空间直线、平面的垂直_课件

________.
0°≤a≤90 °
所以空间两条直线所成角α的取值范围是___°_____________.
[教材解难] 求异面直线所成的角的步骤 (1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法， 遇题设中有中点 ， 常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平 移 有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交 直线. (2)求——转化为一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找 的 角.
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高中数学必修2
第八章 立体几何初步
空间直线、平面的垂直
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教学目标
异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的定义 ； 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定定理，异 面 直线所成角、直线和平面所成的角、二面角及其求法； 异面直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定 理 的综合应用．
(2)因为ABCD-A'B'C'D'是正方体，所以BB'∥CC, 因此∠A'BB'为直线 BA'与
CC'所成的角. 又因为∠A'BB'=45°, 所以直线BA'与CC所成的角等于 45°.
(3)如图8.6-4,连接A'C', 因为ABCD-A'B'C'D'是正方体，所以AA'⊥CC'. 从
而四边形AA'C'C是平行四边形，所以AC//A'C.于是∠BA'C'为异面
拓展练习
例 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E, F分别是A1B1, B1C1的中点 ， 求异面直线DB1与EF所成的角的大小.
[解] 方法一 如图所示， 连接A1C1, B1D1, 并设它们相交于点O ， 取DD1的中点G, 连接OG, A1G, C1G, 则OG// B1D，EF//A1C1, ∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角) ∵GA1=GC1, O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1. ∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
方法四: 如图，在原正方体的右侧补上一个与其大小相等的正方体 ， 连接B1Q，易得B1Q// EF, ∴∠DB1Q就是异面直线DB1与EF所成的角(或其补角).
方法归纳 求异面直线所成角的步骤 一作: 选择适当的点，用平移法作出异面直线所成的角; 二证: 证明作出的角就是要求的角； 三计算: 将异面直线所成的角放入某个三角形中，利用特殊三角 形 求解.
方法归纳 证明直线与直线垂直的方法 ①等腰三角形中线即是高线 . ②勾股定理. ③异面直线所成的角为直角 .
证明: 如图，取AC的中点F, 连接DF, EF,
在△PAC中，∵D是PC的中点，F是AC的中点， ∴DF//PA, 同理可得EF// BC, ∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角 ). 在△DEF中，DE=3,
2.分类
(1)从有无公共点的角度来看，可分为两
类 有且仅有一个公共点:相交直
直线 线
平行直线
无公共点
异面直线
(2)从是否共面的角度来看，可分为两
类
相交直线
直线 共面直线 平行直线
不共面直线:异面直
直线与直线垂直
1.如图，己知两条异面直线a, b经过空间任一点O分别作直线
a'∥a,
异面直线a与b所成的
(2)与直线AB异面且垂直的直线有___4_条;
(3)与直线AB和A'D'都垂直的直线有____条; 1
方法二 如图所示，连接A1D, 取A1D的中点H, 连接HE，则HE∥
∴∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角 ).
方法三:如图，连接A1C1, 分别取AA1, CC1的中点M, N,连接 MN. ∵E, F分别是A1B1, B1C1的中点， ∴EF//A1C1, 又MN// A1C1, ∴MN// EF. 连接DM, B1N, MB1, DN, 则B1N//DM, ∴四边形DMB1N为平行四边形，∴MN与DB1必相交， 设交点为P，则∠DPM 为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角 ).
教学重点 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的求解 ；异面直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定 ．
教学难点 找异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角 ；异面直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定 定 理的应用．
引入
空间中两条直线的位置关系 1.空间两条直线的位置关系有三种:平___行__直__线___、相__交__直__线___、 异___面__直__线__.
b'∥b, 我们把直线a'与b'所成的角叫做角_________________________
(或夹角).
2.范围:___0_°_<__θ_≤__9____.
3.当θ=_9_00__°时，a与b互相垂直，记作a__⊥____.
异面直° 线所成角的范围是0°<θ≤90b°，所以垂直有两种情
况：
4.当异两面条垂直直线和a相,b交相垂互直平. 行时，我们规定它们所成的角为 0
1.判所下列命题是否正确, 正确的在括号内画"√".错误的画
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(1)如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直，那么另一条
也
与已知直线垂直
.
()
(2)垂直于同一条直线的两条直线平
行
()
2.如图, 在长方体ABCD-A'B'C'D'的各条棱所在直线
中.
8
(1)与直线AB垂直的直线有____条; 4
例1如图8.6-3, 已知正方体ABCDA'B'C'D'. (1)哪些棱所在的直线与直线 AA'垂直？ (2)求直线BA'与CC'所成的角的大小. (解3):求(1直)棱线ABBA, 'B与CA, CCD所, 成DA的,角A'的B'大, B小'C.', C'D', D'A'所在直线分别与直线AA'垂 直.
例2如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心 ， 求证AO1⊥BD.
[证明] 如图，连接B1D1 ∵ABCD-A1B1C1D1是正方体, ∴BB1∥DD1. ∴四边形BB1D1D是平行四边形, ∴B1D1// BD. ∴直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所 成 的角. 连接AB1, AD1, 易证AB1=AD1. 又O1为底面A1B1C1D1的中心， ∴O1为B1D1的中 点 ∴AO1⊥B1D1, ∴AO1⊥BD.