最小生成树问题
最小生成树问题的算法实现及复杂度分析—天津大学计算机科学与技术学院(算法设计与分析)
算法设计与分析课程设计报告学院计算机科学与技术专业计算机科学与技术年级2011姓名XXX学号2013年5 月19 日题目：最小生成树问题的算法实现及复杂度分析摘要：该程序操作简单，具有一定的应用性。
数据结构是计算机科学的算法理论基础和软件设计的技术基础，在计算机领域中有着举足轻重的作用，是计算机学科的核心课程。
而最小生成树算法是算法设计与分析中的重要算法，最小生成树也是最短路径算法。
最短路径的问题在现实生活中应用非常广泛，如邮递员送信、公路造价等问题。
本设计以Visual Studio 2010作为开发平台，C/C++语言作为编程语言，以邻接矩阵作为存储结构，编程实现了最小生成树算法。
构造最小生成树有很多算法，本文主要介绍了图的概念、图的遍历，并分析了PRIM 经典算法的算法思想，最后用这种经典算法实现了最小生成树的生成。
引言：假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连接n个城市只需要n-1条线路。
这时，自然会考虑这样一个问题，如何在节省费用的前提下建立这个通信网？自然在每两个城市之间都可以设置一条线路，而这相应的就要付出较高的经济代价。
n个城市之间最多可以设置n（n-1）/2条线路，那么如何在这些可能的线路中选择n-1 条使总的代价最小呢？可以用连通网来表示n 个城市以及n个城市之间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两个城市之间的线路，赋予边的权值表示相应的代价。
对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一个生成树都可以是一个通信网。
现在要选择这样一棵生成树，也就是使总的代价最小。
这个问题便是构造连通网的最小代价生成树（简称最小生成树）的问题。
最小生成树是指在所有生成树中，边上权值之和最小的生成树，另外最小生成树也可能是多个，他们之间的权值之和相等。
一棵生成树的代价就是树上各边的代价之和。
而实现这个运算的经典算法就是普利姆算法。
正文普里姆（Prim）算法思想普里姆算法则从另一个角度构造连通网的最小生成树。
最小生成树问题的ampl实际案例
最小生成树问题的AMPL实际案例导言在图论中，最小生成树指的是在一个连接了所有节点的图中，找到一棵权重之和最小的树。
最小生成树问题被广泛应用于网络设计、电路布线、城市规划等领域。
AMPL（A Mathematical Programming Language）是一种用于数值分析和优化的高级建模语言。
本文将通过一个具体的案例，探讨如何使用AMPL解决最小生成树问题。
案例背景假设我们有一个城市网络，城市之间通过道路连接。
我们希望使用最小的成本来连接所有城市，以便人们可以在城市之间通行。
问题分析我们可以将城市网络表示为一个带权重的图，其中城市是节点，道路是边，道路的权重表示建造和维护道路的成本。
我们的目标是找到一个最小生成树，即在图中选择一些边，使得所有的城市都能够通过这些边连通，并且这些边的权重之和最小。
数学建模为了使用AMPL解决最小生成树问题，我们需要将问题建模成一个线性规划模型。
首先，我们定义一些变量： - x ij表示边(i,j)是否被选择，如果被选择则取值为1，否则取值为0。
- c ij表示边(i,j)的权重。
然后，我们需要定义一些约束条件： - 每个城市必须通过某条边连接到最小生成=1，其中j表示与城市i相连的边树中的其他城市。
对于每个城市i，我们有∑x ijj(i,j)。
- 最小生成树中不能形成环。
对于每个子集S，使得S中的城市通过(i,j)连≤|S|−1。
接到最小生成树中的其他城市，我们有∑x ij(i,j)⊆S最后，我们需要定义目标函数： - 目标函数是最小化边的权重之和。
我们有min∑c ijx ij。
i,jAMPL代码下面是用AMPL建模的代码：set Cities; # 定义城市集合param c{Cities, Cities} >= 0; # 定义边的权重矩阵var x{Cities, Cities} binary; # 是否选择边minimize Total_Cost: sum{i in Cities, j in Cities} c[i,j] * x[i,j];subject to Connectedness{i in Cities}:sum{j in Cities} x[i,j] = 1;subject to No_Cycles{S in subset(Cities)}:sum{(i,j) in (S cross S)} x[i,j] <= card(S) - 1;结果分析通过运行AMPL代码，我们可以得到最小生成树的解。
信息学奥赛一本通 第4章 第6节 最小生成树(C++版) ppt课件
5
71
4
min[3]=w[2][3]=1; min[5]=w[2][5]=2;
第三次循环是找到min[3]最小的蓝点3。将3变为白点，接着枚举与3相连的所有 蓝点4、5，修改它们与白点相连的最小边权。
1
2 4
22 16
5
3
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1
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min[4]=w[3][4]=1; 由于min[5]=2 < w[3][5]=6;所 以不修改min[5]的值。
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1
2
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10
9
5
6
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1个集合{ {1，2，3，4，5} } 生成树中有4条边{ <1,2> ，<4,5>，<3，5>，<2,5>}
3
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16
Kruskal算法
算法结束，最小生成树权值为19。 通过上面的模拟能够看到，Kruskal算法每次都选择一条最小的，且能合并两 个不同集合的边，一张n个点的图总共选取n-1次边。因为每次我们选的都是最小的 边，所以最后的生成树一定是最小生成树。每次我们选的边都能够合并两个集合， 最后n个点一定会合并成一个集合。通过这样的贪心策略，Kruskal算法就能得到一 棵有n-1条边，连接着n个点的最小生成树。 Kruskal算法的时间复杂度为O(E*logE)，E为边数。
第一行： 农场的个数，N（3<=N<=100）。
第二行..结 尾
后来的行包含了一个N*N的矩阵,表示每个农场之间的距离。理论 上，他们是N行，每行由N个用空格分隔的数组成，实际上，他们 限制在80个字符，因此，某些行会紧接着另一些行。当然，对角 线将会是0，因为不会有线路从第i个农场到它本身。
最小生成树题目
最小生成树题目 最小生成树是图论中的一个重要概念，被广泛应用于路由算法、网络设计、电力传输等领域。
最小生成树问题可以简单描述为：给定一个连通图，选择一些边使得图中所有节点都能够连接，并且总边权之和最小。
最小生成树题目是在解决最小生成树问题时所遇到的具体情境。
以下通过分析两个不同的最小生成树题目，来理解最小生成树算法的应用。
题目1：某城市的道路规划 假设一个城市有多个地区，每个地区之间需要建立道路来连接。
已知每条道路的长度，在保证每个地区都能连通的情况下，设计一个道路规划方案，使得总道路长度最小。
解题思路： 1、首先，根据题目中给出的道路长度，建立一个无向带权图。
其中，每个地区对应图的节点，道路对应图的边，道路长度对应边的权值。
2、通过使用Kruskal或Prim算法，从这个带权图中构建最小生成树，即选取一些道路使得所有地区连通，并且这些道路的权值之和最小。
3、最小生成树即为最优的道路规划方案，输出最小生成树的边集合即可。
题目2：电力传输网络设计 某地区有多个居民点，需要建立电力传输网络来确保每个居民点都能接收到电力供应。
已知每个居民点之间建立电力线路的成本，在保证每个居民点都能接收到电力供应的情况下，设计一个电力传输网络，使得总成本最小。
解题思路： 1、根据题目给出的电力线路成本，建立一个带权完全图。
其中，每个居民点对应图的节点，电力线路对应图的边，电力线路成本对应边的权值。
2、通过使用Kruskal或Prim算法，从这个带权图中构建最小生成树，即选取一些电力线路使得所有居民点都能接收到电力供应，并且这些电力线路的成本之和最小。
3、最小生成树即为最优的电力传输网络设计方案，输出最小生成树的边集合即可。
最小生成树问题是一个经典的优化问题，通过构建最小生成树，我们可以找到图中连接所有节点的最优边集合。
在实际应用中，最小生成树算法可以帮助我们进行有效的资源分配、网络规划等决策。
总体来说，最小生成树题目涉及到图的建模和优化算法的运用。
最小生成树问题例题
最小生成树问题例题最小生成树（Minimum Spanning Tree）是图论中的一个经典问题，它是指在一个带权无向图中找到一棵生成树，使得树上所有边的权值之和最小。
最小生成树问题在实际生活中有着广泛的应用，比如电力输送、通信网络等领域。
下面我们以一个具体的例子来说明最小生成树问题的求解过程。
假设有一个无向图，图中包含了6个节点（A、B、C、D、E、F）和9条边。
每条边都有一个权值，表示连接两个节点的成本。
我们的目标是找到一棵最小生成树。
首先，我们可以使用 Prim 算法来求解最小生成树。
Prim 算法的基本思想是从一个起始节点开始，逐步扩展生成树，直到包含所有节点为止。
具体步骤如下：1. 选择一个起始节点，将其标记为已访问。
2. 从已访问的节点中，选择一条连接到未访问节点的最短边。
3. 将这条边加入到最小生成树中，并将连接的节点标记为已访问。
4. 重复步骤2和步骤3，直到所有节点都被访问过。
根据上述算法，我们可以依次选取边 AB、CD、BC、EF、DE 来构建最小生成树。
最终的最小生成树是：A-B、C-D、B-C、E-F 和 D-E 这五条边，它们的权值之和为12。
另外一个常用的求解最小生成树问题的算法是 Kruskal 算法。
Kruskal 算法的基本思想是将图中的边按照权值从小到大进行排序，然后依次选取边，如果这条边连接的两个节点不在同一个连通分量中，就将这条边加入到最小生成树中。
具体步骤如下：1. 对图中的边按照权值进行排序。
2. 从权值最小的边开始，依次选取边。
3. 如果选取的边连接的两个节点不在同一个连通分量中，就将这条边加入到最小生成树中，并将连接的节点合并为一个连通分量。
4. 重复步骤2和步骤3，直到最小生成树中包含了所有的节点。
使用 Kruskal 算法求解上述例子，我们可以依次选取边 AB、BC、CD、DE、EF 来构建最小生成树。
最终的最小生成树是：A-B、B-C、C-D、D-E 和 E-F 这五条边，它们的权值之和也是12。
最小生成树问题课程设计
最小生成树问题课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解最小生成树的概念，掌握其定义及性质；2. 学会运用普里姆（Prim）算法和克鲁斯卡尔（Kruskal）算法求解最小生成树问题；3. 了解最小生成树在实际问题中的应用，如网络设计、电路设计等。
技能目标：1. 能够运用普里姆和克鲁斯卡尔算法解决最小生成树问题，并进行算法分析；2. 能够运用所学知识解决实际问题，具备一定的算法设计能力；3. 能够通过合作与交流，提高问题分析和解决问题的能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对数据结构与算法的兴趣，激发学习热情；2. 培养学生的团队合作意识，学会倾听、尊重他人意见；3. 培养学生面对问题勇于挑战、积极进取的精神。
课程性质：本课程为计算机科学与技术专业的高年级课程，旨在帮助学生掌握图论中的最小生成树问题及其求解方法。
学生特点：学生具备一定的编程基础和图论知识，对算法有一定的了解，但可能对最小生成树问题尚不熟悉。
教学要求：结合学生特点，采用案例教学、任务驱动等方法，注重理论与实践相结合，培养学生的实际操作能力和创新思维。
通过本课程的学习，使学生能够将所学知识应用于实际问题中，提高解决复杂问题的能力。
二、教学内容1. 最小生成树概念与性质- 定义、性质及定理- 最小生成树的构建方法2. 普里姆算法- 算法原理与步骤- 算法实现与复杂度分析- 举例应用3. 克鲁斯卡尔算法- 算法原理与步骤- 算法实现与复杂度分析- 举例应用4. 最小生成树在实际问题中的应用- 网络设计- 电路设计- 其他领域应用案例5. 算法比较与优化- 普里姆与克鲁斯卡尔算法的比较- 算法优化方法及其适用场景6. 实践环节- 编程实现普里姆和克鲁斯卡尔算法- 分析并解决实际问题- 小组讨论与成果展示教学内容依据课程目标进行选择和组织，注重科学性和系统性。
参考教材相关章节，制定以下教学安排：第1周：最小生成树概念与性质第2周：普里姆算法第3周：克鲁斯卡尔算法第4周：最小生成树在实际问题中的应用第5周：算法比较与优化第6周：实践环节与总结三、教学方法本课程将采用以下多样化的教学方法，以激发学生的学习兴趣和主动性：1. 讲授法：教师通过生动的语言和形象的比喻，对最小生成树的概念、性质、算法原理等基础知识进行讲解，使学生快速掌握课程内容。
最小树问题
i 2在 , X 2 中e 2 选 ,4 边 E 3 E 2 e 2 4e 1,e 2 2,e 3 2,4 3 X X 2 v 4 v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,X 3 v 5 ,v 6 ,
i 3在 , X 3 中e 4 选 ,5 边 E 4 E 3 e 4 5e 1,e 2 2,e 3 2,e 4 4,5 4 X X 3 v 5 v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 ,X 4 v 6 ,
i 4在 , X 4 中e 5 选 ,6 边 E 5 E 4 e 5 6e 1,e 2 2,e 3 2,e 4 4,e 5 5,6 5 X X 4 v 6 v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 ,v 6 V ,
设v1是T的一个悬挂点，考虑图T-｛v1｝，则图T｛v1｝ 的顶点数为K，由归纳假设可得 ：
，因为 m T(v1) nT(v1)1 nT(v1) nT 1 ， nT(v1) nT 1，则 mT(v1) mT1 ，证毕。
定理3：图T是树的充分必要条件是任意两个顶点之间恰 有一条链。
证明：必要性 因T是连通的，故任两个点之 间至少有一条链。但如果某两个点之间有两条链 的话，那么图T中含有圈，这与树的定义矛盾， 从而任两个点之间恰有一条链。
7
4 v6
5
v4
v2 2
v5
4
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4 v6 v4
v5
4
3
4 v6 v4
v3 5
6
v1 1
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v1 1
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4 v6 v4
最小生成树问题
2.1 最小生成树
树T(V,E)的性质：
E 树的边数等于其顶点数减“1”，即 V 1 ； 树的任意两个顶点之间恰有一条初级链相连接； 在树中任意去掉一条边后，便得到一个不连通的 图； 在树中任意两个顶点之间添加一条新边，所得新 图恰有一个初级圈。
例如，图 6.4.1 给出的 G1 和 G2 是树，但 G3 和 G4 则不是树。
44
44 69
结果显示于图
求最小生成树的 Prim 算法
Prim 算法的直观描述 假设 T0 是赋权图 G 的最小生成树。任选一 个顶点将其涂红，其余顶点为白点；在一个端 点为红色，另一个端点为白色的边中，找一条 权最小的边涂红，把该边的白端点也涂成红色； 如此，每次将一条边和一个顶点涂成红色，直 到所有顶点都成红色为止。最终的红色边便构 成最小生成树 T0 的边集合。
在求最小生成树的有效算法中，最著名的两个是 Kruskal（克罗斯克尔）算法和 Prim（普瑞姆）算法， 其迭代过程都是基于贪婪法来设计的。 1．求最小生成树的 Kruskal 算法
Kruskal 算法的直观描述 假设 T0 是赋权图 G 的最小生成树，T0 中的边和 顶点均涂成红色，初始时 G 中的边均为白色。 ① 将所有顶点涂成红色； ② 在白色边中挑选一条权值最小的边，使其与红 色边不形成圈，将该白色边涂红； ③ 重复②直到有 n1 条红色边，这 n1 条红色边 便构成最小生成树 T0 的边集合。
最小生成树算法
一个简单连通图只要不是树，其生成树就不唯 一，而且非常多。一般地，n 个顶点地完全图，其 不同地生成树个数为 nn2。因而，寻求一个给定赋 权图的最小生成树，一般是不能用穷举法的。例如， 30 个顶点的完全图有 3028个生成树，3028 有 42 位， 即使用最现代的计算机，在我们的有生之年也是无 法穷举的。所以，穷举法求最小生成树是无效的算 法，必须寻求有效的算法。
最小生成树——城市公交网建设问题
最⼩⽣成树——城市公交⽹建设问题城市公交⽹建设问题【问题描述】 有⼀张城市地图，图中的顶点为城市，⽆向边代表两个城市间的连通关系，边上的权为在这两个城市之间修建⾼速公路的造价，研究后发现，这个地图有⼀个特点，即任⼀对城市都是连通的。
现在的问题是，要修建若⼲⾼速公路把所有城市联系起来，问如何设计可使得⼯程的总造价最少？【输⼊格式】n（城市数，1<=n<=100） e（边数） 以下e⾏，每⾏3个数i,j,wij，表⽰在城市i,j之间修建⾼速公路的造价。
【输出格式】 n-1⾏，每⾏为两个城市的序号，表明这两个城市间建⼀条⾼速公路。
【输⼊样例】 5 8 1 2 2 2 5 9 5 4 7 4 1 10 1 3 12 4 3 6 5 3 3 2 3 8【输出样例】 1 2 2 3 3 4 3 51 #include<iostream>2 #include<cstdio>3 #include<cstring>4using namespace std;56const int maxn=0x7f;7bool visit[101];8int dis[101];9int map[101][101];10int n,m,u,v,h,k;11int min1;1213void sc(int s)14 {15for(int i=1;i<=n;i++)16 dis[i]=map[s][i];17 visit[s]=true;18 dis[s]=0;19for(int i=1;i<=n;i++)20 {21 min1=maxn;22 k=s;23for(int j=1;j<=n;j++)24 {25if(!visit[j]&&dis[j]<min1)26 {27 min1=dis[j];28 k=j;29 }30 }31 visit[k]=1;32for(int j=1;j<=n;j++)33 {34if(!visit[j]&&map[k][j]<dis[j])35 dis[j]=map[k][j];36 }37 }38for(int i=1;i<=n;i++)39for(int j=1;j<=n;j++)40if(map[i][j]==dis[j])41 cout<<i<<""<<j<<endl;42 }4344int main()45 {46 cin>>n>>m;47 memset(map,maxn,sizeof(map)); 48for(int i=1;i<=m;i++)49 {50 cin>>u>>v>>h;51 map[u][v]=map[v][u]=h;52 }53for(int i=1;i<=m;i++)54 dis[i]=maxn;55 sc(1);56return0;57 }。
最小生成树问题
榆林学院12届课程设计《最小生成树问题》课程设计说明书学生姓名：赵佳学号：1412210112院系：信息工程学院专业：计算机科学与技术班级：计14本1指导教师：答辩时间：年月日最小生成树问题一、问题陈述最小生成树问题设计要求：在n个城市之间建设网络，只需保证连通即可，求最经济的架设方法。
存储结构采用多种。
求解算法多种。
二、需求分析1.在n个城市之间建设网络，只需保证连通即可。
2.求城市之间最经济的架设方法。
3.采用多种存储结构，求解算法也采用多种。
三、概要设计1、功能模块图2、功能描述（1)CreateUDG()创建一个图：通过给用户信息提示，让用户将城市信息及城市之间的联系关系和连接权值写入程序，并根据写入的数据创建成一个图。
（2)Switch()功能选择：给用户提示信息，让用户选择相应功能。
（3)Adjacency_Matrix()建立邻接矩阵：将用户输入的数据整理成邻接矩阵并显现在屏幕上。
（4)Adjacency_List()建立邻接表：将用户输入的数据整理成临接表并显现在屏幕上。
（5)MiniSpanTree_KRSL()kruskal算法：利用kruskal算法求出图的最小生成树，即：城市之间最经济的连接方案。
（6)MiniSpanTree_PRIM()PRIM算法：利用PRIM算法求出图的最小生成树，即：城市之间最经济的连接方案。
四、详细设计本次课程设计采用两种存储结构以及两种求解算法。
1、两种存储结构的存储定义如下：typedef struct Arcell{double adj;}Arcell,AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];typedef struct{char vexs[MAX_VERTEX_NUM]; //节点数组AdjMatrix arcs; //邻接矩阵int vexnum,arcnum; //图的当前节点数和弧数}MGraph;typedef struct Pnode //用于普利姆算法{ char adjvex; //节点double lowcost; //权值}Pnode,Closedge[MAX_VERTEX_NUM];//记录顶点集U到V-U的代价最小的边的辅助数组定义typedef struct Knode//用于克鲁斯卡尔算法中存储一条边及其对应的2个节点{char ch1; //节点1char ch2; //节点2double value;//权值}Knode,Dgevalue[MAX_VERTEX_NUM];2、求解算法采用Prim算法和Kruskal算法。
国家集训队2004论文集_汪汀
可知如果(+a1,-b2)和(+a2,-b1)都是 T 的可行交换，则有ω(b2)≤ω(a1),ω(b1)≤ω (a2)，故ω(b1)+ω(b2)≤ω(a1)+ω(a2); 否则，或者(+a1,-b2)或者(+a2,-b1)不是 T 的 可行交换，根据引理 1，T’=T+{a1,a2}-{b1,b2}仍然是 T 的 k 度限制生成树，则ω (T)≤ω(T’),故ω(b1)+ω(b2)≤ω(a1)+ω(a2)。 ⑵充分性
综上，求最小 k 度限制生成树算法总的时间复杂度为 O(Vlog2V+E+kV)。
3、次小生成树
3.1、次小生成树的定义
设 G=(V,E,w)是连通的无向图，T 是图 G 的一个最小生成树。如果有另一棵树 T1，满 足不存在树 T’,ω（T’）<ω（T1） ，则称 T1 是图 G 的次小生成树。
3.2、求解次小生成树的算法
通过上述定理，我们就有了解决次小生成树问题的基本思路。 首先先求该图的最小生成树 T。时间复杂度 O(Vlog2V+E) 然后，求 T 的邻集中权值和最小的生成树，即图 G 的次小生成树。 如果只是简单的枚举，复杂度很高。首先枚举两条边的复杂度是 O(VE)，再判断该交换是否 可行的复杂度是 O(V)，则总的时间复杂度是 O(V2E)。这样的算法显得很盲目。经过简单的 分析不难发现，每加入一条不在树上的边，总能形成一个环，只有删去环上的一条边，才能 保证交换后仍然是生成树，而删去边的权值越大，新得到的生成树的权值和越小。我们可以 以此将复杂度降为 O(VE)。这已经前进了一大步，但仍不够好。 回顾上一个模型——最小度限制生成树，我们也曾面临过类似的问题，并且最终采用动态规 划的方法避免了重复计算，使得复杂度大大降低。对于本题，我们可以采用类似的思想。首 先做一步预处理，求出树上每两个结点之间的路径上的权值最大的边，然后，枚举图中不在
算法设计与分析课件--贪心法-最小生成树问题
6
4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法思想：
❖Prim算法利用了最小生成树的上述性质。 ❖ 算法的关键是如何找出连接U和V-U所有边中的权值 最小的边(u, v)，并将v加入到U中。循环执行上述操作， 直至U=V为止。
7
4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法设计：
❖ 设G=(V，E)是具有n个结点的无向连通带权图；设最 小生成树T=(U，TE)，算法结束时U=V，TE包含于E
点的无向连通带权图，U是
V的一个非空子集。最小生
成树的一个很重要的性质：
✓ (u, v)是一条具有最小权 值 的 边 ， 其 中 u∈U ， v∈V-U，则必存在一棵包
假设最小生成树T不包括(u,v)。 将(u,v)添加到T上产生回路， 将回路中另外一条边(u’,v’)去 掉得到另外一个树T’
含 边 (u ， v) 的 最 小 生 成 树 。
◼ Prim算法的求解示例：
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4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法的求解示例：
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4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法的求解示例：
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4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法的求解示例：
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4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法的求解示例：
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4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法的求解示例：
◼ Prim算法空间复杂性：
❖定义了辅助变量Q，其占用空间为|V|，从而空间复 杂度为O(|V|)。
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4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法的正确性证明：
❖最优子结构性质：假设最小生成树为T，从V-U集合中 添加到集合U中的结点顺序为< u0, …, ui, …, un-1, un>， 需要证明： 顺序< u0, …, ui, …, un-1>亦为图G’=(V\{un}， E\{e})最小生成树T’ ，其中e={原图G中与结点un相连 的边}。
最小生成树(Minimal Spanning Tree，MST)问题
例7.6 最小生成树（Minimal Spanning Tree，MST）问题求解最小生成树的方法虽然很多，但是利用LINGO建立相应的整数规划模型是一种新的尝试。
这对于处理非标准的MST问题非常方便。
我们主要参考了文[7]。
在图论中，称无圈的连通图为树。
在一个连通图G中，称包含图G全部顶点的树为图G 的生成树。
生成树上各边的权之和称为该生成树的权。
连通图G的权最小的生成树称为图G 的最小生成树。
许多实际问题都可以归结为最小生成树。
例如,如何修筑一些公路把若干个城镇连接起来；如何架设通讯网络将若干个地区连接起来；如何修筑水渠将水源和若干块待灌溉的土地连接起来等等。
为了说明问题,以下面的问题作为范例。
范例：假设某电话公司计划在六个村庄架设电话线，各村庄之间的距离如图所示。
试求出使电话线总长度最小的架线方案。
为了便于计算机求解，特作如下规定：（1）节点V1表示树根；（2）当两个节点之间没有线路时，规定两个节点之间的距离为M（较大的值）。
MST的整数规划模型如下：Array运用WinSQB软件：Network Modeling1——3——4——2，，，，4——6——5 最短距离为8Solution for Minimal Spanning Tree Problem road07-25-2000 From Node Connect To Distance/Cost From Node Connect To Distance/Cost1 Node4 Node2 2 4 Node6 Node5 22 Node1 Node3 1 5 Node4 Node6 13 Node3 Node4 2Total Minimal Connected Distance or Cost = 8直接用人脑算：避圈法：把图中所以的点分为V 与_V 两个部分。
其步骤为：（1） 从图中任选一点i v 为树根， 让i v V ∈，图中其余的点均包含在_V 中。
最小生成树定理
摘要：最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）是图论中的一个基本概念，它在网络设计、数据结构、算法设计等领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍最小生成树定理的定义、性质、算法以及在实际应用中的重要性。
一、引言在图论中，一个图由顶点和边组成。
如果这个图是一个连通图，那么它的任意两个顶点之间都存在一条路径。
最小生成树定理研究的是如何从一个连通无向图中选择一些边，使得这些边构成一个连通子图，并且所有边的权值之和最小。
二、定义1. 图：由顶点集合V和边集合E组成，记为G=(V,E)，其中V表示顶点集，E表示边集。
2. 连通图：对于图G中的任意两个顶点u、v，若存在一条路径连接u和v，则称图G是连通的。
3. 无向图：对于图G中的任意两个顶点u、v，若边(u,v)和边(v,u)同时存在，则称边(u,v)为无向边。
4. 权值：对于图G中的任意一条边(u,v)，可以赋予一个非负实数w(u,v)作为权值。
5. 最小生成树：对于图G的一个连通子图T，如果满足以下两个条件，则称T为G 的最小生成树：（1）T是连通的；（2）T中的边权值之和最小。
三、性质1. 存在性：对于任意一个连通无向图，都存在一个最小生成树。
2. 唯一性：对于任意一个连通无向图，其最小生成树是唯一的。
3. 极小性：对于任意一个连通无向图，它的最小生成树中的边权值之和最小。
4. 极大性：对于任意一个连通无向图，它的最小生成树中的边权值之和最大。
四、算法1. 克鲁斯卡尔算法（Kruskal's Algorithm）（1）将图G中的所有边按照权值从小到大排序；（2）初始化一个空的最小生成树T；（3）遍历排序后的边，对于每条边(u,v)：①检查边(u,v)是否与T中的任意一条边形成环；②若不形成环，则将边(u,v)加入T；（4）当T中的边数等于顶点数减1时，算法结束。
2. 普里姆算法（Prim's Algorithm）（1）从图G中选择一个顶点作为起始顶点v0；（2）初始化一个空的最小生成树T，并将v0加入T；（3）对于图G中的其他顶点v，初始化一个距离数组dist，其中dist[v]表示顶点v到T的距离，初始时dist[v]=∞（v≠v0）；（4）遍历T中的顶点，对于每个顶点v，更新其相邻顶点的距离；（5）从距离数组中选择距离最小的顶点u，将其加入T；（6）重复步骤（4）和（5），直到T中的边数等于顶点数减1。
atcoder关于最小生成树的题目
AtCoder 关于最小生成树的题目：在 AtCoder 的竞赛中经常会遇到与最小生成树相关的题目，这些题目往往需要我们深入理解最小生成树的概念和算法，并能够灵活运用它们解决实际问题。
在本文中，我们将从简到繁地探讨最小生成树的概念和相关算法，并且结合 AtCoder 中的一些题目进行讲解，帮助大家更好地理解和掌握这一重要的算法。
1. 最小生成树的概念最小生成树是指一个给定的带权无向连通图中，权值之和最小的生成树。
在这里，我们需要理解带权图、连通图以及生成树的概念。
带权图是指图中每条边都带有权值，连通图是指图中任意两个顶点之间都存在路径，生成树是指一个图中包含所有顶点的树。
最小生成树可以通过 Prim 算法和 Kruskal 算法来求解，这两个算法是我们在解决AtCoder 中相关题目时常用的方法。
2. Prim 算法Prim 算法是一种贪心算法，其核心思想是以一个顶点作为起点开始，逐步选择与当前生成树相邻且权值最小的边，直到所有顶点都被包含在生成树中。
在 AtCoder 的题目中，我们可能会遇到需要使用 Prim 算法求解最小生成树的情况。
某道题目给定了一个带权无向连通图，要求我们找到其最小生成树的权值之和，这时我们就可以考虑使用Prim 算法来解决。
3. Kruskal 算法Kruskal 算法也是求解最小生成树的常用算法之一，其思想是先将图中的边按权值从小到大排序，然后依次加入权值最小且不形成环的边，直到生成树中包含所有顶点为止。
在 AtCoder 的题目中，有时会要求我们使用 Kruskal 算法求解最小生成树的权值之和，这时我们需要对题目中的边进行排序并且判断是否形成环，从而得到最小生成树的权值。
4. AtCoder 相关题目在 AtCoder 的比赛中，经常会见到一些与最小生成树相关的题目，这些题目可能涉及到图论、树的搜索和动态规划等知识。
在解决这些题目时，我们需要结合 Prim 和 Kruskal 算法来思考，同时考虑到题目背景和限制条件，灵活选择合适的算法求解。
数学建模最小生成树例题
数学建模最小生成树例题例题1：某城市计划建设一条高速公路，需要在若干个村庄之间选择一条最优路径。
已知各个村庄之间的距离，请使用最小生成树算法为高速公路选择最优路径。
参考答案：最小生成树算法可以用于解决此类问题。
常用的最小生成树算法有Kruskal算法和Prim算法。
1. Kruskal算法：按照边的权重从小到大排序，依次将边加入生成树，如果加入的边与已选择的边不构成环，则加入，否则不加入。
2. Prim算法：首先选择权重最小的边加入生成树，然后从剩余的边中选择一条与已选择的边相连且权重最小的边加入生成树，直到所有边都加入生成树。
例题2：一个通信网络由若干个节点和边组成，节点代表城市，边代表通信线路。
已知各个城市之间的距离和通信需求，请使用最小生成树算法为该通信网络设计一个最优的通信线路网。
参考答案：最小生成树算法可以用于解决此类问题。
通过最小生成树算法，我们可以找到一个包含所有节点且边的总权重最小的树形结构，以满足各个城市之间的通信需求。
常用的最小生成树算法有Kruskal算法和Prim算法。
1. Kruskal算法：按照边的权重从小到大排序，依次将边加入生成树，如果加入的边与已选择的边不构成环，则加入，否则不加入。
2. Prim算法：首先选择权重最小的边加入生成树，然后从剩余的边中选择一条与已选择的边相连且权重最小的边加入生成树，直到所有边都加入生成树。
例题3：一个城市的电力网由多个节点和边组成，节点代表发电厂或变电站，边代表输电线路。
已知各个节点之间的电抗和传输功率，请使用最小生成树算法为该城市电力网设计一个最优的输电线路。
参考答案：最小生成树算法可以用于解决此类问题。
通过最小生成树算法，我们可以找到一个包含所有节点且边的总电抗最小的树形结构，以满足各个节点之间的电力传输需求。
常用的最小生成树算法有Kruskal算法和Prim算法。
1. Kruskal算法：按照边的电抗从小到大排序，依次将边加入生成树，如果加入的边与已选择的边不构成环，则加入，否则不加入。
最小生成树问题
最小生成树问题
最小生成树问题是指在连接有n个点的图的所有n-1条边中，找到一棵边权和最小的树，这棵树包含了图中所有的点，并且所有点之间都是通过这些边相互连接的。
最小生成树问题可以用来解决一些实际问题，比如网络规划、电力传输、通信网络等。
在计算机领域中，最小生成树问题通常可以用来解决分布式系统中的数据同步问题、数据中心间的通信问题等。
常用的解决最小生成树问题的算法有Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法是一种贪心算法，它从一个初始点开始，每次选择与当前生成树相连的边中权值最小的边，并且将该边连接的点加入到生成树中。
重复这个过程，直到生成树包含了所有的点为止。
Kruskal算法是一种基于并查集的贪心算法。
它将所有边按照权值从小到大排序，然后依次遍历每条边，如果这条边连接的两个点不在同一个连通分量中，则将这条边添加到最小生成树中，并合并这两个连通分量。
重复这个过程，直到生成树包含了所有的点为止。
最小生成树问题是一个经典的优化问题，可以使用上述的两种算法来解决。
其中Prim算法的时间复杂度为O(n^2)，Kruskal
算法的时间复杂度为O(m log n)，其中n表示点的个数，m表示边的个数。
最小生成树题目
最小生成树文档========1. 图的表示和基本操作-----------在图论中，图是由顶点（vertices）和边（edges）组成的一种结构。
顶点通常用V表示，边用E表示。
一个边连接两个顶点，可以用一个有序对(u, v)表示一条从顶点u到顶点v的边。
无向图中的边没有方向，而有向图中的边有方向。
在图的操作中，常见的有添加/删除顶点，添加/删除边，查找顶点等。
在最小生成树算法中，主要涉及到的操作有添加/删除边，查找顶点等。
2. 最小生成树的定义和性质----------------最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）是指一个连通无向图中，一个连接所有顶点的子图，使得所有边的权值和最小。
最小生成树具有如下性质：* 最小生成树是连通的，即任意两个顶点之间都有路径相连。
* 最小生成树的边数等于V-1，其中V是顶点的数量。
* 最小生成树的权值和等于所有边的权值和。
4. Kruskal算法---------Kruskal算法是一种基于贪心策略的最小生成树算法。
算法步骤如下：1. 将所有的边按照权值从小到大排序。
2. 初始化一个空的森林F。
3. 从第一条边开始，遍历所有的边，如果这条边的两个顶点在森林F中不连通，则将这条边加入森林F中，否则忽略这条边。
4. 如果森林F中的顶点数不等于V，则返回步骤3。
否则，森林F就是最小生成树。
Kruskal算法的时间复杂度为O(ElogE)，其中E是边的数量。
该算法具有稳定性和可并行性。
但是由于需要维护森林的数据结构，实际实现起来比较复杂。
5. Prim算法-------Prim算法是一种基于贪婪策略的最小生成树算法。
算法步骤如下：1. 初始化一个空的集合C，用于存储已经访问过的顶点。
2. 从任意一个顶点开始，将其加入集合C中。
3. 对于每一个顶点v，计算它到集合C中所有已经访问过的顶点的最小距离。
将距离最小的边对应的顶点加入集合C中。
4. 如果集合C中的顶点数不等于V，则返回步骤3。
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Y
T←T+ {ek},
k←k+1 w←w+wk,
t←t+1,k←k+1
2020/12/13
Prim法求最小支撑树
Kruskal法盯住边,而Prim法更注意顶点: 从任一顶点开始都可以,逐个把最近的顶点找进来(找过的不找,
就不会成圈)。 算法如下: S1:T←{v1}, S←V\{v1}, w←0
否则转S5 S5: T←T∪{ek},w←w+wk,
t←t+1, k←k+1,转S3 S6:输出T及w，结束。 T为最小树，w为T的权。这个算
法叫Kruskal算法(避圈法)
START
E的权排序w1≤w2≤…≤wm w←0,T←φ,k←1,t←0
t=n-1?
Y
N
T’←T∪{ek}
T’成圈? N
பைடு நூலகம்
END
S2:若S=φ转S5,否则转S3
设 S3::m vvij STin{w(vivj)}w(vlvk)
S4:T←T∪{vk},S←S\{vk},w←w+w(vlvk),转S2 S5:输出T及w,停止.
2020/12/13
用Prim算法(就近法)求赋权连通图G的最小树
TTTT=={={=vv{{11vv,,1v1v2},2,v,v,v2v233,},v,vv355},,,vvv566,}v7},v4}
最小生成树问题
2020/12/13
赋权连通图的最小支撑树
边的权:G=(V,E)对每边ei∈E规定一个非负的实数w(ei)叫“权”； 带权图:每边都有权的图叫赋权图或带权图； 树:其特点之一是边数比顶点数少一； 图G的支撑树T:E(T)E(G),V(T)=V(G),即由G找T，顶点一个不能少，
边可能删去几条，但T必须是树[当然如G不是连通图，则没有支撑树]。 最小树:赋权的连通图G的众多支撑树中必至少有一，其各边权之和为
最小的，它就叫G的一棵最小支撑树或最小生成树；简称最小树或最短 树[管线铺设]。 最小树的存在性：赋权的连通图G =(V,E),记m=|E|, n=|V|,支撑树T的 边数|E(T)|=n-1,E(T)必为V的n-1元子集，显然这种子集合最多 个，所以支撑树是有限的，其权组成有限集，必有最小的[但可能C mn不1 唯 一]。
2020/12/13
求最小树的Kruskal算法
赋权的连通图G=(V,E)中 m=|E|,n=|V|,
S1:对E中各边的权排序，设 w1≤w2≤…≤wm,wi=w(ei)
S2:初始化：
w←0,T←φ,k←1,t←0
S3:若t=n-1则转S6，否则转S4 S4:若T∪{ek}有圈则k←k+1转S4，
S={v2,v3,v4,v5,v6,v7}
V2
5
V6
4
2
9
12
V1
3
8
V3
6
4
5
6
V5
V7
10 7
7
11
2020/12/13
V4
∴最小树的权为24，最小树为 Tree={v1v2,v1v3,v2v5,v5v6,v6v7,v6v4}