5.5 阿贝尔群与循环群
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以p4为生成元的置换群为<{p4,p5,p0},>。
习题讲评
P197.证<HK, >是子群的充要条件是HK=KH 若HK=KH,
证:充分性:
h kHK, k’ h’KH有hk=k’h’成立。
i)h1k1, h2 k2HK h1 k1 h2 k2=h1 h2’k1’ k2HK(∵<H, >,<K, >是群) ii)hkHK,则k-1h-1是h k的逆元。 又∵k-1h-1=(h-1) ’(k-1) ’ HK <HK, >是一个子群。 必要性: 若<HK, >是一个子群 k hKH，则k-1 h-1KHk h=(h-1 k-1)-1HKKHHK xHK,x-1HK x-1=hk x=(x-1)-1=(h k)-1=k-1 h-1KH HKKH， KH=HK。
定义5-6.2:<Sn,>的任何子群称为集合S上的一个置
换群。<Sn,>称为S上的对称群。 例: S上对称群Sn={p0,p1,p2,p3,p4,p5}的置换群：
以p1为生成元的置换群为<{p1,p0},>，
以p2为生成元的置换群为<{p2,p0},>，
以p3为生成元的置换群为<{p3,p0},>,
123 123 123 = 321 213 231
右复合
123 123 123 = 321 213 312
证:(1)封闭性p1,p2Sn，须证p1p2Sn， 当c,d被p1置换为e,f时,必有ef。
<Sn,>是一个群
∵若a,bS且ab则当a,b被p2置换为c,d时,必有cd。 p1p2将S中任二个不同元素映射到S中的二个不同元素， p1p2Sn(有限集A上的单射必为满射)。 (2)运算满足结合律 p1，p2，p3Sn,xS有p3(x)=y ，p2(y)=z, p1(z)=u, 则(p1p2)p3(x)=u,p1(p2p3)(x)=p1(z)=u
γ2 γ2 γ2 α γ
γ3 γ3 α γ γ2
δ δγαβ
由上表看出<G,*>是一个循环群.
﹡置换群
1.定义（5-6.1）:一个具有n个元素的集合S,将S上所
有n!个不同的置换所生成的集合记作Sn。 ①例:A={1,2}有二个置换1= A={1,2,3}有6个置换 P0
1 1 2 2 3 1 3 2
1 1 2 2 1 ，2= 2 2 1
。
ห้องสมุดไป่ตู้p1
2 1 3 1 3 3
p2
2 2 3 1 1 1
p3
2 3 3 1 2 2
p4
2 3 3 1 13
p5
2 1 3 2
置换群
②二元运算 pipj表示先进行置换pj,再进行置换pi,称左复合。 pipj表示先进行置换pi,再进行置换pj,称右复合。 例:左复合
循环群的性质
2.定理5-5.3： 设<G,*>是由g生成的有限循环群, 若|G|=n,则G={g1,g2,,gn}。 证: a) 证g的阶为n。先证：若m<n,则gm≠e。 （ 反证法） 若m<n,且gm=e,gkG,k=m q+r, 0≤r<m， 有gk=gmq+r=gmqgr=gr， ∴G中最多有m个不同元素,这与|G|=n矛盾，所以g的阶为 n。 b)证{g1,g2,,gn}中的元素全不相同。 若gi=gj(1≤i<j≤n )， gj-i=e 。 ∵0≤j-i<n ∴这与a)矛盾。 c)∵giG且|G|=n(1≤i≤n)，∴G={g1,,gn} ， ∵ g的阶为 n， ∴gn=e。 G={g0 ,g1 , g2 , ,gn-1}。 ＃
5.5 阿贝尔群与循环群
定义5-5.2
设<G,*>是一个群,若存在gG,使得
aG,iI（I为整数集），有a=gi,则称<G,*>
是一个循环群, g是<G,*>的生成元。也可称
<G,*>是由g生成的循环群。
循环群的性质
1. 定理5-5.2
每个循环群必是阿贝尔群。 证:设g是<G,*>的生成元,则 a,bG, 则存在r,sI,，使得a=gr且b=gs。 a*b=gr*gs=gr+s= gs+r =gs*gr=b*a。 ＃
p1(p2p3)=(p1p2)p3
(3)恒等置换为幺元 (4)pSn,xS,存在逆元p-1,其中若p(x)=y则p-1(y)=x。 . 所以，<Sn,>是一个群。
<Sn,>是一个群
例:p1= 123 312 p1-1= 123 231 p1 p1-1= 123 123
置换群与对称群
循环群的性质
例1. a)<I,+>是无限循环群,其中-1,1均是生成元。（生成元不唯一）
b)<{5j|jI},+>是无限循环群,其中-5,5均是生成元。 c)Nk={[0],,[k-1]}，<Nk,+k>是有限循环群,其中[1]是生成元,与k互 质的任一数也是生成元，这里Nk={[0],,[k-1]},[x] 是 I中的模k 等价类。 +k定义为: [x]+k[y]=[x+y] [3] [3]2=[6]=[2] [3]3=[5]=[1] [3]4=[4]=[0] +4 [0] [1] [2] [3] [0] [0] [1] [2] [3] [1] [1] [2] [3] [0] [2] [2] [3] [0] [1]
[3] [3] [0] [1] [2]
循环群的性质
例2.设G={α,β,γ,δ}，G上二元运算*如下右表所示。
证明<G,*>是循环群 。
证: ∵γ2=β, γ3=δ,γ4=α∴运算表可 改写如下:
* αβγδ α αβγδ β βαδγ γ γδβα
* αγ
γ2
γ3
α α γ γ2 γ3 γ γ γ 2 γ3 α
习题讲评
P197.证<HK, >是子群的充要条件是HK=KH 若HK=KH,
证:充分性:
h kHK, k’ h’KH有hk=k’h’成立。
i)h1k1, h2 k2HK h1 k1 h2 k2=h1 h2’k1’ k2HK(∵<H, >,<K, >是群) ii)hkHK,则k-1h-1是h k的逆元。 又∵k-1h-1=(h-1) ’(k-1) ’ HK <HK, >是一个子群。 必要性: 若<HK, >是一个子群 k hKH，则k-1 h-1KHk h=(h-1 k-1)-1HKKHHK xHK,x-1HK x-1=hk x=(x-1)-1=(h k)-1=k-1 h-1KH HKKH， KH=HK。
定义5-6.2:<Sn,>的任何子群称为集合S上的一个置
换群。<Sn,>称为S上的对称群。 例: S上对称群Sn={p0,p1,p2,p3,p4,p5}的置换群：
以p1为生成元的置换群为<{p1,p0},>，
以p2为生成元的置换群为<{p2,p0},>，
以p3为生成元的置换群为<{p3,p0},>,
123 123 123 = 321 213 231
右复合
123 123 123 = 321 213 312
证:(1)封闭性p1,p2Sn，须证p1p2Sn， 当c,d被p1置换为e,f时,必有ef。
<Sn,>是一个群
∵若a,bS且ab则当a,b被p2置换为c,d时,必有cd。 p1p2将S中任二个不同元素映射到S中的二个不同元素， p1p2Sn(有限集A上的单射必为满射)。 (2)运算满足结合律 p1，p2，p3Sn,xS有p3(x)=y ，p2(y)=z, p1(z)=u, 则(p1p2)p3(x)=u,p1(p2p3)(x)=p1(z)=u
γ2 γ2 γ2 α γ
γ3 γ3 α γ γ2
δ δγαβ
由上表看出<G,*>是一个循环群.
﹡置换群
1.定义（5-6.1）:一个具有n个元素的集合S,将S上所
有n!个不同的置换所生成的集合记作Sn。 ①例:A={1,2}有二个置换1= A={1,2,3}有6个置换 P0
1 1 2 2 3 1 3 2
1 1 2 2 1 ，2= 2 2 1
。
ห้องสมุดไป่ตู้p1
2 1 3 1 3 3
p2
2 2 3 1 1 1
p3
2 3 3 1 2 2
p4
2 3 3 1 13
p5
2 1 3 2
置换群
②二元运算 pipj表示先进行置换pj,再进行置换pi,称左复合。 pipj表示先进行置换pi,再进行置换pj,称右复合。 例:左复合
循环群的性质
2.定理5-5.3： 设<G,*>是由g生成的有限循环群, 若|G|=n,则G={g1,g2,,gn}。 证: a) 证g的阶为n。先证：若m<n,则gm≠e。 （ 反证法） 若m<n,且gm=e,gkG,k=m q+r, 0≤r<m， 有gk=gmq+r=gmqgr=gr， ∴G中最多有m个不同元素,这与|G|=n矛盾，所以g的阶为 n。 b)证{g1,g2,,gn}中的元素全不相同。 若gi=gj(1≤i<j≤n )， gj-i=e 。 ∵0≤j-i<n ∴这与a)矛盾。 c)∵giG且|G|=n(1≤i≤n)，∴G={g1,,gn} ， ∵ g的阶为 n， ∴gn=e。 G={g0 ,g1 , g2 , ,gn-1}。 ＃
5.5 阿贝尔群与循环群
定义5-5.2
设<G,*>是一个群,若存在gG,使得
aG,iI（I为整数集），有a=gi,则称<G,*>
是一个循环群, g是<G,*>的生成元。也可称
<G,*>是由g生成的循环群。
循环群的性质
1. 定理5-5.2
每个循环群必是阿贝尔群。 证:设g是<G,*>的生成元,则 a,bG, 则存在r,sI,，使得a=gr且b=gs。 a*b=gr*gs=gr+s= gs+r =gs*gr=b*a。 ＃
p1(p2p3)=(p1p2)p3
(3)恒等置换为幺元 (4)pSn,xS,存在逆元p-1,其中若p(x)=y则p-1(y)=x。 . 所以，<Sn,>是一个群。
<Sn,>是一个群
例:p1= 123 312 p1-1= 123 231 p1 p1-1= 123 123
置换群与对称群
循环群的性质
例1. a)<I,+>是无限循环群,其中-1,1均是生成元。（生成元不唯一）
b)<{5j|jI},+>是无限循环群,其中-5,5均是生成元。 c)Nk={[0],,[k-1]}，<Nk,+k>是有限循环群,其中[1]是生成元,与k互 质的任一数也是生成元，这里Nk={[0],,[k-1]},[x] 是 I中的模k 等价类。 +k定义为: [x]+k[y]=[x+y] [3] [3]2=[6]=[2] [3]3=[5]=[1] [3]4=[4]=[0] +4 [0] [1] [2] [3] [0] [0] [1] [2] [3] [1] [1] [2] [3] [0] [2] [2] [3] [0] [1]
[3] [3] [0] [1] [2]
循环群的性质
例2.设G={α,β,γ,δ}，G上二元运算*如下右表所示。
证明<G,*>是循环群 。
证: ∵γ2=β, γ3=δ,γ4=α∴运算表可 改写如下:
* αβγδ α αβγδ β βαδγ γ γδβα
* αγ
γ2
γ3
α α γ γ2 γ3 γ γ γ 2 γ3 α