八下图形的面积等分问题
面积
中考试题中有关面积问题的解法举例知识点：1.运用面积公式2.相似三角形的性质（相似三角形的面积比等于相似比的平方）；3.同（等）底的三角形面积比等于高之比，同（等）高的三角形面积比等于底之比；4.利用割补法；5.利用等积变换：同（等）底同（等）高面积相等；6.利用图形变换：平移变换、旋转变换；7.结合特值法.（适合填空题、选择题）8.和函数图象结合。
平分图形面积：1、三角形的中线将三角形面积平分（任意四边形可以转换为三角形，连对角线，利用平行线间距离相等，同（等）底的三角形面积相等）2、过对称中心的任意一直线将中心对称图形面积平分；3、对称轴将轴对称图形面积平分4、过梯形中位线中点的直线将梯形面积平分1、 已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A 、B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A 、B 、C 为顶点的三角形面积为1，则点C 的个数为（ ）D（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个2、如图小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点可得△ABC ，则AC 边上的高是 ．3、如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 .4、如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案，图中阴影部分为红色．若每个小长方形的面积是1，则红色的面积是______________________．5、如图图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC 的顶点和O 点都在正方形的顶点上．（1）以点O 为位似中心，在方格图中将△ABC 放大为原来的2倍，得到△A ′B ′C ′； （2）△A ′B ′C ′向左平移5个单位后得到的△A ″B ″C ″； （3）△A ′B ′C ′和△A ″B ″C ″重叠部分的面积是 ．【考点】图形的变换位似、平移、相似6、如图，一个面积为250cm 的正方形与另一个小正方形并排放在一起，则△ABC 的面积是________________2cm7、在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠=︒∠=∠=A B D 60，90︒，求四边形ABCD 所在阴影部分的面积。
奥数——平面图形的面积一
平面图形的面积(一)——图形的等分例1 有一个三角形花坛，要把它平均分成两个相等的三角形，可以怎样分？练习将任一三角形分成面积相等的六个三角形，应怎么分？例2 三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。
练习已知AE=3AB,BD=2BC，三角形ABC的面积是6，求三角形BDE的面积。
练习如图所示，找出梯形ABCD中有几组面积相等的三角形。
例3 已知三角形ABC的面积是12平方厘米，并且BE=2EC，F是CD的中点。
求阴影部分面积。
练习AC是CD的3倍，E是BC的中点，三角形CDE的面积为2平方厘米。
求三角形ABC的面积。
练习如图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG＝3厘米，长方形EFGD的长是5厘米，DE长几厘米？例4 在一块长方形的地里有一口长方形的水井，试画一条线把除井处的这块地平分成两块。
练习下图为5个面积为1的正方形拼成的。
试用一直线将此图形划分为面积相等的两块。
例5 将下图分成4个形状、大小完全相同的图形，且每个部分中都有一个小黑圈。
练习将下图分成4个形状相同、面积相等的小块。
作业1、三角形的面积公式：________________。
同底等高的三角形面积___________。
平行线间的距离处处___________。
2、甲、乙两个三角形的高相等，若甲的底是乙的底的5倍，则甲的面积就是乙面积的_____倍。
3、甲、乙两个三角形的底相等，若甲的高是乙的高的4倍，则甲的面积就是乙面积的______倍。
4、把一个等边三角形分成面积相等的三个三角形，有________种不同的方法。
5、如图1，该图是一个直角梯形，面积相等的三角形有_________组，请分别写出________________ __________________________________。
6、如图2，AD与BC平行，AD=5，BC=10，三角形ADC面积为10，则三角形ABC的面积是_______________。
初中数学中中心对称图形中的面积等分
初中数学中中心对称图形中的面积等分中心对称图形属于图形变换中旋转的特殊形式，它具有独特的一些性质，下面仅从图形的面积角度对中心对称图形进行研究。
一、中心对称图形的相关知识定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，能够重合的顶点叫做对应点（或对称点）。
常见的中心对称图形有：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、边数为偶数的正多边形、圆等。
一般地，中心对称图形的对称中心是唯一的，在图形的内部。
如线段的对称中心为线段的中点；平行四边形、矩形、菱形、正方形这些图形的对称中心为对角线的交点；边数为偶数的正多边形的对称中心为图形的中心；圆的对称中心是圆心。
由定义易得中心对称图形的性质：每组对应点的连线段经过对称中心且被对称中心平分。
在判断一个图形是否是中心对称图形，可以先初步确定对称中心的位置，再由图形的一个顶点与对称中心连线并延长（构建1800），延长线是否经过图形的另外的顶点，若经过，再判断顶点到对称中心的距离是否相等，若都具备，在判断另外的几对对应点是否具有这些性质。
若均具备则是中心对称图形，否则，不是。
二、中心对称图形中的面积等分线中心对称图形中，经过对称中心的任意一条直线将图形的面积被平分。
例1：人教版八年级数学教材 51页 14题如图，用硬纸板剪一个平行四边形，做出它的对角线的交点O，用大头针把一根平放在平行四边形上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，使随意停留在任意位置，观察几次拨动的结果，你发现了什么?解：如图，木条和平行四边形组合成图形，该图形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点O。
当木条绕点O旋转过程中，可以与一组对边AD、BC相交，也可与对边AB、CD相交，此时木条和对角线把平行四边形ABCD分割成六个基本的三角形，三角形①和三角形④、三角形②和三角形⑤、三角形⑥和三角形③分别关于点O中心对称，它们分别全等，且三角形⑥①②在木条一侧，三角形③④⑤在木条另一侧，利用面积割补法易得S⑥+S①+S②=S③+S④+S⑤即木条平分平行四边形ABCD的面积。
第四节 图形的面积(含答案)...八年级数学 学而思
第四节 图形的面积1.一些常见的面积公式正方形面积2边长×边长； 长方形（矩形）面积=长×宽； 平行四边形面积=底×高： 三角形的面积21=×底×高； 梯形面积⨯=21（上底+下底）×高， 2.三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分1.计算面积常用的方法(1)和差法：把图形面积用常见图形的面积和或差表示，通过常规图形面积公式计算． (2)割补法：有时直接求图形的面积有困难，我们可以通过分割或补形，把图形转化为容易观察或解决的图形的面积进行求解．(3)等积变形法：对某些图形，找出与所求图形面积相等或有关联的特殊图形，通过代换为易求图形的面积．(4)等比法，将面积比转化为线段的比． 2.两个三角形的面积关系同（等）高时，面积之比等于底之比；同（等）底时，面积之比等于高之比， 3.等分三角形面积三角形一边中线平分三角形面积． 4.常见的基本模型续表例1．如图1-4-1所示，△ABC 中，已知点F E D ,,分别是CE AD BC ,,边上的中点，且24S cm ABC =∆则BEF ∆S 的值为（ ）22.cm A 21.cm B 25.0.cm C 225.0.cm D141-- 241-- 341--检测1．如图1-4-2所示，AD 是△ABC 边BC 的中线，F E ,分别是BE AD ,的中点，若△BFD 的面积为6，则△ABC的面积等于( )18.A 24.B 48.C 36.D例2．如图1-4-3所示，在△ABC 中，D 是BC 上任意一点，0是AD 上任意一点，=∆ABO S ,12S ,3CO BO ==∆∆A D S那么=∆COD S检测2．如图1-4-4所示，三角形ABC 的面积是30平方厘米，,32,BC BD FD AE ==则三角形BED 的面积为 平方厘米．例3．如图1-4-5所示，已知AE AD ,分别是△ABC 的高和中线，,12,9cm AC cm AB ==.90ο=∠CAB(1)求△ABE 的面积．(2)求AD 的长度．(3)求△ACE 和△ABE 的周长的差，441-- 541-- 641--检测3.如图1-4-6所示，在△ABC 中．,3,8,5,cm BE cm AC cm BC AC BE ===⊥(1)则△ABC 的面积为(2)画出△ABC 中的BC 边上的高AD ，并求出AD 的值例4．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为检测 4.（安徽桐城市模拟）已知c b a ,,是△ABC 的三条边，对应高分别为,,,c b a h h h 且,6:5:4::=c b a 那么c b a h h h ::等于( )6:5:4.A 4:5:6.B 10:12:15.C 15:12:10.D第四节 图形的面积(建议用时:30分钟)实战演练1．（湖南衡阳期末）能把任意三角形分成面积相等的两个三角形的线段是这个三角形的一条( ) A ．角平分线 B ．中线 C ．高线 D ．既垂直又平分的线段2．如图1-4-1所示，4x4的方格中每个小正方形的边长都是1，则⋅ABCD 四边形S 与DF E C S 四边形的大小关系是( )DFABDC A EC S S .四边形四边形=DFABDC B EC S S .四边形四边形<1S S .EC +=DF ABDC C 四边形四边形 2S S .EC +=DF ABDC D 四边形四边形141-- 241-- 341--3．（江苏沭阳期末）如图1-4-2所示，在CE AD ABC ,,中∆分别是△ABC 的高，且,4,2==CE AD 则=BC AB :4:3.A 3:4.B 2:1.C 1:2.D4．如图1-4-3所示，长方形ABCD 中，△ABP 的面积为CDQ a ∆,的面积为6．则阴影四边形的面积等于( )b a A +. b a B -. 2.ba C + D ．无法确定441-- 541-- 641--5．如图1-4-4是3个边长为1的正方形拼成的，则图中共有( )个面积为0.5的三角形．7.A 6.B 5.C 4.D6．在一堂“探索与实践”活动课上，小明借助学过的数学知识，利用三角形和长方形为班里的班报设计了一个报徽，设计图案如图1-4-5所示，两条线段EF ，MN 将大长方形AB-CD 分成四个小长方形，已知,,b AE a DE ==,,d BN c AN ==且1S 的面积为2S ,8的面积为3S ,6的面积为5，则阴影三角形的面积为( ) 310.A 3.B 4.C 25.D 7．如图1-4-6所示，,7S ,4S ,5S a a a BFG ACG AFG ===∆∆∆则=∆AEG Sa A 1127.a B 1128. a C 1129. a D 1130.8．有三条线段a c b a ,,,长2.12米，6长2.71米，c 长3.53米．以它们作为上底、下底和高，可以作出三个不同的梯形，如图1-4-7所示，第 个梯形的面积最大．741--9．如图1-4-8所示，图④③②①,,,都是由9个边长为1厘米的正方形组成的3×3平方厘米的正方形，其中的阴影四边形的面积分别记为321S ,,S S 和⋅4S 则321,S ,S S 和4S中最小的与最大的和是 平方厘米．841--10.如图1-4-9所示，两个相同的梯形重叠在一起，则上面的梯形中未重叠部分面积是11．如图1-4-10所示，将△ABC 的三个顶点与同一个内点连接起来，所得三条连线把△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形面积在图中已标明，则△ABC 的面积为941-- 1041-- 1141-- 1241--12.如图1—4- 11所示，四边形ABCD 中，H G F E ,,,分别是边DA CD BC AB ,,,上的点，且,31AD AH =,31AB BE =,31BC CF =,31CD DG =如果阴影部分的面积为10平方厘米，则四边形ABCD 的面积等于 平方厘米．13．等边△ABC 的面积为G F E ,,,1是其各条边上的5等分点，其位置如图1-4- 12所示，那么△EFG 的面积为 14.梯形的上底a 、下底b 和高h 都是整数，下底比上底长10 cm ，h 小于a ，梯形面积是,5612cm 请写出三元整数组),,(h b a 的所有可能15.如图1-4 - 13所示，AD 为△ABC 的中线．BE 为△ABD 的中线．,15)1(ο=∠ABF ,26ο=∠BAD 求BED ∠的度数：(2)若△ABC 的面积为,5,40=BD 则△BDE 中BD 边上的高为多少．16.如图1-4 - 14所示，△ABC 内的线段BD ．CE 相交于点O.已知,2,OE OC OD OB ==设COD BOC BOE ∆∆∆,, 和四边形AEOD 的面积分别为4321S ,S ,,S S1341--(1)求31:S S 的值； (2)如果,22=S 求4S 的值．17．(1)如图1-4 - 15所示，已知△ABC 的面积为a ，1541--① 如图①所示，延长△ABC 的边BC 到点D ，使,BC CD =连接DA.若△ACD 的面积为,1S 则=1S（用含a 的代数式表示）； ② 如图②所示，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使==AE BC CD ,,CA 连接DE.若△DEC 的面积为,2S 则=2S （用含a 的代数式表示）；③ 在图②所示的基础上延长AB 到点F ，使,AB BF =连接,,FE FD 得到△DEF(如图③所示）．若阴影部分的面积为,S 3则=3S（用含a 的代数式表示）；(2)像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图③所示），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次，可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的 倍， 拓展创新18.（江苏南京秦淮区期末）如图1-4 -16所示．(1)如图①．AD 是△ABC 的中线，△ABD 与△ACD 的面积有怎样的数量关系，为什么？(2)若三角形的面积记为S ，例如：△ABC 的面积记为如图②，已知,ABC S ∆△ABC 的中线AD ，CE 相交于点0，求四边形BDOE 的面积，,1S =∆ABC拓展1．如图③，已知1441--1641--是BC 边上的三等分点，F ，G 是AB 边上的三等分点，E D ABC ,,1S =∆AD ．CF 交于点0，则四边形BDOF 的面积为 拓展2．如图④，已知F E D ,,,1S ABC =∆是BC 边上的四等分点，G ，H ，I 是AB 边上的四等分点，AD ．CG 交于点0，则四边形BDOG 的面积为极限挑战19.设一个三角形的三边分别是.8,31,3m -(1)求m 的取值范围；(2)是否存在整数m 使三角形的周长为偶数？若存在，求出三角形的周长；若不存在，说明理由；(3)如图1-4 -17所示，在(2)的条件下，当3,31,8=-==BC m AC AB 时，若D 是AB 的中点，连接CD ，P 是CD 上动点（不与C ，D 重合，当P 在线段CD 上运动时，有两个式子）：;S S S BPD APC ABC ∆∆∆+①,ABPBPA +②其中有一个的值不变，另一个的值改变．问题：请判断出谁不变，谁改变；若不变的求出其值，若改变的求出变化的范围，1741--答案。
初中几何题解题技巧(带例题)
练一练 7： 如图 19 所示，已知平行四边形 EFGH 的底是 8 厘米，高是 6 厘 米，阴影部分的面积是 16 平方厘米，求四边形 ABCD 的面积。
八、两次求差法 两次求差法是指根据图形之间相容相斥的原理，通过两次求差求出面积的方 法。 例 8 如图 20，长方形 ABCD 的长是 6 厘米，宽是 4 厘米，求阴影部分的面积。
分析与解：通过作辅助线，可以将三角形 ABC 平均分成 16 个完全一样的小 三角形（如图 11 所示），阴影部分为其中 3 个小三角形，即阴影部分的面积占 三角形 ABC 的面积的。阴影部分的面积为：48×＝9（平方分米）。
练一练 4： 如图 12 所示，长方形 ABCD 的长是 10 厘米，宽是 6 厘米，E、F 分别是 AB 和 AD 的中点，求阴影部分的面积。
七、等量代换法 等量代换法是指根据题目中图形之间面积相等的关系，以此代彼，相互替换， 从而求出面积的方法。 例 7 如图 18，长方形 ABCD 的面积为 1500 平方厘米，阴影部分的面积为 880 平方厘米，求四边形 EFGO 的面积。
分析与解：在长方形 ABCD 中，△ABF 与△DBF 同底（即 BF 的长）、等高（即 长方形的宽），所以 S△ABF＝ S△DBF 。若从这两个三角形中同时减去△BEF， 则剩下的图形面积相等，即：S△ABE＝S△DEF 。这样 S 阴影＝S 四边形 EFGO＋
分析与解：通过仔细观察图形，我们可以发现：在大圆中，与阴影Ⅰ、阴影 Ⅱ、阴影Ⅲ面积相等的图形均有 4 个，其中阴影 1 个，空白 3 个。要求阴影部分 的面积，就相当于把大圆的面积平均分成 4 份，求其中一份的面积，列式为： 3.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4×（20÷2）2÷4＝78.5（平方厘米）。
初中数学专题---------直线等分面积问题
初中数学专题讲座---------直线等分面积问题一、直线等分常见的一些特殊图形二、直线等分三角形（1）不受限制的等分（2）过一边上一点等分三、直线等分梯形（1）不受限制的等分（2）过一腰上一点等分四、等分基本图形练习：1、作图题，请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分，请用一条直线把阴影部分的面积两等分．（保留作图痕迹）2、在一个矩形中，把此矩形面积二等分的直线最多有条，这些直线都必须经过此矩形的点（一个矩形只画一条直线，不写画法）．3、轴对称图形的对称轴将图形面积二等分，中心对称图形过对称中心的直线将图形面积二等分．请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分．4、在一个矩形中，把此矩形面积两等分的直线最多有条，这些直线都必须经过该矩形．5、在复习“四边形”时，刘老师出了这样一道题：如图1，已知四边形ABCD、BEFG都是矩形，点G、H分别在AB、CD上，点B、C、E在同一条直线上．（1）当S矩形AGHD=S矩形CEFH时，试画一条直线将整个图形面积2等分．（不写画法）（2）①当S矩形AGHD＜S矩形CEFH时，如图3；②当S矩形AGHD＞S矩形CEFH时，如图4．画一条直线将整个图形面积2等分，在（1）的基础上，应该如何画图呢？（不写画法，保留作图痕迹或简要的文字说明）（3）小娟和小宇两位同学的画法是图5和图6：刘老师看过之后说这两个图形实质上体现的是一种画法，请你用简要的文字说明两个图形画法的共同点：（把原图形分割或构造成两个矩形，再过这两个矩形对角线的交点画一条直线）．6、通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式7、如图所示，▱ABCD内有一圆，请你画一条直线，同时将圆和平行四边形的周长二等分．（保留画图痕迹，并简要说出画图步骤）8、提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB=BC=5cm，AC=6cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．9、提出问题：如图，在“儿童节”前夕，小明和小华分别获得一块分布均匀且形状为等腰梯形和直角梯形的蛋糕（AD∥BC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将自己的这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线既平分了梯形的面积，又平分了梯形的周长，我们称这条线为梯形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以模仿着在自己的蛋糕（图2）中画了一条直线EF分别交AD、BC于点E、F．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．若图2中AD∥BC，∠A=90°，AD＜BC，AB=4cm，BC=6cm，CD=5cm．请你找出梯形ABCD的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．10、阅读下面问题的解决过程：问题：已知△ABC 中，P 为BC 边上一定点，过点P 作一直线，使其等分△ABC 的面积． 解决：情形1：如图①，若点P 恰为BC 的中点，作直线AP 即可．情形2：如图②，若点P 不是BC 的中点，则取BC 的中点D ，连接AP ，过点D 作DE ∥AP 交AC 于E ，作直线PE ，直线PE 即为所求直线． 问题解决：如图③，已知四边形ABCD ，过点B 作一直线（不必写作法），使其等分四边形ABCD 的面积，并证明．11、如图，把一个等边三角形的顶点放置在正六边形的中心O 点，请你借助这个等边三角形的角，以角为工具等分正六边形的面积，等分的情况分别为 等分． 12、用一条直线把下图分成面积相等的两部分．13、用三种不同的方法把▱ABCD 的面积四等分，并简要说明分法．14、、如图，所示，张家兄弟要平分这块地，请你用一条直线把它分成面积相等的两部分．（至少有两种画法）15、抛物线y=x 2，212y x =-和直线x=a （a ＞0）分别交于A 、B 两点，已知∠AOB=90°．（1）求过原点O ，把△AOB 面积两等分的直线解析式； （2）为使直线2y x b =+与线段AB 相交，那么b 值应是怎样的范围才适合．16、如图长为2的线段PQ 在x 的正半轴上，从P 、Q 作x 轴的垂线与抛物线y=x 2交于点p '、12题Q′．（1）已知P的坐标为（k，0），求直线OP′的函数解析式；（2）若直线OP′把梯形P′PQQ′的面积二等分，求k的值．17、一条直线过△ABC的内心，且平分三角形的周长，那么该直线分成的两个图形的面积比为（）A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：118、某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；…现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．经探究知=S△ABC，请证明．问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探究与S四边形ABCD之间的数量关系．问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD=1，求．问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．19、阅读下面材料，再回答问题：有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”，如：圆的直径所在的直线是圆的“二分线”，正方形的对角线所在的直线是正方形的“二分线”．解决下列问题：（1）菱形的“二分线”可以是（2）三角形的“二分线”可以是（3）在下图中，试用两种不同的方法分别画出等腰梯形ABCD的“二分线”，并说明你的画法．20、用一条直线将一个直角梯形分成面积相等的两部分，请你在下面的图中分别画出两种不同的分割图形．21、下图所示是一块木板的示意图，能不能用一条直线把这块木板分成面积相等的两部分．（3种画法）22、如图所示的图案是一个轴对称图形，直线l是它的一条对称轴，如果最大圆的半径为2，那么阴影部分面积是（）A．π B．2π C．3π D．4π23、如图所示是由7个完全相同的正方形拼成的图形，请你用一条直线将它分成面积相等的两部分．（在原图上作出）．24、九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形．证明：这九条直线中至少有三条经过同一点．抽屉原理．专题：证明题．分析：首先根据抽屉定理证明9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形中至少有5条直线穿过一对边，然后再根据抽屉原理证明至少必有三点经过同一点．解答：证明：按抽屉原理，9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形，则至少有5条直线穿过一对边．又2：3≠1：1，根据“梯形的面积等于中位线长乘以高”，可知这5条直线必过正方形的一条对边中点连线上的两定点．故若5个点不全经过一点，则必经过这条直线上的两点，再据抽屉原理，至少必有三点经过同一点．25、一条直线平行于直线y=2x-1，且与两坐标轴围成的三角形面积是4，则直线的解析式是A．y=2x+4 B．y=2x-4 C．y=2x±4 D．y=x+2 （）26、把一个圆心为点O，半径为r的圆的面积四等分，请你尽可能多地设想各种分割方法．如图，如果圆心也是点O的三个圆把大圆O的面积四等分．求这三个圆的半径OB、OC、OD的长．27、已知直线AB与x，y轴分别交于A、B（如图），AB=5，OA=3，（1）求直线AB的函数表达式；（2）如果P是线段AB上的一个动点（不运动到A，B），过P作x轴的垂线，垂足是M，连接PO，设OM=x，图中哪些量可以表示成x的函数？试写出5个不同的量关于x的函数关系式．（这里的量是指图中某些线段的长度或某些几何图形的面积等）28、（1）如图1所示，已知△ABC中，D为BC的中点，请写出图1中，面积相等的三角形：，理由是（2）如图2所示，已知：平行四边形A′ABC，D为BC中点，请你在图中过D作一条线段将平行四边形A′ABC的面积平分，平分平行四边形A′ABC的方法很多，一般地过画直线总能将平行四边形A′ABC的面积平分．（3）如图3所示，已知：梯形ABCA′中，AA′∥BC，D为BC中点，请你在图3中过D作一条线段将梯形的面积等分．（4）如图4所示，某承包人要在自己梯形ABCD（AD∥BC）区域内种两种等面积的作物，并在河岸AD与公路BC间挖一条水渠EF，EF左右两侧分别种植了玉米、小麦，为了提高效益，要求EF最短．①请你画出相应的图形．②说明方案设计的理由．19、如图，抛物线y=ax2-3ax+b经过A（-1，0），C（3，2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线y=kx-1（k≠0）将四边形ABCD面积二等分，求k的值．。
圆的八等分计算公式
圆的八等分计算公式圆是数学中最基本的几何图形之一，它的性质和应用十分广泛。
在圆的研究中，圆的八等分是一个重要的问题。
圆的八等分是指将一个圆分成八个相等的部分，每个部分的角度为45度。
本文将介绍圆的八等分计算公式。
首先我们需要了解一些基本知识。
圆是由无数个点组成的，其中心是圆的重要部分。
圆的半径是从圆心到圆上的任意一点的距离。
圆的直径是通过圆心的一条线段，它等于半径的两倍。
圆的周长是圆上所有点到圆心的距离之和，它等于直径乘以π（圆周率）。
圆的面积是圆内所有点到圆心距离的平均值乘以π的平方。
这些基本知识将为我们后面的计算提供帮助。
圆的八等分计算公式可以分为两个部分：圆的周长和圆的面积。
圆的周长首先我们需要计算圆的周长。
由于我们要将圆分成八等分，因此每个等分的弧度为45度，也就是π/4。
根据圆的周长公式，圆的周长等于直径乘以π。
因此，我们可以得到以下公式：周长 = 直径×π我们需要将直径分成八份，因此每个等分的长度为直径的1/8。
根据这个长度可以计算出每个等分的弧长。
弧长等于圆的周长乘以弧度，因此我们可以得到以下公式：弧长 = 周长×弧度将上面两个公式结合起来，我们可以得到圆的八等分计算公式：圆的周长 = 直径×π每个等分的长度 = 直径的1/8每个等分的弧长 = 直径的1/8 ×π/4圆的八等分的周长 = 直径的1/8 ×π× 8 = 直径×π因此，圆的八等分的周长等于圆的直径乘以π。
圆的面积接下来我们需要计算圆的面积。
由于我们要将圆分成八等分，因此每个等分的角度为45度。
根据圆的面积公式，圆的面积等于圆的半径的平方乘以π。
因此，我们可以得到以下公式：面积 = 半径×π我们需要将半径分成八份，因此每个等分的长度为半径的1/8。
根据这个长度可以计算出每个等分的面积。
每个等分的面积等于扇形面积减去三角形面积。
扇形面积等于圆的面积乘以弧度除以2，三角形面积等于底乘以高除以2。
[说明]多边形面积二等分问题
![[说明]多边形面积二等分问题](https://img.taocdn.com/s3/m/1bef354a3a3567ec102de2bd960590c69ec3d8ed.png)
多边形面积二等分问题在初中阶段平面几何中，图形的等分问题比较多，常见的有以下几种:等分线段，等分角，等分圆，多边形面积二等分等。
线段和角的二等分比较简单，任意等分就稍显复杂；特别是角的任意等分，著名的“尺规作图不能问题”中就有角的三等分问题。
现在据说有人发明了一种工具叫做弧金规，这种工具不但可以任意等分任意角（包括三等分任意角），还能作一个正方形与已知圆的面积相等，即化圆为方问题；这样一来“尺规作图不能问题”中的三个就被其解决掉了两个，只还剩一个“立方倍积”了。
非但如此，这种工具还能在圆弧上取黄金分割点及在任意曲线上任意取段；也就是说能任意等分圆周及任意曲线。
这项发明可以说是意义重大，但是，这种工具毕竟现在没有推广、普及，而且其操作也肯定不如传统中的直尺和圆规操作简单，再说了，使用这种工具作图是否属于尺规作图还有待于进一步论证；所以，本文还是想从传统的尺规作图的角度来论述一下初中数学中常见的有关几何图形特别是多边形的面积二等分问题。
无论是什么样的多边形，都可以用一条直线把它分成两部分；由于直线相对于多边形的方向与位置不同，被分出来的两部分面积可能相等，也可能不相等。
但无论直线开始时如何放置，只要放置好以后我们让它沿着与直线垂直的方向来回平移，在直线扫过整个多边形的过程中，总有一个位置是使被分出来的两部分面积相等，因此，对于任意多边形，都应该存在无数条直线能把它分成面积相等的两部分；或者换句话说，过多边形任意边上的任意一点也都应该存在一条直线能把多边形分成面积相等的两部分。
先说三角形的面积二等分问题。
对于三角形来说，由于等底等高的三角形面积相等，所以，三角形任意一边上的中线都可以把它分成面积相等的两部分，这个问题比较简单；下面说一下过任意边上的任意一点作直线平分三角形的问题。
如图，已知P 为△ABC 的边BC 上的任意一点，求作直线PQ,把△ABC 分成面积相等的两部分。
作法：1.连接AP ；2，取BC 的中点D ，作D Q ∥AP ，交AC 于点Q;3,作直线PQ ，如图0.则直线PQ 就是所求作的直线。
等分法巧求图形面积
例 5 如下图所示，正方形 ABCD 中套着一个长方形 EFGH， 长方形的面积是 48 平方厘米，长方形的四个顶点 E、F、 G、H 恰好分别把正方形四条边都分成两段，其中长的一 段是短的一段的 2 倍。求阴影部分的面积。
将正方形 ABCD 等分成 18 个小三角形，其中空白 部分（即长方形 EFGH）占8 份，阴影部分占 10 份（见图）。 因此，阴影部分的面积为 48÷8×10＝60（平 方厘米）。 答：阴影部分的面积是 60 平方厘米。
例 3 一个长方形（见下图）被两条直线分成 4 个长方形， 其中 3 个长方形的面积分别是 20 平方厘米、25 平方厘米和 30 平方厘米。求另一个长方形（图中阴影部分）的面积。
将大长方形进行等分（见图）大长方形右边部 分上面是 20 平方厘米，下面是 30 平方厘米， 20﹕30=2﹕3，所以大长方形可按虚线等分成 5 份。同样，长方形的左边部分按虚线也被等分 成 5份。左边部分上面是 25 平方厘米，每份是 25÷2=12.5（平方厘米），因此，阴影部分的 面积为 12.5×3＝37.5（平方厘米）。
1．如下图所示，一个正方形中套着一个长方形，已知正方形的边 长是 20 分米，长方形的四个角的顶点恰好把正方形四条边都分成 两段，其中长的一段是短的一段的 3 倍。这个长方形的面积是多少 平方分米？ 2．将边长 3 厘米的正方形的四条边分别向两端各延长一倍，连接 8 个端点得到一个八边形（见下图），求阴影部分的面积。 3．将等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△DEC 按下图重叠在一起，阴影部分是 一个正方形。已知△ABC 的面积是 36 平方厘米，求△DEC 的面积。
例 4 如下图所示，长方形 ABCD 的长是 10 厘米，宽是 6 厘 米，E、F 分别是 AB 和 AD 的中点。求阴影部分的面积。
人教版八年级数学下册 第18章 菱形、正方形创新题及解析
人教版八年级数学下册 第18章 菱形、正方形创新题及解析一、操作题例1．在数学活动中，小明为了求2341111122222n ++++⋅⋅⋅+的值（结果用n表示），设计如图1－1所示的几何图形．（1）请你利用这个几何图形求2341111122222n ++++⋅⋅⋅+的值为__________．（2）请你利用图2－2，再设计一个能求2341111122222n ++++⋅⋅⋅+的值的几何图形．解：由图形知利用的是面积法：第一次把面积为1的正方形等分，得到12，第二次把面积为12的一个矩形等分得到212，第三次把面积为212的一个正方形等分得到312，第四次把面积为312的一个等腰直角三角形等分得到412，…，最后把面积为112n -的一个等腰直角三角形的面积等分得到两个12n ，从而易知2341111122222n ++++⋅⋅⋅+=112n -，由以上过程知：首次把正方形的面积等份，以后每次均为等分上次所得的两个图形中的一个，n-1次即达到目的，如图2给出供参考，事实上，方法还有很多，不再列举，答案如下： （1）112n-． （2）如图2－1或如图2－2或如图2－3或如图2－4等，图形正确．二、拼图题图2－1图2－2 图2－3 图2－4例2．如图3，是由四个形状大小完全相同的长方形拼成的图形，利用面积的不同表示法，写出一个代数恒等式： ．分析：如何展示一个代数恒等式的几何意义，又如何从一个图形中挖掘提炼一个抽象的代数恒等式，成为近年中考命题的一大亮点，事实上，利用面积的割补原理，可列出22()()4a b a b ab +=-+，或22()4()a b ab a b +-=-， 或22()()4a b a b ab +--=．三、探究题例3．如图4甲，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥DC ．由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形．(1)求四边形ABCD 四个内角的度数；(2)试探究四边形ABCD 四条边之间存在的等量关系，并说明理由；(3)现有图甲中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗?若能，请你画出大致的示意图．解：(1)如图，∠1=∠2=∠3，∠1+∠2+∠3=360°， 所以3∠1=360°，即∠1=120°．所以梯形的上底角均为120°，下底角均为60°(2)由于EF 既是梯形的腰，又是梯形的上底，所以梯形的腰等于上底． 连接MN ，则∠FMN=∠FNM=30°．图4从而∠HMN=30°，∠HNM=90°．所以NH=AH 21． 因此，梯形的上底等于下底的一半，且等于腰长． (3)能拼出菱形．如图5：(拼法不唯一) ．评析：本题是考察学生观察能力和综合分析能力的好素材，由图甲（等腰梯形）到图乙（平行四边形）的拼合中隐含了等腰梯形内角之间的内在的关系．只要认真观察，就不难发现角的关系：即下底角的3倍等于180°或三个上底角拼成了一个周角，同时由乙图中隐含的信息很容易看出等腰梯形上底等于其腰长，这样问题便很容易得到解决了．四、猜想题例4．如图6－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．（1）如图6－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； （2）若三角尺GEF 旋转到如图6－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．图6－2图6－3图6－1A ( G )B ( E )分析：本题是以正方形为背景的操作探究题，以学生非常熟悉的学具------等腰直角三角尺进行操作，只要动手、动脑就能发现不变量，用“不变应万变”、“以静制动”，借助正方形和全等知识就可以解决了．解：（1）BM =FN ．证明：∵△GEF 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形，∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF ．又∵∠BOM =∠FON ，∴ △OBM ≌△OFN ，∴ BM =FN ． （2）BM =FN 仍然成立．证明：∵△GEF 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形，∴∠DBA =∠GFE =45°，OB =OF ．∴∠MBO =∠NFO =135°．点评：本题是一道以正方形为背景的三角板操作题，它推广旋转角度的变化，来探究图形的规律，寻找出不变量，并证明猜想的开放题．五、方案设计题例5．正方形通过剪切可以拼成三角形，方法如下： 仿上用图7（1）示的方法，解答下列问题：操作设计：（1）对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形．（2）如图7（2），对任意三角形设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形．分析：本题通过对图形的剪裁拼接，考查学生的创新求索， 发散思维，优化解题方案和过程的策略．本题的方案很多， 略举几例：（1）方案1． 方案2．图7（1）图7（2）（2）方案1． 方案2．课后自测小练习1、如图，正方形ABCD 和正方形EFCG 的边长分别为3和1，点F ，G 分别在边BC，CD 上，P 为AE 的中点，连接PG ，则PG 的长为________．第1题图解析：如图，延长GE 交AB 于点O ，作PH ⊥OE 于点H ，则PH ∥AB .中点 中点 ①②∵P是AE的中点，∴PH是△AOE的中位线，∴PH＝12OA＝12(3－1)＝1.∵Rt△AOE中，∠OAE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，即OA＝OE＝2，同理可得HE＝PH＝1.∴HG＝HE＋EG＝1＋1＝2.∴在Rt△PHG中，PG＝PH2＋HG2＝12＋22＝ 5.故答案是 5.2、在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，连接EF，FG，GH，HE.(1)求证：四边形EFGH为平行四边形；(2)若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，AH＝2AE，求AE的长．2、解析：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，∴∠EAH ＝∠GCF ＝90°.∵BF ＝DH ，∴AH ＝CF .在△AEH 和△CGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝CG ，∠EAH ＝∠GCF ，AH ＝CF ，∴△AEH ≌△CGF (SAS)∴EH ＝FG .(4分)同理EF ＝HG ，∴四边形EFGH 为平行四边形．(2) 解：在正方形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，设AE ＝x ，则BE ＝x ＋1. 在Rt △BEF 中，∠BEF ＝45°，∴BE ＝BF .∵BF ＝DH ，∴DH ＝BE ＝x ＋1， ∴AH ＝AD ＋DH ＝x ＋2.在Rt △AEH 中，AH ＝2AE ，∴2＋x ＝2x ， 解得x ＝2，∴AE ＝2.3、如图①，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF.(1)求证：四边形BFEP为菱形；(2)当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．①当点Q与点C重合时(如图②)，求菱形BFEP的边长；②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离.解析：3、(1)证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，∴点B与点E关于PQ对称，∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF. 又∵EF∥AB，∴∠BPF＝∠EFP，∴∠EPF＝∠EFP，∴EP＝EF，∴BP＝BF＝EF＝EP，∴四边形BFEP 为菱形．(3)解：①∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°.∵点B与点E关于PQ对称，∴CE＝BC＝5cm. 在Rt△CDE中，DE＝CE2－CD2＝4cm，∴AE＝AD－DE＝5－4＝1(cm)．在Rt△APE中，AE＝1，AP＝3－PB＝3－EP，∴EP2＝12＋(3－EP)2，∴EP＝53 cm，∴菱形BFEP的边长为53 cm.②当点Q与点C重合时，如图②所示．点E离点A最近，由①知，此时AE＝1cm.当点P与点A重合时，如图③所示．点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm，∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm.4、如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q.(1)如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；(2)如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．图1 图2解：(1)PB＝PQ.证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，∴∠PEB＝∠PFQ＝90°.∵P，C为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°.∴PF＝PE.∴四边形PECF为正方形．∵∠BPE＋∠QPE＝90°，∠QPE＋∠QPF＝90°，∴∠BPE＝∠QPF.∴Rt△PQF≌Rt△PBE(ASA)．∴PB＝PQ.(2)PB＝PQ.证明：过P作PE⊥BC，交BC的延长线于点E，PF⊥CD，交DC的延长线于点F.∵P，C为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°.∴PF＝PE.∴四边形PECF为正方形．∴BE∥PF. ∴∠EBP＝∠BPF.∵∠BPF＋∠QPF＝90°，∠Q＋∠QPF＝90°，∴∠BPF＝∠Q.∴∠EBP＝∠Q.∴Rt△PQF≌Rt△PBE(AAS)．∴PB＝PQ.5、 先阅读下面题目及解题过程再根据要求回答问题：已知如图在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线BC 交于E ，∠ABD 的平分线交AD 于F ，AE ，BF 相交于O ，则四边形ABEF 为菱形，说明理由．理由：（1）因为四边形ABCD 为平行四边形，（2）所以AD //BC（3）所以∠ABE +∠BAF =18︒0（4）因为AE ，BF 分别是∠BAD ，∠ABC 的平分线（5）所以∠1=∠2=21∠BAF ，∠3=∠4=21∠ABE （6）所以∠1+∠3=21（∠BAF +∠ABE ）=︒⨯18021=9︒0 （7）所以∠AOB =︒90（8）所以AE ⊥BF（9）所以四边形ABEF 是菱形问：（1）上述理由是否充分？回答：（2）如有错误，指出其错误的原因是 应在第 步后添加如下说理过程解析：这是一通纠错探索型阅读题．关注知识形成过程，考查阅读、分析能力，通过阅读再现菱形的判定方法，在分析过程中培养作题的主动性．（1）不充分（2）错误的原因是设有说明四边形ABEF是否为平行四边形，而仅靠对角线互相垂直，不足以说明其为菱形，（8）又在△ABE中∠3=∠4，BO⊥AE所以OA=OE，同理可得OB=OF．。
人教版八年级数学下册专题复习(十一) 几何图形的面积等分
思维特训(十一)几何图形的面积等分方法点津面积等分基本模型：1．三角形的中线把三角形面积等分；2．夹在两条平行线间的距离相等，同底等高的两个三角形面积相等；3．过平行四边形对角线中点(对称中心)的任意一条直线把平行四边形面积等分．典题精练类型一作一个图形的面积等于已知图形1．(1)如图11－S－1①，已知直线m∥n，点A，B在直线n上，点C，P在直线m上．①写出图①中面积相等的三角形：________；②当点P在直线m上移动到任一位置时，总有________与△ABC的面积相等；(2)如图11－S－1②，已知一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC(或其延长线)于点M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积？图11－S－1类型二等分面积2．阅读下列材料：小明遇到一个问题：AD是△ABC的中线，M为BC边上任意一点(不与点D重合)，过点M作一直线，使其等分△ABC的面积．他的作法是：如图11－S－2①，连接AM，过点D作DN∥AM交AC于点N，作直线MN，直线MN即为所求直线．请你参考小明的作法，解决下列问题：(1)如图②，在四边形ABCD中，AE平分四边形ABCD的面积，M为CD边上一点，过点M作一直线MN，使其等分四边形ABCD的面积(要求：在图②中画出直线MN，并保留作图痕迹)；(2)如图③，求作过点A的直线AE，使其等分四边形ABCD的面积(要求：在图③中画出直线AE，并保留作图痕迹)．图11－S－23．有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”，如三角形的中线所在的直线一定是三角形的“二分线”．解决下列问题：(1)在图11－S－3①中，试用三种不同的方法分别画出平行四边形ABCD的“二分线”；(2)解决问题：兄弟俩分家时，有原来共同承包的一块平行四边形田地ABCD，现要进行平均划分，由于在这块地里有一口井P，如图②所示，为了兄弟俩都能方便使用这口井，兄弟俩在划分时犯难了，聪明的你能帮他们解决这个问题吗(画图，并说明结果)?图11－S－34．我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：如图11－S－4①，在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA，OC，AC.显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于点E，则直线AE即为一条“好线”．(1)试说明：直线AE是“好线”的理由；(2)如图②，AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过点F的“好线”，并对画图作适当说明(不需要说明理由)．图11－S－45．自定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．(1)如图11－S－5①，已知△ABC，AC≠BC，过点C能否画出△ABC的一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由．(2)如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，EF垂直平分AD，垂足为F，交BC 于点E，已知AB＝3，BC＝8，CD＝5.求证：直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”．(3)如图③，在△ABC中，AB＝BC＝6，AC＝8，请你作出△ABC的一条“等分积周线”EF(要求：直线EF不过△ABC的顶点，交边AC于点F，交边BC于点E)，并说明理由．图11－S－5典题讲评与答案详析1．解：(1)①图①中符合条件的三角形有：△CAB与△P AB，△BCP与△APC，△ACO 与△BPO.②△P AB(2)如图，连接EC，过点D作直线DM∥EC交BC的延长线于点M，作直线EM，直线EM即为所求的直线．2．解：(1)如图①，连接AM，过点E作EN∥AM，交AD于点N，再作直线MN即可．(2)如图②，取对角线BD的中点O，连接AO，CO，AC，过点O作OE∥AC交CD于点E，直线AE就是所求直线．3．解：(1)答案不唯一，示例如下：(2)能解决这个问题．连接AC，BD相交于点O，过点O，P作直线与DC，AB分别交于点E，F，如图所示．则一人分四边形ADEF，一人分四边形CEFB.4．解：(1)∵OE∥AC，∴S△AOE＝S△COE，∴S△AOF＝S△CEF.又∵折线AOC能平分四边形ABCD的面积，∴直线AE平分四边形ABCD的面积，即AE是“好线”．(2)连接EF，过点A作EF的平行线交CD于点G，连接FG，则FG为一条“好线”．∵AG∥EF，∴S△AGE＝S△AFG. 设AE与FG的交点是O，则S△AOF＝S△GOE.又∵AE为一条“好线”，∴FG为一条“好线”．5．解：(1)不能．理由：如图①，取AB的中点D，连接CD，则S△ADC＝S△DBC，且过点C只能画CD一条直线平分△ABC的面积．∵AC≠BC，∴AD＋AC≠BD＋BC，∴过点C不能画出△ABC的一条“等分积周线”．(2)证明：如图②，连接AE，DE，设BE＝x，∵EF垂直平分AD，∴AE＝DE，AF＝DF，S△AEF＝S△DEF.∵∠B＝∠C＝90°，AB＝3，BC＝8，CD＝5，∴在Rt△ABE和Rt△DCE中，根据勾股定理，得AB2＋BE2＝CE2＋DC2，即32＋x2＝(8－x)2＋52，解得x＝5，∴BE＝5，CE＝3，∴AB＋BE＝CE＋DC，S△ABE＝S△DCE.∴AF＋AB＋BE＝DF＋CE＋DC.∵S四边形ABEF＝S△ABE＋S△AEF，S四边形DCEF＝S△DEF＋S△DCE，∴S四边形ABEF＝S四边形DCEF，∴直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”．(3)如图③，在AC上取一点F，使得FC＝AB＝6，在BC上取一点E，使得BE＝2，作直线EF，则直线EF是△ABC的“等分积周线”．理由：由作图可得AF＝AC－FC＝8－6＝2，在CB上取一点G，使得CG＝AF＝2.∵AB ＝BC，∴∠A＝∠C.在△ABF和△CFG中，AF＝CG，∠A＝∠C，AB＝CF，∴△ABF≌△CFG(SAS)，∴S△ABF＝S△CFG.又易得BE＝EG＝2，∴S△BFE＝S△EFG，∴S△EFC＝S四边形ABEF，AF＋AB＋BE＝CE＋CF＝10，∴直线EF是△ABC的“等分积周线”．。
中心对称图形的性质与图形面积的等分
课题：中心对称图形的性质与图形面积的等分
学习目标：
1.体会中心对称图形的特性，进一步理解相关性质。
2.掌握等分中心对称图形面积的方法。
3.在探究活动中，学会与人合作，并在与他人交流中获取探究
结果。
学习重点、难点
重点：等分中心对称图形的面积。
难点：探索图形面积等分问题的规律。
预习导航
1．举例说明哪些图形是中心对称图形，并指出它的对称中心。
2．中心对称图形的性质。
3．中心对称图形与成中心对称的区别。
4．中心对称图形与成中心对称的联系。
学习过程：
一、引入
二、自主学习
三、合作探究学习
总结：
四、巩固练习、拓展提高
五、整理归纳
这节课我学到了。
布置作业：
请你自己设计含两个中心对称图形的组合图形，并用一条直线将其面积分为相等的两部分。
师生反思、总结：。
中线等分三角形面积
中线等分三角形面积以中线等分三角形面积为题，我们将探讨如何通过中线等分三角形的面积。
在开始之前，让我们先回顾一下中线以及面积的概念。
中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段。
每个三角形都有三条中线，它们交叉于一个共同的点，称为重心。
重心是三角形的一个特殊点，它将三角形分成六个小三角形，其中每个小三角形的面积都相等。
面积是一个平面图形所占据的空间大小的度量。
对于三角形来说，我们可以使用基础公式：面积等于底乘以高的一半。
而对于等边三角形，我们可以使用特定的公式：面积等于边长的平方乘以根号三除以四。
现在，我们来探讨如何通过中线等分三角形的面积。
假设我们有一个任意的三角形ABC，我们的目标是找到三条中线，然后将三角形分成六个面积相等的小三角形。
我们需要找到三角形的三个顶点，并确定它们的坐标。
然后，我们可以使用坐标几何的方法来计算中线的端点坐标。
对于每条中线，我们可以通过将对边的两个顶点坐标相加，然后除以2来获得中线的中点坐标。
一旦我们找到了三条中线的中点坐标，我们可以使用这些坐标来构建三个新的小三角形。
每个小三角形由重心和两个中点组成。
然后，我们可以使用三角形面积公式来计算每个小三角形的面积。
为了证明这六个小三角形的面积是相等的，我们可以使用几何证明或者向量证明。
对于几何证明，我们可以通过将三角形的顶点连接起来，形成一系列平行四边形，并利用平行四边形的性质来证明这六个小三角形的面积相等。
对于向量证明，我们可以使用向量的线性组合来表示每个小三角形的面积，并证明它们相等。
总结一下，通过找到三角形的中线，我们可以将三角形分成六个面积相等的小三角形。
这可以通过计算每个小三角形的面积来实现，使用三角形面积公式以及中点坐标的计算。
通过几何证明或向量证明，我们可以证明这六个小三角形的面积相等。
在实际应用中，等分三角形的面积可以有多种用途。
例如，在建筑设计中，我们可以通过等分三角形的面积来平衡结构的重量分布，从而提高建筑物的稳定性。
平行四边形与面积问题-八年级数学课件
B
F
G
3.若池塘ＢＣ边有一房屋建筑Ｍ，因此扩建时ＢＣ 保持不动，扩建时应满足上述条件，请你再设计一 个开挖方案，画出设计图纸。
D EGCA源自·BＭ F
4、张大爷十年前承包的一块五边形土地，经过多年的 开垦荒地，现已变成如图所示的形状，但承包地与开垦 荒地的分界小路（即折线CDE）还留着，张大爷想过E 点修一条直路，直路修好后要保持直路左边的土地与承 包时的一样多，右边的土地与开垦的荒地面积一样多， 请你按张大爷要求设计方案（不计分界小路与直路占地 E 面积）。
G E B
·
F
SΔABF= SΔADE
C 方法小结： 平行四边形一边的两端点与对边
上的一点构成的三角形面积等于平行四边形 面积的一半 。
应用(二)
若张大爷家的菜地的形状如图所示,AB∥ EF∥ CD， AF∥ ED∥ BC,请你用一条直线将其分为面积相等的两 部分。（不写作法，保留作图痕迹）
A
F
两平行线间的距离处处相等。
2.如何计算三角形的面积？
1 S = 底 x高 2
3.如何计算平行四边形的面积？
S =底x高
探究(一)
如图:已知任意直线l把平行四边形ABCD分成 两部分,要使这两部分的面积相等,直线l所在的 位置满足的条件是 过AC,BD的交点O的任意一条直线
A A D D E
O
B B
A
C B
D
应用(三)
如图,某村口有一口呈三角形的池塘,在它的三个顶点 A,B,C处均有一棵大核桃树,该村现准备开挖池塘建养 鱼塘,要求池塘的面积扩大一倍,且核桃树不动,且扩建 后的池塘呈平行四边形形状,请你设计一个开挖方案, 并画出设计图纸。
图形面积
图形面积(2009-04-1009:14:04)?1.下图中阴影部分甲的面积与阴影部分乙的面积哪个大？??2.??3.??4.??5.下图中阴影部分占总面积的几分之几？??6.把正三角形（等边三角形）每边三等分，将各边的中间段取来向外面作小正三角形，得到一个六角形，再将这个六角形的六个“角”（即小正三角形）的两边三等分，又以它的中间段向外作更小的正三角形，这样就得到二.?1.??2.CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积。
?问题：如图1，D是任意一个三角形ABC的AB边上的中点，E是BC边上的中点。
连接CD和AE两条线段，将三角形ABC分为了四个部分。
如果假设三角形ABC的面积为1，那么这四个部分的面积分别是多少？?问题如图AE和AF问题如图接CD、?问题在图9中，AE∶EC＝1∶2，CD∶DB＝1∶4，BF∶FA＝1∶3，△ABC的面积S＝1，那么四边形AFHG的面积SAFHG____。
??2.如右图，四个一样大的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形，其中大、小正方形的面积分别是64平方米和9平方米.求长方形的长、宽各是多少？?3.如右图，ABCD的边长BC=10，直角三角形BCE的直角边EC长8，已知阴影部分的面积比△EFG的面积大10.求CF?4.?5.?1.?2.在右图中，阴影部分A的面积比阴影部分B的面积大10.5平方厘米，求线段BC的长度？?3.一个直径为10厘米的圆，如左图.圆内有一个扇形，扇形的弧长为3.14厘米，求扇形的面积。
?1?2S△BEF．3A'B'C'D'1..2.??????平方厘米3.右图的长方形被分割成5个正方形,已知长方形的面积为120平方厘米,长方形的长是?????厘米、宽是?????厘米.???4.右图中有9个小长方形.按其编号1,2,3,4,5号的面积分别是1平方米、2平方米、3平方米、4平方米、5平方米,那么6号长方形的面积是??????平方米.5.要砌一个面积是72平方米的长方形猪圈,当以米为长度单位时,长方形的边长都是自然数,这个猪圈的围墙总长最少是???????米.???6.是?????7.右图中是???8.9..长???10..求???11.在一块长60米,宽40米的长方形庭院正中央,设计了“丁字形”甬路.已知甬路宽2米,横甬路到两边的距离相等,竖甬路到两边距离也相等.如图.???(1)求“丁字形”甬路的周长是多少米?(2)求“丁字形”甬路的面积是多少平方米?12.用同样大小的长方形纸片摆成下图,已知每张小纸片的宽是12厘米,求阴影部分的面积.13.有两个完全相同的长方形,如果把它们的长连在一起拼成一个新长方形,周长比原一个长方形增加10厘米;如果宽连一起拼成一个新长方形,周长比原一个长方形增加16厘米.求原每个长方形的面积.14.某工厂的一座新厂房建筑在一块边长是25米的正方形场地上,厂房的横竖都宽5米,如图.(1)求工字形新厂房的周长是多少米?(用最简单的方法解答)(2)1.?2.3.平方米。
4.3圆的面积
例：工人为管道口涂漆， 管道的截面如图所示， 管口的外直径是42厘米， 内直径是38厘米，涂油 漆的面积是多少平方厘 米？
• 思考题：
•
光盘由内、外两个圆构成。光盘的 银色部分是一个圆环。外圈圆半径是12 厘米，里圈圆半径是 3.5 厘米，请问银 色圆环的面积是多少？
通过这节课的学习，你有什么收获？ 2 • 一个计算公式： 圆的面积s r
• 一种数学方法： • 割补法 • 一种数学思想： • 转化思想。 • 新图形转化成已学过的图形，再推导他 们的面积计算方法。 • 一个新感受： • 用“化曲为直”、“无限逼近”的数学思 想转化。
• 判断：圆的半径长是2厘米，半径扩大到 原来的 3 倍，圆的面积也扩大到原来的 3 倍。（ ）
3.14 4 50.24(平方米）
2
• 2、判断题：
• 半径长为2厘米的圆的周长与面积相等吗？ × （ ） • 3、已知一个圆的周长为62.8米，求这个圆的面 × 积。 • 4、把边长为2分米的正方形剪成一个最大的圆， 求这个圆的面积。
动脑筋
小明家新买了一张圆桌，爸爸让他 求桌面的面积，你能帮助小明求解吗？
近似平行四边形
近似梯形
以近似平行四边形为例：
等分的份数越多，其面积越接近圆的面积。
圆面8等分时：
圆面16等分时：
Байду номын сангаас
圆面32等分时：
例 2 、如果我们知道一个圆形花坛的直径是 20m， 我们该怎样求它的面积呢？
• 练习：
• 1、求下列圆形的面积： • （1）r=2厘米；（2）d=8米
• 解(1) S r 2 3.14 22 12.56(平方厘米） • （ 2） s r 2
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《图形的面积等分问题》教案
开发区实验中学张文敏
一、背景分析
二、教学目标
1.知识与技能：了解几类特殊图形用一条直线将其面积两等分，掌握三类一般图形用一条直线将其面积两等分的方法，并能运用解决相关的实际问题。
2.过程与方法：培训学生类比，转化的数学思想方法，以及一般与特殊的辩证思想
3.情感态度与价值观：让学生体验知识等于“财富”、“成功”，以及知识的价值，并产生巨大的求知动力。
教学重点：任意三角形、平形四边形、梯形等几类图形用一直线将其面积两等分的方法，并能灵活运用。
教学难点：任意梯形用一条直线将其面积两等分的方法及其应用。
三、教法与学法
实践法，小组合作法
四、教学过程
(一)创设情境，引入新课
问题：在我家小区内，物业公司要对一块三角形区
域进行绿化，要求用一条直线为分界线把这块三角
形空地分成面积相等的两块，一块用来种花，一块
用来植绿色植被，让我们来帮助他们解决这个问题，
同学们你们是否能用你们学的知识来帮镇政府解决
这个问题呢？
要解决这个实际问题，它的实质就是我们几何学中
的“一直线两等分图形面积”的问题。
今天我就和同学们一起来探索研究这类问题。
(二)实验引导
问题：
你能在下列图形中作一直线将其分成面积相等的两块吗？
（请同学们借助准备好的纸片进行操作，同学间进行交流，最后得出结论）
2 教师提问：
通过刚才的实验操作，你们发现了什么？有何疑问？
（这些图形都是特殊的三角形、四边形，都能通过折叠，剪切分成两个面积相等的部分；这些图形都是轴对称图形，只要画出对称轴就能分成面积相等的两块了）学生或教师提问：
是不是任何一个图形都能作一条直线将其面积两等分呢？
今天我们主要来探讨一下一般三角形、平形四边形和梯形中能不能作一条直线将其面积两等分？
(三)问题引导
问题：
如图，在△ABC中，能作一直线将其分成面积相等的
两部分吗？（只要作它一边上的中线所在的直线就
可以了，因为中线分面的两个三角形等底同高）
问题：
如图，矩形ABCD中，能作一直线将其分成面积相等的两部分吗？
（1）画出它的任一条对角线，因为对角线
分成的两个三角形全等。
（2）还可以作过对边中点的直线，这样分成
的两个四边形都是矩形且等底等高。
（3）过对角线的交点的任一条直线，就能把
面积两等分
[因为平行四边形是中心对称图形，根据中心
对称图形的性质，经过对称中心的任一条直
线都把它分成两个全等形，面积当然相等。
]
教师点拨：
如果把上述问题中的平行四边形换成矩形、菱形、正方形是否也有类似的方法？（是的，因为矩形、菱形、正方形都是平行四边形，也是中心对称图形）
问题：
3 如图，在梯形ABCD中，AD／／BC，能作一条直线将其分成面积相等的两部分吗？
注意：①这里可能有的学生会提出连结对角线，这是不正确的。
②也有可能有的同学提出作中位线，这也是不正确的。
（1）作过两底中点的连线。
（由在平行四边形中作过对边中点的直线可两等分面积联想而得）。
（2）先把梯形问题转化为三角形问题，取CD的中点E延长AE交BC的延长线与F，再取BF的中点G，作直线AG，则AG将梯形面积两等分。
（3）再将梯形问题转化为平行四边形问题：取CD的中点E，过E作PQ//AB，交AD的延长线与点D，AC于Q，这时只要作直线AQ，则可将梯形面积两等分了。
注意：这里有一种错误的作法，那就是过四边形ABQP对角线的交点任作一直线就可以了，这条直线应保证与两底相交，而不能与两腰相交。
点评：
①同学们可将未知的问题转化为我们所熟悉的问题，这是解决数学问题的重要思想方法。
②同学们在思考问题时很仔细能从不同的角度思考问题很好。
那么是否还有其他什么方法呢？是否还有比较简单的方法呢？
（4）只要过中位线的中点D，画一条直线MN，且只要MN与上下底相交，就可以了。
（因为MN把梯形分成两部分，左边部分的面积等于OE·h，右边的面积等于OF·h，而OE＝OF，所以左右两部分的面积相等）
（此法主要联想到经过平行四边形对角线交点的任一直线能将平行四边形分成面积相等的两部分）
（这里应用到类比思想，通过类比发现然后验证）
（四）拓展引导：
1.关于三角形、梯形的面积等分还有很多方法，待我们所学的知识逐步完善后可进一步探究。
2.今天接触的这类问题的解决，我们应从中体会到类比与化归在研究问题（数学）中的作用，我们还可以继续探索任意四边形和其它一些多边形的面积两等分的方法。
3.这类问题的解决非常有用，我们可以用来平分一块蛋糕，均分一块土地，进行有关规划。
4.最后请同学们完成前面我们提出过的问题。
(五)作业：
要求用一条直线为分界线把下图形分成面积相等的两部分。
五、教学反思
数学学习对学习者而言是一个发现和创造的过程，在教学学习过程中，如何寻找和形成适合学习者的自身的特点的有方法，如何培养举一反三，触类旁通的迁移能力，如何感悟、提炼基本的数学思想方法，如何培养解决教学问题的策略知识，思维障碍之处如何进行有效的预防和排除等。
这些都是教师应该关心的问题，这节课在设计安排和组织教学过程中，以问题为中心赋予学生观察实验，猜想、验证、推理与交流等丰富多彩的教学活动，真正使学生成为学习的主人，而教师则是学生学习的组织者、引导者、合作者和促进者，而学生经历的不仅仅是自主设计、自主探索的思维训练，通过课堂教学，把学生带入到经济生活之中，体验到知识等于“财富”，等于“成功”，知识是有价值的，从而使学生产生巨大的求知动力。