1.3 子代数1385.1.4 代数结构的同态与同构138习题5.11405.2 群的定义及性质1415.2.1 群的有关概念1415.2.2 子群1435.2.3 群的同态144习题5.21445.3 环和域1455.3.1 环的定义1455.3.2 几种特殊的环1465.3.3 域的定义1475.3.4 有限域148习题5.31495.4 格与布尔代数1505.4.1 格的定义和性质1505.4.2 分配格1535.4.3 有补格1545.4.4 布尔代数155习题5.4157第6章图论1596.1 图的基本概念1596.1.1 图的定义1596.1.2 邻接1616.1.4 简单图161习题6.11626.2 节点的度数163习题6.21656.3 子图、图的运算和图同构1656.3.1 子图1656.3.2 图的运算1666.3.3 图同构167习题6.31686.4 路与回路1686.4.1 路1696.4.2 回路169习题6.41706.5 图的连通性1716.5.1 无向图的连通性1716.5.2 无向连通图的点连通度与边连通度172 6.5.3 有向图的连通性173习题6.51756.6 图的矩阵表示1766.6.1 图的邻接矩阵1766.6.2 图的可达矩阵1776.6.3 图的关联矩阵178习题6.61796.7 赋权图及最短路径1806.7.1 赋权图1806.7.2 最短路径180习题6.7182第7章几类特殊的图1837.1 欧拉图1837.1.1 欧拉图的有关概念1837.1.2 欧拉定理1837.1.3 中国邮递员问题184习题7.11857.2 哈密尔顿图1867.2.1 哈密尔顿图的有关概念1867.2.2 哈密尔顿图的必要条件1877.2.3 哈密尔顿图的充分条件1877.2.4 旅行商问题189习题7.21897.3 无向树1907.3.1 无向树的定义1907.3.2 无向树的性质1917.3.3 生成树1927.3.4 最小生成树193习题7.31947.4 有向树1957.4.1 有向树的定义1957.4.2 根树1957.4.3 m叉树1967.4.4 有序树1997.4.5 定位二叉树199习题7.42017.5 平面图2027.5.1 平面图的有关概念2037.5.2 欧拉公式2047.5.3 库拉托夫斯基定理2057.5.4 平面图的对偶图205习题7.52067.6 平面图的面着色2077.6.1 平面图的面着色定义2087.6.2 图的节点着色2087.6.3 任意图的边着色209习题7.62107.7 二部图及其匹配2107.7.1 二部图2117.7.2 匹配211习题7.7212第8章组合计数2148.1 排列组合与二项式定理2148.1.1 排列2148.1.2 组合2158.1.3 二项式定理216习题8.12178.2 生成函数2178.2.1 组合计数生成函数2178.2.2 排列计数生成函数219习题8.22218.3 递归关系2218.3.1 递归关系的概念2218.3.2 常用的递归关系求解方法223习题8.3227附录A符号索引228附录B 中英文名词索引231附录C 习题答案及提示236参考文献259。

离散数学答案第二版-高等教育出版社课后答案

第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16 设p、q 的真值为0；r、s 的真值为1，求下列各命题公式的真值。

( 1)p∨ (q∧ r) 0∨ (0∧ 1) 0( 2)( p? r)∧(﹁q∨ s) ( 0? 1)∧(1 ∨ 1) 0∧ 1 0.( 3)(p∧q∧r ) ? (p∧q∧﹁r) ( 1∧ 1∧1) ? (0 ∧0∧0) 0( 4)( r ∧ s)→ (p ∧ q) ( 0∧ 1)→ (1 ∧ 0) 0→0 117．判断下面一段论述是否为真：“ 是无理数。

并且，如果 3 是无理数，则 2 也是无理数。

另外6 能被2 整除，6 才能被4 整除。

答：p: 是无理数1q: 3 是无理数0r:2是无理数1s: 6 能被 2 整除1t: 6 能被 4 整除0命题符号化为：p∧(q→ r)∧(t→ s)的真值为1，所以这一段的论述为真19．用真值表判断下列公式的类型：4)(p→ q) →( q→p)5)(p∧ r) ( p∧q)6)((p→ q) ∧ (q→ r)) →(p→r)答： ( 4)p q p→q q p0 0 1 1 10 1 1 0 11 0 0 1 01 1 1 0 0所以公式类型为永真式( 5)公式类型为可满足式(方法如上例) q→ p111(p→q)→( q→ p)1111( 6)公式类型为永真式(方法如上例)第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1)](pAq-q)(2)(p^(pVq))V (p^r)⑶(pVq) 一(pAr)答：(2) (p一(pVq)) V(p-r)= (一pV(pVq))V(「pVr)=「pVpVqVru 1 所以公式类型为永真式⑶p q r PV q p A r (pV q) f (p/\「)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可涉足式4,用等值演算法证明下面等值式：⑵(p 一q)A(p—r) u (p 一(qAij)⑷(p A「q) V「pAq)u (p Vq) A」(p A q)证明(2) (p -q) A (p->r)u (」pVq) A(「pVr)u「P V (q A ij)u p一(q A r)(4) (pA「q) V(「pAq)u (p V(^pAq)) A(「qV(「pAq). (p V「p) A (p Vq) A (「qV「p) A(「qVq)u 1 A (p V q) A - (p A q) A 1u (p V q) A (p A q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(「p-q)-(「qVp)(2)](p - q) AqAr(3)(p V(q Ar)) 一(p VqVr)解：( 1)主析取范式( p→q)→( q p)(p q) ( q p)( p q) ( q p)( p q) ( q p) ( q p) (p q) (p q)( p q) (p q) (p q)m0 m2 m3∑ (0,2,3) 主合取范式：( p→q) →( q p)(p q) ( q p)( p q) ( q p)( p ( q p)) ( q ( q p))1 (p q)(p q) M1∏ (1)(2)主合取范式为：(p →q) q r ( p q) q r(p q) q r 0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为0(3)主合取范式为：(p (q r)) →(p q r)(p (q r)) →(p q r)( p ( q r)) (p q r)( p (p q r)) (( q r)) (p q r))11所以该式为永真式.永真式的主合取范式为1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P 中构造下面推理的证明：(2)前提：p q, (q r),r结论：p(4)前提：q p,q s,s t,t r结论：p q证明： ( 2)①(q r) 前提引入②q r ①置换③q r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤q ③④拒取式⑥p q 前提引入⑦￢p( 3) ⑤⑥拒取式证明( 4) ：①t r 前提引入②t ①化简律③q s 前提引入④s t 前提引入⑤q t ③④等价三段论⑥( q t ) (t q) ⑤ 置换⑦( q t ) ⑥化简⑧q ②⑥ 假言推理⑨q p 前提引入15在自然推理系统 P 中用附加前提法证明下面各推理：(1) 前提：p(q r),s p,q结论：s r证明① s 附加前提引入 ② s p 前提引入 ③ p ①②假言推理 ④ p (q r)前提引入 ⑤ q r ③④假言推理 ⑥ q 前提引入 ⑦ r ⑤⑥假言推理16 在自然推理系统 P 中用归谬法证明下面各推理：(1) 前提： p q, r q,r s 结论： p证明：① p 结论的否定引入 ② p ﹁ q 前提引入 ③﹁q ①②假言推理 ④￢r q 前提引入 ⑤￢r ④化简律 ⑥ r ￢s 前提引入⑦ r ⑥化简律 ⑧ r ﹁r⑤⑦ 合取由于最后一步 r ﹁ r 是矛盾式 , 所以推理正确 .⑩p (11)p q ⑧⑨假言推第四章部分课后习题参考答案3.在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化, 并分别讨论个体域限制为(a),(b) 条件时命题的真值:(1)对于任意x, 均有2=(x+ )(x ).(2)存在x, 使得x+5=9.其中(a) 个体域为自然数集合.(b) 个体域为实数集合.解：F(x): 2=(x+ )(x ).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为xF(x)，在( a)中为假命题，在(b) 中为真命题。

离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案

离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案1.2 映射的有关概念习题1.21. 分别计算⎡1. 5⎤，⎡-1⎤，⎡-1. 5⎤，⎣1. 5⎦，⎣-1⎦，⎣-1. 5⎦.解⎡1. 5⎤=2，⎡-1⎤=-1，⎡-1. 5⎤=-1，⎣1. 5⎦=1，⎣-1⎦=-1，⎣-1. 5⎦=-2.2. 下列映射中，那些是双射? 说明理由.(1)f :Z →Z , f (x ) =3x .(2)f :Z →N , f (x ) =|x |+1.(3)f :R →R , f (x ) =x 3+1.(4)f :N ⨯N →N , f (x 1, x 2) =x 1+x 2+1.(5)f :N →N⨯N , f (x ) =(x , x +1).解 (1)对于任意对x 1, x 2∈Z，若f (x 1) =f (x 2) ，则3x 1=3x 2，于是x 1=x 2，所以f 是单射. 由于对任意x ∈Z，f (x ) ≠2∈Z，因此f 不是满射，进而f 不是双射.(2)由于2, -2∈Z且f (2) =f (-2) =3，因此f 不是单射. 又由于0∈N，而任意x ∈Z均有f (x ) =|x |+1≠0，于是f 不是满射. 显然，f 不是双射.(3)对于任意对x 1, x 2∈R，若f (x 1) =f (x 2) ，则x 1+1=x 2+1，于是x 1=x 2，所以f 是单射. 对于任意y ∈R，取x =(y -1) ，这时1⎡⎤3f (x ) =x +1=⎢(y -1) 3⎥+1=(y -1) +1=y ，⎣⎦33313所以f 是满射. 进而f 是双射.(4)由于(1, 2), (2, 1) ∈N⨯N 且(1, 2) ≠(2, 1) ，而f (1, 2) =f (2, 1) =4，因此f 不是单射. 又由于0∈N，而任意(x 1, x 2) ∈N⨯N 均有f (x 1, x 2) =x 1+x2+1≠0，于是f 不是满射. 显然，f 就不是双射.(5)由于x 1, x 2∈N，若f (x 1) =f (x 2) ，则(x 1, x 1+1) =(x 2, x 2+1) ，于是x 1=x 2，因此f 是单射. 又由于(0, 0) ∈N⨯N ，而任意x ∈N均有f (x ) =(x , x +1) ≠(0, 0) ，于是f 不是满射. 因为f 不是满射，所以f 不是双射.3. 对于有限集合A 和B ，假定f :A →B且|A |=|B |，证明: f 是单射的充要条件是f 是满射. 对于无限集合，上述结论成立吗？举例说明.证(⇒) 因为f 是单射，所以|A |=|f (A ) |. 由于|A |=|B |，所以|f (A ) |=|B |. 又因为B 有限且f (A ) ⊆B ，故f (A ) =B ，即f 是满射.(⇐) 若f 是满射，则f (A ) =B . 由于|A |=|B |，于是|A |=|f (A ) |. 又因为A 和B 是有限集合，因此f 是单射.对于无限集合，上述结论不成立. 例如f :N →N，f (x ) =2x ，f 是单射，但f 不是满射.4. 设f :A →B , 试证明:(1)f I B =f .(2)I A f =f .特别地，若f :A →A，则f I A =I A f =f .证 (1)对于任意x ∈A，由于f (x ) ∈B，所以(f I B )(x ) =I B (f (x )) =f (x ) ，因此f I B =f .(2)对于任意x ∈A，由于I A (x ) =x ，所以(I A f )(x ) =f (I A (x )) =f (x ) ，于是有I A f =f .由(1)和(2)知，若f :A →A，则f I A =I A f =f .5. 试举出一个例子说明f f =f 成立，其中f :A →A且f ≠I A . 若f 的逆映射存在，满足条件的f 还存在吗?解令A ={a , b , c }，f (a ) =f (b ) =f (c ) =a ，即对于任意x ∈A，f (x ) =a ，显然f :A →A且f ≠I A . 而对于任意x ∈A，有(f f )(x ) =f (f (x )) =f (a ) =a ，因此f f =f .若f f =f 且f 的逆映射f -1存在，由第3题知f f =f =f I A ，所以-1-1于是利用定理7有(f f ) f =(f f ) I A ，f -1 (f f ) =f -1 (f I A ) ，进而I A f =I A I A ，因此f =I A . 所以若f 的逆映射存在，满足条件的f 不存在.6. 设f :A →B , g :B →C . 若f 和g 是满射，则f g 是满射，试证明.证因为f 是满射，所以f (A ) =B . 又因为g 是满射，所以g (B ) =C . 于是(f g ) (A ) =g (f (A )) =g (B ) =C ，因此f g 是A 到C 的满射.另证对于任意z ∈C，因为g 是满射，于是存在y ∈B使得g (y ) =z . 又因为f 是满射，存在x ∈A使得f (x ) =y . 因此，(f g )(x ) =g (f (x )) =g (y ) =z ，所以f g 是A 到C 的满射.7. 设f :A →B , g :B →C . 试证明: 若f g 是单射，则f 是单射. 试举例说明，这时g 不一定是单射.证对于任意x 1, x 2∈A，假定f (x 1) =f (x 2) ，则显然g (f (x 1)) =g (f (x 2)) ，即(f g )(x 1) =(f g )(x 2) . 因为f g 是单射，所以x 1=x 2，于是f 是单射.例如A ={a , b }，B ={1, 2, 3}，C ={α,β,γ,δ}，令f (a ) =1, f (b ) =2，g (1) =α, g (2) =β, g (3) =β，则显然有(f g )(a ) =g (f (a )) =g (1) =α, (f g )(b ) =g (f(b )) =g (2) =β,于是f g 是A 到C 的单射，但g 显然不是单射.8. 设f :A →B , 若存在g :B →A，使得f g =I A 且g f =I B ，试证明: f 是双射且f -1=g .证因为f g =I A ，而I A 是单射，所以f 是单射. 又因为g f =I B ，而I B 是满射，所以f 是满射. 因此f 是双射.由于f 是双射，所以f而(f -1-1存在. 因为f g =I A ，于是f -1 (f g ) =f -1 I A . f ) g =f -1 I A 且I B g =f -1，所以有f -1=g .9. 设f :A →B , g :B →C . 若f 和g 是双射，则f g 是双射且(f g ) -1=g -1 f -1.-1-1证根据定理4(1)(2)知，f g 是双射. 下证(f g ) =g f -1. 因为(f g ) (g -1 f -1) =f (g g -1) f -1=f I B f -1=f f -1=I A ， (g -1 f -1) (f g ) =g -1 (f -1 f ) g =g -1 I B g =g -1 g =I C ，在上面的推导中多次利用了定理7. 由第7题知，(f g ) -1=g -1 f10. 设G 是集合A 到A 的所有双射组成的集合，证明(1)任意f , g ∈G，有f g ∈G .(2)对于任意f , g , h ∈G，有(f g ) h =f (g h ).(3)I A ∈G且对于任意f ∈G，有I A f =f I A =f .(4)对于任意f ∈G，有f -1-1. ∈G且f f -1=f -1 f =I A .证 (1)由定理5.(2)由定理7.(3)由第3题.(4)由定理4.11. 若A = {a , b , c }, B = {1, 2}, 问A 到B 的满射、单射、双射各有多少个? 试推广你的结论.解将A 中的3个元素对应到B 中的2个元素，相当于将3个元素分成2部分，共有3种分法; 在计算A 到B 的满射个数时还需要将B 中元素进行排列，共有2种排列方式，于是A 到B 的满射共有3⨯2=6个(请自己分别写出A 到B 的6个满射).由于|A |=3, |B |=2，所以A 到B 的单射没有，进而A 到B 的双射也没有. 假设|A |=m , |B |=n .(1) A到B 的满射若m(2) A到B 的单射若m >n ，不存在单射；若m ≤n，由于B 中任意选取m 个m 元素，再将其进行全排列都得到A 到B 的单射，故A 到B 的单射共有C n ⋅m ! 个.(3)A 到B 的双射若m ≠n，不存在双射；若m =n ，此时B 中元素的任意一个排列均可得到一个A 到B 的双射，因此A 到B 的双射共有m ! 个.12. 设A , B , C , D 是任意集合，f 是A 到B 的双射， g 是C 到D 的双射，令h :A ⨯C →B⨯D ，对任意(a , c ) ∈A⨯C , h (a , c ) =(f (a ), g (c )). 证明:h 是双射.证对于任意(a 1, c 1) ∈A⨯C ，(a 2, c 2) ∈A⨯C ，假定h (a 1, c 1) =h (a 2, c 2) ，即(f (a 1), g (c 1)) =(f (a 2), g (c 2)) ，于是f (a 1) =f (a 2) 且g (c 1) =g (c 2) ，根据已知条件有a 1=a 2且c 1=c 2，进而(a 1, c 1) =(a 2, c 2) ，因此h 是单射.任意(b , d ) ∈B⨯D ，则b ∈B , d ∈D，由于f 是A 到B 的双射且g 是C 到D 的双射，于是存在a ∈A , c ∈C使得f (a ) =b , g (c ) =d ，因此h (a , c ) =(f (a ), g (c )) =(b , d ) ，所以h 是满射.故h 是双射.13. 设f :A →B , g :B →C , h :C →A，若f g h =I A ，g h f =I B ，h f g =I C ，则f , g , h 均可逆，并求出f -1, g -1, h -1.证因为恒等映射是双射，多次使用定理6即可得结论.由于f g h =I A ，所以f 是单射且h 是满射. 由于g h f =I B ，所以g 是单射且f 是满射. 由于h f g =I C ，所以h 是单射且g 是满射. 于是f , g , h 是双射，因此f , g , h 均可逆.由于f g h =I A ，所以f -1=g h 且h -1=f g ，进而g -1=h f .14. 已知Ackermann 函数A :N ⨯N →N的定义为(1)A (0, n ) =n +1, n ≥0;(2)A (m , 0) =A (m -1, 1), m >0;(3)A (m , n ) =A (m -1, A (m , n -1)), m >0, n >0.分别计算A (2, 3) 和A (3, 2) .解由已知条件有A (0, 1) =2，A (1, 0) =A (0, 1) =2，于是A (1, 1) =A (0, A (1, 0)) =A (0, 2) =2+1=3，A (1, 2) =A (0, A (1, 1)) =A (0, 3) =3+1=4，由此可进一步得出A (1, n ) =n +2，A (2, 0) =A (1, 1) =3，A (2, 1) =A (1, A (2, 0)) =A (1, 3) =3+2=5，A (2, 2) =A (1, A (2, 1)) =A (1, 5) =5+2=7， A (2, 3) =A (1, A (2, 2)) =A (1, 7) =7+2=9. 因此有A (2, n ) =2n +3，A (3, 0) =A (2, 1) =2⋅1+3=5，A (3, 1) =A (2, A (3, 0)) =A (2, 5) =2⋅5+3=13， A (3, 2) =A (2, A (2, 2)) =A (2,13) =2⋅13+3=29. 所以有A (2, 3) =9, A (3, 2) =29.。

离散数学(第二版)课后习题答案详解(完整版)

习题一1.下列句子中,哪些是命题？在是命题的句子中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（1）中国有四大发明.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（2）5 是无理数.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（3）3 是素数或 4 是素数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为1.（4）2x+ <3 5 答：不是命题.（5）你去图书馆吗？答：不是命题.（6）2 与3 是偶数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（7）刘红与魏新是同学.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.（8）这朵玫瑰花多美丽呀！答：不是命题.（9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命题.（10）圆的面积等于半径的平方乘以π.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（11）只有6 是偶数，3 才能是2 的倍数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（12）8 是偶数的充分必要条件是8 能被3 整除.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（13）2008 年元旦下大雪.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:（1）p：中国有四大发明.（2）p: 是无理数.（7）p:刘红与魏新是同学.（10）p:圆的面积等于半径的平方乘以π.（13）p:2008 年元旦下大雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.（1）5 是有理数.答：否定式：5 是无理数. p：5 是有理数.q：5 是无理数.其否定式q 的真值为1.（2）25 不是无理数.答：否定式：25 是有理数. p：25 不是无理数. q：25 是有理数. 其否定式q 的真值为1.（3）2.5 是自然数.答：否定式：2.5 不是自然数. p：2.5 是自然数. q：2.5 不是自然数. 其否定式q 的真值为1.（4）ln1 是整数.答：否定式：ln1 不是整数. p：ln1 是整数. q：ln1 不是整数. 其否定式q 的真值为1.4.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2 与5 都是素数答：p：2 是素数，q：5 是素数，符号化为p q∧ ，其真值为 1.（2）不但π是无理数，而且自然对数的底e 也是无理数.答：p：π 是无理数，q：自然对数的底e 是无理数，符号化为p q∧ ，其真值为1.（3）虽然2 是最小的素数，但2 不是最小的自然数.答：p：2 是最小的素数，q：2 是最小的自然数，符号化为p q∧¬ ，其真值为1.（4）3 是偶素数.答：p：3 是素数，q：3 是偶数，符号化为p q∧ ，其真值为0.（5）4 既不是素数，也不是偶数.答：p：4 是素数，q：4 是偶数，符号化为¬ ∧¬p q，其真值为0.5.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2 或3 是偶数.（2）2 或4 是偶数.（3）3 或5 是偶数.（4）3 不是偶数或4 不是偶数.（5）3 不是素数或4 不是偶数.答: p：2 是偶数，q：3 是偶数，r:3 是素数，s:4 是偶数, t:5 是偶数(1)符号化: p q∨ ，其真值为1.(2)符号化：p r∨ ，其真值为1.(3)符号化：r t∨ ，其真值为0.(4)符号化：¬ ∨¬q s，其真值为1.(5)符号化：¬ ∨¬r s，其真值为0.6.将下列命题符号化.（1）小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨.答：p：小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨，符号化为: p q∨ .（2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课.答：p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语，符号化为: (¬ ∧ ∨ ∧¬p q)(p q) .7.设p：王冬生于1971 年，q：王冬生于1972 年，说明命题“王冬生于1971 年或1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表：p q0 0 0 00 1 1 11 0 1 11 1 0 1根据真值表,可以判断出,只有当p 与q 同时为真时两种符号化的表示才会有不同的真值,但结合命题可以发现,p 与q 不可能同时为真,故上述命题有两种符号化方式.8.将下列命题符号化,并指出真值., 就有；（1）只要, 则；（2）如果, 才有；（3）只有, 才有；（4）除非, 否则；（5）除非（6）仅当.答:设p: , 则: ; 设q: , 则: .符号化真值（1） 1（2） 1（3）0（4）0（5）0（6） 1 ：俄罗斯位于南半球,q：亚洲人口最多,将下面命题用自然语言表述（1）；（2）；；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.答:根据题意,p 为假命题,q 为真命题.自然语言真值（1）只要俄罗斯位于南半球,亚洲人口就最多 1 （2）只要亚洲人口最多,俄罗斯就位于南半球0 （3）只要俄罗斯不位于南半球,亚洲人口就最多 1 （4）只要俄罗斯位于南半球，亚洲人口就不是最多 1 （5）只要亚洲人口不是最多，俄罗斯就位于南半球 1 （6）只要俄罗斯不位于南半球，亚洲人口就不是最多0 （7）只要亚洲人口不是最多，俄罗斯就不位于南半球 1（1）；（2）；（3）；（4）.答:根据题意,p 为真命题,q 为假命题.自然语言真值（1）9 是 3 的倍数当且仅当英语与土耳其相邻0 （2）9 是 3 的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻 1 （3）9 不是3 的倍数当且仅当英语与土耳其相邻 1（4） 9 不是 3 的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻11. 将下列命题符号化,并给出各命题的真值：（1）若 2+2=4,则地球是静止不动的；（2）若 2+2=4,则地球是运动不止的；（3）若地球上没有树木,则人类不能生存；（4）若地球上没有水,则是无理数.12. （1）2+2=4 当且仅当 3+3=6；（2）2+2=4 的充要条件是 3+3 6；（3）2+2 4 与 3+3=6 互为充要条件；（4）若 2+2 4,则 3+3 6,反之亦然.答:设 p:2+2=4,q:3+3=6.符号化真值 (1)1(2)(3)(4)113. 将下列命题符号化,并讨论各命题的真值：（1）若今天是星期一,则明天是星期二；（2）只有今天是星期一,明天才是星期二；命题 1命题 2 符号化真值（1） p:2+2=4 q:地球是静止不动的（2） p:2+2=4 q:地球是静止不动的1 （3） p:地球上有树木 q:人类能生存1（4）p:地球上有树木q:人类能生存1（3）今天是星期一当且仅当明天是星期二；（4）若今天是星期一,则明天是星期三.答:设p:今天是星期一,q:明天是星期二,r:明天是星期三.将下列命题符号化：（1）刘晓月跑得快,跳得高；（2）老王是山东人或者河北人；（3）因为天气冷,所以我穿了羽绒服；（4）王欢与李乐组成一个小组；（5）李欣与李末是兄弟；（6）王强与刘威都学过法语；（7）他一面吃饭,一面听音乐；（8）如果天下大雨,他就乘班车上班；（9）只有天下大雨,他才乘班车上班；（10）除非天下大雨,否则他不乘班车上班；（11）下雪路滑,他迟到了；（12）2 与4 都是素数,这是不对的；（13）“2 或 4 是素数,这是不对的”是不对的.答:(6) p:王强学过法语q:刘威学过法语-(7) p:他吃饭q:他听音乐-(8) p:天下大雨q:他乘车上班-(9) p:天下大雨q:他乘车上班-(10) p:天下大雨q:他乘车上班-(11) p:下雪q:路滑r:他迟到了(12) p:2 是素数q:4 是素数-(13) p:2 是素数q:4 是素数-15.设p：2+3=5.q：大熊猫产在中国.r:太阳从西方升起. 求下列符合命题的真值：（1）（2）（3）（4）解：p真值为1，q 真值为1，r 真值为0.（1）0，（2）0，（3）0，（4）116.当p,q 的真值为0,r,s 的真值为1 时,求下列各命题公式的真值：（1）（2）（3）（4）解：（1）0，（2）0，（3）0，（4）117.判断下面一段论述是否为真：“ 是无理数.并且,如果3 是无理数,则也是无理数.另外,只有6 能被2 整除,6 才能被4 整除.”解：p: 是无理数q: 3 是无理数r:是无理数s: 6 能被2 整除t：6 能被 4 整除符号化为: ，该式为重言式，所以论述为真。

离散数学第二版邓辉文编著第一章第五节习题答案