【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.3 第1课时 函数的单调性与导数课件 新人教A版选修1-1
成才之路高一数学人教B必修课后强化作业： 第课时函数的单调性的应用
第二章 2.1.3 第2课时一、选择题1．已知函数f (x )＝3x ，则在下面区间内f (x )不是递减函数( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)∪(0，＋∞)D ．(1，＋∞) [答案] C[解析] f (x )＝3x 在(0，＋∞)上和(－∞，0)上都是减函数，故A 、B 、D 正确，但在(0，＋∞)∪(－∞，0)上不是减函数．2．已知函数f (x )＝x 2－4x ，x ∈[1,5]，则函数f (x )的值域是( ) A ．[－4，＋∞) B ．[－3,5] C ．[－4,5] D ．(－4,5][答案] C[解析] ∵f (x )＝x 2－4x ＝(x －2)2－4，∴函数f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝2，又∵x ∈[1,5]， 故当x ＝2时，f (x )取最小值－4， 当x ＝5时，f (x )取大值5，故选C.3．在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( ) A ．y ＝3x －2 B ．y ＝3x 2－1 C ．y ＝2x 2＋3x D ．y ＝2x －1[答案] D[解析] 函数y ＝3x －2在(0，＋∞)上是增函数；函数y ＝3x 2－1的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝0，故在(0，＋∞)上是增函数；函数y ＝2x 2＋3x 的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－34，故在(0，＋∞)上是增函数；函数y ＝2x－1在(0，＋∞)上为减函数，故选D.4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6(1≤x ≤2)x ＋7(－1≤x ≤1)，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对[答案] A[解析] 函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，∴函数f (x )的最大值为f (2)＝10，最小值为f (－1)＝6.5．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(a >0)．若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则( ) A ．f (x 1)>f (x 2) B ．f (x 1)＝f (x 2) C ．f (x 1)<f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定 [答案] C[解析] f (x 1)－f (x 2)＝ax 21＋2ax 1＋4－ax 22－2ax 2－4＝a (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2a (x 1－x 2)∵a >0，x 1<x 2，x 1＋x 2＝0， ∴f (x 1)－f (x 2)＝2a (x 1－x 2)<0， ∴f (x 1)<f (x 2)．6．已知函数f (x )在其定义域R 上单调递增，则满足f (2x －2)<f (2)的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)[答案] D[解析] ∵函数f (x )在其定义域R 上单调递增， ∴2x －2<2，∴x <2，故选D. 二、填空题7．函数y ＝－ax 在(0，＋∞)上是减函数，则y ＝－2x 2＋ax 在(0，＋∞)上的单调性为________．[答案] 单调递减[解析] ∵函数y ＝－ax在(0，＋∞)上是减函数，∴a <0.又函数y ＝－2x 2＋ax 的图象是开口向下的抛物线，对称轴为x ＝a4<0，∴函数y ＝－2x 2＋ax 在(0，＋∞)上单调递减．8．函数y ＝|x －3|＋2的递增区间为________，递减区间为________． [答案] [3，＋∞) (－∞，3][解析] y ＝|x －3|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1(x ≥3)5－x (x <3)，其图象如图所示，由图象知，其递增区间为[3，＋∞)，递减区间为(－∞，3]． 三、解答题9．用函数单调性的定义证明：f (x )＝x ＋ax ＋b (a >b >0)在(－b ，＋∞)上是减函数．[解析] 设x 1、x 2∈(－b ，＋∞)，且x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0. Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋a x 2＋b －x 1＋ax 1＋b＝(x 2－x 1)(b －a )(x 2＋b )(x 1＋b )， 由x 1、x 2∈(－b ，＋∞)得x 1>－b ，x 2>－b ， ∴x 1＋b >0，x 2＋b >0， 又a >b >0，∴b －a <0， 又x 2－x 1>0，∴Δy <0.∴f (x )＝x ＋ax ＋b(a >b >0)在(－b ，＋∞)上是减函数.一、选择题1．函数y ＝|x |在(－∞，a ]上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．a >0 B ．a ≥0 C ．a <0D ．a ≤0[解析] 如图所示：∴函数y ＝|x |的单调减区间为(－∞，0]， 要使y ＝|x |在(－∞，a ]上是减函数，则有a ≤0.2．设(a ，b )，(c ，d )都是f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定[答案] D[解析] 根据函数单调性的定义，所取两个自变量必须在同一单调区间内，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而x 1，x 2分别在两个单调增区间，故f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定，选D.3．下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有ΔyΔx >0”的是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝－3x ＋1C ．f (x )＝x 2＋4x ＋3D ．f (x )＝x ＋1x[答案] C[解析] Δy Δx >0⇔f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>0⇔f (x )在(0，＋∞)上为增函数，而f (x )＝2x 及f (x )＝－3x ＋1在(0，＋∞)上均为减函数，故A ，B 错误；f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上递减，在[1，＋∞)上递增，故D 错误；f (x )＝x 2＋4x ＋3＝x 2＋4x ＋4－1＝(x ＋2)2－1，所以f (x )在[－2，＋∞)上递增，故选C.4．函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则有( ) A ．f (1)≥25 B ．f (1)＝25 C ．f (1)≤25D ．f (1)>25[解析] ∵f (x )＝4x 2－mx ＋5的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝m8，由f (x )在区间[－2，＋∞)上为增函数，∴m8≤－2，即m ≤－16.又f (1)＝4－m ＋5＝9－m ≥25.二、填空题5．已知函数y ＝ax 和y ＝bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx ＋c 在(－∞，0)上是__________函数．[答案] 增[解析] ∵y ＝ax 和y ＝bx 在(0，＋∞)上都是减函数，∴a <0，b >0，结合二次函数图象可得，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在(－∞，0)上是增函数．6．设函数f (x )满足；对任意的x 1，x 2∈R ，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则f (－3)与f (－π)的大小关系是________．[答案] f (－3)>f (－π)[解析] (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，可得函数为增函数． ∵－3>－π，∴f (－3)>f (－π)． 三、解答题7．已知f (x )是定义在[－2,1]上的增函数，若f (t －1)<f (1－3t )，求t 的取值范围． [解析] ∵函数f (x )是定义在[－2,1]上的增函数，且f (t －1)<f (1－3t )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤t －1≤1－2≤1－3t ≤1t －1<1－3t，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤t ≤20≤t ≤1t <12，即0≤t <12.故t 的取值范围为0≤t <12.8．已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )，且当x >2时， f (x )为增函数，试比较f (1)、f (4)、f (－2)的大小．[解析] ∵x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )， ∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称，又x >2时，f (x )为增函数，∴x <2时，f (x )为减函数，则在x 轴上距离对称轴x ＝2越远的数，其函数值越大，∴f (－2)>f (4)>f (1)．9．已知函数f (x )对任意x 、y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )是R 上的单调递减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最小值．[解析] (1)证明：设x 1和x 2是任意的两个实数，且x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0，∵x >0时，f (x )<0，∴f (x 2－x 1)<0，又∵x 2＝(x 2－x 1)＋x 1，∴f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)， ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)<0，∴f (x 2)<f (x 1)． ∴f (x )是R 上的单调递减函数． (2)解：由(1)可知f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上也是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上的最小值为f (3)． 而f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)＝3×⎝⎛⎭⎫－23＝－2. ∴函数f (x )在[－3,3]上的最小值是－2.。
函数的单调性ppt课件
利用函数的单调性求最值 [思路分析] (1)结合函数f(x)的图像分析f(x)的单调性，从而确定其最大值； 利用函数增加、减少的定义判断f(x)在[2,6]上的单调性，再求最值．
[规律总结] 1.熟记运用函数单调性求最值的步骤： 判断：先判断函数的单调性． 求值：利用单调性代入自变量的值求得最值． 明确利用单调性求最大值、最小值易出错的几点： 写出最值时要写最高(低)点的纵坐标，而不是横坐标． 求最值忘记求定义域． 求最值，尤其是闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入．
添加标题
下列命题正确的是( )
[答案] D
PART 1
利用定义证明或判断函数的单调性
结论：根据差的符号，得出单调性的结论．
定号：判断上式的符号，若不能确定，则分区间讨论；
作差变形：计算f(x1)－f(x2)，通过因式分解、通分、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方、分母(分子)有理化等方法变形；
取值：在给定区间上任取两个值x1，x2，且x1<x2；
在定义域的某个子集上是增加的或是减少的
增函数
减函数
单调函数
3．函数的单调性 如果函数_________________________________，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为________或________，统称为________．
[正解] 因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，且函数图像的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3. [答案] a＝－3 [规律总结] 单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子集．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
【成才之路】2014-2015学年高中数学 1.3.2 奇偶性 第1课时 函数的奇偶性课件 新人教A版必修1
[分析] (1) 定义域关于原点对称 得到a，b所满足 → fx关于y轴对称 的关系，进而求值
(2)利用奇偶性质求值． (3)利用奇偶性确定 m 的值，再求单调区间．
[解析] (1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 a－1 1 ＝－2a，解得 a＝3. 1 2 又函数 f(x)＝3x ＋bx＋b＋1 为二次函数，结合偶函数图象 的特点，易得 b＝0.
2．了解奇函数和偶函数图象的对称性．
●温故知新 旧知再现 1 ．轴对称图形：如果一个图形上的任意一点关于某一条 直线 的对称点仍是这个图形上的点，就称该图形关于该直线 _____
对称轴 ． 成轴对称图形，这条直线称作该轴对称图形的________
2 ．中心对称图形：如果一个图形上的任意一点关于某一 ____ 点 的对称点仍是这个图形上的点，就称该图形关于该点成中 心对称图形，这个点称作该中心对称图形的 __________． 对称中心 (－a，b) ，关于原 3．点P(a、b)关于y轴的对称点为P′__________ (－a，－b ) 点的对称点P″__________ ．
1 2 2x ＋1，x＞0 (4)f(x)＝ －1x2－1，x＜0 2
.
[分析] → 定义域关于原点对称 利用函数奇偶性 — 的定义进行判断 → 研究f－x与 → 分段函数需分 段来研究 fx的关系
[解析]
(1)函数f(x)＝x＋1的定义域为实数集R，关于原点
对称．
＝ －f(x)＝－x3. „可类推出：f(－x) ____
新知导学
1．偶函数和奇函数 偶函数 定 义 奇函数 f(－x)＝_____ －f(x) 函数f(x)叫做奇函数 图象关于_____ 原点 对称
【成才之路】2015-2016学年高中数学人教B版选修1-1课件 第3章 3.3 第1课时 利用导数判断函数的单调性
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1-2
3x2－1 由 f′(x)<0，即 x <0， 3 得 0<x< 3 ， 3 ∴f(x)的减区间为(0， 3 )， 3 ∴函数 f(x)＝3x －2lnx 的单调增区间为( 3 ，＋∞)，减区
2
3 间为(0， 3 ).
即a≥3x2，因为x∈(－1,1)，故a≥3.
第三章
3.3
第1课时
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1-2
四
构造函数证明不等式
若证明不等式 f(x)>g(x)，x∈(a，b)，可以转化为证明 f(x) －g(x)>0，如果[f(x)－g(x)]′>0，说明 F(x)＝f(x)－g(x)在(a，b) 上是增函数．若 F(x)＝f(x)－g(x)是增函数，F(a)≥0，当 x∈(a， b)时，F(x)＝f(x)－g(x)>F(a)≥0，即 f(x)>g(x)．
第三章
3.3
第1课时
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1-2
一
利用导数判断函数的单调性的法则
设函数 y＝f(x)在区间(a，b)内可导，如果 f(x)在 x 的某个开 区间内总有 f′(x)>0，则 f(x)在这个区间上是增函数；如果 f(x) 在 x 的某个开区间总有 f′(x)<0， 则 f(x)在这个区间上是减函数．
1-2
二 判断可导函数单调性的一般步骤
第一步，确定函数f(x)的定义域． 第二步，求f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出它在定义域 内的一切实根． 第三步，把函数 f(x) 在间断点 ( 即 f(x) 的无定义点 ) 的横坐标
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3．1．2一、选择题1．下列说法正确的是()A．某事件发生的频率为P(A)＝1.1B．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的[答案] B2．从A、B、C、D、E、F共6名同学中选出4人参加数学竞赛．事件P为“A没被选中”，则基本事件总数和事件P中包含等可能的基本事件个数分别为() A．30,5B．15,5C．15,4 D．14,5[答案] B[解析]用一一列举的方法，数出基本事件组成的集合Ω和事件P中所含的基本事件．Ω＝{(A，B，C，D)，(A，B，C，E)，(A，B，C，F)，(A，C，D，E)，(A，C，D，F)，(A，C，E，F)，(A，B，D，E)，(A，B，D，F)，(A，B，E，F)，(A，D，E，F)，(B，C，D，E)，(B，C，D，F)，(B，C，E，F)，(B，D，E，F)，(C，D，E，F)}共15个等可能的基本事件．事件P＝{(B，C，D，E)，(B，C，D，F)，(B，C，E，F)，(B，D，E，F)，(C，D，E，F)}共5个基本事件．3．抛掷一个骰子观察点数，若“出现2点”这个事件发生，则下列事件一定发生的是()A．“出现奇数点”B．“出现偶数点”C．“点数大于3”D．“点数是3的倍数”[答案] B[解析]出现偶数点由基本事件“出现2点”，“出现4点”，“出现6点”组成．4．从A、B、C三个同学中选2名代表，A被选中的概率为()A ．1 B.23 C.12D.13[答案] B[解析] 基本事件组成的集合为Ω＝{(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )}其中每个基本事件都是等可能出现的，含A 的基本事件有两个，∴A 被选中的概率为23.5．在1、2、3、4四个数中，可重复选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是( )A.23B.12C.14D.18[答案] C[解析] 可重复选取两个数共有4×4＝16种选法，其中一个数是另一个数的2倍的有：(1,2)，(2,1)，(2,4)，(4,2)共4种，∴所求概率为P ＝416＝14. 6．从16个同类产品(其中有14个正品，2个次品)中任意抽取3个，下列事件中概率为1的是( )A ．三个都是正品B ．三个都是次品C ．三个中至少有一个是正品D ．三个中至少有一个是次品 [答案] C[解析] 16个同类产品中，只有2件次品，抽取三件产品，A 是随机事件，B 是不可能事件，C 是必然事件，D 是随机事件，又必然事件的概率为1，∴选C.7．每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的．某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选项正确的概率是14，我每道题都选第一个选项，则一定有3道题选择结果正确”这句话( )A ．正确B ．错误C ．不一定D ．无法解释[答案] B8．抛掷两颗均匀骰子，出现“点数之和为3”的概率是( )A.13B.16 C.118 D.136[答案] C[解析] 掷一颗骰子有6种结果，抛掷2颗骰子共有36种结果．其中点数之和为3，包含(1,2)，(2,1)两种，∴概率为236＝118.二、填空题9．某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，如下表所示：(1)(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约是多少？________. [答案] (1)0.75 0.8 0.8 0.85 0.83 0.8 0.76；(2)0.8.[解析] 频率是在试验中事件发生的次数与试验次数的比值，由此得进球频率依次是68，810，1215，1720，2530，3240，3850，即0.75,0.8,0.8,0.85,0.83,0.8,0.76. (2)概率是频率的稳定值，这位运动员投篮一次，进球的概率约是0.8. 10．指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件： (1)某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军；(2)一个三角形的大边对的角小，小边对的角大；(3)如果a >b ，那么b <a ；(4)某人购买福利彩票中奖．其中________是随机事件；________是不可能事件，________是必然事件． [答案] (1)与(4)；(2)；(3)11．同时掷3枚均匀硬币，恰好有两枚正面向上的概率为________．[答案] 38[解析] 基本事件构成集合Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}，恰好有两枚正面向上的基本事件有3个，每一个基本事件发生的机会均等，∴概率为38.12．思考下列随机事件发生的可能性大小填空：(1)一枚均匀硬币落地时，“正面向上”为事件A ，“反面向上”为事件B ，A 与B 发生的可能性为________．(2)3黄1红共4个大小相同、均匀的乒乓球放在一个不透明的盒子中任取一球，记“取到黄球”为事件A ，“取到红球”为事件B ，A 与B 发生的可能性________．(3)有大小相同、均匀的红、黄、黑三个球，任意摸出两球，记“摸到一红一黄两个球”为事件A ，“摸到一黄一黑两个球”为事件B ，则A 与B 发生的可能性________．(4)一袋中有大小相同的两个红球和一个白球，任意摸出两个球，记“摸出一个红球和一个白球”为事件A ，“摸出两个红球”为事件B ，则A 与B 发生的可能性________．[答案] (1)P (A )＝P (B ) (2)P (A )>P (B ) (3)P (A )＝P (B ) (4)P (A )>P (B ) 三、解答题13．你能用生活中的实例说明小概率事件也可能发生吗？[解析] 小概率事件是指发生的可能性非常小的事件，但并不是说小概率事件就一定不发生了．如我们平日所接触的“30选7”、“35选7”的福利彩票一等奖的中出，它的概率都是几百万分之一，但它也发生了，也有得一等奖的幸运者．14．某射击运动员进行双向飞碟射击训练，各次训练的成绩如下表：(1)(2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少？[解析] 利用频率公式依次计算出击中飞碟的频率．(1)射中次数100，击中飞碟数是81，故击中飞碟的频率是81100＝0.81，同理可求得下面的频率依次是0.792，0.82,0.82，0.793，0.794,0.807；(2)击中飞碟的频率稳定在0.81，故这个运动员击中飞碟的概率约为0.81.15．(1)某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，现有患这种疾病的病人10人前来就诊，前9人都未治愈，那么第10人就一定能治愈吗？(2)某人掷一枚均匀硬币，已连续5次正面向上，他认为第6次抛掷出现反面向上的概率大于12，这种理解正确吗？[解析] (1)如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是10%指随着试验次数的增加，大约有10%的人能够治愈．对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前9个病人没有治愈，对第10个人来说，其结果仍然是随机的，即有可能治愈，也有可能没有治愈．(2)不正确．抛掷一枚硬币，作为一次试验，其结果是随机的，大量试验又呈现一定规律性，即“正面向上”和“反面向上”的可能性都是12，连续5次正面向上这种结果是可能的，对下一次试验来说，其结果仍然是随机的，其出现反面向上的可能性仍是12，不会大于12.16．P (x ，y )是坐标平面内的一点，其中x ，y 分别取1,2,3,4中的两个不同的值． (1)写出P 点坐标的所有可能情形；(2)其中“点P 落在圆x 2＋y 2＝9内”包含哪几个基本事件．[解析] (1)P 点坐标所有可能情形构成集合Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}．(2)事件“点P 落在圆x 2＋y 2＝9内”包含以下2个基本事件：(1,2)，(2,1)． 17．现有甲、乙、丙三个儿童玩石头、剪刀、布的猜拳游戏，观察其出拳情况． (1)写出该试验的所有基本事件；(2)事件“三人不分胜负”包含的基本事件．[解析] 以(J ，S ，B )表示三人中甲出剪刀，乙出石头，丙出布，则(1)Ω＝{(J ，J ，J )，(J ，J ，S )，(J ，S ，J )，(S ，J ，J )，(J ，J ，B )，(J ，B ，J )，(B ，J ，J )，(J ，S ，S )，(S ，J ，S )，(S ，S ，J )，(J ，B ，B )，(B ，J ，B )，(B ，B ，J )，(S ，S ，S )，(S ，S ，B )，(S ，B ，S )，(B ，S ，S )，(B ，B ，S )，(B ，S ，B )，(S ，B ，B )，(B ，B ，B )，(J ，S ，B )，(J ，B ，S )，(S ，J ，B )，(S ，B ，J )，(B ，J ，S )，(B ，S ，J )}．(2)事件“三人不分胜负”包含(J，J，J)，(S，S，S)，(B，B，B)，(J，S，B)，(J，B，S)，(B，J，S)，(B，S，J)，(S，J，B)，(S，B，J)共9个基本事件．[点评]对于(J，S，B)甲胜丙，丙胜乙，乙胜甲也视作不分胜负．。
【成才之路】高二数学 1、3-3-1函数的单调性与导数同步练习 新人教A版选修1-1
3.3.1函数的单调性与导数一、选择题1．设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)，则f (x )为增函数的一个充分条件是( )A ．b 2－4ac ＞0B ．b ＞0，c ＞0C ．b ＝0，c ＞0D ．b 2－3ac ＞0[答案] C2．函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调递增区间是( )A ．(0，12)B ．(0，24)C ．(12，＋∞) D ．(－12，0)及(0，12)[答案] C[解析] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ，令f ′(x )>0，得x >12，∴函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．3．(2009·广东文，8)函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是() A ．(－∞，2) B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)[答案] D[解析] 考查导数的简单应用．f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2，故选D.4．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π[答案] A[解析] y ′＝x cos x ，当－π<x <－π2时，cos x <0，∴y ′＝x cos x >0，当－π2<x <0时，cos x >0，∴y ′＝x cos x <0. 当0<x <π2时，cos x >0，∴y ′＝x cos x >0. 5．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( )A ．a ≤0B ．a <1C ．a <2D ．a ≤13 [答案] A[解析] f ′(x )＝3ax 2－1≤0恒成立，即a ≤0.6．已知a >0，函数f (x )＝－x 3＋ax 在[1，＋∞)上是单调减函数，则a 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] f ′(x )＝－3x 2＋a ≤0，∴a ≤3x 2.∴a ≤3.7．设f (x )在(a ，b )内可导，则f ′(x )<0是f (x )在(a ，b )上单调递减的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A8．若函数y ＝x 2－2bx ＋6在(2,8)内是增函数，则( )A ．b ≤2B ．b ＜2C ．b ≥2D ．b ＞2[答案] A[解析] 函数y ＝x 2－2bx ＋6的对称轴为x ＝b ，要使函数在(2,8)内是增函数，应有b ≤2成立．9．(2009·湖南文，7)若函数y ＝f (x )的导函数．．．在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )[答案] A[解析] 考查导函数的基本概念及导数的几何意义．∵导函数f ′(x )是增函数，∴切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大，故选A.[点评] B 图中切线斜率逐渐减小，C 图中f ′(x )为常数，D 图中切线斜率先增大后减小．10．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )[答案] D[解析] 函数y ＝f (x )在区间(－∞，0)上单调增，则导函数y ＝f ′(x )在区间(－∞，0)上函数值为正，排除A 、C ，原函数y ＝f (x )在区间(0，＋∞)上先增，再减，最后再增，其导函数y ＝f ′(x )在区间(0，＋∞)上函数值先正，再负，再正，排除B ，故选D.二、填空题11．函数y ＝x 3－x 2－x 的单调递增区间为________．[答案] (－∞，－13)，(1，＋∞)[解析] ∵y ′＝3x 2－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)，∴由y ′>0得，x >1或x <－13. 12．若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是____________．[答案] [3，＋∞)[解析] y ′＝3x 2－2ax ，由题意知3x 2－2ax ≤0在区间(0,2)内恒成立，即a ≥32x 在区间(0,2)上恒成立，∴a ≥3. 13．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则m 的取值范围是________．[答案] m ≥13[解析] 因为f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1在R 上单调，所以f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由题意可知f (x )在R 上只能递增，∴Δ＝4－12m ≤0.∴m ≥13. 14．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围________． [答案] a >0[解析] y ′＝－4x 2＋a ，若y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则方程－4x 2＋a ＝0应有两个不等实根，故a >0.三、解答题15．讨论函数f (x )＝bx x 2－1(－1＜x ＜1，b ≠0)的单调性． [解析] ∵f (x )＝bxx 2－1(－1<x <1，b ≠0) ∴f ′(x )＝(bx )′(x 2－1)－bx (x 2－1)′(x 2－1)2 ＝bx 2－b －2bx 2(x 2－1)2＝－b (1＋x 2)(x 2－1)2 ∵－1<x <1，∴1－x 2>0，(x 2－1)2>0，①当b >0时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－1,1)上单调递减．②当b <0时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在(－1,1)上单调递增．16．已知曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10，点P (x ，y )在该曲线上移动，在P 点处的切线设为l .(1)求证：此函数在R 上单调递增；(2)求l 的斜率的范围．[解析] (1)证明：y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x 2＋2x ＋1)＋3＝3(x ＋1)2＋3>0恒成立，∴此函数在R 上递增．(2)解：由(1)知f ′(x )＝3(x ＋1)2＋3≥3，∴l 的斜率的范围是k ≥3.17．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若函数f (x )＝a ·b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围．[解析] f (x )＝a ·b ＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t∵函数f (x )在(－1,1)上是增函数∴f ′(x )≥0对x ∈(－1,1)恒成立∴－3x 2＋2x ＋t ≥0在(－1,1)上恒成立即t ≥3x 2－2x 在(－1,1)上恒成立令g (x )＝3x 2－2，x ∈(－1,1)∴g (x )∈(－13，5) 故要使t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立，只需t ≥5即：所求t 的取值范围为：t ≥518．设函数f (x )＝(ax 2－bx )e x(e 为自然对数的底数)的图象与直线ex ＋y ＝0相切于点A ，且点A 的横坐标为1.(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出在每个区间上的增减性．[解析] (1)f ′(x )＝(2ax －b )e x ＋(ax 2－bx )·e x＝[ax 2＋(2a －b )x －b ]e x ，由于f (x )的图象与直线ex ＋y ＝0相切于点A ，点A 的横坐标为1，则A (1，－e )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝－e f ′(1)＝－e 即⎩⎪⎨⎪⎧ (a －b )e ＝－e (3a －2b )e ＝－e ，解得a ＝1，b ＝2.(2)由a ＝1，b ＝2得f (x )＝(x 2－2x )e x，定义域为(－∞，＋∞)． f ′(x )＝(x 2－2)e x ＝(x －2)(x ＋2)e x ，令f ′(x )>0，解得x <－2或x > 2.令f ′(x )<0，解得－2<x < 2.故函数f (x )在区间(－∞，－2)和(2，＋∞)上分别单调递增，在区间(－2，2)上单调递减．。
【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.3 第3课时 函数的最大(小)值与导数课件 新人教A版选修1-1
(1)求f(x)在开区间(a，b)内所有极值点； (2) 计算函数 f(x) 在极值点和端点的函数值，其中最大的一
个为最大值，最小的一个为最小值．
2 ．正确理解“在闭区间 [a ， b] 上连续的函数 f(x) 必有最 值．” (1)给定的区间必须是闭区间， f(x)在开区间上虽然连续但不 1 能保证有最大值或最小值． 如 f(x)＝x， x∈(0,1)， f(x)在区间(0,1) 连续，但没有最大值和最小值(如图)．
当 x 变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如表： x g′(x) g( x ) 2 (－∞，3) ＋ 2 3 0 68 27－m 2 (3，4) － 4 0 －16－ m (4，＋∞) ＋
2 68 则函数 g(x)的极大值为 g(3)＝27－m， 极小值为 g(4)＝－16 －m.
1 ∴由 y＝f(x)的图象与 y＝3f′(x)＋5x＋m 的图象有三个不 同交点， 2 68 g ＝ －m>0 得 3 27 ， g4＝－16－m<0 68 解得－16<m<27.
2
当 x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f ′(x) f ( x) －2 －1 (－1,0) ＋ 0 0 1 4 (0，3) － 4 3 0 5 －27 4 (3，2) ＋ 1 2
故 f(x)最大值＝1，f(x)最小值＝－2.
[ 方法规律总结 ] (小)值步骤如下：
1. 求可导函数 y ＝ f(x) 在 [a ， b] 上的最大
f ′2＝0， ∴ f2＝c－16， 12a＋b＝0， 即 8a＋2b＋c＝c－16. a＝1， 解得 b＝－12.
12a＋b＝0， 化简得 4a＋b＝－8.
(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f ′(x)＝3x2－12， 令f ′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2， 当x∈(－∞，－2)时，f ′(x)>0，f(x)在(－∞，－2)上为增函 数，
【成才之路】14-2015学年高中数学 2.2.2 对数函数及其性质 第2课时 对数函数性质的应用课件 新人教A版必修1
对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求 解步骤如下： (1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数； (2)求f(x)的定义域；
(3)求u的取值范围；
(4)利用y＝logau的单调性求解．
【思维拓展】 讨论．
(1) 若对数函数的底数是含字母的代数式
(或单独一个字母 )，要考虑其单调性，就必须对底数进行分类
当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，
又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.
1 1 ③因为 0＞log0.23＞log0.24，所以log 3＜log 4，即 log30.2 0.2 0.2 ＜log40.2. ④因为函数 y＝log3x 是增函数， 且 π＞3， 所以 log3π＞log33 ＝1. 同理，1＝logππ＞logπ3，所以 log3π＞logπ3.
(0，＋∞) R 增函数
(0，＋∞) R
减函数 图象过点(1,0)，即loga1＝0.
x∈(0,1)⇒y∈________； x∈(0,1)⇒y∈________； (－∞，0) (0，＋∞) 函数值 x∈[1，＋∞) x∈[1，＋∞) 特点 ⇒y∈__________ ⇒y∈__________ (－∞，0] [0，＋∞)
(1)y＝log2(x2＋4)；
(2)y＝log1 (3＋2x－x2)．
2
[解析] (1)y＝log2(x2＋4)的定义域为R. ∵x2＋4≥4，∴log2(x2＋4)≥log24＝2.
∴y＝log2(x2＋4)的值域为{y|y≥2}．
(2)设 u＝3＋2x－x2， 则 u＝－(x－1)2＋4≤4. ∵u>0，∴0<u≤4. 又 y＝log1 u 在(0，＋∞)上是减函数，
【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型课件 新人教A版必修1
[解析 ]
2x.
(1)C1 对应的函数g(x) ＝x3 ，C2 对应的函数为 f(x) ＝
(2)∵f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)， ∴1<x1<2,9<x2<10， ∴x1<6<x2,2 013>x2.
从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，
a
＜ xn . 个x0，当x＞x0时，就会有logax_____
(3)指数函数、对数函数和幂函数． 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1) 增 函数，但它们增长的速度不同，而且 和 y ＝ xn(n ＞ 0) 都是 _____ 不在同一个“档次”上，随着 x 的增大， y ＝ ax(a ＞ 1) 的增长速 快 ，会超过并远远大于 y ＝ xn(n ＞ 0) 的增长速度， 度越来越 _____ 而 y ＝ logax(a ＞ 1) 的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个 logax ＜xn＜_____. ax x0，当x＞x0时，就会有_______
产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质 量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推
销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月
的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了 生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂 长，就月份 x ，产量为 y 给出三种函数模型： y ＝ax＋ b， y ＝ ax2 ＋bx ＋c ，y＝ abx＋ c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月
3a＋b＝1.3， 得 2a＋b＝1.2. a＝0.1， 解得 b＝1.
【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版)选修1-1课件：3.1 第2课时 导数的几何意义
• [点评] (1)y＝x3在点(0,0)处的切线是x轴， 符合切线定义．这似乎与学过的切线知识有 所不同，其实不然，直线与曲线有两个公共 点时，在其中一点也可能相切．如图所示．
(2)对于曲线在点 x0 处的切线有下面的情形：若ΔΔyx(当 Δx 无 限趋近于 0 时)的极限不存在时，可分两种情况：其一是趋近于 ∞，则切线的斜率不存在，但切线存在(为垂直于 x 轴的直线)； 其二是ΔΔyx既不是趋近于某一常数也不趋近于∞，则此时切线不 存在．
选修1112成才之路高中新课程数学选修1112第三章导数及其应用成才之路高中新课程数学选修1112第三章导数及其应用31成才之路高中新课程数学选修1112第三章导数及其应用成才之路高中新课程数学选修111211第三章31第2课时课前自主预习方法警示探究课堂典例讲练易错疑难辨析课后强化作业思想方法技巧成才之路高中新课程数学选修111211第三章31第2课时课前自主预习成才之路高中新课程数学选修111211第三章31第2课时爬山过程中我们都有这样的感觉当山坡平缓时步履轻盈
2x0ΔxΔ＋x Δx2＝2x0.
又曲线在点 P 处的切线与直线 y＝2x＋4 平行， ∴2x0＝2，∴x0＝1. 又点 P(x0，y0)是曲线 y＝x2 上一点， ∴y0＝x20＝1， ∴点 P 的坐标为(1,1)． 曲线在点 P 处的切线方程为 y－1＝2(x－1)． 即 2x－y－1＝0.
• 已知直线y＝2x＋m与曲线y＝x2相切，求实 数m的值及切点坐标．
• 求曲线在点P(x0，y0)处的切线的方程，即给 出了切点P(x0，y0)的坐标，求切线方程的步 骤：
• ①求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)； • ②根据直线的点斜式方程，得切线方程为y
－y0＝f′(x0)(x－x0)； • ③若曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的导数存在
【成才之路】2014高中数学 1-3-1-1 函数的单调性能力强化提升 新人教A版必修1
【成才之路】2014高中数学 1-3-1-1 函数的单调性能力强化提升 新人教A 版必修1一、选择题1．下列命题正确的是( )A ．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若存在x 1、x 2∈(a ，b )，使得x 1<x 2时有f (x 1)<f (x 2)，那么f (x )在(a ，b )上为增函数B ．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若有无穷多对x 1，x 2∈(a ，b )，使得x 1<x 2时有f (x 1)<f (x 2)，那么f (x )在(a ，b )上为增函数C ．若f (x )在区间A 上为减函数，在区间B 上也为减函数，则f (x )在A ∪B 上也为减函数D ．若f (x )在区间I 上为增函数且f (x 1)<f (x 2)(x 1、x 2∈I )，那么x 1<x 2 [答案] D2．给出下列命题：①y ＝1x在定义域内是减函数；②y ＝(x －1)2在(0，＋∞)上是增函数； ③y ＝－1x在(－∞，0)上是增函数；④y ＝kx 不是增函数就是减函数． 其中错误的命题有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个[答案] D[解析] ①y ＝1x在定义域内不具有单调性；②y ＝(x －1)2在(0，＋∞)上先减后增；④当k ＝0时，y ＝0不是增函数，也不是减函数，只有③正确．3．若y ＝f (x )是R 上的减函数，对于x 1＜0，x 2＞0，则( ) A ．f (－x 1)＞f (－x 2) B ．f (－x 1)＜f (－x 2) C ．f (－x 1)＝f (－x 2) D ．无法确定[答案] B[解析] 由于x 1＜0，x 2＞0，所以x 1＜x 2，则－x 1＞－x 2，因为y ＝f (x )是R 上的减函数，所以f (－x 1)＜f (－x 2)，故选B.4．设(c ，d )、(a ，b )都是函数y ＝f (x )的单调减区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定[答案] D[解析] 函数f (x )在区间D 和E 上都是减函数(或都是增函数)，但在D ∪E 上不一定单调减(或增)．如图，f (x )在[－1,0)和[0,1]上都是增函数，但在区间[－1,1]上不单调．5．已知函数y ＝f (x )的定义域是数集A ，若对于任意a ，b ∈A ，当a <b 时都有f (a )<f (b )，则方程f (x )＝0的实数根( )A ．有且只有一个B ．一个都没有C ．至多有一个D ．可能会有两个或两个以上 [答案] C[解析] 由条件知f (x )在A 上单调增，故f (x )的图象与x 轴至多有一个交点，故选C. 6．(2012～2013重庆市一中月考试题)定义域在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f a －f ba －b＞0，则必有( )A ．函数f (x )先增后减B ．函数f (x )先减后增C ．函数f (x )在R 上是增函数D ．函数f (x )在R 上是减函数 [答案] C [解析]由f a －f b a －b＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＞0，f a －f b ＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＜0，f a －f b ＜0.∴当a ＞b 时，f (a )＞f (b )；当a ＜b 时，f (a )＜f (b )， ∴f (x )在R 上单调递增，故选C.7．(2012～2013黄中月考题)函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)[答案] C[解析] 因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3，故选C.8．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为直线x ＝1，则( ) A ．f (－1)<f (1)<f (2) B ．f (1)<f (2)<f (－1) C ．f (2)<f (－1)<f (1) D ．f (1)<f (－1)<f (2)[答案] B[解析] 因为二次函数f (x )的图象的对称轴为直线x ＝1，所以f (－1)＝f (3)．又函数f (x )的图象为开口向上的抛物线，则f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，故f (1)<f (2)<f (3)，即f (1)<f (2)<f (－1)．故选B.二、填空题9．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2x ≥0x ＋1 x ＜0，则f (x )的单调增区间是________，单调减区间是________．[答案] (－∞，0]、[1，＋∞) [0,1][解析] 画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2xx ＋x的图象如图，可知f (x )在(－∞，0]和[1，＋∞)上都是增函数，在[0,1]上是减函数.10．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋1，在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，则f (1)＝________.[答案] 21[解析] 由已知得－－m2×4＝－2，解得m ＝－16∴f (x )＝4x 2＋16x ＋1，则f (1)＝21.11．已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (34)的大小关系为________．[答案] f (a 2－a ＋1)≤f (34)[解析] ∵a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥34>0，又f (x )在(0，＋∞)上为减函数，∴f (a 2－a＋1)≤f (34)．12．已知f (x )是定义在R 上的增函数，下列结论中，①y ＝[f (x )]2是增函数；②y ＝1f x是减函数；③y ＝－f (x )是减函数；④y ＝|f (x )|是增函数，其中错误的结论是________．[答案] ①②④ 三、解答题13．如图分别为函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象，试写出函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的单调增区间．[分析] 根据函数的图象写出函数的单调区间，主要是观察图象，找到最高点或最低点的横坐标，便可得到一个单调区间，由图象的上升或下降的趋势确定是递增还是递减的区间．[解析] 由题意，确定函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的单调增区间，即寻找图象呈上升趋势的一段图象．由图(1)可知，在(1,4]和(4,6]内，y ＝f (x )是单调递增的．由图(2)可知，在(－3π2，0)和(3π2，5π2)内，y ＝g (x )是单调递增的．14．求证：函数f (x )＝－1x－1在区间(－∞，0)上是增函数．[证明] 设x 1，x 2为区间(－∞，0)上的任意两个值，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(－1x 1－1)－(－1x 2－1)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2.因为x 1<x 2<0，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 故函数f (x )＝－1x－1在区间(－∞，0)上是增函数．15．设f (x )在定义域内是减函数，且f (x )＞0，在其定义域内判断下列函数的单调性 (1)y ＝f (x )＋a ； (2)y ＝a －f (x )； (3)y ＝[f (x )]2.[解析] (1)y ＝f (x )＋a 是减函数，(2)y ＝a －f (x )是增函数．证明从略．(3)设x 2＞x 1，f 2(x 2)－f 2(x 1)＝[f (x 2)＋f (x 1)][f (x 2)－f (x 1)]＜0，∴y ＝f 2(x )是减函数．16．求下列函数的单调区间．(1)y ＝|x 2－x －6|；(2)y ＝－x 2＋3|x |＋1.[分析] 去绝对值→化为分段函数→作图象→求单调区间 [解析] (1)函数解析式变形为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ＋－2≤xx 2－x －x ＜－2或x ＞画出该函数图象如图，由图知函数的增区间为[－2，12]和[3，＋∞)；减区间为(－∞，－2)和[12，3]．(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ＋1 x －x 2－3x ＋1 x，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －322＋134x －x ＋322＋134x，函数图象如图所示，单调增区间为(－∞，－32]，[0，32]，单调减区间为[－32，0]，[32，＋∞)．。
(最新整理)【成才之路】20142015数学(人教A版)必修1课件：3.1.1方程的根与函数的零点
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新知导学 1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系
函数图象
判别式符号(设判 别式 Δ＝b2－4ac) 与 x 轴交点个数
方程的根的个数
Δ＞0
第三章 3.1 3.1.1
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(2013～2014中原名校高一期中)函数f(x)＝lnx＋2x－6的零
点所在的一个区间是( )
A．(1,2)
B．(2,3)
C．(3,4)
D．(4,5)
[分析]
计算f1，f2，f3， f4与f5的值，并 判断它们的符号
又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数，故f(x) ＝0有且只有一个实根，即函数f(x)仅有一个零点．
第三章 3.1 3.1.1
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解法二：
在同一坐标系中作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的图象， 如右图所示，由图象可知h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)有且只有 一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2与x轴有且只有一个ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ点， 即函数f(x)仅有一个零点．
2．已知函数y＝f(x)有零点，下列说法不正确的是( ) A．f(0)＝0 B．方程f(x)＝0有实根 C．函数f(x)的图象与x轴有交点 D．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的实数根 [答案] A
第三章 3.1 3.1.1
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【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.3 第2课时 函数的极值与导数课件 新人教A版选修1-1
极小值 ，并把 x0 称为函数 f(x) 的一个 __________ 极小值点 ．极大值 得 _________ 极值 ，极大值点与极小值点统称为_______ 极值点 ． 与极小值统称为_____
3．理解极值概念时需注意的几点 (1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右 附近 的点而言的． 两侧________ 定义域内 的点，而函数定义域的端点绝 (2)极值点是函数__________
3． f ′(x0)＝0 只是可导 函数 f(x)在 x0 取得极值的必要条件， ．． 不是充分条件． 例如： 函数 f(x)＝x3， f ′(0)＝0 但 x＝0 不是 f(x) ＝x3 的极值点．
设函数f(x)＝x3－ax2－9x的导函数为f′(x)，且f′(2)＝15. (1)求函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程； (2)求函数f(x)的极值． [解析] (1)∵f′(x)＝3x2＋2ax－9，
1 令 f ′(x)>0，得 x<－3或 x>1， 1 令 f ′(x)<0，得－3<x<1， ∴f(x)在 x＝1 的左侧 f ′(x)<0，右侧 f ′(x)>0， ∴f(x)在 x＝1 处取得极小值， 1 1 故 a＝3，b＝－2，且 f(x)＝x3－x2－x. 1 它的单调递增区间是(－∞，－3)和(1，＋∞)； 1 单调递减区间是(－3，1)．
[解题思路探究 ] 第一步，审题．审结论明确解题方向， 求函数f(x)的单调区间与极值，需求f ′(x)，然后按单调性和极值
与导数的关系求解；
审条件，发掘解题信息， f(x) 是三次函数， f ′(x) 是二次函 数，由二次方程的根探求极值点和单调区间； f(x) 解析式中含 参数，应分类讨论． 第二步，建联系，找解题途径．
函数的单调性
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增函数
减函数
图象 函数 f(x)在区间 D 上的 函数 f(x)在区间 D 上的
上升 的 特征 图象是_____
下降 的 图象是_____
图示
第一章
1.3
1.3.1
第一课时
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[概念深入]判断对错 (1)如果函数 f(x)在区间 D 上存在无数个 x1、x2，且当 x1＜ x2 时，有 f(x1) ＜f(x2)，则函数 f(x)在区间 D 上是增函数。 ( ) (2)函数 f(x)在区间 D 上是增函数， x1，x2∈D， 且 x1≠x2 时， fx1－fx2 有 ＞0. x1－x2 fx1－fx2 有 ＜0. x1－x2 ()
第一章 1.3 1.3.1 第一课时
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反比例函数
f x
∞)，减区间为[2,4]． 由图象(2)知，此函数的增区间为(－∞，－1]、[1，＋∞)，
减区间为[－1,0)、(0,1].
第一章
1.3
1.3.1
第一课时
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例2 物理学中玻意耳定律 p v (k为正常数）告诉我们，对 于一定量的气体，当其体积v减小时，压强p将增大。试用函数 的单调性证明之。
第一章
1.3
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课堂练习：
据下列函数图象，指出函数的单调增区间和单调减区间．
第一章
1.3
1.3.1
【成才之路】高中数学 2.1.3 第1课时 函数的单调性的定义课后强化作业 新人教B版必修1
【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.1.3 第1课时 函数的单调性的定义课后强化作业 新人教B 版必修1一、选择题1．下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是( ) A ．y ＝1x2B ．y ＝x 3C ．y ＝x 0D ．y ＝x 2[答案] D[解析] ∵函数y ＝x 2的图象是开口向上的抛物线，对称轴为y 轴，∴函数y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数．2．设函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 是R 上的增函数，则有( ) A ．a >12B ．a ≤12C ．a >－12D ．a <12[答案] A[解析] 由题意2a －1>0，∴a >12.3．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1、x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，则下列结论中不正确的是( )A.f x 1－f x 2x 1－x 2>0B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0C ．f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b ) D.x 1－x 2f x 1－f x 2>0[答案] C[解析] 由函数单调性的定义可知，若函数y ＝f (x )在给定的区间上是增函数，则x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)同号，由此可知，选项A 、B 、D 正确；对于C ，若x 1<x 2时，可能有x 1＝a 或x 2＝b ，即f (x 1)＝f (a )或f (x 2)＝f (b )，故C 不成立．4．函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，－2]上是减函数，则f (1)等于( )A ．－7B ．1C ．17D ．25[答案] D[解析] 由题意知m8＝－2，∴m ＝－16.∴f (x )＝4x 2＋16x ＋5，∴f (1)＝25.5．若函数f (x )在区间(a ，b ]上是增函数，在区间(b ，c )上也是增函数，则函数f (x )在区间(a ，c )上( )A ．必是增函数B ．必是减函数C ．是增函数或是减函数D ．无法确定单调性[答案] D[解析] 函数f (x )在两个单调增区间的并区间上并不一定是增函数．如图所示．6．设f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则( ) A ．f (1)>f (2) B ．f (－a )<f (a ) C ．f (0)<f (a ) D ．f (1)<f (2)[答案] A[解析] ∵f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数， ∴f (1)>f (2)，故选A. 二、填空题7．已知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且m ＝f (34)，n ＝f (a 2－a ＋1)，则m 与n 的大小关系是____________．[答案] m ≥n[解析] a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥34，∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数， ∴f (34)≥f (a 2－a ＋1)，∴m ≥n .8．已知函数f (x )的图象如图．则f (x )的单调减区间为________，最大值为________，最小值为________．[答案] [－3,1] 2 －3[解析] 由图可知f (x )的单调减区间为[－3,1]，最大值为2，最小值为－3.三、解答题9．(2013～2014学年度湖南怀化市怀化三中高一上学期期中测试)证明函数f (x )＝x ＋1x在x ∈[1，＋∞)上是增函数，并求函数f (x )在区间[2,4]上的值域．[证明] 设任意x 1、x 2∈[1，＋∞)， 且x 1<x 2，∴x 2－x 1>0.f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋1x 2－x 1－1x 1＝x 2－x 1＋x 1－x 2x 1x 2＝(x 2－x 1)(1－1x 1x 2)，∵x 1≥1，x 2>1，∴x 1x 2>1， ∴0<1x 1x 2<1，∴1－1x 1x 2>0，∴(x 2－x 1)(1－1x 1x 2)>0，∴f (x 2)>f (x 1)．即函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数．∴函数f (x )在区间[2,4]上的最小值为f (2)＝2＋12＝52，最大值为f (4)＝4＋14＝174，故函数f (x )在区间[2,4]上的值域为[52，174].一、选择题1．在(－∞，0)上是减函数的是( ) A ．y ＝1－x 2B ．y ＝－1xC ．y ＝x －1D ．y ＝4x[答案] D[解析] 函数y ＝1－x 2，y ＝－1x ，y ＝x －1在区间(－∞，0)上是增函数，函数y ＝4x在(－∞，0)上为减函数，故选D.2．已知函数f (x )＝8＋2x －x 2，那么( ) A ．f (x )在(－∞，0)上是减函数 B ．f (x )是减函数 C ．f (x )是增函数D ．f (x )在(－∞，0)上是增函数 [答案] D[解析] 函数f (x )＝8＋2x －x 2的图象为开口向下，对称轴是x ＝1的抛物线，∴函数f (x )在(－∞，0)上是增函数．3．函数y ＝|x ＋2|在区间[－3,0]上是( ) A ．递减 B ．递增 C ．先减后增 D ．先增后减[答案] C[解析] y ＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x ≥－－x －2 x <－，作出y ＝|x ＋2|的图象， 易知在[－3，－2]上为减函数， 在[－2,0]上为增函数．4．已知f (x )在(－∞，＋∞)内是减函数，a 、b ∈R ，且a ＋b ≤0，则有( ) A ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ) B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≤－f (a )－f (b )D ．f (a )＋f (b )≥－f (a )－f (b ) [答案] A[解析] ∵f (x )在(－∞，＋∞)内是减函数，a 、b ∈R ，且a ＋b ≤0，∴a ≤－b ，b ≤－a ，∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )， ∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )． 二、填空题5．若f (x )＝x 2＋2mx ＋2在(－∞，1]上是减函数，则实数m 的取值范围为________． [答案] m ≤－1[解析] ∵函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2的对称轴为x ＝－m ，∴要使函数在(－∞，1]上是减函数，应满足－m ≥1，∴m ≤－1.6．函数y ＝x 2＋x ＋1(x ∈R )的递减区间为________． [答案] (－∞，－12][解析] 函数y ＝x 2＋x ＋1的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－12，∴函数的递减区间为(－∞，－12]．三、解答题7．已知函数f (x )＝2x －1x ＋1.(1)求f (x )的定义域；(2)证明函数f (x )＝2x －1x ＋1在[1，＋∞)上是增函数．[解析] (1)由题意知x ＋1≠0，即x ≠－1. ∴f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)． (2)任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝2x 2－1x 2＋1－2x 1－1x 1＋1＝x 2－x 1＋－x 1－x 2＋x 2＋x 1＋＝x 2－x 1x 2＋x 1＋.∵x 1<x 2，∴x 2－x 1>0. 又∵x 1，x 2∈[1，＋∞)， ∴x 2＋1>0，x 1＋1>0.∴f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)．∴函数f (x )＝2x －1x ＋1在[1，＋∞)上是增函数．8．设函数f (x )是R 上的单调增函数，F (x )＝f (x )－f (2－x )． 求证：函数F (x )在R 上是单调增函数． [证明] 任取x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2， ∵函数f (x )是R 上的单调增函数， ∴f (x 1)<f (x 2)，f (2－x 1)>f (2－x 2)， 即f (x 1)－f (x 2)<0，f (2－x 1)－f (2－x 2)>0，∴F (x 1)－F (x 2)＝[f (x 1)－f (2－x 1)]－[f (x 2)－f (2－x 2)]＝[f (x 1)－f (x 2)]＋[f (2－x 2)－f (2－x 1)]<0，即F (x 1)－F (x 2)<0，所以F (x 1)<F (x 2)．∴函数F (x )在R 上是单调增函数． 9．讨论函数f (x )＝ax ＋1x ＋2(a ≠12)在(－2，＋∞)上的单调性． [解析] 设x 1，x 2为(－2，＋∞)内的任意两个实数，且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝ax 2＋1x 2＋2－ax 1＋1x 1＋2＝ax 2＋x 1＋－ax 1＋x 2＋x 1＋x 2＋＝a －x 2－x 1x 1＋x 2＋.∵x 1>－2，x 2>－2，x 1<x 2， ∴x 1＋2>0，x 2＋2>0，x 2－x 1>0.因此，当a >12时，2a －1>0，此时f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 1)<f (x 2)，此时函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)上是增函数；当a <12时，2a －1<0，此时f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 1)>f (x 2)，此时函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)上是减函数．。
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∴函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数． 又f(1)＝1－ln1＝1＞0， 即f(x)＞0对x∈(1，＋∞)恒成立， ∴x－lnx＞0，即x＞lnx (x＞1)．
1 令 f′(x)>0，得 x>2 或 x<2， 1 令 f′(x)<0，得2<x<2， 1 ∴函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，2)，(2，＋∞)，单调 1 递减区间为(2，2)．
[辨析] 错解的原因是忽视了函数的定义域而导致错误.
[正解] 由已知得 x>0，故函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)． a 2 ∵f′(x)＝a＋x2－x ， 4 a ∴f′(2)＝a＋4－1＝0，∴a＝5. 4 4 2 2 ∴f′(x)＝5＋5x2－x ＝5x2(2x2－5x＋2)，
(2)函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， b b f ′(x)＝(x＋x )′＝1－x2， 1 令 f ′(x)＞0，则x2(x＋ b)(x－ b)＞0， ∴x＞ b，或 x＜－ b. ∴函数的单调递增区间为(－∞，－ b)和( b，＋∞)． 1 令 f ′(x)＜0，则x2(x＋ b)(x－ b)＜0， ∴－ b＜x＜ b，且 x≠0. ∴函数的单调递减区间为(－ b，0)和(0， b)．
∴a≤0.
当a＝0时，y＝－1不是减函数， ∴a≠0. 故a的取值范围是(0，＋∞)．
典例探究学案
用导数求函数的单调区间
求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x3－3x＋1； b (2)f(x)＝x＋x(b＞0)．
[解析] (1)函数 f(x)的定义域为 R， f ′(x)＝3x2－3，令 f ′(x)＞0，则 3x2－3＞0. 即 3(x＋1)(x－1)＞0，解得 x＞1 或 x＜－1. ∴函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)， 令 f ′(x)＜0，则 3(x＋1)(x－1)＜0，解得－1＜x＜1. ∴函数 f(x)的单调递减区间为(－1,1)．
多项式函数的单调区间.
重点：利用求导的方法判断函数的单调性．
难点：探索发现函数的导数与单调性的关系.
函数的单调性与导函数正负的关系
新知导学
负 1． 观察函数 y＝x2 的图象， x<0 时， 切线的斜率都取______ 正 值，函数 值，函数单调递减；x>0 时，切线的斜率都取______
单调递增． 再观察函数 y＝ x的图象，除原点外每一点的切线斜率都
成才之路 · 数学
人教A版 · 选修1-1 1-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章
圆锥曲线与方程
第三章
3.3 导数在研究函数中的应用
第1课时 函数的单调性与导数
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
自主预习学案
结合实例，借助几何直观图探索并了解函数的单调性与导 数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的
又因为f(x)在(6，＋∞)上单调递增，所以f ′(x)≥0在(6，＋∞)
上恒成立， 所以 a≤x ＋ 1 ，因为 x ＋ 1>7 ，所以 a≤7 时，f ′(x)≥0 在 (6 ，＋ ∞)上恒成立． 综上知5≤a≤7.
பைடு நூலகம்
[ 方法规律总结 ]
1. 已知函数 f(x) 在某区间 A 上单调求参数
的值或取值范围时，一般转化为在区间A上f ′(x)≥0(f(x)单调递增 时)或f ′(x)≤0(f(x)在区间A上单调递减时)恒成立求解，有时也用 数形结合方法求解．
2．若函数 y＝x3＋x2＋mx＋1 是 R 上的单调函数，则实数 m 的取值范围是( 1 A．(3，＋∞) 1 C．[3，＋∞)
[答案] C
) 1 B．(－∞，3] 1 D．(－∞，3)
[解析] y′＝3x2＋2x＋m， 由条件知 y′≥0 在 R 上恒成立， 1 ∴Δ＝4－12m≤0，∴m≥3.
3．函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上( A．是增函数 B．是减函数 C．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上增
)
D．在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增
[答案] A [解析] f ′(x)＝2－cosx>0在(－∞，＋∞)上恒成立．
4．若在区间(a，b)内有f ′(x)＞0，且f(a) ≥0，则在(a，b)内 有( ) A．f(x)＞0 C．f(x)＝0 B．f(x)＜0 D．不能确定
[方法规律总结 ]
构造函数，利用导数确定函数单调性，
把证明不等式的问题转化为用单调性比较函数值大小的问题， 实现了复杂问题简单化．构造法是用导数研究函数中常用到的 基本方法．
已知：x＞0，求证：x＞sinx. [解析] 设f(x)＝x－sinx (x＞0)，
f ′(x)＝1－cosx≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，
新知导学 3 ．如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么 快 ，其图象比较________ 陡峭 ． 这个函数在这个范围内变化较_____
牛刀小试 1．函数y＝x3＋x的单调递增区间为( A．(0，＋∞) C．(1，＋∞) B．(－∞，1) D．(－∞，＋∞) )
[答案] D
[解析] ∵y′＝3x2＋1>0恒成立， ∴函数y＝x3＋x在(－∞，＋∞)上是增函数，故选D.
∴函数f(x)＝x－sinx在(0，＋∞)上是单调增函数， 又f(0)＝0，∴f(x)＞0对x∈(0，＋∞)恒成立， ∴x＞sinx (x＞0).
研究函数一定要注意函数的定义域 a 设函数 f(x)＝ax－x －2lnx， 且 f′(2)＝0， 求函数 f(x)的单调区间．
a 2 [错解] ∵f′(x)＝a＋x2－x ， 4 a ∴f′(2)＝a＋4－1＝0，∴a＝5. 4 4 2 2 ∴f′(x)＝5＋5x2－x ＝5x2(2x2－5x＋2)，
由题意得3ax2＋6x－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立． 1 当 a＝0 时，6x－1≤0，x≤6不满足题意，∴a≠0.
当 a≠0
a<0 时，由题意得 Δ＝36＋12a≤0
，
∴a≤－3. 综上可知，实数 a 的取值范围是 a≤－3.
转化思想的应用——构造法证明不等式
已知 x＞1，求证：x＞lnx.
1 3 1 2 若函数 f(x)＝3x －2ax ＋(a－1)x＋1 在区间(1,4) 内单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，试求 a 的取值范围．
[解析] 解法一：(数形结合) 如 图 所 示 ， f ′(x) ＝ (x － 1)[x － (a － 1)] ． ∵ 在 (1,4) 内 f ′(x)≤0，在(6，＋∞)内 f ′(x)≥0，且 f ′(x)＝0 有一根为 1， ∴另一根在[4,6]上．
(2014·三亚市一中月考)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间 是( ) A．(－∞，2) C．(1,4) [答案] D [解析] ∵f(x)＝(x－3)ex， ∴f ′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex， B．(0,3) D．(2，＋∞)
由f ′(x)>0得x>2，∴选D.
已知函数的单调性，确定参数的取值范围
[方法规律总结] 1.函数的单调区间是定义域的子集， 利用 导数的符号判断函数的单调性和求函数的单调区间，必须先考 虑函数的定义域，写函数的单调区间时，一定要注意函数的不 连续点和不可导点． 2．利用导数求函数 f(x)的单调区间的一般步骤为： (1)确定函数 f(x)的定义域； (2)求导数 f ′(x)； (3)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f ′(x)>0 和 f ′(x)<0； (4)根据(3)的结果确定函数 f(x)的单调区间．
(2) 如果在区间 (a ， b) 内， f ′(x)<0 ，则 f(x) 在此区间内单调
递减 __________ ．
函数的变化快慢与导数的关系
思维导航 2．上面我们已经知道 f ′(x)的符号反映 f(x)的增减情况， 那么能否用导数解释 f(x)变化的快慢呢？ 3．在同一坐标系中画出函数 y＝2x，y＝3x，y＝ x，y＝x2， y＝x3 的图象，观察 x>0 时，函数增长的快慢，与各函数的导数 值的大小作对比，你发现了什么？
[答案] A
[解析] ∵在区间(a，b)内有f ′(x)>0，且f(a)≥0， ∴函数f(x)在区间(a，b)内是递增的，且f(x)>f(a)≥0.
5 ．函数 y ＝ ax3 － 1 在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上是减函数，则 a 的取值 范围是________． [答案] (0，＋∞) [解析] ∵y′＝3ax2≤0恒成立，
f ∴ f
′4≤0 35－a≤0 ，即 ，∴5≤a≤7. ′6≥0 57－a≥0
解法二：(转化为不等式恒成立的问题)
f ′(x) ＝ x2 － ax ＋ a － 1. 因为 f(x) 在 (1,4) 内单调递减，所以 f ′(x)≤0在(1,4)上恒成立．即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以 a≥x ＋1，因为 2<x ＋1<5 ，所以当 a≥5 时，f ′(x)≤0 在 (1,4) 上恒成 立，
正 值，函数单调递增． 取______
思维导航 1．结合高台跳水运动和函数 y＝3x，y＝x2，y＝x3，y＝ x， 1 y＝x 的单调性与导函数值正负的关系，你能得出什么结论？
新知导学 2．设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导， (1) 如果在区间 (a ， b) 内， f ′(x)>0 ，则 f(x) 在此区间单调 递增 __________ ；
1 令 f′(x)>0，得 0<x<2或 x>2， 1 令 f′(x)<0，得2<x<2， 1 ∴函数 f(x)的单调递增区间为(0，2)，(2，＋∞)，单调递减 1 区间为(2，2)．