群的基本知识

第一章 群的基本知识二十一世纪以来，特别是爱因斯坦（Einstein ）发现相对论之后，对称性的研究在物理学中越来越重要。

对称性帮助人们求得物理问题的解，也帮助人们寻求新的运动规律。

物理学家不仅研究了空间和时间的对称性，而且找到了许多内部对称性，如强作用的SU(2)同位旋对称，SU(3)色和味的对称，弱电统一的SU(2)XU(1)的对称，偶偶核的U(6)动力学对称等等。

从七十年代起，又开展了超对称性的研究。

群论是研究对称性问题的数学基础，因此，它越来越受到物理学工作者的重视。

1.1 群定义 1.1 设G 是一些元素的集合，}{},,{g g G ==ΛΛ.在G 中定义了乘法运算。

如果G 对这种运算满足下面四个条件：（1） 封闭性。

即对任意G g f ∈,，若h fg =，必有G h ∈。

（2） 结合律。

对任意G h g f ∈,,，都有())(gh f h fg =.（3） 有唯一的单位元素。

有G e ∈，对任意G f ∈，都有f fe ef ==（4） 有逆元素。

对任意G f ∈，有唯一的G f∈-1，使e ff f f ==--11 则称G 为一个群。

e 称为群G 的单位元素，1-f称为f 的逆元素。

例1 空间反演群。

设E 和I 对三维实空间3R 中向量→r 的作用为 →→→→-==r r I r r E ,即E 是保持→r 不变的恒等变换，I 是使→r 反演的反演变换，定义群的乘法为从右到左连续对→r 作用。

集合{}I E ,构成反演群，其乘法表见表1.1.例2 n 阶置换群n S ，又称n 阶对称群。

将n 个元素的集合},,2,1{n X Λ=映为自身的置换为 ,2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n m n m m P ΛΛ 其中n m m m ,,,21Λ是n ,,2,1Λ的任意排列，P 表示把1映为1m ，2映为2m ，n 映为n m 的映射。

显然置换只与每列的相对符号有关，与第一行符号的顺序无关，如⎝⎛2421 ⎪⎪⎭⎫3143= ⎝⎛2324 ⎪⎪⎭⎫4113。

定义两个置换'P 和P 的乘积P P '，为先实行置换P ，再实行置换'P ，如⎝⎛1221 ⎪⎪⎭⎫33 ⎝⎛2321 ⎪⎪⎭⎫13= ⎝⎛1321 ⎪⎪⎭⎫23。

容易看出在这乘法定义下，全部n 阶置换构成n S 群。

n S 群共有!n 个元素。

例3 平面三角形对称群3D ，又称为6阶二面体群。

考虑重心在原点，底边与x 轴平行的xy 平面上的正三角形ABC ∆，见图1.1（a ）。

保持正三角形不变的空间转动操作有:e 不转，:d 绕z 轴转2π，:f 绕z 轴转4π，:a 绕轴1转π，:b 绕轴2转π，:c 绕轴3转π定义两个转动操作的乘积，如ab 为先实行操作b ，再实行操作a 。

由图1.1()b 可看出，实行操作b 和实行操作ab 后ABC ∆位置的变化，且可看出，实行操作ab 和实行操作d 一样，因此d ab =。

在上述乘法定义下，保持正三角形不变的全体转动操作构成3D 群。

},,,,,{3c b a f d e D =是6阶群，它的乘法表见表1.2.例4 定义群的乘法为数的加法，则全体整数构成一个群，0是单位元素，n 和n -互为逆元素。

同理，全体实数在加法下也构成一个群。

但实数全体在乘法为数乘时，并不构成一个群，因为0没有逆元素。

除去0以外的实数构成一个群。

例5 空间平移群()3T 。

设→a 是3R 中的向量，→r 是3R 中任意一向量，定义空间平移a T 为 →→→+=a r r T a定义两个平移a T 和b T 的乘积b a T T ，为先实行平移b T ，再实行平移a T ， →+→→→→→→=++=+=r T a b r b r T r T T b a a b a )(故 a b b a b a T T T T T ==+ ()3T 群的单位元素是平移零向量θT ，即不平移，其中θ是零向量，a T 和a T -是互逆元素。

例6 三维转动群)3(SO 。

保持3R 中点O 不动，设→k 是过O 点的任一轴，绕→k 轴转ψ角的转动为)(ψk C 。

定义两个转动)(ψk C 和)(''ψk C 的乘积)()(''ψψk k C C ，为先实行绕→k 轴转ψ角，再实行绕'k 轴转'ψ角。

则绕所有过O 点轴的一切转动构成)3(SO 群。

)3(SO 群的单位元素是转角0=ψ，即不转。

绕同一轴→k ，转角ψ和ψπ-2的元素)(ψk C ，)(''ψk C 互为逆元素。

由上述例子可以看出群的元素不但可以是数，而且可以是空间反演、空间转动、空间平移等操作，也可以是置换等等。

当群G 的元素个数有限时，G 称为有限群。

当G 的元素个数为无限时，G 称为无限群。

空间反演群、n S 群、3D 群是有限群，例4至例6是无限群。

有限群G 的元素的个数n 称为群的阶，有时记为()G n 。

反演群是二阶群，3D 是6阶群，n S 是!n 阶群。

群的乘法，可以是数乘和数的加法，也可以是空间反演、转动等连续两次操作和连续两次置换等等。

有限群的乘法规则，可以列为乘法表。

无限群的乘法虽然不能列出乘法表，但乘法规则总是确定的。

群的乘法一般不具有可交换性。

即对任意G g f ∈,，一般说来fg 与gf 并不相等。

如果对任意G g f ∈,，有gf fg =，则称G 是可交换群或阿贝尔(Abel)群。

从前面例子还可以看出，群G 的任何元素可以用指标a 标记。

当G 是n 阶有限群时，指标a 取n ,,2,1Λ，群元用),,2,1(n a g a Λ=表示。

当G 是可数的无限群时，如整数加法群，a 可以取所有整数值，Λ,2,1,0±±=a 。

当G 是连续的无限群时，如实数加法群，有时a 取全体实数，有时a 取多个有序的连续变化的实数：如在平移群中，a 是三个无界的有序实数),,(z y x a a a ，→→→→++=k a j a i a a z y x又如在转动群中，a 是3个有界的有序实数ψϕθ,,，其中ϕθ,是转轴→k 的方位角，ψ是转动角度，而且，πψπϕπθ≤≤<≤≤≤0,20,0,综上所述，群G 是任一个元素，总可用在一定范围内变化的一个数a 标记为a g ，给出此范围中任一个数a ，就对应群G 的一个元素。

定理1.1（重排定理） 设G u g G a ∈=},{，当a 取遍所有可能值时，乘积a ug 给出并且仅仅一次给出G 的所有元素。

证明 先证G 中任意元素βg 可以写成a ug 的形式。

因为G u ∈-1，所以G g g u ∈=-αβ1，自然有αβug g =。

再证a ug 当α不同时，给出G 中不同的元素。

用反证法，设'αα≠，而'ααug ug =，两边左乘1-u 得'ααg g =，这与α可以唯一标记G 中元素矛盾。

故'αα≠时，'ααug ug ≠。

于是当α改变时，a ug 给出并仅一次给出G 的所有元素。

定理证毕。

系u g a 在α取遍所有可能值时，也给出并且仅仅一次给出群G 的所有元素。

重排定理是关于群的乘法的重要定理。

它指出每一个群元素，在乘法表的每一行（或每一列）中被列入一次而且仅仅一次。

乘法表的每一行（或每一列）都是群元素的重新排列，不可能有两行（或两列）元素是相同的。

1.2子群和陪集定义1.2 设H 是群G 的一个子集，若对于与群G 同样的乘法运算，H 也构成一个群，则称H 为G 的子群。

常记为G H ⊂。

容易证明，群G 的非空子集H 是G 的子群的充要条件为：(1)若H h h a ∈β,，则H h h ∈βα，(2)若H h ∈α，则H h ∈-1α。

任意一个群G ，其单位元素e 和G 本身都是G 的子群，这两种子群称为显然子群和平庸子群。

群G 的非显然子群称为固有子群。

若不特别说明，一般说是指固有子群。

例7 在定义群的乘法为数的加法时，整数全体构成的群是实数全体构成的群的子群。

例8 在x 轴方向的平移}{→i T x a 全体构成平移群)3(T 的一个子群。

例9 绕固定轴→k 的转动)(ψk C ，πψ20<≤是)3(SO 群的一个子群。

定义1.3 n 阶循环群是由元素a 的幂k a 组成，n k ,,2,1Λ=，并且e a n =，记为 },,,{2e a a a z n n ==Λ.循环群的乘法可以交换，故循环群是阿贝尔群。

从n 阶有限群G 的任一个元素a 出发，总可以构成G 的一个循环子群,k z称a 的阶为k ，k z 是由a 生成的k 阶循环群。

因为当e e a ,=为G 的一阶循环子群，这是显然子群。

当,,2a a e a ≠≠如e a =2，则由a 生成2阶循环子群。

如,,,,12e a e a e a k ≠≠≠-Λ，用重排定理，知k k a a a a ,,,,12-Λ为G 中不同元素。

通过增加k ，再利用重排定理，总可以在n k ≤中达到e a k =。

因此，从阶有限群的任一元素a 出发，总可以生成一个G 的循环子群。

定义1.4 设H 是群G 的子群，}{αh H =。

由固定G g ∈，H g ∉，可生成子群H 的左陪集{},H h gh gH ∈=αα同样也可生成H 的右陪集{},H h g h Hg ∈=αα有时也将陪集称为旁集。

当H 是有限子群时，陪集元素的个数等于H 的阶。

定理1.2（陪集定理）设群H 是群G 的子群，则H 的两个左（或右）陪集或者有完全相同的元素，或者没有任何公共元素。

证明 设G v u ∈,，H v u ∉,，考虑由v u ,生成的H 的两个左陪集，}{H h uh uH ∈=αα,}{H h vh vH ∈=αα设左陪集uH 和vH 有一个公共元素，βαvh uh =则H h h u v ∈=--11αβ根据重排定理，γuh v 1-当γ取遍所有可能值时，γuh v 1-给出群H 的所有元素一次，并且仅仅一次，故左陪集γγuh uh v v =-][1与左陪集γvh 重合。

因此当左陪集uH 和vH 有一个公共元素时，uH 和vH 就完全重合。

定理证毕。

同样的证法，也适用于右陪集。

定理1.3 （拉格朗日定理）有限群的子群的阶，等于该有限群阶的因子。

证明 设G 是n 阶有限群，H 是G 的m 阶子群。

取G u ∈1，H u ∉1,作左陪集H u 1。

如果包括子群H 的左陪集串H u H 1,不能穷尽整个群G ，则取H u u H u G u 1222,,∉∉∈，作左陪集H u 2。

根据陪集定理，H u 2与H 和H u 1完全不重合。

继续这种做法，由于G 的阶有限，故总存在1-j u ，使包括子群H 的左陪集串H u H u H u H j 121,,,,-Λ穷尽了整个G 。