单个正态总体的假设检验
正态总体均值的假设检验
2 用 分布
检验
下，若能求得检验统计量的 极限分布，依据它去决定临界值C.
例 1 (用例中数据,但未知)
n=10, =0.05, 0=10 t10-1(/2)=t9(0.025)=2.2622
X 10.05,S2 0.05, S 0.224 X 10 0.05 , 即未落入拒绝域为 S 10 2.262 0.160 S 10 2.262
抽取 样本
检验 假设
拒绝还是不能 拒绝H0
P(T W)=
类错误的概率， W为拒绝域
对差异进行定量的分析， 确定其性质(是随机误差 显著性 水平
还是系统误差. 为给出两 者界限，找一检验统计量T， 在H0成立下其分布已知.）
-----犯第一
一般说来，按照检验所用的统计量的分布, 分为 U 检验 用正态分布
以上检验法叫U检验法.
X ～tn 1 S/ n
0
于是当原假设 H0:μ =μ X 0 ～tn 1 S/ n
成立时,有:
X 0 P tn 1 2 S / n S 即P X 0 tn 1 n 2 S 拒绝域为 X 0 tn 1 n 2 以上检验法叫t检验法.
第八章 第二节
正态总体均值的假设检验
一、单个正态总体N(,2)均值的检验
(I) H0:μ = μ
0
H1:μ ≠ μ
0
设X1,X2, ,Xn为来自总体N(,2)的样本. 求:对以上假设的显著性水平=的假设检验. 方差2已知的情况
根据第一节例1,当原假设 H0:μ =μ , 有:
8.2-0单正态假设检验
u X 0 . S/ n
拒绝域为| u | u / 2 ．查表得 u / 2 = u0.025 = 1.96 ．
由于
| u | | x 0 | 0.4 50 1.22 1.96 , s/ n 4
所以接受H0，即认为总体的均值μ=0．
147，150，149，154，152，153，148，151, 155
假设零件长度服从正态分布，问这批零件是否
合格（取 = 0.05）？
解 这里是在总体方差 2 未知的情况下，检验假设 H0： 0 150 ，H1： 150 ．
在H0成立时，检验统计量
T X 0 ~ t(n 1) .
| t | | x 0 | 1.096 2.306 .
s/ n
所以接受H0，即认为这批零件合格．
三、正态总体方差的假设检验— 2 检验
设总体 X ~ N (, 2 ) 平 ．
, (X1，X2，…，Xn)为X 的样本，给定显著性水
1．当 已知时，方差 2的假设检验
H0： 2
(5)由数据计算得x 112.8, s 1.1358
故T 112.8 112.6 0.4659 2.4469 1.1358 7
故接受H 0 ,即可认为用热敏电阻测温仪间接测量温度无系统 误差。
例2 某车间加工一种零件，要求长度为150mm， 今从一批加工后的这种零件中抽取 9 个，测得长度如 下：
2
2 (n)
或 2
2 1
2 (n)
2
2 0
2
2 0
2
2
单正态总体的参数假设检验
单正态总体的参数假设检验一、引言在统计学中，参数假设检验是一种常用的统计推断方法，用于对总体参数的假设进行验证。
在本文中，我们将讨论单正态总体的参数假设检验方法。
单正态总体是指样本来自一个服从正态分布的总体。
二、参数假设检验的基本步骤参数假设检验的基本步骤包括以下几个方面：1. 提出假设：在进行参数假设检验时，首先需要提出原假设和备择假设。
原假设（H0）是对总体参数的一个特定取值或一组取值的陈述，备择假设（H1）是对原假设的补充或对立假设。
2. 选择检验统计量：检验统计量是一个用于判断是否拒绝原假设的量。
在单正态总体的参数假设检验中，常用的检验统计量有样本均值、样本比例等。
3. 确定显著性水平：显著性水平是在进行假设检验时所允许的犯第一类错误的概率。
通常情况下，显著性水平取0.05或0.01。
4. 计算检验统计量的观察值：根据样本数据，计算检验统计量的观察值。
5. 确定拒绝域：拒绝域是一组检验统计量的取值，如果观察到的检验统计量的取值落在这个区域内，则拒绝原假设。
6. 做出决策：根据观察到的检验统计量的取值和拒绝域的关系，做出接受或拒绝原假设的决策。
三、单正态总体均值的参数假设检验在单正态总体均值的参数假设检验中，常用的检验方法有Z检验和t检验。
1. Z检验：当总体的标准差已知时，可以使用Z检验。
Z检验的检验统计量为样本均值与总体均值之差除以标准差的样本标准差。
根据中心极限定理，当样本容量较大时，检验统计量近似服从标准正态分布。
2. t检验：当总体的标准差未知时，使用t检验。
t检验的检验统计量为样本均值与总体均值之差除以标准误差的样本标准差。
根据学生t分布的性质，当样本容量较小时，检验统计量服从t分布。
四、实例分析为了更好地理解单正态总体的参数假设检验方法，我们以某电商平台的订单发货时间为例进行分析。
假设我们关注的是该电商平台订单的平均发货时间。
我们提出如下的原假设和备择假设：原假设（H0）：订单的平均发货时间为3天。
正态总体的假设检验
n
(Xi μ)2
P { i1
σ
2 0
χ
2 1
α 2
(
n)}
P{
i 1
σ
2 0
χ
2
α
(
n)}
α
2
所以拒绝域为： W
{
χ2
χ
2 1
α 2
(
n)
，χ
2
χ
2
α
(n)
}
2
2. μ未知时，总体方差σ2的假设检验 χ2 检验法
类型 原假设 备择假设
H0
H1
检验统计量
双边 检验
σ2
σ
2 0
σ2
得s=0.007欧姆.设总体服从正态分布，参数均未知，
问在显著性水平α=0.05下，能否认为这批导线的
标准差显著地偏大？
解: s2 0.0072 0.0052
原假设 H 0 : σ 2 0.0052，备择假设 H1 : σ 2 0.0052
检验统计量： χ 2 (n 1)S 2
σ2
拒绝域：
第二节 正态总体的假设检验
一、单一正态总体均值μ的假设检验
二、单一正态总体方差σ2的假设检验 三、两个正态总体均值的假设检验 四、两个正态总体方差的假设检验
一、单一正态总体均值μ的假设检验
设总体X~N (, 2). X1 , X2 , … , Xn是取自X的样本，
样本均值 X样，本方差S2
1．已知
T t（α n 1）
例1. 设某次考试的考生的成绩服从正态分布，从中随
机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标 准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为在 这次考试中全体考生的平均成绩为70分？
单个正态总体的假设检验
计算统计量 Z 的观察值
z0
x 0
n
.
(8.3)
如果：( a ) | z0 |> zα/2，则在显著性水平 α 下，拒绝原假设 H0
(接受备择假设H1)，所以| z 0|> zα/2 便是 H0 的拒绝域。
( b ) | z0 | z /2 ，则在显著性水平 α 下，接受原假设 H0，认
=0.05 下 否 定 H0 ， 即 不 能 认 为 这 批 产 品 的 平 均 抗 断 强 度 是
32.50kg·cm-2。
把上面的检验过程加以概括，得到了关于方差已知的正态总体期
望值 μ 的检验步骤:
( a )提出待检验的假设 H0 ：μ = μ0； H1：μ ≠ μ0。
( b )构造统计量 Z ，并计算其观察值 z0 :
1277°(可看作温度的真值)，试问此仪器间接测量有无系统偏差?
这里假设测量值 X 服从 X ~ N ( μ , σ2) 分布。
解
①问题是要检验
提出假设 H0 ：μ = μ0=1227； H1：μ ≠ μ0。
由于
σ2
未知( 即仪器的精度不知道 )，我们选取统计量 T
当 H0 为真时，T ~ t ( n -1) ，T 的观察值为
X
X 0
N ( , ) ,
n
Z
n
X 0
n
N (0,1) ,
(8.2)
作为此假设检验的统计量，显然当假设 H0 为真(即μ = μ0正确)
时, Z ~ N ( 0 , 1)，所以对于给定的显著性水平 α ，可求出 zα/2，
使
P{| Z | z 2 } .
见图8-3，即
正态总体参数的假设检验
578, 572, 570, 568, 572, 570, 570, 572, 596, 584 试判断新生产的铜丝的折断力有无提高(取α=0.05)?
解
H0 : 0 570 H1 : 0
用U检验法,这时拒绝条件为U u , 计算知 X 575.2,
U X 0 575.2 570 2.05 u u0.05 1.645
N (0,1) U u
| T | t / 2 T t T t
2法
2
2 0
2
2
2 0
2
2 0
2 0
2
(n 1)S 2
2 0
2
2 0
2
2 0
0
2
2 1
/
2
或
提出检验假设 H0 : p p 0 0.17 H1 : p 0
用大样本U 检验法,这时拒绝条件为|U| u / 2 将 n 400, x 56 / 400 0.14, p(1 p) 0.17(1 0.17) 0.376代入,得
| u |
U法
( 2已知)
0
0 0
0
T法
( 2未知)
0
0
假设H1
0 0 0
0 0 0
检验统计量
U X 0 / n
T X 0
S/ n
抽样分布 拒绝条件 A (P( A) )
9.2 正态总体参数的假设检验
一、一个正态总体参数的假设检验 二、非正态总体均值的假设检验 三、两个正态总体参数的假设检验 四、两个非正态总体均值的假设检验
单个正态总体均值的假设检验
使 P t t 2 5
(4) 将样本值代入算出统计量 t 的实测值, 没有落入 | t |=2.997<4.0322 拒绝域 故不能拒绝H0 .
这并不意味着H0一定对，只是差异还不够显
著, 不足以否定H0 .
练习 生产葡萄糖的重量X ~ N 5， 2 , 观察 25个样本 的重量,得X 5.5, S 1, 问生产机器是否正常? 取 0.05
2. 从某批矿砂中，抽取10样本，检验这批砂矿的含 铁量是否为3%？ 双侧检验
H 0 : 0 3%, H1 : 3%
3.某学校学生英语平均分65分, பைடு நூலகம்抽取某个班的平均 分，看该成绩是否显著高于全校整体水平？ 单侧检验
H 0 : 0 65, H1 : 65
解 提出假设 H 0 : 5 H1 : 5 X 5 确定统计量 T ~ t 24 S 25 确定临界值 t 2 24 t0.025 24 2.0639 得否定域W : T 2.0639
由样本值计算T 2.5 t0.025 24
=0.01下, 新生产织物比过去的织物强力是否有提高
? 解 提出假设, H 0 : 21 H1 : 21
X 21 取统计量 U ~ N (0,1) n
否定域为W : U u0.01 =2.33
单侧检验
{U > u0.01}是 小概率事件
解 提出假设, H 0 : 21 H1 : 21
假设强力指标服从假设强力指标服从n2且??12公斤问在显著性水平??001下新生产织物比过去的织物强力是否有提高新生产织物比过去的织物强力是否有提高
正态总体均值的假设检验
假设检验
正态总体均值的假设检验
1.1 单个正态总体均值的假设检验
3．大样本单个正态总体均值的检验
设总体为 X ，它的分布是任意的，方差 2 未知， X1 ，X2 ， ，Xn 为 来自总体 X 的样本，H0 ： 0（ 0 已知）．当样本容量 n 很大（ n 30 ）
时，无论总体是否服从正态分布，统计量 t X 0 都近似服从正态分 S/ n
解 依题意，建立假设 由于 2 未知，故选取统计量
H0 ： 0 72，H1 ： 72 ． t X 0 ， S/ n
已知 0.05 ，故此检验问题的拒绝域为
W t | | t |
x 0
s/ n
t
/
2
(n
1)
．
又知 n 26，x 74.2，s 6.2，查表得 t /2 (25) t0.025 (25) 2.06 ，则有 | t | x 0 74.2 72 1.81 2.06 ， s/ n 6.2/ 26
解 依题意，建立假设 由于 2 未知，取检验统计量
H0 ： 0.8，H1 ： 0.8 ．
t X 0 ~ t(n 1) ， S/ n
已知 0.05 ，故此检验问题的拒绝域为
W t | t x 0 s/ n
t (n 1) ．
又知 n 16 ，x 0.92，s 0.32 ，查表得 t0.05 (16 1) t0.05 (15) 1.75，则有 t x 0 0.92 0.8 1.50 1.75 ， s/ n 0.32/ 16
假设检验 H0 ： 0 ，H1 ： 0 的拒绝域为 W {t | t t (n 1)}．
（7-8） （7-9）
假设检验
正态总体均值的假设检验
1.1 单个正态总体均值的假设检验
单个正态总体均值假设检验(标准差已知,Z检验)
X
n
z 2
0
X
n
z
2
16
7
步骤1：提出检验假设
H0 : 1550, H1 : 1550
步骤2：确定检验规则
检验统计量为 Z X 1550. 取显著水平 0.05, n
由备择假设的形式知，这是左边检验，因此检验 规则为：当Z z z0.05 1.645时，拒绝H0.
8
步骤3:计算检验统计量的值
2
双边假设问题
H0 : 0, H1 : 0,
其中0是已知的常数.
2
拒绝域
接受域
2
检验统计量为 Z X 0
z 2
z 2
n
检验拒绝域W | Z |
X 0 n
z/2 .
3
P_值的计算
对给定的样本观察值x1,, xn,记检验统计量Z的取值
9
利用P_值进行假设检验
步骤3’:计算P_值
P_ P( X 1550 1530 1550 1550) n 120 225
P(Z 2.5) 0.006
步骤4’:根据显著水平作出判断
P_ 0.006 0.05,
同样做出拒绝原假设H0 : 1550的判断.
将样本均值x 1530, 120, n 225,
代入检验统计量，计算得
Z X 1550 1530 1550 2.5 1.645.
n 120 225
步骤4：根据实际情况作出判断
因此，根据检验规则，做出拒绝原假设H0的判断. 即认为A高校学生的生活水平低于B高校.
正态总体方差的假设检验
解 依题意需检验假设
由于 未知，故检验统计量
H0
： 2
2 0
82
，H1 ： 2
82
．
2 (n 1)S 2 ~ 2 (n 1) ．
2 0
已知 n 8， s2 93.268 ，代入公式得
2
(8 1) 93.268 82
10.201 2
．
ห้องสมุดไป่ตู้
又显著性水平 0.05 ，查表得
2 1
/2
(n
1)
概率论与数理统计
假设检验
正态总体方差的假设检验
1.1 单个正态总体方差的检验
设总体 X ~ N( ， 2 ) ， ， 2 均未知，X 1 ，X2 ， ，Xn 为来自总体 X 的样本，现检验假设
H0
： 2
2 0
，H1
： 2
2 0
，
其中
2 0
为已知常数．
由于 S 2
是 2 的无偏估计，当 H0
为真时，比值 s2
解 依题意需检验假设
H0
：12
2 2
，H1 ：12
2 2
．
由于 1 ，2 未知，故检验统计量
F
S12 S22
~
F (m 1，n 1) ．
经计算得 s12 0.885 7 ，s22 0.828 6 ，故检验统计量的观测值为
F
s12 s22
0.885 7 0.828 6
1.07 ．
假设检验
又 m 1 7，n 1 7 ， 0.05 ，查表得
2 1
/
2
(n
1)]
[ 2
2/2 (n 1)]} ，
则 H0 的拒绝域为
单个正态总体参数的假设检验
单个正态总体参数的假设检验1.提出假设：首先，我们需要提出关于总体参数的假设。
在单个正态总体参数的情况下，我们通常对总体的均值（μ）或标准差（σ）进行假设。
2.确定显著性水平：显著性水平（α）是一个事先设定的临界值。
根据显著性水平，我们可以决定接受还是拒绝原假设。
3.构建统计量：接下来，我们需要构建一个适当的统计量来判断总体参数的假设。
在单个正态总体参数的情况下，通常使用t统计量或z统计量。
4.计算统计量的值：根据样本数据，计算所选统计量的值。
如果使用t统计量，则需要计算样本均值和标准差；如果使用z统计量，则只需计算样本均值。
5.确定拒绝域：拒绝域是根据显著性水平和统计量的分布确定的。
根据统计量的值和拒绝域的临界值，我们可以决定是否拒绝原假设。
6.做出决策：根据统计量的值和拒绝域，我们可以做出决策：接受原假设或拒绝原假设。
下面以一个具体的例子来说明单个正态总体参数的假设检验。
假设我们要检验一些公司员工的平均工资是否等于5000元。
我们从公司中随机抽取了50个员工的工资数据，假设工资数据服从正态分布。
现在我们要进行假设检验。
1.假设提出：原假设（H0）：员工的平均工资等于5000元；备择假设（H1）：员工的平均工资不等于5000元。
2.显著性水平：我们设定显著性水平为0.053.构建统计量：由于样本量较大（n=50），我们可以使用z统计量。
z统计量的计算方法为（样本均值-总体均值）/（总体标准差/根号n）。
4.计算统计量的值：假设我们计算出样本均值为4950元，总体标准差为100元。
5.确定拒绝域：由于显著性水平为0.05，我们需要找出z值对应的临界值。
在标准正态分布表中查找z=1.96对应的值，并根据原假设的双侧检验找出拒绝域的范围。
6.做出决策：根据统计量的值和拒绝域的范围，我们可以判断是否拒绝原假设。
如果统计量的值落在拒绝域之外，我们将拒绝原假设，即认为员工的平均工资不等于5000元。
一个正态总体的假设检验
§2一．已知方差2σ, 检验假设：:Hμμ=（1）提出原假设：:Hμμ=(μ是已知数)（2）选择统计量：X U μ-=（3）求出在假设H 成立的条件下，确定该统计量服从的概率分布：(0,1)UN（4）选择检验水平α，查正态分布表（附表1），得临界值12u α- ，即12()X P uαμα-->=（5） 根据样本值计算统计量的观察值u ，给出拒绝或接受H 。
的判断： 当12u u α-> 时， 则拒绝H 。
；当12uuα-≤ 时， 则接受H 。
．【例1】某厂生产干电他，根据长期的资料知道，干电他的寿解：现取0.05α=，即1.96)0.05XP>=因而，拒绝原假设，即这批干电他的平均寿命不是200小时.【例２】P.191 ――例2.1（0.05α=，0.01）P.193――例2．2二．未知方差2σ, 检验假设：:Hμμ=：（1）提出原假设：:Hμμ=(μ是已知数)（2）选择统计量：XTμ-=（3）求出在假设H成立的条件下，确定该统计量服从的概率分布：(1)T t n -（4）选择检验水平α，查自由度为1n-的t-分布表（附表2），得临界值λ，即()XPμλα->=（5）根据样本值计算统计量的观察值t，且给出拒绝或接受H。
的判断：当tλ>时，则拒绝H。
；当t λ≤时，则接受H。
．【例2】 某糖厂用自动打包机包装糖，每包重量服从正态分布，其标准重量μ＝100斤．某日开工后测得9包重量如下：99.3， 98.7, 100.5，101.2， 98.3， 99.7， 99.5， 102.1，100.5， 问：这一天打包机的工作是否正常?(检验水平α=5％) 解：（０）计算样本均值与样本均方差：1.21S = （1）提出原假设：:100Hμ=（2）选择统计量：100X T -=（3）求出在假设H 成立的条件下，确定该统计量服从的概率分布： (8)T t（4）检验水平α=0.05，查自由度为８的t -分布表（附表2），得临界值2.36λ= ，即(2.36)0.05X P >=（5） 根据样本值计算统计量的观察值t=∴0.0552.36t =< 故接受原假设，即所打包机重量的总体的平均重量仍为100斤，也就是说打包机工作正常．【例3】 用一仪器间接测量温度5次1250，1265，1245，1260，1275(℃)．而用另一种精密仪器测得该温度为1277℃(可看作真值)，问用此仪器测温度有无系统偏差(测量的温度服从正态分布)？(参看 P.187 –-- 例1.2)则(4)Tt , 自由度＝1514n -=-=，。
单个正态总体参数的假设检验
单个正态总体参数的假设检验一、假设检验的基本概念假设检验是统计推断的一种方法，其基本思想是通过抽样来对总体参数进行推断，并判断总体参数是否满足其中一种假设。
在进行假设检验时，我们首先提出一个原假设（H0），这是一个既定的假设，表示总体参数满足其中一种特定的值或不满足其中一种特定的关系。
同时，我们还提出一个备择假设（H1），表示总体参数不满足原假设。
通过对样本数据的统计推断，我们可以对原假设进行拒绝或不拒绝的判断。
二、假设检验的步骤假设检验一般包括以下步骤：1.提出假设：根据问题的需求和背景条件，提出原假设和备择假设。
2.确定显著性水平：显著性水平（α）是指当原假设成立时，我们愿意犯第一类错误的概率。
一般情况下，我们常使用0.05作为显著性水平。
3.选择检验统计量：根据所需检验的问题，选择适当的检验统计量。
在单个正态总体参数的假设检验中，常用的检验统计量有Z检验和t检验。
4.计算检验统计量的观察值：根据样本数据计算出检验统计量的观察值。
5.根据显著性水平查找拒绝域：根据显著性水平和检验统计量的分布，查找拒绝域的临界值。
6.判断并作出结论：如果检验统计量的观察值落在拒绝域内，则拒绝原假设，否则不拒绝原假设。
三、应用领域1.药物临床试验：在新药物的临床试验中，可以通过对患者进行抽样，检验患者服用药物前后的药效差异是否显著，以判断药物的疗效。
2.市场调研：在市场调研中，可以通过对一定数量的顾客进行问卷调查，检验顾客对其中一种产品的满意度是否显著不同，以了解产品在市场中的竞争力。
3.品质控制：在生产过程中，可以通过抽样检验产品的质量是否符合设定的标准。
例如，食品加工厂可以通过抽样检验产品的营养成分是否达到设定的要求。
4.经济学研究：在经济学研究中，可以通过对一定数量的经济指标进行抽样，检验指标的差异是否显著，以判断宏观经济政策的有效性。
总结：单个正态总体参数的假设检验是统计学中一种重要的方法，通过对样本数据的统计推断，判断总体参数是否满足其中一种假设。
5.4,5.5一个正态总体参数的假设检验
提出待检验假设
H 0 : µ = 23. 取α = 0.05
X − 23 X −µ 如果 H 0成立 U0 = 2 ~ N (0,1) U= ~ N (0,1) 2 6 6 X − 23 P > uα = α 2 2 6
X = 20.5, U 0 = 3.06 > 1.96 X − 23 P > 1.96 = 0.05 2 不能接受 " µ = 23" 这一假设 6
判 等 "EX = 23"成 与 ? 断 式 立 否
例 2, 用传统工艺加工的红果 罐头 , 每瓶平均维生素 C 的含量为 19毫克 , 现改进加工工艺，抽查 16 瓶罐头，测得 VC 含量为 现改进加工工艺， 瓶罐头， 23； .5； ； ； ； .5； ； ； ； .5； .8； ； .5； ； ； .(毫克 ) 20 21 22 20 22 19 20 23 20 18 20 19 22 18 23 若假定新工艺的方差 (1)σ 2 = 4为已知 ; ( 2 )σ 2 未知 , 问新工艺下 VC 的含量是否比旧工艺下 含量高 ?
2. H 0 : µ ≤ µ 0
解 .待检验的假设是 H 0 : µ ≤ 19. 设 α = 0 .05 , σ 2 = 4
分析
U= X −µ
σ
~ N(0,1)
U0 =
X − 19
σ
. U 0的分布不能确定
当H 0 成立时
n
U ≥ U0
P {U 0 > uα } ≤ P{U > uα }
X − 19 > uα ≤ α 则P σ n
α
第二类错误 当原假设 H0 不成立时，而样本值却落入了接受域，从而 不成立时，而样本值却落入了接受域， 的结论。也就是说， 作出接受 H0的结论。也就是说，把不符合 H0 的总体当 成符合 H0 的总体加以接受 . “纳伪”的错 纳伪” 误
第二节 正态总体参数的检验
2
9
二、两个正态总体参数的假设检验
2 设 有 两 个 相 互 独 立 的 正 态 总 体 X ~ N ( µ1，σ 1 ) ,
Y ~ N ( µ 2，σ ) , 分别抽取独立的样本 ( X1 , X2 ,⋯, Xn1 ) 和
2
µ 第六章证明, X = ( (− , ) 第六章证明,若 χ 2 ~ Nn−1σS 证明 (2) 检验统计量 2
2 2 H 下 O χ1−α / 2(n−1) 2 0 )， 2 则
x
( n − 1) S
~ χ (n −1) ,
(4) 由样本值算得
χ的值； 的值；
2
则拒绝H 否则 不能 若 χ 2 < λ1 或 χ 2 > λ2 ，则拒绝 0 ； 否则, 拒绝H 拒绝 0 .
− tα / 2 ( n − 1) O
tα / 2 (n − 1)
x
~
(4) 由样本值算得 t 的值； 的值； 则拒绝H 如果 | t |> tα 2 (n − 1) ,则拒绝 0 ； 否则, 不能拒绝H 否则 不能拒绝 0 .
5
两家生产同一类产品， 例2 两家生产同一类产品，其质量指标假定都服从正 态分布，标准规格为均值等于120.现从甲厂抽出5 120.现从甲厂抽出 态分布，标准规格为均值等于120.现从甲厂抽出5件 产品,测得其指标值为119,120,119.2,119.7,119.6; 产品,测得其指标值为119,120,119.2,119.7,119.6; 从乙厂也抽出5件产品,测得其指标值为110.5,106.3, 从乙厂也抽出5件产品,测得其指标值为110.5,106.3, 122.2,113.8,117.2。 122.2,113.8,117.2。试判断这两家厂的产品是否符 合标准. 合标准. (α = 0.05 )
正态下单个总体的假设检验例题
正态下单个总体的假设检验例题假设有一个总体，其数据符合正态分布。
现在我们想要检验这个总体的均值是否等于某个特定值。
假设总体的均值为μ，我们要检验的假设为:H0: μ = μ0 （均值等于μ0）Ha: μ≠μ0 （均值不等于μ0）我们可以使用 t 检验来检验这个假设。
t 检验的步骤如下:1. 收集样本数据，并计算样本均值 X 和样本标准差 S。
2. 计算 t 统计量:t = (X - μ0) / (S / √n)其中，n 是样本容量。
3. 根据自由度（df = n-1）和显著性水平，查找 t 分布表得到临界值 t*。
4. 判断 t 统计量是否在临界值范围内。
如果 t 统计量小于 t*（或大于-t*），则接受 H0 假设，表示数据支持总体均值等于μ0。
如果 t 统计量大于 t*（或小于-t*），则拒绝 H0 假设，表示数据不支持总体均值等于μ0。
例如，我们想要检验一个总体样本的均值是否等于60。
我们从这个总体中随机抽取了10个样本，得到样本均值为65，样本标准差为5。
我们假设显著性水平为0.05。
步骤如下:1. 收集样本数据，并计算样本均值 X 和样本标准差 S。
X = 65， S = 52. 计算 t 统计量:t = (X - μ0) / (S / √n)t = (65 - 60) / (5 / √10) = 4.473. 查找 t 分布表得到临界值 t*。
df = n-1 = 10-1 = 9，根据显著性水平0.05和自由度9，在t 分布表中查找得到：t* = ±2.2624. 判断 t 统计量是否在临界值范围内。
t = 4.47 > 2.262，因此拒绝 H0 假设，表示数据不支持总体均值等于60。
因此，我们可以得出结论，总体均值不等于60。
正态下单个总体的假设检验例题
正态下单个总体的假设检验例题假设某个服装店声称其销售的T恤衫平均尺码为M码，现在我们有一份包含了100件T恤衫的销售数据样本，如何进行假设检验来验证该店是否真的平均销售M码的T恤衫呢？1. 假设检验的原假设和备选假设：原假设 H0：该店销售的T恤衫平均尺码为M码。
备选假设 H1：该店销售的T恤衫平均尺码不为M码。
2. 设定显著性水平：在一般情况下，我们会选择显著性水平为0.05，即5%的置信水平。
3. 计算样本统计量：可以计算样本的平均值、标准差、样本数量等统计量。
在这个例子中，我们计算出T恤衫的平均尺码为M码的样本平均值为M'码，标准差为S码，样本数量为n=100。
4. 计算假设检验的统计量：在正态分布下，可以使用t检验或z检验进行假设检验。
因为样本数量n>30，我们可以使用z检验。
具体地，我们可以计算出一个z 统计量，如下所示：z = (M'码 - M码) / (S码 / √n)其中，M'码是样本平均值，M码是假设的总体平均值，S码是样本标准差，n是样本数量。
这个z统计量的意义在于，如果T恤衫的平均尺码是M码，那么我们期望在这个样本中随机抽取一个样本时，其平均尺码与M码相差多少个标准差。
如果计算的z统计量小于2，那么我们就可以接受原假设，即该店销售的T恤衫平均尺码为M码。
5. 计算P值并作出结论：在正态分布下，可以使用标准正态分布表查找z统计量对应的P 值。
在这个例子中，假设计算出的z统计量为1.5，那么查表可以得到P值为0.0668。
因为P值大于设定的显著性水平0.05，所以不能拒绝原假设，即该店销售的T恤衫平均尺码为M码。
6. 结论的解释：根据上述计算，我们不能拒绝该店销售的T恤衫平均尺码为M码的原假设。
这并不意味着我们可以确定该店销售的T恤衫尺码都是M 码，而只是在样本数据的基础上，我们无法拒绝这个假设。
需要注意的是，样本数量较小或者样本数据不具有代表性时，假设检验的结果可能会失效。
单正态总体的参数假设检验
单正态总体的参数假设检验在统计学中，假设检验是一种用于判断总体参数是否符合某种特定假设的方法。
而单正态总体的参数假设检验则是指对一个正态分布总体的参数进行假设检验。
单正态总体的参数假设检验通常涉及两个假设：原假设（H0）和备择假设（H1）。
原假设是我们想要进行检验的假设，而备择假设则是与原假设相反的假设。
在单正态总体的参数假设检验中，我们通常关注的参数有均值（μ）和标准差（σ）。
下面将分别介绍如何进行均值和标准差的参数假设检验。
1. 均值参数假设检验对于均值参数的假设检验，常用的方法有Z检验和T检验。
Z检验适用于总体的标准差已知的情况，而T检验适用于总体的标准差未知的情况。
假设我们要对一个正态分布总体的均值进行假设检验，原假设为均值等于某个特定值（H0: μ = μ0），备择假设为均值不等于特定值（H1: μ ≠ μ0）。
我们需要计算样本的均值（X̄）和标准差（S），然后根据样本量（n）和总体标准差（σ）的已知情况选择对应的检验方法。
如果总体标准差已知，可以使用Z检验。
计算Z统计量的公式为：Z = (X̄ - μ0) / (σ / √n)然后，根据显著性水平（α）选择临界值，比较计算得到的Z统计量与临界值的大小，以判断是否拒绝原假设。
如果Z统计量的绝对值大于临界值，则拒绝原假设；否则，接受原假设。
如果总体标准差未知，可以使用T检验。
计算T统计量的公式为：T = (X̄ - μ0) / (S / √n)同样地，根据显著性水平（α）选择临界值，比较计算得到的T统计量与临界值的大小，以判断是否拒绝原假设。
2. 标准差参数假设检验对于标准差参数的假设检验，常用的方法有卡方检验和F检验。
卡方检验适用于单个总体标准差的假设检验，而F检验适用于两个总体标准差的假设检验。
假设我们要对一个正态分布总体的标准差进行假设检验，原假设为标准差等于某个特定值（H0: σ = σ0），备择假设为标准差不等于特定值（H1: σ ≠ σ0）。
第二节单正态总体的假设检验
P{|T |k }
查 t 分布表得 kt / 2t0.025(8) 2.306,从而拒绝域
为 | t | 2.306. (4) 因为 x 49.9, s2 0.29, 所以
| t | x 50 0.56 2.036,| t | 0.56 2.036, s/ n
故应接受 H0 , 即以为包装机工作正常.
由此即得拒绝域为
u
x
0
/n
u / 2 ,
即
W (,u / 2 ) (u / 2 ,).
根据一次抽样后得到旳样本观察值 x1, x2 ,, xn 计 算出 U旳观察值 u, 若 u u / 2 , 则拒绝原假设 H0 ,
即以为总体均值与0 有明显差别；
若 u u / 2 , 则接受原假设 H0 , 即以为总体均值与
S/ n 故选用 T 作为检验统计量，记其观察值 t. 因为 X
是 旳无偏估计量，S 2是 2 旳无偏估计量, 当 H0
成立时，t 不应太大，当 H1 成立时，t 有偏大旳趋
势, 故拒绝域形式为
t x 0 k
s/ n
（ k 待定）.
对于给定旳明显性水平 , 查分布表得
k t / 2(n 1), 使 P{T t / 2(n 1)} ,
使
P{ 2
2 1
/
2
(
n
1)
或
2
2
/
2
(
n
1)}
,
由此即得拒绝域为
2
n1
2 0
s
2
2 1
/
2
(
n
1)
或
2
n1
2 0
s
2
2 1
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问：是否可信这批延期药的静止燃烧时间T的方差为 2 0.0252. ( 0.05) 我们的任务是根据所得的样本值检验
我们先讨论一般的检验法。
提出假设
解: H0：≤10620; H1：>10620
H0 真时 :
T X 0
Sn
X 10631.4
拒绝域为 Tt0.05(9)=1.8331
这里
10631.4 10620
T0
81
0.45 1.8331
10
接受H0
例2（续）某厂生产镍合金线，其抗拉强度X的均值为 10620 (kg/mm2)今改进工艺后生产一批镍合金线，抽 取10根,测得抗拉强度(kg/mm2)为: 10512, 10623, 10668, 10554, 10776, 10707, 10557, 10581, 10666, 10670. 认为 X ~ N(, 2) ,取=0.05 ,问 新生产的镍合金线的抗拉强度是否比过去生产的合 金线抗拉强度要高?
第八章
假设检验
一 、假设检验的基本概念 二、正态总体均值与方差
的假设检验
§8。2 正态总体均值与方差的假设检验
设总体 X ~ N(, 2 ) X1, X 2, , X n 为X的样本。
我们对μ,σ2作显著性检验 1、单个正态总体均值的假设检验
已知 X ~ N(, 2 ), 2 已知，检验假设
的过程分为五个步骤： 第一步： 提出原假设和备择假设
若
或
则否定H0。
若
则H0相容。
本题
2 1
(n
1)
2
根据样本值算得
2 0.975
(9)
2.7
02
9 0.0232 0.0252
2
(n
1)
2
7.6176
02.025(9)
19.023
显然 2.7 02 19.023 则H0相容，接受H0 。
可信这批延期药的静止燃烧时间T的方差为
例2 某次统考后随机抽查26份试卷, 测得平均成绩:
由于S2集中了σ2的信息，自然想用S2与σ2进行比较 若 S 2 / 2 过大或过于接近0，则说明σ2 偏离σ02较大。 因此有理由否定H0。
取统计量
P{
2
2 1 2
(n
1)}
2
这说明 或
[
2
2 1
(n
1)]
2
[ 2 2 (n 1)]
2
是小概率事件。
P{
2
2
2
(n
1)}
2
因此， 在样本值
下计算
原假设的设立带有一定的倾向性，可从下列问题来体会
有一生产厂家向超市供货，质量指标服从正态分布 N (, 2 ), 越大质量越好，而0为合格界限
超市对于供应商的商品进行检验，检验员是假定这批次商品
0还是 0呢?
对于原假设 : 0
即x 0 t (n 1)
s n
否定域为T= x-0
s/ n
试分析该次考试成绩标准差是否为
已知该次考试成绩
（=0.05）
解: 提出假设
取统计量
查表
根据样本值算得
显然
则H0相容，故接受H0 。
表明考试成绩标准差与12无显著差异。
四.单边检验及其拒绝域
双边假设检验
H0 : 0 H1 : 0
单边检验
双边备择假设
H0 : 0 （＝0）H1 : 0
H0 : 0 （＝0）H1 : 0
这里
2
9S 2
σ
2 0
9121.8 13.7 80
接受 H0
感谢下 载
H0： 0 ；H1： <0,
说明:有些教材上 用“H0： =0 ；H1： <0 ,”表示
统计量 : T X 0
Sn
由 P{T t (n 1)}
得水平为的拒绝域为
T t (n 1)
·右边检验问题
H0： ≤ 0 ；H1： ＞0 或 H0： =0 ；H1： ＞0,
统计量 : T X 0
问是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差大于
80?(=0.05) , 熔化时间 X ~ N(, 2)
解
H0： 2 80；H1： 2 80
2 80 时 2 9S 2 ~χ 2 (9)
80
由 p{ 2 χ2 (9)}
得水平为 =0.05 的拒绝域为
2
χ2
(9)
χ2 0.05
(9)
19.023
解: H0 : 4.55 （ 4.55）
统计量 Z X 4.55 0.11 5
H1 : 4.55
由 p{Z z } α
得水平为的拒绝域为
Z z 1.645
这里
Z0
4.364 4.55 0.11 5
3.78
1.645
拒绝H0
例2 某厂生产镍合金线，其抗拉强度X的均值为 10620 (kg/mm2)今改进工艺后生产一批镍合金线，抽 取10根,测得抗拉强度(kg/mm2)为: 10512, 10623, 10668, 10554, 10776, 10707, 10557, 10581, 10666, 10670. 认为 X ~ N(, 2) ,取=0.05 ,问 新生产的镍合金线的抗拉强度是否比过去生产的合 金线抗拉强度要高?
第四步： 将样本值代入算出统计量 T0的实测值,
T0 2.997 4.0322
故不能拒绝H0 .
没有落入 拒绝域
这并不意味着H0一定对，只是差异还不够显著, 不足以否定H0 .
例5 对一批新的某种液体存储罐进行耐裂试验,
重复测量5次，测得爆破压力数据为（单位斤/寸2）: 545 545 530 550 545
”是一个小概率事件 . 或
代入算出统计量
则H0相容，接受H0 则否定H0，接受H1
由于取用的统计量服从t分布，故称其为t 检验法。
例3 某工厂生产的一种螺钉， 标准要求长度是32.5 毫米. 实际生产的产品其长度 X 假定服从正态分布 ，
X ~ N(, 2 ), 2 未知，现从该厂生产的一批产品中
Sn
由 P{T t (n 1)}
得水平为的拒绝域为
T t (n 1)
例1 已知某炼铁厂的铁水含碳量 X 在正常情况下
X ~ N(4.55, 0.112 ) 某日测得5炉铁水含碳量如下:
4.28, 4.40, 4.42, 4.35, 4.37. 如果标准差不变,
该日铁水的平均含碳量是否显著偏低? =0.05
由样本算得
这里
|
T0
||
543 7.58
549
|
1.77
t0.025(4) 2.776
5
H0相容，接受H0。
即这批罐的平均爆破压力与过去无显著差别。
二、关于σ2假设检验
在显著性水平条件下检验假设 其中σ0是已知常数，
例1 已知某种延期药静止燃烧时间T, T ~ N(, 2 )
今从一批延期药中任取10副测得静止燃烧时间（单位
右边检验 左边检验
H0 : 0 （＝0）H1 : 0
否定域分析, (即 o的条件) Z X ~ N（0，1）
/ n ~ N（ 0 ，1） / n
Z0
x
0
n
Z x n
于是P{Z0 Z } P{Z Z }
否定域为z 0
z
关于单边假设检验否定域的另一种理解
为了解释方便，假设 H0 : 0 H1 : 0
抽取6件, 得尺寸数据如下:
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03 问这批产品是否合格? （=0.01）
解 已知
未知.
第一步： 提出原假设和备择假设
第二步： 取一检验统计量，在H0 成立下求出它的分布
第三步： 对给定的显著性水平 临界值,使
查表确定
得否定域
如假设: H0： 10620; H1：<10620 结论如何？
H0 真时 :
T X 0
Sn
X 10631.4
拒绝域为 T -t0.05(9)=-1.8331
这里
T0
10631.4 81
10620
0.45＞－1.8331
接受H0
10
同一个问题，因为不同的假设结论完全相反，怎么解释？
这涉及到如何进行原假设的设计问题
对于单边问题H0：
2
（02
2
02）；H1：
2
2，
0
可解得拒绝域：
2
2 1
(n
1)；
而对单边问题
H0： 2
（02
2
02）；H1： 2
2，
0
可解得拒绝域： 2 2 (n 1)。
2＝（n012)s2
例5 电工器材厂生产一批保险丝，取10根测得其熔化
时间（min）为 42, 65, 75, 78, 59, 57, 68, 54, 55, 71.
另外 x 如要接受H1 : 0
Z X 0 应该比较小 否定域在左边, 形式为Z<? / n
z 0
z
思考
例4 某织物强力指标X的均值
公斤. 改进
工艺后生产一批织物，今从中取30件，测得
公斤.假设强力指标服从正态分布 X ~ N(, 2 ),且已知
1.2 公斤，问在显著性水平 0.01 下，新生产
过去该种液体存储罐的平均爆破压力为549斤寸(可 看作真值), 试问这批新罐的平均爆破压力与过去有无