平行线的判定和性质知识点详解上课讲义

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平行线的性质ppt课件

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(3) 移: 以关键点为起点作与移动方向平行且与移动距离相
等的线段,得到关键点的对应点;
(4) 连: 按原图顺次连结对应点 .
知4-讲
特别警示
确定一个图形平行移动后的位置需要三个条件:
(1)图形原来的位置;
(2)平行移动的方向;
(3)平行移动的距离.
这三个条件缺一不可.
知4-练
例4 如图 4.2-33,现要把方格纸(每个小正方形的边长均为
知1-讲
特别警示
1. 两条直线平行是前提,只有在这个前提下才
有同位角相等.
2. 按格式进行书写时,顺序不能颠倒,与判定
不能混淆.
知1-讲
3. 平行线的性质与平行线的判定的区别
(1) 平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线的位
置关系,而平行线的性质是根据两条直线的位置关系得
到两角的数量关系;
又∵ EG 平分∠ BEF,∴∠ BEG=



BEF=70° .
∵ AB ∥ CD, ∴∠ 2= ∠ BEG=70° .
答案:A
知2-练
2-1. [中 考·烟 台]一杆 古 秤 在 称 物 时 的状 态 如 图
所 示,已 知∠ 1=102°,则 ∠ 2 的度数为
78°
______.
感悟新知
知识点 3 平行线的性质3
若是,可直接求出;若不是,还需要
通过中间角进行转化 .
知1-练
1-1. [中考·台州]用一张等宽的纸条折成如图所示的图
140° .
案,若∠ 1=20 ° ,则 ∠ 2的度数为_______
感悟新知
知识点 2 平行线的性质2
知2-讲
1. 性质 2 两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等 .

第1讲 平行线的性质与判定

第1讲 平行线的性质与判定
C于D,EF⊥AC于F,DM∥BC,∠1=∠2,求证:
∠AMD=∠AGF. 证明:∵BD⊥AC,EF⊥AC(已知), ∴∠BDF=∠EFC=90°(垂直的性质)
∴BD∥EF(同位角相等,两直线平行),
∴∠2=∠CBD(两直线平行,同位角相等), ∵∠2=∠1(已知), ∴∠1=∠CBD(等量代换),
∴∠D=∠AHC(_两___直__线__平__行___,__同__位__角__相___等____) ∵∠A=∠D(已知) ∴∠AHC=∠A(__等__量__代__换____________________)
∴___A__B_∥__C__D___(__内__错__角__相__等___,__两__直__线___平__行_____).
★ 例题精讲
例题5 如图,已知∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°,求证:AB∥ED.
解:连接BD, ∴∠DBC+∠BCD+∠CDB=180°, ∵∠ABC+∠BCD+∠EDC=360° ∴∠ABD+∠EDB=180°, ∴AB∥DE.
★ 例题精讲
练习5 如图,EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=75°。 (1)求证:AB∥DG;(2)求∠AGD.
4. 把下列命题写成“如果……那么……”的形式,并判断其真假: (1)等角的补角相等; (2)两个锐角的和是锐角; (3)负数之和仍为负数.
(1)如果两个角相等,那么这两个角的补角相等; 真命题 (2)如果两个角是锐角,那么这两个角的和也是锐角;假命题 (3)如果几个数是负数,那么它们的和也是负数. 真命题
∴ CE∥DF(同位角相等,两直线平行)
∴ ∠BCE=∠BDF(两直线平行,同位角相等) ∠EDF=∠CED(两直线平行,内错角相等)

平行线的性质 课件(共22张PPT)

平行线的性质  课件(共22张PPT)

3
∴∠2=∠3(两直线平行,同位角相等),
∵∠1=∠3(对顶角相等),
∴∠1=∠2(等量代换).
你发现了什么?
两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等. 简写成:两直线平行,内错角相等. 表达方式:如图,
∵a∥b(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等).
如图,直线a∥b,直线a、b被直线c所截
试一试
翻开你的数学练习横格本,每一页上都有许多如图所示的互 相平行的横线条,随意画一条斜线与这些横线条相交, 找出其中 任意一对同位角.观察或用量角器度量这对同位角,你有什么发现?
∠1=∠2
那么,一般情况下,如图,如果直线a与直线b平行,直线l与 直线a、b分别交于点O和点P,其中的同位角∠1与∠2也必定相等吗?
A.65°
B.55°
C.45°
D.35°
课堂小结
知识点 平行线的性质
1.两直线平行,同位角 相等 . 2.两直线平行,内错角 相等 . 3.两直线平行,同旁内角 互补 .
已知
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
得到
判定 性质
得到 两直线平行
已知
(2)从∠1=110o可以知道 ∠3是多少度?为什么?
(3)从 ∠1=110 o可以知道∠4 是多少度?为什么?B
D
解:(1)∠2=110o 理由:两直线平行,内错角相等;
(2)∠3=110o 理由:两直线平行,同位角相等;
(3)∠4=70o 理由:两直线平行,同旁内角互补.
C 2E 43
2.如图,直线a∥b,∠1=50°,∠2=40°,则∠3的度数为 ( B )
例3 将如左图所示的方格图中的图形向右平行移动4格,再向上 平行移动3格,画出平行移动后的图形.

平行线的性质和判定讲解与判定

平行线的性质和判定讲解与判定

平行线的性质和判定精品资料教学过程:一、基础知识点:性质1:两条直线被第三条直线所截,如果两条直线平行,那么同位角相等。

简单说成:两直线平行,同位角相等。

几何语言:∵ AB//CD ∴ ∠PMA=∠MNC性质2:两条直线被第三条直线所截,如果两条直线平行,那么内错角相等。

简单说成:两直线平行,内错角相等。

几何语言:∵ AB//CD ∴ ∠BMN=∠CNM性质3:两条直线被第三条直线所截,如果两条直线平行,那么同旁内角互补。

简单说成:两直线平行,同旁内角互补。

几何语言:∵ AB//CD∴ ∠AMN+∠CNM=180°几何符号语言: (1)∵∠3=∠2∴AB ∥CD (同位角相等,两直线平行)(2)∵∠1=∠2∴AB ∥CD (内错角相等,两直线平行) (3)∵∠4+∠2=180°∴AB ∥CD (同旁内角互补,两直线平行)如图,直线AB ∥CD ,EF ⊥AB 于E ,EF ⊥CD 于F ,则称线段EF 的长度为两平行线AB 与CD 间的距离。

注意:直线AB ∥CD ,在直线AB 上任取一点G ,过点G 作CD 的垂线段GH ,则垂线段GH 的长度也就是直线AB 与CD 间的距离。

⑴命题的概念:判断一件事情的语句,叫做命题。

A BC DEF 1 2 3 4 A EG BC FH D⑵命题的组成每个命题都是题设、结论两部分组成。

题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项。

命题常写成“如果……,那么……”的形式。

具有这种形式的命题中,用“如果”开始的部分是题设,用“那么”开始的部分是结论。

有些命题,没有写成“如果……,那么……”的形式,题设和结论不明显。

对于这样的命题,要经过分析才能找出题设和结论,也可以将它们改写成“如果……,那么……”的形式。

注意:命题的题设(条件)部分,有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述;命题的结论部分,有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述。

平行线的判定和性质讲义

平行线的判定和性质讲义

在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.角是平面几何图形中最活跃的元素,前面我们已学习过特殊角、数量关系角等角的知识.当两条直线相交或分别与第三条直线相交,就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角,进一步丰富了角的知识,它们在角的计算与证明中有广泛的应用.与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合运用,主要体现在如下两个方面:1. 由角定角已知角的关系→(判定)两直线平行→(性质)确定其他角的关系.2.由线定线已知两直线平行→(性质)角的关系行→(判定)确定其他两直线平行..平行线判定方法:(1) 同位角 相等,两直线平行。

.(2) 内错角相等,两直线平行。

(3) 同旁内角互补,两直线平行。

(4) 垂直于同一直线的两直线平行(5) 如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线平行。

平行线的性质:(1)两直线平行,同位角相等。

(2) 两直线平行,内错角相等。

(3) 两直线平行, 同旁内角互补。

【基础训练】1.下列命题正确的有 (填序号 )(1)两条直线被第三条直线所截,一定有同位角,所以这两条直线一定平行.(2)两直线不平行,同旁内角不互补.(3)如图,若1l ∥2l ,则∠1+∠2=180°.(4)如图,AD ∥BC ,则∠B +∠C =180°.(5)平行线的同位角的平分线互相平行.2.下列说法正确的是( )A .经过一点有一条直线与已知直线平行B .经过一点有无数条直线与已知直线平行C .经过一点有且只有一条直线与已知直线平行D .经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行3.下列说法正确的有( )①不相交的两条直线是平行线;②在同一平面内,两条直线的位置关系有两种; ③若线段AB 与CD 没有交点,则AB ∥CD ;④若a ∥b ,b ∥c ,则a 与c 不相交.⑤两条射线或线段互相垂直是指它们所在的直线互相垂直.A .1个B .2个C .3个D .4个N FE D C B A N M A CD B EB DC A 4.已知:如图,∠BAE +∠AED =180°,∠1=∠2.求证:∠M =∠N .证明:∵∠BAE +∠AED =180°( ),∴ ∥ ( ).∴∠BAE = .又∵∠1=∠2(已知 ),∴∠BAE -∠1= - ( ).即∠MAE = .∴ ∥ ( ).∴∠M =∠N ( ).5如图,一张长方形纸条ABCD 沿MN 折叠后形成的图形,∠DMN =80°,求∠BNC 的度数.6.已知:如图AB //CD ,BCD DAB ∠=∠,AE 、BE 分别平分DAB ∠、ABC ∠.请求出E ∠的度数.7.如下图,已知AD ⊥BC ,NE ⊥BC ,∠E =∠EFA ,求证:AD 平分∠BAC .8.如图,已知︒=∠+∠18021, B ∠=∠3.试判断AED ∠与C ∠的关系,并予以说明.G EB D 321FCA9.如图,︒=∠25B ,︒=∠45BCD ,︒=∠30CDE ,︒=∠10E .求证: AB ∥EF .【例1】如图,AB ∥CD ,AC ⊥BC ,图中与∠CAB互余的角有个. (安徽省中考题)思路点拨 充分运用对顶角、平行线性质等与角相关的知识,借助互余的概念判断. 注:平面几何的研究除了运用计算方法外,更多的要依靠时图形的观察(直觉能力),运用演绎推理的方法去完成,往往需要通过观察、实验操作进而猜想蛄论(性质),或由预设结论去猜想条件,再运用演绎推理方法加以证明.在学习完相交线、平行线内容后,平面几何的学习就由实验几何阶段进入论证几何阶段,顺利跨越推理论证阶段,需注意以下几点:(1)过好语言关;(2)学会识图;(3)善于分析.【例2】 如图,平行直线AB 、CD 与相交直线EF 、GH 相交,图中的同旁内角共有( ) .A .4对B .8对C .12对D .16对( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨 每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角,从对原图形进行分解人手.【例3】如图,已知∠B =25°,∠BCD =45°,∠CDE=30°,∠E =10°求征:AB ∥EF .思路点拨 解本例的困难在于图形中没有“三线八角”,考虑创造条件,在图中添置“三线八角”或作出与AB 或CD 平行的直线.【例4】 如图,在ΔABC 中,CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F ,AC ∥ED ,CE 是∠ACB 的平分线.求证:∠EDF =∠BDF .(天津市竞赛题)EC DF A MN思路点拨综合运用角平分线、垂直的定义、平行线的判定与性质等知识,因图形复杂,故需恰当分解图形.【例5】探究:(1)如图a,若AB∥CD,则∠B+∠D=∠E,你能说明为什么吗?(2)反之,若∠B+∠D=∠E,直线AB与CD有什么位置关系?请证明;(3)若将点E移至图b所示位置,此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?请证明;(4)若将E点移至图c所示位置,情况又如何?(5)在图d中,AB∥CD,∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系?(6)在图e中,若AB∥CD,又得到什么结论?思路点拨已知AB∥CD,连结AB、CD的折线内折或外折,或改变E点位置、或增加折线的条数,通过适当地改变其中的一个条件,就能得出新的结论,给我们创造性的思考留下了极大的空间,解题的关键是过E点作AB(或CD)的平行线,把复杂的图形化归为基本图形.注:分析主要从以下两个方面进行:(1)由因导果(综合法),即从已知条件出发推出相应结论.(2)执果溯因(分析法),即要得到结论需具备什么条件.解题时,我们既要抓住条件,又要盯住目标,努力促使已知与来知的转化与沟通.探索性问题一般具有以下特点:(1)给出了条件,但没有明确的结论;(2)给出了结论,但没有给出或没有全部给出应具备的条件,(3)先提出特殊情况进行研究,再要求归纳、猜测和确定一般结论;(4)先对某一给定条件和结论的问题进行研究,再探讨改变条件时其结论相应发生的变化,或改变结论时其条件相应发生的变化;(5)解题方法需要独立创新.“解题千万道,解后抛九霄”是难以达到提高解题能力,发展思维的目的的.善于作解题后小结,回顾解题过程,总结解题经验和体会,再进而作一题多解,一题多问,一题多变的思考,挖掘题目的深度和广度,扩大题目的辐射面,这对解题能力的提高是十分有益的.学力训练1.如图,已知AE∥CD,EF交AB于M,MN⊥EF于M,NN交CD于N,若∠BME=110°,则∠MND= .(湖北成宁市中者题)2.如图,若直线a,b分别与直线c,d相交,且∠1+∠3=90°,∠2一∠3=90°,∠4=115°,那么∠3= .3.如图,已知AB∥CD,∠1=100°,∠2=120°,则∠α= .(内蒙古中考题)4.已知两个角的两边分别平行,其中一个角为40°,那么另一角是度.5.如图,下列条件中,不能判断直线l1∥l2的是( ).A.∠l=∠3 B.∠2=∠3 C.∠4=∠5 D.∠2+∠4=180°(南通市中考题)6..已知线段AB的长为10cm,点A、B到直线L的距离分别为6cm和4cm,符合条件l 的条数为( ).A.1 B.2 C.3 D.4(安徽省中考题)7.如图,直线a、b都与直线c相交,给出下列条件:(1)∠l=∠2;(2)∠3=∠6;(3)∠4+∠7=180°;(4)∠5+∠8=180°,其中能判断a∥b的是( ).A.(1)、(3) B.(2)、(4) C.(1)、(3)、(4) D.(1)、(2)、(3)、(4)(江苏盐城市中考题)8.如图,AB∥EF∥DC,EG∥DB,则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有( ).A.6个D.5个C.4个D.3个(湖北省荆门市中考题)9.如图,已知∠l+∠2=180°,∠3=∠B,试判断∠AED与∠ACB的大小关系,并对结论进行证明.10.如图,已知∠1十∠2=180°,∠A=∠C,AD平分∠BDF.求证:BC平分∠DBE.15.如图,D、G是ΔABC中AB边上的任意两点,DE∥BC,GH∥DC,则图中相等的角共有( ).A,4对B.5对 C .6对D.7对16.如图,若AB∥CD,则( ).A.∠1=∠2+∠3 B.∠1=∠3一∠2C.∠1+∠2+∠3=180°∠l一∠2十∠3=180°17.如图,AB∥CD∥EF,EH⊥CD于H,则∠BAC+∠ACE+∠CEH等于( ).A.180°B.270°C.360°D.450°18.如图,AB∥EF,∠C=90°,则α、β和γ的关系是( ).A.β=α+γB.α+β+γ=180°C.α+β-γ=180°D.β+γ-α=180°19.如图,已知AB∥CD,P为HD上任意一点,过P点的直线交HF于O点,试问:∠HOP、∠AGF、∠HPO有怎样的关系?用式子表示并证明.20.如图,已知AB∥CD,α=∠A+∠E,β=∠B+∠C+∠D,证明:β=2α.22.如图,已知射线CB∥OA,∠C=∠OAB=100°,E、F在CB上,且满足∠FOB=∠AOB,OE平分∠COF.(1)求∠EOB的度数.(2)若平行移动AB,那么∠OBC:∠OFC的值是否随之发生变化?若变化,找出变化规律;若不变,求出这个比值.(3)在平行移动AB的过程中,是否存在某种情况,使∠OEC=∠OBA?若存在,求出其度数;若不存在,说明理由.。

平行线的判定课件

平行线的判定课件
建筑结构
在建筑结构设计中,为了确保结 构的稳定性和安全性,常常需要 使用平行线的概念来设计和建造 支撑结构。
平行线在生产实践中的应用
机械制造
在机械制造中,为了确保机器的精确 度和稳定性,需要使用平行线的概念 来制造和校准机器部件。
电子设备
在电子设备中,平行线被广泛应用于 电路板的布线和元件的排列,以确保 电流的稳定传输和元件的正常工作。
平行线在几何证明中的应用
平行线的判定定理
通过平行线的性质和判定定理,可以证明两条直线是否平行,从而解决一些几何证明问题。
平行线在几何证明中的重要性
平行线是几何证明中的重要工具,通过平行线可以推导出许多重要的几何结论,如角平分线定理、勾股定理等。
平行线在日常生活中的应用
道路规划
在道路规划中,为了确保车辆行 驶的安全和顺畅,需要确保道路 的平直和方向的一致性。平行线 的概念在这里发挥了重要作用。
同旁内角可以判定两条直线平行 。
详细描述
根据平行线的性质,如果两条直线被第三条 直线所截,且同旁内角互补,则这两条直线 平行。可以通过反证法证明这一点,假设两 条直线不平行,则它们相交于一点,由此产 生的同旁内角不互补,与已知条件矛盾,因 此假设不成立,原命题成立。
内错角相等判定法的证明
总结词
通过内错角相等,可以判定两条直线平 行。
VS
详细描述
根据平行线的性质,如果两条直线被第三 条直线所截,且内错角相等,则这两条直 线平行。可以通过相似三角形的性质进行 证明,设两直线分别为AB和CD,交于点 E,若内错角相等,则△ADE与△CBE相似 ,从而AB与CD平行。
同旁内角互补判定法
总结词
当两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,则这两条直线平行。

第一章平行线的性质七年级数学课件PPT

第一章平行线的性质七年级数学课件PPT
解:∵AE∥BC(已知), ∴∠DAE=∠B(两直线平行,同位角相等), ∠EAC=∠C(两直线平行,内错角相等), ∵∠B=∠C(已知),∴∠DAE=∠EAC(等量代换). ∴AE平分∠CAD(角平分线的定义).
总结
本题同时运用了“两直线平行,同位角 相等”和“两直线平行,内错角相等”, 提供了一种说明两个角相等的新思路.
人教版数学
七年级
1.6
教育教学课件
平行线的性质
第一章相交线与平行线数学课件
学习目标
课堂讲解
平行线的性质 平行线的性质与判定的关系
课时流程
逐点 导讲练
课堂小结
作业提升
课时导入
复习回顾
1、什么叫做平行线? 2、平行线的判定方法有哪些?
感悟新知
知识点 平行线的性质
ห้องสมุดไป่ตู้
1.定理:两直线平行,同位角相等.
(1)已知:如图1,直线AB//CD,∠1和∠2是直线AB,CD被直线
总结
当题目已知条件中出现两直线平行时,要考虑是否 出现了相等的角. 平行线和角的大小关系是紧密联系在一起的,由平 行线可以得到相等的角,反过来又可以由相等的角 得到新的一组平行线,这种由角的大小关系与直线 的位置关系的相互转化在解题中会经常涉及.
讲一讲
01.定理:两直线平行,内错角相等.
(1)已知:如图,直线l1//l2,∠1和∠2是 直线l1,l2被直线l截出的内错角.
图形 定义、性质 结论
人教版数学
七年级
1.6
教育教学课件
感谢您的聆听
第一章相交线与平行线数学课件
练一练
01.(中考·东莞)如图,直线a∥b,∠1=75°,∠2=35°,则∠3的度

平行线的判定与性质讲义

平行线的判定与性质讲义

平行线的判定与性质讲义一.知识回顾: (一)、与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合应用,主要体现在以下两个方面:1. 由角定角已知角的关系两直线平行 确定其它角的关系2. 由线定线已知两直线平行 角的关系 确定其它两直线平行(二)、探索几何问题的解决方法,主要从以下两个方面去分析:1. 由因导果(综合法):即——从已知条件出发,推出相应的结论。

2. 执果溯因(分析法):即——要得到结论需要具备什么条件。

所以:解题时,我们即要抓住条件,又要盯住目标,努力促使已知与未知的转化与沟通。

二.例题评析1.如图, 已知:∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6.求证: AD ∥BC.2如图,AD ⊥BC 于点D ,EF ⊥BC 于点F ,EF 交AB 于点G ,交CA 的延长线于点E ,且∠1=∠2.AD 平分∠BAC 吗?说说你的理由.A BCD E F2 3 145 6 12 AB CD F GE3. 如图,已知一个面积为50cm 2的正方形与另一个小正方形并排放在一起,求:⊿ABC 的面积。

(重庆市竞赛题)4.如图,如果AB ∥CD ,请猜想α、β、γ之间的关系,并加以说明。

三.专题精练(一)平行线之间的基本图形 如图,AB//CD ,那么A E C A ∠∠∠与、有什么关系?DDECγβαDCB A(二) 两组平行线的证明题【找出连接两组平行线的角】已知:如图,CD 平分∠ACB ,AC ∥DE ,∠DCE=∠FEB ,求证:EF 平分∠DEB .(三)、两组平行线构造平行四边形已知:如图,AB 是一条直线,∠C = ∠1,∠2和∠D 互余,BE ⊥FD 于G .求证:AB ∥CD .(四)、证特殊角已知:如图,AB ∥DE ,CM 平分∠BCE ,CN ⊥CM .求证:∠B =2∠DCN .(五)、寻找角之间的关系已知,如图,BCE 、AFE 是直线,AB ∥CD ,∠1=∠2,∠3=∠4。

平行线的性质与判定_讲义

平行线的性质与判定_讲义

一、授课目的与分析:一、授课目的与分析:教学目标:1. 了解平行线的概念和两条直线的位置关系了解平行线的概念和两条直线的位置关系2. 掌握平行公理及其推论,掌握两直线平行的判定方法和平行线的性质掌握平行公理及其推论,掌握两直线平行的判定方法和平行线的性质重 点:平行公理及其推论、两直线平行的判定方法和平行线的性质的应用平行公理及其推论、两直线平行的判定方法和平行线的性质的应用 难 点:平行的性质和判定的综合应用二、授课内容:二、授课内容: 平行线的性质与判定教学过程:【知识点】【知识点】1、平行线的概念:、平行线的概念:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线a 与直线b 互相平行,记作a ∥b 2、两条直线的位置关系、两条直线的位置关系在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:⑴相交;⑵平行。

在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:⑴相交;⑵平行。

3、平行公理――平行线的存在性与惟一性、平行公理――平行线的存在性与惟一性经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行4、平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行、平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行5、 平行线的判定与性质平行线的判定与性质 平行线的判定平行线的判定 平行线的性质平行线的性质 1、 同位角相等,两直线平行同位角相等,两直线平行 2、 内错角相等,两直线平行内错角相等,两直线平行 3、 同旁内角互补,两直线平行同旁内角互补,两直线平行 4、 平行于同一条直线的两直线平行平行于同一条直线的两直线平行 5、 垂直于同一条直线的两直线平行垂直于同一条直线的两直线平行 1、两直线平行,同位角相等、两直线平行,同位角相等 2、两直线平行,内错角相等、两直线平行,内错角相等 3、两直线平行,同旁内角互补、两直线平行,同旁内角互补 4、经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行知直线平行 6两条平行线的距离两条平行线的距离如图,直线AB ∥CD ,EF ⊥AB 于E ,EF ⊥CD 于F ,则称线段EF 的长度为两平行线AB 与CD 间的距离。

《平行线的判定定理》课件

《平行线的判定定理》课件

平行线的同旁内角互补定理
总结词
同旁内角互补是判断两直线平行的关键条件。
详细描述
当两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,则这两条直线平行。具体来 说,如果同旁内角之和等于180度,则这两条直线平行。
平行线的内错角相等定理
总结词
内错角相等是判断两直线平行的又一 重要条件。
详细描述
当两条直线被第三条直线所截,如果 内错角相等,则这两条直线平行。具 体来说,如果内错角相等,则这两条 直线平行。
平行线表示方法
用“//”表示两条直线平行。
平行线性质符号表示
同位角相等(∠1=∠2),内错角相等(∠3=∠4),同旁内角互补( ∠5+∠6=180°)。
平行线的性质
平行线的性质
同位角相等、内错角相等、同旁内角 互补。
平行线性质的应用
证明两直线平行、计算角度大小、解 决几何问题。
02
平行线的判定定理
键之一。
04
练习题与解析
基础练习题
01
基础练习题1:题目1 、2、3
02
基础练习题2:题目4 、5、6
03
基础练习题3:题目7 、8、9
进阶练习题
1 2
3
进阶练习题1
题目10、11、12
进阶练习题2
题目13、14、15
进阶练习题3
题目16、17、18
综合练习题
综合练习题1 综合练习题2 综合练习题3
题。
角的度量与计算
02
介绍角的度量单位和方法,以及如何进行角的计算。
复习与巩固
03
对本单元所学知识进行复习巩固,强化学生对平行线和相交线
知识的掌握。
THANKS

平行线的性质ppt课件

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那么 EC∥ BD.( 内错角相等,两直线平行 ) ③ 如果∠2+∠B=180°,
那么 EC∥ BD.( 同旁内角互补,两直线平行 )
新课导入
问题:平行线的判定方法有哪些?
1.同位角?相等 2.内错角?相等 3.同旁内角?互补
两直线平行
思考:反过来,如果两条直线平行,同位角、 内错角、同旁内角各有什么关系?
l1 1
∴ ∠1=∠3(两直线平行,同位角相等). l2
2
又∵ ∠2=∠3(对顶角相等),
3
∴ ∠1=∠2(等量代换).
定理 两条平行直线被第三条直线所截,内错
角相等.
l
①文字简述:两直线平行,内错角相等. l1
②符号语言:
1
如图,l1∥l2(已知),
l2
2
∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等).
D C
例 如图,已知AB∥CD,∠B=∠D,求证:AD∥BC. 证法二:
如图,延长BA.( 构造一组同位角 )
∵AB∥ CD(已知),
A1
∴∠1=∠D(两直线平行,内错角相等).
∵∠B=∠D(已知),
B
∴∠1=∠B(等量代换).
∴AD∥ BC(同位角相等,两直线平行).
D C
例 如图,已知AB∥CD,∠B=∠D,求证:AD∥BC.
问题3:你能说说证明的思路吗?
证明:假设∠1≠∠2,那么我们可以过
G
E
M点作直线GH,使∠EMH =∠2,如
A
M
1
B H
图所示. 根据“同位角相等,两直线平行”,
CN 2
D 可知GH∥CD.
F
如果∠1≠∠2,
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平行线的判定公开课课件

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平行线的判定公开课 课件
目 录
• 平行线的定义及性质 • 平行线的判定方法 • 平行线的证明技巧 • 平行线在几何中的应用 • 平行线的判定在代数中的应用 • 复习与思考
PART 01
平行线的定义及性质
平行线的定义
同一平面内,不相交的两条直线 叫做平行线。
平行线的定义是几何学中最基本 的定义之一,它反映了直线之间
详细描述
如果一条直线a与另一条直线b平行,那么经过a的所有直线都与b平行。这个性质可以用来证明两条直 线a和c平行,只需要证明它们都与第三条直线b平行即可。
利用平行线的判定定理证明
总结词
平行线的判定定理是证明平行线的基础,通过不同的判定定理可以得出不同的证明方法。
详细描述
平行线的判定定理包括内错角相等、同位角相等、同旁内角互补等,根据不同的条件选择不同的定理进行证明。 比如,可以利用内错角相等定理证明AB//CD。
03
1. 同位角相等,两直线平行;
04
2. 内错角相等,两直线平行;
05
3. 同旁内角互补,两直线平行。
06
思考 题
利用平行线的性质解决实际问题时, 需要考虑实际情况和具体问题,选择 合适的方法进行求解。
例如:在建筑设计、机械制造、道路 交通等领域中,利用平行线的性质可 以解决许多实际问题,如确定物体位 置、计算长度、设计图形等。
举例
例如,在二次函数$y=ax^2+bx+c$中,如果两条直线$y=mx+n$和$y=px+q$平行, 则可以通过平移将这两条直线转化为$y=mx+n+k$和$y=px+q+k$的形式,从而轻松解 决与二次函数相关的问题。

《平行线的性质》课件

《平行线的性质》课件

反向平行线的性质
• 反向平行线具有相反的斜率。 • 反向平行线之间的距离保持不变。
三、平行线的特殊角度
同位角及其性质
• 同位角是两条平行线 之间的对应角,它们
• 相同等 位。 角具有相等的补 角、余角。
内错角及其性质
• 内错角是两条平行线 之间的相交角,它们
• 互内补错。角具有相等的对 顶角。
相关角及其性质
《平行线的性质》PPT课 件
这是一份关于平行线的精彩课件,通过介绍平行线的基本定义、性质、应用、 证明,并进行综合练习,帮助大家深入理解和应用平行线的知识。
一、基本定义
平行线的概念
平行线是永远不会相交的两条直线。
平行线的符号表示
用“//”表示两条线段平行。
二、平行线的性质
同向平行线的性质
• 同向平行线具有相等的斜率。 • 同向平行线之间的距离保持不变。
对平行线的思考与感悟
通过学习平行线的性质,反思几何学对我们日常生活的影响和意义。
• 相关角是两条平行线 之间的内角与外角。
• 相关角之和等于180°。
四、平行线的应用
1
平行线的实际应用
2
例如,在城市规划中,平行线可用于 规划马路的设计和建设。
平行线的应用场景
平行线的应用广泛,如建筑设计、地 图制作等。
五、平行线的证明
平行线的证明方法
通过等角、等比和等边等多种证明方法来证明平行线。
平行线证明例题
通过实例演示如何在几何问题中使用平行线的证明。
六、综合练习
பைடு நூலகம்
1
综合运用平行线的知识解题
通过题目练习,提升对平行线性质的理解和应用能力。
2
平行线的综合练习题

平行线的性质ppt课件

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A. 100°
B. 110°
C. 120°
D. 130°
(第 8 题图)
(第 9 题图)
9. 如图,AB∥CD∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF= (
A. 120°
B. 180°
C. 270°
) D. 360°
-5-
7.5 平行线的性质
10. 如图,AB∥CD,AE 平分∠CAB 交 CD 于点 E,若 ∠C=48°,则∠AED 等于 ______.
答案:解:EF∥BC,DE∥AB. 理由:∵∠1∶∠2∶∠3=2∶3∶4, ∴ 可设∠1=2k,∠2=3k,∠3=4k. ∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定义), ∴2k+3k+4k=180°, ∴9k=180°,k=20°, ∴∠1=40°,∠2=60°,∠3=80°. ∵∠AFE=60°(已知), ∴∠AFE=∠2(等量代换), ∴DE∥AB(内错角相等,两直线平行). ∵∠BDE=120°, ∴∠BDE+∠2=180°, ∴EF∥BC(同旁内角互补,两直线平行).
(第 10 题图)
-6-
7.5 平行线的性质
第二课时 平行线性质与判定的综合应用
▍考点集训/夯实基础
■考点 1 平行线性质与判定的综合应用
1. 如图,∠1=∠2,∠3=40°,则∠4 等于 (
A. 120°
B. 130°
C. 140°
) D. 40°
(第 1 题图)
-7-
7.5 平行线的性质
2. 点 P 为互相垂直的直线 a、b 外一点,过点 P 分别画直线 c、d,使
选择平行线的哪条性质来应用会使得计算简便.
-5-

平行线的判定及性质课件

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05
总结与展望
总结
01
02
03
04
05

直线平行的定义
直线平行的判定 方法
直线平行的性质
平行线在实际生 活中的应用
平行线在数学中 的地位
在同一平面内,不相交的 两条直线叫做平行线。
同位角相等,两直线平行 ;内错角相等,两直线平 行;同旁内角互补,两直 线平行。
两直线平行,同位角相等 ;两直线平行,内错角相 等;两直线平行,同旁内 角互补。
在几何图形中,平行线具 有非常重要的应用价值, 如矩形、菱形、正方形等 都有平行线的性质。
平行线是数学几何学中的 重要概念之一,是研究平 面图形性质的基础之一。 掌握平行线的判定方法和 性质对于学习数学几何学 非常重要。
展望
进一步探索平行线的性质
加强实际应用
除了已经学习的平行线的基本性质外,还 有许多复杂的性质和定理,值得进一步探 索和学习。
详细描述
在制造业中,机器人使用平行线来定位和移动物体,进行高效和精确的生产操作。例如 ,在汽车制造中,机器人通过使用平行线来定位和抓取车辆部件,以提高生产效率和质 量。在医疗领域,手术机器人使用平行线来精确控制手术器械,提高手术的准确性和安
全性。
04
平行线在数学问题中 的应用
代数中与平行线相关的知识点
在道路交通中,平行线是确保车辆安全行驶的重要标志。它们被用来划分车道、标识道路边缘以及引 导驾驶员在正确的车道上行驶。在高速公路上,平行线被用来表示应急车道和车道分隔线,帮助驾驶 员在紧急情况下做出正确的反应。
机器人在工作中的应用
总结词
机器人广泛应用于生产制造、医疗服务和军事等领域,平行线在机器人的工作中发挥着 重要作用。
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平行线的判定和性质(综合篇)一、重点和难点:重点:平行线的判定性质。

难点:①平行线的性质与平行线的判定的区分②掌握推理论证的格式。

二、例题:这部分内容所涉及的题目主要是从已知图形中辨认出对顶角、同位角、内错角或同旁内角。

解答这类题目的前提是熟练地掌握这些角的概念,关键是把握住这些角的基本图形特征,有时还需添加必要的辅助线,用以突出基本图形的特征。

上述类型题目大致可分为两大类。

一类题目是判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题。

其方法是“由线定角”,即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补。

另一类题目主要是“由角定线”,也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线平行,解此类题目必须要掌握好平行线的判定方法。

例1.如图,已知直线a,b,c被直线d所截,若∠1=∠2,∠2+∠3=180°,求证:∠1=∠7分析:运用综合法,证明此题的思路是由已知角的关系推证出两直线平行,然后再由两直线平行解决其它角的关系。

∠1与∠7是直线a和c被d所截得的同位角。

须证a//c。

法(一)证明:∵d是直线(已知)∴∠1+∠4=180°(平角定义)∵∠2+∠3=180°,∠1=∠2(已知)∴∠3=∠4(等角的补角相等)∴a//c(同位角相等,两直线平行)∴∠1=∠7(两直线平行,同位角相等)法(二)证明:∵∠2+∠3=180°,∠1=∠2(已知)∴∠1+∠3=180°(等量代换)∵∠5=∠1,∠6=∠3(对顶角相等)∴∠5+∠6=180°(等量代换)∴a//c (同旁内角互补,两直线平行)∴∠1=∠7(两直线平行,同位角相等)。

例2.已知如图,∠1+∠2=180°,∠A=∠C,AD平分∠BDF,求证:BC平分∠DBE。

分析:只要求得∠EBC=∠CBD,由∠1+∠2=180°推出∠1=∠BDC,从而推出AE//FC,从而推出∠C=∠EBC而∠C=∠A于是可得∠A=∠EBC。

因此又可得AD//BC,最后再运用平行线性质和已知条件便可推出∠EBC=∠DBC。

证明:∵∠2+∠BDC=180°(平角定义)又∵∠2+∠1=180°(已知)∴∠BDC=∠1(同角的补角相等)∴AE//FC(同位角相等两直线平行)∴∠EBC=∠C(两直线平行内错角相等)又∵∠A=∠C(已知)∴∠EBC=∠A(等量代换)∴AD//BC(同位角相等,两直线平行)∴∠ADB=∠CBD(两直线平行,内错角相等)∠ADF=∠C(两直线平行,同位角相等)又∵DA平分∠BDF(已知)∴∠ADB=∠ADF(角平分线定义)∴∠EBC=∠DBC(等量代换)∴BC平分∠DBE(角平分线定义)说明:这道题反复应用平行线的判定和性质,这是以后在证题过程中经常使用的方法,见到“平行”应想到有关的角相等,见到有关的角相等,就应想到能否判断直线间的平行关系。

把平行线的判定与性质紧密地结合在一起也就是使直线平行和角相等联系在一起,这样解题能得心应手,灵活自如。

三、小结:证明角相等的基本方法1、第一章、第二章中已学过的关于两个角相等的命题:(1)同角(或等角)的余角相等;(2)同角(或等角)的补角相等;(3)对顶角相等;(4)两直线平行,同位角相等;内错角相等;同旁内角互补。

以上四个命题是我们目前论证两个角相等的武器,但是何时用这些武器,用什么武器,怎样使用,这是遇到的一个具体问题,需要认真进行分析。

首先必须分析,在题设中给出了哪些条件,与其相关的图形是什么!其次再分析一下要证明的两个角在图形的具体位置,与已知条件有什么关联,怎样运用一次推理或几个一次推理的组合而来完成题设到结论的过渡。

例3,如图∠1=∠2=∠C,求证∠B=∠C。

分析:题设中给出三个相等的角,其中∠2和∠C是直线DE和BC被AC所截构成的同位角,由∠2=∠C则DE//BC。

再看题中要证明的结论是∠B=∠C,由于∠C=∠1,所以只要证明∠1=∠B,而∠1与∠B是两条平行直线DE,BC被直线AB所截构成的同位角,∠1=∠B是很显然的,这样我们就理顺了从已知到求证的途径:证明:∵∠2=∠C(已知),∴DE//BC(同位角相等,两直线平行),∴∠1=∠B(两直线平行,同位角相等),又∵∠1=∠C(已知),∴∠B=∠C(等量代换)。

例4、已知如图,AB//CD,AD//BC,求证:∠A=∠C,∠B=∠D。

分析:要证明∠A=∠C,∠B=∠D,从这四个角在图中的位置来看,每一组既不构成同位角,也不是内错角或同旁内角,由此不可能利用题设中的平行关系,经过一次推理得到结论,仍然如同例10一样通过等角进行转化,从题设条件出发,由AB//CD,且AB与CD被直线BC所截,构成了一对同旁内角,∠B、∠C,因此∠B+∠C=180o,同时∠B又是另一对平行线AD、BC被直线AB所截,构成的一对同旁内角∠B、∠A,∠B+∠A=180o,通过∠B的中介,就可以证明得∠A=∠C。

同理,也可得到∠B=∠D,整个思路为:证明:AD//BC(已知),∴∠A+∠B=180o(两直线平行,同旁内角互补),∵AB//CD(已知),∴∠B+∠C=180o(两直线平行,同旁内角互补),∴∠A=∠C(同角的补角相等),同理可证∠B=∠D。

例5、已知如图,AD⊥BC于D,EG⊥BC于G,∠E=∠3,求证:∠1=∠2。

分析:要证明∠1=∠2,而从图中所示的∠1和∠2的位置来看,根据题设或学过的定义、公理、定理无法直接证明这两个角相等,因我们可将视野再拓广一下,寻找一下∠1、∠2与周边各角的关系,我们看到直线AD与GE被直线AE所截,形成同位角∠1、∠E;被AB所截,形成内错角∠2、∠3;而题设明确告诉我们∠3=∠E,于是目标集中到证明AD//GE,根据题设中AD⊥BC,EG⊥BC,我们很容易办到这一点,总结一下思路,就可以得到以下推理程序:证明:∵AD⊥BC于D(已知),∴∠ADC=90o(垂直定义),∵EG⊥BC于G(已知),∴∠EGD=90o(垂直定义),∴∠ADC=∠EGD(等量代换),∴EG//AD(同位角相等,两直线平行),∴∠1=∠E(两直线平行同位角相等),∠2=∠3(两直线平行内错角相等),又∵∠E=∠3(已知),∴∠1=∠2(等量代换)。

四、两条直线位置关系的论证。

两条直线位置关系的论证包括:证明两条直线平行,证明两条直线垂直,证明三点在同一直线上。

1、学过证明两条直线平行的方法有两大类(一)利用角;(1)同位角相等,两条直线平行;(2)内错角相等,两条直线平行;(3)同旁内角互补,两条直线平行。

(二)利用直线间位置关系:(1)平行于同一条直线的两条直线平行;*(2)垂直于同一条直线的两条直线平行。

例6、如图,已知BE//CF,∠1=∠2,求证:AB//CD。

分析:要证明AB//CD,由图中角的位置可看出AB与CD被BC所截得一对内错角∠ABC 和∠DCB,只要证明这对内错角相等,而图中的直线位置关系显示,∠ABC=∠1+∠EBC,∠BCD=∠2+∠FCB,条件中又已知∠1=∠2,于是只要证明∠EBC=∠BCF。

证明:∵BE//CF(已知),∴∠EBC=∠FCB(两直线平行,内错角相等)∵∠1=∠2(已知),∴∠1+∠EBC=∠2+FCB(等量加等量其和相等),即∠ABC=∠BCD(等式性质),∴AB//CD(内错角相等,两直线平行)。

例7、如图CD⊥AB,EF⊥AB,∠1=∠2,求证:DG//BC。

分析:要证明DG//BC,只需证明∠1=∠DCB,由于∠1=∠2,只需证明∠2=∠DCB,∠2与∠DCB又是同位角,只需证明CD//EF。

根据题设CD⊥AB,EF⊥AB,CD//EF,很容易证得,这样整个推理过程分成三个层次。

(1)(平行线的判定)(2)CD//EF∠2=∠DCB(平行线的性质)(3)∠1=∠DCB DG//BC(平行线判定)在这三个推理的环节中,平行线的判定和性质交替使用,层次分明。

证明:∵CD⊥AB于D(已知),∴∠CDB=90o(垂直定义),∵EF⊥AB于F(已知),∴∠EFB=90o(垂直定义),∴∠CDB=∠EFB(等量代换),∴CD//EF(同位角相等,两直线平行),∴∠2=∠DCB(两直线平行,同位角相等)又∵∠1=∠2(已知),∴∠1=∠DCB(等量代换),∴DG//BC(内错角相等,两直线平行)。

说明:从以上几例我们可以发现,证明两条直线平行,必须紧扣两直线平行的条件,往往归结于求证有关两个角相等,根据图形找出两直线的同位角、内错角或同旁内角,设法证明这一组同位角或内错角相等,或同旁内角互补。

而证明两角相等,又经常归于证明两直线平行。

因此,交替使用平行线的判定方法和平行线的性质就成为证明两直线平行的常用思路。

2、已经学过的证明两直线垂直的方法有如下二个:(1)两直线垂直的定义(2)一条直线和两条平行线中的一条垂直,这条直线也和另一条垂直。

(即证明两条直线的夹角等于90o而得到。

)例8、如图,已知EF⊥AB,∠3=∠B,∠1=∠2,求证:CD⊥AB。

分析:这是一个与例14同样结构的图形,但证明的目标却是两条直线垂直。

证明CD⊥AB,根据“一条直线垂直于两条平行线中的一条,必垂直于另一条。

”又由于已知条件EF⊥AB,只要证明EF//CD,要证EF//CD,结合图形,只要证明∠2=∠DCB,因为∠1=∠2,只需证明∠DCB=∠1,而∠DCB与∠1是一对内错角,因而根据平行线的性质,就需证明DG//BC,要证明DG//BC 根据平行线的判定方法只需证明∠3=∠B,而这正是题设给出的条件,整个推理过程经过以下几个层次:∠3=∠B DG//BC∠DCB=∠2(1)平行线判定(2)平行线性质CD⊥AB(3)平行线判定性质(4)垂直定义证明:∵∠3=∠B(已知),∴DG//BC(同位角相等,两直线平行)∴∠1=∠DCB(两直线平行,内错角相等),∵∠1=∠2(已知),∴∠DCB=∠2(等量代换),∴DC//EF(同位角相等,两直线平行),有括号部分的五步也可以用以下证法:接DC//EF(同位角相等,两直线平行),又∵EF⊥AB(已知),∴CD⊥AB(一条直线和两条平行线中的一条垂直,这条直线也和另一条垂直。

)3、已经学过的证明三点共线的方法在前面的几讲中已分析过,若证明E、O、F三点共线,通常采用∠EOF=180o,利用平角的定义完成三点共线证明。

此方法不再举例。

五、一题多解。

例9、已知如图,∠BED=∠B+∠D。

求证:AB//CD。

法(一)分析:要证明AB//CD,从题设中条件和图形出发考虑,图形中既不存在“三线八角”,又不存在与AB、CD同时平行的第三条直线或与AB、CD同时垂直的直线,这样就无法利用平行线公理的推理或平行线的判定方法来证明两条直线平行。

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