单个正态总体的假设检验

如假设: H0： 10620; H1：<10620 结论如何？
H0 真时 :
T X 0
Sn
X 10631.4
拒绝域为 T -t0.05(9)=-1.8331
这里
T0
10631.4 81
10620
0.45＞－1.8331
接受H0
10
同一个问题，因为不同的假设结论完全相反，怎么解释？
这涉及到如何进行原假设的设计问题
第二步：取统计量，在H0成立下求出它的分布
Z X 0 ~ N (0 , 1) n
第三步：对给定的显著性水平
查表确定临界值 k Z,使 P{| Z | Z 2}
2
得H0否定域
第四步：将样本值 x1, x2, , xn代入算出统计量
Z0
x
0
n
第五步：判断
(x)
2
| Z0 | Z 2 则H0相容，接受H0 z 0
原假设的设立带有一定的倾向性，可从下列问题来体会
有一生产厂家向超市供货，质量指标服从正态分布 N (, 2 ), 越大质量越好，而0为合格界限
超市对于供应商的商品进行检验，检验员是假定这批次商品
0还是 0呢?
对于原假设 : 0
即x 0 t (n 1)
s n
否定域为T= x-0
s/ n
织物比过去的织物强力是否有提高?
解: 提出假设: H0 : 21
取统计量
Z X 21 ~ N (0,1)
n
H1 : 21
否定域为 W : Z z0.01 2.33
代入 1.2 n 30 并由样本值计算得统计量
Z 的实测值
认为织物强力有所提高
故拒绝原假设H0 .
·左边检验问题 方差未知
问是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差大于
80?(=0.05) , 熔化时间 X ~ N(, 2)
解
H0： 2 80；H1： 2 80
2 80 时 2 9S 2 ~χ 2 (9)
80
由 p{ 2 χ2 (9)}
得水平为 =0.05 的拒绝域为
2
χ2
(9)
χ2 0.05
(9)
19.023
抽取6件, 得尺寸数据如下:
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03 问这批产品是否合格? （=0.01）
解 已知
未知.
第一步： 提出原假设和备择假设
第二步： 取一检验统计量，在H0 成立下求出它的分布
第三步： 对给定的显著性水平 临界值,使
查表确定
得否定域
”是一个小概率事件 . 或
代入算出统计量
则H0相容，接受H0 则否定H0，接受H1
由于取用的统计量服从t分布，故称其为t 检验法。
例3 某工厂生产的一种螺钉， 标准要求长度是32.5 毫米. 实际生产的产品其长度 X 假定服从正态分布 ，
X ~ N(, 2 ), 2 未知，现从该厂生产的一批产品中
另外 x 如要接受H1 : 0
Z X 0 应该比较小 否定域在左边, 形式为Z<? / n
z 0
z
思考
例4 某织物强力指标X的均值
公斤. 改进
工艺后生产一批织物，今从中取30件，测得
公斤.假设强力指标服从正态分布 X ~ N(, 2 ),且已知
1.2 公斤，问在显著性水平 0.01 下，新生产
若
或
则否定H0。
若
则H0相容。
本题
2 1
(n
1)
2
根据样本值算得
2 0.975
(9)
2.7
02
9 0.0232 0.0252
2
(n
1)
2
7.6176
02.025(9)
19.023
显然 2.7 02 19.023 则H0相容，接受H0 。
可信这批延期药的静止燃烧时间T的方差为
例2 某次统考后随机抽查26份试卷, 测得平均成绩:
第八章
假设检验
一 、假设检验的基本概念 二、正态总体均值与方差
的假设检验
§8。2 正态总体均值与方差的假设检验
设总体 X ~ N(, 2 ) X1, X 2, , X n 为X的样本。
我们对μ,σ2作显著性检验 1、单个正态总体均值的假设检验
已知 X ~ N(, 2 ), 2 已知，检验假设
的过程分为五个步骤： 第一步： 提出原假设和备择假设
这里
2
9S 2
σ
2 0
9121.8 13.7 80
接受 H0
感谢下 载
由样本算得
这里
|
T0
||
543 7.58
549
|
1.77
t0.025(4) 2.776
5
H0相容，接受H0。
即这批新罐的平均爆破压力与过去无显著差别。
二、关于σ2假设检验
在显著性水平条件下检验假设 其中σ0是已知常数，
例1 已知某种延期药静止燃烧时间T, T ~ N(, 2 )
今从一批延期药中任取10副测得静止燃烧时间（单位
对于单边问题H0：
2
（02
2
02）；H1：
2
2，
0
wk.baidu.com
可解得拒绝域：
2
2 1
(n
1)；
而对单边问题
H0： 2
（02
2
02）；H1： 2
2，
0
可解得拒绝域： 2 2 (n 1)。
2＝（n012)s2
例5 电工器材厂生产一批保险丝，取10根测得其熔化
时间（min）为 42, 65, 75, 78, 59, 57, 68, 54, 55, 71.
由于S2集中了σ2的信息，自然想用S2与σ2进行比较 若 S 2 / 2 过大或过于接近0，则说明σ2 偏离σ02较大。 因此有理由否定H0。
取统计量
P{
2
2 1 2
(n
1)}
2
这说明 或
[
2
2 1
(n
1)]
2
[ 2 2 (n 1)]
2
是小概率事件。
P{
2
2
2
(n
1)}
2
因此， 在样本值
下计算
H0： 0 ；H1： <0,
说明:有些教材上 用“H0： =0 ；H1： <0 ,”表示
统计量 : T X 0
Sn
由 P{T t (n 1)}
得水平为的拒绝域为
T t (n 1)
·右边检验问题
H0： ≤ 0 ；H1： ＞0 或 H0： =0 ；H1： ＞0,
统计量 : T X 0
右边检验 左边检验
H0 : 0 （＝0）H1 : 0
否定域分析, (即 o的条件) Z X ~ N（0，1）
/ n ~ N（ 0 ，1） / n
Z0
x
0
n
Z x n
于是P{Z0 Z } P{Z Z }
否定域为z 0
z
关于单边假设检验否定域的另一种理解
为了解释方便，假设 H0 : 0 H1 : 0
秒）数据为 1.3405 1.4059 1.3836 1.857 1.3804 1.3760 1.4053 1.3789 1.4021 1.3424
问：是否可信这批延期药的静止燃烧时间T的方差为 2 0.0252. ( 0.05) 我们的任务是根据所得的样本值检验
我们先讨论一般的检验法。
提出假设
t (n 1)
对于原假设 : 0
即x 0 t (n 1)
s n
否定域为T=
x-0
s/ n
t (n 1)
请大家分析一下商场和生产厂家希望哪个原假设?
从以上的分析也可看出：否定原假设通常比较困难 通常所说,假设检验具有保护原假设的特点 确定原假设时要 体现倾向性,通常假定保持原来的状况不变 或者采用保守的观点
第四步： 将样本值代入算出统计量 T0的实测值,
T0 2.997 4.0322
故不能拒绝H0 .
没有落入 拒绝域
这并不意味着H0一定对，只是差异还不够显著, 不足以否定H0 .
例5 对一批新的某种液体存储罐进行耐裂试验,
重复测量5次，测得爆破压力数据为（单位斤/寸2）: 545 545 530 550 545
| Z0 | Z 2 则否定H0，接受H1
2
由于取用的统计量服从 Z(U)分布，故称其为
z x
2
Z(U) 检验法。
选择假设H1 表示Z可能大于μ0，也可能小于μ0。
如图，拒绝域是是区域
之外的两侧，
此检验称为双侧检验。
2、未知σ2，检验
H0 : 0 H1 : 0 （H1可以不写）
未知σ2，可用样本方差
检验步骤
S2
1 n 1
n
(Xk
k 1
X
)2
代替σ2
第一步： 提出原假设和备择假设
第二步：取一检验统计量，在H0成立下求出它的分布
T X 0 ~ t(n 1)
Sn
第三步： 确定H0的否定域。 对给定的显著性水平
查表确定临界值
,
t 2 (n 1) 使
即“
得 H0否定域
第四步： 将样本值 第五步：判断
试分析该次考试成绩标准差是否为
已知该次考试成绩
（=0.05）
解: 提出假设
取统计量
查表
根据样本值算得
显然
则H0相容，故接受H0 。
表明考试成绩标准差与12无显著差异。
四.单边检验及其拒绝域
双边假设检验
H0 : 0 H1 : 0
单边检验
双边备择假设
H0 : 0 （＝0）H1 : 0
H0 : 0 （＝0）H1 : 0
解: H0 : 4.55 （ 4.55）
统计量 Z X 4.55 0.11 5
H1 : 4.55
由 p{Z z } α
得水平为的拒绝域为
Z z 1.645
这里
Z0
4.364 4.55 0.11 5
3.78
1.645
拒绝H0
例2 某厂生产镍合金线，其抗拉强度X的均值为 10620 (kg/mm2)今改进工艺后生产一批镍合金线，抽 取10根,测得抗拉强度(kg/mm2)为: 10512, 10623, 10668, 10554, 10776, 10707, 10557, 10581, 10666, 10670. 认为 X ~ N(, 2) ,取=0.05 ,问 新生产的镍合金线的抗拉强度是否比过去生产的合 金线抗拉强度要高?
Sn
由 P{T t (n 1)}
得水平为的拒绝域为
T t (n 1)
例1 已知某炼铁厂的铁水含碳量 X 在正常情况下
X ~ N(4.55, 0.112 ) 某日测得5炉铁水含碳量如下:
4.28, 4.40, 4.42, 4.35, 4.37. 如果标准差不变,
该日铁水的平均含碳量是否显著偏低? =0.05
过去该种液体存储罐的平均爆破压力为549斤寸(可 看作真值), 试问这批新罐的平均爆破压力与过去有无
显著差别？爆破压力X服从正态分布 =0.05 解: 提出假设 H0：=549； H1：549
因为未知方差σ2，故采用t检验法。
取统计量 T X 0 ~ t(n 1)
Sn
查表
t 2 (n 1) t0.025(4) 2.776
解: H0：≤10620; H1：>10620
H0 真时 :
T X 0
Sn
X 10631.4
拒绝域为 Tt0.05(9)=1.8331
这里
10631.4 10620
T0
81
0.45 1.8331
10
接受H0
例2（续）某厂生产镍合金线，其抗拉强度X的均值为 10620 (kg/mm2)今改进工艺后生产一批镍合金线，抽 取10根,测得抗拉强度(kg/mm2)为: 10512, 10623, 10668, 10554, 10776, 10707, 10557, 10581, 10666, 10670. 认为 X ~ N(, 2) ,取=0.05 ,问 新生产的镍合金线的抗拉强度是否比过去生产的合 金线抗拉强度要高?