什么是数学模型
什么是数学模型与数学建模3篇
什么是数学模型与数学建模第一篇：数学模型与其应用数学模型是通过数学方法和工具构建的一种抽象描述，用来揭示自然界和社会现象背后的规律性和定量关系。
数学模型可以帮助我们理解和预测自然界和社会现象，并在工程、生物医学、物理、化学、金融等领域中得到广泛应用。
它是数学的重要应用领域之一，也是人类认知世界的一种方式。
在数学模型的构建过程中，需要定义模型的目标和问题，并选择合适的数学工具和建模方法。
常用的建模方法包括微积分、偏微分方程、线性代数、随机过程、优化理论等。
通过分析和运用模型，可以预测系统的行为并制定相应的决策和策略。
数学模型在现实问题中的应用涉及到广泛的领域和范围。
例如，在生物医学领域中，数学模型可以用于研究人体生理过程、疾病传播以及药物研发等；在物理领域中，数学模型可以用于建立对物质运动和电磁场传播的数学描述；在工程领域中，数学模型可以用于建立强度分析、流体动力学分析以及结构优化等；在金融领域中，数学模型可以用于分析股票价格变动、交易策略制定以及资产组合管理等。
总之，数学模型是现代科学研究不可或缺的一部分，它帮助我们理解和预测自然界和社会现象，并为实际问题提供了有力的解决方法。
随着计算技术的不断发展和数学应用领域的扩大，在数学模型的研究和应用领域中，我们将会看到更多的创新和发展。
第二篇：数学建模的流程和方法数学建模是将现实世界的实际问题抽象为数学模型，然后运用各种方法进行求解的过程。
它不仅是数学研究的一种方法，也是现实问题求解的有效工具。
下面我们来了解一下数学建模的流程和方法。
第一步，确定问题和目标。
数学建模的第一步是明确问题和目标，也就是需要解决的实际问题和期望得到的解决方案或结果。
具体而言，需要了解问题的背景、范围和限制条件，明确问题所在的领域和关注的指标。
在确定问题和目标的过程中，需要与领域专家、技术人员和决策者进行合作，并积极了解实际问题的细节和特点。
第二步，建立数学模型。
在确定问题和目标之后，需要建立数学模型来描述实际问题。
数学建模培训讲义-建模概论与初等模型
模型建立 建立t与n的函数关系有多种方法:
1. 右轮盘转过第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 等于录象带在时间t内移动的长度vt, 所以
m kn
模型建立
2. 考察右轮盘面积的 变化,等于录象带厚度 3. 考察t到t+dt录象带在 乘以转过的长度,即 右轮盘缠绕的长度,有
[(r wkn)2 r 2 ] wvt (r wkn)2kdn vdt
• 亲自动手，认真作几个实际题目
数学建模的论文结构
1、摘要——问题、模型、方法、结果
2、问题重述
3、模型假设
4、分析与建立模型
5、模型求解
6、模型检验
7、模型推广
8、参考文献
9、附录
谢 谢！
二、初等模型
例1 哥尼斯堡七桥问题
符号表示“一笔画问题”(抽象分析法) 游戏问题图论(创始人欧拉) 完美的回答连通图中至多两结点的度数为奇
3. 对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，
使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。
A
y A
椅脚连线为正方形ABCD(如右图).
模 型
t ——椅子绕中心点O旋转角度
构 f(t)——A,C两脚与地面距离之和 D
B
t
x
成 g(t)——B,D两脚与地面距离之和
O
B
f(t), g(t) 0
D
C
模型构成 由假设1，f和g都是连续函数 A
实际上, 由于测试有误差, 最好用足够多的数据作拟合。
若现有一批测试数据：
t 0 20 40 60 n 0000 1153 2045 2800 t 100 120 140 160 n 4068 4621 5135 5619
什么是数学模型
时间）列出数学式子（建模）； • 求解得到数学解答（x=20, y=5）（解模）；
• 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。
1.2 数学建模的步骤
数学建模的一般步骤
想像力
洞察力
判断力
• 学习、分析、评价、改进别人作过的模型
• 亲自动手，认真作几个实际题目
甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时， 从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?
用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
(x y) 30 750
x =20
( x y) 50 750 求解 y =5
答：船速每小时20千米/小时.
航行问题建立数学模型的基本步骤
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型 玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
地图、电路图、分子结构图… … ~ 符号模型 模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征
数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学
建立数学模型的全过程
建模 （包括表述、求解、解释、检验等）
你碰到过的数学模型——“航行问题”
模型准备
模型假设
什么是数学模型与数学建模
1. 什么是数学模型与数学建模简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。
具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。
更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。
数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。
数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。
2.美国大学生数学建模竞赛的由来：1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度大大学生数学模型（1987年全称为Mathematical Competition in Modeling,1988年改全称为Mathematical Contest in Modeling,其所写均为MCM）。
这并不是偶然的。
在1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛（The william Lowell Putnam mathematial Competition,简称Putman(普特南）数学竞赛），这是由美国数学协会（MAA--即Mathematical Association of America的缩写）主持，于每年12月的第一个星期六分两试进行，每年一次。
在国际上产生很大影响，现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。
该竞赛每年2月或3月进行。
我国自1989年首次参加这一竞赛，历届均取得优异成绩。
经过数年参加美国赛表明，中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。
为使这一赛事更广泛地展开，1990年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛（简称CMCM），该项赛事每年9月进行。
数学模型竞赛与通常的数学竞赛不同，它来自实际问题或有明确的实际背景。
数学建模
室 内 T1
d
l
d
室 外 T2
Q1
墙
室 内 T1
2d
室 外 T2
Q2
墙
Ta~内层玻璃的外侧温度 Tb~外层玻璃的内侧温度 k1~玻璃的热传导系数 k2~空气的热传导系数
乙安全线
y0 0 x
y1 y0 0
y=f ( x)
y0 y f ( x) y0 x
x0
P(xm,ym)甲 安 x=g(y) 全 区 x1 x
P~平衡点(双方最少导弹数)
精细 模型
x<y x=y
乙方残存率 s ~甲方一枚导弹攻击乙方一个 基地，基地未被摧毁的概率。 甲方以 x攻击乙方 y个基地中的 x个, sx个基地未摧毁，y–x个基地未攻击。 y0=sx+y–x y0=sy y= y0+(1-s)x y=y0 / s
• (4)模型求解：利用获取的数据资料，对模 型的所有参数做出计算(估计)。 • (5)模型分析：对所得结果进行数学的分析。 • (6)模型检验：将模型分析结果与实际情形 进行比较，以此来验证模型的准确性、合 理性和适用性。如果模型与实际较吻合， 则要对计算结果给出其实际含义，并进行 解释。如果模型与实际吻合较差，则应该 修改假设，再次重复建模过程。 • (7)模型应用：应用方式因问题的性质和建 模的目的而异
0
x0
x
甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。
模型解释
• 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架 乙安全线y=f(x)不变
初中数学模型
初中数学模型初中数学模型指的是将抽象的数学知识应用于解决实际问题的过程。
通过建立数学模型，我们可以更好地理解和分析现实世界中的各种情况，并提出解决方案。
在初中阶段，数学模型的应用范围涵盖了各个领域，如代数、几何、概率等。
本文将从几个角度介绍初中数学模型的定义、特点、应用以及解决实际问题的方法。
定义和特点初中数学模型是将实际问题通过数学符号和关系转化为数学表达式或方程的过程。
数学模型可以是线性的，也可以是非线性的；可以是确定的，也可以是随机的。
通过数学模型，我们可以描述事物之间的数量关系、空间位置关系或变化规律，从而更好地理解和分析问题。
数学模型的特点包括抽象性、简化性和实用性。
首先，数学模型对实际问题进行了抽象和简化，忽略了问题中的一些细节，从而使问题更易于处理和分析。
其次，数学模型提供了一种理论工具，可以用来预测和解决实际问题，具有一定的实用性和指导性。
应用领域初中数学模型在各个领域都有广泛的应用。
在代数领域，数学模型可以用来描述两个或多个变量之间的关系，如线性函数模型、指数函数模型等；在几何领域，数学模型可以用来描述平面图形或立体图形的性质和变化规律，如面积、体积等；在概率领域，数学模型可以用来描述随机事件的发生规律和可能性。
解决实际问题的方法解决实际问题的方法主要包括以下几个步骤：首先，分析问题，明确问题的背景、条件和要求；其次，建立数学模型，将实际问题转化为数学表达式或方程；然后，求解模型，通过数学方法解出问题的答案；最后，验证结果，检查答案是否符合实际情况，如有必要，可以对模型进行修正和完善。
综上所述，初中数学模型是一种重要的数学工具，通过数学模型，我们可以更好地理解和分析实际问题，并提出合理的解决方案。
初中生在学习数学时，应注重培养数学建模的能力，提高解决实际问题的水平，从而更好地应对未来的挑战。
什么是数学模型与数学建模
什么是数学模型与数学建模数学模型是对真实事物或问题的抽象描述，采用数学语言来表达，通常可以包含变量、常量、方程、不等式等数学符号和逻辑结构。
而数学建模是指利用数学模型来解决具体问题的过程，在实践中运用数学的知识和方法，将问题转化为数学形式，并通过数学模型分析和求解问题的过程。
数学模型和数学建模在实际应用中具有重要的作用，可以应用于各个领域的科学和工程实践，例如物理、生物、经济、管理、医学等领域。
数学模型和数学建模可以为实际问题提供科学、系统和高效的解决方案，可以预测事物的走向和变化趋势，提高人类社会的生产和生活效率。
数学模型的本质是对真实问题的抽象描述，就是利用数学语言或者符号把一些具体的事物和概念转化为数学的形式，用数学方法和技术解决问题。
数学模型中包含的是一个或多个变量，这些变量代表实际问题中的某些数量或状态，它们的取值是在整个模型中可变的。
同时，数学模型还包括变量之间的关系，这些关系通常以方程或不等式的形式表示，描述了变量之间的相互影响和作用。
数学建模是利用数学模型解决实际问题的过程，它是一种探索和研究未知事物的方法，具有一定的科学性、系统性和操作性。
数学建模首先需要确定问题的范围和要求，然后通过调查、统计、数据分析等方法获取相关信息，构建数学模型，进而进行数学分析和求解，最终获得问题的解答和预测。
这个过程还需要考虑模型的精度和可靠性，进一步调整和优化模型，得到更好的解答和方法。
数学模型和数学建模的应用非常广泛，可以应用于各个领域的科学和工程实践。
在物理领域，数学模型可以用于描述力学、电磁学、热力学等现象和规律，找出物质的运动和相互作用方式。
在生物领域，数学模型可以用于分析生物系统中的代谢、细胞分裂和生长等过程，以及研究遗传基因的传递和变异。
在经济管理领域，数学模型可以用于分析企业的生产和运营模式，利润和风险的管理方式，市场和消费者的需求预测等。
在医学领域，数学模型可以用于研究放射治疗和化学治疗的剂量和效果，以及预判病情的发展和治疗方案的优化。
数模的概念是什么
数模的概念是什么？数学模型是近些年发展起来的新学科，是数学理论与实际问题相结合的一门科学。
它将现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，从而从定性或定量的角度来刻画实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。
根据研究目的，对所研究的过程和现象(称为现实原型或原型)的主要特征、主要关系、采用形式化的数学语言，概括地、近似地表达出来的一种结构，所谓“数学化”，指的就是构造数学模型．通过研究事物的数学模型来认识事物的方法，称为数学模型方法．简称为MM方法。
数学模型是数学抽象的概括的产物，其原型可以是具体对象及其性质、关系，也可以是数学对象及其性质、关系。
数学模型有广义和狭义两种解释．广义地说，数学概念、如数、集合、向量、方程都可称为数学模型，狭义地说，只有反映特定问题和特定的具体事物系统的数学关系结构方数学模型大致可分为二类：(1)描述客体必然现象的确定性模型，其数学工具一般是代效方程、微分方程、积分方程和差分方程等，（2）描述客体或然现象的随机性模型，其数学模型方法是科学研究相创新的重要方法之一。
在体育实践中常常提到优秀运动员的数学模型。
如经调查统计．现代的世界级短跑运动健将模型为身高1.80米左右、体重70公斤左右，100米成绩10秒左右或更好等。
用字母、数字和其他数学符号构成的等式或不等式，或用图表、图像、框图、数理逻辑等来描述系统的特征及其内部联系或与外界联系的模型。
它是真实系统的一种抽象。
数学模型是研究和掌握系统运动规律的有力工具，它是分析、设计、预报或预测、控制实际系统的基础。
数学模型的种类很多，而且有多种不同的分类方法。
静态和动态模型静态模型是指要描述的系统各量之间的关系是不随时间的变化而变化的，一般都用代数方程来表达。
动态模型是指描述系统各量之间随时间变化而变化的规律的数学表达式，一般用微分方程或差分方程来表示。
经典控制理论中常用的系统的传递函数也是动态模型，因为它是从描述系统的微分方程变换而来的（见拉普拉斯变换）。
什么是数学模型
什么是数学模型?数学模型一般是实际事物的一种数学简化。
它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别。
要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音，录像，比喻，传言等等。
为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。
使用数学语言描述的事物就称为数学模型。
有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。
数学模型是数学抽象的概括的产物，其原型可以是具体对象及其性质、关系，也可以是数学对象及其性质、关系。
数学模型有广义和狭义两种解释．广义地说，数学概念、如数、集合、向量、方程都可称为数学模型，狭义地说，只有反映特定问题和特定的具体事物系统的数学关系结构方数学模型大致可分为二类：(1)描述客体必然现象的确定性模型，其数学工具一般是代效方程、微分方程、积分方程和差分方程等，（2）描述客体或然现象的随机性模型，其数学模型方法是科学研究相创新的重要方法之一。
数学模型思想？数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物地特征，数量关系和空间形式的一种数学结构。
从广义角度讲，数学的概念，定理，规律，法则，公式，性质，数量关系式，图表，程序等都是数学模型。
数学的模型思想是一般化的思想方法，数学模型的主要模型形式是数学符号表达式和图表，因而它与符号化思想有很多相同之处，同样具有普遍的意义。
不过，也有很多数学家对数学模型的理解似乎更注重数学的应用性。
即把数学模型描述为特定的事物系统的数学关系结构。
如通过数学在经济，物理，农业，生物，社会学等领域的应用，所构造的数学模型。
为了把数学模型与数学知识或是符号思想明显的区分开来，本文主要从狭义的角度讨论数学模型，即重点分析小学数学的应用及数学模型的构建。
教学中是如何渗透模型思想？例：数学的发现和发展过程，也是一个应用的过程。
数学建模简介
数学建模与数学建模竞赛一. 什么是数学模型二. 为什么要学数学建模三. 如何建立数学模型_建立数学模型的步骤和方法四. 全国大学生数学建模竞赛简介1. 竞赛的由来及现状2. 数学建模竞赛的特点。
3. 如何写作数学建模竞赛论文一. 什么是数学模型？⑴厡型与模型厡型与模型是一对对偶体，厡型是指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。
而模型是指为了某个特定目的将厡型的某一部分信息简缩、提炼而构造的替代物。
模型不是厡型，它既简单于厡型，又高于厡型.例如飞机模型，虽然比飞机厡型简单，而且也不一定会飞，但是很逼真，足以让人想像飞机在飞行过程中机翼的位置与形状的影响和作用。
一个城市的交通图是城市的一种模型，看模型比看厡型清楚，此时城市的人口、道路、车辆、建筑物的形状都不重要。
但是，城市的街道、交通钱路和各单位的位置等信息都一目了然，这比看厡型清楚得多。
模型可以分为形象模型和抽象模型，抽象模型最主要的就是数学模型。
⑵数学模型数学模型并不是新事物，自从有了数学，也就有了数学模型。
即要用数学去解决实际问题，就一定要使用数学的语言、方法去近似地刻画这个实际问题，这就是数学模型。
事实上，人所共知的欧几里得几何、微积分、万有引力定律、能量转化定律、夹义相对论、广义相对论等都是很好的数学模型。
那么，什么是数学模型呢？目前没有确切的定义，但可以这样讲：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构式。
也就是说，数学模型是通过抽象、简化的过程，使用数学语言对实际现像的一个近似的刻画，以便于人们更深刻地认识所研究对像。
应用数学知识解决实际问题的第一步就是通过实际问题本身，从形式上杂乱无章的现象中抽象出恰当的数学关系式，也就是构建这个实际问题的数学模型，其过程就是数学建模的过程。
⑶数学模型无处不在目前，数学的应用已经渗透到了各个领域，或者说各行各业日益依赖于数学，在人们日常生活的各种活动中，数学无处不在。
数学建模复习资料
（题号前有*的老师没给答案的）一、简答题 6*10=60分1. 什么是数学模型？数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构．简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律．*2. 什么是数学建模？数学建模就是构造数学模型的过程，即用数学的语言——公式、符号、图表等刻画和描述一个实际问题，然后精经过数学的处理——计算、迭代等得到定量的结果，以供人们作分析、预报、决策和控制。
3. 简述数学模型的分类？按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、扩散模型等． 按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等．4. 请给出最小生成树的定义与Kruskal 算法的内容。
最小生成树： 在赋权图G 中，求一棵生成树，使其总权最小，称这棵生成树为图G 的最小生树.Kruskal 算法思想及步骤：Kruskal （1959）提出了求图的最小生成树的算法，其中心思想是每次添加权尽量小的边，使新的图无圈，直到生成一棵树为止，便得最小生成树，其算法步骤如下：（1）把赋权图G 中的所有边按照权的非减次序排列；（2）按（1）排列的次序检查G 中的每一条边，如果这条边与已得到的边不产生圈， 这一条边为解的一部分.（3）若已取到n-1条边，算法终止，此时以V 为顶点集，以取到的1 n 条边为边集的图即为最小生成树.5. 适合于计算机仿真的问题有哪些？在下列情况中，计算机仿真能有效地解决问题：(1) 难以用数学表示的系统，或者没有求解数学模型的有效方法；(2) 虽然可以用解析的方法解决问题，但数学的分析与计算过于复杂，这时计算机仿真可能提供简单可行的求解方法；(3) 希望能在较短的时间内观察到系统发展的全过程，以估计某些参数对系统行为的影响；(4) 难以在时间环境中进行实验和观察时，计算机仿真是唯一可行的方法，例如太空飞行的研究；(5) 需要对系统或过程进行长期运行的比较，从大量方案中寻找最优方案。
数学思维整理
第六章数学模型的概念建立模型必须具备两个条件：（1）模型和原型之间有相似关系；（2）模型在科学认识过程中是被研究客体的代表者，可以从对模型的研究中获得关于原型的信息。
模型的特征：（1）目的性.每一个模型，都是人们为了解决某一实际问题，自觉使用相应的工具建构而成的．因此，目的性是模型的一个基本特征．（2）清晰性.在建构模型时，有意识地舍弃了原型的一些不合目的性的非本质属性，从而使事物的本质属性在模型中比在原型中体现得更为清晰，也更便于研究和运用．（3）准确性.模型必须准确反映原型的本质属性（4）经济性数学模型及其类型：数学模型按其性能可以分为概念性数学模型、方法性数学模型和结构性数学模型．数学模型按其性能还可分为应用性数学模型、概括性数学模型和抽象性数学模型. 以函数为例，我们对这三类数学模型加以说明：例：设一学生大学毕业后的四年中，用于买书的钱分别为：196，231，268，302元，根据这四年他用于买书的钱，试估计他第五年用于买书的钱．这4年该生用于买书的钱每年分别增加35，37，34元，基本上每年增加35元．可以认为时间与书费基本上是成线性关系的．这就可求出时间和书费之间的一个函数关系为用这一函数关系，可以估计出该生第五年用于买书的钱为337元．这一函数式是一个应用性数学模型．这一类的函数式又被概括为一般的线性函数y kx b=+,它就是一个概括性数学模型。
而各种各样不同种类的函数，通过进一步的抽象，就得到了函数的概念．那么，函数概念就是一个抽象性数学模型．函数概念就是一个抽象性数学模型．上述三类模型，实际上正是数学与其他学科及生产实际之间、纯数学和应用数学之间互相关系的缩影．数学模型的特征：数学模型具有一般模型的性质，更为基本的性质是高度的抽象性和经济性．数学模型建构步骤1．掌握和分析客观原型的各种关系、数量形式。
2．确定所研究原形的本质属性，从而抓住问题的实质。
3．在数学概念、语言表述、符号等基础上，建立数学模型。
数学模型的优势和作用
数学模型在小学数学教学中的作用结构一、数学模型的简介。
二、建立数学模型的基本原则三、建立数学模型的基本方法四、小学数学中基本模型五、模型在小学数学小数学习中的体现六、小学数学教学中的小学教学中的实录正文一、数学模型的简介。
1 什么是数学模型？数学模型，一般是指用数学语言、符号或图形等形式来刻画、描述、反映特定的问题或具体事物之间关系的数学结构。
小学数学中的数学模型，主要的是确定性数学模型，广义地讲，一般表现为数学的概念、法则、公式、性质、数量关系等。
数学模型具有一般化、典型化和精确化的特点。
2 数学模型的意义（1）建立数学模型是数学教学本质特征的反映。
①数学模型是对客观事物的一般关系的反映，也是人们以数学方式认识具体事物、描述客观现象的最基本的形式。
例如，舍去一切具体情景，行程问题的基本模型是：路程=速度×时间(s=vt)，只不过在具体问题解决时，需要对这个模型进行一次构建还是多次构建的问题。
因此，数学模型有效地反映了思维的过程，是将思维过程用语言符号外化的结果。
显然，学生对数学模型的理解、把握与构建的能力，在很大程度上反映了他的数学思维能力、数学观念及意识。
②人们在以数学方式研究具体问题时，是通过分析、比较、判断、推理等思维活动，来探究、挖掘具体事物的本质及关系的，而最终以符号、模型等方式将其间的规律揭示出来，使复杂的问题本质化、简洁化，甚至将其一般化，使某类问题的解决有了共同的程序与方法。
因此，可以说，数学模型不仅反映了数学思维的过程，而且是高级的、高效的数学思维的反映。
2建立数学模型是数学问题解决的有效形式。
①数学模型是数学基础知识与数学应用之间的桥梁，建立和处理数学模型的过程，就是将数学理论知识应用于实际问题的过程。
并且，建立模型更为重要的是，学生能体会到从实际情景中发展数学，获得再创造数学的绝好机会，在建立模型，形成新的数学知识的过程中，学生能更加体会到数学与大自然和社会的天然联系。
数学模型的定义
一、数学模型的定义现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。
不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。
”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。
一般来说数学建模过程可用如下框图来表明：数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。
例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。
今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。
特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。
因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。
二、建立数学模型的方法和步骤1. 模型准备要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。
2. 模型假设根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。
如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。
3. 模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。
这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。
不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。
什么是数学模型
什么是数学模型
数学模型是一种基于数学理论和科学计算方法的描述现
实世界问题的工具。
其目的是通过数学模型来对现实问题进行描述、分析和预测，以便于更好地理解和解决问题。
在实际应用中，数学模型可以分为线性模型和非线性模型。
线性模型是指函数关系为线性的模型，包括线性回归模型、线性规划模型、线性差分方程模型等。
这种模型具有简单、易于理解和求解等优点，是一些简单问题的常用解决方法。
非线性模型则是指函数关系为非线性的模型，包括非线性回归模型、非线性规划模型、非线性差分方程模型等。
这种模型具有灵活和精度高的优势，适用于解决较为复杂的问题。
数学模型的主要特点是把现实复杂问题抽象出来，通过
模拟和计算实现对问题的分析和预测。
它能很好地反映不同因素之间的相互作用和影响关系，为实际问题提供科学的解决方案。
在实际生产和社会经济领域，各种数学模型已经被广泛应用，包括大型投资决策、企业经营管理、环境保护、航空航天、交通运输、医学卫生等各个领域。
数学模型的建立需要很强的数学功底和实际应用经验。
为了开发有效的数学模型，需要对问题进行深入的分析和研究，建立数学模型时需要选择合适的数学工具和方法，进行参数的估计和求解，最后对模型进行有效性检验。
在数学领域中，为了更加深入地研究数学模型的原理和
应用，创立了数学模型理论。
数学模型理论在很大程度上促进了数学模型的发展和应用。
总的来说，数学模型是一种对复杂的现实问题进行分析和预测的重要工具。
它可以使人们更好地理解问题本质和解决途径，具有广泛的应用前景。
数学建模入门篇
数学建模入门篇（新手必看）一、什么是数学建模1、什么是数学模型数学模型是针对参照某种事物系统的特征或数量依存关系，采用数学语言，概括地或近似地表述出的一种数学结构，这种数学结构是借助于数学符号刻画出来的某种系统的纯关系结构。
从广义理解，数学模型包括数学中的各种概念，各种公式和各种理论。
(MBA智库)2、数学建模数学建模课看作是把问题定义转化为数学模型的过程。
简单的来说，对于我们学过的所有数学知识，要去解决生活中遇到的各种各样的问题，就需要我们建立相关的模型，使用数学这个工具来解决各种实际的问题，这就是建模的核心。
3、数学建模的思想对于数学建模的思想可以分为下列方法：（知乎张浩驰）对于数学建模的思想知乎上有各种解释，下面一篇解释的非常好，大家感兴趣的可以去知乎浏览什么是数学建模（讲的比较好）？二、数学建模比赛数学建模的相关比赛有很多，不同的比赛的影响力不同，在各个高校的认可度也不一样。
下面列举一些影响力和认可度较大的比赛。
1、"高教社杯"全国大学生数学建模竞赛参赛对象：本科生参赛时间：每年9月份（2020年为9月10日-9月13日）竞赛简介：“高教社杯”是目前影响力以及认可度最高的数学建模比赛，俗称“国赛”。
2020年共有来自全国及美国、英国、马来西亚的1470所院校/校区、45680队(本科41826队、专科3854队)、13万多人报名参赛。
在一些高校中对于国赛的认可度较高，国家级奖更是有极高的含金量。
竞赛官网："高教社杯"全国大学生数学建模竞赛2、美国大学生数学建模竞赛参赛对象：本科生参赛时间：每年2月份左右竞赛简介：美国大学生数学建模竞赛(MCM/ICM)由美国数学及其应用联合会主办，是唯一的国际性数学建模竞赛，也是世界范围内最具影响力的数学建模竞赛。
赛题内容涉及经济、管理、环境、资源、生态、医学、安全、等众多领域。
竞赛官网：[美国大学生数学建模竞赛]添加链接描述(https:///undergraduate/contests/mcm/login.php)3、中国研究生数学建模竞赛（华为杯）参赛对象：研究生参赛时间：每年9月份左右竞赛简介：该赛事起源于2003年东南大学发起并成功主办的“南京及周边地区高校研究生数学建模竞赛”，2013年被纳入教育部学位中心“全国研究生创新实践系列活动”。
概念模型数学模型物理模型
概念模型数学模型物理模型概念模型、数学模型和物理模型是研究和描述自然现象和复杂系统的重要工具。
这些模型可以帮助科学家和工程师理解问题的本质，并提供解决问题的方法。
在本文中，我们将深入探讨概念模型、数学模型和物理模型的概念及其在不同领域中的应用。
概念模型是一种用来描述现实世界中的对象、实体、关系和过程的抽象模型。
它是对现实世界的简化和抽象，以便更好地理解和解释问题。
概念模型通常由概念和关系组成，概念表示对象或实体，而关系则表示概念之间的联系和依赖关系。
概念模型可以用图形、图表、文字或数学符号表示。
数学模型是利用数学语言和符号来描述和解释现实世界中的问题和系统的模型。
数学模型通常由数学方程、关系式和条件等表示。
它可以用来分析问题的特征、性质和行为，并预测未来的情况。
数学模型在各个学科领域中得到广泛应用，如物理学、工程学、经济学等。
通过数学模型，研究人员可以通过数学方法来解决问题，优化系统和设计新的系统。
物理模型是用物理实体和物质来模拟和描述现实世界中的系统和问题的模型。
物理模型可以是实物模型、原型模型、实验室模型等形式。
物理模型可以用来验证和测试设计的理论和假设，以确定其在实际应用中的有效性。
物理模型通常具有与真实系统相似的特性和行为，并且可以通过实际观察和测量来验证模型的准确性。
概念模型、数学模型和物理模型在各个学科领域中有广泛的应用。
在物理学和工程学中，这些模型被用来模拟和解释物质和能量的行为和相互作用，以及各种系统的性能和特性。
在生物学和医学研究中，这些模型被用来研究生物系统的组织、结构和功能，以及疾病的发展和治疗。
在经济学和社会科学中，这些模型可以用来研究和分析市场和社会系统的行为和变化。
让我们以一个简单的示例来说明概念模型、数学模型和物理模型之间的关系。
假设我们要研究物体在空气中的自由下落问题。
首先，我们可以使用概念模型来描述重力、物体和空气之间的关系。
我们可以将物体标识为一个概念，将重力和空气作为关系，然后通过概念之间的关系来描述物体受到的力和运动。
初等模型-数学模型
几何模型
01
02
03
平面几何
平面几何是几何模型的基 础，通过点、线、面等基 本元素描述实际问题，如 三角形、四边形、圆等。
立体几何
立体几何是描述三维空间 中物体形状和位置关系的 数学模型，如长方体、球 体、圆柱体等。
解析几何
解析几何是将几何问题转 化为代数问题的数学模型， 通过代数方法解决几何问 题。
提高数学模学模型具有强大的预测和决策支持功能 ，可以提高决策的科学性和准确性。通过 数学模型的建立和应用，可以解决实际问 题，推动科学技术和社会经济的发展。
影响力
加强数学模型的宣传和推广，提高其在社 会、经济、科技等领域的认知度和影响力 。同时，加强国际交流与合作，推动数学 模型在全球范围内的应用和发展。
感谢观看
THANKS
通过数学模型可以模拟物种进化过程， 解释生物多样性的起源和演化。
在商业决策中的应用
市场预测
通过分析历史数据和市场趋势， 可以建立一个数学模型来预测未
来的市场需求和销售情况。
投资决策
利用数学模型评估投资组合的风 险和回报，帮助投资者做出明智
的投资决策。
供应链管理
通过数学模型优化库存管理、物 流和运输，降低成本并提高效率。
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解析法
通过数学公式推导求解，适用 于有解析解的简单问题。
数值法
通过数值计算求解，适用于大 多数实际问题。
近似法
通过近似计算求解，适用于难 以精确求解的问题。
模拟法
通过模拟实验求解，适用于难 以建立数学模型的问题。
数学模型的验证与优化
模型验证
通过对比模型的预测结果与实际数据 进行验证，确保模型的准确性。
数据挖掘中的数学模型应用
数据挖掘中的数学模型应用在当今数字化的时代，数据挖掘成为了从海量数据中提取有价值信息的关键技术。
而数学模型在数据挖掘中发挥着至关重要的作用，它们为数据分析和预测提供了坚实的理论基础和有效的工具。
数学模型是什么呢？简单来说，数学模型就是用数学语言来描述现实世界中的问题或现象。
在数据挖掘中，数学模型帮助我们理解数据的内在结构和规律，从而做出更准确的预测和决策。
让我们先来谈谈线性回归模型。
这是一种常见且简单易懂的数学模型。
想象一下，我们想要研究某个因素（比如广告投入）对销售业绩的影响。
通过收集一系列的数据点，包括不同的广告投入金额和对应的销售业绩，线性回归模型可以帮助我们找到一条最佳的直线来拟合这些数据点。
这条直线就能反映出广告投入和销售业绩之间的大致关系。
比如说，如果直线是向上倾斜的，那就意味着增加广告投入很可能会带来更高的销售业绩。
决策树模型也是数据挖掘中的常用工具。
它就像是一棵不断分叉的树，根据不同的条件将数据逐步分类。
比如说，在预测客户是否会购买某个产品时，决策树可能会先根据客户的年龄进行分类，如果年龄小于某个值，再根据收入水平进一步判断。
这种逐步分类的方式使得决策树能够清晰地展示决策的过程和依据，易于理解和解释。
聚类分析模型则是用于将数据分成不同的组或簇。
比如说，在一个电商平台上，我们可以通过聚类分析将客户根据他们的购买行为和偏好分成不同的群体。
这样，商家就可以针对不同的群体制定更有针对性的营销策略。
数学模型在数据挖掘中的应用场景非常广泛。
在市场营销中，通过分析客户的购买历史、浏览行为等数据，利用数学模型可以预测客户的购买意向，从而精准地推送广告和推荐产品。
在金融领域，数学模型可以帮助评估信用风险，预测股票价格的走势。
在医疗领域，通过分析患者的病历数据，数学模型能够辅助疾病的诊断和治疗方案的制定。
然而，在应用数学模型进行数据挖掘时，也并非一帆风顺。
数据的质量和数量往往会对模型的效果产生很大的影响。
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V kS
3/ 2
v ks
3/ 2
V n v
3/ 2
应用
V n ( nv) nv
V是 nv是 n 倍
若100个汤圆（饺子）包1公斤馅, 则50个汤圆(饺子) 可以包 1.4 公斤馅
数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)
解释
数学模型的解答
表述 求解 解释 验证
根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问 题 选择适当的数学方法求得数学模型的解答 将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象 用现实对象的信息检验得到的解答
实践
理论
实践
开展数学建模教学的目的
1.培养学生的数学素质和创新能力
• 培养学生分析问题和解决问题的能力 • 培养学生的想象力 • 培养学生的洞察力
实际为281.4 (百万)
模型应用——预报美国2010年的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0
Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)
数学建模竞赛
数学建模竞赛的开展情况
• 20世纪60~70年代进入西方国家的大学（数学建模 教材较集中地出现在70年代）。
• 20世纪80年代初开始进入我国大学；1987年出版 第1本教材（《数学模型》，姜启源编，高教社）； 80年代末估计30~40所学校开课（数学系，讲座）。
• 1985年美国大学生数学建模竞赛开始举办， 1989 年我国大学生开始参加这项竞赛。 • 1992年我国大学生数学建模竞赛开始举办，1999 年有26省（市、自治区）460所学校参加。
将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型 用机理分析建立模型结构, 用测试分析确定模型参数
•测试分析
•二者结合
机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。
数学建模的一般步骤
模型准备 模型检验 模型应用 模型假设 模型分析 模型构成 模型求解
模型的求解
方程是一个一阶线性非齐次方程，其解为：
1300 16w0 1300 w(t ) e 13 16
1300 1300 lim w(t ) , 记w* t 16 16
16 t 10000
1300 人体的体重能达到平衡状态 w* 16
结果分析
进食量 新陈代谢
2
) g ( ), g (
)
f ( )
• 不妨设
g (0) 0, f (0) 0
建立数学模型(化为数学命题）
设 f ( )和g ( ) 是 的连续函数， g (0) 0, f (0) 0 , 且对任意 ，有 f () 0, g () 0
f ( ) g ( ) 0
x(t ) x 0 e
rt
x(t ) x0 (e ) x0 (1 r )
r t
t
随着时间增加，人口按指数规律无限增长
指数增长模型的应用及局限性
• 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 • 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代
• 可用于短期人口增长预测
• 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 • 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数(逐渐下降)
1300 2500 1200 w* 16 16
与体重有关的因素：
运动量
减肥的方法：
1 控制饮食 2 调节内分泌 3 加强运动
1
2
进食量
新陈代谢
3
运动量
1.3.3 如何预报人口的增长
背景 世界人口增长概况
年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0 研究人口变化规律 控制人口过快增长
• 数学建模竞赛与教学相互促进，估计目前开课的 学校约400所（各专业，必修课，选修课，讲座）。
全国大学生数学建模竞赛
• 全国高校规模最大的课外科技活动
• 1994年起由教育部高教司和CSIAM共同举办，每年一次(9月)
年份
1992 1993 1994 1995 1996 1997
省（市、自治区）数
10 16 21 23 25 26
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学 建模
建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等）
数学建模方法：机理分析和测试分析
数学建模的方法和步骤
数学建模的基本方法
•机理分析
根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律
r=0.2557, xm=392.1 专家估计
阻滞增长模型(Logistic模型)
模型检验
用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较
x(2000 ) x(1990 ) x x(1990 ) rx(1990 )[1 x(1990 ) / xm ]
x(2000 ) 274 .5
模型的假设
1 每天的进食量是2500卡 2 每天用于基本新陈代谢(即自动消耗)的 热量是1200卡 3 在健身训练中，他每天消耗的热量大约是 16卡/kg乘上他的体重(kg)
4 假设以脂肪的形式贮藏的热量100%地有
效，而1kg脂肪含热量10000卡， 5 体重是时间t的函数w(t)，假定w(0)=w0
常用的计算公式
k年后人口
今年人口 x0, 年增长率 r
xk x0 (1 r )
k
指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)
基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数
x(t) ~时刻t的人口
dx rx, x(0) x0 dt
x(t t ) x(t ) rt x(t )
h( ) f ( ) g ( ) g ( ) f (0) 0 2 2 2 2
由介值定理，必存在 0 (0, 即 但 故 即
f ( 0 ) g ( 0 )
2
)
使 h( 0 ) 0
假设条件的本 质与非本质 考察四脚呈长 方形的椅子
f ( 0 ) g ( 0 ) 0
模型 求解 模型 分析 模型 检验 各种数学方法、软件和计算机技术 如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析 与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性
模型应用
数学建模的全过程
现 实 世 界 现实对象的信息 验证 现实对象的解答 表述
(归纳)
数学模型 求解 (演绎)
数 学 世 界
dx rx dt
沈阳航空 工业学院
• 什么是数学建模 • 数学建模举例 • 数学建模竞赛
从包汤圆（饺子）说起
从包汤圆（饺子）说起
通常，1公斤面， 1公斤馅，包100个汤圆（饺子） 今天，1公斤面不变，馅比 1公斤多了，问应多包几 个（小一些），还是少包几个（大一些）？
问题
圆面积为S的一个皮，包成体积为V的汤圆。 若分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为v。
数学建模的具体应用
• 分析与设计
• 预报与决策
•
控制与优化
• 规划与管理
数学建模
如虎添翼
计算机技术
知识经济
•问题的提出
把椅子放在不平的地 面上，通常只有三只脚着 地，放不稳，然而只要稍 挪动几次，就可以使四脚 着地放稳了。这个看来似 乎与数学无关的现象能用 数学语言给出表述，并用 数学工具来证实吗？
阻滞增长模型(Logistic模型)
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r是x的减函数
r ( x) r sx (r, s 0)
r~固有增长率(x很小时)
xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）
r ( xm ) 0
r s xm
x r ( x) r (1 ) xm
阻滞增长模型(Logistic模型)
dx rx dt
dx/dt
dx x r ( x) x rx(1 ) dt xm
x xm xm/2 x0
0
xm/2
xm x
0பைடு நூலகம்
t
x (t )
xm xm rt 1 ( 1)e x0
f (
2
) g ( ) g ( ) f ( )
2
则存在
0 (0 0 ),
2
使
f ( 0 ) g ( 0 ) 0
模型求解
令h( ) f ( ) g ( )，则h( )在[0， ]上连续，且 2
h(0) f (0) g (0) f (0) 0
• 培养学生的判断力
•培养学生的创新意识
2. 培养学生用数学的能力， 探索数学教学改革的途径
• 数学教育应该培养学生两种能力：“算数学” （计算、推导、证明…）和“用数学”（实际问 题建模及模型结果的分析、检验、应用）； • 传统数学教学体系和内容偏重前者，忽略后者； • 数学建模引入教学是不打乱现有体系下的教改实验。
数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。