真实粗糙表面接触模型的研究

是变换函数O 对任意压力分布, 根据位移和压力的能量谱密
度 ZZ( Z) 与 Zp( Z) , 可以求得压力 - 变形关系
ZZ( Z) = I H( Z) I 2Zp ( Z)
( 1O)
将频域中的压力和变形进行反傅里叶变换就可以求得
结构的压力和变形值O 3. 4 有限元数值计算方法
有限元法可以直接用于求解弹性平衡方程, 它的优点在 于可以方便的考虑接触元件的几何形状以及材料的非线性
拟G 接触分析是在计入材料特性和表面粗糙度后确定真实 表面压力和接触面积的数值计算过程G 本文是对现有接触 模型和求解接触问题的分析方法进行研究 并主要论述构
成粗糙表面接触模拟计算 3 个重要方面的工作G
1 接触问题的基本方程 两真实粗糙表面间的接触如图 1 所示 其真正接触区
是在相对较高的微凸
体的 顶 部 区 域G 假 设 表面上任意一点 k U1(k) 和 U2(k) 是两物 体接触的弹性变形
m
Uk =
akj fj
( 4)
j= 1
式中: akj 是当在结点 j 作用一单位力时在结点 k 处产生的
位移; fj 是作用在接触表面结点 j 上的载荷; m 是可能接触
结点数G 式( 4) 也可表示为矩阵形式 即
u= A
( 5)
式中: A 称为柔度矩阵; u = (U1 U2 - Um) 是位移向量
第 20 卷 第 5 期 2001 年 9 月
机械科学与技术 MECHANICAL SCIENCE AND TECHNOLOGY
文章编号: 1003-8728( 2001) 05-0737-03
ol. 20 No. 5 September 2001
宋敏
真实粗糙表面接触模型的研究
宋敏
( 西安航空高等技术专科学校 西安 710077)
= (f1 f2 - fm) 是载荷向量G
式( 1) ~ ( 5) 构成了求解接触问题的基本方程G 这些方
程的求解通常是由式( 5) 求出一组满足变形协调条件( 式
( 1) 和( 2) ) 的位移 以及满足平衡条件( 式( 3) ) 的一组接触
压力G 由于粗糙表面特性的任意性 求解粗糙表面接触比光
滑表面接触要复杂G 这类问题的求解主要反映在三个方面:
( 1) 粗糙表面轮廓的确定; ( 2) 结点载荷和表面位移之间
关系的计算公式; ( 3) 求解几何非线性接触问题的方法G
2 真实粗糙表面的确定 2. 1 假定微凸体形状的粗糙表面统计方法
工程表面的数学描述是模拟粗糙表面间接触的第一
步G 统计方法通常将微凸体高度的分布描述成为一个随机 过程G 这样 粗糙表面就能够由统计参数 如高度分布函数 以及分布函数的特征加以描述G 通常 在分析时为了使用现 有的接触公式 需要指定微凸体的形状G 在 GreenwooC 和 Williamson[1]的统计接触模型( GW 模型) 中 表面被认为具 有相同曲率半径的半球形尖端微凸体G 微凸体的高度假定 满足高斯分布G 这种模型由 3 个参数定义: 微凸体高度分 布的标准差 6~ 单位面积微凸体的密度 7 和微凸体的曲率半 径 B 其中 B假定为常数G 进一步的研究中 指定的微凸体尖 端形状 有 球 形[2]~ 抛 物 线 形[3] 或 具 有 一 定 半 径 和 空 间 距 离 排列的圆柱形[4] 等G 这些描述粗糙表 面 方 法 的 主 要 优 点 是 表达简单明了G 大大地简化了接触方程 加快了接触分析G 2. 2 基于统计参数粗糙表面的生成
收稿日期: 2001 04 09 作者简介: 宋敏( 1961-) 女( 汉) 山东 讲师
S( k ) = S1( k ) - S2( k ) a = a1 - a2G 此外 表面压力 P 的积分 之和应等于作用于接触物体的总载荷 P
P( I) CI = P
( 3)
计算区域表面上任意点的表面位移可表示为
由于柔度矩阵 A 的对称性以及 czj 的值仅取决于结点 z
第5期
宋敏等: 真实粗糙表面接触模型的研究
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到结点 j 的距离 Ren 和 Lee[12] 提出了一种移动网格方法 极大地减少了计算机内存需求O 然而 对于复杂表面形貌 柔度矩阵的维数将随着粗糙表面可能接触点数的增加而增
大O 一些大型柔度矩阵可能是病态的 从而导致迭代计算很 难收敛O 在某些情形下 逆矩阵方法不能保证迭代收敛O 4. 3 数学规划方法
这类方法是用测量统计参数生成数字化的粗糙表面G
738
机械科学与技术
第 2O 卷
Patir [5]提出了一种数字化生成粗糙表面的方法O 其 生 成 的 三维表面微凸体高度 ( Z( x, y) ) 满足高斯分布和一个双线 性 自 相 关 函 数 R( /x, /y ) O 使 用 二 维 数 字 过 滤 技 术, -u 和 TOnder [6]提出了另一个具有给定的高度标准差和自相关 函 数的三维粗糙表面的生成方法O 运用上述方法生成的表面 已 被 用 于 求 解 粗 糙 表 面 的 接 触 分 析 中[7~ 9]O 该 方 法 的 优 点 是可以生成大量具有统计参数的表面, 有利于分析不同特 征表面的接触特性以及回归公式的原始数据的产生O 2. 3 使用表面测量仪数字化真实粗糙表面
图 1 粗糙表面接触
S1( k ) 和 S2( k ) 是初始间隙 a1 和 a2 是刚体位移 则两物体的 弹性变形与初始间隙之和应大于或等于刚体位移 即
U( k ) - S( k ) - a = 0 ( 接触区内)
( 1)
U( k ) - S( k ) - a > 0 ( 接触区外)
( 2)
上式称为接触变形协调条件 其中 U(k) = U1(k) - U2(k)
通过测量仪器获取的表面应该是最真实的表面形貌O 当前主要有 5 种测量表面轮廓的仪器O 它们是: ( 1) 针形表 面 轮廓仪; ( 2) 光学( 白光干涉) 测量仪; ( 3) 电子扫描显微 仪 SEM; ( 4) 原 子 力 显 微 镜 AFM; ( 5) 扫 描 隧 道 显 微 镜 STMO 在 这 些 仪 器 中, 前 2 个 通 常 用 于 宏 观 到 微 观 微 凸 体 的测量, 其它的可以用于测量微观或纳米级表面形貌O 2. 4 采用分形技术
的描述~ 确定接触压力和表面位移之间关系的计算公
式以及求解几何非线性接触问题的方法G 最后给出了
算例G
关 键 词: 接触力学; 微凸体接触
中图分类号: TH391
文献标识码: A
摩擦元件的混合润滑吸引着越来越多的人们关注 因
为它是设计重载接触零件的关键之一 其中真实表面间的
微凸体接触是混合润滑的主要特性G 由于微凸体接触 润滑 油在接触表面之间的流动被中断G 其承担的载荷由流体的 压力和干接触压力来承受G 此外合理描述润滑状态和摩擦 热条件以及真实接触应力的计算也取决于对接触的真实模
基于变分原理的数学规划方法被用来求解接触问题首
先是由 COnry 和 Seireg[13]提出的O 在接触载荷作用下 总余
势能的离散表述形式为
m
m
m
UT =
1 2
fk ( ( ckj -
k= 1
j= 1
fj)
-
fj -
j= 1
~j
式中: fj 和 ~j 分别是结点 j 上作用的载荷和位移O
( 14)
究中时, 将受到一定的限制O
3. 3 频域中的压力-变形关系及其傅里叶变换 当 认识到式( 7) 或式( 8) 是函数的卷积形式后, 接触问
题 的求解可得到极大简化O Ju 和 Farris[11]在频域中表示的 压 力 -变 形 关 系 为
W( Z) = H( Z) P( Z)
( 9)
式 中: W( Z) 和 P( Z) 是 变 形 和 压 力 的 傅 里 叶 变 换, H( Z)
F=
4E% 3
R1/ 2 a3/ 2
A = TRa
( 6)
式 中: E%
是
综
合
杨
氏
模
量
,
定
义
为
1 E%
=
1
-
u
2 1
E1
-
1
E2
u22
;
u 和 E 分别是材料的泊松比和杨氏模量, 下标 1 和 2 代表两
接触物体O
3. 2 积分方法
在 点 载 荷 或 分 布 载 荷 作 用 下, Flament 和 BOussines
公式被广泛应用于二维和三维弹性接触问题中O 对平面应
变问题, 在法向分布载荷作用下, 表面位移可表示为
/( x) =
1 - u2 2TE
p
(
s)Fra Baidu bibliotek
l
n
[xx1
-
s s
]2
d
s
( 7)
式中: p 是表面载荷分布; x1 是离表面位移为零的参考点之
间的距离O 三维问题的公式为
/( x, y)
=
1 - u2 TE
摘 要: 真实工程表面并不是完全光滑的G 当两物体相互接
触时 真实表面实际上是微凸体间的接触G 分析真实粗
糙表面间的接触对研究摩擦~ 磨损和润滑起着非常关
键的作用G 合理地描述润滑状态和摩擦热边界条件也
取决于对真实接触状态的求解G 本文从 3 个方面研究
了粗糙表面接触计算模型的主要构成: 粗糙表面轮廓
真实接触表面和接触压力分布是使式( 14) 极小化的一
组解O 通常有两种计算格式用来搜索接触问题的解: 标准二
次数学规划法和直接二次数学规划法O
( 1) 标准二次数学规划法: 结合式( 3) 和式( 4) 接触边
界协调条件( 1) 和( 2) 可用二次数学规划法表为
求最小值 f T( Af + s - ae)
约束方程 - Af + ae g s
接触点上的单位正压力O 这样接触变形可通过式( 5) 得到O
4 求解接触方程的方法和技术 4. 1 统计方法
早期的统计模型是用赫兹公式计算接触载荷和真实接
触区O 在求解真实粗糙表面接触时, 应用该公式关键是判断 在给定刚体位移 a 时某一微凸体是否处于接触状态O 用概 率密度 Z( Z) 描述的微凸体高度 分 布 函 数 通 常 用 来 确 定 接 触 点数O 如果两个粗糙表面间的距离是 = O - a, 这里 O 是初始间隙O 那么, 对于原始高度大于 的微凸体将进入接 触O 亦即微凸体进入接触的概率是
O
= ( Z ) = Z( Z) dZ
( 13)
表面之间总接触力应该是所有接触的微凸体上接触力
之和, 总接触面积是所有微凸体接触面积的总和O 4. 2 逆矩阵方法
接触方程式( 1) ~ ( 3) 和( 5) 是几何非线性问题, 其接 触 压力和接触面积之间的关系存在耦合O 对这类问题的求 解常用的一种方法是逆矩阵方法O 该方法从式( 5) 入手, 在 解方程之前, 柔度矩阵 A 通过解析方法或数值计算方法求 出O 接触压力分布和真实接触区的确定需要进行迭代计算O 对于给定量粗糙表面接触刚性位移和假设的初始接触区, 接触压力可由式( 5) 的逆矩阵求出O 在计算出压力之后, 位 移也可由该式求出O 由于在接触表面上不允许出现拉力, 在 接 下去的压力和位移迭代计算中, 将载荷向量中的负值去 除掉, 直到满足由式( 1) ~ ( 3) 给出的所有接触边界条件O 然后, 由进入接触的结点确定真实接触区O
p( x/ , y/ ) dx/ dy/
( 8)
N ( x - x/ ) 2 - ( y - y/ ) 2
对 两 弹 性 物 体 接 触 时, 综 合 表 面 位 移 通 常 通 过 替 换
(1
E -
u) 2
为综合杨氏模量
E%
得出O
要注意的是, 式( 7) 和( 8) 是针对半无限弹性体的O 要将
它们应用于有限体~ 含涂层结构或复合材料的接触问题研
特征O 有限元公式中的载荷-位移关系是解线性代数方程组
Ku = f
( 11)
式中:K 是总刚度矩阵; u 是位移向量; f 是载荷向量O 解方
程( 11) 可直接得出位移O 通过在每一可能接触点分别施加
单位载荷, 式( 5) 中的柔度矩阵 A 可由式( 11) 表述为
A = K-1 F
( 12)
矩阵 F 中的每一列都是单位向量, 用于模拟作用在每一可能
分形技术用于描述表面形貌的多尺度性质O 运用分形技 术建立的粗糙表面接触模型可以保留表面的结构形貌, 并能 提供用于接触压力和变形计算的与尺寸无关的表面参数[1O]O
3 载荷-位移关系的描述 3. 1 赫兹计算公式
在早期研究粗糙表面间接触问题时, 常采用赫兹公式 确 定载荷与位移的关系, 其中假设已知每个微凸体的形状 和尖端半径O 但这个方法在计算接触区域时, 不能考虑微凸 体的相互作用O 对半径为 R 的球形微凸体, 如果刚体位移为 a, 其载荷 F 和微凸体接触面积 A, 用赫兹公式可计算为