(最新整理)上海交通大学年数学分析考研试题

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数学类考研上海交大陈纪修《数学分析》配套考研真题

数学类考研上海交大陈纪修《数学分析》配套考研真题第一部分名校考研真题第1章集合与映射本章暂未编选名校考研真题，若有最新真题会及时更新。

第2章数列极限一、判断题1．对任意的p为正整数，如果，则存在。

（）[重庆大学研]【答案】错查看答案【解析】根据数列收敛的Cauchy收敛准则，可举出反例：，虽然对任意的但（也可说明）。

2．对数列和若是有界数列，则是有界数列。

（）[北京大学研]【答案】对查看答案【解析】设｜S n｜<M，则3．数列存在极限的充分必要条件是：对任一自然数p，都有（）[北京大学研]【答案】错查看答案【解析】反例：，但不存在．二、解答题1．[暨南大学2013研]解：利用定积分的定义求解．2．设数列满足条件：，且，证明数列无界.[华东师范大学2009研]证明：用反证法.假若数列有界，即存在，使得，则由条件知.由得，对，存在正整数，当时，有，，令，则，且，，（1）对（1）式两边取上确界，有，所以，这与矛盾，所以数列无界.3．求极限．[华中科技大学2008研]解：一方面显然，另一方面，且由迫敛性可知．注：可用如下两种方式证明．（1）令，则，所以，从而．（2）由，得．4．证明不存在．[兰州大学2009研]证明：取，则由于，所以不存在．5．（1）设数列为正的单调递减数列，且收敛，证明：．（2）设数列为正的单调递减数列，且收敛，证明：．[南开大学2011研]证明：（1）因为为正的单调递减数列，由单调有界定理得存在，由收敛，可知必有（p为任意正整数），对任意存在正整数,使得对任意正整数，成立在上式中，令，取极限，则得由的任意性，则得显然故有．（2）因为为正的单调递减数列，由单调有界定理知存在，由收敛，可知必有；对任意存在正整数,使得对任意正整数，成立在上式中，令，取极限，则得由的任意性，则得显然故有．6．设证明收敛，并求极限。

[华中科技大学2007研]证明：很明显，假设则又因为所以单调递增有上界，故极限存在。

新版上海交通大学数学考研经验考研真题考研参考书

一年就这样过去了，内心思绪万千。

一年很短，备考的经历历历在目，一年很长，长到由此改变了一个人的轨迹，并且成就一个梦想。

回忆着一年的历程，总想把它记录下来，希望可以给还在考研道路上奋斗的小伙伴们一点帮助。

考研是一个非常需要坚持的过程，需要你不断坚持和努力才能获得成功，所以你必须要想清楚自己为什么要考研，这一点非常重要，因为只有确认好坚定的动机，才能让你在最后冲刺阶段时能够坚持下来。

如果你只是看到自己周围的人都在考研而决定的考研，自己只是随波逐流没有坚定的信心，那么非常容易在中途就放弃掉了，而且现在考研非常火热，这就意味着竞争也会非常激烈，而且调剂的机会都会非常难得，所以备考时的压力也会比较大，所以大家一定要调整好心态，既不能压力太大，也不能懈怠。

既然选择了，就勇敢的走下去吧。

考研整个过程确实很煎熬，像是小火慢炖，但是坚持下来，你就会发现，原来世界真的是美好的。

文章整体字数较多，大家可视自己情况阅读，在文章末尾我也分享了自己备考过程中的资料和真题，大家可自行下载。

上海交通大学数学的初试科目为：(101)思想政治理论(201)英语一(614)数学分析和(828)高等代数参考书目为：1.《数学分析》（第二版）上、下，陈纪修等编，高等教育出版社，20042.《数学分析教程》上、下，常庚哲、史济怀著，高等教育出版社，20033.《高等代数》（第四版），北京大学数学系编，高等教育出版社，20134.《高等代数与解析几何》（第三版）上、下，孟道骥编，科学出版社，2014年先说英语吧。

词汇量曾经是我的一块心病，跟我英语水平差不多的同学，词汇量往往比我高出一大截。

从初中学英语开始就不爱背单词。

在考研阶段，词汇量的重要性胜过四六级，尤其是一些熟词僻义，往往一个单词决定你一道阅读能否做对。

所以，一旦你准备学习考研英语，词汇一定是陪伴你从头至尾的一项工作。

考研到底背多少个单词足够？按照大纲的要求，大概是5500多个。

实际上，核心单词及其熟词僻义才是考研的重点。

上海交通大学《高等代数》《数学分析》历年考研真题汇总(2009-2018真题汇编)

(x − 1)n | (f (x) + 1), (x + 1)n | (f (x) − 1).
Ê! V •ê• F þ n ‘‚5˜m, A • V þ ‚5C†÷v A 3 − 2A 2 − A = −2id, Ù¥ id • V þð C†.
(1) A ´ÄŒé z, e´, žy². (2) - V1 = {(A − 2id)v | v ∈ V }, V2 = {(A 2 − id)v | v ∈ V }. y²: V = V1 ⊕ V2.
8
5 þ° ÏŒÆ 2015 ca¬ïÄ)\Æ•ÁÁK£828 p “ê¤
9
6 þ° ÏŒÆ 2018 ca¬ïÄ)\Æ•ÁÁK£828 p “ê¤
10
7 þ° ÏŒÆ 2010 ca¬ïÄ)\Æ•ÁÁK( 614 êÆ©Û)
11
8 þ° ÏŒÆ 2011 ca¬ïÄ)\Æ•ÁÁK( 614 êÆ©Û)
16
3
1. 2010年þ° ÏŒÆ828《高等代数》a¬ïÄ)\Æ•ÁÁK
˜! ( 20 ©) OŽ1 ª
an1
an2
(1) Dn+1 =
...
an1 −1b1 · · ·
an2 −1b2 · · · ...
ann+1 ann−+11bn+1 · · ·
1 + a1 + b1 a1 + b2
a1bn1 −1
›˜! A ´ n ‘î¼˜m¥ f˜m.
C†, V1 ´ V A − ØCf˜m. y²: V1
Ö•´ V A − ØC
› ! A, B þ• n ¢é¡ , y²: AB A ŠÑŒu".
4

985院校数学系2019年考研数学分析高等代数试题及部分解答

B 7 ! AB BA
, 2. 定义 Mn.C / 上的变
(1)求变换 T 的特征值. (2)若 A 可对角化，证明 T 也可对角化.
四.(20 分) A 为 n 阶实对称矩阵，令
S D fX jX T AX D 0, X 2 Rng
(1)求 S 为 Rn 中的一个子空间的充要条件并证明. (2)若 S 为 Rn 中的一个子空间，求 di mS .
C pn n
二.(15 分) 设 f .x/ 2 C Œa, b，f .a/ D f .b/，证明 9xn, yn 2 Œa, b, s.t . lim .xn yn/ D n!1 0，且 f .xn/ D f .yn/.
三.(15 分) 证明
Xn .
kD0
1/k
Cnk
k
C
1 m
C
1
D
X m .
kD0
1/k
Cmk
k
C
1 n
C
1
其中m, n是正整数
Y 1
X 1
四.(15 分) 无穷乘积 .1 C an/ 收敛，是否无穷级数 an 收敛？若是，证明这个
nD1
nD1
结论；若不是，请给出反例.
X 1
ż1
五.(15 分) 设 f .x/ D xn ln x，计算 f .x/dx.
0
nD1
六.(15 分) 设定义 .0, C1/ 上的函数 f .x/ 二阶可导，且 lim f .x/ 存在，f 00.x/ 有 x!C1 界，证明 lim f 0.x/ D 0. x!C1
(1)证明存在正交矩阵 P 使得
0
P T AP
D
BB@
a 0
0
1

(完整)上海交通大学2002年数学分析考研试题

(完整)上海交通大学2002年数学分析考研试题上海交通大学2002年数学分析考研试题一判断题（以下个题,对的要证明，错的要举反例并说明理由，每题6分，共24分） 1．若n n n b x a ≤≤，N n ∈而数列{}n x 收敛,()∞→→-n a b n n 0则数列{}n a ，{}n b 必都收敛。

2．若函数()x f 在R 上连续且有界，则()x f 在R 上必一致连续.3．若函数()x f 恒正连续,且无穷积分()⎰+∞a dx x f 收敛，则必有()0lim =+∞→x f x 。

4．若函数列(){}x f n ，(){}x g n 均在区间I 上一致收敛，则(){}x f n ,(){}x g n 必在I 上一致收敛。

二（10分）设()x f 在[)+∞,a 上连续,()x g 在[)+∞,a 上一致连续，且()()[]0lim =-+∞→x g x f x 证明()x f 在[)+∞,a 上一致连续。

三(10分）设()x f 在R 上二次可导，()0 x f ''。

又存在一点0x 使()00 x f ，且 ()0lim a x f x ='-∞→ , ()0lim b x f x ='+∞→ 证明()x f 在R 上有且仅有两个零点.四（10分)设()x f 在R 上连续，又()()()dt t f x f x x⎰⋅=0ϕ单调递减,证明()0=x f ,R x ∈ 五（16分）讨论级数（1）p n n n e n ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∑∞=1111，R p ∈ （2）n nx n n sin 1...2111∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++，()π x 0的敛散性. 七（10分）称()x f 在点0x 处严格递增，是指00 δ∃，()0000,δδ+-∈∀x x x ,0x x 时，()()0x f x f 而当0x x 时()()0x f x f 。

上海交大高等代数+数学分析历届考研真题.

上海交通大学1999年硕士研究生入学考试试题试卷名称：高等代数1．（10分）设P 为数域。

()()[]x P x g x f ∈,令()()()()()x g x x x f x X F 1122++++=；()()()()x g x x xf x G 1++=。

证明：若()x f 与()x g 互素，则()x F 与()x G 也必互素。

2．（10分）设J 为元素全为1的阶方阵。

（1）求J 的特征多项式与最小多项式；（2）设()x f 为复数域上多项式。

证明()J f 必相似于对角阵。

3．（10分）（1）设n 阶实对称矩阵()ij x A =，其中1+=j i ij a a x 且0...21=+++n a a a ，求A 的n 个特征值。

（2）设A 为复数域上n 阶方阵。

若A 的特征根全为零，证明：1=+E A 。

此处E 为n 阶单位阵。

4（10分）设()x f 是数域F 上的二次多项式，在F 内有互异的根21,x x ，设A 是F 上线性空间L 的一个线性变换且I x A 1≠，I x A 2≠（I 为单位变换）且满足()0=A f ，证明21,x x 为A 的特征值；且L 可以分解为A 的属于21,x x 的特征子空间的直和。

5（10分）用正交线性变换将下列二次型化为标准形，并给出所施行的正交变换：32312123222184422x x x x x x x x x ++---6（10分）对的不同取值，讨论下面方程组的可解性并求解：7（10分）假设A 为n m ⨯实矩阵，B 为1⨯n 实矩阵，TA 表示A 的转置矩阵。

证明：（1） AB=0的充要条件是0=AB A T；（2）矩阵A A T与矩阵A 有相同的秩。

8（10分）设p A A A ,...,,21均为n 阶矩阵且0...21=p A A A 。

证明这p 个矩阵的秩之和小于等于()n p 1-，并举例说明等式可以达到。

上海交大2004考研数学分析

2004年上海交通大学数学分析一（14）设lim n n a a →∞=，证明22lim221anna a a n n =+++∞→ 证因2n x n =∞ ，故利用Stolz 公式，11limlim n n n n n n n ny y yx x x +→∞→∞+-=-，得12112222(1)1limlim lim lim (1)212n n n n n n n a a na n a n aa n n n n ++→∞→∞→∞→∞+++++===+-+ 二（14）证明2sin()x 在[)+∞,0上不一致连续.证因n x =n y =22sin sin 1n n x y -=，0n n x y -=-=→，故2sin()x 在[)+∞,0上不一致连续.三（14）设)(x f 在[]a 2,0上连续，且)0(f ＝)2(a f ，证明∃0x ∈[]a ,0，使)(0x f ＝)(0a x f +证作()()()g x f x a f x =+-（[]0,x a ∈），则()g x 在[]0,a 上连续，因)0(f ＝)2(a f ，故(2)(0)g a g =-，情形1 若(0)0g =，则取00x =，则)(0x f ＝)(0a x f +，情形2 若(0)0g ≠，则因2(2)(0)(0)0g a g g =-<，故由介值定理知，存在[]00,x a ∈，使得0()0g x =，即)(0x f ＝)(0a x f +.四（14）证明不等式x π2＜x sin ＜x ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx证作sin ()x f x x =，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则因22cos sin cos ()(tan )0x x x xf x x x x x-'==-<，故sin ()x f x x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上严格单调减少，而0lim ()1x f x →=，π22lim ()πx f x →=，因此，在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上，有2sin ()1πx f x x <=<，即x π2＜x sin ＜x .五 (14) 设()d af x x +∞⎰收敛,且)(x f 在[)+∞,a 上一致连续，证明)(lim x f x +∞→= 0.证因)(x f 在[)+∞,a 上一致连续，故0ε∀>，0δ∃>，使得当[)12,,t t a ∈+∞且12t t δ-<时，有12()()2f t f t ε-<，令(1)()d a n n a n u f x x δδ++-=⎰，则由积分第一中值定理得，[](1),n x a n a n δδ∃∈+-+，使得(1)()d ()a n n n a n u f x x f x δδδ++-==⎰.因()d af x x +∞⎰收敛，故级数1n n u ∞=∑收敛，从而0n u →，即()0n f x δ→，也即()0n f x →，故对上述的ε，存在N +∈ ，使得当n N >时，()2n f x ε<.取X a N δ=+，则当x X >时，因[)[)0,(1),k x a a k a k δδ∞=∈∞=+-+故存在惟一的k +∈ ，使得[)(1),x a k a k δδ∈+-+，易见k N >，且k x x δ-<，从而()()()()22k k f x f x f x f x εεε≤+-<+=六（14）设211n x n -=，121d n n n x x x +=⎰，1,2,n = ，证明级数()∑∞=--111n nn x 收敛.解. 11211d ln |ln(1)n n n n nx x x x n ++===+⎰，因2121n nS S k+=+，故只要证 ()1211111ln(1)nnk n k k k S x kk -==⎡⎤=-=-+⎢⎥⎣⎦∑∑22111()2n k k k =⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑ 收敛即可.七（14）设)(x f 在[]1,0上连续，)1(f = 0 ,n n x x f x g )()(= ，1,2,n = ，证明)}({x g n 在[]1,0上一致收敛.八（12）设()f x 在[]1,0上连续，证明10lim ()d n n n x f x x →∞⎰＝)1(f .证（1）（令n t x =，则10()d n n x f x x ⎰111()d n nt f t t =⎰，（2）因()f x 在[]1,0上连续，故0M ∃>，使得()f x M ≤，[]0,1x ∈，（3）0ε∀>，记3a Mε=，不妨设01a <<，则11110()d ()d d 3aa an nnnt f t t t f t t M t Ma ε≤≤==⎰⎰⎰，（4）111111111()d (1)[()(1)]d ()(1)d n nnnnnaa at f t t f tf t f t t f t f t -=-≤-⎰⎰⎰11111()(1)(1)(1)d nnnnat f t t f t f f t =-+-⎰1111()(1)d (1)1d nnaaf t f t f t t ≤-+-⎰⎰（5）因()f x 在[]1,0上连续，故()f x 在[]1,0上一致连续，故对上述的正数ε，0δ∃>，当[]12,0,1x x ∈且12x x δ-<时，有12()()3(1)f x f x a ε-<-（6）因1lim 1nn a →∞=，记min{,}3(1)M a εεδ*=-，则存在正整数N ，使得当n N >时，有11na ε*-<，（7）当(,1)t a ∈时，有111111nnnt t a -=-≤-，从而当n N >时，有1111()(1)d (1)1d 33nnaaf t f t f t t εε-+-<+⎰⎰（8）由（3）和（7）知，当n N >时，有1110()d (1)nnt f t t f -⎰1111102()d ()d (1)33an n n na t f t t t f t t f εεε≤+-<+=⎰⎰九（12）设1a >0，1+n a ＝n a ＋n a 1，证明n ＝1证（1）要证n ＝1 ，只要证2lim 12nn a n →∞=，即只要证221lim 1(22)2n nn a a n n +→∞-=+-，即证221lim()2n n n a a +→∞-= （2）因1+n a ＝n a ＋n a 1，故110n n n a a a +-=>，1211n n na a a +=+ 2211112211()()112n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a +++++-=-+==++=+ 因此只要证21lim0n na →∞=，即只要证lim n n a →∞=∞ （3）由110n n na a a +-=>知，{}n a 单调增加，假如{}n a 有上界，则{}n a 必有极限a ，由1+n a ＝n a ＋n a 1知，a ＝a ＋1a，因此10a =，矛盾. 这表明{}n a 单调增加、没有上界，因此lim n n a →∞=∞. （证完）十（28）计算下述积分：1．d x y ⎰⎰，其中D 是矩形区域x 1≤，20≤≤y解记21{(,)|1,02,0}D x y x y y x =≤≤≤-≤22{(,)|1,02,0}D x y x y y x =≤≤≤≤-，2d d d DD D x y x y x y =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰2112221122211d ()d d ()d x x x x y y x y x y --=-+-⎰⎰⎰⎰332211221122()d (2)d 33x x x x --=+-⎰⎰ 332211220044()d (2)d 33x x x x =+-⎰⎰ π143400416d cos d 33x x t t =+⎰⎰()x t =这里 π2401161cos2d 332t t +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰ π40141cos412cos2d 332t t t +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰ π40143sin 4sin 23328t t t ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦ 143ππ5133823⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭ 2．22d d ()d d d d Syz y z x z y z x xy x y +++⎰⎰，其中S 是曲面224z x y +=-上0≥y 的那部分正侧.解记22{(,,)|4,0}x y z x z y ∑=+≤=（取下侧），22{(,,)|04}V x y z y x z =≤≤--，则V S ∂=+∑，由高斯公式知，2222d d ()d d d d ()d d d 0SS Vyz y z x z y z x xy x y x z x y z +∑∑+++=-=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2242222()d d d d ()d d Vx z x z x y z yx z x z +=+=+⎰⎰⎰⎰42012π(4)d 4y y =-⎰ 430π32π(4)63y ⎡⎤=--=⎣⎦。

陈纪修《数学分析》（第2版）（下册）名校考研真题-曲线积分、曲面积分与场论（圣才出品）

陈纪修《数学分析》（第2版）（下册）名校考研真题-曲线积分、曲面积分与场论（圣才出品）第14章曲线积分、曲面积分与场论1．计算为取逆时针方向．[南开大学2011研]解：记因为P与Q在点（0，0）处都无定义，则不能直接应用格林公式．在L围成的区域内取一闭曲线L1:（取逆时针方向）,则在L与L1围成是区域内可以应用格林公式．由于则由Green公式知，则2．求第一型曲面积分其中h≠R．[浙江大学研]解：令其中且3．计算其中[湖南大学研]解：令所以4．求常数λ，使得曲线积分对上半平面内任何光滑闭曲线L成立．[北京大学研]解：记由题设知，所考虑积分在上半平面内与路径无关，所以，即即即所以λ=．5．设为xy平面上具有光滑边界的有界闭区域且u为非常值函数及证明[武汉大学研]证明：因在上，u=0．故所以又u为非常值函数，故再注意到的连续性，所以6．计算其中∑为圆柱面被z=0，z=3截的部分外侧．[北京航空航天大学研]解：分别补充圆柱体的交面记P=x，Q=y，R=z，由奥高公式而平面，yz平面；平面，yz平面，所以从而7．计算为[南开大学2011研]解：(对称性)8．计算曲线积分其中L是从（2a，0）沿曲线到点（0，0）的一段．[兰州大学2009研]解：曲线即记则所以所以由Green公式得9．计算，其中为圆柱面的部分，它的法线与ox轴正向成锐角；为xoy平面上半圆域：的部分，它的法线与oz轴正向相反．[上海交通大学研]解：如图14-1所示，补充则构成封闭曲面的外侧，由奥高公式其中则又，从而平面，平面，从而图14-110．计算曲线积分其中C是从A（－a，0）经上半椭圆到B（a，0）的弧段．[湖北大学研]解：记则所以此积分在上半平面内与路径无关，如图14-2所示取以（0，0）为心，a为半径的上半圆周，则。

上交考研数学分析真题试卷

上交考研数学分析真题试卷一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2在区间(-1,1)上的极限是：A. 1B. 0C. -1D. 不存在2. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...B. 1 + 1/2 + 1/3 + ...C. 1 - 1/2^2 + 1/3^2 - 1/4^2 + ...D. 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...3. 函数f(x)=sin(x)在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. -1D. 24. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x)=x^2B. f(x)=e^xC. f(x)=sin(x)D. f(x)=ln(x)二、填空题（每题3分，共15分）5. 若函数f(x)=x^3+2x^2-x+3，则f'(x)=________________。

6. 函数f(x)=x^2+1在x=2处的值是________________。

7. 函数f(x)=ln(x)在x=e处的导数值是________________。

8. 函数f(x)=x+1/x在x=1处的导数是________________。

9. 函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期是________________。

三、解答题（每题10分，共30分）10. 证明函数f(x)=x^3在R上是单调递增的。

11. 求函数f(x)=x^2-4x+4在区间[0,6]上的最大值和最小值。

12. 求函数f(x)=e^x的n阶导数。

四、证明题（每题15分，共30分）13. 证明函数f(x)=x^2在R上是连续的。

14. 证明函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间(1,2)内存在零点。

五、综合题（每题25分，共25分）15. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求其在区间[1,3]上的定积分，并讨论其几何意义。

参考答案：一、选择题1. B2. C3. B4. C二、填空题5. 3x^2+4x-16. 57. 1/e8. -19. 2π三、解答题10. 证明略11. 最大值f(2)=1，最小值f(6)=512. f^(n)(x)=e^x四、证明题13. 证明略14. 证明略五、综合题15. 定积分值为-2，几何意义为曲线y=x^2-4x+3与x轴在区间[1,3]上所围成的面积。

2019上海交通大学数学考研614数学分析与828高等代数考研真题试卷

2019上海交通大学数学考研614数学分析与828高等代数考研真题试卷《2019上海交通大学考研828高等代数复习全析》（含真题，共五册）全书内容紧凑权威细致，编排结构科学合理，为参加2019上海交通大学考研的考生量身定做的必备专业课资料。

《2019上海交通大学考研828高等代数复习全析》本书依据以下参考书目：《高等代数》（北大数学系第四版）《高等代数与解析几何》（孟道骥第三版，下册）《高等代数与解析几何》（孟道骥第三版，下册）-----------2018上海交通大学官方指定参考书目------------《高等代数》（第四版）北京大学数学系编高等教育出版社2013《高等代数与解析几何》（第三版）上、下孟道骥编，科学出版社，2014年本书旨在帮助报考上海交通大学考研的同学通过教材章节框架分解、配套的课后/经典习题讲解及相关985、211名校考研真题与解答，帮助考生梳理指定教材的各章节内容，深入理解核心重难点知识，把握考试要求与考题命题特征。

通过研读演练本书，达到把握教材重点知识点、适应多样化的专业课考研命题方式、提高备考针对性、提升复习效率与答题技巧的目的。

同时，透过测试演练，以便查缺补漏，为初试高分奠定坚实基础。

适用院系：数学科学学院：数学适用科目：828高等代数内容详情本书包括了以下几个部分内容：Part 1 - 考试重难点：通过总结和梳理《高等代数》（北大数学系第四版）、《高等代数与解析几何》（孟道骥第三版，上册）、《高等代数与解析几何》（孟道骥第三版，下册）等教材的各章节复习和考试的重难点，建构教材宏观思维及核心知识框架，浓缩精华内容，令考生对各章节内容考察情况一目了然，从而明确复习方向，提高复习效率。

Part 2 - 教材配套经典习题与解答：针对《高等代数》（北大数学系第四版）、《高等代数与解析几何》（孟道骥第三版，上册）、《高等代数与解析几何》（孟道骥第三版，下册）等教材的经典习题配备详细解读，以供考生加深对教材基本知识点的理解掌握，做到对上交考研核心考点及参考书目内在重难点内容的深度领会与运用。

3上海交通大学2002年硕士研究生入学考

1、上海交通大学2000年硕士研究生入学考试数学分析试题一、判断题(以下各题，对的证明，错的要举反例并说明理由) 1、f(x)在(a,b)连续的充分必要条件是对任意的闭区间［a ,P ］u (a,b) , f(x)在［a , P ］上一致连续。

解：正确，证明：因为f(x)在(a, b)连续，有对任意的闭区间［ot ,P ］匚(a,b)，f(x)在［ot ,P ］连续，所以f (x)在［sP ］上一致连续;对任意的X 0忘(a,b)，存在X , ,X 2忘(a,b)，满足x , < x 。

c x ?，由题设有f (x)在［X i ,X 2］上一致连续，更有f (x)在［x i ,x 2］上连续，即有f (x)在X 0上连续，故f(x)在(a,b)连续。

2、f(X)在X 0可导的充分必要条件f(x)在x o 既有右可导又有右可导。

解：错，例：f(x)，f 』0) = lim £(""(0)=1, f 70^ lim -f(X ^f(0)X , X c 0 T* X I 0+f (x)在X = 0处既有右可导又有右可导，但f (x)在X = 0处不可导。

3、可积函数的复合函数也为可积函数。

「1g(x)在m 可积，但f(g(x))=b 在［0'1］不可积。

4、若送a n 收敛，则送(-1)na n 收敛。

n ¥n zt4 比处1错，例：a n =(-1)7，Z a ^ (-1)n 1收敛,nn 三 nrn n计算并证明下列各式 lim J 2sin n xdx 。

『0 x =0解：错，例 f(x)=4，， g(x)=« U ，X H 01 q—,x= —,( p,q)=1 P P0,为黎曼函数, 显然f (X)，解: 但 Z (-1)n a n =I ：-发散。

解：对任意的1 ^>0,)f (x)dx = f (H ) U (X -¥)dx = f (H )1 (字)2，2 2 2 2又f(x)在［a,b ］上递增和心,『sin n xdx =J 02 Exdx+jgjnFM f 2sin n -0xdx + 瓷 -sin nxdxJI由积分中值定理存在0宀汁使得I 2%in n xdx = (sin n ©)『 dx ，且0 <sin E <1，所以sin nE T 0，即存在 N 》0，当n 》N 时,故当n A N 时,sin即 n m 『sin nxdx=0 o2、求函数U =x yz的全微分。