10.正弦交流电路的相量表示法

y
直角坐标表示法：
I sin i
I
I 有效值： I i
复平面：
i
o
I cos i x
I cos jI sin I i i
A1 a1 jb1
优点：方便加减运算。 两个复数相加减：
A2 a2 jb2 A1 A2 (a1 a2 ) j (b1 b2 )
正弦量的指数表示法： 优点：方便乘除运算。
例
u1 (t ) 6 2sin( 314t 30 ) V u2 (t ) 4 2sin( 314t 60 ) V
o
求二者之和。
6 30o V U 1 460o V U 2
U U 630 460 5.19 j 3 2 j 3.46 U 1 2
有理数
复数：
a bj I
极坐标表示法：
最大值： 有效值：

I I m m i
o
i
I m
i(t ) 2 I sin( t i ) I I i
有效值相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
优点：方便乘除运算。
【例题讲解】
u(t ) 2U sin(t θ )
例1. 已知 i 141.4 sin(314t 30o )A
u 311.1sin(314t 60 )V
o
对应
U U θ


解： I 10030o A
U 220 60o V

试用相量表示i, u .

例2. 已知 I 5015 A, f 50Hz . 试写出电流的瞬时值表达式。 解： i 50 2sin(314t 15 ) A
3) 只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。 I U
正弦量的表示方法：
【课堂小结】
直观，但不便 于分析计算。
瞬时值（三角函数法）： i I m sin t i
波形图法：
Im


2 T
t
U
相量表示法：
相量图


相量式 I m I m e jψ I m ψ

6

旋转矢量的加法
化简：一个电路中只有一种频 率。 要素。 三要素退化为两个 固定位置
B A
C
i
i
正弦量
t
对应
相量图
I m
i
初始相量
相量：电工学中用来表示正弦量大小和相位的矢量。记作 I
相量图表示法：
314t 48)V ， 例： 已知： u1 (t ) 100sin(
求：
课前提问
1、什么是旋转矢量？为什么提出旋转矢量？ 2、什么是相量和相量图？ 3、复数的四种表示方法是什么？
正弦量的相量表示法
教学任务： • 会画相量图
• 能够用复数的三种形式表示正弦量
回顾正弦交流电路的描述方法：
1. 瞬时值（三角函数法）： i I m sin t i
Im

2. 波形图法：
u u1 u 2
u 2 (t ) 50sin(314t 45)V
U 1
解：采用相量图法计算：
48
45
U 2

U
结果： u
2U sin(t )
优点：清晰、直观。
缺点：做图误差，无法进行乘除计算。
复数的概念（数的发展）
自然数 小数
负数
复数
分数
实数
无理数
I m (cos j sin )
便于完成正弦量的加减乘除运算
预习课本： 交流电路中的元器件，P53-60，
1）请在书上找出R、L、C三种元器件的特性方程；
2）写出三种元器件上，电压、电流的三角函数和相量 形式的表达式。
作业：P65 — 3-10
【练习与思考】
用有效值相量表示下列正弦量，并写成直角坐标形式
i1 (t ) 10 2 sin( 314t 60 )

A A
i2 (t ) 15 2 sin( 314t 90 ) u (t ) 200 sin t V
解： I ＝ 10 － 60 5 j5 3 ( A) 1
7.19 j 6.46 9.6441.9o V
u (t ) u1 (t ) u2 (t ) 9.64 2sin( 314t 41.9o ) V
注意：
1) 相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
i Imsin(ω t ψ ) Ime jψ Imψ
2) 只有正弦量才能用相量表示， 非正弦量不能用相量表示。
I 2＝ Байду номын сангаас590 0 j15(V )
＝100 20 100 2 (V ) U
指数表示法：
复数形式：
I cos jI sin I i i
I (cos j sin ) I i i
j
欧拉公式：
e
cos j sin
j i I Ie

2 T
t
正弦交流电路的分析计算：
欧姆定律：
u iR
i1 I1m sin(t 1 )
i2 I 2m sin(t 2 )
基尔霍夫定律：
i1 i2 ?
相量的定义
标量
y A

6
矢量

？
u(t )


6
rad / s
x
0
2

4 3
t
总结： u(t ) U m sin(t ) Um A 旋转矢量在y轴上的投影 = 正弦量瞬时值