微分概念及性质

这要从函数的增量 这要从函数的增量说起 函数的增量说起． 说起． 在点 x0 处 ， 当 x 有增量 ∆x 时 ， 函数 f ( x ) 产生相应的增量 ∆f = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
∆x 的线性函数 f ′( x0 )∆x 称为 f ( x ) 在点 x0 的微分 .
记作
由此得到计算函数增量的一个近似公式： 由此得到计算函数增量的一个近似公式： 或者
f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) − f ′( x0 ) ∆x =0. ∆x →0 ∆x 这就是说 当 ∆x → 0 时 ， = lim
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ≈ f ′( x0 )∆x .
上式可以写成
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
微分 df (x0 )=f ′( x0 ) ∆x 的 特点 ：
1. 特别简单： 特别简单：是线性函数． 是线性函数． 2. 非常有用： 非常有用：能很近似地表示函数增量． 能很近似地表示函数增量．
世界上最美好的事情就是： 世界上最美好的事情就是：既简单又好用． 既简单又好用．
∆f = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) = f ′( x0 )∆x + o(∆x) .
3. 当 ∆x 很小时 ， 微 分可 以 作为 函数 增量 的 近似 值 ，
近似效果很好： 近似效果很好：∆f − f ′( x0 ) ∆x = o( ∆x) . 4. 相对于函数增量 ∆f ， 微 分很 容 易计 算 .
小
结
因此当 ∆x 很小时 ， 下述 近似 计算 公式 非 常有 意义 ：
∆f = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ≈ f ′( x0 ) ∆x .
∆x →0
lim
∆f − a ⋅ ∆x =0. ∆x
1
也就是说， 当 ∆x → 0 时 ， 也就是说，
用 a∆x 作为 ∆f 的近似值所产生的误差 ∆f − a∆x
和 ∆x 相比较是高阶无穷小 .
或者说， 或者说，当 ∆x → 0 时 ， 用 a∆x 作为 ∆f 的近似值所产生的相对误差趋向于零 .
f ( x0 + ∆x ) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )∆x .
α = ∆f − f ′( x0 )∆x 和 ∆x 相比较是高阶无穷小 . ∆f = f ′( x0 )∆x + [∆f − f ′( x0 )∆x] = df ( x0 ) + α .
由 于 α 是 ∆x 的高 阶无 穷小 ，
f ( x) = f ( x0 ) + ∆f = f ( x0 ) + f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) .
5. 微分的最核心的意义在于 ： 当 ∆x 很小时 ， 可以用 ∆x 的线性函数 f ′( x0 )∆x 近似地代替函数增量 ∆f = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) .
1
∆f = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = f ′( x0 ) ∆x + o( ∆x ) .
函数微分 f ′( x0 ) ∆x 是 函 数 增 量 ∆f 主 要 部 分 、 线 性 部 分 .
函数微分 df = f ′( x0 ) ∆x 是函数增量 ∆f = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) 的线性主部 .
[ f ( x ) g ( x)]′ = f ′( x) g ( x) + f ( x) g ′( x)
d[ f ( x) g ( x)] = g ( x)df ( x) + f ( x)dg ( x)
dy =
dy du du
dy =
dy dx dx
dy =
dy du ⋅ dx . du dx
微分概念的等价表述 问题背景
函数的微分 函数的微分
5 微分概念及其性质
1．微分概念 2．微分的几何意义 3．微分对于近似计算的应用 4．微分运算法则
既不微小 既不微小、 微小、也不细分 也不细分的微分 细分的微分. 的微分. 什么是函数的微分 什么是函数的微分？ 函数的微分？微分有什么意义？ 微分有什么意义？ y y = −2 x 什么是是线性函数 线性函数？ 什么是是线性函数？ 首先从线性函数谈起． 首先从线性函数谈起．
α = ∆f − df ( x0 ) = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) − f ′( x0 )∆x .
∆x →0
lim
α
∆x
= lim
∆x →0
∆f − df ( x0 ) ∆x
∆f = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) = f ′( x0 )∆x + o(∆x) .
函数的“ 函数的“可导” 可导”与“可微” 可微”是同一个含义． 是同一个含义． 对于某个函数进行微分， 对于某个函数进行微分，就是求它的导数． 就是求它的导数．
f ( x) 在点 x0 处的微分 : df ( x0 )=f ′( x0 )dx . 特征： 特征： 1. 微分是 ∆x 的线性函数 ： a∆x ; a=f ′( x0 ) . 2. 微分是函数增量 ∆f 的主要部分 ; ∆f = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) = f ′( x0 )dx + o( ∆x) .
这称为“ 这称为“以直代曲” 以直代曲”．
dy
x0 + ∆x x
x0
3．微分对于近似计算的应用
∆f = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ≈ f ′( x0 ) ∆x .
或者
f ( x0 + ∆x) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )∆x
1
例 求 5 240 的近似值 . 解
假设自变量 x 在点 x0 处有微小增量 ∆x . 如何计算函数增量 ∆f = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ? 一般情形， 一般情形，这个问题可能比较复杂． 这个问题可能比较复杂．
因为 f ( x ) 比较复杂， 比较复杂，甚至没有具 体表达式 .
这里所说的最好效果， 这里所说的最好效果，就是
df ( x0 ) = a ⋅ ∆x
定理
f ( x ) 在点 x0 可微的充分必要条件是 f ( x ) 在点 x0 可导 . 当 f ′( x0 ) 存在时 , 有
df ( x0 ) = f ′( x0 )dx .
3
这个事实称为函数的局部线性化 这个事实称为函数的局部线性化． 局部线性化．
将其中的 ∆f = f ( x0 ) + f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) 改成微分，
得到另一个函数
y = f ( x0 ) + df ( x0 ) = f ( x0 ) + f ′( x0 )∆x .
它的图像是经过点 ( x0 , f ( x0 ) 、 斜率等于 f ′( x0 ) 的直线 .
2
4．微分运算法则
因为有了公式
df ( x0 ) = f ′( x0 )dx .
所以只要计算函数的导数， 所以只要计算函数的导数，就得到函数的微分． 就得到函数的微分． 因此原则上不需要再研究微分的运算法则． 因此原则上不需要再研究微分的运算法则． 但是为了使用方便， 但是为了使用方便，下面列出几个运算公式： 下面列出几个运算公式：
5
240 = 5 243 − 3 = 3(1 −
1
3 5 ) 243
1
当 x0=0 时,对于下列函数应用上述近似计算公式
ln(1 + x)
sin x
(1 + x)
3
就得到这些函数在点x0=0的改变量的近似公式:
ln(1 + x ) ≈ x
sin x ≈ x
1
(1 + x) 3 ≈ 1 +
x 3
考察函数 f ( x) = 3(1 + x) 5 , x0 = 0 , ∆x = − 3 243 3 计算得到: 计算得到: f (0) = 3 , f ′(0) = 5 3 近似公式 f ( x) ≈ f (0) + f ′(0) ⋅ ∆x = 3 + ∆x 5 3 3 = 3 + ⋅ (− ) ≈ 2.99259 5 243
y = 3x
y = ax 称为 x 的线性函数 .
这是世界上最简单的一类函数． 这是世界上最简单的一类函数． 它们的图形是通过原点的直线． 它们的图形是通过原点的直线．
y=1 2x
x
O
如果以 ∆x 为自变量 ， 线性函数就是
y = a ⋅ ∆x
微分概念的引出
假设 f ( x) 在点 x0 存在导数 f ′( x0 ) ,
′ f ( x ) f ′( x) g ( x) − f ( x) g ′( x) g ( x) = g ( x) 2
f ( x ) g ( x)df ( x) − f ( x)dg ( x) d = g ( x )2 g ( x)
d y dy du = ⋅ . dx du dx
可以取得很好的近似效果． 可以取得很好的近似效果． 这个事实解释如下： 这个事实解释如下 ： 考察函数增量与函数微分之差： 考察函数增量与函数微分之差：
因此 f ( x ) 在点 x0 的微分就是
df ( x0 )=f ′( x0 )dx .
“微分” 微分”有些什么特质， 有些什么特质，以至于人们如此钟情？ 以至于人们如此钟情？
6. 微分的直观意义
y
y = f ( x)
在点 ( x0 , f ( x0 ) 附近 ，