八下图形的面积等分问题

《图形的面积等分问题》教案

开发区实验中学张文敏

一、背景分析

二、教学目标

1.知识与技能：了解几类特殊图形用一条直线将其面积两等分，掌握三类一般图形用一条直线将其面积两等分的方法，并能运用解决相关的实际问题。

2.过程与方法：培训学生类比，转化的数学思想方法，以及一般与特殊的辩证思想

3.情感态度与价值观：让学生体验知识等于“财富”、“成功”，以及知识的价值，并产生巨大的求知动力。

教学重点：任意三角形、平形四边形、梯形等几类图形用一直线将其面积两等分的方法，并能灵活运用。

教学难点：任意梯形用一条直线将其面积两等分的方法及其应用。

三、教法与学法

实践法，小组合作法

四、教学过程

(一)创设情境，引入新课

问题：在我家小区内，物业公司要对一块三角形区

域进行绿化，要求用一条直线为分界线把这块三角

形空地分成面积相等的两块，一块用来种花，一块

用来植绿色植被，让我们来帮助他们解决这个问题，

同学们你们是否能用你们学的知识来帮镇政府解决

这个问题呢？

要解决这个实际问题，它的实质就是我们几何学中

的“一直线两等分图形面积”的问题。

今天我就和同学们一起来探索研究这类问题。

(二)实验引导

问题：

你能在下列图形中作一直线将其分成面积相等的两块吗？

（请同学们借助准备好的纸片进行操作，同学间进行交流，最后得出结论）

2 教师提问：

通过刚才的实验操作，你们发现了什么？有何疑问？

（这些图形都是特殊的三角形、四边形，都能通过折叠，剪切分成两个面积相等的部分；这些图形都是轴对称图形，只要画出对称轴就能分成面积相等的两块了）学生或教师提问：

是不是任何一个图形都能作一条直线将其面积两等分呢？

今天我们主要来探讨一下一般三角形、平形四边形和梯形中能不能作一条直线将其面积两等分？

(三)问题引导

问题：

如图，在△ABC中，能作一直线将其分成面积相等的

两部分吗？（只要作它一边上的中线所在的直线就

可以了，因为中线分面的两个三角形等底同高）

问题：

如图，矩形ABCD中，能作一直线将其分成面积相等的两部分吗？

（1）画出它的任一条对角线，因为对角线

分成的两个三角形全等。

（2）还可以作过对边中点的直线，这样分成

的两个四边形都是矩形且等底等高。

（3）过对角线的交点的任一条直线，就能把

面积两等分

[因为平行四边形是中心对称图形，根据中心

对称图形的性质，经过对称中心的任一条直

线都把它分成两个全等形，面积当然相等。]

教师点拨：

如果把上述问题中的平行四边形换成矩形、菱形、正方形是否也有类似的方法？（是的，因为矩形、菱形、正方形都是平行四边形，也是中心对称图形）

问题：

3 如图，在梯形ABCD中，AD／／BC，能作一条直线将其分成面积相等的两部分吗？

注意：①这里可能有的学生会提出连结对角线，这是不正确的。

②也有可能有的同学提出作中位线，这也是不正确的。

（1）作过两底中点的连线。

（由在平行四边形中作过对边中点的直线可两等分面积联想而得）。

（2）先把梯形问题转化为三角形问题，取CD的中点E延长AE交BC的延长线与F，再取BF的中点G，作直线AG，则AG将梯形面积两等分。

（3）再将梯形问题转化为平行四边形问题：取CD的中点E，过E作PQ//AB，交AD的延长线与点D，AC于Q，这时只要作直线AQ，则可将梯形面积两等分了。

注意：这里有一种错误的作法，那就是过四边形ABQP对角线的交点任作一直线就可以了，这条直线应保证与两底相交，而不能与两腰相交。

点评：

①同学们可将未知的问题转化为我们所熟悉的问题，这是解决数学问题的重要思想方法。

②同学们在思考问题时很仔细能从不同的角度思考问题很好。那么是否还有其他什么方法呢？是否还有比较简单的方法呢？

（4）只要过中位线的中点D，画一条直线MN，且只要MN与上下底相交，就可以了。

（因为MN把梯形分成两部分，左边部分的面积等于OE·h，右边的面积等于OF·h，而OE＝OF，所以左右两部分的面积相等）

（此法主要联想到经过平行四边形对角线交点的任一直线能将平行四边形分成面积相等的两部分）

（这里应用到类比思想，通过类比发现然后验证）

（四）拓展引导：

1.关于三角形、梯形的面积等分还有很多方法，待我们所学的知识逐步完善后可进一步探究。

2.今天接触的这类问题的解决，我们应从中体会到类比与化归在研究问题（数学）中的作用，我们还可以继续探索任意四边形和其它一些多边形的面积两等分的方法。

3.这类问题的解决非常有用，我们可以用来平分一块蛋糕，均分一块土地，进行有关规划。

4.最后请同学们完成前面我们提出过的问题。

(五)作业：

要求用一条直线为分界线把下图形分成面积相等的两部分。

五、教学反思

数学学习对学习者而言是一个发现和创造的过程，在教学学习过程中，如何寻找和形成适合学习者的自身的特点的有方法，如何培养举一反三，触类旁通的迁移能力，如何感悟、提炼基本的数学思想方法，如何培养解决教学问题的策略知识，思维障碍之处如何进行有效的预防和排除等。这些都是教师应该关心的问题，这节课在设计安排和组织教学过程中，以问题为中心赋予学生观察实验，猜想、验证、推理与交流等丰富多彩的教学活动，真正使学生成为学习的主人，而教师则是学生学习的组织者、引导者、合作者和促进者，而学生经历的不仅仅是自主设计、自主探索的思维训练，通过课堂教学，把学生带入到经济生活之中，体验到知识等于“财富”，等于“成功”，知识是有价值的，从而使学生产生巨大的求知动力。