函数的零点及方程的根的问题
方程的根与函数的零点(精选7篇)
方程的根与函数的零点（精选7篇）方程的根与函数的零点篇1第一课时： 3.1.1教学要求：结合二次函数的图象，推断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；把握零点存在的判定条件.教学重点：体会函数的零点与方程根之间的联系，把握零点存在的判定条件.教学难点：恰当的使用信息工具，探讨函数零点个数.教学过程：一、复习预备：思索：一元二次方程 +bx+c=o(a 0)的根与二次函数y=ax +bx+c的图象之间有什么关系？.二、讲授新课：1、探讨函数零点与方程的根的关系：① 探讨：方程x -2x-3=o 的根是什么？函数y= x -2x-3的图象与x轴的交点?方程x -2x+1=0的根是什么？函数y= x -2x+1的图象与x轴的交点？方程x -2x+3=0的根是什么？函数y= x -2x+3的图象与x轴有几个交点？② 依据以上探讨，让同学自己归纳并发觉得出结论：→推广到y=f(x)呢？一元二次方程 +bx+c=o(a 0)的根就是相应二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴交点横坐标.③ 定义零点：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.④ 争论：y=f(x)的零点、方程f(x)=0的实数根、函数y=f(x) 的图象与x 轴交点的横坐标的关系？结论：方程f(x)=0有实数根函数y=f(x) 的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点⑤ 练习：求下列函数的零点；→ 小结：二次函数零点状况2、教学零点存在性定理及应用：① 探究：作出的图象，让同学们求出f(2),f(1)和f(0)的值, 观看f(2)和f(0)的符号②观看下面函数的图象，在区间上______(有/无)零点； _____0（＜或＞）. 在区间上______(有/无)零点； _____0（＜或＞）. 在区间上______(有/无)零点； _____0（＜或＞).③定理：假如函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c (a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.④ 应用：求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数. （试争论一些函数值→分别用代数法、几何法）⑤小结：函数零点的求法代数法：求方程的实数根；几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.⑥ 练习：求函数的零点所在区间.3、小结：零点概念；零点、与x轴交点、方程的根的关系；零点存在性定理三、巩固练习：1. p97, 1,题 2,题（老师计算机演示，同学回答）2. 求函数的零点所在区间，并画出它的大致图象.3. 求下列函数的零点：；；；.4.已知：（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点；（2）假如函数至少有一个零点在原点右侧，求的值.5. 作业：p102, 2题；p125 1题其次课时： 3.1.2用二分法求方程的近似解教学要求：依据详细函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解. 通过用二分法求方程的近似解，使同学体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.教学重点：用二分法求方程的近似解.教学重点：恰当的使用信息工具.教学过程：一、复习预备：1. 提问：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？零点概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.方程f(x)=0有实数根函数y=f(x) 的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点假如函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c (a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.2. 探究：一元二次方程求根公式？三次方程？四次方程？材料：高次多项式方程公式解的探究史料：在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却始终没有胜利，到了十九世纪，依据阿贝尔（abel）和伽罗瓦（galois）的讨论，人们熟悉到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解.同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当简单，一般来讲并不相宜作详细计算.因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中非常重要的课题二、讲授新课：1. 教学二分法的思想及步骤：① 出示例：有12个小球，质量匀称，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好. （让同学们自由发言，找出最好的方法）解：第一次，两端各放六个球，低的那一端肯定有重球其次次，两端各放三个球，低的那一端肯定有重球第三次，两端各放一个球，假如平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？② 探究：的零点所在区间？如何找出这个零点？→ 师生用二分法探究③ 定义二分法的概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a).f(b)0的函数y=f(x)，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步靠近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection)④ 探究：给定精度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：a.确定区间，验证，给定精度ε；b. 求区间的中点；c. 计算：若，则就是函数的零点；若，则令（此时零点）；若，则令（此时零点）；d. 推断是否达到精度ε；即若，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤2~4.2. 教学例题：① 出示例：借助计算器或计算机用二分法求方程2 +3x=7的近似解. （师生共练）② 练习：求函数的一个正数零点（精确到）3. 小结：二分法的概念, 二分法的步骤；注意二分法思想三、巩固练习：1. p100, 1,题 2,题； 2. 求方程的解的个数及其大致所在区间.3. 用二分法求的近似值；4. 求方程的实数解个数：；5. 作业：p102 3，4题，阅读p105框图方程的根与函数的零点篇2一、教学内容解析本节课的主要内容有函数零点的的概念、函数零点存在性判定定理。
2023年《方程的根与函数的零点》教学设计
2023年《方程的根与函数的零点》教学设计2023年《方程的根与函数的零点》教学设计1一、教学目标（1）知识与技能：结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.理解并会用零点存在性定理。
（2）过程与方法：培养学生观察、思考、分析、猜想，验证的能力，并从中体验从特殊到一般及函数与方程思想。
（3）情感态度与价值观：在引导学生通过自主探究，发现问题，解决问题的过程中，激发学生学习热情和求知欲，体现学生的主体地位，提高学习数学的兴趣。
二、教学重难点重点：体会函数零点与方程根之间的联系，掌握零点的概念难点：函数零点与方程根之间的联系三、教法学法以问题为载体，学生活动为主线，以多媒体辅助教学为手段利用探究式教学法，构建学生自主探究、合作交流的平台四、教学过程1．创设问题情境，引入新课问题1求下列方程的根师生互动:问题1让学生通过自主解前3小题，复习一元二次方程根三种情形。
问题2填写下表，探究一元二次方程的根与相应二次函数与x轴的交点的关系？师生互动:让学生自主完成表格，观察并总结数学规律问题3完成表格，并观察一元二次方程的根与相应二函数图象与x轴交点的关系？师生互动:让学生通过探究，归纳概括所发现结论，并能用相对准确的数学语言表达。
2．建构函数零点概念函数零点的概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
思考：（1）零点是一个点吗？（2）零点跟方程的根的关系？(3)请你说出问题2中3个函数的零点及个数？（投影问题2的表格）师生互动:教师逐一给出3个问题，让学生思考回答，教师对回答正确学生给予表扬，不正确学生给予提示与鼓励。
3．知识的延伸，得出等价关系(1)方程f(x)=0有实数根(2)函数y=f(x)有零点(3)函数y=f(x)的图象与x轴有交点2023年《方程的根与函数的零点》教学设计2一、背景分析1、学习任务分析函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。
方程的根与函数的零点教案
方程的根与函数的零点教案方程的根与函数的零点教案「篇一」知识与技能1．结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义；2．结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；3．结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法．过程与方法1．通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯；2．通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；3．通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；4．通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力．情感、态度与价值观1．让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；2．培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；3．使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感．教学重点与难点教学重点：零点的概念及零点存在性的判定．教学难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法．教学的方法与手段授课类型新授课教学方法启发式教学、探究式学习。
方程的根与函数的零点教案「篇二」教学目标：1、能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
2、理解函数的零点与方程的联系。
3、渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力。
教学重点、难点：1、重点：理解函数的零点与方程根的联系，使学生遇到一元二次方程根的问题时能顺利联想函数的思想和方法。
2、难点：函数零点存在的条件。
教学过程：1、问题引入探究一元二次方程与相应二次函数的关系。
出示表格，引导学生填写表格，并分析填出的表格，从二次方程的根和二次函数的图像与x轴的交点的坐标，探究一元二次方程与相应二次函数的关系。
一元二次方程方程的根二次函数图像与X轴的交点x2-2x-3=0x1=-1，x2=3y=x2-2x-3（-1，0），（3，0）x2-2x+1=0x1=x2=1y=x2-2x+1（1，0）x2-2x+3=0无实数根y=x2-2x+3无交点（图1-1）函数y=x2-2x-3的图像（图1-2）函数y=x2-2x+1的图像（图1-3）函数y=x2-2x+3的图像归纳：（1）如果一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图像与x轴没有交点；（2）如果一元二次方程有实数根，相应的二次函数图像与x轴有交点。
函数的零点与方程的根
1 0
1xLeabharlann 函方 数程 的的 零根 与 点
武守维
东阿实验高中
方程解法史话:
阿贝尔 花拉子米 (约 1802 ～约850) 1829) (约 780～约 证明了五次以上 给出了一次方程 一般方程没有求 和二次方程的一 根公式。 般解法。
知识探究:方程的根与函数零点
问题 求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数 图像的简图，并写出函数的图象与x轴的交点坐标
求函数零点的步骤： (1)令f(x)=0;
(2)解方程f(x)=0；
(3)写出零点.
思考：求零点还有其它的方法吗？
解方程 法 图像法
设问激疑
延伸拓展
一次函数、反比例函 数、指数函数、对数函数 有零点吗？
A
C
C 河
B
播放 停止
·
流
知识探究:函数零点存在性原理
问题探究
观察函数的图象 思考 2：函数 y ＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？ 怎样的条件下，函数 y＝f(x) ①在区间 (a,b)上______( 有/一定有零点？ 无)零点；
有
（＜或＞）． 探究: f(a).f(b)_____0 （Ⅰ）观察二次函数 f ( x) x 2 2x 3 的图象：
有 ② 在区间 (b,c) 上______( 有 无 )零 -4 -1 5 1 在区间 ○ (-2, 1) 上有零点 ______ ； f ( _______ ， f (1) _______, 2) / 点；f(b).f(c) _____ < 0（＜或＞）．
y y . 2 定理不可逆
2
y
a
-10
3 至少存在一个零点.
0
讨论函数零点或方程根的个数问题-高考数学专练
讨论函数零点或方程根的个数问题-高考数学专练【方法总结】判断、证明或讨论函数零点个数的方法利用零点存在性定理求解函数热点问题的前提条件为函数图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0．①直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明f (a )·f (b )<0；②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f (a )·f (b )<0．【例题选讲】[例1]已知f (x )＝e －x (ax 2＋x ＋1)．当a >0时，试讨论方程f (x )＝1的解的个数．[破题思路]讨论方程f (x )＝1的解的个数，想到f (x )－1的零点个数，给出f (x )的解析式，用f (x )＝1构造函数，转化为零点问题求解(或分离参数，结合图象求解)．[规范解答]法一：分类讨论法方程f (x )＝1的解的个数即为函数h (x )＝e x －ax 2－x －1(a >0)的零点个数．而h ′(x )＝e x －2ax －1，设H (x )＝e x －2ax －1，则H ′(x )＝e x －2a ．令H ′(x )>0，解得x >ln 2a ；令H ′(x )<0，解得x <ln 2a ，所以h ′(x )在(－∞，ln 2a )上单调递减，在(ln 2a ，＋∞)上单调递增．所以h ′(x )min ＝h ′(ln 2a )＝2a －2a ln 2a －1．设m ＝2a ，g (m )＝m －m ln m －1(m >0)，则g ′(m )＝1－(1＋ln m )＝－ln m ，令g ′(m )<0，得m >1；令g ′(m )>0，得0<m <1，所以g (m )在(1，＋∞)上单调递减，在(0，1)上单调递增，所以g (m )max ＝g (1)＝0，即h ′(x )min ≤0(当m ＝1即a ＝12时取等号)．①当a ＝12时，h ′(x )min ＝0，则h ′(x )≥0恒成立．所以h (x )在R 上单调递增，故此时h (x )只有一个零点．②当a >12时，ln 2a >0，h ′(x )min ＝h ′(ln 2a )<0，又h ′(x )在(－∞，ln 2a )上单调递减，在(ln 2a ，＋∞)上单调递增，又h ′(0)＝0，则存在x 1>0使得h ′(x 1)＝0，这时h (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，x 1)上单调递减，在(x 1，＋∞)上单调递增．所以h (x 1)<h (0)＝0，又h (0)＝0，所以此时h (x )有两个零点．③当0<a <12时，ln 2a <0，h ′(x )min ＝h ′(ln 2a )<0，又h ′(x )在(－∞，ln 2a )上单调递减，在(ln 2a ，＋∞)上单调递增，又h ′(0)＝0，则存在x 2<0使得h ′(x 2)＝0．这时h (x )在(－∞，x 2)上单调递增，在(x 2，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以h (x 2)>h (0)＝0，h (0)＝0，所以此时f (x )有两个零点．综上，当a ＝12时，方程f (x )＝1只有一个解；当a ≠12且a >0时，方程f (x )＝1有两个解．法二：分离参数法方程f (x )＝1的解的个数即方程e x －ax 2－x －1＝0(a >0)的解的个数，方程可化为ax 2＝e x －x －1．当x ＝0时，方程为0＝e 0－0－1，显然成立，所以x ＝0为方程的解．当x ≠0时，分离参数可得a ＝e x －x －1x2(x ≠0)．设函数p (x )＝e x －x －1x 2(x ≠0)，则p ′(x )＝(e x －x －1)′·x 2－(x 2)′·(e x －x －1)(x 2)2＝e x (x －2)＋x ＋2x 3．记q (x )＝e x (x －2)＋x ＋2，则q ′(x )＝e x (x －1)＋1．记t (x )＝q ′(x )＝e x (x －1)＋1，则t ′(x )＝x e x ．显然当x <0时，t ′(x )<0，函数t (x )单调递减；当x >0时，t ′(x )>0，函数t (x )单调递增．所以t (x )>t (0)＝e 0(0－1)＋1＝0，即q ′(x )>0，所以函数q (x )单调递增．而q (0)＝e 0(0－2)＋0＋2＝0，所以当x <0时，q (x )<0，即p ′(x )>0，函数p (x )单调递增；当x >0时，q (x )>0，即p ′(x )>0，函数p (x )单调递增．而当x →0时，p (x →0＝e x －12xx →0＝(e x －1)′(2x )′x →0＝e x 2x →0＝12(洛必达法则)，当x →－∞时，p (x －∞＝e x －12xx →－∞＝0，故函数p (x )的图象如图所示．作出直线y ＝a ．显然，当a ＝12时，直线y ＝a 与函数p (x )的图象无交点，即方程e x －ax 2－x －1＝0只有一个解x ＝0；当a ≠12且a >0时，直线y ＝a 与函数p (x )的图象有一个交点(x 0，a )，即方程e x －ax 2－x －1＝0有两个解x ＝0或x ＝x 0．综上，当a ＝12时，方程f (x )＝1只有一个解；当a ≠12且a >0时，方程f (x )＝1有两个解．[注]部分题型利用分离法处理时，会出现“0”型的代数式，这是大学数学中的不定式问题，解决这类问题有效的方法就是洛必达法则．法则1若函数f (x )和g (x )满足下列条件：(1)li m x →a f (x )＝0及li m x →a g (x )＝0；(2)在点a 的去心邻域内，f (x )与g (x )可导且g ′(x )≠0；(3)li m x →af ′(x )g ′(x )＝l ．那么li m x →a f (x )g (x )＝li m x →a f ′(x )g ′(x )＝l ．法则2若函数f (x )和g (x )满足下列条件：(1)li m x →a f (x )＝∞及li m x →a g (x )＝∞；(2)在点a 的去心邻域内，f (x )与g (x )可导且g ′(x )≠0；(3)li m x →a f ′(x )g ′(x )＝l ．那么li m x →af (x )g (x )＝li m x →a f ′(x )g ′(x )＝l ．[题后悟通]对于已知参数的取值范围，讨论零点个数的情况，借助导数解决的办法有两个．(1)分离参数：得到参数与超越函数式相等的式子，借助导数分析函数的单调区间和极值，结合图形，由参数函数与超越函数的交点个数，易得交点个数的分类情况；(2)构造新函数：求导，用单调性判定函数的取值情况，再根据零点存在定理证明零点的存在性．[例2]设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0．(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．[规范解答](1)函数的定义域为(0，＋∞)．由f (x )＝x 22－k ln x (k >0)，得f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx．由f ′(x )＝0，解得x ＝k (负值舍去)．f ′(x )与f (x )在区间(0，＋∞)上随x 的变化情况如下表：x (0，k )k (k ，＋∞)f ′(x )－0＋f (x )↘k (1－ln k )2↗所以，f (x )的单调递减区间是(0，k )，单调递增区间是(k ，＋∞)．f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k (1－ln k )2，无极大值．(2)由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k (1－ln k )2．因为f (x )存在零点，所以k (1－ln k )2≤0，从而k ≥e ，当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e]上单调递减且f (e)＝0，所以x ＝e 是f (x )在区间(1，e]上的唯一零点；当k >e 时，f (x )在区间(1，e]上单调递减且f (1)＝12>0，f (e)＝e －k 2<0，所以f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．综上可知，若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．[例3]已知函数f (x )＝a ln x ＋bx(a ，b ∈R ，a ≠0)的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为－a .(1)求f (x )的单调区间；(2)讨论方程f (x )＝1根的个数．[规范解答](1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －b －a ln xx 2，由f ′(1)＝a －b ＝－a ，得b ＝2a ，所以f (x )＝a (ln x ＋2)x ，f ′(x )＝－a (ln x ＋1)x2.当a >0时，由f ′(x )>0，得0<x <1e ；由f ′(x )<0，得x >1e .当a <0时，由f ′(x )>0，得x >1e ；由f ′(x )<0，得0<x <1e.综上，当a >0时，f (x )a <0时，f (x )的单调递增(2)f (x )＝1，即方程a ln x ＋2a x ＝1，即方程1a ＝ln x ＋2x ，构造函数h (x )＝ln x ＋2x，则h ′(x )＝－1＋ln x x 2，令h ′(x )＝0，得x ＝1e ，h ′(x )>0，h ′(x )<0，即h (x )h (x )max ＝ e.h (x )单调递减且h (x )＝ln x ＋2x >0，当x 无限增大时，h (x )无限接近0；h (x )单调递增且当x 无限接近0时，ln x ＋2负无限大，故h (x )负无限大．故当0<1a <e ，即a >1e 时，方程f (x )＝1有两个不等实根，当a ＝1e 时，方程f (x )＝1只有一个实根，当a <0时，方程f (x )＝1只有一个实根．综上可知，当a >1e 时，方程f (x )＝1有两个实根；当a <0或a ＝1e 时，方程f (x )＝1有一个实根；当0<a <1e 时，方程f (x )＝1无实根．[例4]已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .(1)若直线y ＝kx 与f (x )的反函数的图象相切，求实数k 的值；(2)若m <0，讨论函数g (x )＝f (x )＋mx 2零点的个数．[规范解答](1)f (x )的反函数为y ＝ln x ，x >0，则y ′＝1x．设切点为(x 0，ln x 0)，则切线斜率为k ＝1x 0＝ln x 0x 0，故x 0＝e ，k ＝1e.(2)函数g (x )＝f (x )＋mx 2的零点的个数即是方程f (x )＋mx 2＝0的实根的个数(当x ＝0时，方程无解)，等价于函数h (x )＝e xx 2(x ≠0)与函数y ＝－m 图象交点的个数．h ′(x )＝e x (x －2)x 3.当x ∈(－∞，0)时，h ′(x )>0，h (x )在(－∞，0)上单调递增；当x ∈(0,2)时，h ′(x )<0，h (x )在(0,2)上单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )在(2，＋∞)上单调递增．∴h (x )的大致图象如图：∴h (x )在(0，＋∞)上的最小值为h (2)＝e 24.∴当－m m －e 24，h (x )＝e xx 2与函数y ＝－m 图象交点的个数为1；当－m ＝e 24，即m ＝－e 24时，函数h (x )＝e xx2与函数y ＝－m 图象交点的个数为2；当－m m ∈－∞，－e 24时，函数h (x )＝e xx 2与函数y ＝－m 图象交点的个数为3.综上所述，当m ∞g (x )有三个零点；当m ＝－e 24时，函数g (x )有两个零点；当m ∈－e 24，0时，函数g (x )有一个零点．[例5]已知函数f (x )＝－x 3＋ax －14，g (x )＝e x －e(e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线与曲线y ＝g (x )在(0，g (0))处的切线互相垂直，求实数a 的值；(2)设函数h (x )x )，f (x )≥g (x )，(x )，f (x )<g (x )，试讨论函数h (x )零点的个数．[规范解答](1)f ′(x )＝－3x 2＋a ，g ′(x )＝e x ，所以f ′(0)＝a ，g ′(0)＝1，由题意，知a ＝－1．(2)易知函数g (x )＝e x －e 在R 上单调递增，仅在x ＝1处有一个零点，且x <1时，g (x )<0，又f ′(x )＝－3x 2＋a ，①当a ≤0时，f ′(x )≤0，f (x )在R f (－1)＝34－a >0，即f (x )在x ≤0时必有一个零点，此时y ＝h (x )有两个零点；②当a >0时，令f ′(x )＝－3x 2＋a ＝0，得两根为x 1＝－a3<0，x 2＝a3>0，则－a3是函数f (x )的一个极小值点，a3是函数f (x )的一个极大值点，而＋－14＝－2a 3a 3－14<0．现在讨论极大值的情况：＋aa 3－14＝2a 3a 3－14，当，即a <34时，函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上恒小于零，此时y ＝h (x )有两个零点；当0，即a ＝34时，函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上有一个零点x 0＝a 3＝12，此时y ＝h (x )有三个零点；当，即a >34时，函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上有两个零点，一个零点小于a3，一个零点大于a 3，若f (1)＝a －54<0，即a <54时，y ＝h (x )有四个零点；若f (1)＝a －54＝0，即a ＝54时，y ＝h (x )有三个零点；若f (1)＝a －54>0，即a >54时，y ＝h (x )有两个零点．综上所述：当a <34或a >54时，y ＝h (x )有两个零点；当a ＝34或a ＝54时，y ＝h (x )有三个零点；当34<a <54时，y ＝h (x )有四个零点．[例6]已知函数f (x )＝12ax 2－(a ＋2)x ＋2ln x (a ∈R )．(1)若a ＝0，求证：f (x )<0；(2)讨论函数f (x )零点的个数．[破题思路](1)当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋2ln x (x >0)，f ′(x )＝－2＋2x ＝2(1－x )x，设g (x )＝1－x ，根据g (x )的正负可画出f (x )的图象如图(1)所示．(2)f ′(x )＝(x －1)(ax －2)x (x >0)，令g (x )＝(x －1)(ax －2)，当a ＝0时，由(1)知f (x )没有零点；当a >0时，画g (x )的正负图象时，需分2a ＝1，2a >1，2a <1三种情形进行讨论，再根据极值、端点走势可画出f (x )的图象，如图(2)(3)(4)所示；当a <0时，同理可得图(5)．综上，易得f (x )的零点个数．[规范解答](1)当a ＝0时，f ′(x )＝－2＋2x ＝2(1－x )x，由f ′(x )＝0得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(0,1)上单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减．所以f (x )≤f (x )max ＝f (1)＝－2，即f (x )<0.(2)由题意知f ′(x )＝ax －(a ＋2)＋2x ＝ax 2－(a ＋2)x ＋2x ＝(x －1)(ax －2)x (x >0)，当a ＝0时，由第(1)问可得函数f (x )没有零点．当a >0时，①当2a ＝1，即a ＝2时，f ′(x )≥0恒成立，仅当x ＝1时取等号，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝－12a －2＝－12×2－2<0，当x →＋∞时，f (x )→＋∞，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上有一个零点．②当2a >1，即0<a <2时，若0<x <1或x >2a ，则f ′(x )>0，f (x )在(0,1)若1<x <2a ，则f ′(x )<0，f (x )又f (1)＝12a －(a ＋2)＋2ln 1＝－12a －2<0，则f (1)<0，当x →＋∞时，f (x )→＋∞，所以函数f (x )③当0<2a <1，即a >2时，若0<x <2a x >1，则f ′(x )>0，f (x )(1，＋∞)上单调递增；若2a<x <1，则f ′(x )<0，f (x )因为a >2，所以＝－2a －2＋2ln 2a <－2a －2＋2ln 1<0，又x →＋∞时，f (x )→＋∞，所以函数f (x )仅有一个零点在区间(1，＋∞)上．当2a<0，即a <0时，若0<x <1，f ′(x )>0，f (x )在(0,1)上单调递增；若x >1，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减．当x →0时，f (x )→－∞，当x →＋∞时，f (x )→－∞，又f (1)＝12a －(a ＋2)＋2ln 1＝－12a －2＝－a －42.当f (1)＝－a －42>0，即a <－4时，函数f (x )有两个零点；当f (1)＝－a －42＝0，即a ＝－4时，函数f (x )有一个零点；当f (1)＝－a －42<0，即－4<a <0时，函数f (x )没有零点．综上，当a <－4时，函数f (x )有两个零点；当a ＝－4时，函数f (x )有一个零点；当－4<a ≤0时，函数f (x )没有零点；当a >0时，函数f (x )有一个零点．[题后悟通]解决本题运用了分类、分层的思想方法，表面看起来非常繁杂．但若能用好“双图法”处理问题，可回避不等式f ′(x )>0与f ′(x )<0的求解，特别是含有参数的不等式求解，而从f ′(x )抽象出与其正负有关的函数g (x )，画图更方便，观察图形即可直观快速地得到f (x )的单调性，大大提高解题的效率．[对点训练]1．(2018·全国Ⅱ)已知函数f (x )＝13x 3－a (x 2＋x ＋1)．(1)若a ＝3，求f (x )的单调区间；(2)证明：f (x )只有一个零点．1．解析(1)当a ＝3时，f (x )＝13x 3－3x 2－3x －3，f ′(x )＝x 2－6x －3．令f ′(x )＝0解得x ＝3－23或x ＝3＋2 3.当x ∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(3－23，3＋23)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)单调递增，在(3－23，3＋23)单调递减．(2)由于x 2＋x ＋1>0，所以f (x )＝0等价于x 3x 2＋x ＋1－3a ＝0.设g (x )＝x 3x 2＋x ＋1－3a ，则g ′(x )＝x 2（x 2＋2x ＋3）（x 2＋x ＋1）2≥0，仅当x ＝0时g ′(x )＝0，所以g (x )在(－∞，＋∞)单调递增．故g (x )至多有一个零点，从而f (x )至多有一个零点．又f (3a －1)＝－6a 2＋2a －13＝－－16<0，f (3a ＋1)＝13>0，故f (x )有一个零点．综上，f (x )只有一个零点．2．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝x ＋x ，其中e 是自然对数的底数，e ＝2.71828…．(1)证明：函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间(1，2)上有零点；(2)求方程f (x )＝g (x )的根的个数，并说明理由．2．解析(1)由题意可得h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －1－x －x ，所以h (1)＝e －3＜0，h (2)＝e 2－3－2＞0，所以h (1)h (2)＜0，所以函数h (x )在区间(1，2)上有零点．(2)由(1)可知h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －1－x －x ．由g (x )＝x ＋x 知x ∈[0，＋∞)，而h (0)＝0，则x ＝0为h (x )的一个零点．又h (x )在(1，2)内有零点，因此h (x )在[0，＋∞)上至少有两个零点．h ′(x )＝e x －12x －12－1，记φ(x )＝e x －12x －12－1，则φ′(x )＝e x ＋14x －32．当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )＞0，因此φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，易知φ(x )在(0，＋∞)内只有一个零点，则h (x )在[0，＋∞)上有且只有两个零点，所以方程f (x )＝g (x )的根的个数为2．3．设函数f (x )＝ln x ＋mx，m ∈R ．(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数．3．解析(1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ex ，则f ′(x )＝x －e x2，∴当x ∈(0，e)时，f ′(x )<0，f (x )在(0，e)上单调递减；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增，∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee ＝2，∴f (x )的极小值为2．(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x 3(x >0)，令g (x )＝0，得m ＝－133＋x (x >0)．设φ(x )＝－13x 3＋x (x >0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)．当x ∈(0，1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减．∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点，∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23．又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知，①当m >23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0<m <23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点．综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0<m <23时，函数g (x )有两个零点．4．已知函数f (x )＝ln x ＋1ax －1a，a ∈R 且a ≠0.(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当x ∈1e ，e时，试判断函数g (x )＝(ln x －1)e x ＋x －m 的零点个数．4．解析(1)f ′(x )＝ax －1ax 2(x >0)，当a <0时，f ′(x )>0恒成立，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，由f ′(x )>0，得x >1a ；由f ′(x )<0，得0<x <1a ，∴函数f (x )综上所述，当a <0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，函数f (x )(2)∵当x ∈1e ，e时，函数g (x )＝(ln x －1)e x ＋x －m 的零点，即当x ∈1e ，e时，方程(ln x －1)e x ＋x ＝m 的根．令h (x )＝(ln x －1)e x ＋x ，则h ′(x )ln x －x＋1.由(1)知当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋1x －1(1，e)上单调递增，∴当x ∈1e ，e 时，f (x )≥f (1)＝0．∴1x＋ln x －1≥0在x ∈1e ，e 上恒成立．∴h ′(x )ln x －x ＋1≥0＋1>0，∴h (x )＝(ln x －1)e x ＋x 在x ∈1e ，e上单调递增．∴h (x )min ＝2e 1e ＋1e，h (x )max ＝e.∴当m <－2e 1e＋1e或m >e 时，函数g (x )在1e ，e 上没有零点；当－2e 1e＋1e≤m ≤e 时，函数g (x )在1e ，e 上有且只有一个零点．5．设函数f (x )＝e x －2a －ln(x ＋a )，a ∈R ，e 为自然对数的底数．(1)若a >0，且函数f (x )在区间[0，＋∞)内单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若0<a <23，试判断函数f (x )的零点个数．5．解析(1)∵函数f (x )在[0，＋∞)内单调递增，∴f ′(x )＝e x －1x ＋a≥0在[0，＋∞)内恒成立．即a ≥e －x －x 在[0，＋∞)内恒成立．记g (x )＝e －x －x ，则g ′(x )＝－e －x －1<0恒成立，∴g (x )在区间[0，＋∞)内单调递减，∴g (x )≤g (0)＝1，∴a ≥1，即实数a 的取值范围为[1，＋∞)．(2)∵0<a <23，f ′(x )＝e x －1x ＋a (x >－a )，记h (x )＝f ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋1(x ＋a )2>0，知f ′(x )在区间(－a ，＋∞)内单调递增．又∵f ′(0)＝1－1a <0，f ′(1)＝e －1a ＋1>0，∴f ′(x )在区间(－a ，＋∞)内存在唯一的零点x 0，即f ′(x 0)＝0e x－1x 0＋a ＝0，于是0e x＝1x 0＋a，x 0＝－ln (x 0＋a )．当－a <x <x 0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >x 0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．∴f (x )min ＝f (x 0)＝0e x －2a －ln (x 0＋a )＝1x 0＋a －2a ＋x 0＝x 0＋a ＋1x 0＋a－3a ≥2－3a ，当且仅当x 0＋a ＝1时，取等号．由0<a <23，得2－3a >0，∴f (x )min ＝f (x 0)>0，即函数f (x )没有零点．6．已知函数f (x )＝ln x －12ax 2(a ∈R )．(1)若f (x )在点(2，f (2))处的切线与直线2x ＋y ＋2＝0垂直，求实数a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)讨论函数f (x )在区间[1，e 2]上零点的个数．6．解析(1)f (x )＝ln x －12ax 2的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －ax ＝1－ax 2x ，则f ′(2)＝1－4a2．因为直线2x ＋y ＋2＝0的斜率为－2，所以(－2)×1－4a2＝－1，解得a ＝0．(2)f ′(x )＝1－ax 2x ，x ∈(0，＋∞)，当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0′(x )>0，>0得0<x <aa ；由f ′(x )<0得x >aa ，所以f (x )综上所述：当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a >0时，f (x )(3)由(2)可知，(ⅰ)当a <0时，f (x )在[1，e 2]上单调递增，而f (1)＝－12a >0，故f (x )在[1，e 2]上没有零点．(ⅱ)当a ＝0时，f (x )在[1，e 2]上单调递增，而f (1)＝－12a ＝0，故f (x )在[1，e 2]上有一个零点．(ⅲ)当a >0时，①若aa ≤1，即a ≥1时，f (x )在[1，e 2]上单调递减．因为f (1)＝－12a <0，所以f (x )在[1，e 2]上没有零点．②若1<aa ≤e 2，即1e 4≤a <1时，f (x )在1，a a 上单调递增，在a a ，e 2上单调递减，而f (1)＝－12a <0，f ＝－12ln a －12，f (e 2)＝2－12a e 4，若f＝－12ln a－12<0，即a>1e时，f(x)在[1，e2]上没有零点；若f＝－12ln a－12＝0，即a＝1e时，f(x)在[1，e2]上有一个零点；若f＝－12ln a－12>0，即a<1e时，由f(e2)＝2－12a e4>0，得a<4e4，此时，f(x)在[1，e2]上有一个零点；由f(e2)＝2－12a e4≤0，得a≥4e4，此时，f(x)在[1，e2]上有两个零点；③若aa≥e2，即0<a≤1e4时，f(x)在[1，e2]上单调递增，因为f(1)＝－12a<0，f(e2)＝2－12a e4>0，所以f(x)在[1，e2]上有一个零点．综上所述：当a<0或a>1e时，f(x)在[1，e2]上没有零点；当0≤a<4e4或a＝1e时，f(x)在[1，e2]上有一个零点；当4e4≤a<1e时，f(x)在[1，e2]上有两个零点．。
方程的根与函数的零点 课件
此判定方法经常考，要注意条件一定要完备，缺一不可． 反之，若函数 y＝f(x)在(a，b)内有零点，则 f(a)·f(b)＜0 不一定 成立． 因为 f(x)在(a，b)内的零点可能为不变号零点，也可能不止一个 零点．
(2)应用零点存在性定理应注意以下问题： ①并非函数所有的零点都能用该定理找到，当函数值在零点左 右不变号时就不能应用该定理，如函数 y＝x2 在零点 x0＝0 左右 的函数值都是正值，显然不能使用定理判断，只有函数值在零 点的左右两侧异号时才能用这种方法． ②利用零点存在性定理只能判别函数 y＝f(x)在区间(a，b)上零 点的存在性，但不能确定零点的个数．
2．解决有关根的分布问题应注意以下几点： (1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题． (2)结合草图考虑四个方面：①Δ 与 0 的大小；②对称轴与所给 端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向． (3)写出由题意得到的不等式． (4)由得到的不等式去验证图象是否符合题意，这类问题充分体 现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点．在 写不等式时要注意条件的完备性．
方程的根与函数的零点
自学导引 1．函数的零点 对于函数 y＝f(x)，把 使f(x)＝0的实数x 叫做函数 y＝f(x)的零点． 想一想：函数的零点是函数 y＝f(x)与 x 轴的交点吗？ 提示 函数的零点不是函数 y＝f(x)与 x 轴的交点，而是 y＝f(x) 与 x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是 一个实数．
如 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的两个零点为
x1，x2(x1≤x2)且 k1＜x1≤x2＜k2.
Δ≥0， 则k1＜－2ba＜k2，
ffkk12＞ ＞00， ，
题型一 求函数的零点 【例 1】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝xx＋；3 (2)f(x)＝x2＋2x＋4； (3)f(x)＝2x－3； (4)f(x)＝1－log3x； [思路探索] 利用解方程的方法求相应方程的根即可．
人教A版数学必修一第三章3.1.1《方程的根与函数的零点》讲解与例题
3.1.1 方程的根与函数的零点1．函数零点的概念对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．比如，由于方程f(x)＝lg x＝0的解是x＝1，所以函数f(x)＝lg x的零点是1．辨误区函数的零点不是点我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点，因此函数的零点不是点，而是函数y＝f(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一个实数．当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零．例如，函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时仅有一个实根x＝－1，因此函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．【例1】函数f(x)＝x2－1的零点是( )A．(±1,0) B．(1,0)C．0 D．±1解析：解方程f(x)＝x2－1＝0，得x＝±1，因此函数f(x)＝x2－1的零点是±1．答案：D2函数零点(或零点个数)正比例函数y＝kx(k≠0)一个零点0反比例函数kyx=(k≠0)无零点一次函数y＝kx＋b(k≠0)一个零点b k -二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0Δ＞0两个零点－b±Δ2aΔ＝0一个零点－b2aΔ＜0无零点指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)无零点对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)一个零点1幂函数y＝xαα＞0一个零点0α≤0无零点【例2( )A．0 B．1 C．2 D．1或2解析：∵b2＝ac，∴方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＝b2－4b2＝－3b2．又∵abc≠0，∴b≠0．因此Δ＜0．故函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点个数为0．答案：A3．函数的零点与对应方程的关系(1)方程f(x)＝0有实根⇔函数f(x)的图象与x轴有交点⇔函数f(x)有零点．【例3－1】若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a，b的值．解析：因为函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点就是方程x2＋ax＋b＝0的根，故方程x2＋ax ＋b＝0的根是2和－4，可由根与系数的关系求a，b的值．解：由题意，得方程x2＋ax＋b＝0的根是2和－4，由根与系数的关系，得2(4), 2(4),ab+-=-⎧⎨⨯-=⎩即2,8.a b =⎧⎨=-⎩(2)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)与二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象联 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数 f (x )＝ax 2＋ bx ＋c (a ＞0) 的图象图象与x 轴交点 (x 1,0)，(x 2,0) (x 0,0) 无交点方程f (x )＝0的根 x ＝x 1，x ＝x 2 x ＝x 0 无实数根函数y ＝f (x )的零点x 1，x 2 x 0 无零点式即可．从形的角度沟通函数零点与方程的根的关系．【例3－2】函数y ＝f (x )的图象如图所示，则方程f (x )＝0的实数根有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：观察函数y ＝f (x )的图象，知函数的图象与x 轴有3个交点，则方程f (x )＝0的实数根有3个．答案：D点技巧 借助图象判断方程实数根的个数 由于“方程f (x )＝0的实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标”，因此，对于不能直接求出根的方程来说，我们要判断它在某个区间内是否有实数根，只需判断它的图象在该区间内与x 轴是否有交点即可．4．判断(或求)函数的零点(1)方程法：根据函数零点的定义可知：函数f (x )的零点，就是方程f (x )＝0的根，因此，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有实数根，有几个实数根．例如，判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f (x )＝x ＋3x；(2)f (x )＝1－log 3x ．解：(1)令x ＋3x＝0，解得x ＝－3．故函数f (x )＝x ＋3x的零点是－3； (2)令1－log 3x ＝0，即log 3x ＝1，解得x ＝3． 故函数f (x )＝1－log 3x 的零点是3．(2)图象法：对于利用方程法很难求解的函数的零点问题，可利用函数的图象求解．我们知道，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程F(x)＝0即方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象的交点的横坐标．这样，我们就将函数F(x)的零点问题转化为函数f(x)与g(x)图象的交点问题，作出两个函数的图象，就可以判断其零点个数．【例4－1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝24122x xx+--．解析：分别解方程f(x)＝0得函数的零点．解：(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或－6．故函数的零点是－1，－6．(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1．故函数的零点是－1．(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26．故函数的零点是log26．(4)解方程f(x)＝24122x xx+--＝0，得x＝－6．故函数的零点为－6．辨误区忽略验根出现错误本题(4)中解方程后容易错写成函数的零点是－6，2，其原因是没有验根，避免出现此类错误的方法是解分式方程、对数方程等要验根，保证方程有意义．【例4－2】函数f(x)＝ln x－11x-的零点的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：在同一坐标系中画出函数y＝ln x与11yx=-的图象如图所示，因为函数y＝ln x与11yx=-的图象有两个交点，所以函数f(x)＝ln x－11x-的零点个数为2．答案：C,5．判断零点所在的区间零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．但需注意以下几点：(1)当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图象在区间[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b)＜0．则可判定函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．(2)当函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]上是连续的曲线，但是不满足f (a )·f (b )＜0时，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可能存在零点，也可能不存在零点．例如函数f (x )＝x 2在区间[－1,1]上有f (－1)·f (1)＞0，但是它在区间(－1,1)上存在零点0．(3)函数在区间[a ，b ]上的图象是连续曲线，且在区间(a ，b )上单调，若满足f (a )·f (b )＜0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有且只有一个零点．,【例5－1】求函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上的零点个数． 错解 错解一：由题意，得f (1)＝2＞0，f (4)＝2＞0，因此函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上没有零点，即零点个数为0．错解二：∵f (1)＝2＞0，f (2.5)＝－0.25＜0，∴函数在区间(1，2.5)内有一个零点；又∵f (4)＝2＞0，f (2.5)＝－0.25＜0，∴函数在区间(2.5,4)内有一个零点．∴函数在区间[1,4]内有两个零点． 错因分析对于错解一，是错误地类比了零点存在性定理，注意当f (a )·f (b )＞0时，区间(a ，b )内的零点个数是不确定的；对于错解二，注意当f (a )·f (b )＜0时，区间(a ，b )内存在零点，但个数是不确定的．正解由x 2－5x ＋6＝0，得x ＝2或x ＝3，所以函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上的零点个数是2．【例5－2】函数f (x )＝lg x －x的零点所在的大致区间是( ) A ．(6,7) B ．(7,8) C ．(8,9) D ．(9,10)解析：∵f (6)＝lg 6－96＝lg 6－32＜0，f (7)＝lg 7－97＜0， f (8)＝lg 8－98＜0，f (9)＝lg 9－1＜0，f (10)＝lg 10－910＞0，∴f (9)·f (10)＜0． ∴函数f (x )＝lg x －9x的零点所在的大致区间为(9,10)． 答案：D6．一元二次方程的根的分布(1)一元二次方程的根的零分布所谓一元二次方程的根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实根为x 1，x 2且x 1≤x 2①x 1＞0，x 2＞0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=->⎨⎪⎪⋅=>⎪⎩②x 1＜0，x 2＜0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩③x 1＜0＜x 2⇔ca＜0．④x 1＝0，x 2＞0⇔c ＝0，且b a ＜0；x 1＜0，x 2＝0⇔c ＝0，且ba＞0．(2)一元二次方程的根的k 分布研究一元二次方程的根的k 分布，一般情况下要从以下三个方面考虑： ①一元二次方程根的判别式．②对应二次函数区间端点的函数值的正负． ③对应二次函数图象——抛物线的对称轴2bx a=-与区间端点的位置关系． 设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的两实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2，则一元二次方程x 1，x 2中有且仅有一个在区间 (k 1，k 2)内f (k 1)·f (k 2)＜0或f (k 1)＝0，k 1＜12<22k k b a +-或f (k 2)＝0，12<22k k b a+-＜k 2．__________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________【例6－1】已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的零点至少有一个在原点右侧，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝0时，f (x )＝－3x ＋1，直线与x 轴的交点为1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，即函数的零点为13，在原点右侧，符合题意．(2)当m ≠0时，∵f (0)＝1，∴抛物线过点(0,1)． 若m ＜0，函数f (x )图象的开口向下，如图①所示．二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．若m ＞0，函数f (x )图象的开口向上，如图②所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当2(3)40,30,20m m mm m ⎧∆=--≥⎪-⎪>⎨⎪>⎪⎩⇒21090,03,0m m m m ⎧-+≥⎪<<⎨⎪>⎩⇒19,03m m m ≤≥⎧⎨<<⎩或⇒0＜m ≤1．综上所述，所求m 的取值范围是(－∞，1]．点技巧 研究函数图象性质有技巧 对于函数图象性质的研究，一是要注意特殊点，如本题中有f (0)＝1，即图象过点(0,1)；二是要根据题意，画出示意图，再根据图象的特征解决问题．【例6－2】关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，求a 为何值时， (1)方程有一根； (2)两根都大于1；(2)方程一根大于1，一根小于1；(3)方程一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．解：(1)当a ＝0时，方程变为－2x －1＝0，即12x =-符合题意； 当a ≠0时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以Δ＝12a ＋4＝0，解得13a =-． 综上可知，当a ＝0或13a =-时，关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有一根．(2)方程两根都大于1，图象大致如下图，所以必须满足：0,0,11,(1)0,a a a f >⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪>⎪⎩或0,0,11,(1)0,a a a f <⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪<⎪⎩解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程两根都大于1． (3)因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如下图，所以必须满足0,(1)0,a f >⎧⎨<⎩或0,(1)0,a f <⎧⎨>⎩解得a ＞0．(4)因为方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，图象大致如下图，所以必须满足(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f ->⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f -<⎧⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．。
函数的零点与方程根的关系-高中数学知识点讲解
函数的零点与方程根的关系
3．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x 轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70 的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70 的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于 0 时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
1/ 1。
人教A版数学必修1第三章3.1.1 方程的根与函数的零点
小结
函数的零点定义
三个等价关系
函数零点存在性原理
数学思想方法
函
数
化
数
形
归
结
与
方
合
转
程
思
化
思
想
思
想
想
函数零点方程根， 形数本是同根生。 函数零点端点判， 图像连续方可行 。
注意：零点指的是一个实数，而不是一个点！
方程f(x)=0的实数根
函数y=f(x)的零点
数
函数y=f(x) 的图 象与x轴交点的 横坐标
形
例1、求下列函数的零点：（注意格式）
(1) y x2 x; (2) y log2 x; (3) y 3x 1;
解： (1)令y=0,即x2-x=0； 解得x1=0，x2=1
∴所求函数的零点是0和1 (2) 1 (3) 0
例2：已知函数 f (x) 是定义域为Ｒ的奇函数，且 f (x)
在(0, )上有一个零点，则f (x) 的零点个数为(A)
Ａ.３ Ｂ.２ Ｃ.１ Ｄ.不确定
提升：这三个零点的和是多少？
思考
方程 ln x 2x 6 0 是否有实根？有几个实根
合作探究二
某地0--12时气温变化如图，中间一部分看不清 楚，假设气温是连续变化的，请将图形补充成完 整的函数图像，这段时间内，是否一定有某时刻 的气温为0°C?为什么？
气温
8
0
12 时间
-4
判断二次函数 f (x) x2 2x 2 在区间 (2,3) 上是否存在零点.
数的角度— 求根法 形的角度— 你会从数来刻画这一图形特征吗？ y
4.4.1方程的根与函数的零点课件高一上学期数学
2≤m<16,
f(x)= ,
2
y=0,y= 共有
2
6个
规律方法
已知函数有零点(方程有根)求参数的方法
(1)直接法:根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确
定参数的取值范围.
(2)数形结合法:先对f(x)的解析式变形,将f(x)=0转化为h(x)=g(x)[h(x),g(x)的
y2=h(x)的图象,则两个图象公共点的个数就是函数y=f(x)零点的个数.
(4)若证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在定理判断出函数有零点,
再证明该函数在定义域内单调.
变式训练2
(1)若函数f(x)=x2+2x+a没有零点,则实数a的取值范围是( B )
A.(-∞,1)
B.(1,+∞)
C.(-∞,1]
2 -2, ≤ 0,
3.已知函数 f(x)=
则函数 y=f(x)+3x 的零点个数是( C )
1
1 + , > 0,
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 根据题意,令x2-2x+3x=0,
解得x1=0,x2=-1,当x≤0时,符合题意;
1
令1+ +3x=0,无解,故函数y只有两个零点,故选C.
所以函数y=log2(-2x+1)的零点为0.
探究点二
函数零点个数的判断
【例2】 判断下列函数零点的个数:
(1)f(x)=(x2-4)log2x;
解 令f(x)=0,得(x2-4)log2x=0,因此x2-4=0或log2x=0,解得x=±2或x=1.
又因为函数定义域为(0,+∞),所以x=-2不是函数的零点,
方程的的零点根与函数
表格法是用表格的形式来表示 函数，通过输入值和对应的输 出值来展示函数的对应关系。
图象法是用图象来表示函数， 通过绘制函数的图像来直观地
展示函数的对应关系。
函数的性质
函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和对称性等。
奇偶性是指函数图像关于原点对称还是关于y轴对称；单调性是指函数在某个区 间内是递增还是递减；周期性是指函数图像是否具有周期性；对称性是指函数图 像是否具有对称性。
03
函数与零点、根的关系
函数零点的求法
定义法
根据函数零点的定义，如果 $f(x)=0$的解为$x=a$，则称$a$
为函数$f(x)$的零点。
图像法
通过观察函数的图像，找到与$x$ 轴交点的横坐标即为函数的零点。
迭代法
通过不断迭代函数，找到满足 $f(x)=0$的解。
函数根的求法
01
02
03
代数法
解决实际问题
在解决一些实际问题时， 可以通过寻找函数的零点 或根来找到问题的解。
数学建模
在数学建模中，函数的零 点或根可以作为模型中的 参数或变量，用于描述和 解决实际问题。
04
方程的零点、根与函数的实例 分析
一元二次方程的零点与根
01
一元二次方程的零点
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的零点是 $x_1, x_2$，其中 $x_1,
未来研究方向
深入理论研究
01
随着数学和其他学科的发展，需要进一步深入研究和探索零点、
根与函数的理论基础和应用范围。
跨学科研究
02
加强与其他学科的交叉研究，探索这些概念在不同领域的应用
方程的根与函数的零点
方法指导
解析
将方程的根转化为函数图象的交点的横坐标问题,画图即可得出结果.
由题意可得 2x+x=2⇒2x=2-x,log2x+x=2⇒log2x=2-x,
则 a,b,c 分别为 y=2-x 与 y=2x,y=2-x 与 y=log2x,y=log2(-x)
与 y=2x 图象的交点的横坐标,如图,在同一坐标系中画出 y=2x,y=log2x,y=log2(-x),y=2x,y=2x 的图象,可得 b>a>c.
2022
湘教版必修第一册
第四章
幂函数、指数函数和对数函数
4.4 函数与方程
4.4.1 方程的根与函数的零点
目
录
1
课前预学
2
课堂导学
课前预学
课堂导学
1.理解函数的零点与方程的根的关系.
2.掌握函数零点的性质.
3.掌握函数零点个数的判断方法以及零点分布情况.
课前预学
课堂导学
下图为函数 f(x)在[-4,4]上的图象:
课前预学
课堂导学
方法总结 判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代入:将区间端点值代入函数求出函数的值;
(2)判断:把所得的函数值相乘,并进行符号判断;
(3)结论:若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点,若符号
为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点.
课前预学
课堂导学
【巩固训练】
课前预学
课堂导学
问题 2:一般地,方程 f(x)=0 的根与函数 y=f(x)的零点是什么关系?
答案
方程 f(x)=0 的根就是函数 y=f(x)的零点.
方程的跟与零点定理
辨析4：若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，则一定能够得出f(x)在 [a,b]上连续，或者一定有f(a)·f(b)<0么？ （不一定）
c1
c2 b
c1
c2
a
x
a
b
x
结论：函数零点存在性定理不可逆的。
例2、已知函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表:
X
1
2 9
3 -7
4 11
5 -5
函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。 注意： 零点指的是一个实数；
零点是一个点吗?
函数零点的求法
①（代数法）求方程 f(x)=0的实数根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程， 评注：求函数的零点就是求相应的方程的根，一般 可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并 可以借助求根公式或因式分解等办法，求出方程的 利用函数的性质找出零点． 根，从而得出函数的零点。
6 -12
f(x) 23
问：那么函数在区间[1 , 6]上的零点至少有几个，哪些区 间上一定存在零点
答案：至少有3个零点 分别在区间 （2， 3），（3，4），（ห้องสมุดไป่ตู้，5）上
课堂小结：
１、函数零点的定义；
2、函数的零点与方程的根的关系； 3、确定函数的零点的方法。 4、估计函数的零点所在的区间。
2
y y y
.
2
－1
. .0
－3 －4
1
－1 －2
. .
1 2 3
2 1
. . .
1
.
3 2
5
x
－1
.
方程的根与函数的零点练习题及答案解析
方程的根与函数的零点练习题及答案解析王学忠 山东省临沂市沂水县第一中学教材版本：《普通高中课程标准实验教科书·数学1·必修·A 版》，人民教育出版社，2007年1月第二版课 题：§3.1.1方程的根与函数的零点教学目标：【知识与技能】了解函数零点的概念，理解方程的根与函数的零点的关系；理解图象连续的函数存在零点的判定方法，并能进行简单的应用。
【过程与方法】在探究方程的根与函数的零点的关系，图象连续的函数存在零点的判定方法中体会数形结合、函数与方程的数学思想，从特殊到一般的归纳思想。
【情感态度与价值观】在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值；在教学中让学生体验探究的过程、发现的乐趣，培养学生的辨证思维。
教学重点：方程的根与函数的零点的关系；图象连续的函数存在零点的判定方法及应用。
教学难点：图象连续的函数存在零点的判定方法的理解。
教具准备：直尺 Powerpoint 2003课件 几何画板4.07课件学具准备：计算器教学方法：问题探究法教学过程设计：一、创设情境：问题引入：求方程01532=-+x x 的实数根。
变式：求方程01535=-+x x 的实数根。
数学史上，人们曾希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但经过长期的努力仍无结果，1824年挪威年仅22岁的数学家阿贝尔（N.H.Abel ，1802-1829）成功地证明了五次以上一般方程没有根式解。
五次以上的高次方程不能用代数运算来求解，我们就必须寻求新的角度——函数来解决这个方程的问题。
设计意图：从学生的认知冲突中，引发学生的好奇心和求知欲，推动问题进一步的探究。
通过对数学史的讲解，培养学生学习数学的兴趣，开门见山地提出利用函数思想解决方程根的问题。
二、新知探究：1．零点的概念：问题1：求方程0322=--x x 的实数根，并画出函数322--=x x y 的图象。
1-，3具有多重角色，它能够使这个方程成立，也能够使这个函数的函数值为0，它又是函数图象与x 轴两个交点的横坐标。
方程的根与函数的零点题型及解析
方程的根与函数的零点题型及解析1.求下列函数的零点1fx=x3+1；2fx=；3y=﹣x2+3x+4；4y=x2+4x+4．分析：根据函数零点的定义解fx=0,即可得到结论．解：1由fx=x3+1=0得x=﹣1,即函数的零点为﹣1；2由fx==0得x2+2x+1=0得x+12=0,得x=﹣1,即函数的零点为﹣1．3由y=﹣x2+3x+4=0,可得x﹣4x+1=0,所以函数的零点为4,﹣1；4y=x2+4x+4,可得x+22=0,所以函数的零点为﹣2．2.①求函数fx=2x+x﹣3的零点的个数；②求函数fx=log2x﹣x+2的零点的个数；③求函数的零点个数是多少分析：①由题意可判断fx是定义域上的增函数,从而求零点的个数；②由题意可得,函数y=log2x的图象和直线y=x﹣2的交点个数,数形结合可得结论．③由函数y=lnx的图象与函数y=的图象只有一个交点,可得函数fx=lnx-1／x的零点个数．解：①∵函数fx=2x+x﹣3单调递增,又∵f1=0,故函数fx=2x+x﹣3有且只有一个零点②函数fx=log2x﹣x+2的零点的个数,即函数y=log2x的图象和直线y=x﹣2的交点个数,如图所示：故函数y=log2x的图象红色部分和直线y=x﹣2蓝色部分的交点个数为2,即函数fx=log2x﹣x+2的零点的个数为2；③函数fx=lnx-1／x的零点个数就是函数y=lnx的图象与函数y=1／x的图象的交点的个数,由函数y=lnx的图象与函数y=1／x的图象只有一个交点,如图所示,可得函数fx=lnx-1／x的零点个数是13.①已知方程x2﹣3x+a=0在区间2,3内有一个零点,求实数a的取值范围②已知a是实数,函数fx=﹣x2+ax﹣3在区间0,1与2,4上各有一个零点,求a的取值．③已知函数fx=x2﹣2ax+4在区间1,2上有且只有一个零点,求a的取值范围分析：①由已知,函数fx在区间2,3内有一个零点,它的对称轴为x=3／2,得出不等式组,解出即可；②若函数fx=﹣x2+ax﹣3在区间0,1与2,4上各有一个零点,则f0＜0,f1＞0,f2＞0,f4＜0,解得答案；③若函数fx=x2﹣2ax+4只有一个零点,则△=0,经检验不符合条件；则函数fx=x2﹣2ax+4有两个零点,进而f1f2＜0,解得答案解：①若函数fx=﹣x2+ax﹣3在区间0,1与2,4上各有一个零点,则f0＜0,f1＞0,f2＞0,f4＜0,即-3＜0,a-4＞0,2a-7＞0,4a-19＜0,解得：a∈4,19／4；②∵令fx=x2﹣3x+a,它的对称轴为x=3／2,∴函数fx在区间2,3单调递增,∵方程x2﹣3x+a=0在区间2,3内有一个零点,∴函数fx在区间2,3内与x轴有一个交点,根据零点存在性定理得出：f2＜0,f3＞0,即a-2＜0,9-9+a＞0,解得0＜a＜2；③解：若函数fx=x2﹣2ax+4只有一个零点,则△=4a2﹣16=0,解得：a=±2,此时函数的零点为±2不在区间1,2上,即函数fx=x2﹣2ax+4有两个零点,则f1f2＜0,即5﹣2a8﹣4a＜0,解得：a∈2,5／24.已知函数fx的图象是连续不断的,观察下表：函数fx在区间﹣2,2上的零点至少有几个分析：看区间端点值,只要在区间两端点处函数值异号,由零点存在性定理即可解决问题．解：由题中表得,f﹣2＜0,f﹣1＞0,f0＜0,f1＜0,f2＞0,由零点存在性定理可得fx在区间﹣2,﹣1,﹣1,0,1,2上个有一个零点,故函数fx在区间﹣2,2上的零点至少有3个5.已知y=fx是定义在R上的函数,下列命题正确的是A．若fx在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线,且在a,b内有零点,则有fafb＜0B．若fx在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线,且有fafb＞0,则其在a,b内没有零点C．若fx在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线,且有fa fb＜0,则其在a,b内有零点D．如果函数fx在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线,且有fafb＜0,则其在a,b内有零点分析：据函数零点的定义,函数零点的判定定理,运用特殊函数判断即可．解：①y=x2,在﹣1,1内有零点,但是f﹣1f1＞0,故A不正确,②y=x2,f﹣1f1＞0,在﹣1,1内有零点,故B不正确,③若fx在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线,fa=﹣1,fb=1,在a,b恒成立有fx＞0,可知满足fafb＜0,但是其在a,b内没有零点．故C不正确．所以ABC不正确,故选D6.若y=fx在区间a,b上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是A．若fafb＜0,不存在实数c∈a,b,使得fc=0；B．若fafb＜0,存在且只存在一个实数c∈a,b,使得fc=0；C．若fafb＞0,不存在实数c∈a,b,使得fc=0；D．若fafb＞0,有可能存在实数c∈a,b,使得fc=0分析：画满足条件的函数图象排除不正确的选项解：首先,设函数y=fx在区间a,b上的图象如左图：图中满足fa·fb＜0,有可能存在实数c ∈a,b使得fc=0,故A,B错误；其次,设函数y=fx在区间a,b上的图象如右图：图中满足fa·fb＞0,有可能存在实数c∈a,b使得fc=0,故C错误；D正确．7.已知函数fx=mx2﹣3x+1的图象上其零点至少有一个在原点右侧,求实数m的取值范围分析：根据题意,二次函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧,有两种情况,一是只有一个在右侧,二是两个都在右侧,分类讨论即可．解：1当m=0时,fx=﹣3x+1,直线与x轴的交点为1／3,0,即函数的零点为1／3,在原点右侧,符合题意；2当m≠0时,∵f0=1,∴抛物线过点0,1；若m＜0时,fx的开口向下,如图所示；∴二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧,一个在原点左侧,满足题意；若m＞0,fx的开口向上,如图所示,要使函数的零点在原点右侧,当且仅当△=9﹣4m≥0,且＞0即可,如图所示,解得0＜m≤；综上,m的取值范围是﹣∞,9／48.函数y=fx的图象在a,b内是连续的曲线,若fafb＞0,则函数y=fx在区间a,b内A．只有一个零点B．至少有一个零点C．无零点D．无法确定分析：可列举适当的函数图象,看图象与x轴的交点个数,将选项逐个排除,即可得到正确答案．解：如图1,有fafb＞0,但函数y=fx的图象与x轴无交点,所以fx在区间a,b内无零点,可排除A,B,如图2,有fafb＞0,但函数y=fx的图象与x轴只有一个交点,所以fx在区间a,b内有且只有一个零点,可排除C,综上知,函数y=fx在区间a,b内的零点个数无法确定．故答案为D9.若二次函数fx=x2+mx+3+2m1若函数fx有两个零点,其中一个零点小于0,另一零点大于5,求m的取值范围；2fx在区间1,7上有最大值22,求m的取值范围．分析：1利用二次函数的性质,函数的零点,列出不等式,即可求解m的范围．2利用二次函数的对称轴以及函数的最值,列出不等式求解即可．解：1二次函数fx=x2+mx+3+2m,开口向上,由图象可知则m＜﹣4即m∈﹣∞,﹣4；2由题意可知或可得m=-10／3。
“方程的根与函数的零点”教学教案设计
“方程的根与函数的零点”教学教案设计第一章：引言1.1 教学目标让学生了解方程的根与函数的零点的概念。
让学生理解方程的根与函数的零点之间的关系。
1.2 教学内容介绍方程的根与函数的零点的定义。
解释方程的根与函数的零点之间的关系。
1.3 教学方法使用多媒体演示文稿进行讲解。
通过举例来说明方程的根与函数的零点之间的关系。
1.4 教学评估提问学生关于方程的根与函数的零点的概念。
让学生完成一些相关的练习题。
第二章：方程的根2.1 教学目标让学生了解方程的根的定义和性质。
让学生掌握求解方程根的方法。
2.2 教学内容介绍方程的根的定义和性质。
讲解求解方程根的方法，如因式分解法、配方法、求根公式等。
2.3 教学方法使用多媒体演示文稿进行讲解。
通过举例来说明方程的根的求解方法。
2.4 教学评估提问学生关于方程的根的定义和性质。
让学生完成一些求解方程根的练习题。
第三章：函数的零点3.1 教学目标让学生了解函数的零点的定义和性质。
让学生掌握求解函数零点的方法。
3.2 教学内容介绍函数的零点的定义和性质。
讲解求解函数零点的方法，如图像法、代数法等。
3.3 教学方法使用多媒体演示文稿进行讲解。
通过举例来说明函数的零点的求解方法。
3.4 教学评估提问学生关于函数的零点的定义和性质。
让学生完成一些求解函数零点的练习题。
第四章：方程的根与函数的零点的关系4.1 教学目标让学生了解方程的根与函数的零点之间的关系。
让学生掌握利用函数的零点来求解方程根的方法。
解释方程的根与函数的零点之间的关系。
讲解如何利用函数的零点来求解方程根。
4.3 教学方法使用多媒体演示文稿进行讲解。
通过举例来说明如何利用函数的零点来求解方程根。
4.4 教学评估提问学生关于方程的根与函数的零点之间的关系。
让学生完成一些利用函数的零点来求解方程根的练习题。
第五章：综合练习5.1 教学目标让学生巩固方程的根与函数的零点的概念和求解方法。
提高学生的解题能力。
5.2 教学内容提供一些综合性的练习题，涵盖方程的根与函数的零点的相关知识。
方程的根与函数的零点
引入：画一画二次函数y=x2-2x-3的图像
y
-1
0
3
x
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴的交点的 横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根.
返回
1．零点的定义 对于函数y＝f(x)，我们把 使f(x)＝0的实数x 叫做 函数y＝f(x)的零点．
2．方程的根与函数的零点的关系
返回
注：(1)存在零点，并不表示唯一零点 (2)函数图像需连续不断
(3) f(a)· f(b)>0时，f(x) 也可能存在零点
y
y
y
b
a 0
x
a 0
b
x
a
0
b
x
(1)
(2)
(3)
[例1]
判断下列函数是否存在零点.若存在，求出零点.
(1) f(x)＝x3－x (2) f(x)＝ax+1 解：(1) f(x)＝x3－x的零点是-1，0,1 (2) 当a=0时，无零点 当a≠0时， f(x)＝ax+1的零点是-1/a
返回
[例2] (1)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( B A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1)
)
D．(1,2)
(2)函数f(x)=log3x＋x-3的零点所在的一个区间是( D )
A．(3，4)
B．(0,1)
C．(1] 判断下列函数零点的个数
函数f ( x)的零点 方程f ( x) 0的根 函数f ( x)的图像与x轴交点的横坐标
返回
3.函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 连续不断 的
函数的零点与方程的根的求解
函数的零点与方程的根的求解在数学中，函数的零点与方程的根都是指能使函数取值为零的变量值或方程的解。
求解函数的零点和方程的根在数学和实际应用中都有重要的意义。
本文将介绍一些基本的求解方法和一些实际应用。
一、函数的零点求解函数的零点是指使函数取值为零的变量值。
求解函数的零点可以通过以下几种方法进行：1. 图像法：通过观察函数的图像，找到函数与x轴相交的点。
这种方法在函数图像相对简单，且有明显的交点时比较适用。
2. 代入法：将函数中的变量值替换为0，然后解方程求解变量值。
这种方法适用于一些简单的函数表达式，例如线性函数。
3. 迭代法：通过迭代计算逼近函数的零点。
迭代法通常需要通过设定一个初始值，然后根据一定的迭代公式逐步逼近零点。
4. 数值逼近法：使用数值方法求解函数的零点，例如二分法、牛顿法等。
这些方法会利用函数在某个区间内的性质进行迭代，逐步逼近零点。
二、方程的根求解方程的根是指使方程成立的变量值。
方程的根求解可以通过以下几种方法进行：1. 代数解法：将方程转化为标准形式，然后利用代数的性质进行求解。
例如，对于一元二次方程可以使用求根公式进行求解。
2. 图像法：绘制方程和常数曲线的图像，观察图像的交点即为方程的根。
这种方法适用于一些简单的方程，例如线性方程。
3. 迭代法：通过迭代计算逼近方程的根。
迭代法适用于无法通过代数方法求解的方程，通过不断迭代逼近根的值。
4. 数值逼近法：使用数值方法求解方程的根，例如二分法、牛顿法等。
这些方法会利用方程的特点进行迭代，逐步逼近根的值。
三、实际应用函数的零点和方程的根在实际应用中有广泛的应用。
例如，在物理学中，可以使用函数的零点来求解物体的运动方程；在经济学中，可以使用方程的根求解经济模型的均衡点；在工程学中，可以使用函数的零点来求解系统的稳定状态等。
总结：函数的零点与方程的根的求解是数学中重要的内容，它们在数学理论和实际应用中都有重要的意义。
求解函数的零点和方程的根可以使用各种方法，其中包括图像法、代入法、迭代法和数值逼近法等。
方程的根与函数的零点
第三章 函数的应用3.1.1 方程的根与函数的零点【学习目标】1.能通过实例体会函数的零点的概念；学会如何判断一元二次方程根的个数；2.探究函数的零点与方程根的联系，发现并掌握图象连续的函数存在零点的判定方法；3.同学们在探究过程中体验发现的乐趣，培养同学们锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；充分体会化归与转化、数形结合、函数与方程的数学思想，从特殊到一般的归纳思想，培养同学们的辩证思维以及分析问题解决问题的能力.【学习重点】函数的零点；函数的零点与方程根的联系.【难点提示】发现与理解方程的根与函数零点的关系、探究发现函数存在零点的方法.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材8688P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、学习准备1.请回顾：在这之前你见过那些方程？解这些方程有哪些方法？函数与方程有怎样的联系？2.你能解方程0322=--x x 吗？该方程有 个根，分别为 ．3.函数322--=x x y 的图象的开口方向向 对称轴是 ，顶点坐标是 与x 轴的交点是 与y 轴的交点是 ．4.你能判断方程062ln =-+x x 有根吗？你想知道如何确定这个方程的根吗？这就是本节课我们要研究的问题！二、探究新知 1.函数的零点与方程的根●观察思考 （1）观察学习准备2和3，体会方程的根与函数的值取零时的关系？（2）阅读教材P86－P87填写下列表格（3）完成下列各问题：问题1 .一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根与二次函数2y ax bx c =++ (0)a ≠的图象的关系是 (链接1). 问题2 下列方程有没有根？若有，有几个根？ⅰ）0532=++-x x ； ⅱ）3)2(2-=-x x ； ⅲ）442-=x x ；ⅳ）53252+=+x x x ； Ⅴ）320x -=； ⅵ）220x -=.问题3 在问题2中各个方程有对应的函数吗？若有，这些方程的根与对应的函数有怎样的联系？你能想象一下，把方程的根叫函数的什么？●归纳概括（1）函数的零点的定义: ．（2）函数的零点与方程的根的关系: ． 快乐体验 求下列函数的零点解：●挖掘拓展 1.函数的零点是一个点吗？为什么叫函数的“零点”呢？2.研究函数的零点与方程的根的关系有何作用？（链接2）三、典例赏析例1 求函数3222y x x x =--+的零点.思路启迪 求函数3222y x x x =--+的零点就是求方程32220x x x --+=的根！ 解：●解后反思 解决此题最大的障碍是什么？ 应注意：函数的零点不是点，而是函数函数()y f x =的图像与x 轴交点的横坐标，即零点是一个实数.例 2 已知m R ∈时，函数2()(1)f x m x x a =-+-恒有零点，则实数a 的取值范围是________．●思路启迪 本题目标是求实数a 的取值范围，为此需建立关于a 的不等式，试想函数2()(1)f x m x x a =-+-是什么类型的函数呢？这样的函数有零点的条件是什么? 你弄清之后便可求解.动手试试.解：●解后反思 本题的本质是什么？涉及了哪些知识，求解的方法是什么？还有方法吗？ ●变式练习 函数)0(≠+=k b kx y ，)0(2≠++=a c bx ax y ，xa y =，x y a log =，a x y =都有零点吗？若有，则参数应具备什么条件？解：例3 求函数2()log 2f x x x =-+的零点的个数．思路启迪：本题目标是判断函数的零点个数，用解方程办法能行吗？不行又怎么办？方程 2log 20x x -+=等价于2log 2x x =-，而后一个方程的解的个数与函数2log y x =与2y x =-的图象的交点个数.现在你能通过它们图象求解了吗，动手试试.解：●解后反思 1.本例题型怎样？涉及了哪些知识. 2.本例运用了什么方法？●变式练习 求函数()ln 26f x x x =+-的零点个数.解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：函数的零点的概念、本质与注意事项、函数零点与方程的根的关系、见过那些题型？本节课用到了哪些数学思想方法？（链接3）2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节数学课的阳光美丽在哪里吗？五、学习评价1.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中，0a c ⋅<，则函数的零点有( )．A. 1个；B. 2个；C. 0个；D. 不确定．2.21y x =-的图象与x 轴的交点坐标及其零点分别是( )．A.(0，12)；12 ；B.(12，0)；12 ；C.(0，－12)；－12 ；D.(－12，0)；－12． 3.已知14log y x =与y kx =的图象有公共点A ，且点A 的横坐标是2，则k ＝（ ）． A.14-； B. 14 ； C.12-； D.12． 4.函数y ＝x 3－2x 2－x ＋2的一个零点是( )．A.0；B.1；C.3；D.4．5.下列函数不存在零点的是( )． A.1y x x =-；B.y =C.1(0)1(0)x x y x x +≤⎧=⎨->⎩ ；D.1(0)1(0)x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩． 6.已知,,a b c 依次是方程x x y x x y x y x-=+-=+=)(log ,log 2,2212的零点，则有( )．A.b c a >>；B.c b a >>；C.a b c >>；D.b a c >>．7.已知函数()f x 在区间[a ，b ]上单调，且f (a )·f (b )＜0，则函数()f x 在区间(a ，b )上( )．A.至少有三个零点；B.可能有两个零点；C.没有零点；D.必有唯一的零点．8.求下列函数的零点或零点个数． ①22y x x =-； ②21y x x=--； ③221(1)log (1)(1)x x y x x ⎧-≤=⎨->⎩；④x x f x 3log 31)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛= 解：◆承前启后 今天我们学习了函数的零点的概念，那么怎样的函数具有零点呢？对一般函数如何判定它是否具有零点呢？【学习链接】 链接1：问题1 方程根是函数图象与x 轴的交点的横坐标．问题2 ⅰ）有两根，ⅱ）无实根，ⅲ）有一根，ⅳ）有两根．问题3 有；这些方程的根就是对应函数的图象与x 轴交点的横坐标；叫函数的零点.链接2.对于函数y=f(x)有零点，从“数”的角度理解，就是方程f(x)=0有实根，从“形” 的角度理解，就是图象与x 轴有交点。
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专题四 函数的零点及方程的根的问题
一、 函数的零点及方程的根的个数问题（图像法）
1．函数y ＝log a (x ＋1)＋x 2－2(0＜a ＜1)的零点的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．无法确定
2.若方程0x a x a --=有两个解，则a 的取值范围是（ ）
A 、(1,)+∞
B 、（0，1）
C 、(0,)+∞
D 、φ
3．若函数f (x )＝3ax －2a ＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a 的取值范围是________．
4．下列说法正确的有________：
①对于函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，若f (a )＞0，f (b )＞0，则函数f (x )在区间(a ，b )内一定没有零点．
②函数f (x )＝2x －x 2有两个零点．
③若奇函数、偶函数有零点，其和为0.
④当a ＝1时，函数f (x )＝|x 2－2x |－a 有三个零点．
二、 函数的零点及方程的根的区间（二分法）
1.设函数y ＝x 3与y ＝(12
)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
2.下列方程在区间（0，1）存在实数解的是（ ）
A 、230x x +-=
B 、1102+=
C 、1ln 02
x x += D 、2lg 0x x -= 三、函数有零点及方程有解的问题（分离参数，转化成值域问题）
★若函数a x g x f -=)()(在区间D 上存在零点，即是方程)(x g a =在区间D 上有解，则a 的取值范围就是函数)(x g 的值域。
1.若方程1cos 2sin +==a x a x 与都有解，则a 的取值范围为 。
2.已知函数)1lg()1lg()(x x x f +--=
（1）求)(x f 的定义域，并用定义判断)(x f 的奇偶性；
（2）若)1,1(,-∈b a ，求)1(
)()(ab
b a f b f a f ++-+的值； （3）若函数m x f x g x x -+--=1212)()(在]21,0[上恒有零点，求实数m 的取值范围。
四、二次方程根的分布问题
1、已知关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，探究a 为何值时，
(1)方程有一正一负两根；
(2)方程的两根都大于1；
(3)方程的一根大于1，一根小于1.
2、已知函数124)(++=x
x m x f 有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点。