函数的零点及方程的根的问题

专题四 函数的零点及方程的根的问题

一、 函数的零点及方程的根的个数问题（图像法）

1．函数y ＝log a (x ＋1)＋x 2－2(0＜a ＜1)的零点的个数为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．无法确定

2.若方程0x a x a --=有两个解，则a 的取值范围是（ ）

A 、(1,)+∞

B 、（0，1）

C 、(0,)+∞

D 、φ

3．若函数f (x )＝3ax －2a ＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a 的取值范围是________．

4．下列说法正确的有________：

①对于函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，若f (a )＞0，f (b )＞0，则函数f (x )在区间(a ，b )内一定没有零点．

②函数f (x )＝2x －x 2有两个零点．

③若奇函数、偶函数有零点，其和为0.

④当a ＝1时，函数f (x )＝|x 2－2x |－a 有三个零点．

二、 函数的零点及方程的根的区间（二分法）

1.设函数y ＝x 3与y ＝(12

)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2)

C ．(2,3)

D ．(3,4)

2.下列方程在区间（0，1）存在实数解的是（ ）

A 、230x x +-=

B 、1102+=

C 、1ln 02

x x += D 、2lg 0x x -= 三、函数有零点及方程有解的问题（分离参数，转化成值域问题）

★若函数a x g x f -=)()(在区间D 上存在零点，即是方程)(x g a =在区间D 上有解，则a 的取值范围就是函数)(x g 的值域。

1.若方程1cos 2sin +==a x a x 与都有解，则a 的取值范围为 。

2.已知函数)1lg()1lg()(x x x f +--=

（1）求)(x f 的定义域，并用定义判断)(x f 的奇偶性；

（2）若)1,1(,-∈b a ，求)1(

)()(ab

b a f b f a f ++-+的值； （3）若函数m x f x g x x -+--=1212)()(在]21,0[上恒有零点，求实数m 的取值范围。

四、二次方程根的分布问题

1、已知关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，探究a 为何值时，

(1)方程有一正一负两根；

(2)方程的两根都大于1；

(3)方程的一根大于1，一根小于1.

2、已知函数124)(++=x

x m x f 有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点。