离散数学(1.7对偶与范式)
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
定理1.7.3:设A,B为两个仅含有联结词┐,,的命题 公式, 若AB，则B*A*。 证：设P1 , P2 ,…,Pn是出现于A和B中的所有原子变元. 因为 A(P1 , P2 ,…,Pn)B(P1 , P2 ,…,Pn) 则 A(P1 , P2 ,…,Pn)→B(P1 , P2 ,…,Pn)永真. 故 ┐B(P1 , P2 ,…,Pn)→┐A(P1 , P2 ,…,Pn)永真. 即 B*(┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn)→A*(┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn) 永真. 以 Pi代┐Pi， i=1，2………n 得 B*(P1 , P2 ,…, Pn)→A*(P1 , P2 ,…, Pn)永真. 所以 B* A* .
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
定义1.7.2: (1)文字：命题变元及其否定统称为文字(如P , ┐P). (2)简单析取式：仅有有限个文字组成的析取式。 如:P，┐PQ,P┐P，QP┐P , P┐QR┐S. (3)简单合取式：仅有有限个文字组成的合取式。 如:P, ┐Q , Q┐P，P┐P，QP┐P, p∧┐Q∧R. 从定义不难看出: （1）一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含有 某个命题变元及其否定式。 （2）一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有 某个命题变元及其否定式。
离散数学(Discrete Mathematics)
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
1.7.1 对偶式与对偶原理(Dualistic Formula &
Duality Principle)
1.7.2命题公式的析(合)取范式(The Disjunctive &
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
例1：求((PQ)R)P的析取范式与合取范式。
解: 原式┐(┐(P∨Q)∨R)∨P ((P∨Q )∧┐R)∨P (P∧┐R )∨(Q∧┐R)∨P (析取范式) P∨(P∧┐R )∨(Q∧┐R) P∨(Q∧┐R) (析取范式) (P∨Q ∨P )∧(┐R∨P ) (合取范式)
因此 A*B* .
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
例1：因为： P(PQ)P 由对偶原理: P(PQ) P 例2: 若AT 则 A*(T)* 即 A*F. 例3: 设A为 (PQ)(┐P(┐PQ)),B为 ┐PQ, 且AB,则 A*B*┐PQ.
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
考虑：n个命题变元可产生多少个小（大） 项？(2n) n个变元的小项: m0 ┐P1┐P2………….┐Pn m1 ┐P1┐P2………….Pn ………………………………… m2n-1P1P2………….Pn 小项的真值表：P33 表1-7.1,表1-7.2
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
定义1.7.3: (1)析取范式：一个命题公式称为析取范式,当且仅当 它具有形式: A1∨A2∨……∨An (n大于等于1) 其中Ai(i=1,2,3,…n)为简单合取式. 如：P∨┐Q ，(P ∧ Q) ∨(P ∧┐Q∧R), Q∨┐P. (2)合取范式：一个命题公式称为合取范式,当且仅当 它具有形式: A1∧A2∧……∧An (n大于等于1) 其中Ai(i=1,2,3,…n)为简单析取式. 如：P ∧ ┐Q ，(P ∨ Q) ∧(P ∨┐Q ∨R), Q∧┐P. (3)范式：析取范式与合取范式统称为范式。 显然, 任何合(析)取范式的对偶式是析(合)取范式.
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
例如,三个命题变元P,Q,R,其小项共有8个: 小项 编码 真值指派 小项的真值 ┐P┐Q┐R m000/m0 000 1 ┐P┐QR m001/m1 001 1 ┐PQ┐R m010/m2 010 1 ┐PQR m011/m3 011 1 P┐Q┐R m100/m4 100 1 P┐QR m101/m5 101 1 PQ┐R m110/m6 110 1 PQR m111/m7 111 1
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
析取范式与合取范式的性质: (1) 一个析取范式是矛盾式,当且仅当它的每一 个简单合取式都是矛盾式; (2) 一个合取范式是重言式 ,当且仅当它的每一 个简单析取式都是重言式. 定理1.7.4 (范式存在定理) 任一个命题公式都存在着与之等价的析取范 式与合取范式。
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对
偶与范式(Dual & Normal Form)
1.7.1 对偶式与对偶原理(Dualistic Formula & Duality Principle) 在第四节(1.4)中我们给出了命题定律(P15 表1-4.8), 其中 多数等价公式都是成对出现的, 每一对公式的不同之处 是将与互换,我们把这样的公式称为是对偶的. 定义1.7.1:设命题公式A仅含有联结词┐,,,在A中将,， F，T分别换以，，T，F得出公式A*，则A*称为A的对偶 公式。 说明:(A*)*=A
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
1.7.3命题公式的主析(合)取范式(The Principal
Disjunctive & Conjunctive Normal Form of a Propositional Formula) 由于一个命题公式的析(合)取范式不是唯一, 因而它们不 能作为命题公式的规范形式(标准形式), 为了使任意命题 公式化为唯一的标准形式, 下面引入主范式的概念. 1.命题公式的主析取范式 定义1.7.4：在含有n个命题变元的简单合取式中,若每个 命题变元和它的否定不同时出现，而二者之一必出现且 仅出现一次，称这样的简单合取式为小项.
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
1.7.2命题公式的析(合)取范式(The Disjunctive &
Conjunctive Normal For百度文库s of a Propositional Formula)
从前面的讨论可知,存在大量互不相同的命题公式， 实际上互为等价,因此,有必要引入命题公式的 标准形式,使得相互等价的命题公式具有相同的 标准形式。这无疑对判别两个命题公式是否等 价以及判定命题公式的类型是一种好方法,同时 对命题公式的简化和推证也是十分有益的.
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对
偶与范式(Dual & Normal Form)
例1.(┐P(QR))*=┐P(QR) ((PQ)T)*=((PQ)F) 由 P↑Q ┐(P∧Q) 和 P↓Q ┐(P∨Q) 可知 * (P↑Q) = P↓Q
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
例1: 求((PQ)R)P 的析取范式与合取范式. 例2: 求(P Q) R的析取范式与合取范式. 例3: 求 ┐(PQ)(PQ)的析取范式与合取范式. 注意： （ 1 ）单个命题变元既是简单合取式，又是简单析取式； 公式P∧Q∧R既可以看成是合取范式，也可以看成是 析取范式。 （2）一个命题公式的析(合)取范式不是唯一的。
(P∨Q)∧(┐R∨P ) (合取范式)
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
例2：求(P Q) R的析取范式与合取范式。 解: 原式((PQ) R)∧(R(PQ) )
(┐(PQ)∨R)∧(┐R ∨(PQ) ) (┐(┐P∨Q)∨R)∧(┐R∨┐P∨Q ) ((P∧ ┐Q)∨R)∧(┐R∨┐P∨Q ) ((P∨R)∧(┐Q∨R)∧(┐R∨┐P∨Q ) (合取范式) ((P∧┐Q)∧(┐R∨┐P∨Q ) )∨(R ∧(┐R∨┐P∨Q ) (P∧┐Q∧┐R)∨(R∧┐P)∨(R∧Q) (析取范式)
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
定理1.7.2(对偶原理):设A,B为两个仅含有联结词┐,,的 命题公式, 若AB，则A*B*. 证：设P1 , P2 ,…,Pn是出现于A和B中的所有原子变元. 因为 A(P1 , P2 ,…,Pn)B(P1 , P2 ,…,Pn) 则 A(P1 , P2 ,…,Pn)B(P1 , P2 ,…,Pn)永真. 故 A(┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn)B(┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn) 永真. 由定理1.7.1得 ┐A*(P1 , P2 ,…,Pn)┐B*(P1 , P2 ,…,Pn )
Conjunctive Normal Forms of a Propositional Formula)
1.7.3命题公式的主析(合)取范式(The Principal
Disjunctive & Conjunctive Normal Form of a Propositional Formula)
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
例3：求┐(PQ)(PQ)的析取范式与合取范式。
解: ┐(PQ)(PQ)
(┐(PQ)(PQ))((PQ)┐(PQ)) ((PQ)┐P┐Q))((PQ)(┐P┐Q)) （P┐Q）（Q┐P） (析取范式) (P∨Q)∧(┐P∨┐Q) (合取范式)
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
关于对偶式我们有如下两个定理: 定理1.7.1:设A，A*是对偶式， P1 , P2 ,…,Pn是出现于A 和A*中的所有原子变元,则 (1) ┐A(P1 , P2 ,…,Pn )A*（┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn） (2) A(┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn)┐A*（P1 , P2 ,…,Pn） 证明:因为 ┐(PQ)┐P┐Q ┐(PQ)┐P┐Q 所以┐A(P1 , P2 ,…,Pn )A*（┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn） 同理 ┐A*(P1 , P2 ,…,Pn )A（┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn）
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
求命题公式的范式的基本步骤： （1）将公式中的联结词化归成┐,及. （2）将否定联结词消去或内移到各命题变元之前。 利用下列等价式： ┐┐A A ┐( A∨B) ┐A∧┐B ┐( A∧B) ┐A∨┐B （3）利用分配律、结合律将公式转化为合取范式或析 取范式. C ∧( A ∨ B) （C∧ A）∨（C ∧ B） C ∨( A ∧ B) （C ∨ A）∧（C ∨ B）
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
定理1.7.3:设A,B为两个仅含有联结词┐,,的命题 公式, 若AB，则B*A*。 证：设P1 , P2 ,…,Pn是出现于A和B中的所有原子变元. 因为 A(P1 , P2 ,…,Pn)B(P1 , P2 ,…,Pn) 则 A(P1 , P2 ,…,Pn)→B(P1 , P2 ,…,Pn)永真. 故 ┐B(P1 , P2 ,…,Pn)→┐A(P1 , P2 ,…,Pn)永真. 即 B*(┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn)→A*(┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn) 永真. 以 Pi代┐Pi， i=1，2………n 得 B*(P1 , P2 ,…, Pn)→A*(P1 , P2 ,…, Pn)永真. 所以 B* A* .
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
定义1.7.2: (1)文字：命题变元及其否定统称为文字(如P , ┐P). (2)简单析取式：仅有有限个文字组成的析取式。 如:P，┐PQ,P┐P，QP┐P , P┐QR┐S. (3)简单合取式：仅有有限个文字组成的合取式。 如:P, ┐Q , Q┐P，P┐P，QP┐P, p∧┐Q∧R. 从定义不难看出: （1）一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含有 某个命题变元及其否定式。 （2）一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有 某个命题变元及其否定式。
离散数学(Discrete Mathematics)
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
1.7.1 对偶式与对偶原理(Dualistic Formula &
Duality Principle)
1.7.2命题公式的析(合)取范式(The Disjunctive &
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
例1：求((PQ)R)P的析取范式与合取范式。
解: 原式┐(┐(P∨Q)∨R)∨P ((P∨Q )∧┐R)∨P (P∧┐R )∨(Q∧┐R)∨P (析取范式) P∨(P∧┐R )∨(Q∧┐R) P∨(Q∧┐R) (析取范式) (P∨Q ∨P )∧(┐R∨P ) (合取范式)
因此 A*B* .
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
例1：因为： P(PQ)P 由对偶原理: P(PQ) P 例2: 若AT 则 A*(T)* 即 A*F. 例3: 设A为 (PQ)(┐P(┐PQ)),B为 ┐PQ, 且AB,则 A*B*┐PQ.
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
考虑：n个命题变元可产生多少个小（大） 项？(2n) n个变元的小项: m0 ┐P1┐P2………….┐Pn m1 ┐P1┐P2………….Pn ………………………………… m2n-1P1P2………….Pn 小项的真值表：P33 表1-7.1,表1-7.2
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与范式(Dual & Normal Form)
定义1.7.3: (1)析取范式：一个命题公式称为析取范式,当且仅当 它具有形式: A1∨A2∨……∨An (n大于等于1) 其中Ai(i=1,2,3,…n)为简单合取式. 如：P∨┐Q ，(P ∧ Q) ∨(P ∧┐Q∧R), Q∨┐P. (2)合取范式：一个命题公式称为合取范式,当且仅当 它具有形式: A1∧A2∧……∧An (n大于等于1) 其中Ai(i=1,2,3,…n)为简单析取式. 如：P ∧ ┐Q ，(P ∨ Q) ∧(P ∨┐Q ∨R), Q∧┐P. (3)范式：析取范式与合取范式统称为范式。 显然, 任何合(析)取范式的对偶式是析(合)取范式.
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
例如,三个命题变元P,Q,R,其小项共有8个: 小项 编码 真值指派 小项的真值 ┐P┐Q┐R m000/m0 000 1 ┐P┐QR m001/m1 001 1 ┐PQ┐R m010/m2 010 1 ┐PQR m011/m3 011 1 P┐Q┐R m100/m4 100 1 P┐QR m101/m5 101 1 PQ┐R m110/m6 110 1 PQR m111/m7 111 1
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
析取范式与合取范式的性质: (1) 一个析取范式是矛盾式,当且仅当它的每一 个简单合取式都是矛盾式; (2) 一个合取范式是重言式 ,当且仅当它的每一 个简单析取式都是重言式. 定理1.7.4 (范式存在定理) 任一个命题公式都存在着与之等价的析取范 式与合取范式。
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对
偶与范式(Dual & Normal Form)
1.7.1 对偶式与对偶原理(Dualistic Formula & Duality Principle) 在第四节(1.4)中我们给出了命题定律(P15 表1-4.8), 其中 多数等价公式都是成对出现的, 每一对公式的不同之处 是将与互换,我们把这样的公式称为是对偶的. 定义1.7.1:设命题公式A仅含有联结词┐,,,在A中将,， F，T分别换以，，T，F得出公式A*，则A*称为A的对偶 公式。 说明:(A*)*=A
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
1.7.3命题公式的主析(合)取范式(The Principal
Disjunctive & Conjunctive Normal Form of a Propositional Formula) 由于一个命题公式的析(合)取范式不是唯一, 因而它们不 能作为命题公式的规范形式(标准形式), 为了使任意命题 公式化为唯一的标准形式, 下面引入主范式的概念. 1.命题公式的主析取范式 定义1.7.4：在含有n个命题变元的简单合取式中,若每个 命题变元和它的否定不同时出现，而二者之一必出现且 仅出现一次，称这样的简单合取式为小项.
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
1.7.2命题公式的析(合)取范式(The Disjunctive &
Conjunctive Normal For百度文库s of a Propositional Formula)
从前面的讨论可知,存在大量互不相同的命题公式， 实际上互为等价,因此,有必要引入命题公式的 标准形式,使得相互等价的命题公式具有相同的 标准形式。这无疑对判别两个命题公式是否等 价以及判定命题公式的类型是一种好方法,同时 对命题公式的简化和推证也是十分有益的.
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对
偶与范式(Dual & Normal Form)
例1.(┐P(QR))*=┐P(QR) ((PQ)T)*=((PQ)F) 由 P↑Q ┐(P∧Q) 和 P↓Q ┐(P∨Q) 可知 * (P↑Q) = P↓Q
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
例1: 求((PQ)R)P 的析取范式与合取范式. 例2: 求(P Q) R的析取范式与合取范式. 例3: 求 ┐(PQ)(PQ)的析取范式与合取范式. 注意： （ 1 ）单个命题变元既是简单合取式，又是简单析取式； 公式P∧Q∧R既可以看成是合取范式，也可以看成是 析取范式。 （2）一个命题公式的析(合)取范式不是唯一的。
(P∨Q)∧(┐R∨P ) (合取范式)
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
例2：求(P Q) R的析取范式与合取范式。 解: 原式((PQ) R)∧(R(PQ) )
(┐(PQ)∨R)∧(┐R ∨(PQ) ) (┐(┐P∨Q)∨R)∧(┐R∨┐P∨Q ) ((P∧ ┐Q)∨R)∧(┐R∨┐P∨Q ) ((P∨R)∧(┐Q∨R)∧(┐R∨┐P∨Q ) (合取范式) ((P∧┐Q)∧(┐R∨┐P∨Q ) )∨(R ∧(┐R∨┐P∨Q ) (P∧┐Q∧┐R)∨(R∧┐P)∨(R∧Q) (析取范式)
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
定理1.7.2(对偶原理):设A,B为两个仅含有联结词┐,,的 命题公式, 若AB，则A*B*. 证：设P1 , P2 ,…,Pn是出现于A和B中的所有原子变元. 因为 A(P1 , P2 ,…,Pn)B(P1 , P2 ,…,Pn) 则 A(P1 , P2 ,…,Pn)B(P1 , P2 ,…,Pn)永真. 故 A(┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn)B(┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn) 永真. 由定理1.7.1得 ┐A*(P1 , P2 ,…,Pn)┐B*(P1 , P2 ,…,Pn )
Conjunctive Normal Forms of a Propositional Formula)
1.7.3命题公式的主析(合)取范式(The Principal
Disjunctive & Conjunctive Normal Form of a Propositional Formula)
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与范式(Dual & Normal Form)
例3：求┐(PQ)(PQ)的析取范式与合取范式。
解: ┐(PQ)(PQ)
(┐(PQ)(PQ))((PQ)┐(PQ)) ((PQ)┐P┐Q))((PQ)(┐P┐Q)) （P┐Q）（Q┐P） (析取范式) (P∨Q)∧(┐P∨┐Q) (合取范式)
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
关于对偶式我们有如下两个定理: 定理1.7.1:设A，A*是对偶式， P1 , P2 ,…,Pn是出现于A 和A*中的所有原子变元,则 (1) ┐A(P1 , P2 ,…,Pn )A*（┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn） (2) A(┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn)┐A*（P1 , P2 ,…,Pn） 证明:因为 ┐(PQ)┐P┐Q ┐(PQ)┐P┐Q 所以┐A(P1 , P2 ,…,Pn )A*（┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn） 同理 ┐A*(P1 , P2 ,…,Pn )A（┐P1 , ┐P2 ,…, ┐Pn）
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶
与范式(Dual & Normal Form)
求命题公式的范式的基本步骤： （1）将公式中的联结词化归成┐,及. （2）将否定联结词消去或内移到各命题变元之前。 利用下列等价式： ┐┐A A ┐( A∨B) ┐A∧┐B ┐( A∧B) ┐A∨┐B （3）利用分配律、结合律将公式转化为合取范式或析 取范式. C ∧( A ∨ B) （C∧ A）∨（C ∧ B） C ∨( A ∧ B) （C ∨ A）∧（C ∨ B）