5.5 阿贝尔群与循环群
离散数学第五章
作业：P178 (2)；P185 (1), (2)
5.3 半群和独异点
一、半群
1、定义
①具有运算封闭性的代数系统A=〈s，*〉 称为 广群，满足运算封闭、结合律的代数 系统 A=＜s，*＞，称为半群，这里*是二 元运算。 ②存在么元的半群称为独异点，也称含么 半群， 单位半群，单元半群。
5.3 半群和独异点
二、么元（单位元）和零元
例：代数A=〈{a，b，c}， ○ 〉用下表定义： ○ a b c 特殊元: b是左么元，无右么元; a是右零元，b是右零元， 无左零元; 运算:既不满足结合律，也不满足交换律。 a a a a b b b b c b c a
二、么元（单位元）和零元
例: a）〈I，x〉， I为整数集
5.2 运算及其性质
5.吸收律：设<A，*，△>，若x，y，z∈A有: x*(x △z)=x 称运算*满足吸收律; x △(x * y) =x； 运算 △满足吸收律
例:N为自然数集,x,y∈N，x*y=max{x，y},
x△y=min{x，y}
试证：*，△满足吸收律 证明：x，y∈N， x*（x△y）=max{x，min{x，y}}=x ∴*满足吸收律 x x≥y x<y x≥y =x =x
则么元为1，零元为0
b）〈（s）,∪,∩〉 对运算∪，是么元， s是零元，
对运算∩，s是么元 ，是零元。 c）〈N，+〉 有么元0，无零元。
二、么元（单位元）和零元
2、性质
性质1: 设*是s上的二元运算，满足结合律，具 有左么元el，右么元er，则el=er=e 证明： er = el* er = e
闭否，<A，+>，<A，/>呢？ 解：2r，2s∈A， 2r x 2s=2r+s∈A （r+s∈Ｎ）
阿贝尔群简单解释
阿贝尔群简单解释
阿贝尔群（Abelian group）是数学中的一个概念，它是一种特殊的群，其中每个元素的逆元是其自身。
换句话说，群中的每个元素都是其自身的逆元。
阿贝尔群在代数和拓扑学中都有重要的应用。
阿贝尔群的一个重要特性是它的所有元素都可以被分解为有限个元素的乘积，而且这些元素的逆元可以很容易地找到。
这个特性使得阿贝尔群在许多问题中可以更加容易地处理。
阿贝尔群的另一个重要特性是它的所有子群都是正规的。
这意味着，如果一个子群包含了群中的某个元素，那么它就包含了该元素的整个陪集。
这个特性使得阿贝尔群在研究群的结构时更加有用。
在拓扑学中，阿贝尔群的一个重要应用是处理基本群（fundamental group）。
基本群是用来描述一个拓扑空间中所有路径的等价类构成的群。
如果一个拓扑空间是阿贝尔的（即它的基本群是阿贝尔群），那么这个空间就有很多良好的性质。
例如，它的所有连通components都是开的，它的所有简单闭曲线都是互不相交的，等等。
阿贝尔群的概念和理论在代数学和拓扑学中都有广泛的应用。
密码学基础群 (循环群,生成元)
特别地: 取m=6, Z6={0,1,2,3,4,5}的生成元有: 1, 5. 1×5=5, 2×5=10=4, 3×5=15=3, 4×5=20=2, 5×5=25=1, 6×5=30=0.
∴ Z6={0,1,2,3,4,5}={6×5, 5×5, 4×5, 3×5, 2×5, 1×5}.
环R的元素a的加法逆元称为a负元, 记为-a. 注2: 如果环R的乘法还满足交换律, 则称R为
交换环.
32
注3: 如果环R中存在元素e, 使对任意的a∈R, 有 a∗e=e∗a=a,
则称R是一个有单位元的环, 并称e是R的乘法单 位元(unit). 如果环R有单位元, 则R的单位元是唯一的. 环R 的乘法单位元记为e或1.
请问零元是？利用 a+e＝e+a=a 试求 (-i)+(-i), i+i, (-1)+(-1).
7
例2 加群: (Z5,⊕)=(Z5,+), 其中Z5={0,1,2,3,4}. 零元0=0,负元为:
元素x 0
1
2
3
4
负元-x 0
4
3
2
1
8
群的概念 ✓ 有时把群(G, ∗)记为(G, ⋅), 称为“ 乘群”. ✓ 把运算“∗”称为“乘” 法, 运算结果记为: a∗b=
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定理 (1) 每个有限域的阶一定是素数的幂: pn. 含有pn个元素的有限域记为GF(pn). (2) 任给素数p 和正整数n, 一定存在阶为pn的有限
域. (3) 同阶的有限域是同构的. (4) 令GF(pn)*表示GF(pn)的全体非零元的集合, 则
GF(pn)*关于乘法是一个pn-1阶循环群.
成元的充分必要条件是:gcd(n, r)=1.
5-5 阿贝尔群
例题1 设S={a,b,c,d}，在S上定义一个双射函 数 f: f(a)=b,f(b)=c,f(c)=d,f(d)=a, 对于任一xS，构造复合函数 f2(x)=f o f(x)=f(f(x)) f3(x)=f o f2(x)=f(f2(x)) f4(x)=f o f3(x)=f(f3(x)) 如果用f0表示S上的恒等映射，即f0(x)=x xS 很明显地有f4(x)=f0(x)，记f1=f，构造集合 F={f0 ,f1 ,f2, f3 } ，那么<F，o>是一个阿贝尔群。
任取x，y∈G，则x*y∈G
因为x*y=（x*y）-1=y-1*x-1=y*x
所以<G，*>是一个阿贝尔群。
此题的推论：若群中每个元素的逆元 都是它自己，则该群必是可交换群。
例题2 设G为所有n阶非奇（满秩）矩阵的集合， 矩阵乘法运算ο 作为定义在集合G上的二元运 算，则<G, ο >是一个不可交换群。 解 任意两个n阶非奇矩阵相乘后，仍是一个 非奇矩阵，所以运算ο 是封闭的。 矩阵乘法运算ο 是可结合的。 N阶单位阵E是G中的幺元。 任意一个非奇矩阵A存在唯一的逆阵A-1，使 A-1οA=AοA-1=E。 但矩阵乘法运算ο 是不可交换的，因此<G, ο > 是一个不可交换群。
3、定义5-5.3 设<G,>为群，aG，如果an= e, 且n为满足此式的最小正整数,则称 a 的阶(order) 为n，如果上述n不存在时,则称a有无限阶. 4、定理 5-5.3 设<G,>为循环群，aG是该群 的生成元，如果G的阶数是n ，即| G |= n ，则 an = e,且 G={a, a2, a3,..., an-2, an-1, an=e} 其中， e是群<G,>的幺元。 n是使an=e的最小 正整数。
阿贝尔群简单解释
阿贝尔群简单解释阿贝尔群，也被称为交换群，是群论中的一个重要概念。
在本文中，我将向您解释什么是阿贝尔群以及它的一些基本性质。
阿贝尔群是一类满足特定条件的代数结构。
一个群被称为阿贝尔群，当且仅当它满足交换律。
也就是说，对于群中的任意两个元素a和b，ab = ba。
这意味着群中的元素可以按照任意顺序进行运算，结果都是相同的。
阿贝尔群的交换律是其最显著的特点。
一个典型的例子是整数集合Z和加法运算。
对于任意两个整数a和b，a+b = b+a，因此整数集合Z构成了一个阿贝尔群。
实际上，对于任何可进行加法运算的数学结构，只要满足交换律，它就是一个阿贝尔群。
阿贝尔群还有一些其他的基本性质。
首先，它必须包含一个单位元素，记为e。
单位元素是群中的特殊元素，对于任何群中的元素a，都有ae = ea = a。
其次，每个群元素都必须有一个逆元素。
对于群中的任意元素a，存在一个元素b，使得ab = ba = e。
这意味着任何群中的元素都有一个唯一的逆元素。
阿贝尔群的运算还满足结合律。
也就是说，对于任意三个群元素a，b和c，(ab)c = a(bc)。
这保证了元素在群中的运算顺序不影响最终的结果。
除了整数集合Z和加法运算以外，还有许多其他的阿贝尔群的例子。
有限域中的运算、矩阵的加法和数的乘法等都可以构成阿贝尔群。
在实际应用中，阿贝尔群有广泛的应用，特别是在密码学、编码理论和通信系统设计等领域中发挥着重要的作用。
总结一下，阿贝尔群是一类满足交换律的群。
它包括了许多不同的代数结构，如整数集合、有限域和矩阵等。
阿贝尔群具有基本性质，包括单位元素、逆元素和结合律。
它在数学和应用领域中都起着重要的作用。
这就是阿贝尔群的简单解释。
希望本文能够帮助您更好地理解阿贝尔群的概念和性质。
如果您对阿贝尔群还有更多疑问或者需要深入了解，可以进一步研究相关的群论知识。
有限循环群
有限循环群有限循环群是研究群论中一个十分重要的概念。
它通常是指一个由一组元素组成的群，这些元素可以通过重复地对群内一个固定元素进行乘法操作来得到。
换句话说，这个群是由单个元素经过若干次乘法操作所生成的。
有限循环群的研究不仅有理论意义，也有着广泛的应用，例如在密码学、编译器构建等领域中都有着重要的应用。
在本文中，我们将介绍有限循环群的定义、性质及其构建方法等方面的内容，希望能够为读者提供一个全面的了解。
定义：设G是一个有限群，如果存在一个元素x∈G，使得对于每一个元素g∈G，都存在一个正整数k，使得g=xk，则称G是由元素x生成的循环群，x被称为循环群G的生成元。
从定义可以看出，循环群是一种由一个元素经过若干次自乘所生成的群。
循环群可以有无限多个元素，也可以只有有限多个元素。
1.有限循环群是阿贝尔群证明：设G是一个由x生成的有限循环群，则对于任何g∈G，都存在一个r∈Z+，使得g=xr。
因此，对于任意g1,g2∈G，都有：g1g2 = xr1xr2 = x(r1+r2) = xr2xr1 = g2g12.有限循环群中的元素个数等于它的阶证明：设G是一个由x生成的有限循环群，它的阶为n，则G中的元素可以表示为x0, x1, x2, ..., xn-1，其中xi=xiri，i∈[0,n-1]，r为正整数。
因为x的阶为n，所以xn=xe=1。
所以，G中的元素可以转化为x0, x1, x2, ..., xn-1，其中xi=xjr，j∈[0,n-1]，r为正整数，xj=x。
因此，G中的元素的个数等于n。
所以，有限循环群中的元素个数等于它的阶。
3.有限循环群的任何两个生成元都等价证明：设G是一个由x和y生成的有限循环群，它们的阶分别为n和m。
因为x是G的一个生成元，所以对于任意g∈G，都可以表示为g=xk，k∈Z。
同理，y也是G的一个生成元，所以对于任意g′∈G，都可以表示为g′=yr，r∈Z。
因为x和y是G的生成元，所以G中的每一个元素都可以表示为xk和yr的形式。
离散数学第五章
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§2运算及其性质
《定理》：若θl和θr分别是Z中对于*的左零元和右零
元，则θl = θr =θ，且θ Z是唯一的.
证明：方法同幺元。 例：
（1）在实数集合R中，对×而言,，θL = θr =0 （2）在(E)中，对而言，θ = ；
e2,则有e1* e2= e2= e1,这和假设相矛盾。
∴若存在幺元的话一定是唯一的。 例：
（1）在实数集合R中,对+而言, e+=0；对×而言, e*=1 ； （2）在(E)中,对而言, e =E（全集合）；对而言, e =（空集）；
（3）{命题逻辑}中，对∨而言，e ∨ =F（永假式）； 对∧而言， e ∧ =T（永真式）。
上的封闭运算。
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§2运算及其性质
《定义》:设*是集合S上的二元运算,对任一x,yS 有xy=y x,则称运算在S上是可交换的（或者 说在S上满足交换律）。
例：在整合集合 I 上定义运算 ：
对任何 a ,b I,ab a b (a b )
其中的 +， 分别表示数的加法和乘法。
（a ★b）★c= b ★c= c 而a★（b★c）=a★ c= c， ∴（a★b）★c= a★（b★c） ∴★是满足结合律的
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§2运算及其性质
《定义》:设和是集合S上的二个二元运算, 对任一x,y,z S有 x （y z）=（x y） （x z）；
（y z） x=（y x） （z x）,则称运算对是可分 配的（或称对满足分配律）。
特殊群(循环群)
阿贝尔群、循环群、置换群：各种不同的群。
•什么是阿贝尔群•若群<G, •>的运算•适合交换律，则称<G, •>为阿贝尔群（Abelian Group）或交换群。
•在一个阿贝尔群<G, •>中，一个乘积可以任意颠倒因子的次序而求其值。
•在阿贝尔群中，易见有如下指数律成立•(a•b)m=a m•b m，m为任意整数知识回顾•生成子群设G为群, a G,即a的所有的幂构成的集合, 为G的子群, 称为由a生成的子群.循环群的定义定义8.10设G是群，若存在a∈G使得G={a k| k∈Z}则称G是循环群，记作G=<a>，称a 为G 的生成元.循环群的分类：n 阶循环群和无限循环群.设G=<a>是循环群，若a是n 阶元，则G = { a0=e, a1, a2, … , a n-1 }那么|G| = n，称G 为n 阶循环群.若a 是无限阶元，则G = { a0=e, a±1, a±2, … }称G 为无限循环群.实例：<Z,+>为无限循环群;<Zn,⊕>为n阶循环群循环群的生成元定理8.13设G=<a>是循环群.(1) 若G是无限循环群，则G只有两个生成元，即a和a-1.(2) 若G是n 阶循环群，则G含有φ(n)个生成元. 对于任何小于n且与n互质的数r∈{0,1,…,n-1}, a r是G的生成元.φ(n)称为欧拉函数，例如n=12，小于或等于12且与12互素的正整数有4个：1, 5, 7, 11，所以φ(12)=4.例10(1) 设G={e, a, … , a11}是12阶循环群，则φ(12)=4.小于12且与12互素的数是1, 5, 7, 11, 由定理8.13可知a, a5, a7和a11是G的生成元.(2) 设G=<Z9,⊕>是模9的整数加群，则φ(9)=6.小于9且与9互素的数是1, 2, 4, 5, 7, 8. 根据定理8.13，G的生成元是1, 2, 4, 5, 7和8.(3) 设G=3Z={3z | z∈Z}, G上的运算是普通加法. 那么G只有两个生成元：3和-3.循环群的子群定理8.14设G=<a>是循环群.(1) G的子群仍是循环群.(2) 若G=<a>是无限循环群，则G的子群除{e}以外都是无限循环群.(3) 若G=<a>是n阶循环群，则对n的每个正因子d，G恰好含有一个d 阶子群.例11(1) G=<Z,+>是无限循环群，其生成元为1和 1.对于自然数m∈N，1的m次幂是m，m生成的子群是mZ，m∈N. 即<0> = {0} = 0Z<m> = {mz | z∈Z}= mZ，m>0(2) G=Z12是12阶循环群. 12正因子是1,2,3,4,6和12，G 的子群:1阶子群<12>=<0>={0}2阶子群<6>={0,6}3阶子群<4>={0,4,8}4阶子群<3>={0,3,6,9}6阶子群<2>={0,2,4,6,8,10}12阶子群<1>=Z12•适合交换律的群称为阿贝尔群，阿贝尔群适合指数律。
阿尔贝群定义
阿尔贝群定义
阿贝尔群（Abelian Group），又称交换群或加群，是这样一类群：它由自身的集合G和二元运算*构成。
它除了满足一般的群公理，即运算的结合律、G有单位元、所有G的元素都有逆元之外，还满足交换律公理。
因为阿贝尔群的群运算满足交换律和结合律，所以群元素乘积的值与乘法运算时的次序无关。
阿贝尔群的概念是抽象代数的基本概念之一。
拓展资料
阿贝尔群的应用如下：
阿贝尔群是群论中的一个概念，它是一类特殊的群，其运算满足交换律。
阿贝尔群的研究对象是模和向量空间等，它具有许多重要的性质和广泛的应用。
在应用方面，阿贝尔群被广泛应用于物理学、化学、工程学等领域。
例如，在物理学中，阿贝尔群被用于描述粒子的量子态和对称性，以及分析力学中的相变和拓扑结构。
在化学中，阿贝尔群被用于描述
分子的对称性和化学反应的稳定性。
在工程学中，阿贝尔群被用于图像处理、密码学和网络通信等领域。
总之，阿贝尔群作为抽象代数的基本概念之一，具有广泛的应用价值。
三、阿贝尔群和循环群、陪集与拉格朗日定理、同态同构
k
k
ห้องสมุดไป่ตู้
又因为，H中任意两个不同的元素h1，h2，必有 a* h1≠a* h2(a∈G) ，所以|aiH|=|H|=m，i=1,2,…,k。 因此 n=|G|=
k
aiH
=
i1
k
i 1
a i H =mk
推论1
推论2
任何质数阶的群不可能有非平凡子群。 设<G,*>是n阶有限群，那末对于任意的a∈G，a的 阶必是n的因子且必有an=e，这里e是群<G,*>中的 幺元。如果n为质数，则<G,*>必是循环群。 证明见书Ｐ210
b*b*b=e
定理2 任何一个循环群必定是阿贝尔群。
证明 设<G，*>是一个循环群，生成元为a， 那么对于任意的x,y∈G，
必有r,s∈I，使得x=ar 和 y=as
且 x * y= ar * as= ar+s = as+r = as * ar =y * x 因此<G,*>是一个阿贝尔群。
第五章 4阿贝尔群 循环群 置换群
5-5 阿贝尔群 循环群 置换群
0是1阶元 60是6阶元 120是3阶元 180是2阶元 240是3阶元 300是6阶元 生成元是300和60
5-5 阿贝尔群、循环群和置换群
例7 设〈G， 〉为无限循环群且G =〈a〉，则G只有两个生
成元a和a-1。
证明 首先证明a-1是其生成元。因为〈a-1〉 G，须证G
则
为阿贝尔群。其运
算表为{ f：0 , f 1 , f 2 , f 3 },
f0 f1 f2 f3
f0 f0 f1 f2 f3
f1 f1 f2 f3 f0
f2 f2 f3 f0 f1
f3 f3 f0 f1 f2
5-5 阿贝尔群 循环群 置换群
(c) 设G={所有n阶可逆方阵}，“•”是G上的矩阵乘法运算则
离散数学 (Discrete Mathematics)
5-5 阿贝尔群 循环群 置换群
❖ 阿贝尔群(Abelian Groups) ❖ 循环群(Cyclic Groups) ❖ 置换群 ❖ 小结
5-5 阿贝尔群 循环群 置换群
一、阿贝尔群(Abelian Groups)
定义5-5.1 设 G, 是一个群，如果 是一个可交 换 Gr运ou算ps，)，那或么称群阿贝尔G群, (Abel就i称an为Gr可ou交ps换)群，(C或om称mu加t法at群ive
2 1
3 3
4
=
1 3
2 2
3 1
5
=
1 2
2 3
3 1
3中!共 6有
3
=
1 1
2 3
3 2
6
=
1 3
2 1
3
2
任意两个置换的运算 从右往左计算，如：
阿贝尔群和循环群
又如整数加群<I，+>，任取i∈I， 若i>0，则i=1+1+…+1=1i
i个1相加
若i=0，因为0是单位元，由定义，有0=10 ； 若i<0，设i=-j
i=-j=(-1)+(-1)+…+(-1) =(-1)j=(1-1)j=1-j=1i
j个-1相加
所以，群的<I，+>，任何元素都可以写成1的幂，即是循环群， 1是循环群的生成元。 -1也是循环群<I，+>的生成元。
解 对于F中任意两个函数的复合，可以由表5-5.1给出
o f0 f1 f2 f3
f0 f0 f1 f2 f3
f1 f1 f2 f3 f0
f2 f2 f3 f0 f1
f3 f3 f0 f1 f2
可见，复合运算o关于F是封闭的，并且是可结合的。
f0的逆元就是它本身， f1和f3互为逆元， f2的逆元也
定理 5-5.1 设 <G,>为一群, <G,>是阿贝尔群的充要 条件是对任意的a,bG，有 （ab）（ab）=（aa）（bb） 证明: 1）先证充分性 从条件“（ab）（ab）=（aa）（bb）”出发，推出 “<G,>是阿贝尔群”的结论： 对于元素a,bG，有(ab)(ab)=(aa)(bb) 因为 右端=a(ab)b=(aa)(bb)=(ab)(ab) =a(ba)b 即 a(ab)b=a(ba)b 由可约性得，用a-1左上式，再用b-1右上式， (ab)=(ba) 2）再证必要性 从“<G,>是阿贝尔群”的结论出发 ，推出 “(ab)(ab)=(aa)(bb)”条件：略
是它本身。 由表5-5.1的对称性，可知复合运算o是可交换的。 因此<F，o>是一个阿贝尔群。
陪集与拉格朗日定理+循环群(屈版)
群的子群反映了群的结构和性质，本节将用子群对群做一个划分，从而得到关于群与子群的一个重要定理：拉格朗日定理。
主要内容：z陪集定义z陪集基本性质（4个定理+1个推论）z拉格朗日定理及其推论1定义：设H是G的子群，a∈G. 令 Ha={ha | h∈H}称Ha是子群H在G中的右陪集. 称a为Ha的代表元素.例：设G={e,a,b,c}是Klein四元群，H=<e,a>是G的子群.H所有的右陪集是：He={e,a}=H, Ha={a,e}=HHb={b,c}, Hc={c,b}可以看出：1) 不同的右陪集只有两个，且He= Ha , Hb=Hc,Ha∩Hb=Φ2) {Ha, Hb}是G的一个划分3) |H|=|Ha|=|Hb|2定理1设H是群G的子群，则(1) He = H(2) ∀a∈G 有a∈Ha证(1) He = { he | h∈H } = { h | h∈H } = H(2) ∀a∈G，由a = ea 和ea∈Ha 得a∈Ha3定理2设H是群G的子群，则∀a, b∈G 有 a∈Hb ⇔ab−1∈H ⇔Ha=Hb证先证a∈Hb ⇔ab−1∈Ha∈Hb ⇔∃h(h∈H∧a=hb)⇔∃h(h∈H∧ab−1=h)⇔ab−1∈H 再证a∈Hb ⇔Ha=Hb.充分性. 若Ha=Hb，由a∈Ha 可知必有a∈Hb.必要性. 由a∈Hb 可知存在h∈H使得a =hb，即b =h−1a任取ha∈Ha，则有1 ha = h1(hb) = (h1h)b∈Hb，从而得到Ha ⊆Hb.1反之，任取hb∈Hb，则有1 hb = h1(h−1a) = (h1h−1)a∈Ha , 从而得到Hb ⊆Ha.1综合上述，Ha=Hb得证.4定理2设H是群G的子群，则∀a, b∈G 有 a∈Hb⇔ab−1∈H ⇔Ha=Hb说明:定理2给出了两个右陪集相等的充要条件右陪集中的任何元素都可以作为它的代表元素a∈Hb⇔Ha=Hb5定理3设H是群G的子群，在G上定义二元关系R：∀a, b∈G, <a,b>∈R ⇔ab−1∈H= Ha.则R是G上的等价关系，且[a]R证先证明R为G上的等价关系.自反性. ∀a∈G，aa−1= e∈H ⇔<a,a>∈R对称性. ∀a, b∈G，则<a,b>∈R⇒ab−1∈H⇒(ab−1)−1∈H⇒ba−1∈H⇒<b,a>∈R传递性. ∀a, b, c∈G，则<a,b>∈R∧<b,c>∈R ⇒ab−1∈H∧bc−1∈H ⇒ac−1∈H ⇒<a,c>∈R= Ha.下面证明：∀a∈G，[a]R∀b∈G，b∈[a]R⇔<a,b>∈R ⇔ab−1∈H ⇔Ha=Hb ⇔b∈Ha67定理3的推论推论设H 是群G 的子群, 则(1) ∀a , b ∈G ，Ha = Hb 或Ha ∩Hb = ∅(2) ∪{Ha | a ∈G } = G证明：由等价类性质可得.定理3设H 是群G 的子群，在G 上定义二元关系R ：∀a , b ∈G , <a ,b >∈R ⇔ab −1∈H则R 是G 上的等价关系，且[a ]R = Ha .左陪集的定义与性质设G是群，H是G的子群，H 的左陪集，即 aH = {ah | h∈H}，a∈G关于左陪集有下述性质：(1) eH = H(2) ∀a∈G，a∈aH(3) ∀a, b∈G，a∈bH ⇔b−1a∈H ⇔aH=bH(4) 若在G上定义二元关系R， ∀a, b∈G，<a, b>∈R ⇔b−1a∈H= aH.则R是G上的等价关系，且[a]R8陪集的基本性质定理4设G是群，H是G的子群，则：(1) ∀a∈G，有|Ha|= |H| = |aH|(2) ∀b∈G，有|Hb|= |H| = |bH|(3) ∀a, b∈G，有|aH| = |bH| =|Ha|=|Hb|说明：从定理4可以看出，如果G是有限群，设|G|=n，则它的子群H也是有限群，设|H|= m，∀a∈G，有|Ha|= |aH| = m.9Lagrange定理定理（Lagrange）设G是有限群，H是G的子群，则 |G| = |H| · [G:H]其中[G:H] 是H在G中的不同右陪集(或左陪集) 数，称为H在G 中的指数.证: 设[G:H] = r，a1, a2,…, ar分别是H 的r 个右陪集的代表元素， G = Ha1∪Ha2∪…∪Har |G| = |Ha1| + |Ha2| + … + |Har|由|Hai| = |H|，i = 1,2,…,r, 得 |G| = |H|·r = |H|·[G:H]拉格朗日定理简言之：G是有限群，H是G的子群，则H的阶整除G的阶.10推论1阶为素数的群G只有平凡子群，而无真子群。
5-4阿贝尔群和循环群
定义5-9.4：设<A ,+, · > 是一个代数系统，如果满足： 1．<A,+>是阿贝尔群。
2．<A-{} , · >是阿贝尔群。
3．运算 ·对于运算 + 是可分配的。 则称<A ,+, · >是域。 例如，<Q ,+, · >，<R ,+, · >，<I ,+, · >，
定理5-9.：域一定是整环。
则称<A ,+, · >是整环。
例5 Z5= { 0, 1, 2, 3, 4 }, , 分别为模 5 加法与乘法
0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 2 3 1 2 3 2 3 4 3 4 0 4 0 1 0 1 2
4 4 0 1 2 3
0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
定理5-4.7设<G,*>是一个群，B是G的非空子集，如果B是一 个有限集，那么，只要运算*在B上封闭，<B,*>必定是<G,*> 的子群。 证明：设b是B的任一个元素。若*在B上封闭，则元素 b2=b*b,b3=b2*b,…都在B中。由于B是有限集，所以必存在 正整数i和j,不妨假设i<j,使得 bi = b j 即 bi = bi * bj-i.
因此，<S,Δ>是<G,Δ>的子群。
例题4：设<H,*>和<K,*>都是群<G,*>的子群， 试证明<H∩K，*>也是<G,*>的子群。 证明：设任意的a,b∈H∩K, 因为<H,*>和<K,*>都是子群， 所以b-1∈H∩K, 由于*在H和K中的封闭性， 所以a*b-1∈H∩K, 由定理5-4.8即得<H∩K,*>是<G,*>的子 群。
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习题讲评
P197.证<HK, >是子群的充要条件是HK=KH 若HK=KH,
证:充分性:
h kHK, k’ h’KH有hk=k’h’成立。
i)h1k1, h2 k2HK h1 k1 h2 k2=h1 h2’k1’ k2HK(∵<H, >,<K, >是群) ii)hkHK,则k-1h-1是h k的逆元。 又∵k-1h-1=(h-1) ’(k-1) ’ HK <HK, >是一个子群。 必要性: 若<HK, >是一个子群 k hKH，则k-1 h-1KHk h=(h-1 k-1)-1HKKHHK xHK,x-1HK x-1=hk x=(x-1)-1=(h k)-1=k-1 h-1KH HKKH， KH=HK。
定义5-6.2:<Sn,>的任何子群称为集合S上的一个置
换群。<Sn,>称为S上的对称群。 例: S上对称群Sn={p0,p1,p2,p3,p4,p5}的置换群：
以p1为生成元的置换群为<{p1,p0},>，
以p2为生成元的置换群为<{p2,p0},>，
以p3为生成元的置换群为<{p3,p0},>,
123 123 123 = 321 213 231
右复合
123 123 123 = 321 213 312
证:(1)封闭性p1,p2Sn，须证p1p2Sn， 当c,d被p1置换为e,f时,必有ef。
<Sn,>是一个群
∵若a,bS且ab则当a,b被p2置换为c,d时,必有cd。 p1p2将S中任二个不同元素映射到S中的二个不同元素， p1p2Sn(有限集A上的单射必为满射)。 (2)运算满足结合律 p1，p2，p3Sn,xS有p3(x)=y ，p2(y)=z, p1(z)=u, 则(p1p2)p3(x)=u,p1(p2p3)(x)=p1(z)=u
γ2 γ2 γ2 α γ
γ3 γ3 α γ γ2
δ δγαβ
由上表看出<G,*>是一个循环群.
﹡置换群
1.定义（5-6.1）:一个具有n个元素的集合S,将S上所
有n!个不同的置换所生成的集合记作Sn。 ①例:A={1,2}有二个置换1= A={1,2,3}有6个置换 P0
1 1 2 2 3 1 3 2
1 1 2 2 1 ，2= 2 2 1
。
ห้องสมุดไป่ตู้p1
2 1 3 1 3 3
p2
2 2 3 1 1 1
p3
2 3 3 1 2 2
p4
2 3 3 1 13
p5
2 1 3 2
置换群
②二元运算 pipj表示先进行置换pj,再进行置换pi,称左复合。 pipj表示先进行置换pi,再进行置换pj,称右复合。 例:左复合
循环群的性质
2.定理5-5.3： 设<G,*>是由g生成的有限循环群, 若|G|=n,则G={g1,g2,,gn}。 证: a) 证g的阶为n。先证：若m<n,则gm≠e。 （ 反证法） 若m<n,且gm=e,gkG,k=m q+r, 0≤r<m， 有gk=gmq+r=gmqgr=gr， ∴G中最多有m个不同元素,这与|G|=n矛盾，所以g的阶为 n。 b)证{g1,g2,,gn}中的元素全不相同。 若gi=gj(1≤i<j≤n )， gj-i=e 。 ∵0≤j-i<n ∴这与a)矛盾。 c)∵giG且|G|=n(1≤i≤n)，∴G={g1,,gn} ， ∵ g的阶为 n， ∴gn=e。 G={g0 ,g1 , g2 , ,gn-1}。 ＃
5.5 阿贝尔群与循环群
定义5-5.2
设<G,*>是一个群,若存在gG,使得
aG,iI（I为整数集），有a=gi,则称<G,*>
是一个循环群, g是<G,*>的生成元。也可称
<G,*>是由g生成的循环群。
循环群的性质
1. 定理5-5.2
每个循环群必是阿贝尔群。 证:设g是<G,*>的生成元,则 a,bG, 则存在r,sI,，使得a=gr且b=gs。 a*b=gr*gs=gr+s= gs+r =gs*gr=b*a。 ＃
p1(p2p3)=(p1p2)p3
(3)恒等置换为幺元 (4)pSn,xS,存在逆元p-1,其中若p(x)=y则p-1(y)=x。 . 所以，<Sn,>是一个群。
<Sn,>是一个群
例:p1= 123 312 p1-1= 123 231 p1 p1-1= 123 123
置换群与对称群
循环群的性质
例1. a)<I,+>是无限循环群,其中-1,1均是生成元。（生成元不唯一）
b)<{5j|jI},+>是无限循环群,其中-5,5均是生成元。 c)Nk={[0],,[k-1]}，<Nk,+k>是有限循环群,其中[1]是生成元,与k互 质的任一数也是生成元，这里Nk={[0],,[k-1]},[x] 是 I中的模k 等价类。 +k定义为: [x]+k[y]=[x+y] [3] [3]2=[6]=[2] [3]3=[5]=[1] [3]4=[4]=[0] +4 [0] [1] [2] [3] [0] [0] [1] [2] [3] [1] [1] [2] [3] [0] [2] [2] [3] [0] [1]
[3] [3] [0] [1] [2]
循环群的性质
例2.设G={α,β,γ,δ}，G上二元运算*如下右表所示。
证明<G,*>是循环群 。
证: ∵γ2=β, γ3=δ,γ4=α∴运算表可 改写如下:
* αβγδ α αβγδ β βαδγ γ γδβα
* αγ
γ2
γ3
α α γ γ2 γ3 γ γ γ 2 γ3 α