南京市高二上学期数学期中考试试卷(I)卷
江苏省南京市玄武区高二数学上学期期中试卷(含解析)
2014-2015学年江苏省南京市玄武区高二（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共计42分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．直线的倾斜角是．2．抛物线x2=y的焦点坐标为．3．圆x2+y2﹣2x+2y=0的周长是．4．已知点（2，﹣1）在直线l上的射影为（1，1），则直线l的方程为．5．若“1≤x≤2”是“0≤x≤m”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是．6．若椭圆+=1上一点到左准线的距离为5，则该点到右焦点的距离为．7．已知实数x，y满足不等式组，则的最小值是．8．若双曲线x2﹣=1（a＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于，则a的值为．9．圆x2+y2=m与圆x2+y2﹣6x+8y﹣24=0若相交，则实数m的取值范围为．10．若双曲线=1上一点P到其左焦点的距离为5，则点P到右焦点的距离为．11．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m．若水面下降2m，则水面宽度为m．12．若关于x的方程x+b=恰有一个解，则实数b的取值范围为．13．已知A、B、C三点在曲线上，其横坐标依次为1，m，4（1＜m＜4），当△ABC的面积最大时，m等于．14．已知椭圆=1（a＞b＞0）的焦距是2c，若以a，2b，c为三边长必能构成三角形，则该椭圆离心率的取值范围是．二、解答题：本大题共5小题，15-16每小题10分，17题12分，18题14分，19题12分，共58分.请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．设命题p：∃x∈[﹣1，1]，x+m＞0命题q：方程=1表示双曲线．（1）写出命题p的否定；（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．16．在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，0），点B（0，2），点C（﹣，﹣1）．（1）求经过A，B，C三点的圆P的方程；（2）若直线l经过点（1，1）且被圆P截得的弦长为2，求直线l的方程．17．在平面直角坐标系xoy中，设抛物线C：y2=4x（1）求抛物线C上到焦点距离等于5的点的横坐标；（2）设命题p：过抛物线C上一点M（1，2）作两条不同的直线，分别交抛物线C于点A，B，设直线MA，MB，AB的斜率均存在且分别记为k MA，k MB，k AB若+为定值，则k AB为定值．判断命题p的真假，并证明；（3）写出（2）中命题p的逆命题，并判断真假（不要求证明）．18．在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆的焦点为（﹣，0）（，0），离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若圆M：x2+（y﹣m）2=1上的点到椭圆上的点的最远距离为+1，求m的值；（3）过坐标原点作斜率为k的直线l交椭圆于P、Q两点，点N为椭圆上任意一点（异于点P，Q），设直线NP，NQ的斜率均存在且分别记为k Np，k NQ．证明：对任意k，恒有k NP k NQ=﹣．19．已知⊙O：x2+y2=1，点S（2，m）（m≠0）是直线l：x=2上一动点，⊙O与x轴的交点分别为A、B．连接SA交⊙O于点M，连接SB并延长交⊙O于点N，连接MB并延长交直线l于点T．（1）证明：A，N，T三点共线；（2）证明：直线MN必过一定点（其坐标与m无关）．2014-2015学年江苏省南京市玄武区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共计42分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．直线的倾斜角是．考点：直线的一般式方程；直线的倾斜角．专题：计算题．分析：利用直线方程求出斜率，然后求出直线的倾斜角．解答：解：因为直线的斜率为：﹣，所以tanα=﹣，所以直线的倾斜角为：．故答案为：．点评：本题考查直线的一般式方程与直线的倾斜角的求法，考查计算能力．2．抛物线x2=y的焦点坐标为（0）．考点：抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据方程得出焦点在y正半轴上，p=即可求出焦点坐标．解答：解：∵抛物线x2=y，∴焦点在y正半轴上，p=∴焦点坐标为（0，），故答案为；（0，），点评：本题考查了抛物线的方程与几何性质，求解焦点坐标，属于容易题．3．圆x2+y2﹣2x+2y=0的周长是2π．考点：圆的一般方程．专题：计算题；直线与圆．分析：由配方法化为标准式，求出圆的半径，再求周长即可．解答：解：x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2所以圆的半径为，故周长为2π．故答案为：2π．点评：本题考查圆的一般方程和标准方程，属基础知识的考查．4．已知点（2，﹣1）在直线l上的射影为（1，1），则直线l的方程为x﹣2y+1=0 ．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由已知得直线l的斜率k l=，且过（1，1），由此能求出直线l的方程．解答：解：∵点（2，﹣1）在直线l上的射影为（1，1），k==﹣2，∴直线l的斜率k l=，∴直线l的方程y﹣1=（x﹣1），整理，得x﹣2y+1=0．故答案为：x﹣2y+1=0．点评：本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两直线位置关系的合理运用．5．若“1≤x≤2”是“0≤x≤m”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是m≥2 ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义，结合数轴判断解答：解：∵“1≤x≤2”是“0≤x≤m”的充分不必要条件，结合数轴判断∴根据充分必要条件的定义可得出：m≥2，故答案为：m≥2点评：本题考查了数轴，充分必要条件的定义，属于容易题．6．若椭圆+=1上一点到左准线的距离为5，则该点到右焦点的距离为 6 ．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：现根据椭圆的方程求出离心率，进一步根据椭圆的第一和第二定义求出结果．解答：解：已知椭圆+=1则：解得：e=已知椭圆上一点到左准线的距离为5，则：设点到左焦点的距离为d，点到右焦点的距离为k，利用椭圆的第二定义：解得：d=4进一步利用椭圆的第一定义：d+k=10解得：k=6故答案为：6点评：本题考查的知识要点：椭圆的离心率的应用，椭圆的第一第二定义的应用．属于基础题型．7．已知实数x，y满足不等式组，则的最小值是．考点：简单线性规划的应用．专题：综合题．分析：先画出满足条件的可行域，再根据表示可行域内任一点与原点连线的斜率，借助图形分析出满足条件的可行域内点的坐标，代入即可得到答案．解答：解：满足不等式组可行域如下图所示：∵表示可行域内任一点与原点连线的斜率，由图可知当x=，y=时，有最小值故答案为：点评：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中根据已知中的约束条件画出满足条件的可行域，进而利用数形结合分析满足条件的点的坐标，是解答本题的关键．8．若双曲线x2﹣=1（a＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于，则a的值为 3 ．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的一个焦点，求得双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式，得到a的方程，计算即可得到a．解答：解：双曲线x2﹣=1的一个焦点为（，0），一条渐近线方程为y=x，则焦点到渐近线的距离为=，解得，a=3．故答案为：3．点评：本题主要考查双曲线的性质：渐近线，考查点到直线的距离的公式的运用，考查运算能力，属于基础题．9．圆x2+y2=m与圆x2+y2﹣6x+8y﹣24=0若相交，则实数m的取值范围为（4，144）．考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：利用圆心距与半径和与差的关系，求出m的范围即可．解答：解：圆x2+y2=m的圆心（0，0），半径为：，圆x2+y2﹣6x+8y﹣24=0的圆心（3，﹣4），半径为7，两个圆相交，则：＜＜7+，可得，解得m∈（4，144）．故答案为：（4，144）．点评：本题考查两个圆的位置关系的应用，求出圆的圆心与半径，圆心距是解题的关键，注意半径差的表示．10．若双曲线=1上一点P到其左焦点的距离为5，则点P到右焦点的距离为9 ．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的a，b，c，运用双曲线的定义，求得|PF2|=1或9，讨论P在左支和右支上，求出最小值，即可判断P的位置，进而得到所求距离．解答：解：双曲线=1的a=2，b=2，c==4，设左右焦点为F1，F2．则有双曲线的定义，得||PF1|﹣|PF2||=2a=4，由于|PF1|=5，则有|PF2|=1或9，若P在右支上，则有|PF2|≥c﹣a=2，若P在左支上，则|PF2|≥c+a=6，故|PF2|=1舍去；由于|PF1|=5＜c+a=6，则有P在左支上，则|PF2|=9．故答案为：9点评：本题考查双曲线的方程和定义，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于基础题和易错题．11．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m．若水面下降2m，则水面宽度为m．考点：抛物线的应用．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，建立直角坐标系．设抛物线的方程为x2=﹣2py（p＞0）．利用当水面离拱顶2m时，水面宽4m．可得B（2，﹣2）．代入抛物线方程可得22=﹣2p×（﹣2），解得p．设D（x，﹣4），代入抛物线方程即可得出．解答：解：如图所示，建立直角坐标系．设抛物线的方程为x2=﹣2py（p＞0）．∵当水面离拱顶2m时，水面宽4m．∴B（2，﹣2）．代入抛物线方程可得22=﹣2p×（﹣2），解得p=1．∴抛物线的标准方程为：x2=﹣2y．设D（x，﹣4），代入抛物线方程可得x2=﹣2×（﹣4），解得x=．∴|CD|=4．故答案为：4．点评：本题考查了抛物线的标准方程及其应用，考查了数形结合的思想方法，考查了计算能力，属于基础题．12．若关于x的方程x+b=恰有一个解，则实数b的取值范围为[﹣2，0）∪{﹣1} ．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：方程x+b=解的个数即函数y=x+b与y=的交点的个数，作图求解．解答：解：方程x+b=解的个数即函数y=x+b与y=的交点的个数，作函数y=x+b与y=的图象如下，由图可知，直线在y=x的右侧或直线与半圆相切，故实数b的取值范围为[﹣2，0）∪{﹣1}．故答案为：[﹣2，0）∪{﹣1}．点评：本题考查了方程的根与函数的图象的关系，属于基础题．13．已知A、B、C三点在曲线上，其横坐标依次为1，m，4（1＜m＜4），当△ABC的面积最大时，m等于．考点：点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：求出A、B、C三点的坐标，求出AC的方程，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，推出面积的表达式，然后求解面积的最大值时的m值．解答：解：由题意知，直线AC所在方程为x﹣3y+2=0，点B到该直线的距离为，．∵m∈（1，4），∴当时，S△ABC有最大值，此时．故答案为：．点评：本题考查点到直线的距离公式的应用，三角形的面积的最值的求法，考查计算能力．14．已知椭圆=1（a＞b＞0）的焦距是2c，若以a，2b，c为三边长必能构成三角形，则该椭圆离心率的取值范围是．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：首先利用已知条件建立关系式，通过变换再利用椭圆离心率求出结果．解答：解：已知椭圆=1（a＞b＞0）的焦距是2c，则：b2=a2﹣c2若以a，2b，c为三边长必能构成三角形，则：a﹣c＜2b＜a+c整理得：则：即：解得：①式恒成立②式解得：由于椭圆离心率：0＜e＜1所以：故答案为：点评：本题考查的知识要点：椭圆的离心率的应用，三角形的三边关系的应用．属于基础题型．二、解答题：本大题共5小题，15-16每小题10分，17题12分，18题14分，19题12分，共58分.请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．设命题p：∃x∈[﹣1，1]，x+m＞0命题q：方程=1表示双曲线．（1）写出命题p的否定；（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．考点：复合命题的真假；命题的否定．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；简易逻辑．分析：（1）特称命题的否定是特称改全称，否定结论；（2）先解p，q为真时m的取值，然后由“p或q”为真，“p且q”为假，所以p，q一真一假，分类讨论求m的范围．解答：解：（1）命题p的否定：∀x∈[﹣1，1]，x+m≤0；（2）由题意可知，p为真时，m＞﹣x≥﹣1，得m＞﹣1，q为真时，（m﹣4）（m+2）＞0，解得m＞﹣4或m＜﹣2，因为“p或q”为真，“p且q”为假，所以p，q一真一假，当p为真且q为假时，，解得﹣1＜m≤4；当p为假且q为真时，解得m＜﹣2；综上，实数m的取值范围是m＜﹣2或﹣1＜m≤4．点评：本题考查命题的真假判断，注意对联接词的逻辑关系的判断．16．在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，0），点B（0，2），点C（﹣，﹣1）．（1）求经过A，B，C三点的圆P的方程；（2）若直线l经过点（1，1）且被圆P截得的弦长为2，求直线l的方程．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（1）设圆的一般方程，利用待定系数法即可求圆C的方程；（2）根据直线和圆相交的弦长公式，以及结合点到直线的距离公式即可得到结论．解答：解：（1）设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，∵圆经过三个点A（2，0），点B（0，2），点C（﹣，﹣1）．∴，解得D=0，E=0，F=﹣4，即圆P的方程为x2+y2=4．（2）当直线斜率k不存在时，直线方程为x=1，代入x2+y2=4．得y1=或y2=﹣，故弦长|y1﹣y2|=2，设点C到直线M得y=，满足条件．当直线斜率k存在时，设所求的方程为y﹣1=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+1=0，由已知弦心距d==1，∴，解得k=0，即直线方程为y=1，综上所求的直线方程为x=1或y=1．点评：本题主要考查直线和圆的方程的应用，利用待定系数法结合点到直线的距离是解决本题的关键．17．在平面直角坐标系xoy中，设抛物线C：y2=4x（1）求抛物线C上到焦点距离等于5的点的横坐标；（2）设命题p：过抛物线C上一点M（1，2）作两条不同的直线，分别交抛物线C于点A，B，设直线MA，MB，AB的斜率均存在且分别记为k MA，k MB，k AB若+为定值，则k AB为定值．判断命题p的真假，并证明；（3）写出（2）中命题p的逆命题，并判断真假（不要求证明）．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设抛物线C上一点的横坐标为x，由题意，根据抛物线定义，得x+1=5，由此能求出抛物线C上到焦点距离等于5的点的横坐标．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，则，，由此能证明当+为定值时，k AB为定值．（3）把命题p的题设和结论互换，能求出逆命题，命题p的逆命题是真命题．解答：解：（1）设抛物线C上一点的横坐标为x，由题意，根据抛物线定义，得x+1=5，解得x=4，∴抛物线C上到焦点距离等于5的点的横坐标为4．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，则，，∵点A，B在抛物线C上，∴，即，代入上式，化简得：===，k AB==，∴+为定值时，y1+y2为定值，∴k AB为定值．（3）命题p的逆命题：过抛物线C上一点M（1，2）作两条不同的直线，分别交抛物线C于A，B，设直线MA，MB，AB的斜率均存在且分别记为k MA，k MB，k AB，若k AB为定值，则+为定值．命题p的逆命题是真命题．点评：本题考查抛物线上点的横坐标的求法，考查直线的斜率为定值的证明，考查命题的逆命题的求法，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．18．在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆的焦点为（﹣，0）（，0），离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若圆M：x2+（y﹣m）2=1上的点到椭圆上的点的最远距离为+1，求m的值；（3）过坐标原点作斜率为k的直线l交椭圆于P、Q两点，点N为椭圆上任意一点（异于点P，Q），设直线NP，NQ的斜率均存在且分别记为k Np，k NQ．证明：对任意k，恒有k NP k NQ=﹣．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意得，由此能求出椭圆方程．（2）原题转化为求MT取最大值实数m的求解，设T（x，y），则MT2=x2+（y﹣m）2=﹣3y2﹣2my+m2+4（﹣1≤y≤1），由此利用分类讨论思想能求出m的值．（3）由已知得k NP•k NQ==，由此能证明对任意k，恒有k NP k NQ=﹣．解答：（1）解：由题意得，解得a=2，b=1，∴椭圆方程为=1．（2）解：设圆M上任取一点S，椭圆上任取一点T，则ST≤MT+MS=MT+1，故转化为求圆心M到椭圆上点T的距离的最大值，即MT的最大值，设T（x，y），则MT2=x2+（y﹣m）2，又∵点T在椭圆上，∴，∴MT2=x2+（y﹣m）2=﹣3y2﹣2my+m2+4（﹣1≤y≤1），当﹣，即m≥3，此时y=﹣1，MT2取到最大值为m2+2m+1，∴（m+1）2=5，解得m=﹣1∉[3，+∞），舍去，当﹣，即m≤﹣3时，此时y=1，MT2取到最大值为m2﹣2m+1，∴（m﹣1）2=5，解得m=1∉（﹣∞，﹣3]，舍去，当﹣1，即﹣3＜m＜3时，y=﹣，MT2取到最大值为，∴，解得，符合题意，∴m的值为±．（3）证明：根据题意知P，Q关于原点对称，∴，，∴k NP•k NQ==，又点P，N在椭圆上，∴，两式相减，得，∴对任意k，恒有k NP k NQ=﹣．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，考查直线的斜率之积为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．19．已知⊙O：x2+y2=1，点S（2，m）（m≠0）是直线l：x=2上一动点，⊙O与x轴的交点分别为A、B．连接SA交⊙O于点M，连接SB并延长交⊙O于点N，连接MB并延长交直线l于点T．（1）证明：A，N，T三点共线；（2）证明：直线MN必过一定点（其坐标与m无关）．考点：直线和圆的方程的应用．专题：计算题；作图题；证明题；直线与圆．分析：（1）如图，S（2，m），A（﹣1，0），B（1，0）；从而表示出直线SA，直线SB的方程，与圆的方程联立求M，N的坐标，再写出直线MB的方程，从而求得点T的坐标，再求AN，AT的斜率，判断斜率相等即可；（2）由题意写出直线MN的方程y+=（x﹣1+）；化简y+=（x﹣1+）；再化简y=（x+）﹣=（x+﹣•）=（x﹣）；从而得证．解答：证明：（1）如图，S（2，m），A（﹣1，0），B（1，0）；则直线SA：y=（x+1），与圆的方程x2+y2=1联立消元可得，（9+m2）x2+2m2x+m2﹣9=0，解得， x=﹣1或x=﹣1+；故y=（﹣1++1）=；即M（﹣1+，）；直线SB：y=m（x﹣1），与圆的方程x2+y2=1联立消元可得，（1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣1=0，解得，x=1或x=1﹣；故y=m（1﹣﹣1）=﹣；即N（1﹣，﹣）；直线MB：y=（x﹣1），代入x=2得，y==﹣，即T（2，﹣）；故k AN==﹣；k AT==﹣；故A，N，T三点共线；（2）直线MN的方程为：y+=（x﹣1+）；即y+=（x﹣1+）；y=（x+）﹣=（x+﹣•）=（x﹣）；故直线MN必过定点（，0）．点评：本题考查了直线与圆的位置关系的应用，化简很困难，属于难题．。
2022-2023学年江苏省南京市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省南京市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1．已知复数z 满足（2+i ）z ＝3﹣4i ，则|z |＝（ ） A ．2B ．√5C ．5D ．102．已知直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行，则实数m ＝（ ） A ．﹣2 B ．0C ．2D ．±23．已知双曲线x 2a 2−y 22=1（a ＞0）的离心率为√3，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y ＝±2x B ．y ＝±√2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±√22x 4．直线l 与直线y =√3x 关于直线y ＝x +1对称，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．π12B ．π6C ．π4D ．π35．我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面．已知拟柱体的体积公式为V =16ℎ(S +4S 0+S′)，其中S ，S ′别是上、下底面的面积，S 0是中截面的面积，h 为拟柱体的高．一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底长、宽比下底长、宽各少2米．现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为4吨的卡车装运，则至少需要运（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）（ ）A ．63车B ．65车C ．67车D ．69车 6．已知α，β均为锐角，且sin （α+β）＝2sin （α﹣β），则tanαtanβ=（ ）A ．13B ．12C ．2D ．37．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的上顶点为A ，左右焦点分别为F 1，F 2，连接AF 2并延长交椭圆C 于另一点B ，若F 1B ：F 2B ＝7：3，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．√338．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，E 为线段CD 上的动点，过B 作AE 的垂线，垂足为F ，则DF →•DA→的最小值是（ ） A ．1B ．1613C ．85D ．4二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分． 9．甲、乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如图，则在这7天中，（ ）A ．乙城市日均气温的极差为3°CB ．乙城市日均气温的众数为24°C C ．甲城市日均气温的中位数与平均数相等D ．甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定10．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l ：y ＝x ﹣2与抛物线C 交于A ，B 两点，则（ ）A ．抛物线C 的准线方程为x ＝﹣1B ．点F 到直线l 的距离为√22C ．∠AOB =π2 D ．AB ＝1011．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 为侧面BCC 1B 1内一点，则（ ）A ．当C 1P →=13C 1B →时，异面直线CP 与AD 所成角的正切值为12B ．当C 1P →=λC 1B →（0＜λ＜1）时，四面体D 1ACP 的体积为定值C ．当点P 到平面ABCD 的距离等于到直线A 1B 1的距离时，点P 的轨迹为抛物线的一部分D ．当C 1P →=12C 1B →时，四面体BCDP 的外接球的表面积为2π12．过原点的直线l 与圆M ：x 2+y 2+2x ﹣2y ﹣16＝0交于A ，B 两点，且l 不经过点M ，则（ ）A．弦AB长的最小值为8B．△MAB面积的最大值为4√2C．圆M上一定存在4个点到l的距离为2√2D．A，B两点处圆的切线的交点位于直线x﹣y﹣16＝0上三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．已知a＞0，若圆（x﹣a）2+y2＝2与圆x2+（y﹣a）2＝8外切，则a＝．14．某班15名学生在一次测试中的得分（单位：分）如下：9，10，10，11，11，11，12，12，12，12，13，14，16，17，18．则这组数据的70百分位数是．15．设函数f（x）＝2x+log a x﹣8（a＞1）的零点为x0．若x0≥3，则a的最小值为．16．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，点P的坐标为（2，1），动点A，B在抛物线C上，且P A⊥PB，则F A+FB的最小值是．四、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在①（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C，②tan A=√3bcb2+c2−a2，③a sin B=√3b cos A这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．问题：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝3，cos B=2√77，且_____，求△ABC的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是棱BC上的点（不与点C重合），AD⊥DC1．（1）证明：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）若AC＝CC1＝2，求CC1与平面ADC1所成角的正弦值．19．（12分）已知圆M过原点O，圆心M在直线y＝x﹣1上，直线2x+y＝0与圆M相切．（1）求圆M的方程；（2）过点P（0，4）的直线l交圆M于A，B两点．若A为线段PB的中点，求直线l的方程．20．（12分）某篮球场有A，B两个定点投篮位置，每轮投篮按先A后B的顺序各投1次，在A点投中一球得2分，在B点投中一球得3分．设球员甲在A点投中的概率为p，在B点投中的概率为q，其中0＜p＜1，0＜q ＜1，且甲在A ，B 两点投篮的结果互不影响．已知甲在一轮投篮后得0分的概率为16，得2分的概率为13．（1）求p ，q 的值；（2）求甲在两轮投篮后，总得分不低于8分的概率．21．（12分）已知圆A ：（x −√3）2+y 2＝16，B （−√3，0），T 是圆A 上一动点，BT 的中垂线与AT 交于点Q ，记点Q 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点（0，2）的直线l 交曲线C 于M ，N 两点，记点P （0，﹣1）．问：是否存在直线l ，满足PM ＝PN ？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由． 22．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√3，左、右顶点分别为M ，N ，点P（﹣1，1）满足PM →•PN →=1． （1）求双曲线C 的方程；（2）过点P 的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，直线OP 与直线AN 交于点D ．设直线MB ，MD 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．2022-2023学年江苏省南京市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1．已知复数z 满足（2+i ）z ＝3﹣4i ，则|z |＝（ ） A ．2B ．√5C ．5D ．10解：∵（2+i ）z ＝3﹣4i ，∴z =3−4i2+i =(3−4i)(2−i)(2+i)(2−i)=25−115i ， ∴|z|=√(25)2+(−115)2=√5． 故选：B ．2．已知直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行，则实数m ＝（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．±2解：因为直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行， 所以4﹣m 2＝0，解得m ＝±2，检验当m ＝2时，直线l 1：4x +2y +2＝0即为2x +y +1＝0，直线l 2：2x +y +1＝0，两直线重合，不符合题意，当m ＝﹣2时，直线l 1：4x ﹣2y +2＝0即为2x ﹣y +1＝0，直线l 2：﹣2x +y +1＝0即为2x ﹣y ﹣1＝0，两直线平行，符合题意， 故m ＝﹣2． 故选：A ． 3．已知双曲线x 2a 2−y 22=1（a ＞0）的离心率为√3，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y ＝±2x B ．y ＝±√2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±√22x解：双曲线x 2a 2−y 22=1（a ＞0）的离心率为√3，可得e =ca =√3， 即有c =√3a ，由c 2＝a 2+b 2， 可得b =√2a ，即有渐近线方程为y ＝±ba x ，即为y ＝±√2x ． 故选：B ．4．直线l 与直线y =√3x 关于直线y ＝x +1对称，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3解：因为直线y =√3x 的倾斜角为60°，直线y ＝x +1的倾斜角为45°，由直线l 与直线y =√3x 关于直线y ＝x +1对称可得l 与y =√3x 与直线y ＝x +1的夹角相等，都为15°， 所以直线l 的倾斜角为30°． 故选：B ．5．我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面．已知拟柱体的体积公式为V =16ℎ(S +4S 0+S′)，其中S ，S ′别是上、下底面的面积，S 0是中截面的面积，h 为拟柱体的高．一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底长、宽比下底长、宽各少2米．现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为4吨的卡车装运，则至少需要运（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）（ ）A ．63车B ．65车C ．67车D ．69车解：两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底长、宽比下底长、宽各少2米，由条件可知：上底长为18米，宽为8米；中截面长19米，宽9米； 则上底面积S ＝18×8，中截面积S 0＝19×9，下底面积S 1＝20×10， 所以该建筑材料的体积为V =16×1×(144+684+200)=5143立方米， 所以建筑材料重约5143×32=257（吨），需要的卡车次为257÷4＝64.25，所以至少需要运65车． 故选：B ．6．已知α，β均为锐角，且sin （α+β）＝2sin （α﹣β），则tanαtanβ=（ ）A ．13B ．12C ．2D ．3解：已知α，β均为锐角，且sin （α+β）＝2sin （α﹣β）， 整理得：sin αcos β+cos αsin β＝2sin αcos β﹣2cos αsin β， 故sin αcos β＝3cos αsin β， 所以tanαtanβ=3．故选：D ． 7．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的上顶点为A ，左右焦点分别为F 1，F 2，连接AF 2并延长交椭圆C 于另一点B ，若F 1B ：F 2B ＝7：3，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．√33解：由椭圆的定义可得|BF 1|+|BF 2|＝2a ， 又|F 1B |：|F 2B |＝7：3， 所以|BF 1|=7a 5，|BF 2|=3a 5， 根据题意可得|AF 1|＝|AF 2|=√c 2+b 2=a ， 所以|AB |＝|AF 2|+|BF 2|＝a +3a5， 所以cos ∠F 1BF 2＝cos ∠F 1BA ， 所以|BF 1|2+|BF 2|2−|F 1F 2|22|BF 1||BF 2|=|BF 1|2+|AB|2−|AF 1|22|BF 1||AB|，所以(7a 5)2+(3a 5)2−(2c)22×7a 5×3a 5=(7a 5)2+(a+35a)2−a 22×7a 5×(a+3a5)， 所以49a 2+9a 2−40c 242a 2=49a 2+64a 2−25a 2112a 2，所以49a 2+9a 2−40c 242a 2=1114，所以25a 2＝100c 2， 所以c 2a 2=14，所以e =c a =12， 故选：C ．8．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，E 为线段CD 上的动点，过B 作AE 的垂线，垂足为F ，则DF →•DA →的最小值是（ ） A ．1B ．1613C ．85D ．4解：分别以AD ，AB 为x ，y 轴建立平面直角坐标系，B （0，3），D （2，0）， AB →=（0，3），AD →=（2，0），E 在线段CD 上，设E （2，m ），（0≤m ≤3），AE →=（2，m ）， 设AF →=k AE →=（2k ，mk ），则BF →=AF →−AB →=（2k ，mk ﹣3）， ∵BF ⊥AE ，∴BF →⋅AE →=4k +m （mk ﹣3）＝0，k =3mm 2+4， DF →=AF →−AD →=（2k ﹣2，mk ），DF →⋅DA →=（2k ﹣2，mk ）•（﹣2，0）＝4﹣4k ＝4−12mm 2+4， m ＝0，DF →⋅DA →=4， 0＜m ≤3时，12m m 2+4=12m+4m≤2√m⋅m=3，当且仅当m =4m ，即m ＝2时，取等号， 此时，DF →⋅DA →的最小值为1． 故选：A ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分． 9．甲、乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如图，则在这7天中，（ ）A ．乙城市日均气温的极差为3°CB ．乙城市日均气温的众数为24°C C ．甲城市日均气温的中位数与平均数相等D ．甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定解：由图可以看出，甲城市7天的气温为：22°C ，22°C ，24°C ，24°C ，25°C ，25°C ，26°C ， 乙城市7天的气温为：23°C ，23°C ，24°C ，24°C ，24°C ，25°C ，25°C ， 对于A ，乙城市日均气温的极差为25°C ﹣23°C ＝2°C ，故A 错误， 对于B ，乙城市日均气温的众数为24°C ，故B 正确，对于C ，甲城市的中位数为24°C ，甲城市的平均数为17×(22+22+24+24+25+25+26)=24°C ，故C 正确，对于D ，由图中可以看成，乙城市的日均气温比甲城市的日均气温稳定，故D 错误． 故选：BC ．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l ：y ＝x ﹣2与抛物线C 交于A ，B 两点，则（ ）A ．抛物线C 的准线方程为x ＝﹣1B ．点F 到直线l 的距离为√22C ．∠AOB =π2 D ．AB ＝10解：由抛物线C ：y 2＝4x ，可得抛物线的准线为x ＝﹣1，故A 正确； 由抛物线C ：y 2＝4x ，可得抛物线的焦点坐标为F （1，0）， ∴点F 到直线l 的距离为d =|1−0−2|√1+1=√22，故B 正确；由{y =x −2y 2=4x ，消去x 得y 2﹣4y ﹣8＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴y 1+y 2＝4，y 1y 2＝﹣8，∴x 1x 2=116（y 1y 2）2＝4，∴OA →•OB →=x 1x 2+y 1y 2＝4﹣8＝﹣4，故∠AOB ≠π2，故C 不正确； 由弦长公式得|AB |=√(1+1k2)[(y 1+y 2)2−4y 1y 2]=√(1+1)[42−4×(−8)]=4√6，故D 不正确．故选：AB ．11．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 为侧面BCC 1B 1内一点，则（ ） A ．当C 1P →=13C 1B →时，异面直线CP 与AD 所成角的正切值为12B ．当C 1P →=λC 1B →（0＜λ＜1）时，四面体D 1ACP 的体积为定值C ．当点P 到平面ABCD 的距离等于到直线A 1B 1的距离时，点P 的轨迹为抛物线的一部分D ．当C 1P →=12C 1B →时，四面体BCDP 的外接球的表面积为2π解：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，P(13，1，23)，CP →=(13，0，23)，AD →=(−1，0，0)， 设异面直线CP 与AD 所成角为θ∈(0，π2]， 则cosθ=|cos ＜CP →，AD →＞|=|CP →⋅AD →||CP →|⋅|AD →|=|(13，0，23)⋅(−100)|√19+49=√55，故sinθ=√1−cos 2θ=2√55，tanθ=2，A 错误； 如图2，因为AB ∥C 1D 1，且AB ＝C 1D 1，所以四边形ABC 1D 1为平行四边形， 故BC 1∥AD 1，因为BC 1⊄平面ACD 1，AD 1⊂平面ACD 1， 所以BC 1∥平面ACD 1，故当点P 在BC 1上运动时，点P 到平面ACD 1的距离不变，即当C 1P →=λC 1B →(0＜λ＜1)时，四面体D 1ACP 的体积为定值，B 正确； 如图3，过点P 作PE ⊥BC 于点E ，连接PB 1，因为A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，B 1P ⊂平面BCC 1B 1， 所以A 1B 1⊥B 1P 1，因为AB ⊥平面BCC 1B 1，EP ⊂平面BCC 1B 1， 所以AB ⊥EP ，因为AB ∩BC ＝B ，AB ，BC ⊂平面ABCD ， 所以PE ⊥平面ABCD ，设P （m ，1，n ），0≤m ≤1，0≤n ≤1，其中B 1（1，1，1）， 当PB 1＝PE 时，√(m −1)2+(1−1)2+(n −1)2=n ， 整理得：n =12(m −1)2+12，故当点P 到平面ABCD 的距离等于到直线A 1B 1的距离时，点P 的轨迹为抛物线的一部分，C 正确； 如图4，当C 1P →=12C 1B →时，P 为BC 1的中点，取BD 的中点Q ，BC 的中点N ，连接PN ，则PN ∥CC 1，故PN ⊥平面ABCD ，因为BC ⊥CD ，故三角形BCD 的外心为点Q ，则外接球球心O 在过点Q 且垂直于平面ABCD 的直线上，故OQ ⊥平面ABCD ，OQ ∥PN ，连接OP ，QN ，OB ，过点O 作OM ∥QN 交PN 于点M ，设四面体BCDP 的外接球的半径为R ，则OB =OP =R ，OM =QN =12，OQ =MN ， 其中QB =√22，PN =12，设OQ ＝MN ＝h ，则PM =12−ℎ， 由勾股定理得OB =√OQ 2+QB 2=√ℎ2+12，OP =√OM 2+PM 2=√(12−ℎ)2+14，故√ℎ2+12=√(12−ℎ)2+14，解得：h ＝0，故R =√02+12=√22，4πR 2=2π， 当C 1P →=12C 1B →时，四面体BCDP 的外接球的表面积为2π，D 正确．故选：BCD ．12．过原点的直线l 与圆M ：x 2+y 2+2x ﹣2y ﹣16＝0交于A ，B 两点，且l 不经过点M ，则（ ） A ．弦AB 长的最小值为8B ．△MAB 面积的最大值为4√2C ．圆M 上一定存在4个点到l 的距离为2√2D ．A ，B 两点处圆的切线的交点位于直线x ﹣y ﹣16＝0上解：M ：x 2+y 2+2x ﹣2y ﹣16＝0化为标准方程：M ：（x +1）2+（y ﹣1）2＝18．设M 到直线l 的距离为d ，则d ≤|OM |=√2， 对于A ：由垂径定理|AB|2=√18−d 2≥√16=4，即|AB |≥8，当且仅当d =√2，即OM ⊥l 时取等号，故弦AB 长的最小值为8，故A 正确；对于B ：△MAB 面积为12|AB|⋅d =d √18−d 2=√−d 4+18d 2，令t ＝d 2，则：△MAB 面积为√−t 2+18t ，t ∈（0，2]，而y ＝﹣t 2+18t ＝﹣（t ﹣9）2+81在（0，2]上单调递增，所以y max ＝y |t ＝2＝32，于是△MAB 面积的最大值为4√2，B 正确；对于C ：当OM ⊥l 时，d =√2，到l 的距离为2√2的点由3个，C 错误；对于D ：A ，B 两点处圆的切线的交点坐标为（m ，n ），则直线AB 为切点弦所在直线方程，为：mx +ny +m +x ﹣（n +y ）﹣16＝0，由于直线AB 过原点，所以m ﹣n ﹣16＝0，即A ，B 两点处圆的切线的交点位于直线x ﹣y ﹣16＝0上． 故选：ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13．已知a ＞0，若圆（x ﹣a ）2+y 2＝2与圆x 2+（y ﹣a ）2＝8外切，则a ＝ 3 ． 解：因为a ＞0，若圆（x ﹣a ）2+y 2＝2与圆x 2+（y ﹣a ）2＝8外切，则√a 2+a 2=√2+2√2=3√2， 所以a ＝3． 故答案为：3．14．某班15名学生在一次测试中的得分（单位：分）如下：9，10，10，11，11，11，12，12，12，12，13，14，16，17，18． 则这组数据的70百分位数是 13 ．解：根据题意，共有15个数据，则有15×0.7＝10.5， 故这组数据的70百分位数第11个数据，即13； 故答案为：13．15．设函数f （x ）＝2x +log a x ﹣8（a ＞1）的零点为x 0．若x 0≥3，则a 的最小值为 √3 ．解：由于y ＝2x +8和y ＝log a x （a ＞1）在（0，+∞）上单调递增，所以f （x ）＝2x +log a x ﹣8（a ＞1）在（0，+∞）上单调递增，则0＝f （x 0）≥f （3），即log a 3﹣2≤0，也即log a 3≤2（a ＞1），从而a 2≥3且a ＞1，故a ≥√3，故a 的最小值为√3， 故答案为：√3．16．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，点P 的坐标为（2，1），动点A ，B 在抛物线C 上，且P A ⊥PB ，则F A +FB 的最小值是 11 ．解：由抛物线C ：x 2＝4y ，可得焦点为F （0，1）， ∵点P 的坐标为（2，1），∴点P 在抛物线上，∵动点A ，B 在抛物线C 上，且P A ⊥PB ，∴P A ，PB 斜率存在且不为0，设P A 的斜率为k ，PB 的斜率为−1k，则直线P A 的方程为y ﹣1＝k （x ﹣2）， 由{y −1=k(x −2)x 2=4y，消去y 得x 2﹣4kx +8k ﹣4＝0， ∴（x ﹣2）（x ﹣4k +2）＝0，∴x ＝2或x ＝4k ﹣2，∴点A 的坐标为（4k ﹣2，k （4k ﹣4）+1），即A （4k ﹣2，4k 2﹣4k +1）， 同理可得B （−4k −2，4k 2+4k+1），∴|F A|+|FB|＝4k2﹣4k+1+1+4k2+4k+1+1＝4（k2﹣k+1k2+1k+1）＝4[（k−1k）2﹣（k−1k）+3），令t＝k−1k，则|F A|+|FB|＝4（t2﹣t+3）＝4[（t−12）2+114]≥11，当t=12时，等号成立，故|F A|+|FB|的最小值是11．故答案为：11．四、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在①（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C，②tan A=√3bcb2+c2−a2，③a sin B=√3b cos A这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．问题：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝3，cos B=2√77，且_____，求△ABC的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：因为cosB=2√77，B为三角形内角，则sinB=√1−cos2B=√217，选①：（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C，展开得sin2B+sin2C﹣sin2A＝sin B sin C，由正弦定理得b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理得cosA=b 2+c2−a22bc=12，因为A为三角形内角，故A＝60°，所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√32×2√77+12×√217=3√2114，由正弦定理得bsinB =csinC，即b217=3√2114，解得b＝2，所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×2×3×√32=3√32；选②：tanA=√3bcb2+c2−a2，由余弦定理得sinAcosA=√3bc2bccosA，故sinA=√32，因为A为三角形内角，故A＝60°或120°，当A＝60°时，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√32×2√77+12×√217=3√2114，由正弦定理得bsinB =csinC，即√217=3√2114，解得b＝2，所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×2×3×√32=3√32；当A＝120°时，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√32×2√77−12×√217=√2114，由正弦定理得bsinB =csinC，即√217=√2114，解得b＝6，所以△ABC 的面积S =12bcsinA =12×6×3×√32=9√32， 综上△ABC 的面积为3√32或9√32；选③：asinB =√3bcosA ，由正弦定理得sinAsinB =√3sinBcosA ， 因为B 为三角形内角，所以sin B ≠0， 从而sinA =√3cosA ，显然cos A ≠0，所以tanA =√3， 因为A 为三角形内角，所以A ＝60°，所以sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =√32×2√77+12×√217=3√2114， 由正弦定理得bsinB=c sinC ，即√217=3√2114，解得b ＝2，所以△ABC 的面积S =12bcsinA =12×2×3×√32=3√32． 18．（12分）如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 是棱BC 上的点（不与点C 重合），AD ⊥DC 1． （1）证明：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1；（2）若AC ＝CC 1＝2，求CC 1与平面ADC 1所成角的正弦值．解：（1）证明：因为正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1， 故C 1C ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，故AD ⊥C 1C ， 又C 1C ∩C 1D ＝C 1，故AD ⊥平面BCC 1B 1， 又AD ⊂平面ADC 1，故平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1；（2）由（1）得平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1，且AD ⊥BC ，故D 为BC 的中点， 作CH ⊥C 1D 于H ，则CH ⊥平面ADC 1，则∠CC 1H 即为CC 1与平面ADC 1所成角， 因为AC ＝CC 1＝2，故CD ＝1，C 1D =√5， 所以sin ∠CC 1D =CD C 1D =√55，故CC 1与平面ADC 1所成角的正弦值为√55．19．（12分）已知圆M 过原点O ，圆心M 在直线y ＝x ﹣1上，直线2x +y ＝0与圆M 相切． （1）求圆M 的方程；（2）过点P （0，4）的直线l 交圆M 于A ，B 两点．若A 为线段PB 的中点，求直线l 的方程． 解：（1）圆M 过原点O ，圆心M 在直线y ＝x ﹣1上，设圆的圆心（a ，a ﹣1），直线2x +y ＝0与圆M 相切．可得√a 2+(a −1)2=|2a+a−1|5，解得a ＝2，所以圆的圆心（2，1），半径为：√5， 所以圆M 的方程：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝5．（2）圆M 的方程：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝5．圆的圆心（2，1），半径为√5，如图，圆的图形如图，圆过原点，并且经过（0，2）点，过点P （0，4）的直线l 交圆M 于A ，B 两点．若A 为线段PB 的中点，观察可知，y 轴，就是所求直线之一，即x ＝0，M 到y 轴的距离为2，所以设另一条直线l 的方程为y ＝kx +4， 可得√1+k 2=2，解得k =−512， 所以另一条直线l 的方程为y =−512x +4．即5x +12y ﹣48＝0． 综上所求直线方程为：x ＝0或5x +12y ﹣48＝0．20．（12分）某篮球场有A ，B 两个定点投篮位置，每轮投篮按先A 后B 的顺序各投1次，在A 点投中一球得2分，在B 点投中一球得3分．设球员甲在A 点投中的概率为p ，在B 点投中的概率为q ，其中0＜p ＜1，0＜q ＜1，且甲在A ，B 两点投篮的结果互不影响．已知甲在一轮投篮后得0分的概率为16，得2分的概率为13．（1）求p ，q 的值；（2）求甲在两轮投篮后，总得分不低于8分的概率． 解：（1）由题意可知，{(1−p)(1−q)=16p(1−q)=13， 解得，p =23，q =12；（2）甲在两轮投篮后，总得分不低于8分的情况有两种，当甲恰好得8分时的概率为：C 21×23×13×12×12=19， 当甲恰好得10分的概率为：23×23×12×12=19，所以甲在两轮投篮后，总得分不低于8分的概率：19+19=29．21．（12分）已知圆A ：（x −√3）2+y 2＝16，B （−√3，0），T 是圆A 上一动点，BT 的中垂线与AT 交于点Q ，记点Q 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点（0，2）的直线l 交曲线C 于M ，N 两点，记点P （0，﹣1）．问：是否存在直线l ，满足PM ＝PN ？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．解：（1）已知圆A ：（x −√3）2+y 2＝16，B （−√3，0），T 是圆A 上一动点，BT 的中垂线与AT 交于点Q ， 由条件得|QA|+|QB|=|QA|+|QT|=|AT|=r =4＞2√3=|AB|， 所以Q 的轨迹是椭圆，且2a =4，2c =2√3， 所以b ＝1，所以曲线C 的方程为x 24+y 2=1；（2）假设存在满足题意的直线l ，且l 的斜率存在且不为0， 设l ：y ＝kx +2（k ≠0），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 由{y =kx +2x 24+y 2=1，消去y 得（1+4k 2）x 2+16kx +12＝0，Δ＝（16k ）2﹣48（1+4k 2）＝64k 2﹣48＞0，解得k 2＞34， 则x 1+x 2=−16k 1+4k2，又y 1+y 2=k(x 1+x 2)+4=41+4k2，所以MN 的中点坐标为(−8k 1+4k2，21+4k2)，因此，MN 的中垂线方程为y −21+4k2=−1k(x +8k 1+4k2)，要使|PM |＝|PN |，则点P （0，﹣1）应在MN 的中垂线上， 所以−1−21+4k2=−1k ⋅8k 1+4k 2，解得k 2=54＞34， 因此，存在满足题意的直线l ，其方程为y =±√52x +2．22．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√3，左、右顶点分别为M ，N ，点P（﹣1，1）满足PM →•PN →=1． （1）求双曲线C 的方程；（2）过点P 的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，直线OP 与直线AN 交于点D ．设直线MB ，MD 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．解：（1）依题意可得M （﹣a ，0），N （a ，0），又点P （﹣1，1） 所以PM →=（﹣a +1，﹣1），PN →=（a +1，﹣1）， 由PM →⋅PN →=2﹣a 2＝1，可得a ＝1， 又双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的离心率为√3，所以ca=√3，c =√3，则b 2＝c 2﹣a 2＝2，所以双曲线C 的方程为x 2−y 22=1．（2）由（1）可得M （﹣1，0），N （1，0），若直线l 的斜率不存在，则l 与双曲线C 仅有一个公共点M ，不合题意，故l 的斜率存在， 故设直线l 的方程为y ＝k （x +1）+1，联立{y =k(x +1)+12x 2−y 2=2，可得（2﹣k 2）x 2﹣（2k 2+2k ）x ﹣k 2﹣2k ﹣3＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2k 2+2k 2−k2，x 1x 2=k 2+2k+3k 2−2，直线OP 的方程为：y ＝﹣x ，直线AN 的方程为y =y 1x 1−1（x ﹣1）， 即可得D （y 1x 1+y 1−1，−y 1x 1+y 1−1），则k 1k 2=−y 1x 1+y 1−1y 1x 1+y 1−1+1⋅y 2x 2+1=y 1y 2(x 1+2y 1−1)(x 2+1)=k 2x 1x 2+(k 2+k)(x 1+x 2)+k 2+2k+1(2k+1)(x 1+x 2+x 1x 2+1)=k 2⋅k 2+2k−12−k2+k 2+2k+1(2k+1)(k 2−32−k2+1)=4k+22k+1=2．所以k1k2为定值．。
南京市高二上学期期中数学试卷(理科)(I)卷
南京市高二上学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二上·河北期中) 下列命题正确的是（）A . 若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B . “x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件C . 命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否定为：“若x≥﹣1，则x2﹣2x﹣3≤0”D . 已知命题 p：∃x∈R，x2+x﹣1＜0，则¬p：∃x∈R，x2+x﹣1≥02. （2分） (2018高二下·河南期中) 已知椭圆与抛物线的交点为，连线经过抛物线的焦点，且线段的长度等于椭圆的短轴长，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·林芝模拟) 别在双曲线的两条渐近线上，AF⊥x轴，BF⊥x轴，BF∥OA，• =0，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .4. （2分）如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）A .B .C .D .5. （2分）椭圆4x2+y2=1的离心率为（）A .B .C .D .6. （2分）抛物线的准线与双曲线的右准线重合,则m的值是（）A . 16B . 4C . -8D . -127. （2分） (2018高三上·大连期末) 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二上·张家界期中) 方程（x+y﹣1） =0所表示的曲线是（）A .B .C .D .9. （2分）设e是椭圆＝1的离心率，且e∈(， 1)，则实数k的取值范围是（）A . (0,3)B . (3，)C . (0,3)∪(，＋∞)D . (0,2)10. （2分）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，M、N分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN 所成角的余弦值等于（）A .B .C .D .11. （2分）过点A（﹣2，3）作抛物线y2=4x的两条切线l1、l2 ，设l1、l2与y轴分别交于点B、C，则△ABC的外接圆方程为（）A . x2+y2﹣3x﹣4=0B . x2+y2﹣2x﹣3y+1=0C . x2+y2+x﹣3y﹣2=0D . x2+y2﹣3x﹣2y+1=012. （2分） (2017高二上·临沂期末) 双曲线C1： =1（a＞0，b＞0）的左焦点F1作曲线C2：x2+y2=a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y2=2px（p＞0）于点P，其中C1与C3有一个共同的焦点，若M为F1P 的中点，则双曲线C1的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·南京月考) 等轴双曲线中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上，则标准方程为________.14. （1分） (2016高二上·吉安期中) P为椭圆上一点，F1、F2为左右焦点，若∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为________15. （1分） (2018高一下·黑龙江期末) 在平行四边形中，∠ABD=90° ，且，若将其沿折起使平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为________.16. （1分） (2016高二上·阜宁期中) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）与直线x+y﹣1=0相交于A、B 两点，若a∈[ ， ]，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，则椭圆离心率e的取值范围为________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分） (2018高二上·遂宁期末) 如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（1）求证：平面;ACD（2）求直线与平面所成角的正弦值.18. （10分） (2017高二下·盘山开学考) 如图，点A，B分别是椭圆的长轴的左右端点，点F 为椭圆的右焦点，直线PF的方程为：且PA⊥PF．（1）求直线AP的方程；（2）设点M是椭圆长轴AB上一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．19. （5分） (2017高二下·河北期中) 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．20. （5分）已知双曲线中心在原点，离心率等于2，且一个焦点坐标为（4，0），求此双曲线方程．21. （5分） (2015高二下·福州期中) 如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2．（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB；（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的余弦值．22. （10分） (2018高二上·阳高期末) 如图，设椭圆的中心为原点，长轴在轴上，上顶点为，左、右焦点分别为，线段的中点分别为，且是面积为的直角三角形.（1）求该椭圆的离心率和标准方程；（2）过作直线交椭圆于两点，使，求的面积.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、22-1、22-2、。
南京市高二上学期期中数学试卷(I)卷
南京市高二上学期期中数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）圆心是O（﹣3，4），半径长为5的圆的方程是（）A . （x﹣3）2+（y+4）2=5B . （x﹣3）2+（y+4）2=25C . （x+3）2+（y﹣4）2=5D . （x+3）2+（y﹣4）2=252. （2分） (2016高一下·黄冈期末) 已知点（﹣3，﹣1）和点（b，﹣4）均在直线3x﹣2y﹣a=0上，则ab 的值为（）A .B . ﹣35C . 35D . ﹣3. （2分） (2018高一上·庄河期末) 已知，，则直线通过（）A . 第一、二、三象限B . 第一、二、四象限C . 第一、三、四象限D . 第二、三、四象限4. （2分）在△ABC中，“A=”是“cosA=“的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2015高一上·扶余期末) 已知一圆的圆心为（2，﹣3），一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是（）A . （x﹣2）2+（y+3）2=13B . （x+2）2+（y﹣3）2=13C . （x﹣2）2+（y+3）2=52D . （x+2）2+（y﹣3）2=526. （2分）正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，BD与B1C所成的角是（）A . 90°B . 60°C . 45°D . 30°7. （2分） (2017高一上·济南月考) 如图所示，和都是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，下列说法中错误的是（）A . 平面B . 平面C . 平面D . 平面8. （2分）已知A(m，3)，B(2m，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为（）A . 1B . 0C . 0或2D . 0或19. （2分） (2017高一上·舒兰期末) 已知直线l：3x+4y+m=0（m＞0）被圆C：x2+y2+2x﹣2y﹣6=0所截的弦长是圆心C到直线l的距离的2倍，则m=（）A . 6B . 8C . 9D . 1110. （2分） (2012·天津理) 设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A . [1﹣，1+ ]B . （﹣∞，1﹣]∪[1+ ，+∞）C . [2﹣2 ，2+2 ]D . （﹣∞，2﹣2 ]∪[2+2 ，+∞）二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分） (2016高二上·襄阳期中) 点（3，1）关于直线y=x对称的点的坐标是________．12. （1分） (2015高二下·仙游期中) 已知椭圆的中心是原点，长轴AB在x轴上，点C在椭圆上，且∠CBA=，若AB=4，BC= ，则椭圆的方程为________．13. （1分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为________14. （1分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________ （注：把你认为正确的结论的序号都填上）．15. （1分）下列结论不正确的是________（填序号）.①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥；③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥；④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线.16. （1分）已知直线2x+y+c=0与曲线有两个公共点，则c的取值范围是________．三、解答题 (共4题；共35分)17. （10分） (2016高二上·南昌期中) 解答题（1）（1）要使直线l1：（2m2+m﹣3）x+（m2﹣m）y=2m与直线l2：x﹣y=1平行，求m的值．（2）直线l1：ax+（1﹣a）y=3与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，求a的值．18. （5分） (2017高三·三元月考) 如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．19. （15分） (2018高二上·淮安期中) 已知圆M的方程为，直线l的方程为，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA ， PB ，切点为A ， B ．（1）若，试求点P的坐标；（2）求四边形PAMB面积的最小值及此时点P的坐标；（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．20. （5分） (2017高三上·山西开学考) 已知椭圆E： + =1（a＞b＞0）的离心率e= ，并且经过定点P（，）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）问是否存在直线y=﹣x+m，使直线与椭圆交于A、B两点，满足• = ，若存在求m值，若不存在说明理由．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共4题；共35分) 17-1、17-2、19-1、19-2、19-3、20-1、第11 页共11 页。
江苏南京2024年高二上学期11月期中调研数学试题
江苏省南京市2024-2025学年高二上学期11月期中学情调研测试数学试题注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1.下列四组数据中，方差最小的是A.5，5，5，5，5，5，5，5B.4，4，4，5，5，5，6，6C.3，3，4，4，5，6，6，7D.2，2，2，2，2，5，8，82.已知i 13i z ⋅=+，则z =A.3i −+B.3i −−C.3i +D.3i −3.直线310x +=的倾斜角为 A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π64.两条渐近线互相垂直的双曲线的离心率为5.若方程22171x y m m +=−−表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是 A.(,1)−∞ B.(1,4) C.(4,7) D.(7,)+∞6.底面直径与高相等的圆柱的体积为2π，则该圆柱的外接球的表面积为A.6πB.8πC.10πD.12π 7.已知点(0,0),(3,0)O A ，若圆2230x y tx ++−=上任意一点P 都满足||2||PA PO =，则实数t =A.-3B.-2C.2D.3 8.抛物线2:4C x y =的准线为l ，M 为C 上的动点，则点M 到l 与到直线250x y −−=的距离之和的最小值为二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.9.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，记“第一枚硬币正面朝上”为事件A ，“第二枚硬币反面朝上”为事件B ，则 A.1()2P A = B.1()3P AB = C.A 和B 是互斥事件 D.A 和B 是相互独立事件10.在矩形ABCD 中，2,4AB AD ==.若13,42BE BC CF CD ==− ，则 B.//AC BF B.AE BD ⊥C.以CE 为直径的圆与直线BF 相切D.直线AE 与BF 的交点在矩形ABCD 的外接圆上 11.已知椭圆22:143x y C +=，直线y mx =与C 交于A ，B 两点，点P 为C 上异于A ，B 的动点，则A.当12m =时，||AB = B.||PA PB +C.存在点P ，使得π2APB ∠= D.ABP S 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.若直线1:210l x my ++=与2:(1)30l m x y −+−=垂直，则实数m =______.13.已知π3cos ,45x x+=∈ ，则sin x =______. 14.历史上最早系统研究圆锥曲线的是古希腊学者梅纳库莫斯，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽地研究了圆锥曲线，他的研究涉及圆锥曲线的光学性质，其中一条是：如图（1），从右焦点2F 发出的光线m 交双曲线右支于点P ，经双曲线反射后，反射光线n 的反向延长线经过左焦点1F ．已知图（2）中，双曲线C 的中心在坐标原点，左、右焦点分别为12(4,0),(4,0)F F −，直线l 平分12F PF ∠，过点2F 作l 的垂线，垂足为H ，且||2OH =.则当反射光线n 经过点(8,5)M 时，2||F P PM +=______.四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2cos a C c A b A +=.（1）求A ；（2）若2,4a b c =+=，求ABC 的面积.16.已知点(4,2)A 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，直线l 经过点A ，且在y 轴上的截距为-2.（1）求p 的值和直线l 的方程；（2）记l 与C 的另一个交点为B ，求经过O ，A ，B 三点的圆的方程.17.在四面体P ABC 中，M ，N 分别为PC ，BC 的中点.（1）证明：PB //平面AMN ；（2）若PC ⊥平面,2,3ABC PC AC ==，四面体P ABC 的体积为2，且cos ACB ∠，求MN 与平面P AC 所成角的正弦值.18.已知圆()2224C x y ++=：，圆222:(2)(0D x y r r −+=<<，过点(0,1)P 作圆D 的切线，切线的长为2．（1）求圆D 的方程；（2）直线l 经过点P ，且与圆C 交于A ，B 两点，||AB =①求l 的方程和CA CB ⋅ 的值；②若动圆E 与圆C 外切，且与圆D 内切，求动圆圆心E 到点P 距离的最小值.19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为,||B AB =. （1）求E 的方程；（2）直线l 平行于直线AB ，且与E 交于M ，N 两点，①P ，Q 是直线AB 上的两点，满足四边形MNPQ 为矩形，且该矩形的面积等于21||3MN ，求l 的方程； ②当直线AM ，BN 斜率存在时，分别将其记为12,k k ，证明：12k k ⋅为定值.。
江苏省南京市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷(word版附答案)
江苏省南京市2019-2020学年高二上学期期中考试注意事项：1．本试卷共4页，包括选择题（第1题~第12题）、填空题(第13题～第16题)、解答题(第17题～第22题)三部分。
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置。
3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：线性回归方程 y ∧＝bx ＋a ；回归系数b ＝∑ni ＝1x i y i －n －x －y∑n i ＝1x i 2－n －x2，a ＝－y －b －x ；球的表面积S ＝4πR 2，其中R 为球的半径．一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共计48分．其中第1至第10题为单选题，第11、12题为多选题．1．若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋2y －2＝0互相垂直，则实数a 的值是( )A ．1B ．－1C ．4D ．－42．已知向量a ＝(0，1，1)，b ＝(1，－2，1)．若向量a ＋b 与向量c ＝(－2，m ，－4)平行，则实数m 的值是( )A ．2B ．－2C ．10D ．－10 3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－y 22＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±22x C ．y ＝±3x D ．y ＝±33x4．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得－x ＝10，－y ＝8，线性回归方程y ∧＝0.76x ＋a ．据此估计，该社区一户年收入为20万元家庭年支出为( )A ．15.2万元B ．15.6万元C ．16万元D ．16.2万元 5．如图，已知一个圆柱的底面半径为3，高为2，若它的两个底面圆周均在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A ．32π3 B ．16πC ．8πD ．4π6．如图，在四面体ABCD 中，点M 是棱BC 上的点，且BM ＝2MC ，点N 是棱AD 的中点．若MN →＝x AB →＋y AC →＋zAD →，其中x ，y ，z 为实数，则xyz 的值是( )A ．－19B ．－18C ．19D ． 187．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点P (1，2)，且被圆O ：x 2＋y 2＝9截得的弦长为42，则直线l 的方程为( )A ．3x －4y ＋5＝0B ．3x ＋4y －11＝0C ．x ＝1或3x －4y ＋5＝0D ．x ＝1或3x ＋4y －11＝0 8．已知cos(α＋π4)＝1010，则sin2α的值是( )A ．－45B ．－25C ．25D ．459．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，交抛物线于A ，B 两点，且线段AB 中点的横坐标为3，则线段AB 的长为( )A ．6B ．7C ．8D ．1010．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (4，0)，点A ，B 在双曲线C ：x 24－y 2＝1上，且AP →＝3PB →，则直线AB 的斜率为( )A ．±32B ．±52C ．±1D ．±32（第5题图）O注：以下两题为多选题，每小题有多个选项符合题意．全部选对得4分，选对但不全的得2分，错选或不答的得0分．11．已知两条直线l ，m 及三个平面α，β，γ，下列条件中能推出α⊥β的是( ) A. l ⊥α，l ⊥β B ．l ⊥α，m ⊥β，l ⊥mC ．α⊥γ，β∥γD ．l ⊥α，m ⊥β，l ⊥m12．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两个定点F 1(－1，0)和F 2(1，0)的距离之积等于8，记点P 的轨迹为曲线E ，则A ．曲线E 经过坐标原点B ．曲线E 关于x 轴对称C ．曲线E 关于y 轴对称D ．若点(x ，y )在曲线E 上，则－3≤x ≤3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 23－y 2＝1的焦距为 ▲ ．若双曲线C 的右焦点与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆E 的离心率是 ▲ ．15．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是：每个大于2的偶数可以表示为两个质数的和，如14＝3＋11．在不超过15的质数中，随机选取2个不同的数，其和不等于16的概率是 ▲ ．16．已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，底面边长和侧棱长均为2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，则对角线AC 1的长为 ▲ ．三、解答题：本题共6小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知12(a cos C ＋c cos A )＝13b cos B ． （1）求cos B ；（2）若a ＋c ＝15，且△ABC 的面积为5，求b 的值． 18．（本小题满分12分）某家庭记录了未使用节水龙头30天的日用水量数据（单位：m 3）和使用了节水龙头30天的日用水量数据，得到频数分布表如下：（一）未使用节水龙头30天的日用水量频数分布表日用水量0.2，0.30.3，0.40.4，0.50.5，0.60.6，0.7] 频数 2 3 8 12 5（二）使用了节水龙头30天的日用水量频数分布表日用水量0.1，0.20.2，0.30.3，0.40.4，0.50.5，0.6] 频数 2 5 11 6 6 （1）估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于0.4 m3的概率；（2）估计该家庭使用节水龙头后，平均每天能节省多少水？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）19．（本小题满分14分）如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，且∠P AB＝∠PDC＝90°．（1）求证：AB⊥平面P AD；（2）若点E，F分别是棱PD，BC的中点，求证：EF∥平面P AB．20．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，AA1＝3．（1）点D 在棱AA 1上，且BD ⊥A 1C ，求AD 的长； （2）求二面角C －A 1B 1－B 的大小．21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a _x001F_2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率e ＝53．过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为125． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点A 位于第一象限，且AF 1⊥AF 2，求△ABF 2的外接圆的方程．22．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，点A (－2，0)，过动点P 作直线x ＝－4的垂线，垂足为M ，且AM →·AP →＝－4．记动点P 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）过点A 的直线l 交曲线E 于不同的两点B ，C ． ① 若B 为线段AC 的中点，求直线l 的方程；② 设B 关于x 轴的对称点为D ，求△ACD 面积S 的取值范围．参考答案一、选择题：1．D 2．A 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．D 9．C 10．B 11．ABC 12．BCD二、填空题： 13．4；4 14．22 15．131516．2 5 三、解答题：17．（本小题满分12分）解：（1）因为12(a cos C ＋c cos A )＝13b cos B ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C得12(sin A cos C ＋sin C cos A )＝13sin B cos B ，……… 2分 因此12sin(A ＋C )＝13sin B cos B ． ……………………………… 4分 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以12sin(π－B )＝13sin B cos B ， 于是12sin B ＝13sin B cos B ，因为B ∈(0，π)，所以sin B ＞0，所以cos B ＝1213． ……………………………… 6分（2）由（1）知cos B ＝1213，sin B ＞0，所以sin B ＝1－cos 2B ＝513． ……………… 8分因为△ABC 的面积为5，即S △ABC ＝12ac sin B ＝5，所以526ac ＝5，即ac ＝26． ………………………………… 10分又因为a ＋c ＝15，所以 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2413ac ＝(a ＋c )2－5013ac ＝152－5013×26＝125，因此b ＝55． ………………………………… 12分 18．（本小题满分12分）解：（1）根据表格（二），估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于0.4m 3的频数为2＋5＋11＝18， ………………………… 2分 所以所求的概率约为1830＝0.6， 即该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.4m 3的概率的估计值为0.6． ………… 5分 （2）该家庭未使用节水龙头30天日用水量的平均数为—x 1＝130(2×0.25＋3×0.35＋8×0.45＋12×0.55＋5×0.65)＝0.5； ……………… 8分 该家庭使用了节水龙头后30天日用水量的平均数为 —x 2＝130(2×0.15＋5×0.25＋11×0.35＋6×0.45＋6×0.55)＝0.38； …………… 10分 —x 1－—x 2＝0.5－0.38＝0.12．因此，使用节水龙头后，平均每天能节省的水量估计为0.12 m 3． ………… 12分 19．（本小题满分14分）证明：（1）在四棱锥P －ABCD 中，因为∠P AB ＝∠PDC ＝90°，所以AB ⊥P A ，DC ⊥PD ． …………………… 2分 又因为四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，所以AB ∥DC ，所以AB ⊥PD ． …………………………… 4分 因为P A ∩PD ＝P ，P A ，PD 平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD ． …………… 6分 （2）如图，取AD 的中点G ，连EG ，GF ．在△P AD 中，因为E 是棱PD 的中点， 所以EG ∥P A ．又EG 平面P AB ，PA 平面P AB ， 所以EG ∥平面P AB ．…………… 8分在平行四边形ABCD 中，G ，F 分别是棱AD ，BC 的中点， 所以AG ＝BF ＝12BC ，AG ∥BF ，所以四边形ABFG 是平行四边形，所以 FG ∥BA ．又FG ⊥平面P AB ，AB ⊥平面P AB ，所以FG ∥平面P AB ． …………… 11分 因为EG ∩FG ＝G ，EG ，FG ⊥平面EFG ，所以平面EFG ∥平面P AB ． 又EF ⊥平面EFG ，所以EF ∥平面P AB ． ………………… 14分 20．（本小题满分14分）解：（1）如图，在△ABC 中，过A 作AB 的垂线交BC 于E ．在直三棱锥ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ， 所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AE ．分别以AE ，AB ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系A —xyz ． …………………… 2分 因为AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，AA 1＝3，所以C (3，－1，0)，B (0，2，0)，A 1(0，0，3) ……………………… 4分因为点D 在棱AA 1上，设D (0，0，a )，则BD →＝(0，－2，a )，A 1C →＝(3，－1，－3)．因为BD ⊥A 1C ，所以2－3a ＝0，解得a ＝23．所以AD ＝23． ………………………… 6分（2）平面ABB 1A 1的一个法向量为n 1＝(1，0，0)．又B 1(0，2，3)，所以 CA 1→＝(－3，1，3)，CB 1→＝(－3，3，3)．设平面A 1B 1C 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )，由n 2⊥CA 1→，n 2⊥CB 1→，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＋3z ＝0，－3x ＋3y ＋3z ＝0，所以y ＝0．取x ＝3，则z ＝1，所以平面A 1B 1C 的一个法向量为n 2＝(3，0，1)． ……………… 10分| n 1|＝1，| n 2|＝2，n 1·n 2＝3，所以cos ＜n 1，n 2＞＝n 1·n 2| n 1|| n 2|＝32， …………………… 12分又＜n 1，n 2＞∈[0，π]，从而＜n 1，n 2＞＝π6．根据图形可知，二面角C －A 1B 1－B 大小的为π6． ………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）因为椭圆C ：x 2a _x001F_2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝53，所以c a ＝53． ①又△ABF 2的周长为125，所以4a ＝125． ② 联立①②，解得a ＝35，c ＝5， 从而b 2＝a 2－c 2＝20，因此椭圆C 的方程为x 245＋y 220＝1． ……………………………… 4分（2）因为点A 位于第一象限，故设A (x 1，y 1)，其中x 1＞0，y 1＞0．因为AF 1⊥AF 2，所以AF 1→·AF 2→＝0，又点A 在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1245＋y 1220＝1，x 12＋y 12＝25，解得x 12＝9，从而x 1＝3，y 1＝4． ……………………… 7分由（1）知，椭圆C 的左焦点为F 1(－5，0)，所以直线l 的方程为y ＝12(x ＋5)．由⎩⎨⎧y ＝12(x ＋5)，x 245＋y 220＝1，得5x 2＋18x －99＝0，解得x ＝3或－335．所以B (－335，－45)． ……………………………… 11分因为∠F 1AF 2＝90°，所以△ABF 2的外接圆就是以BF 2为直径的圆． 又椭圆C 的右焦点为F 2(5，0)，所以线段BF 2的中点M 的坐标为(－45，－25)，此时MF 2＝135，故△ABF 2的外接圆的方程为(x ＋45)2＋(y ＋25)2＝1695． ………………………… 14分22．（本小题满分16分）解：（1）设P (x ，y )，则M (－4，y )．因为A (－2，0)，所以AM →＝(－2，y )，AP →＝(x ＋2，y )， 因为AM →·AP →＝－4，所以－2x －4＋y 2＝－4，即y 2＝2x ．所以曲线E 的方程为y 2＝2x ． ………………………………… 3分 （2）① 若直线l 的斜率不存在，则l 与曲线E 无公共点，因此l 的斜率存在；若l 的斜率为0，则l 与曲线E 只有一个公共点，因此l 的斜率不为0． 设l ：y ＝k (x ＋2)，k ≠0，由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝2x ，得y 2－2k y ＋4＝0，于是∆＝4k 2－16＞0，解得－12＜k ＜12且k ≠0．设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝4． …………………… 7分因为B 为线段AC 的中点，所以y 2＝2y 1． 又y 1＋y 2＝2k ，所以y 1＝23k ，y 2＝43k，因此y 1y 2＝89k 2＝4，所以k ＝±23，符合－12＜k ＜12且k ≠0，于是k ＝±23，此时直线l 的方程为y ＝±23(x ＋2)． …………………… 9分② 因为点B ，D 关于x 轴对称，所以D (x 1，－y 1)，于是点D 到直线l 的距离为d ＝|kx 1＋y 1＋2k |1＋k 2．因为y 1＝k (x 1＋2)，所以d ＝2|y 1|1＋k 2． ………………………… 11分又AC ＝1＋k 2|x 2＋2|，所以S ＝121＋k 2|x 2＋2|×2|y 1|1＋k 2＝|(x 2＋2)y 1|＝|(y 222＋2)y 1|．因为y 1y 2＝4，y 1＋y 2＝2k ，所以S ＝|2y 2＋2y 1|＝4|k |． ……………………… 14分又因为－12＜k ＜12且k ≠0，因此S ＞8，即△ACD 面积S 的取值范围为(8，＋∞)． ………………………… 16分。
高二期中考试(数学)试卷含答案解析
高二期中考试（数学）（考试总分：150 分）一、单选题（本题共计12小题，总分60分）1.（5分）1．2i12i-=+（）A．1 B．−1 C．i D．−i2.（5分）2．函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣1B．y＝﹣2x+1C．y＝2x﹣3D．y＝2x+13.（5分）3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A．120种B．90种C．60种D．30种4.（5分）4．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62% B．56%C．46% D．42%5.（5分）5．设一组样本数据x1，x2，…，x n的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10x n的方差为（）A．0.01B．0.1C．1D．106.（5分）6．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：[)[)[)[]5.31,5.33,5.33,5.35,,5.45,5.47,5.47,5.49，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（）A．10B．18C ．20D ．367.（5分）7．在5(2)x -的展开式中，2x 的系数为（ ）．A ．5-B ．5C ．10-D ．108.（5分）8．要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A ．2种B ．3种C ．6种D ．8种9.（5分）9．北京2022年冬奥会和冬残奥会色彩系统的主色包括霞光红､迎春黄､天霁蓝､长城灰､瑞雪白；间色包括天青､梅红､竹绿､冰蓝､吉柿；辅助色包括墨､金､银.若各赛事纪念品的色彩设计要求：主色至少一种､至多两种，间色两种､辅助色一种，则某个纪念品的色彩搭配中包含有瑞雪白､冰蓝､银色这三种颜色的概率为（ ） A ．8225B ．245C ．115D ．21510.（5分）10．如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12.设1≤i <j <k ≤12．若k –j =3且j –i =4，则称a i ，a j ，a k 为原位大三和弦；若k –j =4且j –i =3，则称a i ，a j ，a k 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ） A ．5B ．8C ．10D ．1511.（5分）11．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名12.（5分）12．已知定义在（0，+∞）上的连续函数()y f x =满足：()()x xf x f x xe '-=且(1)3f =-，(2)0f =．则函数()y f x =（ ）A ．有极小值，无极大值B ．有极大值，无极小值C ．既有极小值又有极大值D ．既无极小值又无极大值二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13．设函数e ()xf x x a =+．若(1)4e f '=，则a =_________．14.（5分）14．262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．15.（5分）15．设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +=，则12||z z -=__________.16.（5分）16．已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．（10分）已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围.18.（12分）18．（12分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix==∑，2011200i i y ==∑，2021)80i i x x =-=∑（，2021)9000i iy y =-=∑（，201))800i i i x y x y =--=∑（（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r =12211))))ni iiiin ni i x y x x y y y x ===----∑∑∑（（（（，≈1.414.19.（12分）19．（12分）已知函数3()6ln f x x x =+，()'f x 为()f x 的导函数．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅰ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； 20.（12分）20．（12分）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ． （1）求p 1、q 1和p 2、q 2；（2）求X 2的分布列和数学期望E (X 2) ．21.（12分）21．（12分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，22.（12分）22．（12分）已知12a <≤，函数()e xf x x a =--，其中e =2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0)+∞，上有唯一零点； （Ⅰ）记x 0为函数()y f x =在(0)+∞，上的零点，证明：（Ⅰ0x ≤≤； （Ⅰ）00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．答案一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分） 1.（5分）1D 2.（5分） 2B 3.（5分） 3 C 4.（5分） 4C 5.（5分） 5C 6.（5分）6B 7.（5分） 7C 8.（5分） 8 C 9.（5分） 9 B 10.（5分） 10C 11.（5分） 11 B 12.（5分） 12 A二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分） 13.（5分）13．1 14.（5分） 14． 24015.（5分） 15． 16.（5分） 16．45三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．（10分）【解】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.……（5分）（2）()()()()22222121211f x x a x a x a x a aa a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞.……（10分）18.（12分）18．（12分）【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【解】（1）样区野生动物平均数为201111200602020i i y ==⨯=∑， 地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000⨯=……（4分） （2）样本(,)i i x y (i =1，2，…，20)的相关系数为20()()0.943iix x y y r --===≈∑……（4分）（3）由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性， 由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从俄各地块间这种野生动物的数量差异很大， 采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计. ……（4分）19.（12分）19．（12分） 【答案】（Ⅰ）98y x =-；（Ⅰ）()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值；【解】(Ⅰ) ∵()36ln f x x x =+，()26'3f x x x=+.可得()11f =，()'19f =， ∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-.…4分 （Ⅰ） 依题意，()()32336ln ,0,g x x x x x x=-++∈+∞. 从而可得()2263'36g x x x x x =-+-，整理可得：323(1)(1)()x x g x x '-+=，令()'0g x =，解得1x =.当x 变化时，()()',g x g x 的变化情况如下表：，+∞)； g (x )的极小值为g (1)=1，无极大值. ……（12分）20.（12分）20．（12分）【答案】（1）112212716,,332727p q p q ====；；（2）；详见解析【解】（1）11131232,333333p q ⨯⨯====⨯⨯， 211131211227++3333333927p p q ⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯， 211231122222516+0+3333333927q p q ⨯⨯+⨯=⨯⨯+=⨯⨯=⨯⨯.……（8分） （2）227(2)27P X p ===；2216(1)27P X q ===；22124(0)33327P X ==⨯⨯=；∴2X 的分布列为故210()9E X =.；……（12分） 21.（12分）21．（12分）【答案】（1）0.64；（2）答案见解析；（3）有.【解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天，所以该市一天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率为640.64100=；……（4分） （2）由所给数据，可得22⨯列联表为：（3）根据22⨯列联表中的数据可得222()100(64101610)()()()()80207426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯36007.4844 6.635481=≈>，因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关. ……（12分）22.（12分）22．（12分）【答案】（I ）证明见解析，（II ）（i ）证明见解析，（ii ）证明见解析. 【解】（I ）()1,0,1,()0,()x x f x e x e f x f x ''=->∴>∴>∴在(0,)+∞上单调递增，2212,(2)240,(0)10a f e a e f a <≤∴=--≥->=-<，所以由零点存在定理得()f x 在(0,)+∞上有唯一零点；……（4分） （II ）（i ）000()0,0xf x e x a =∴--=，002000012(1)xxx e x x e x ≤⇔--≤≤--，令22()1(02),()1(02),2xxx g x e x x x h x e x x =---<<=---<<一方面：1()1(),xh x e x h x '=--= 1()10x h x e '=->，()(0)0,()h x h h x ''∴>=∴在(0,2)单调递增，()(0)0h x h ∴>=，2210,2(1)2xx x e x e x x ∴--->-->，另一方面：1211a a <≤∴-≤，所以当01x ≥0x ≤成立，因此只需证明当01x <<时2()10x g x e x x =---≤，因为11()12()()20ln 2x x g x e x g x g x e x ''=--==-=⇒=， 当(0,ln 2)x ∈时，1()0g x '<，当(ln 2,1)x ∈时，1()0g x '>， 所以()max{(0),(1)},(0)0,(1)30,()0g x g g g g e g x ''''''<==-<∴<，()g x ∴在(0,1)单调递减，()(0)0g x g ∴<=，21x e x x ∴--<，综上，002000012(1),x xex x e x x ∴--≤≤--≤≤（8分）（ii ）0000000()()()[(1)(2)]xa a t x x f e x f x a x e x a e ==+=-+-，00()2(1)(2)0a a t x e x a e '=-+->0x ≤，0()(2)](1)(1)2)a a a a t x t e a e e a e ∴≥=--=--+-，因为12a <≤，所以,2(1)ae e a a >≥-，0()(1)(1)2(2)a t x e a a e ∴≥--+--，只需证明22(2)(1)(1)a a e e a --≥--， 即只需证明224(2)(1)(1)ae e a -≥--， 令22()4(2)(1)(1),(12)as a e e a a =----<≤， 则22()8(2)(1)8(2)(1)0aas a e e e e e e '=---≥--->，2()(1)4(2)0s a s e ∴>=->，即224(2)(1)(1)a e e a -≥--成立，因此()0x 0e (e 1)(1)x f a a≥--.……（12分）。
2019-2020江苏南京市高二上学期期中考试数学试卷及答案
x1
1 30
(2
0.25
3
0.35
8
0.45
12
0.55
5
0.65)
0.5
；
该家庭使用了节水龙头后 30 天日用水量的平均数为
x2
1 30
(2 0.15 5 0.25 11 0.35
6 0.45
6 0.55)
0.38
；
x1 x2 0.5 0.38 0.12 . 因此，使用节水龙头后，平均每天能节省的水量估计为 0.12m3 . 19、证明：（1）在四棱锥 P ABCD 中， 因为 PAB PDC 90 ，所以 AB PA, DC PD . 又因为四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，所以 AB / /DC ， 所以 AB PD . 因为 PA PD P, PA, PD 平面 PAD ，所以 AB 平面 PAD . （2）如图，取 AD 的中点 G ，连 EG, GF .
8
7．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 过点 P 1, 2 ，且被圆 O ： x2 y2 9 截得的弦
长为 4 2 ，则直线 l 的方程为（ ） A． 3x 4 y 5 0
B． 3x 4y 11 0
C． x 1 或 3x 4 y 5 0
D． x 1 或 3x 4y 11 0
12．在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 到两个定点 F1(1, 0) 和 F2 (1, 0) 的距离之积等
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于 8，记点 P 的轨迹为曲线 E ，则（ A．曲线 E 经过坐标原点 C．曲线 E 关于 y 轴对称
）
B．曲线 E 关于 x 轴对称
D．若点 x, y 在曲线 E 上，则 3 ≤ x ≤ 3
2023-2024学年人大附中高二数学上学期期中考试卷附答案解析
2023-2024学年人大附中高二数学上学期期中考试卷（试卷满分150分，考试时间120分钟）2023.11第I 卷（共18题，满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.）1．已知平面//α平面β，直线a α⊂，直线b β⊂，则a 与b 的位置关系是（）A ．平行B ．平行或异面C ．异面D ．异面或相交2．已知点()3,1,0A -，若向量()2,5,3AB =-，则点B 的坐标是（）.A ．()1,6,3-B ．()5,4,3-C ．()1,6,3--D ．()2,5,3-3．一个水平放置的平面图形OAB 用斜二测画法作出的直观图是如图所示的等腰直角O A B '''△，其中A B ''=，则平面图形OAB 的面积为（）A ．B ．C ．D ．4．已知1cos ,3a b 〈〉=-，则下列说法错误的是（）A ．若,a b分别是直线12,l l 的方向向量，则12,l l所成角余弦值是13B ．若,a b分别是直线l 的方向向量与平面α的法向量，则l 与α所成角正弦值是13C ．若,a b分别是平面ABC 、平面BCD 的法向量，则二面角A BC D --的余弦值是13D ．若,a b分别是直线l 的方向向量与平面α的法向量，则l 与α所成角余弦值是223.5．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是A ．B ．C ．D ．6．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是矩形，其中2AB =，4=AD ，13AA =，且1160A AD A AB ∠=∠=︒，则线段1AC 的长为（）A ．9B C D ．7．如图，已知大小为60︒的二面角l αβ--棱上有两点A ，B ，,AC AC l α⊂⊥，,BD BD l β⊂⊥，若3,3,7AC BD CD ===，则AB 的长度（）A ．22B ．40C ．D 8．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为A ．41πB ．42πC ．43πD ．44π9．如图，1111ABCD A B C D -是棱长为4的正方体，P QRH -是棱长为4的正四面体，底面ABCD ,QRH 在同一个平面内，//BC QH ，则正方体中过AD 且与平面PHQ 平行的截面面积是A ．．C ．．10．《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是：如图，沿正方体对角面11A B CD 截正方体可得两个壍堵，再沿平面11B C D 截壍堵可得一个阳马（四棱锥1111D A B C D -），一个鳖臑（三个棱锥11D B C C -），若P 为线段CD 上一动点，平面α过点P ，CD ⊥平面α，设正方体棱长为1，PD x =，α与图中鳖臑截面面积为S ，则点P 从点D 移动到点C 的过程中，S 关于x 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）11．已知正方形ABCD 的边长为2，则AB AC =+ .12．已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则此圆锥的表面积为.13．平面与平面垂直的判定定理符号语言为：.14．在移动通信中，总是有很多用户希望能够同享一个发射媒介，进行无线通信，这种通信方式称为多址通信.多址通信的理论基础是：若用户之间的信号可以做到正交，这些用户就可以同享一个发射媒介.在n 维空间中，正交的定义是两个n 维向量()()1212,,,,,,,n n a x x x b y y y =⋯=⋯满足11220n n x y x y x y ++⋯+=.已知某通信方式中用户的信号是4维非平向量，有四个用户同享一个发射媒介，已知前三个用户的信号向量为22(0,0,0,1),(0,0,1,0),,,0,022⎫⎪⎪⎝⎭.写出一个满足条件的第四个用户的信号向量.15．一个三棱锥的三个侧面中有一个是边长为2的正三角形，另两个是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积可能为.三、解答题（本大题共3小题，共35分.解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）16．已知空间直角坐标系中四个点的坐标分别为：(1,1,1),(1,2,3),(4,5,6),(7,8,)A B C D x .(1)求||AC ；(2)若AB CD ⊥ ，求x 的值；(3)若D 点在平面ABC 上，直接写出x 的值.17．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，BC 平面PAD ，12BC AD =，E 是PD 的中点.(1)求证：BC AD ∥；(2)求证：CE 平面PAB ；(3)若M 是线段CE 上一动点，则线段AD 上是否存在点N ，使MN 平面PAB ？说明理由.18．如图所标，已知四棱锥E ABCD -中，ABCD 是直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=︒，平面EAB ⊥平面ABCD ，63AB BC BE AD AE =====,,(1)证明：BE ⊥平面ABCD ；(2)求B 到平面ADE 的距离；(3)求二面角A DE C --的余弦值.第Ⅱ卷（共8道题，满分50分）一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.）19．关于空间中的角，下列说法中正确的个数是（）①空间中两条直线所成角的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎣⎦②空间中直线与平面所成角的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦③空间中二面角的平面角的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎣⎦④空间中平面与平面所成角的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦A ．1B ．2C ．3D ．420．.如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别为边BC ，AD 的中点.将ABF △沿BF 所在直线进行翻折，将CDE 沿DE 所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法正确的是（）A ．点A 与点C 在某一位置可能重合B ．点A 与点C 3ABC ．直线AB 与直线DE 可能垂直D ．直线AF 与直线CE 可能垂直21．在正方体ABCD A B C D -''''中，P 为棱AA '上一动点，Q 为底面ABCD 上一动点，M 是PQ 的中点，若点,P Q 都运动时，点M 构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是（）A ．棱柱B ．棱台C ．棱锥D ．球的一部分22．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11A C 的中点，Q 为线段1BC 上的动点，则下列结论正确的是（）A ．存在点Q ，使得//PQ BDB ．存在点Q ，使得PQ ⊥平面11AB C DC ．三棱锥Q APD -的体积是定值D ．存在点Q ，使得PQ 与AD 所成的角为π6二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题纸上的相应位置.）23．如图，在边长为2正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在正方体表面上移动，且满足11B P D E ⊥，则点1B 和满足条件的所有点P 构成的图形的周长是.24．已知正三棱柱111ABC A B C -的所有侧棱长及底面边长都为2，D 是1CC 的中点，则直线AD 与平面1A BD所成角的正弦值为．25．点O 是正四面体1234A A A A 的中心，()11,2,3,4i OA i ==.若11223344OP OA OA OA OA λλλλ=+++ ，其中()011,2,3,4i i λ≤≤=，则动点P 扫过的区域的体积为.三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤.请将答案写在答题纸上的相应位置.）26．已知自然数集()*{1,2,3,,}N A n n =∈ ，非空集合{}()*12,,,N m E e e e A m =⊆∈ .若集合E 满足：对任意a A ∈，存在,(1)i j e e E i j m ∈≤≤≤，使得,,{1,0,1}i j a xe ye x y =+∈-，称集合E 为集合A 的一组m 元基底.(1)分别判断下列集合E 是否为集合A 的一组二元基底，并说明理由：①{1,2},{1,2,3,4,5}E A ==；②{2,3},{1,2,3,4,5,6}E A ==.(2)若集合E 是集合A 的一组m 元基底，证明：(1)n m m ≤+；(3)若集合E 为集合{1,2,3,,19}A = 的一组m 元基底，求m 的最小值.1．B【分析】利用直线与平面的位置关系判断即可.【详解】因为平面//α平面β，直线a α⊂，直线b β⊂，所以a 与b 没有交点，即a 与b 可能平行，也可能异面．故选：B.2．B【分析】根据空间向量的坐标表示可得.【详解】由空间向量的坐标表示可知，AB OB OA =-，所以()()()2,5,33,1,05,4,3OB AB OA =+=-+-=-，所以点B 的坐标为()5,4,3-.故选：B 3．B【分析】先求得原图形三角形的底与高的值，进而求得原图形的面积【详解】因为在直观图中，O A A B ''''=O B ''==，，高为2⨯=故原图形的面积为12=.故选：B4．C【分析】根据向量法逐一判断即可.【详解】对于A ：因为直线与直线所成角范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以12,l l 所成角余弦值为1cos ,3a b 〈〉= ，故A 正确；对于B ：因为直线与平面所成角范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以l 与α所成角正弦值3s n 1cos ,i a b θ〈=〉= ，l 与α所成223=，故BD 正确；对于C ：因为二面角的平面角所成角范围为[)0,p，所以二面角A BC D --的余弦值可能为负值，故C 错误；故选：C 5．B【分析】设三棱锥S ABC -的各棱长均相等，由,SC SH 确定的平面，得到截面SCD ∆，再由正四面体的性质和图象的对称性加以分析，同时对照选项，即可求解.【详解】如图所示，设三棱锥S ABC -的各棱长均相等，球O 是它的内切球，设H 为底面ABC ∆的中心，根据对称性可得内切球的球心O 在三棱锥的高SH 上，由,SC SH 确定的平面交AB 于D ，连接,AD CD ，得到截面SCD ∆，截面SCD 就是经过侧棱SC 与AB 中点的截面，平面SCD 与内切球相交，截得的球大圆如图所示，因为SCD ∆中，圆O 分别与,AD CE 相切于点,E H ，且SD CD =，圆O 与SC 相离，所对照各个选项，可得只有B 项的截面符合题意，故选B.【点睛】本题主要考查了正四面体的内切球的截面问题，其中解答中正确理解组合体的结构特征是解答的关键，着重考查了正四面体的性质，球的性质的应用，属于中档试题.6．C【分析】由11AC AC CC =+ ，两边平方，利用勾股定理以及数量积的定义求出2211,,2AC AC CC CC ⋅ 的值，进而可得答案【详解】由11AC AC CC =+ ，2222211111()2AC AC AC CC AC AC CC CC ==+=+⋅+ .因为底面ABCD 是矩形，2AB =，4=AD ，13AA =，所以2241620=AC AC =+= ，219CC = ，因为1160A AB A AD ∠=∠=，所以1123cos 603,43cos 606AB CC BC CC ⋅=⨯⨯=⋅=⨯⨯=所以()1111822()2()=23+6=1AC CC AB BC CC AB CC BC CC ⋅=+⋅=⋅+⋅，2112018947,47AC AC =++==故选：C.7．C【分析】过A 作AE BD 且AE BD =，连接,CE DE ，易得60CAE ︒∠=，通过线面垂直的判定定理可得ED ⊥平面AEC ，继而得到ED EC ⊥，由勾股定理即可求出答案.【详解】解：过A 作AE BD 且AE BD =，连接,CE DE ，则四边形ABDE 是平行四边形，因为BD AB ⊥，所以平行四边形ABDE 是矩形，因为BD l ⊥，即AE l ⊥，而AC l ⊥，则CAE ∠是二面角l αβ--的平面角，即60CAE ︒∠=，因为3BD AE AC ===，即ACE △为正三角形，所以3CE =，因为,ED AE l AC ⊥⊥，即ED AC ⊥，,,AE AC A AE AC ⋂=⊂平面AEC ，所以ED ⊥平面AEC ，因为EC ⊂平面AEC ，所以ED EC ⊥，所以在Rt EDC中，ED =AB ED ==故选：C8．A【解析】由于图形的对称性，只要求出一组正四棱柱的体对角线，即是外接圆的直径.【详解】由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角线的一半，即为14122=，∴该球形容器体积的最小值为：42π⨯=41π.故选：A.【点睛】本题考查了几何体的外接球问题，考查了空间想象能力，考查了转化思想，该类问题的一个主要方法是通过空间想象，把实际问题抽象成空间几何问题，属于中档题.9．C【分析】首先要根据面面平行的性质定理确定截面的形状，再根据正四面体的性质、等角定理等确定点,E F 的具体位置、AE 的长度，从而求出截面面积.【详解】设截面与1111,A B D C 分别相交于点,E F 则//EF AD ，过点P 作平面QRH 的垂线，垂足为O ，则O 是底面QRH的中心.设OR HQ G ⋂=，则EAB PGO ∠=∠，又因为4323RG RO OG ===，3PO ==，所以22sin sin 3PO EAB PGO PG ∠=∠==，所以43EA EA =⇒=，所以四边形AEFD的面积4S =⨯=选C.【点睛】本题考查正棱锥的平行关系、等角定理，考查空间想象能力，突显了直观想象的考查.属中档题.10．B【分析】分析得出11PMN CB C △△，可得出1PNxCC =，求出PMN S △关于x 的函数关系式，由此可得出合适的选项.【详解】设M 、N 分别为截面与1DB 、1DC 的交点，DP x =，01x ≤≤，CD ⊥ 平面PMN ，CD ⊥平面11B CC ，所以，平面//PMN 平面11B CC ，因为平面1DCC 平面PMN PN =，平面1DCC 平面111B CC CC =，所以，1//PN CC ，同理可得11//MN B C ，1//PM B C ，所以，111111PN DN MN DM PM DP x CC DC B C DB B C DC ======，所以，11PMN CB C △△，易知111111122CB C S B C CC =⋅=△，因此，112212PMN CB C S x S x ==△△.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查函数图象的辨别，解题的关键就是充分分析图形的几何特征，以此求出函数解析式，结合解析式进行判断.11．【分析】根据向量数量积以及模长公式即可求解.【详解】由题意可知π2,,4AB AC AB AC ===，24,2AB AC ∴=⋅=⨯故AB AC +===故答案为：12．3π【分析】由轴截面可确定圆锥底面半径和母线长，代入圆锥表面积公式即可.【详解】 圆锥轴截面是边长为2的等边三角形，∴圆锥底面半径1r =，圆锥母线长2l =，∴圆锥的表面积2ππ2ππ3πS rl r =+=+=.故答案为：3π.13．,a a αβαβ⊂⊥⇒⊥（答案不唯一）【分析】根据“平面与平面垂直的判定定理”写出正确答案.【详解】平面与平面垂直的判定定理：,a a αβαβ⊂⊥⇒⊥.故答案为：,a a αβαβ⊂⊥⇒⊥（答案不唯一）14．()1,1,0,0（答案不唯一）【分析】根据“正交”的定义列方程，从而求得正确答案.【详解】设满足条件的第四个用户的信号向量是(),,,x y z u ，则()()()(0,0,0,1),,,0(0,0,1,0),,,0,,,,022x y z u x y z u x y z u ⎧⎪⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪⎛⎫⎪-⋅=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，则00022u z x y ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎩，则0,u z x y ===，故一个满足条件的信号向量是()1,1,0,0.故答案为：()1,1,0,0（答案不唯一）15．（或3或，答案不唯一）【分析】根据已知条件进行分类讨论，结合三棱锥的体积公式求得正确答案.【详解】（1）BCD △是等边三角形，且,AB AC AD AC ⊥⊥，如下图所示，由于,,AB AD A AB AD =⊂ 平面ABD ，所以AC ⊥平面ABD，2,BC BD CD AB AD AC ======222,AB AD BD AB AD +=⊥，则1132A BCD V -=⨯.（2）BCD △是等边三角形，且,AB BD AB BC ⊥⊥，如下图所示，由于,,BD BC B BD BC ⋂=⊂平面BCD ，所以AB ⊥平面BCD ，2BC BD CD AB ====，所以112322sin 602323A BCD V -=⨯⨯⨯⨯︒⨯=.（3）BCD △是等边三角形，且,AB BD CD AC ⊥⊥，如下图所示，取AD 的中点O ，连接,OB OC ，则2BC BD CD AB ====，22AD =122OB OC AD ===222,OB OC BC OB OC +=⊥，,,,,AD OB AD OC OB OC O OB OC ⊥⊥⋂=⊂平面OBC ，所以AD ⊥平面OBC .所以112222232A BCD V -⎛=⨯⨯ ⎝.故答案为：23（或23或23，答案不唯一）.16．(1)92x =(3)9x =【分析】（1）根据空间向量的模求得正确答案.（2）根据向量垂直列方程，化简求得x 的值.（3）根据向量共面列方程，从而求得x 的值.【详解】（1）()3,4,5,AC AC ===（2）()()0,1,2,3,3,6AB CD x ==-，由于AB CD ⊥ ，所以3212290AB CD x x ⋅=+-=-= ，解得92x =.（3）()()0,1,2,3,4,5AB AC ==，设AD aAB bAC =+ ，即()()()()6,7,10,,23,4,53,4,25x a a b b b b a b a b -=+=++，所以6374125ba b x a b =⎧⎪=+⎨⎪-=+⎩，解得1,2,9a b x =-==.17．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)存在，证明见解析【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明；（2）由中位线、线面平行的性质可得四边形BCEF 为平行四边形，再根据线面平行的判定即可证明；（3）根据线面、面面平行的性质定理和判断定理即可判断存在性.【详解】（1）在四棱锥P ABCD -中，BC 平面PAD ，BC ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面PAD ，平面ABCD ⋂平面PAD AD =，所以BC AD ∥；（2）如下图，取F 为AP 中点，连接,EF BF ，由E 是PD 的中点，所以EF AD ∥且12EF AD =，由（1）知BC AD ∥，又12BC AD =，所以EF BC ∥且EF BC =，所以四边形BCEF 为平行四边形，故CE BF ∥，而CE ⊂平面PAB ，BF ⊄平面PAB ，则CE 平面PAB .（3）取AD 中点N ，连接CN ，EN ，因为E ，N 分别为PD ，AD 的中点，所以EN PA ∥，因为EN ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以EN 平面PAB ，线段AD 存在点N ，使得MN 平面PAB ，理由如下：由（2）知：CE 平面PAB ，又CE EN E = ，CE ⊂平面CEN ，EN ⊂平面CEN ，所以平面CEN 平面PAB ，又M 是CE 上的动点，MN ⊂平面CEN ，所以MN 平面PAB ，所以线段AD 存在点N ，使得MN 平面PAB .18．(1)证明详见解析(2)3222-【分析】（1）通过证明BE AB ⊥，结合面面垂直的性质定理证得BE ⊥平面ABCD.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得B 到平面ADE 的距离.（3）利用向量法求得二面角A DE C --的余弦值.【详解】（1）由于222AB BE AE +=，所以BE AB ⊥，由于平面EAB ⊥平面ABCD ，且交线为AB ，BE ⊂平面EAB ，所以BE ⊥平面ABCD .（2）由于BC ⊂平面ABCD ，所以BE BC ⊥，所以,,BC AB BE 两两相互垂直，由此建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()6,0,0,0,6,0,0,0,6,3,6,0C A E D，故()()3,0,0,0,6,6AD AE==-，设平面ADE的法向量为(),,m x y z=，则30660m AD xm AE y z⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，故可设()0,1,1m=，又()0,6,0BA=，所以B到平面ADE的距离为m BAm⋅==.（3）由（2）得平面ADE的法向量为()0,1,1 m=.而()()3,6,0,3,6,6CD ED=-=-，设平面CDE的法向量为(),,n a b c=，则3603660n CD a bn ED a b c⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，故可设()2,1,2n=，由图可知二面角A DE C--为钝角，设为θ，则cos2m nm nθ⋅=-==-⋅.19．C【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角范围判断即可.【详解】对于①：由空间中两条直线所成角的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎣⎦，可知①正确；对于②：由空间中直线与平面所成角的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，可知②正确；对于③：空间中二面角的平面角的取值范围是[]0,π，可知③错误；对于④：空间中平面与平面所成角的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎣⎦，可知④正确；故选：C20．D【分析】将ABF△沿BF所在直线进行翻折，将CDE沿DE所在直线进行翻折，在翻折过程中A，C的运动轨迹分别是圆，AB，AF是以BF为旋转轴的圆锥侧面；CE，CD是以DE为旋转轴的圆锥侧面；【详解】由题意，在翻折过程中A，C的运动轨迹分别是两个平行的圆，所以点A与点C不可能重合，故选项A错误；点A与点C的最大距离为正方形的对角线AC=，故选项B错误；由题易知直线BF与直线DE平行，所以直线AB与直线DE所成角和直线AB与直线BF所成角相等，显然直线AB与直线BF不垂直，故选项C错误；由题在正方形中直线AF 与直线CE 平行，设翻折后点A 为1A ，由题易知初始位置ππ,42AFB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，当ABF △沿BF 所在直线翻折到与平面BEDF 重合时，1π2,π2A FA AFB ⎛⎫∠=∠∈ ⎪⎝⎭所以在此连续变化过程中必存在1π2A FA ∠=，即1A F AF ⊥，所以1A F CE ⊥,所以翻折过程中，直线AF 与直线CE 可能垂直，故选项D 正确.故选：D.21．A【分析】先讨论P 点与A 点重合，M 点的轨迹，再分析把P 点从A 点向上沿1AA 移动，在移动的过程中M 点的轨迹，从而可得出结论.【详解】解：若P 点与A 点重合，设,AB AD 的中点分别为,E F ，移动Q 点，则此时M 点的轨迹为以,AE AF 邻边的正方形，再将P 点从A 点向上沿1AA 移动，在移动的过程中可得M 点的轨迹是将以,AE AF 邻边的正方形沿1AA 向上移动，最后当点P 与1A 重合时，得到最后一个正方形，故所得的几何体为棱柱.故选：A.22．B【分析】A 由11//BD B D 、11B D PQ P = 即可判断；B 若Q 为1BC 中点，根据正方体、线面的性质及判定即可判断；C 只需求证1BC 与面APD 是否平行；D 利用空间向量求直线夹角的范围即可判断.【详解】A ：正方体中11//BD B D ，而P 为线段11A C 的中点，即为11B D 的中点，所以11B D PQ P = ，故,BD PQ 不可能平行，错；B ：若Q 为1BC 中点，则1//PQ A B ，而11A B AB ⊥，故1PQ AB ⊥，又AD ⊥面11ABB A ，1A B ⊂面11ABB A ，则1A B AD ⊥，故PQ AD ⊥，1AB AD A ⋂=，1,AB AD ⊂面11AB C D ，则PQ ⊥面11AB C D ，所以存在Q 使得PQ ⊥平面11AB C D ，对；C ：由正方体性质知：11//BC AD ，而1AD 面APD A =，故1BC 与面APD 不平行，所以Q 在线段1BC 上运动时，到面APD 的距离不一定相等，故三棱锥Q APD -的体积不是定值，错；D ：构建如下图示空间直角坐标系D xyz -，则(2,0,0)A ，(1,1,2)P ，(2,2,)Q a a -且02a ≤≤，所以(2,0,0)DA = ，(1,1,2)PQ a a =--，若它们夹角为θ，则2222(1)|1|cos 2(1)1(2)233a a a a θ=⨯-++-⋅-+令1[1,1]t a =-∈-，则cos θ==，当(0,1]t ∈，则[)11,t ∈+∞，cos θ∈；当0=t 则cos 0θ=；当[1,0)t ∈-，则(]1,1t ∞∈--，2cos (0,]2θ∈；所以πcos 6=不在上述范围内，错.故选：B23．【分析】以点D 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，由坐标法证明11,D E MN D E AM ⊥⊥，从而得出满足条件的所有点P 构成的图形，进而得出周长.【详解】以点D 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，如图，取1,CC CD 的中点分别为,N M ，连接11,,,AM MN B N AB ，由于1AB MN ∥，所以1,,,A B N M 四点共面，且四边形1AB NM 为梯形，()()()()()12,0,0,0,1,0,0,2,1,0,0,2,1,2,0A M N D E ，()()()12,1,0,0,1,1,1,2,2AM MN D E =-==- ，因为11220,220AM D E MN D E ⋅=-+=⋅=-= 所以11,D E MN D E AM ⊥⊥，所以由线面垂直的判定可知1D E ⊥平面1AB NM ，即满足条件的所有点P 构成的图形为1AB NM ，由于11NM AB AM B N ===，则满足条件的所有点P构成的图形的周长为.故答案为：3225+24．10【分析】以A 为原点，建立空间直角坐标系，求得向量(0,2,1)AD = 和平面1A BD 的一个法向量为(3,1,2)n = ，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】如图所示，以A 为原点，过点A 垂直于AC 的直线为x 轴，以AC 和1AA 所在的直线分别为y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系，因为正四棱柱111ABC A B C -的所有侧棱长及底面边长都为2，可得1(0,0,0),(0,0,2),(3,1,0),(0,2,1)A A B D ，则11(0,2,1),(3,1,2),(0,2,1)AD A B A D ==-=- ，设平面1A BD 的法向量为(,,)n x y z = ，则1132020n A B y z n A D y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1y =，可得3,2x z ==，所以(3,1,2)n =，设直线AD 与平面1A BD 所成的角为θ，可得410sin cos ,5522AD n AD n AD n θ⋅====⨯ ，所以直线AD 与平面1A BD 所成的角的正弦值为105.故答案为：105.25．16391639【分析】将正四面体1234A A A A 放入正方体中，得到正方体的体对角线是12OA ，从而得到该正方体的边长，再根据条件得到P 扫过的区域的体积即可.【详解】图，作出正四面体1234A A A A ，将正四面体1234A A A A 放入正方体中，如下图所示：则O 是该正方体的中心，设该正方体的棱长为a ，则22212a a a ++=⨯，解得：233a =，又11223344OP OA OA OA OA λλλλ=+++ ，()011,2,3,4i i λ≤≤=，则知P 扫过的区域的边界是以该正方体的六个面作延伸的六个全等的正方体的中心为顶点的正方体，其中两个面如下图所示：可得动点P 扫过的区域的体积为该正方体体积的2倍，即动点P 扫过的区域的体积3233239V ⎛=⨯= ⎝⎭.故答案为：163.26．(1)①不是；②是(2)证明见解析(3)5【分析】（1）根据题干信息，利用二元基底的定义加以验证即可；（2）首先设12m e e e <<⋅⋅⋅<，计算出i j a xe ye =+的各种情况下的正整数个数并求出它们的和，结合题意可得：22C C m m m m n +++≥，即可得证：()1n m m ≤+；（3）由（2）可知()119m m +≥，所以4m ≥，并且得到结论“基底中元素表示出的数最多重复一个”，再讨论当4m =时，集合E 的所有情况均不可能是A 的4元基底，而当5m =时，A 的一个基底{}1,3,5,9,16E =，由此可得m 的最小值为5.【详解】（1）{}1,2E =不是{}1,2,3,4,5A =的一个二元基底理由是{}()412,1,0,1x y x y ≠⋅+⋅∈-{}2,3E =是{}1,2,3,4,5,6A =的一个二元基底理由是11213=-⨯+⨯；21203=⨯+⨯；30213=⨯+⨯；41212=⨯+⨯，51213=⨯+⨯，61313=⨯+⨯.（2）不妨设12m e e e <<⋅⋅⋅<，则形如()101i j e e i j m ⋅+⋅≤<≤的正整数共有m 个；形如()111i i e e i m ⋅+⋅≤≤的正整数共有m 个；形如()111i j e e i j m ⋅+⋅≤<≤的正整数至多有2C m 个；形如()()111i j e e i j m -+⋅≤<≤的正整数至多有2C m 个；又集合{}1,2,3,,A n =⋅⋅⋅含有n 个不同的正整数，E 为集合A 的一个m 元基底.故22C C m m m m n +++≥，即()1m m n +≥.（3）由（2）可知()119m m +≥，所以4m ≥.当4m =时，()1191m m +-=，即用基底中元素表示出的数最多重复一个.假设{}1234,,,E e e e e =为{}1,2,3,,19A =⋅⋅⋅的一个4元基底，不妨设1234e e e e <<<，则410e ≥.当410e =时，有39e =，这时28e =或27e =.如果28e =，则1109=-，198=-，1899=+，18108=+，重复元素超出一个，不符合条件；如果27e =，则16e =或15e =，易知{}6,7,9,10E =和{}5,7,9,10E =都不是{}1,2,3,,19A =⋅⋅⋅的4元基底，不符合条件；当411e =时，有38e =，这时27e =，16e =，易知{}6,7,8,11E =不是{}1,2,3,,19A =⋅⋅⋅的4元基底，不符合条件；当412e =时，有37e =，这时26e =，15e =，易知{}5,6,7,12E =不是{}1,2,3,,19A =⋅⋅⋅的4元基底，不符合条件；当413e =时，有36e =，这时25e =，14e =，易知{}4,5,6,13E =不是{}1,2,3,,19A =⋅⋅⋅的4元基底，不符合条件；当414e =时，有35e =，这时24e =，13e =，易知{}3,4,5,14E =不是{}1,2,3,,19A =⋅⋅⋅的4元基底，不符合条件；当415e =时，有34e =，这时23e =，12=e ，易知{}2,3,4,15E =不是{}1,2,3,,19A =⋅⋅⋅的4元基底，不符合条件；当416e =时，有33e =，这时22e =，11e =，易知{}1,2,3,16E =不是{}1,2,3,,19A =⋅⋅⋅的4元基底，不符合条件；当417e ≥时，E 均不可能是A 的4元基底.当5m =时，易验证A 的一个基底{}1,3,5,9,16E =，理由：11101=⨯+⨯；21111=⨯+⨯；31301=⨯+⨯；41113=⨯+⨯；51501=⨯+⨯；61313=⨯+⨯；719116=-⨯+⨯；81315=⨯+⨯；91901=⨯+⨯；101515=⨯+⨯；1115116=-⨯+⨯；121319=⨯+⨯；1313116=-⨯+⨯；141519=⨯+⨯；1511116=-⨯+⨯；1611601=⨯+⨯；1711611=⨯+⨯；181919=⨯+⨯；1911613=⨯+⨯.综上所述，m 的最小值为5.【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，照章办事，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。
江苏省南京市高二上学期期中考试数学含答案
南京市2019－2020学年度第一学期期中调研测试高 二 数 学 2019.11注意事项：1．本试卷共4页，包括选择题（第1题~第12题）、填空题(第13题～第16题)、解答题(第17题～第22题)三部分。
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置。
3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：线性回归方程 y ∧＝bx ＋a ；回归系数b ＝∑ni ＝1x i y i －n －x －y∑n i ＝1x i 2－n －x2，a ＝－y －b －x ；球的表面积S ＝4πR 2，其中R 为球的半径．一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共计48分．其中第1至第10题为单选题，第11、12题为多选题．1．若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋2y －2＝0互相垂直，则实数a 的值是A ．1B ．－1C ．4D ．－42．已知向量a ＝(0，1，1)，b ＝(1，－2，1)．若向量a ＋b 与向量c ＝(－2，m ，－4)平行，则实数m 的值是A ．2B ．－2C ．10D ．－10 3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－y 22＝1的渐近线方程是 A ．y ＝±2x B ．y ＝±22x C ．y ＝±3x D ．y ＝±33x 4．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x （万元） 8.3 8.5 10 11.2 12 支出y （万元）67.588.510根据上表可得－x ＝10，－y ＝8，线性回归方程y ∧＝0.76x ＋a ．据此估计，该社区一户年收入为20万元家庭年支出为A ．15.2万元B ．15.6万元C ．16万元D ．16.2万元 5．如图，已知一个圆柱的底面半径为3，高为2，若它的两个底面圆周均在球O 的球面上，则球O 的表面积为A ．32π3 B ．16πC ．8πD ．4π6．如图，在四面体ABCD 中，点M 是棱BC 上的点，且BM ＝2MC ，点N 是棱AD 的中点．若MN →＝x AB →＋y AC →＋zAD →，其中x ，y ，z 为实数，则xyz 的值是A ．－19B ．－18C ．19D ． 187．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点P (1，2)，且被圆O ：x 2＋y 2＝9截得的弦长为42，则直线l 的方程为A ．3x －4y ＋5＝0B ．3x ＋4y －11＝0C ．x ＝1或3x －4y ＋5＝0D ．x ＝1或3x ＋4y －11＝0 8．已知cos(α＋π4)＝1010，则sin2α的值是A ．－45B ．－25C ．25D ．459．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，交抛物线于A ，B 两点，且线段AB 中点的横坐标为3，则线段AB 的长为A ．6B ．7C ．8D ．1010．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (4，0)，点A ，B 在双曲线C ：x 24－y 2＝1上，且AP →＝3PB →，则直线AB 的斜率为A ．±32B ．±52C ．±1D ．±32注：以下两题为多选题，每小题有多个选项符合题意．全部选对得4分，选对但不全的得2分，错选或不答的得0分．11．已知两条直线l ，m 及三个平面α，β，γ，下列条件中能推出α⊥β的是 A . l ⊂α，l ⊥β B ．l ⊥α，m ⊥β，l ⊥mC ．α⊥γ，β∥γD ．l ⊂α，m ⊂β，l ⊥m（第5题图）（第6题图）ABMN12．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两个定点F 1(－1，0)和F 2(1，0)的距离之积等于8，记点P 的轨迹为曲线E ，则A ．曲线E 经过坐标原点B ．曲线E 关于x 轴对称C ．曲线E 关于y 轴对称D ．若点(x ，y )在曲线E 上，则－3≤x ≤3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 23－y 2＝1的焦距为 ▲ ．若双曲线C 的右焦点与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆E 的离心率是 ▲ ．15．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是：每个大于2的偶数可以表示为两个质数的和，如14＝3＋11．在不超过15的质数中，随机选取2个不同的数，其和不等于16的概率是 ▲ ．16．已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，底面边长和侧棱长均为2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，则对角线AC 1的长为 ▲ ．三、解答题：本题共6小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知12(a cos C ＋c cos A )＝13b cos B ． （1）求cos B ；（2）若a ＋c ＝15，且△ABC 的面积为5，求b 的值． 18．（本小题满分12分）某家庭记录了未使用节水龙头30天的日用水量数据（单位：m 3）和使用了节水龙头30天的日用水量数据，得到频数分布表如下：（一）未使用节水龙头30天的日用水量频数分布表日用水量 [0.2，0.3) [0.3，0.4) [0.4，0.5) [0.5，0.6) [0.6，0.7] 频数238125（二）使用了节水龙头30天的日用水量频数分布表日用水量 [0.1，0.2) [0.2，0.3) [0.3，0.4) [0.4，0.5) [0.5，0.6] 频数251166（1）估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于0.4 m 3的概率；（2）估计该家庭使用节水龙头后，平均每天能节省多少水？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）19．（本小题满分14分）如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，且∠P AB ＝∠PDC ＝90°． （1）求证：AB ⊥平面P AD ；（2）若点E ，F 分别是棱PD ，BC 的中点，求证：EF ∥平面P AB ．20．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，AA 1＝3． （1）点D 在棱AA 1上，且BD ⊥A 1C ，求AD 的长； （2）求二面角C －A 1B 1－B 的大小．21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率e ＝53．过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为125． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点A 位于第一象限，且AF 1⊥AF 2，求△ABF 2的外接圆的方程．22．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，点A (－2，0)，过动点P 作直线x ＝－4的垂线，垂足为M ，且AM →·AP →＝－4．记动点P 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；ABDE F P（第19题图）（第20题图）ACBDA 1C 1B 1（2）过点A 的直线l 交曲线E 于不同的两点B ，C ． ① 若B 为线段AC 的中点，求直线l 的方程；② 设B 关于x 轴的对称点为D ，求△ACD 面积S 的取值范围．南京市2019－2020学年度第一学期期中调研测试高二数学参考答案 2019.11一、选择题：1．D 2．A 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．D 9．C 10．B 11．ABC 12．BCD 二、填空题： 13．4；4 14．22 15．131516．2 5 三、解答题：17．（本小题满分12分）解：（1）因为12(a cos C ＋c cos A )＝13b cos B ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C得12(sin A cos C ＋sin C cos A )＝13sin B cos B ，……… 2分 因此12sin(A ＋C )＝13sin B cos B ． ……………………………… 4分 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以12sin(π－B )＝13sin B cos B ， 于是12sin B ＝13sin B cos B ，因为B ∈(0，π)，所以sin B ＞0，所以cos B ＝1213． ……………………………… 6分（2）由（1）知cos B ＝1213，sin B ＞0，所以sin B ＝1－cos 2B ＝513． ……………… 8分因为△ABC 的面积为5，即S △ABC ＝12ac sin B ＝5，所以526ac ＝5，即ac ＝26． ………………………………… 10分又因为a ＋c ＝15，所以 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2413ac ＝(a ＋c )2－5013ac ＝152－5013×26＝125，因此b ＝55． ………………………………… 12分 18．（本小题满分12分）解：（1）根据表格（二），估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于0.4m 3的频数为2＋5＋11＝18， ………………………… 2分所以所求的概率约为1830＝0.6， 即该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.4m 3的概率的估计值为0.6． ………… 5分 （2）该家庭未使用节水龙头30天日用水量的平均数为—x 1＝130(2×0.25＋3×0.35＋8×0.45＋12×0.55＋5×0.65)＝0.5； ……………… 8分 该家庭使用了节水龙头后30天日用水量的平均数为 —x 2＝130(2×0.15＋5×0.25＋11×0.35＋6×0.45＋6×0.55)＝0.38； …………… 10分 —x 1－—x 2＝0.5－0.38＝0.12．因此，使用节水龙头后，平均每天能节省的水量估计为0.12 m 3． ………… 12分 19．（本小题满分14分）证明：（1）在四棱锥P －ABCD 中，因为∠P AB ＝∠PDC ＝90°，所以AB ⊥P A ，DC ⊥PD ． …………………… 2分 又因为四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，所以AB ∥DC ，所以AB ⊥PD ． …………………………… 4分 因为P A ∩PD ＝P ，P A ，PD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD ． …………… 6分 （2）如图，取AD 的中点G ，连EG ，GF ．在△P AD 中，因为E 是棱PD 的中点，所以EG ∥P A ．又EG ⊄平面P AB ，PA ⊂平面P AB ， 所以EG ∥平面P AB ．…………… 8分在平行四边形ABCD 中，G ，F 分别是棱AD ，BC 的中点， 所以AG ＝BF ＝12BC ，AG ∥BF ，所以四边形ABFG 是平行四边形，所以 FG ∥BA ．又FG ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，所以FG ∥平面P AB ． …………… 11分 因为EG ∩FG ＝G ，EG ，FG ⊂平面EFG ，所以平面EFG ∥平面P AB ． 又EF ⊂平面EFG ，所以EF ∥平面P AB ． ………………… 14分 20．（本小题满分14分）解：（1）如图，在△ABC 中，过A 作AB 的垂线交BC 于E ．在直三棱锥ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，ABCD E FP（第19题图）GC所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AE ．分别以AE ，AB ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系A —xyz ． …………………… 2分 因为AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，AA 1＝3，所以C (3，－1，0)，B (0，2，0)，A 1(0，0，3) ……………………… 4分因为点D 在棱AA 1上，设D (0，0，a )，则BD →＝(0，－2，a )，A 1C →＝(3，－1，－3)．因为BD ⊥A 1C ，所以2－3a ＝0，解得a ＝23．所以AD ＝23． ………………………… 6分（2）平面ABB 1A 1的一个法向量为n 1＝(1，0，0)．又B 1(0，2，3)，所以 CA 1→＝(－3，1，3)，CB 1→＝(－3，3，3)．设平面A 1B 1C 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )，由n 2⊥CA 1→，n 2⊥CB 1→，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＋3z ＝0，－3x ＋3y ＋3z ＝0，所以y ＝0．取x ＝3，则z ＝1，所以平面A 1B 1C 的一个法向量为n 2＝(3，0，1)． ……………… 10分| n 1|＝1，| n 2|＝2，n 1·n 2＝3，所以cos ＜n 1，n 2＞＝n 1·n 2| n 1|| n 2|＝32， …………………… 12分又＜n 1，n 2＞∈[0，π]，从而＜n 1，n 2＞＝π6．根据图形可知，二面角C －A 1B 1－B 大小的为π6． ………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝53，所以c a ＝53． ①又△ABF 2的周长为125，所以4a ＝125． ② 联立①②，解得a ＝35，c ＝5， 从而b 2＝a 2－c 2＝20，因此椭圆C 的方程为x 245＋y 220＝1． ……………………………… 4分（2）因为点A 位于第一象限，故设A (x 1，y 1)，其中x 1＞0，y 1＞0．因为AF 1⊥AF 2，所以AF 1→·AF 2→＝0，又点A 在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1245＋y 1220＝1，x 12＋y 12＝25，解得x 12＝9，从而x 1＝3，y 1＝4． ……………………… 7分由（1）知，椭圆C 的左焦点为F 1(－5，0)，所以直线l 的方程为y ＝12(x ＋5)．由⎩⎨⎧y ＝12(x ＋5)，x 245＋y 220＝1，得5x 2＋18x －99＝0，解得x ＝3或－335．所以B (－335，－45)． ……………………………… 11分因为∠F 1AF 2＝90°，所以△ABF 2的外接圆就是以BF 2为直径的圆． 又椭圆C 的右焦点为F 2(5，0)，所以线段BF 2的中点M 的坐标为(－45，－25)，此时MF 2＝135，故△ABF 2的外接圆的方程为(x ＋45)2＋(y ＋25)2＝1695． ………………………… 14分22．（本小题满分16分）解：（1）设P (x ，y )，则M (－4，y )．因为A (－2，0)，所以AM →＝(－2，y )，AP →＝(x ＋2，y )， 因为AM →·AP →＝－4，所以－2x －4＋y 2＝－4，即y 2＝2x ．所以曲线E 的方程为y 2＝2x ． ………………………………… 3分 （2）① 若直线l 的斜率不存在，则l 与曲线E 无公共点，因此l 的斜率存在；若l 的斜率为0，则l 与曲线E 只有一个公共点，因此l 的斜率不为0． 设l ：y ＝k (x ＋2)，k ≠0，由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝2x ，得y 2－2k y ＋4＝0，于是∆＝4k 2－16＞0，解得－12＜k ＜12且k ≠0．设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝4． …………………… 7分因为B 为线段AC 的中点，所以y 2＝2y 1． 又y 1＋y 2＝2k ，所以y 1＝23k ，y 2＝43k，因此y 1y 2＝89k 2＝4，所以k ＝±23，符合－12＜k ＜12且k ≠0，于是k ＝±23，此时直线l 的方程为y ＝±23(x ＋2)． …………………… 9分 ② 因为点B ，D 关于x 轴对称，所以D (x 1，－y 1)，于是点D 到直线l 的距离为d ＝|kx 1＋y 1＋2k |1＋k 2．因为y 1＝k (x 1＋2)，所以d ＝2|y 1|1＋k 2． ………………………… 11分又AC ＝1＋k 2|x 2＋2|，所以S ＝121＋k 2|x 2＋2|×2|y 1|1＋k 2＝|(x 2＋2)y 1|＝|(y 222＋2)y 1|．因为y 1y 2＝4，y 1＋y 2＝2k ，所以S ＝|2y 2＋2y 1|＝4|k |． ……………………… 14分又因为－12＜k ＜12且k ≠0，因此S ＞8，即△ACD 面积S 的取值范围为(8，＋∞)． ………………………… 16分。
高二数-南京市2021-2022学年度第一学期高二数学期中调研测试答案
南京市2021－2022学年度第一学期期中调研测试高二数学参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．C 2．A 3．B 4．B 5．D 6．C 7．C 8．A 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 9．BCD 10．AC 11．BD 12．ABD 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．60 14．3＋22615．(34，1] 16．105四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（本小题满分10分）解：（1）记“运动员射击1次，成绩合格”为事件A ；记“射击1次，命中k 环”为事件A k ，（k ∈N*，且k ≤10）， 则A ＝A 8＋A 9＋A 10，且事件A k 两两互斥．由题意知，P (A 8)＝0.25，P (A 9)＝0.3，P (A 10)＝0.15，所以P (A )＝P (A 8＋A 9＋A 10)＝P (A 8)＋P (A 9)＋P (A 10)＝0.7． ······························· 3分 答：该名运动员射击1次，成绩合格的概率为0.7． ······································ 4分 （2）记“该名运动员射击2次，共命中18环”为事件D ；记“第一次射击，命中i 环”为事件B i ，（i ∈N*，且i ≤10）；“第二次射击，命中j 环”为事件C j ，（j ∈N*，且j ≤10），则B i 与C j 相互独立． 事件B 8C 10，B 9C 9，B 10C 8两两互斥，D ＝B 8C 10＋B 9C 9＋B 10C 8， 所以P (D )＝P (B 8C 10＋B 9C 9＋B 10C 8)＝P (B 8C 10)＋P (B 9C 9)＋P (B 10C 8)＝P (B 8)P (C 10)＋P (B 9)P (C 9)＋P (B 10)P (C 8)＝0.25×0.15＋0.3×0.3＋0.15×0.25＝0.165， ································ 9分答：该名运动员射击2次，共命中18环的概率为0.165． ···························· 10分18．（本小题满分12分）解：（1）设圆C 方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0．因为圆C 经过O (0，0)，A (1，1)，B (4，2)三点，所以⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，D ＋E ＋F ＝－2，4D ＋2E ＋F ＝－20，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝6，F ＝0．所以圆C 方程为x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0． ························································ 4分 （2）圆C 方程可化为(x －4)2＋(y ＋3)2＝25，所以圆C 的圆心为(4，－3)，半径为5．因为∠MCN ＝120°，设MN 中点为E ，则CE ⊥MN ，∠ECN ＝60°，从而CE ＝52．即点C (4，－3)到直线l 的距离为52． ·························································· 7分直线l 经过点(32，92)．当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为x ＝32，点C (4，－3)到直线l 的距离为52，满足题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y －92＝k (x －32)，即kx －y －3k 2＋92＝0．所以|4k ＋3－3k 2＋92|k 2＋1＝52，解得k ＝－43， 此时直线l 的方程为8x ＋6y －39＝0． ····················································· 11分 因此，满足题意的直线l 的方程为x ＝32和8x ＋6y －39＝0． ·························· 12分19．（本小题满分12分）解：（1）因为椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，所以a ＋c ＝3．又椭圆的离心率是12，所以c a ＝12，解得a ＝2，c ＝1，从而b 2＝a 2－c 2＝3．所以椭圆C 的标准方程x 24＋y 23＝1． ···························································· 4分（2）因为直线l 的斜率为2，且过右焦点(1，0)，所以直线l 的方程为y ＝2(x －1)．联立直线l 的方程与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，x 24＋y 23＝1，消去y ，得11x 2－16x －4＝0，期中△＝162＋16×11＞0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1611，x 1x 2＝－411． ····································· 8分因为P (－3，0)，所以P A →·PB →＝(x 1＋3，y 1)·(x 2＋3，y 2)＝(x 1＋3)(x 2＋3)＋y 1y 2＝(x 1＋3)(x 2＋3)＋2(x 1－1)(x 2－1) ＝3x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋11 ＝12511．因此 P A →·PB →的值是12511． ····································································· 12分20．（本小题满分12分） 解：（1）取P A 中点N ，连NM ．因为N ，M 分别为P A ，PD 的中点， 所以NM ∥ =12AD ． 在底面ABCD 中，因为∠BAD ＝∠ABC ＝90º，且AD ＝2BC ， 所以BC ∥=12AD ． 因此BC ∥=NM ，从而四边形BCMN 是平行四边形， 所以MC ∥NB ． ···················································································· 3分 又因为NB ⊂平面P AB ，MC ⊄平面P AD ，所以MC ∥平面P AB ． ············································································ 5分 （2）取AD 中点O ，连OB ，OP ．因为△P AD 是正三角形，O 为AD 中点，所以PO ⊥AD ，因为平面P AD ⊥平面ABCD ，面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ，所以PO ⊥平面ABCD ，从而∠PBO 为直线PB 与平面ABCD 所成的角． ··········· 7分 在正三角形P AD 中，因为AD ＝3， 所以PO ＝32AD ＝332．则在直角△PBO 中，tan ∠PBO ＝PO OB ＝335，所以OB ＝52．在直角△BAO 中，AB 2＝OB 2－OA 2＝(52)2－(32)2＝4，所以AB ＝2，因此BC ＝AB ＝2． ····························································· 10分 四边形ABCD 的面积S ＝12(BC ＋AD )×AB ＝12(2＋3)×2＝5．又因为PO ＝332，所以四棱锥P －ABCD 的体积V ＝13×S ×PO ＝13×5×332＝532． ·················· 12分DCBA PO21．（本小题满分12分） 解：（1） 选①在△ABC 中，因为a cos C ＋35c ＝b ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得sin A cos C ＋35sin C ＝sin B ．又因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin B ＝sin(π－A －C )＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ． 所以35sin C ＝cos A sin C ．因为sin C ≠0，所以cos A ＝35．因为sin A ＞0，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45． ················································ 4分因为a ＝6，b ＝154，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得645＝154sin B ，解得sin B ＝12．因为b ＜a ，所以角B 为锐角，故B ＝π6． ·················································· 6分选②在△ABC 中，因为2b sin B ＋C 2＝5a sin B ，且A ＋B ＋C ＝π，所以2b sin π－A2＝5a sin B ．由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得2sin B cos A2＝5sin A sin B ．因为sin B ≠0，所以2cos A 2＝5sin A ，所以cos A 2＝5sin A 2cos A2．因为0＜A ＜π，所以0＜A 2＜π2，因此cos A2＞0，所以sin A 2＝15，则cos A2＝1－sin 2A 2＝25，所以sin A ＝2sin A 2cos A 2＝45． ······································································ 5分因为a ＝6，b ＝154，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得645＝154sin B ，解得sin B ＝12．因为b ＜a ，所以角B 为锐角，故B ＝π6． ·················································· 6分选③在△ABC 中，因为S ＝13(b 2＋c 2－a 2)，由余弦定理，得12bc sin A ＝13(2bc cos A )，所以sin A ＝43cos A ．BACM又因为sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以sin 2A ＝1625．因为sin A ＞0，所以sin A ＝45， ·································································· 4分因为a ＝6，b ＝154，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得645＝154sin B ，解得sin B ＝12．因为b ＜a ，所以角B 为锐角，故B ＝π6． ·················································· 6分（2）解法一：因为MB ：MC ＝5：2，故可设MB ＝5m ，MC ＝2m ．因为MB ⊥AB ，所以cos ∠BMC ＝cos (π2＋A )＝－sin A ＝－45，sin ∠BMC ＝35．在△BMC 中，由余弦定理，得36＝25m 2＋4m 2－2×10m 2×(－45)，解得m 2＝45，所以m ＝255．所以S △BMC ＝12×10m 2×sin ∠BMC ＝12×10×45×35＝125． ······························· 10分在Rt △ABM 中，因为sin A ＝45，BM ＝5m ＝25，∠ABM ＝π2，所以AB ＝352，所以S △ABM ＝12×352×25＝152．因此 S △ABC ＝125＋152＝9910． ···································································· 12分解法二：因为MB ：MC ＝5：2，故可设MB ＝5m ，MC ＝2m ．因为MB ⊥AB ，故在Rt △ABM 中，因为sin A ＝45，BM ＝5m ，所以AM ＝25m 4，AB ＝15m4．在△ABC 中，因为sin A ＝45，cos A ＝35，AB ＝15m 4，AC ＝33m4，BC ＝6，由余弦定理，得36＝(15m 4)2＋(33m 4)2－2×15m 4×33m 4×35，解得m 2＝45． ·········· 10分所以S △ABC ＝12×15m 4×33m 4×45＝99m 28＝9910． ·············································· 12分22．（本小题满分12分）解：（1）因为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为(3，0)，且经过点(22，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，8a 2－1b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝6，b 2＝3．故双曲线C 的标准方程为x 26－y 23＝1． ························································· 4分（2）由题意知，直线AB 的斜率存在且不为0，设AB 的方程为y ＝kx ．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 26－y 23＝1，y ＝kx ，消去y ，得(1－2k 2)x 2－6＝0．由⎩⎨⎧1－2k 2＞0，k ≠0，得－22＜k ＜22且k ≠0，解得x 2＝61－2k 2． ·················································································· 6分因为l 与AB 垂直， 所以设AB 的方程为y ＝－1kx ＋m ．联立⎩⎨⎧x 26－y 23＝1，y ＝－1kx ＋m ，消去y ，化简得(k 2－2)x 2＋4kmx －2k 2(m 2＋3)＝0． 由－22＜k ＜22且k ≠0，得k 2－2≠0． 因为l 与双曲线有且仅有一个公共点， 所以△＝0，即16k 2m 2＋8k 2(m 2＋3)(k 2－2)＝0， 化简得k 2m 2＝3(2－k 2)，且点P (－2km k 2－2，mk 2k 2－2)． ········································ 8分因为P 点位于第一象限，所以m ＜0，－22＜k ＜0． 不妨设A ，B 分别位于双曲线的左、右两支上，记BP 与x 轴的交点为M ． 因为△P AB 被x 轴分割为面积比为3：2的两部分，且△P AO 与△PBO 面积相等， 所以△POM 与△BOM 的面积比为1：4，由此可得4y P ＝－y B ． ····················· 10分 因此 4×mk 2k 2－2＝－k61－2k 2，即16×m 2k 2(k 2－2)2＝61－2k 2． 又因为k 2m 2＝3(2－k 2)，所以16×32－k 2＝61－2k 2，解得k2＝25． 因为－22＜k ＜0，所以k ＝－105，故直线AB 的方程为y ＝－105x ． ···························································· 12分。
2023-2024学年江苏省南京市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省南京市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，它们的产量之比为2：3：5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本．若样本中A 型号的产品有20件，则样本容量n 为（ ） A ．50B ．80C ．100D ．2002．已知复数z 0＝3+i ，其中i 为虚数单位，复数z 满足zz 0＝3z +z 0，则z ＝（ ） A ．1﹣3iB ．1+3iC ．3+iD ．3﹣i3．已知圆C 1：x 2+y 2﹣x ﹣ay ＝0与圆C 2：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +2＝0的公共弦所在直线与x 轴垂直，则实数a 的值为（ ） A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．44．《数书九章》天池测雨：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数，即平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积．假令器形为圆台，盆口径（直径）一尺四寸，底径（直径）六寸、深一尺二寸，接雨水深六寸（一尺等于十寸），则平地降雨量为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．已知cos x +sin x =√23，则sin2xcos(x−π4)=（ ）A ．−716B ．−7√26C ．−76D ．−736．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为其右支上一点，连接PF 1交y 轴于点Q ，若△PQF 2为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．√57．在平面直角坐标系xOy 中，P 为直线3x +4y +1＝0上一点．若向量a →=（3，4），则向量OP →在向量a →上的投影向量为（ ） A ．−15B ．（−35，−45）C ．（−325，−425）D ．无法确定8．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）．若∀x ∈R ，f （x ）≤f （π3），且f （x ）在（0，π）上恰有1个零点，则实数ω的取值范围为（ ） A ．（0，32]B ．（34，32]C ．（34，94]D ．（32，94]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，则（ ） A ．众数是22 B ．80百分位数是28C ．平均数是30D ．前4个数据的方差比最后4个数据的方差小10．声音是由物体的振动产生的声波，一个声音可以是纯音或复合音，复合音由纯音合成，纯音的函数解析式为y ＝A sin ωx ．设声音的函数为φ（x ），音的响度与φ（x ）的最大值有关，最大值越大，响度越大；音调与φ（x ）的最小正周期有关，最小正周期越大声音越低沉．假设复合音甲的函数解析式是f （x ）＝sin x +12sin2x ，纯音乙的函数解析式是g （x ）=32sin ωx （ω＞0），则下列说法正确的有（ ） A ．纯音乙的响度与ω无关 B ．纯音乙的音调与ω无关C ．若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则ω＞1D ．复合音甲的响度与纯音乙的响度一样大11．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 3，y 3）为抛物线C 上的任意三点（异于O 点），FA →+FB →+FD →=0→，则下列说法正确的有（ ） A ．设A ，B 到直线x ＝﹣1的距离分别为d 1，d 2，则d 1+d 2＜AB B ．F A +FB +FD ＝6 C ．若F A ⊥FB ，则FD ＝ABD ．若直线AB ，AD ，BD 的斜率分别为k AB ，k AD ，k BD ，则1k AB+1k AD+1k BD=012．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝8，AD ＝6，点E 是正方形BCC 1B 1内部或边界上异于点C 的一点，则下列说法正确的有（ ） A ．若D 1E ∥平面ABB 1A 1，则E ∈C 1CB ．设直线D 1E 与平面BCC 1B 1所成角的最小值为θ，则tan θ=2√23C ．存在E ∈BB 1，使得∠D 1EC ＞π2D ．若∠D 1EC =π2，则EB 的最小值为3√5−3 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点M （2，√3）和N （4，0），点Q 在x 轴上．若直线MQ 与直线MN 的夹角为90°，则点Q 的坐标为 ．14．在△ABC 中，AB ＝3√6，∠ABC ＝45°，∠BAC ＝75°，D 是射线BC 上一点，且CD ＝10，则AD＝ ．15．某商场为了促销，每天会在上午和下午各举办一场演出活动，两场演出活动相互独立．每个时段演出的概率分别如下：若某顾客打算第二天11：00抵达商场并逛3.5小时后离开，则他当天能观看到演出的概率为 ． 16．已知向量a →=（1，√3），b →=（1，0），|a →−c →|=12，则向量b →，c →最大夹角的余弦值为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知函数f （x ）＝sin x cos x ﹣sin 2x +t （x ∈R ）的最大值为√22． （1）求f （x ）的解析式； （2）若∀x ∈[π12，π2]，f （x ）﹣m ≤0，求实数m 的最小值．18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的圆心在l ：x ﹣2y ＝0上，且圆C 与x 轴相切，直线l 1：x ﹣ay ＝0（a ∈R ），D （6，0）．（1）若直线l 1与圆C 相切，求a 的值；（2）若直线l 1与圆C 相交于A ，B 两点，将圆C 分成的两段弧的弧长之比为1：3，且DA ＝DB ，求圆C 的方程．19．（12分）如图，一个质地均匀的正二十面体骰子的各面上标有数字0～9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），抛掷这个骰子，并记录下朝上一面（与地面或桌面平行）的数字．记事件A 1为“抛两次，两次记录的数字之和大于16”，记事件A 2为“抛两次，两次记录的数字之和为奇数”，事件A 3为“抛两次，第一次记录的数字为奇数”． （1）求P （A 1），P （A 2）；（2）判断事件A 1A 2与事件A 3是否相互独立，并说明理由．20．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，AB →•AC →=b 2−12ab ． （1）求角C 的大小； （2）若△ABC 的面积为√32，且CM →=2MB →，AN →=3NM →，求|CN →|的最小值． 21．（12分）如图，在所有棱长都等于1的三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABB 1=π2，∠B 1BC =π3． （1）证明：A 1C 1⊥B 1C ；（2）求直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小．22．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，且焦距为2√3，椭圆C 的上顶点为B ，且BF 1→•BF 2→=−2． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点A （2，﹣1），且与椭圆C 交于M ，N 两点（不与B 重合），直线BM 与直线BN 分别交直线x ＝4于P ，Q 两点．判断是否存在定点G ，使得点P ，Q 关于点G 对称，并说明理由．2023-2024学年江苏省南京市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，它们的产量之比为2：3：5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本．若样本中A 型号的产品有20件，则样本容量n 为（ ） A ．50B ．80C ．100D ．200解：由题意可知，n •22+3+5=20，解得n ＝100．故选：C ．2．已知复数z 0＝3+i ，其中i 为虚数单位，复数z 满足zz 0＝3z +z 0，则z ＝（ ） A ．1﹣3iB ．1+3iC ．3+iD ．3﹣i解：z 0＝3+i ，zz 0＝3z +z 0， 则z （z 0﹣3）＝z 0， 故z =3+ii=1−3i ． 故选：A ．3．已知圆C 1：x 2+y 2﹣x ﹣ay ＝0与圆C 2：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +2＝0的公共弦所在直线与x 轴垂直，则实数a 的值为（ ） A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．4解：圆C 1：x 2+y 2﹣x ﹣ay ＝0与圆C 2：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +2＝0， 两个方程相减，得到公共弦所在直线方程为：x +（4﹣a ）y ﹣2＝0， 公共弦所在直线与x 轴垂直，则4﹣a ＝0，a ＝4． 故选：D ．4．《数书九章》天池测雨：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数，即平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积．假令器形为圆台，盆口径（直径）一尺四寸，底径（直径）六寸、深一尺二寸，接雨水深六寸（一尺等于十寸），则平地降雨量为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为7寸，下底面半径为3寸，高为12寸． ∵积水深6寸，∴水面半径为12（7+3）＝5寸，则盆中水的体积为13π×6×（32+52+3×5）＝98π（立方寸）．∴平地降雨量等于98ππ×72=2（寸）．故选：B ．5．已知cos x +sin x =√23，则sin2xcos(x−π4)=（ ）A ．−716B ．−7√26C ．−76D ．−73解：因为cos x +sin x =√23，两边平方得1+2sin x cos x =29，即sin2x =−79， 又cos （x −π4）=√22（cos x +sin x ）=√22×√23=13，则sin2x cos(x−π4)=−7913=−73．故选：D ． 6．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为其右支上一点，连接PF 1交y 轴于点Q ，若△PQF 2为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．√5解：设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ， ∴|PF 1|﹣|PF 2|＝x ＝2a ，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得4c 2＝16a 2+4a 2﹣2×4a ×2a ×12， ∴c =√3a ， ∴e =ca =√3． 故选：B ．7．在平面直角坐标系xOy 中，P 为直线3x +4y +1＝0上一点．若向量a →=（3，4），则向量OP →在向量a →上的投影向量为（ ） A ．−15B ．（−35，−45）C ．（−325，−425） D ．无法确定解：设OP →=(x ，y)，由于点P 是直线3x +4y +1＝0上任意一点， 则OP →⋅a →=3x +4y =−1，a →=（3，4），则|a →|=√32+42=5，故向量OP →在向量a →上的投影向量为：OP →⋅a →|a →|×a→|a →|=−125a →=(−325，−425)．故选：C ．8．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）．若∀x ∈R ，f （x ）≤f （π3），且f （x ）在（0，π）上恰有1个零点，则实数ω的取值范围为（ ） A ．（0，32]B ．（34，32]C ．（34，94]D ．（32，94]解：由于∀x ∈R ，f （x ）≤f （π3），故f(π3)=sin(π3ω+φ)=1，整理得π3ω+φ=π2+2kπ，（k ∈Z ），所以φ=π2+2kπ−π3ω（k ∈Z ）， 由于ω＞0，0＜x ＜π； 所以−π3ω＜ωx −π3ω＜2π3ω，由于f （x ）在（0，π）上恰有1个零点， 所以{−3π2≤−π3ω＜−π20＜2π3ω≤π2，无解； {−π2≤−π3ω＜0π2＜2π3ω≤3π2，解得34＜ω≤32． 故实数ω的取值范围为(34，32]． 故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，则（ ）A ．众数是22B ．80百分位数是28C ．平均数是30D ．前4个数据的方差比最后4个数据的方差小解：把这组数据按从小到大的顺序排列为：20，22，22，22，24，26，26，28，32，78； 所以这组数据的众数是22，选项A 正确； 80百分位数是12×（28+32）＝30，选项B 错误；平均数是110×（20+22+22+22+24+26+26+28+32+78）＝30，选项C 正确；前4个数据是20，22，22，22，平均数是21.5，方差是14×（2.25+0.25+0.25+0.25）=34；后4个数据是26，28，32，78，平均数是41，方差是14×（225+169+81+1369）＞34；选项D 正确．故选：ACD ．10．声音是由物体的振动产生的声波，一个声音可以是纯音或复合音，复合音由纯音合成，纯音的函数解析式为y ＝A sin ωx ．设声音的函数为φ（x ），音的响度与φ（x ）的最大值有关，最大值越大，响度越大；音调与φ（x ）的最小正周期有关，最小正周期越大声音越低沉．假设复合音甲的函数解析式是f （x ）＝sin x +12sin2x ，纯音乙的函数解析式是g （x ）=32sin ωx （ω＞0），则下列说法正确的有（ ） A ．纯音乙的响度与ω无关 B ．纯音乙的音调与ω无关C ．若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则ω＞1D ．复合音甲的响度与纯音乙的响度一样大解：音的响度与φ（x ）的最大值有关，最大值越大，响度越大，响度与A 有关，A 正确； 音调与φ（x ）的最小正周期有关，T =2πω，即音调与ω有关，B 错误； C 项，音调与φ（x ）的最小正周期有关，最小正周期越大声音越低沉， 若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则复合音甲的周期比纯音乙的周期大， 又复合音甲的周期为2π，则对于g （x ），需ω＞1，正确；D 项，若f （x ）＝sin x +12sin2x 其最大值为32，必有sin x ＝1，sin2x ＝1，这样的x 是不存在的，则复合音甲的响度与纯音乙的响度不会一样大，错误． 故选：AC ．11．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 3，y 3）为抛物线C 上的任意三点（异于O 点），FA →+FB →+FD →=0→，则下列说法正确的有（ ） A ．设A ，B 到直线x ＝﹣1的距离分别为d 1，d 2，则d 1+d 2＜ABB ．F A +FB +FD ＝6C ．若F A ⊥FB ，则FD ＝ABD ．若直线AB ，AD ，BD 的斜率分别为k AB ，k AD ，k BD ，则1k AB+1k AD+1k BD=0解：A 中，由题意可得d 1+d 2＝F A +FB ≤AB ，当A ，F ，B 三点共线时取等号，所以A 不正确； B 中，因为FA →+FB →+FD →=0→，则（x 1﹣1）+（x 2﹣1）+（x 3﹣1）＝0，即x 1+x 2+x 3＝3， 所以F A +FB +FC ＝x 1+1+x 2+1+x 3+1＝x 1+x 2+x 3+3＝6，所以B 正确； C 中，若F A ⊥FB ，则FA →•FB →=0，且F A 2+FB 2＝AB 2，又因为FA →+FB →+FD →=0→，则FD →2＝（−FA →−FB →）2=FA →2+FB →2+2FA →•FB →=FA →2+FB →2=AB →2，即FD ＝AB ，所以C 正确；D 中，由FA →+FB →+FD →=0→，则y 1+y 2+y 3＝0，x 12=y 124，x 22=y 224，x 3=y 324， 则1k AB+1k AD+1k BD=x 1−x 2y 1−y 2+x 1−x 3y 1−y 3+x 2−x 3y 2−y 3=y 124−y 224y 1−y 2+y 124−y 324y 1−y 3+y 224−y 324y 2−y 3=2(y 1+y 2+y 3)4=0，所以D 正确．故选：BCD ．12．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝8，AD ＝6，点E 是正方形BCC 1B 1内部或边界上异于点C 的一点，则下列说法正确的有（ ） A ．若D 1E ∥平面ABB 1A 1，则E ∈C 1CB ．设直线D 1E 与平面BCC 1B 1所成角的最小值为θ，则tan θ=2√23C ．存在E ∈BB 1，使得∠D 1EC ＞π2D ．若∠D 1EC =π2，则EB 的最小值为3√5−3解：因为长方体中，平面AA 1B 1B ∥平面DD 1C 1C ，故D 1E ⊂平面DD 1C 1C ， 又点E 是正方形BCC 1B 1内部或边界上异于点C 的一点，所以E ∈C 1C ，故A 正确；在长方体中，D 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，所以∠B 1EC 1即为θ，此时tanθ=B 1C 1C 1E =8C 1E ≥862=2√23， 当且仅当E 与B 重合时取等号，故B 正确；不妨设BE ＝x ，则CE 2＝x 2+36，D 1E 2=(x −6)2+100，在三角形D 1EC 中，由余弦定理得cos ∠D 1EC =CE 2+D 1E 2−D 1C22CE⋅D 1E=x 2+36+(x−6)22√x 2+36⋅√(x−6)+1000，故C 错误；因为∠D 1EC =π2，所以E 在以D 1C 为直径的球上．设D 1C 中点为M ，则M 为球心． 此时M 到面BB 1C 1C 的距离为4，又因为球直径为6，所以面BB 1C 1C 被球截得的圆的半径为3，且M 与CC 1中点N 所在直线垂直面BB 1C 1C ， 即E 在以CC 1中点N 为圆心，3为半径的圆上．又BN =√62+32=3√5，因此EB 最小值为3√5−3，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点M （2，√3）和N （4，0），点Q 在x 轴上．若直线MQ 与直线MN 的夹角为90°，则点Q 的坐标为 （12，0） ．解：设Q （a ，0），则MQ 的斜率k 1=√3−02−a=√32−a，因为直线MN 的斜率k 2=√3−02−4=−√32，且直线MQ 与MN 互相垂直，所以k 1k 2=√32−a ⋅(−√32)=−1，解得a =12，故点Q 的坐标为（12，0）．故答案为：（12，0）．14．在△ABC 中，AB ＝3√6，∠ABC ＝45°，∠BAC ＝75°，D 是射线BC 上一点，且CD ＝10，则AD ＝ 14 ．解：在三角形ABC 中，因为∠ABC ＝45°，∠BAC ＝75°，所以∠ACB ＝60°， 则由正弦定理可得：ACsin∠ABC=AB sin∠ACB，即AC =3√6⋅√22√32=6，在三角形ACD 中，∠ACD ＝180°﹣∠ACB ＝120°，则由余弦定理可得：AD =√AC 2+CD 2−2AC ⋅CD ⋅cos∠ACD =√196=14． 故答案为：14．15．某商场为了促销，每天会在上午和下午各举办一场演出活动，两场演出活动相互独立．每个时段演出的概率分别如下：若某顾客打算第二天11：00抵达商场并逛3.5小时后离开，则他当天能观看到演出的概率为 49．解：若某顾客打算第二天11：00抵达商场并逛3.5小时后离开， 则能在11；00﹣14；30看演出，故上午能看演出的概率为13，记为P （A ）=13，下午能看演出的概率为16，记为P （B ）=16，他当天能观看到演出的概率P ＝P （A ）P （B ）+P （A ）P （B ）+P （A ）P （B ） =13×13+13×56+23×16=49． 故答案为：49．16．已知向量a →=（1，√3），b →=（1，0），|a →−c →|=12，则向量b →，c →最大夹角的余弦值为 √15−√38．解：根据题意设c →=(x ，y)，可得a →−c →=(1−x ，√3−y)，所以|a →−c →|2=(1−x)2+(√3−y)2=14，设向量b →，c →夹角为θ，则cosθ=b →⋅c →|b →||c →|=x1×√x +y =√x 2x 2+y 2=√11+(y x)2， 设k =y x ，得y ＝kx ，代入(1−x)2+(√3−y)2=14，整理得(1+k 2)x 2−(2+2√3k)x +154=0， 由Δ≥0，得(2+2√3k)2−4(1+k 2)×154≥0，即3k 2−8√3k +11≤0，解得4√3−√153≤k ≤4√3+√153， 所以当k =4√3+√153时，(y x )2有最大值7+8√53，此时cos θ有最小值√18+8√53=√912(6+25)=3√12(√5+1)=√15−√38，由于θ∈[0，π]，可知cos θ最小时角θ最大，所以b →、c →最大夹角的余弦值为√15−√38． 故答案为：√15−√38． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知函数f （x ）＝sin x cos x ﹣sin 2x +t （x ∈R ）的最大值为√22． （1）求f （x ）的解析式；（2）若∀x ∈[π12，π2]，f （x ）﹣m ≤0，求实数m 的最小值．解：（1）f （x ）＝sin x cos x ﹣sin 2x +t =12sin2x −1−cos2x 2+t =√22sin （2x +π4）−12+t ≤√22−12+t =√22， 当2x +π4=π2+2k π，k ∈Z ，即x =π8+k π，k ∈Z 时取等号； 解得t =12， 即f （x ）=√22sin （2x +π4）；（2）∀x ∈[π12，π2]，所以2x +π4∈[512π，34π]，所以sin （2x +π4）∈[√22，1]， 即f （x ）∈[12，√22]， 因为f （x ）﹣m ≤0，所以m ≥f （x ）max =√22．即实数m 的最小值为√22．18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的圆心在l ：x ﹣2y ＝0上，且圆C 与x 轴相切，直线l 1：x ﹣ay ＝0（a ∈R ），D （6，0）．（1）若直线l 1与圆C 相切，求a 的值；（2）若直线l 1与圆C 相交于A ，B 两点，将圆C 分成的两段弧的弧长之比为1：3，且DA ＝DB ，求圆C 的方程．解：（1）因为圆C 的圆心在l ：x ﹣2y ＝0上，所以设圆心C （2m ，m ）， 由直线l 1与圆C 相切，所以√1+a 2=|m |，显然m ≠0，所以√1+a 2=1，解得a =34；（2）因为直线l 1与圆C 相交于A ，B 两点，将圆C 分成的两段弧的弧长之比为1：3， 所以可得√1+a 2=√22|m |，所以√1+a 2=√22，整理得a 2﹣8a +7＝0，解得a ＝7或a ＝1， 又DA ＝DB ，所以D 在AB 的垂直平分线上，又AB 的垂直平分线过圆心， 所以m−02m−6×1a=−1，当a ＝7时，m−02m−6=−7，解得m =145，所以圆C 的方程为（x −285）2+（y −145）2=19625，当a ＝1，m−02m−6=−1，解得m ＝2，所以圆C 的方程为（x ﹣4）2+（y ﹣2）2＝4．综上所述：圆C 的方程为（x −285）2+（y −145）2=19625或（x ﹣4）2+（y ﹣2）2＝4．19．（12分）如图，一个质地均匀的正二十面体骰子的各面上标有数字0～9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），抛掷这个骰子，并记录下朝上一面（与地面或桌面平行）的数字．记事件A 1为“抛两次，两次记录的数字之和大于16”，记事件A 2为“抛两次，两次记录的数字之和为奇数”，事件A 3为“抛两次，第一次记录的数字为奇数”． （1）求P （A 1），P （A 2）；（2）判断事件A 1A 2与事件A 3是否相互独立，并说明理由．解：（1）第一次抛出数字为a i ，第二次抛出数字为b i ，用数对（a i ，b i ）表示， 则所有的基本事件为（0，0），（0，1），……，（9，9）共100个，事件A 1包括（8，9），（9，8），（9，9）共3个基本事件，所以P(A 1)=3100．事件A 2表示抛出骰子两次，一次为奇数，另一次为偶数，则共有C 21C 51C 51=50个基本事件，可得P(A 2)=50100=12； （2）根据题意，可得P(A 1A 2)=2100=150，P(A 3)=C 51C 101100=12，且P(A 1A 2A 3)=1100，P(A 1A 2)P(A 3)=150×12=1100，所以P （A 1A 2A 3）＝P （A 1A 2）P （A 3）成立，可知A 1A 2与A 3相互独立．20．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，AB →•AC →=b 2−12ab ． （1）求角C 的大小；（2）若△ABC 的面积为√32，且CM →=2MB →，AN →=3NM →，求|CN →|的最小值．解：（1）因为AB →⋅AC →=b 2−12ab ，所以bcosA =b 2−12ab ，由余弦定理得bc ×b 2+c 2−a 22bc =b 2−12ab ， 化简得b 2+a 2−c 22ab =12，所以cosC =12，因为C 为△ABC 内角，所以C =π3．（2）因为S △ABC =12absinC =√32，所以ab ＝2， 因为CM →=2MB →，AN →=3NM →，所以CN →=CA →+AN →=CA →+34AM →=CA →+34(CM →−CA →)=14CA →+34CM →=14CA →+12CB →，从而|CN →|2=(14CA →+12CB →)2=116b 2+14a 2+14CA →⋅CB →， =116b 2+14a 2+14≥2√116b 2×14a 2+14=34， 当且仅当116b 2=14a 2，即a ＝1，b ＝2时取等号，所以|CN →|的最小值为√32． 21．（12分）如图，在所有棱长都等于1的三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABB 1=π2，∠B 1BC =π3． （1）证明：A 1C 1⊥B 1C ；（2）求直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小．（1）证明：连接AB 1，在△ABB 1中，∠ABB 1=π2，AB ＝BB 1＝1， 所以AB 1=√2，在△BCB 1中，∠B 1BC =π3，BC ＝BB 1＝1， 所以B 1C ＝1，所以在△ACB 1中，AB 1=√2，B 1C ＝1，AC ＝1，所以AB 12=AC 2+B 1C 2，所以AC ⊥B 1C ，又因为在三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 中，AC ∥A 1C 1，所以A 1C 1⊥B 1C ， （2）解：连接AB 1，A 1B 交于点O ，连接BC 1，连接CO ．在边长都为1的正方形A 1ABB 1中，O 是AB 1的中点，又因为B 1C ＝AC ＝1，所以CO ⊥AB 1， 因为四边形B 1BCC 1边长都为1，所以B 1C ⊥BC 1，由（1）知B 1C ⊥A 1C 1，又因为A 1C 1∩BC 1＝C 1，A 1C 1，BC 1⊂平面A 1BC 1，所以B 1C ⊥平面 A 1BC 1因为A 1B ⊂平面A 1BC 1，所以B 1C ⊥A 1B ，因为在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，A 1B ⊥AB 1，又因为AB 1∩B 1C ＝B 1，AB 1，B 1C ⊂平面AB 1C ，所以A 1B ⊥平面 AB 1C ， 因为CO ⊂平面AB 1C ，所以CO ⊥A 1B ，又因为A 1B ∩AB 1＝O ， A 1B ，AB 1⊂平面A 1ABB 1，所以CO ⊥平面A 1ABB 1， 所以∠CBO 为直线BC 与平面ABB 1A 1所成的角．在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，∠ABB 1=π2，所以BO =√22． 因为BC ＝1，所以cos ∠CBO =√22，所以∠CBO =π4， 所以直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小为π4．22．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，且焦距为2√3，椭圆C 的上顶点为B ，且BF 1→•BF 2→=−2． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点A （2，﹣1），且与椭圆C 交于M ，N 两点（不与B 重合），直线BM 与直线BN 分别交直线x ＝4于P ，Q 两点．判断是否存在定点G ，使得点P ，Q 关于点G 对称，并说明理由． 解：（1）已知椭圆C 的焦距为2√3， 所以2c ＝2√3，①因为椭圆C 的上顶点为B ，且BF 1→•BF 2→=−2， 所以b 2﹣c 2＝﹣2，② 又a 2＝b 2+c 2，③联立①②③，解得a ＝2，b ＝1， 则椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；（2）不妨设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣2）﹣1，M （x 1，y 1） N （x 2，y 2），联立{y =k(x −2)x 24+y 2=1，消去y 并整理得（4k 2+1）x 2﹣8k （2k +1）x +16k （k +1）＝0， 由韦达定理得x 1+x 2=8k(2k+1)4k 2+1，x 1x 2=16k(k+1)4k 2+1，易知直线BM 的方程为y =y 1−1x 1x +1， 所以y P =4(y 1−1)x 1+1， 同理得y Q =4(y 2−1)x 2+1， 则y P +y Q =4(y 1−1)x 1+1+4(y 2−1)x 2+1 =2+4[2k −2(k +1)x 1+x2x 1x 2]=2+4[2k −2(k +1)8k(2k+1)16k(k+1)]=−2，故存在G （4，﹣1），使得P ，Q 关于点G （4，﹣1）对称．。
江苏省南京市高二上学期期中数学试卷(理科)
江苏省南京市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）(2017·达州模拟) 曲线在x=1处的切线的倾斜角为α，则cosα+sinα的值为（）A .B .C .D .2. （2分）棱长为2个单位的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以DA，DC，DD1分为x，y，z 坐标轴，则A1D1的中点E的坐标为（）A . （1，1，2）B . （1，0，2）C . （2，1，0）D . （2，1，1）3. （2分）如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A .B . AB∥平面SCDC . AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角D . SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角4. （2分）已知a,b 满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0必过定点（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高一下·四川期末) 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的命题是（）A .B .C .D .6. （2分）已知圆：C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为（）A .B .C .D .7. （2分）菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则PA与BD的位置关系是（）A . 平行B . 相交但不垂直C . 垂直相交D . 异面且垂直8. （2分）过点P(1，－2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有（）A . 4条B . 3条C . 2条D . 1条9. （2分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FB= BC，则GB 与EF所成的角为（）A . 30°B . 120°C . 60°D . 90°10. （2分） (2017·广西模拟) 如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC与△BCD均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠BCD=90°，BC=2，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AC 成30°的角，则线段PA长的取值范围是（）A . （0，）B . （0，）C . （，）D . （，）11. （2分） (2016高二上·绍兴期中) 已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=（）A . ±B . ±C . 1或7D . 4±12. （2分） (2015高三上·太原期末) 某几何体三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（）A . 16﹣πB . 16+πC . 16﹣2πD . 16+2π二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=5，BC=3，AA1=2，则一只小虫从A点沿长方体的表面爬到C1点的最短距离是________14. （1分） (2015高二上·承德期末) 已知倾斜角为的直线l过点（0，1），则直线l被圆x2+y2+4y ﹣5=0截得的弦长为________．15. （1分） (2016高二下·佛山期末) 记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是________．16. （1分） (2016高二下·南昌期中) 三棱锥S﹣ABC中，∠SBA=∠SCA=90°，△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线SB与AC所成的角为90°；②直线SB⊥平面ABC；③面SBC⊥面SAC；④点C到平面SAB的距离是．其中正确结论的序号是________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AB⊥AC，且AB=1，BC=2，PA⊥底面ABCD，PA= ，又E为边BC上异于B，C的点，且PE⊥ED．（1）求证：平面PAE⊥平面PDE；（2）求点A到平面PDE的距离．18. （10分）(2013·上海理) 已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1 ， B2（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．19. （10分）四棱锥P﹣ABCD中，PC=AB=1，BC=2，∠ABC=60°，底面ABCD为平行四边形，PC⊥平面ABCD，点M，N分别为AD，PC的中点．（1）求证：MN∥平面PAB；（2）求三棱锥B﹣PMN的体积．20. （10分） (2015高一上·福建期末) 一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱桥最高点距水面8m，拱桥内水面宽32m，船只在水面以上部分高6.5m，船顶部宽8m，故通行无阻，如图所示．（1）建立适当的平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程；（2）近日水位暴涨了2m，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到0.1m，）21. （10分）(2017·重庆模拟) 在斜三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AC=BC=A′A=A′C，A′在底面ABC上的射影为AB的中点D，E为线段BC的中点．（1）证明：平面A′DE⊥平面BCC′B′；（2）求二面角D﹣B′C﹣B的正弦值．22. （5分） (2017高一下·姚安期中) 已知圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．（Ⅰ）求过点M（3，1）的圆C的切线方程；（Ⅱ）判断直线ax﹣y+3=0与圆C的位置关系．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
南京市数学高二上期中经典练习卷(含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：13027]如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．8π C ．12D ．4π 2．(0分)[ID ：13012]如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π-B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联3．(0分)[ID ：13008]为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据： 天数x （天） 3 4 56 繁殖个数y （千个）2.5344.5由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为ˆˆ0.7yx a =+，则当7x =时，繁殖个数y 的预测值为（ ） A ．4.9 B ．5.25 C ．5.95D ．6.154．(0分)[ID ：12995]在区间上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“12x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 （ ） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<D ．321p p p <<5．(0分)[ID ：12992]从区间[]0,2随机抽取4n 个数1232,,,...,n x x x x ，1232,,,...,n y y y y 构成2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，其中两数的平方和小于4的数对有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率疋的近似值为（ ） A ．2mnB ．2mnC ．4m nD ．16m n6．(0分)[ID ：12985]某商场为了了解毛衣的月销售量y （件）与月平均气温x （C ︒）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：由表中数据算出线性回归方程y bx a =+中的2b =-，气象部门预测下个月的平均气温为6C ︒，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（ ）A ．58件B ．40件C ．38件D ．46件7．(0分)[ID ：12976]已知边长为2的正方形ABCD ，在正方形ABCD 内随机取一点，则取到的点到正方形四个顶点A B C D ，，，的距离都大于1的概率为（ ）A ．16πB ．4π C ．34- D ．14π-8．(0分)[ID ：12969]某城市2017年的空气质量状况如下表所示：其中污染指数50T ≤时，空气质量为优；50100T <≤时，空气质量为良；100150T <≤时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（ ）A ．35B ．1180C ．119D ．569．(0分)[ID ：12964]已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A．100，20B．200，20C．100，10D．200，10 10．(0分)[ID：12963]某校高一1班、2班分别有10人和8人骑自行车上学，他们每天骑行路程（单位：千米）的茎叶图如图所示：则1班10人每天骑行路程的极差和2班8人每天骑行路程的中位数分别是A．14，9.5B．9，9C．9，10D．14，911．(0分)[ID：12962]如图，是民航部门统计的某年春运期间12个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（）A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.B．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门.12．(0分)[ID：12951]若框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是()A．k>8？B．k≤8？C．k<8？D．k=9？13．(0分)[ID：12940]在学校组织的考试中，45名学生的数学成绩的茎叶图如图所示，则该45名学生的数学成绩的中位数为（）A．127B．128C．128.5D．12914．(0分)[ID：13020]某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4B．5C．6D．715．(0分)[ID：12948]6件产品中有4件合格品，2件次品.为找出2件次品，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验后找出所有次品的概率为（）A．35B．13C．415D．15二、填空题16．(0分)[ID：13100]为了防止职业病，某企业采用系统抽样方法，从该企业全体1200名员工中抽80名员工做体检，现从1200名员工从1到1200进行编号，在115~中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从4660~这15个数中应抽取的数是__________．17．(0分)[ID：13087]甲乙两人一起去游“西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是________.18．(0分)[ID ：13085]已知01a ≤≤，11b -≤≤，则关于x 的方程220x ax b ++=有实根的概率是______．19．(0分)[ID ：13077]以下四个命题错误的序号为_______ (1) 样本频率分布直方图中小矩形的高就是对应组的频率.(2) 过点P(2,-2)且与曲线33y x x =-相切的直线方程是9160x y +-=. (3) 若样本1210,,x x x 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++的平均数是11，方差是12.(4) 抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”是对立事件.20．(0分)[ID ：13074]某商家观察发现某种商品的销售量x 与气温y 呈线性相关关系，其中组样本数据如下表：已知该回归直线方程为ˆˆ1.02yx a =+，则实数ˆa =__________． 21．(0分)[ID ：13064]根据下图所示的流程图，回答下面问题：若a ＝50.6，b ＝0.65，c ＝log0.65，则输出的数是________．22．(0分)[ID ：13061]执行如图所示的流程图，则输出的的值为 .23．(0分)[ID ：13040]已知函数log 2,3()(5)3,3a x x f x a x x ->⎧=⎨--≤⎩（）满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围为______________；24．(0分)[ID ：13030]已知方程0.85 2.1ˆ87yx =-是根据女大学生的身高预报其体重的回归方程， ˆ,x y的单位是cm 和kg ，则针对某个体()160,53的残差是__________． 25．(0分)[ID ：13029]从一副扑克牌中取出1张A ，2张K ，2张Q 放入一盒子中，然后从这5张牌中随机取出两张，则这两张牌大小不同的概率为__________．三、解答题26．(0分)[ID ：13209]光伏发电是将光能直接转变为电能的一种技术，具有资源的充足性及潜在的经济性等优点，在长期的能源战略中具有重要地位，2015年起，国家能源局、国务院扶贫办联合在6省的30个县开展光伏扶贫试点，在某县居民中随机抽取50户，统计其年用量得到以下统计表.以样本的频率作为概率.(Ⅰ)在该县居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X ，求X 的数学期望；(Ⅱ)在总结试点经验的基础上，将村级光伏电站稳定为光伏扶贫的主推方式.已知该县某自然村有居民300户.若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购.经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接受益多少元？27．(0分)[ID ：13202](1)从区间[1，10]内任意选取一个实数x ，求26160x x --≤的概率；(2)从区间[1，12]内任意选取一个整数x ，求()ln 22x -<的概率.28．(0分)[ID ：13166]我们知道，地球上的水资源有限，爱护地球、节约用水是我们每个人的义务与责任.某市政府为了对自来水的使用进行科学管理，节约水资源，计划确定一个家庭年用水量的标准.为此，对全市家庭日常用水量的情况进行抽样抽查，获得了n 个家庭某年的用水量（单位：立方米），统计结果如下表及图所示.分组频数频率[)0,1025[)10,200.19[)20,3050[)30,400.23[)40,500.18[)50,605（1）分别求出n，,a b的值；（2）若以各组区间中点值代表该组的取值，试估计全市家庭年均用水量；50,60（单位：立方米）的5个家庭中任选3个，作进一步的（3）从样本中年用水量在[]跟踪研究，求年用水量最多的家庭被选中的概率（5个家庭的年用水量都不相等）. 29．(0分)[ID：13163]某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A 类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）.现用分层抽样方法（按A 类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）.（1）A类工人中和B类工人中各抽查多少工人？（2）从A 类工人中的抽查结果和从B 类工人中的抽查结果分别如下表1和表2. 表一表二①先确定,x y 再补全下列频率分布直方图（用阴影部分表示）.②就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）③分别估计A 类工人生产能力的平均数和中位数（求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.30．(0分)[ID ：13227]某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示．（1）已知此次问卷调查的得分Z 服从正态分布(),210N μ，μ近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求()3679.5P Z <≤；（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案. （ⅰ）得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； （ⅱ）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.现市民甲要参加此次问卷调查，记X 为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列及数学期望．14.5≈，若()2,XN μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，()220.9545P X μσμσ-<≤+=，()330.9973P X μσμσ-<≤+=.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．B 2．C 3．B 4．B 5．B 6．D 7．D 8．A 9．B 10．A 11．D 12．A 13．D 14．A 15．C二、填空题16．52【解析】由题意可知抽取的人数编号组成一个首项为7公差为15的等差数列则从这个数中应抽取的数是：故答案为5217．【解析】【分析】所有的游览情况共有种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有种由此求得最后一小时他们同在一个景点的概率【详解】所有的游览情况共有种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有种18．【解析】【分析】有实根则由根的判别式大于零可得之间的关系利用面积型概率求解【详解】关于x的方程有实根则故答案为【点睛】本题是一道关于几何概型问题的题目根据题意求出判别式大于零的情况满足条件然后结合图19．（1）（2）（4）【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点是切点的情形求出切线方程然后设切点为（x0y0）根据切点与点（2-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关20．【解析】分析：根据表格中数据及平均数公式可求出与的值从而可得样本中心点的坐标结合样本中心点的性质可得进而可得关于的回归方程详解：由表格数据可得样本中心点坐标为代入可得故答案为点睛：本题主要考查线性回21．6【解析】因为所以输出22．【解析】试题分析：由程序框图第一次循环时第二次循环时第三次循环时第四次循环时退出循环输出考点：程序框图23．【解析】为单独递增函数所以点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性除注意各段的单调性外还要注意24．-029【解析】所以残差是25．【解析】试题分析：从这5张牌中随机取出两张的情况有：其中不同的有８种故概率是三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2π4a .由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248a a ⋅=，选B. 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A .2．C解析：C 【解析】试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为222()214aa a ππ-=-．考点：几何概型，圆的面积公式． 3．B解析：B 【解析】 【分析】根据表格中的数据，求得样本中心为97(,)22，代入回归直线方程，求得ˆ0.35a =，得到回归直线的方程为ˆ0.70.35yx =+，即可作出预测，得到答案． 【详解】由题意，根据表格中的数据，可得34569 2.534 4.57,4242x y ++++++====，即样本中心为97(,)22，代入回归直线方程ˆˆ0.7yx a =+，即79ˆ0.722a=⨯+， 解得ˆ0.35a=，即回归直线的方程为ˆ0.70.35y x =+， 当7x =时，ˆ0.770.35 5.25y=⨯+=，故选B ． 【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线方程的特征，求得回归直线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．4．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为,[0,1]x y ∈，对事件“12x y +≥”，如图（1）阴影部分，对事件“12x y -≤”，如图（2）阴影部分， 对为事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是，正方形的面积为，根据几何概型公式可得231p p p <<．（1） （2） （3） 考点：几何概型．5．B解析：B 【解析】 【分析】根据随机模拟试验的的性质以及几何概型概率公式列方程求解即可. 【详解】 如下图：由题意，从区间[]0,2随机抽取的2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，落在面积为4的正方形内，两数的平方和小于4对应的区域为半径为2的圆内，满足条件的区域面积为2124ππ⋅=，所以由几何概型可知42π=m n ，所以2π=m n. 故选：B【点睛】本题主要考查几何概型，属于中档题.6．D解析：D 【解析】试题分析：由表格得(),x y 为：()10,38，因为(),x y 在回归方程y bx a =+上且2b =-，()38102a ∴=⨯-+，解得58a =∴2ˆ58yx =-+，当6x =时，26ˆ5846y=-⨯+=，故选D. 考点：1、线性回归方程的性质；2、回归方程的应用.7．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意，作出满足题意的图像，利用面积测度的几何概型，即得解. 【详解】分别以A ，B ，C ，D 四点为圆心，1为半径作圆，由题意满足条件的点在图中的阴影部分224ABCD S =⨯=，214144ABCD S S ππ=-⨯⨯=-阴影由几何测度的古典概型，14ABCD S P S π==-阴影 故选：D 【点睛】本题考查了面积测度的几何概型，考查了学生综合分析，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.8．A解析：A 【解析】 【分析】根据互斥事件的和的概率公式求解即可. 【详解】由表知空气质量为优的概率是110， 由互斥事件的和的概率公式知，空气质量为良的概率为111632+=， 所以该城市2017年空气质量达到良或优的概率1131025P =+=， 故选：A 【点睛】本题主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，属于中档题.9．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意知，样本容量为()3500450020002%200++⨯=，其中高中生人数为20002%40⨯=，高中生的近视人数为4050%20⨯=，故选B. 【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.10．A解析：A 【解析】2班共有8个数据，中间两个是9和10，因此中位数为9.5，只有A 符合，故选A ．（1班10个数据最大为22，最小为8，极差为14）．11．D解析：D【解析】 【分析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可． 【详解】由图可知，选项A 、B 、C 都正确，对于D ，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误． 故选D ． 【点睛】本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题．12．A解析：A 【解析】 【分析】根据所给的程序运行结果为S =20，执行循环语句，当计算结果S 为20时，不满足判断框的条件，退出循环，从而到结论． 【详解】由题意可知输出结果为S =20， 第1次循环，S =11，K =9， 第2次循环，S =20，K =8，此时S 满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为k >8． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，同时考查了推理能力，属于基础题．13．D解析：D 【解析】分析：由茎叶图得出45名学生的数学成绩，从而求出中位数． 详解：根据茎叶图得出45名学生的数学成绩，可知中位数为129. 故选D.点睛：本题考查了茎叶图的应用问题，解题时应根据茎叶图中的数据，进行解答，属基础题.．14．A解析：A 【解析】 【分析】根据框图，模拟计算即可得出结果. 【详解】程序执行第一次，0021s =+=，1k =，第二次，1=1+23,2S k ==，第三次，33211,3S k =+==，第四次，11112100,4S k =+>=，跳出循环，输出4k =，故选A. 【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.15．C解析：C 【解析】 【分析】题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，计算概率得到答案. 【详解】题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，2314615C p C ==；第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，44246115C p C ==；故12415p p p =+=. 故选：C . 【点睛】本题考查了概率的计算，忽略掉前面四次都是正品的情况是容易发生的错误.二、填空题16．52【解析】由题意可知抽取的人数编号组成一个首项为7公差为15的等差数列则从这个数中应抽取的数是：故答案为52 解析：52 【解析】由题意可知，抽取的人数编号组成一个首项为7，公差为15的等差数列， 则从4660~这15个数中应抽取的数是：715352+⨯=. 故答案为 52．17．【解析】【分析】所有的游览情况共有种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有种由此求得最后一小时他们同在一个景点的概率【详解】所有的游览情况共有 种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有 种解析：16 【解析】 【分析】所有的游览情况共有4466A A ⋅ 种，则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有33556A A ⋅⋅ 种，由此求得最后一小时他们同在一个景点的概率．【详解】所有的游览情况共有4466A A ⋅ 种，则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有 33556A A ⋅⋅ 种，故则最后一小时他们同在一个景点的概率为 33554466616A A A A ⋅⋅=⋅， 故答案为 16． 【点睛】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．18．【解析】【分析】有实根则由根的判别式大于零可得之间的关系利用面积型概率求解【详解】关于x 的方程有实根则故答案为【点睛】本题是一道关于几何概型问题的题目根据题意求出判别式大于零的情况满足条件然后结合图 解析：14【解析】 【分析】有实根则由根的判别式大于零，可得a 、b 之间的关系，利用面积型概率求解 【详解】11a -≤≤，11b -≤≤，224u S ∴=⨯=，关于x 的方程220x ax b ++=有实根2240a b ∴->，()()220a b a b +->121112q S ∴=⨯⨯⨯=则14p =故答案为14【点睛】本题是一道关于几何概型问题的题目，根据题意求出判别式大于零的情况满足条件，然后结合图像求出面积即可得到结果，较为基础19．（1）（2）（4）【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点是切点的情形求出切线方程然后设切点为（x0y0）根据切点与点（2-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关解析：（1）（2）（4） 【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点22-（，）是切点的情形，求出切线方程，然后设切点为（x 0，y 0），根据切点与点（2，-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关系，解之即可求出切点，从而求出切线方程．对于(3)，利用平均数与方差的性质分别进行解答即可得出答案． 对于(4)，由对立事件的定义可知其错误.详解：对于(1)，频率分布直方图中每个小矩形的高是该组的频率与组距的比值，∴(1)错误；对于(2), 设直线222233|9x l y k x y x y =+=-'=-∴'=-：（）．，， 又∵直线与曲线均过点22-（，），于是直线22y k x （）+=- 与曲线33y x x =- 相切于切点22-（，）时，9k =-． 若直线与曲线切于点0002x y x ≠（，）（）， 则320000000002232122y y k y x x x x x x ++==-∴=-----，，， 又200|33k y x x x ='==-，2220000021332240x x x x x ∴---=-∴--=，， 200021330x x k x ≠∴=-∴=-=，，，故直线l 的方程为9160x y +-=或2y =-．故(2)错； 对于(3)，若样本1210,,x x x 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++的平均数是25111,⨯+= ，方差是22312⨯=.故(3)正确；对于(4)，掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”不是对立事件.故（4）错误. 故选（1）（2）（4）点睛：本题考查了频率分布直方图的应用问题，考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了样本平均数，方差，考查了对立事件的定义，是基础题..20．【解析】分析：根据表格中数据及平均数公式可求出与的值从而可得样本中心点的坐标结合样本中心点的性质可得进而可得关于的回归方程详解：由表格数据可得样本中心点坐标为代入可得故答案为点睛：本题主要考查线性回 解析： 2.4-【解析】分析：根据表格中数据及平均数公式可求出x 与y 的值，从而可得样本中心点的坐标，结合样本中心点的性质可得 2.4a ∧=，进而可得y 关于x 的回归方程.详解：由表格数据可得，1015202530205x ++++==，813172428185y ++++==，∴样本中心点坐标为()20,18，代入 1.0ˆ2ˆya =+，可得ˆ 2.4a =-，故答案为 2.4-. 点睛：本题主要考查线性回归方程，属于简单题. 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.21．6【解析】因为所以输出解析：6 【解析】因为a b c >>，所以输出50.6.a =22．【解析】试题分析：由程序框图第一次循环时第二次循环时第三次循环时第四次循环时退出循环输出考点：程序框图 解析：4【解析】试题分析：由程序框图，第一次循环时，1,1k S ==，第二次循环时，22,112k S ==+=，第三次循环时，23,226k S ==+=，第四次循环时，24,63156k S ==+=>，退出循环，输出4k =．考点：程序框图．23．【解析】为单独递增函数所以点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性除注意各段的单调性外还要注意 解析：45a ≤<【解析】()()12120f x f x x x ->-⇒ log 2,3()(5)3,3a x x f x a x x ->⎧=⎨--≤⎩（）为单独递增函数，所以15045log (32)3(5)3aa a a a >⎧⎪->⇒≤<⎨⎪-≥--⎩ 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围24．-029【解析】所以残差是解析：-0.29【解析】0.8516082.71ˆ53.29y=⨯-= ,所以残差是5353.290.29.-=- 25．【解析】试题分析：从这5张牌中随机取出两张的情况有：其中不同的有８种故概率是 解析：45【解析】试题分析：从这5张牌中随机取出两张的情况有：,,,,,,,,,AK AK AQ AQ KK KQ KQ KQ KQ QQ ，其中不同的有８种，故概率是84105P == 。
江苏省南京市高二上学期期中数学试卷(理科)
江苏省南京市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2016·安徽模拟) 已知集合M={x|lnx＞0}，N={x|x2≤4}，则M∩N=（）A . （1，2]B . [1，2）C . （1，2）D . [1，2]2. （2分）(2017·鞍山模拟) 下列命题中，正确的是（）①∃x∈R，2x＞3x；②“x≠3”是“|x|≠3”成立的充分条件；③空间中若直线l若平行于平面α，则α内所有直线均与l是异面直线；④空间中有三个角是直角的四边形不一定是平面图形．A . ①③B . ①④C . ②④D . ②③3. （2分）在等差数列{an}中，已知a5=15，则a2+a4+a6+a8的值为（）A . 30B . 45C . 60D . 1204. （2分）设变量a，b满足约束条件：的最小值为m，则函数的极小值等于（）A . -B . -C . 2D .5. （2分） (2018高三上·凌源期末) 在中，角的对边分别为，且的面积，且，则（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高三上·大连期中) 等比数列{an}中，q=2，a2+a5+…+a98=22，则数列{an}的前99项的和S99=（）A . 100B . 88C . 77D . 687. （2分） (2018高三上·长春期中) 在△ABC中，已知sin Acos B＝sin C，那么△ABC一定是（）A . 直角三角形B . 等腰三角形C . 等腰直角三角形D . 正三角形8. （2分） (2017高一上·厦门期末) 已知函数y=ax（a＞0且a≠1）是减函数，则下列函数图象正确的是（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·四川模拟) 在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AB=BC=2AD=2，E，F分别为BC，CD的中点，以A为圆心，AD为半径的半圆分别交BA及其延长线于点M，N，点P在上运动（如图）．若，其中λ，μ∈R，则2λ﹣5μ的取值范围是（）A . [﹣2，2]B .C .D .10. （2分）(2020·天津模拟) 已知函数，则下列结论错误的是（）A . 的最小正周期为B . 的图象关于直线对称C . 是的一个零点D . 在区间单调递减11. （2分） (2016高三上·台州期末) 已知正实数a，b满足a2﹣b+4≤0，则u= （）A . 有最大值为B . 有最小值为C . 没有最小值D . 有最大值为312. （2分） (2016高三上·定州期中) 已知数列{an}满足a1=1，an+1= （n∈N*），若bn+1=（n﹣2λ）•（ +1）（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{bn}是单调递增数列，則实数λ的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分） (2016高一下·西安期中) 计算cos =________，sin（﹣）=________．14. （1分）(2014·浙江理) 当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．15. （1分） (2017高二下·黄陵开学考) 一只昆虫在边长分别为5，12，13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为________．16. （1分） (2016高二上·会宁期中) 在△ABC中，若BC=5，AC=7，AB=8，则△ABC的最大角与最小角之和是________．三、解答题 (共5题；共40分)17. （10分）(2014·上海理) 如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．18. （10分）(2020·厦门模拟) 根据养殖规模与以往的养殖经验，某海鲜商家的海产品每只质量（克）在正常环境下服从正态分布．附：若随机变量，则，；对于一组数据，，，，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．（1）随机购买10只该商家的海产品，求至少买到一只质量小于克该海产品的概率．（2） 2020年该商家考虑增加先进养殖技术投入，该商家欲预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．现用以往的先进养殖技术投入（千元）与年收益增量（千元）（）的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近，且，，，，，，，其中， = ．根据所给的统计量，求关于的回归方程，并预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．19. （5分） (2016高二上·秀山期中) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且a1=0，nan+1=Sn+n（n+1）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足an+log3n=log3bn ，求数列{bn}的前n项和Tn ．20. （5分） (2016高二上·沭阳期中) 给出如图算法：试问：当循环次数为n（n∈N*）时，若S＜M对一切n（n∈N*）都恒成立，求M的最小值．21. （10分） (2020高三上·黄浦期末) 某研究所开发了一种新药，测得成人注射该药后血药浓度y（微克/毫升）与给药时间x（小时）之间的若干组数据，并由此得出y与x之间的一个拟合函数y＝40（0.6x﹣0.62x）（x∈[0，12]），其简图如图所示.试根据此拟合函数解决下列问题：（1）求药峰浓度与药峰时间（精确到0.01小时），并指出血药浓度随时间的变化趋势；（2）求血药浓度的半衰期（血药浓度从药峰浓度降到其一半所需要的时间）（精确到0.01小时）.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共40分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、第11 页共11 页。
2021学年江苏省南京市高二上学期期中数学试题(解析版)
2021学年江苏省南京市高二上学期期中数学试题(解析版)一、单选题1、若直线ax+2y+1=0与直线x+2y–2=0互相垂直，则实数a 的值是（）A、1B、–1C、4D、–4【答案】D【解析】由直线方程一般式垂直的条件计算、【详解】由题意，、故选：D、【点睛】本题考查两直线垂直条件，两直线方程分别为和，则它们垂直的充要条件是、2、已知向量，、若向量与向量平行，则实数的值是（）B、C、10D、【答案】 A【解析】由与共线得，即，解方程组即可、【详解】由已知，，因为与共线，所以存在实数，使得，故，即，解得、故选：A、【点睛】本题考查共线向量定理的应用，涉及向量坐标运算，考查学生的计算能力，是一道基础题、3、在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线方程是（）A、B、C、D、【答案】 A【解析】将双曲线方程右端1改为0，即可求得双曲线渐近线方程、【详解】令右端1为0，得，即、故选：【点睛】本题考查求双曲线的渐近线，考查学生基本计算能力，是一道基础题、4、为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x（万元）8、38、51011、212支出y（万元）67、588、510根据上表可得，线性回归方程、据此估计，该社区一户年收入为20万元家庭年支出为（）A、15、2万元B、15、6万元C、16万元D、16、2万元【答案】B【解析】将样本中心点代入回归直线方程求得，进而回归方程为，再令代入计算即可、【详解】将代入线性回归方程，得，解得，所以回归方程为，当时，、故选：B、【点睛】本题考查线性回归直线方程及其应用，回归直线一定过样本中心点，这是解题的一个依据，本题是一道容易题、5、如图，一个圆柱的底面半径为，高为2，若它的两个底面圆周均在球O的球面上，则球O的表面积为（）A、B、C、D、【答案】 B【解析】采用数形结合，根据勾股定理可得球的半径，然后利用球的表面积公式，可得结果、【详解】根据题意，画图如下：则，，，故在中，，，、故选：B【点睛】本题主要考查球的表面积，属基础题、6、如图，在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点、若，其中为实数，则的值是（）A、B、C、D、【答案】 C【解析】将用表示，对比系数即可、【详解】因为，所以，故、故选：C、【点睛】本题考查空间向量的线性运算，一定要结合图形，灵活运用三角形法则和平行四边形法则，本题是一道基础题、7、在平面直角坐标系中，直线过点，且被圆：截得的弦长为，则直线的方程为（）A、B、C、或D、或【答案】【解析】由已知得到圆心O到直线l的距离为1，设出直线方程，利用点到直线的距离公式计算即可、【详解】由已知，圆心O到直线l的距离，当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，由点到直线的距离公式得，解得，此时方程为、故选：C、【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及到弦心距公式，特别要注意在设直线的点斜式时，要先讨论斜率不存在的情况、8、已知，则的值是（）A、B、C、D、【答案】 D【解析】由，利用二倍角公式计算即可、【详解】、故选：【点睛】本题考查三角恒等变换的应用，涉及到配角技巧及倍角公式等知识，考查学生基本计算能力，是一道基础题、9、在平面直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，交抛物线于两点，且线段中点的横坐标为3，则线段的长为（）A、6B、7C、8D、10【答案】C【解析】由抛物线定义结合公式计算即可、【详解】设，则，由抛物线定义知，，、故选：C、【点睛】本题考查利用抛物线的定义求焦点弦长，在处理抛物线焦半径时，经常会想到利用抛物线定义将其转化为到准线的距离、10、在平面直角坐标系中，已知点，点在双曲线上，且，则直线的斜率为（）B、C、D、【答案】 B【解析】设直线AB方程为，联立双曲线方程得，，又由得，消即可、【详解】由题意可知，当直线AB的斜率为0时显然不满足题意，设，AB的方程为，联立消x，得，所以，①，又，有，即②，由①②，得，即，，所以斜率为、故选：B、【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查学生利用韦达定理消元，有一定的运算量，是一道中档题、二、多选题11、已知两条直线，及三个平面，下列条件中能推出的是（）A、B、C、D、【答案】 ABC【解析】利用面面垂直的判定定理与性质定理来处理、【详解】如果一个平面经过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直知选项A正确；选项B显然正确；如果两个互相平行的平面有一个垂直于一个平面那么另一个平面也垂直这个平面知选项C正确；D选项有可能与可能平行、故选：ABC、【点睛】本题考查空间中面面垂直的判定，考查学生空间想象能力，是一道基础题、12、在平面直角坐标系中，动点到两个定点和的距离之积等于8，记点的轨迹为曲线，则（）A、曲线经过坐标原点B、曲线关于轴对称C、曲线关于轴对称D、若点在曲线上，则【答案】BCD【解析】利用直接法可得曲线的方程为，然后逐一验证A，B，C，D、【详解】设，由已知，，即，平方得，不满足方程，故选项A错误；用换，方程不变，所以曲线关于轴对称，故B正确；同理用用换，方程不变，所以曲线关于轴对称，故C正确；令，得，即，所以，故，D正确、故选：BCD、【点睛】本题考查利用直接法求曲线的轨迹方程，对于选项A，B，C，D只需逐一代入验证即可，本题是一道中档题、三、填空题13、在平面直角坐标系中，双曲线的焦距为________、若双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则实数的值为______________、【答案】 44【解析】利用及抛物线的焦点横坐标为计算即可、【详解】由已知，，故，所以焦距为，又双曲线右焦点为，所以有，、故答案为：（1）4；（2）4、【点睛】本题考查抛物线、双曲线的定义及应用，考查学生的基本运算能力，是一道基础题、14、在平面直角坐标系中，若椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆的离心率是__________、【答案】【解析】由题易得，再利用计算即可、【详解】由已知，，所以，故离心率为、故答案为：、【点睛】本题考查求椭圆离心率，解决椭圆的离心率的问题，关键是建立的方程或不等式，本题是一道容易题、15、我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果、哥德巴赫猜想是：每个大于2的偶数可以表示为两个质数的和，如、在不超过15的质数中，随机选取2个不同的数，其和不等于16的概率是________、【答案】【解析】先求出和等于16的概率，再利用事件A与其对立事件概率和为1解决、【详解】不超过15的质数有2，3，5，7，11，13共6个，从中选2个质数一共有种，和等于16的有（3，13），（5，11）两种，由古典概型的概率计算公式知，和等于16的概率为，和不等于16的概率为、故答案为：、本题考查古典概型的概率计算，注意正面情况比较多的情况下，可以采用先计算对立事件的概率，本题是一道容易题、16、已知四棱柱的底面是矩形，底面边长和侧棱长均为2，，则对角线的长为________、【答案】【解析】将表示成，平方即可、【详解】如图，，所以，所以、故答案为：、【点睛】本题考查空间向量的线性运算，涉及到向量的模，向量数量积等知识，是一道基础题、四、解答题17、在中，角的对边分别为、已知、（1）求；（2）若，且的面积为5，求的值、【答案】（1）（2）【解析】（1）利用正弦定理并结合即可获解；（2）由及的值可得到，再利用计算即可、【详解】（1）因为，由正弦定理得，因此、在中，，所以，于是，因为，所以，所以、（2）由（1）知，所以、因为的面积为5，即，所以，即、又因为，所以，因此、本题考查利用正余弦定理解三角形，考查学生计算能力，难度不大，要注意书写的规范性、18、某家庭记录了未使用节水龙头30天的日用水量数据（单位：）和使用了节水龙头30天的日用水量数据，得到频数分布表如下：（一）未使用节水龙头30天的日用水量频数分布表日用水量频数238125（二）使用了节水龙头30天的日用水量频数分布表日用水量频数251166（1）估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于的概率；（2）估计该家庭使用节水龙头后，平均每天能节省多少水？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）【答案】（1）0、6、（2）【解析】（1）由频率，为事件A出现的次数，为试验次数，；（2）分别算出两种情况用水量的平均数作差即可、【详解】（1）根据表格（二），估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于的频数为，所以所求的概率约为，即该家庭使用节水龙头后日用水量小于的概率的估计值为0、6、（2）该家庭未使用节水龙头30天日用水量的平均数为；该家庭使用了节水龙头后30天日用水量的平均数为；、因此，使用节水龙头后，平均每天能节省的水量估计为、【点睛】本题考查用频率、平均数估计值的计算，考查学生基本计算能力，是一道基础题、19、如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，且、（1）求证：平面；（2）若点分别是棱，的中点，求证：平面、【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）要证明平面，只需证明AB与平面内的两条相交直线垂直即可；（2）要证明平面，只需证明一个包含EF的平面与平面平行即可、【详解】证明：（1）在四棱锥中，因为，所以、又因为四棱锥的底面是平行四边形，所以，所以、因为平面，所以平面、（2）如图，取的中点，连、在中，因为是棱的中点，所以、又平面平面，所以平面、在平行四边形中，分别是棱的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以、又平面，平面，所以平面、因为平面，所以平面平面、又平面，所以平面、【点睛】本题考查线面垂直、线面平行的证明，涉及到线面垂直的判定定理，面面平行性质定理的应用，是一道基础题、20、如图，在直三棱柱中，，，、（1）点在棱上，且，求的长；（2）求二面角的大小、【答案】（1）（2）【解析】（1）过作的垂线交于，以所在直线为轴，轴，轴建立坐标系，利用及坐标运算即可算出AD的长；（2）易得平面的一个法向量为，再算出平面的一个法向量为，利用计算即可、【详解】（1）如图，在中，过作的垂线交于、在直三棱锥中，平面，所以、分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系、因为，所以、因为点在棱上，设，则、因为，所以，解得、所以、（2）平面的一个法向量为、又，所以、设平面的一个法向量为，由，得所以、取，则，所以平面的一个法向量为、，所以，又，从而、根据图形可知，二面角大小的为、【点睛】本题考查利用向量法求线段长度、二面角大小，考查学生的计算能力，要注意坐标的准确性，是一道中档题、21、在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，离心率、过的直线与椭圆相交于两点，且的周长为、（1）求椭圆的方程；（2）若点位于第一象限，且，求的外接圆的方程、【答案】（1）（2）【解析】（1）由的周长为得，再结合即可解出a，b；（2）设，由得，联立椭圆方程可解得A点坐标，然后再写出直线的方程，联立椭圆方程得到B点坐标即可解决、【详解】解：（1）因为椭圆的离心率，所以①、又的周长为，所以、②联立①②，解得，从而，因此椭圆的方程为、（2）因为点位于第一象限，故设，其中、因为，所以，又点在椭圆上，所以解得，从而、由（1）知，椭圆的左焦点为，所以直线的方程为、由得，解得或、所以、因为，所以的外接圆就是以为直径的圆、又椭圆的右焦点为，所以线段的中点的坐标为，此时，故的外接圆的方程为、【点睛】本题考查求椭圆的标准方程及直角三角形的外接圆方程，考查学生运算能力的核心素养，是一道容易题、22、在平面直角坐标系中，点，过动点作直线的垂线，垂足为，且、记动点的轨迹为曲线、（1）求曲线的方程；（2）过点的直线交曲线于不同的两点，、①若为线段的中点，求直线的方程；②设关于轴的对称点为，求面积的取值范围、【答案】（1）（2）①、②【解析】（1）设，利用直接法求曲线的方程；（2）①由已知，分析可知直线的斜率存在且不为零，设，联立抛物线方程，利用韦达定理解决；②将用直线的斜率表示，即，再结合的范围即可解决、【详解】（1）设，则、因为，所以，因为，所以，即、所以曲线的方程为、（2）①若直线的斜率不存在，则与曲线无公共点，因此的斜率存在；若的斜率为0，则与曲线只有一个公共点，因此的斜率不为0、设，由得，于是，解得且、设，，则、因为为线段的中点，所以、又，所以，因此，所以，符合且，于是，此时直线的方程为、②因为点，关于轴对称，所以，于是点到直线的距离为、因为，所以、又，所以、因为，所以、又因为且，因此，即面积的取值范围为、【点睛】本题考查利用直接法求曲线方程、直线与抛物线的位置关系，在处理直线与抛物线的位置关系的问题时，通常会利用韦达定理来处理，本题是一道较难的题、。
南京市2021-2022学年度第一学期高二数学期中调研测试试卷
南京市2021－2022学年度第一学期期中调研测试高 二 数 学2021.11注意事项：1．本试卷共6页，包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分。
本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－3x ＋1的倾斜角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 24－y 22＝1的渐近线方程为A ．y ＝±22x B ．y ＝±62x C ．y ＝±63x D ．y ＝±2x 3．已知向量a ，b 满足|a |＝2，a ·b ＝1，且a 与b 的夹角为60°，则|b |的值为 A ．33B ．1C ． 3D ．2 4．在平面直角坐标系xOy 中，点(3，1)关于直线x －y ＋1＝0的对称点为A ．(4，0)B ．(0，4)C ．(2，－1)D ．(－1，2)5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (m ，－4)在抛物线上，则PF 的长为A ．2B ．3C ．4D ．56．平面直角坐标系xOy 中，P 为圆C 1：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，过点P 引 圆C 2：(x ＋3)2＋y 2＝1的切线，切点为T ，则满足PT ＝3PO 的点P 有 A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个7．已知A ，B ，C ，D 是球O 表面上的四点，其中∠ABC ＝π2，AC ＝23，若点D 到平面ABC距离的最大值为3，则球O 的表面积为A ．4π3B ．4πC ．16πD ．32π38．哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃．如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户C ．－43D ．－34二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有错选的得0分． 9．已知复数z ＝21－i，其中i 为虚数单位，则A ．|z |＝2B ．z 2＝2iC ．z 的共轭复数为1－iD ．z 的虚部为1 10．抛掷一颗骰子，将“结果向上的点数大于3”记为事件A ，“结果向上的点数小于4”记为事件B ，“结果向上的点数是3的倍数”记为事件C ，则 A ．A 与B 对立 B ．B 与C 互斥 C ．A 与C 相互独立 D ．A ＋C ＝B ＋C11．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过点(－23，0)，(0，2)，则A ．圆C 的半径大于2B ．圆心C 不可能在第一象限C ．当圆心C 在x 轴上时，圆C 的周长为4πD ．当圆心C 在第四象限时，圆C 截y 轴所得的弦长大于8 12．在平面直角坐标系xOy 中，方程x 2＋|y |＝2对应的曲线为E ，则A ．曲线E 是封闭图形，其围成的面积大于4 2B ．曲线E 关于原点中心对称C ．曲线E 上的点到原点距离的最小值为 2D ．曲线E 上的点到直线x ＋y ＝4距离的最小值为728（第8题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13．若200辆汽车通过某段公路时的速度频率直方图如图所示，则速度在区间[50，60)内的汽车大约有▲________辆．14．已知α∈(0，π2)，sin(α－π6)＝13，则sin α的值为▲________．15．在平面直角坐标系xOy 中，直线mx －y ＋2＝0与曲线y ＝－x (x ＋2)有两个不同的公共点，则实数m 的取值范围是▲________．16．已知椭圆E 的两个焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一点，且tan ∠PF 1F 2＝13，tan ∠PF 2F 1＝－3，则椭圆E 的离心率为▲________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）某位射击运动员射击1次，命中环数的概率如下表所示： 命中环数 ≤5环 6环 7环 8环 9环 10环 概率0.050.10.150.250.30.15（1）若规定射击1次，命中8环及以上为“成绩合格”，求该运动员射击1次“成绩合格”的概率；（2）假设该运动员每次射击互不影响，求该名运动员射击2次，共命中18环的概率．组距0.04 0.03 0.02 0.01 040 50 60 70 80 速度/(km/h)（第13题）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过O (0，0)，A (1，1)，B (4，2)三点． （1）求圆C 的方程；（2）若经过点(32，92)的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且∠MCN ＝120°，求直线l的方程．19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为12．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）斜率为2的直线l 经过椭圆E 的右焦点，且与椭圆E 相交于A ，B 两点．已知点 P (－3，0)，求PA →·PB →的值．如图，在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90º． （1）若AD ＝2BC ，M 为PD 的中点，求证：MC ∥平面P AB ；（2）若△P AD 是边长为3的正三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ，直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值为335，且AB ＝BC ，求四棱锥P －ABCD 的体积．21．（本小题满分12分）请在 ①a cos C ＋35c ＝b ，②2b sin B ＋C 2＝5a sin B ，③S ＝13(b 2＋c 2－a 2) 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，记△ABC 的面积为S ．已知_____，a ＝6．（1）若b ＝154，求角B ；（2）若M 是线段AC 上一点， MB ⊥AB ，且MB ∶MC ＝5∶2，求S 的值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．DCBA P（第20题）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为(3，0)，且经过点(22，1)．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）已知A ，B 是双曲线C 上关于原点对称的两点，垂直于AB 的直线l 与双曲线C 有且仅有一个公共点P ．当点P 位于第一象限，且△P AB 被x 轴分割为面积比为3：2的两部分时，求直线AB 的方程．（第22题）。
2021学年高二上学期期中考试数学试题
7983463793第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．命题“若a b >，则1a b +>”的逆否命题是（ ） （A ）若1a b +≤，则a b >（B ）若1a b +<，则a b > （C ）若1a b +≤，则a b ≤（D ）若1a b +<，则a b <2．为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( ) (A)50 (B)40 (C)20(D)25 3．准线方程为2x =的抛物线的标准方程为（ ） （A ）28y x =-（B ）24y x =-（C ）28y x =（D ）24y x =4．已知直线1:l y x =，若直线21l l ⊥，则直线2l 的倾斜角为（ ） （A ）4π（B ）()4k k Z ππ+∈（C ）34π（D ）()34k k Z ππ+∈ 5．如图是某学生在七次周考测试中某学科所得分数的茎叶图， 则这组数据的众数和中位数分别为（ ） （A ）84，86（B ）84，84（C ）83，86（D ）83，846．如图是2018年第一季度五省GDP 情况图，则下列描述中不正确的是（ ）（A ）与去年同期相比2018年第一季度五个省的GDP 总量均实现了增长（B ）2018年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省 （C ）2018年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个（D ）去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元7.已知点(2,1)在双曲线2222:1(0,0)x y E ab a b-=>>的渐近线上，则E 的离心率等于（ ） （A ）32（B ）5 （C ）5 （D ）52或58．圆221:20O x y x +-=和圆222:(2)4O x y +-=的位置关系是（）（A ）相离 （B ）相交 （C ）外切 （D ）内切开始1,1x y ==3y x =-1y x =+2x x =1y =0y ≤是否否9．若R k ∈，则3k >-是方程22133x y k k +=-+表示双曲线的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件10．执行如图所示的程序框图，则输出的x 等于（ ） （A ）2 （B ）4 （C ）8（D ）1611．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点O 为坐标原点，点P 在双曲线左支上，12PF F ∆内切圆的圆心为Q ，过1F 作直线PQ 的垂线，垂足为B ，则||OB 为（ ） （A ）a （B ）b （C ）2a b+（D 12．下列说法正确的个数是（ ）①设某大学的女生体重(kg)y 与身高(cm)x 具有线性相关关系，根据一组样本数据(,)(1,2,3,,)i i x y i n =，用最小二乘法建立的线性回归方程为0.8585.71x y -=，则若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg ；②关于x 的方程210(2)x mx m -+=>的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为原点，若1()2OP OA OB =+，则动点P 的轨迹为椭圆；④已知F 是椭圆22143x y +=的左焦点，设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于，则直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围是333)(,)82（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1．必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷上无效． 二、填空题：(本题共4小题，每小题5分)13.我国古代数学算经十书之一《九章算术》有一衰分问题（即分层抽样问题）：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人.凡三乡，发役五百人，则北乡遣人. 14．双曲线224160x y -+=的渐近线方程为．15．已知命题2:2310p x x -+≤，:1q a x a ≤≤+，若q 是p 的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是．16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，过点(2,0)Q a -且斜率为11(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点,P M ，点M 关于原点的对称点为N ，设直线PN 的斜率为2k ，则12k k 的值为．三、解答题：(17题10分，其余每小题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17．（本小题满分10分）已知命题p ：[]1,1m ∀∈-，253a a --≥命题q：x R∃∈，220x ax++<.（Ⅰ）写出命题q的否定；（Ⅱ）若“q⌝”及“p∨q”均为真命题，求实数a的取值范围．18．（本小题满分12分）已知圆221240C x y x y m++=：－－，（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若直线240l x y+=：－与圆C相交于M N、两点，且OM ON⊥，求m的值.19．（本小题满分12分）已知高中学生的数学成绩与物理成绩具有线性相关关系，在一次考试中某班7名学生的数学成绩与物理成绩如下表：（Ⅰ）求这7名学生的数学成绩的极差和物理成绩的平均数；（Ⅱ）求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程；若某位学生的数学成绩为110分，试预测他的物理成绩是多少？下列公式与数据可供参考：用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆybx a =+的系数公式：121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-； 222222288831179210810011270994++++++=，222222294911089610410110670250++++++=，88948391117108929610810410010111210670497⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．20．（本小题满分12分）某市民用水拟实行阶梯水价．每人用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当w =3时，估计该市居民该月的人均水费．用水量(立方米)21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系内，已知点A，圆B的方程为22++=，点P是圆B上任意一点，线段AP的垂直x y(16平分线l和直线BP相交于点Q．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）过点(1,1)M-能否作一条直线m，与点Q的轨迹交于,C D两点，且点M为线段CD的中点？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．22．（本小题满分12分）过抛物线2:2(0)=>的焦点F且斜率C y px p为1的直线与抛物线C交于A、B两点，且||8AB=．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）点P是抛物线C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB与抛物线C的准线分别交于点M、N，求证：FM FN⋅为定值．参考答案一、 选择题1-5 CDACD6-10 CBBBC11-12 AC 二、填空题13. 18014．2y x =±15．1[0,]216.12- 三、解答题17.解：（Ⅰ）命题q 的否定q ⌝为：x R ∀∈，220x ax ++≥.（Ⅱ）∵若“q ⌝”及“p ∨q ”均为真命题 ∴q 为假命题，p 为真命题∵[]1,1m ∈-⎡⎤⎣⎦．∵[]1,1m ∀∈-，253a a --2533a a --≥，∴6a ≥或1a ≤-.故命题p 为真命题时，6a ≥或1a ≤-.又命题q ：x ∃，220x ax ++<为真，∴280,a a =->∴>a <-， 从而命题q 为假命题时，a -≤≤所以命题p 为真命题，q 为假命题时，a 的取值范围为1⎡⎤--⎣⎦．18.解：（Ⅰ）配方得22(1)(2)5x y m -+-=-,所以50m ->,即5m <. （Ⅱ）设()()1122,,M x y N x y 、，OM ON ⊥，所以12120x x y y +=，由22240240x y x y x y m +-=⎧⎨+--+=⎩得251680y y m -++=，因为直线与圆相交于M N 、两点,所以()2162080m ∆=-+>,即245m <.易得1212168,55m y y y y ++==， ()()12124242x x y y ∴=-⋅-()12121684y y y y =-++，从而由12120x x y y +=得8416055m m +-+=， 解得85m =，满足5m <且245m <，所以m 的值为85.19.解：（Ⅰ）数学成绩的极差是34分，物理成绩的平均数为100分．（Ⅱ）∵数学成绩的平均分为100x =，物理成绩的平均分为100y =∴27049771001001ˆ7099471002b-⨯⨯==-⨯，从而1ˆ100100502a =-⨯= ∴y 关于x 的线性回归方程为1ˆ502yx =+ 当110x =时，105y =，即当他数学成绩为110分时，预测他物理成绩为105分．20.（I ）由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间[]0.5,1，(]1,1.5，(]1.5,2，(]2,2.5，(]2.5,3内的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.25，0.15．所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%．依题意，w 至少定为3．（II ）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯10.5=（元）．21．解：（Ⅰ）连接QA ，由已知得QA QP =，所以||||||||4QA QB QP QB BP +=+==．又因为点A 在圆内，所以4BA BP =<=．根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以,B A 为焦点，2为实轴长的椭圆． 因为AB =224c a ==，所以2c a ==，则22b =，所以Q 的轨迹方程为22142x y +=．（Ⅱ）易知当直线m 的斜率不存在时，不符合题意．设经过点(1,1)M -的直线m 的方程为()11y k x -=+，即1y kx k =++把1y kx k =++代入轨迹方程22142x y +=， 得222(12)4(1)2(1)40k x k k x k +++++-=()* 设交点()()1122,,,C x y D x y 在曲线上，则有()12241212k k x x k++=-=-+，解得12k = 此时()*方程为23620x x ++=，方程根的判别式为3624120∆=-=>，所以()*方程有实数解．所以，直线m 的方程为230x y -+=．（注：点差法求解相应给分）22.解：（Ⅰ）由题意知(,0)2p F ，则直线:2AB p l y x =-， 代入抛物线2:2(0)C y px p =>，化简得22304p x px -+= 设()()1122,,,A x y B x y ，则212123,4p x x p x x +== 因抛物线C 的准线方程为2p x =-，由抛物线的定义得128AB AF BF x x p =+=++=， ∴382p p p +=⇒=，故抛物线C 的方程为24y x =．（Ⅱ）设00(,)P x y ，则直线101110:()y y PA y y x x x x --=-- 当1x =-时，101011011010()(1)(1)(1)y y x y x y x y y x x x x ---+-+=+=-- ∵点,,A B P 均在抛物线2:4C y x =上 ∴2004y x =，2114y x = ∴22010101220101(1)(1)44444y y y y y y y y y y y +-+-==+-，即点M 的纵坐标为01014M y y y y y -=+， 同理可得点N 的纵坐标为02024N y y y y y -=+，∴2010201201220102001212444()16()M N y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y ---++⋅=⋅=+++++ 由（Ⅰ）知1212124,4y y x x p y y +=+-==-=-， ∴4M N y y ⋅=-∴(2,)(2,)40M N M N FM FN y y y y ⋅=⋅=+=，为定值．。
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南京市高二上学期数学期中考试试卷（I）卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共10题；共10分)
1. （1分）已知、、是两两不等的实数，点，，点，，则直线
的倾斜角为（）
A . 30°
B . 45°
C . 60°
D . 135°
2. （1分）“”是“直线与直线垂直”的（）
A . 充分而不必要条件
B . 必要而不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
3. （1分） (2018高一下·毕节期末) 若实数，满足，则目标函数的最大值是（）
A .
B .
C .
D .
4. （1分） (2017高二上·莆田月考) 设是曲线（为参数，）上任
意一点，则的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
5. （1分） (2018高一下·包头期末) 直线关于直线对称的直线方程是（）
A .
B .
C .
D .
6. （1分）在三棱柱中，各侧面均为正方形，侧面的对角线相交于点，则与平面
所成角的大小是（）
A . 30°
B . 45°
C . 60°
D . 90
7. （1分）在正三棱柱中，已知，，则异面直线和所成角的正弦值为（）
A . 1
B .
C .
D .
8. （1分） (2016高一上·万州期中) 设函数，区间M=[a，b]（其中a＜b），集合N={y|y=f （x），x∈M}，则使M=N成立的实数对（a，b）有（）
A . 1个
B . 3个
C . 2个
D . 0个
9. （1分） y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是（）
A .
B .
C .
D . π
10. （1分）已知正四棱柱中为的中点，则直线与平面的距离为（）
A . 2
B .
C .
D . 1
二、填空题 (共7题；共7分)
11. （1分） (2017高一下·南通期中) 点P（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点的坐标是________．
12. （1分）(2017·长沙模拟) 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅制造一种标准量器﹣﹣﹣﹣商鞅铜方升，其三视图（单位：寸）如图所示，若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为________．
13. （1分） (2018高二上·福建期中) 若变量满足约束条件则的最小值为________.
14. （1分） (2016高二下·韶关期末) 已知圆C1：（x﹣1）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣6）2+（y﹣1）2=1，M，N分别是圆C1 ， C2上的动点，P为直线x﹣y﹣2=0上的动点，则||PM|﹣|PN||的最大值为________．
15. （1分） (2016高二上·黑龙江期中) 已知棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，则异面直线AC与SD所成角为________．
16. （1分）(2017·上海模拟) 如图，在△ABC中，AB=AC=3，cos∠BAC= ， =2 ，则•
的值为________．
17. （1分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________
三、解答题 (共4题；共9分)
18. （2分） (2020高一上·林芝期末) 已知圆C的圆心在坐标原点，且过点M（）．
（1）求圆C的方程；
（2）已知点P是圆C上的动点，试求点P到直线的距离的最小值；
19. （2分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是线段AB中点．
证明：D1E⊥CE
20. （2分）已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x+1=0．
（1）求的最值；
（2）求y﹣x的最值；
（3）求x2+y2的最值．
21. （3分） (2017高二下·南昌期末) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD∥BC，CD=13，AB=12，BC=10，AD=5，PD=8，点E，F分别是PB，DC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求EF与平面PDB所成角的正弦值．
参考答案一、单选题 (共10题；共10分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共7题；共7分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
三、解答题 (共4题；共9分) 18-1、
18-2、
19-1、
20-1、20-2、20-3、
21-1、
21-2、
第11 页共11 页。