10.正弦交流电路的相量表示法

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正弦交流电的相量表示法

之一，广泛应用于交流电的分析、设计和控制中。
02
正弦交流电的基础知识
正弦交流电的定义
总结词
正弦交流电是指电压和电流随时间按正弦规律变化的电能。
详细描述
正弦交流电是现代电力系统中最常用的电能形式，其电压和电流的大小和方向随时间变化，且变化规律呈正弦波形。
正弦交流电的特性
总结词
正弦交流电具有周期性、频率、幅值、相位等特性。
THANKS
性等特性。
相量表示法在交流电机、电力系统、通信和控制等领域有广泛应用，是现代电力电子和通信技术
中不可或缺的工具。
04
相量表示法与正弦交流电的关系
相量与正弦交流电的对应关系
相量是复数，其实部表示正弦交流电的幅度，虚部表示正弦交流电的相位。
相量长度（模）表示正弦交流电的有效值或最大值，相量的角度表示正弦交流电的相位。
02
相量运算能够简化正弦交流电的分析过程，使得复杂的三角函数运算转化为简单的复数运算。
03
相量运算在交流电路的分析、设计与控制中有广泛应用。
相量在电路分析中的应用
在交流电路分析中，相量表示法能够将时域的三角函数形式转换为复数形式，便于计算和分析。
通过相量图和相量运算，可以分析交流电路的阻抗、功率和稳定
复数几何意义
复数在平面坐标系中可以用点或向量表示，实部为x轴坐标，虚部为y轴坐标。
阻抗和导纳
阻抗定义
阻抗是电路中阻碍电流流动的量，表示为复数形式Z=R+jX，其中R是电阻，X是电抗。
导纳定义
导纳是类似于阻抗的量，表示为复数形式Y=G+jB，其中G是电导，B是电纳。
阻抗和导纳的关系

正弦交流电路的相量表示法

正弦交流电路的相量表示法
解析式波形图
1、相量图
相
量
法
2、相量式
（复数
符号法）
正弦交流电的3大类表示方法
iImsi nt
i
Im
t
T
U
.
I a jb
I (cos j sin )
I
具体见下页内容：
1.复数的实部、虚部和模
1
叫虚单位，数学上用 i 来代表它，因为在电工中i代表电流，所以改用 j 代表虚单位，即 j =
3. 复数的运算 1）复数的加减
实部与实部加减，作为结果的实部虚部与虚部加减，作为结果的虚部
用有向线段加减时，符合平行四边形法则
例：A1=2+j3 A2=4+j4
则 A1+A2=（2+j3）+（4+j4）=6+j7 A1-A2=（2+j3）-（4+j4）=-2-j
正弦量的相量表示法
2) 复数的乘除
u(t)200sint V
解：
I1＝ 1 0－ 60 (A)
I2＝ 1 514(7 V)
U＝100 20(V )
3.3 正弦量的相量表示法
【例题讲解】
对应
u(t)2Usin(tθ)
•
U U θ
例1. 已知
i 141.4sin(314t 30o)A u311.1sin(314t60o)V
试用相量表示i, u .
u22 si(0 ω nt4)5 I 4ej30 复数
• 220
？
U 45
42si(n ωt30 ) ？
2
有效值
j45
瞬时值
U m22e0 45 ？

正弦交流电的相量表示法

u
波形图
O
ωt
瞬时值表达式 u Umsin( t )
相量 U Uψ
必须小写
重点
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
2.正弦量用旋转有向线段表示
设正弦量: y
u
Umsin(
t ψ)
u
u0ω
O
x
u1
U
O
m
ψ
ω t1
ωt
若:有向线段长度 = Um
有向线段与横轴夹角 =
初相位
有向线段以速度ω 按逆时针方向旋转
②只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。
③只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。
I
U
④相量的两种表示形式
相量式: U Uejψ U ψ U( cos ψ jsin ψ)
相量图: 把相量表示在复平面的图形
可不画坐标轴
I
U
⑤相量的书写方式
• 模用最大值表示，则用符号：U m 、Im
• 实际应用中，模多采用有效值，符号： U 、I
如：已知 u 220 sin(ω t 45)V
则U m 220e j45V或 U 220 e j45V 2
⑥“j”的数学意义和物理意义
e 旋转 90 因子： j90
ej90 cos 90 jsin90 j
设相量 A rejψ B
+j
则:该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示
相应时刻正弦量的瞬时值。
3. 正弦量的相量表示
实质：用复数表示正弦量复数表示形式
设A为复数: (1) 代数式A =a + jb
+j
b
r
0
A

正弦交流电的相量表示法

相量的两种表示形式
例：已知同频率的正弦量的表达式分别为
例：用相量图来表示下列正弦量
u 1 U m sin ω t V
u2 U m sin(ω t - 120 o ) V
u3 U m sin(ω t 120 o ) V
解：
•
U3
•
120 °
•
120° U1
U2
例：
例：写出下列正弦量的相量,并
求出：i = i1+i2 ,画出相量图。
i1 20 2 sin(t 60o)A
i2 10 2 sin(t - 30o )A
解：
İ1= 20∠60°A
İ2=10∠-30°A
İ = İ1+ İ2 = 20∠60°+10 ∠－30°
=20(cos60 °+jsin60 °)+ 10[cos(－30°)
+jsin (－30°)
加减运算用代数式, 实部与实部相加减, 虚部与虚部分别相加减。
乘除运算用指数式或极坐标式，模相乘或相除，辐角相加或减。
复数及其四则运算
用画图法作相量的加、减运算
03 正弦量的相量表示法
正弦量的相量表示法
正弦信号可用一旋转矢量来表示，
令：矢量长度＝Im 矢量初始角＝Ψ
如图所示：
矢量旋转速度＝ω
注意：
• ①相量只是表示正弦量，而不等于正弦量，两者只有对应关
系。 i=Im sin(t )≠Im
•
Im Im
• 正弦量是时间的函数，而相量仅仅是表示正弦量的复数，两者不能划等号！
• ②只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。 • 因此，只有表示正弦量的复数才能称之为相量。 • ③只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。

电工技术：正弦交流电的相量表示法

同频率正弦量的相量运算：知识点小结
两个同频率的正弦交流电相加（减）：方法一：都化成相量，变为复数的相加（减）方法二：相量图法（平行四边形或首尾相接法）
正弦交流电的相量表示法
正弦交流电有哪些表达形式？
（1）正弦函数（瞬时值表达式）如
i I m sin (ω t ψ )
Im
（2）正弦曲线波形，如
i
-Im
O

2
T
t
t
这两种表达形式直观，但运算繁琐，绘制困难。
正弦交流电为什么要用相量表示？
两个正弦量
i1 2 I1m sin ( t 1 )
实际应用更多的是有效值形式的相量表示！
一、正弦量的相量表示法
2.注意事项（1）表示正弦量的复数称相量
（2）相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
u U m sin ( ω t ψ) ＝
（3）一个正弦量与一个复数是一一对应的关系。（4）只有正弦周期量才能用相量表示，相量不能表示非正弦周期量。
u2 110 2sin(ω t 450 ) V
(2) 相量图
+j
U 2
U2
超前 U1
U 1
+1
45 20
正弦交流电的相量表示法（1）：知识点小结
（1）正弦交流电用相量（复数）表示方法
u U m sin ( ω t ψ )
（2）相量图
U U ψ
U
ψ

正弦交流电的相量运算
同频率正弦量的相量运算
• 同频率正弦量相加减
同频率的两个正弦量相位差为一些特殊角时，用相量图中的几何关系很方便求相量和、相量差。例:题3：已知解：

正弦交流电路的相量表示法

03
相量表示法的应用
相量与复数的关联
01
相量是复数的一种表示形式，其实部表示电压或电流的有效值，虚部表示其相位角。
02
通过复数运算，可以方便地计算正弦交流电路中的电压、电流和阻抗等参数。
相量在电路分析中的应用
利用相量图，可以直观地分析正弦交流电路中的电压、电流和阻抗之间的关系。
通过相量法，可以简化正弦交流电路的计算过程，提高计算效率和精度。
02
正弦交流电路的基本概念
正弦交流电的产生
交流发电机
通过机械能转换为交流电，发电机转子旋转产生磁场，定子切割磁力线产生感应电动势，从而产生正弦交流电。
交流调压器
通过改变磁通量或改变匝数来调节输出电压，从而产生正弦交流电。
正弦交流电的特性
01
02
03
周期性
正弦交流电的电压、电流等参数随时间按正弦规律变化，具有周期性。
通过相量图，可以直观地理解电路的相位关系和阻抗的性质。
03
02
简化了正弦交流电路的分析过程，使得计算变得直观和方便。
04
局限性
相量法仅适用于线性时不变系统，对于非线性或时变系统，相量法不再适用。
05
06
对于多频输入信号，相量法可能无法准确描述信号的频谱特性。
未来研究方向
01
深入研究非线性电路和时变系统的相量表示法，以扩展相量法的应用范围。
VS
电动机的启动和制动
利用相量法，可以研究电动机的启动和制动过程，为电动机的控制提供理论支持。
滤波器问题
滤波器的频率响应
通过相量法，可以分析滤波器的频率响应特性，从而设计出符合要求的滤波器。

正弦交流电的基本概念、相量表示法

在复平面中，以实轴为电阻轴，虚轴为感抗和容抗之和，将阻抗的相量标在图上，形成阻抗相量图。
04
交流电路的分析
交流电路的元件
01
02
03
电阻元件
在交流电路中，电阻元件的阻抗不随时间变化，其值由电阻的物理性质决定。
电感元件
在交流电路中，电感元件的感抗随频率变化，其值由电感的物理性质决定。
电容元件
幅角
相量与实轴正方向的夹角，表示正弦交流电的相位。
相量运算
加标法题
将•两个文同字频内率容的相量 • 文字内容
按•平行文四字边内形容法则进 • 文行字合内成容。
减法
将一个相量减去另一个相量，等于将一个相量的起点平移到另一个相量的终点后再
进行加法运算。
数乘
一个标量与一个相量的乘积，表示该标量乘以相量的模长和幅
表示发电机或变压器的输出功率与输入功率的比值，反映了设备本身的损耗。
THANKS
角。
比例关系
对于两个同频率的相量，其比值等于相应正弦量的比值，即电压与电流的比值为电阻，电压与感抗的比值为电感，电流与容抗的比值为电容。
03
正弦交流电的相量表示
电压的相量表示
电压的相量表示法
将正弦交流电压的幅度和初相角用复数表示，即$U = U_{m}angletheta$。其中，$U_{m}$表示电压的幅度，$theta$表示电压的初相角。
电压相量图
在复平面中，以实轴为幅度轴，虚轴为相位轴，将电压的相量标在图上，形成电压相量图。
电流的相量表示
电流的相量表示法
将正弦交流电流的幅度和初相角用复数表示，即$I = I_{m}angletheta$。其中，$I_{m}$表示电流的幅度， $theta$表示电流的初相角。

15、正弦交流电的相量表示法cos

思考：
i1 i3
i2
i1(t) = 4 cos(t+00 ) A i2(t) = 3 cos(t +90 o )A
i3 = i1 + i2
利用三角函数公式利用波形图
相量法
§5.2 - 5.3 正弦交流电的相量表示
内容： 1、正弦量的相量表示 2、两类约束的相量形式时数： 2 学时要求：会用相量图和复数表示正弦交流电，并能运用相量进行两个正弦量的四则运算及乘方开方运算。复述基尔霍夫定律相量形式及欧姆定律相量形式的内容。
4 0 .8 j 4 0 .6 3 .2 j 2 .4
o U 2 3 53
B
u2
–
3 cos( 53 ) j 3 sin( 53 )
o o
3 cos 53 j 3 sin 53
o
o
u3 5 2 cos t V
3 0 .6 j 3 0 .8
5 0 0 I3
i3(t) = 5
2 cos t A
例2
i1
i3
相量图法
i2
i3 = i1 + i 2
i1(t) = 4 i2(t) = 3
0
)A 2 cos(t + 37°
2 cos(t – 53°)A
+j
I 1 4 37
I1
I 2 3 53
0 I 3 5 0
0
I 1 4 37
I 2 3 53
4 cos 37 0 j 4 sin 37 0 3.2 j 2.4 I1
0 0 I 2 3 cos( 53 ) j 3 sin( 53 ) 1.8 j 5

正弦量的相量表示法

小结:
❖ 正弦量能够用相量表达，正弦量也能够用复数表达。
❖ 正弦量旳相量旳幅角等于正弦量旳初相角，相量旳模等于正弦量旳最大值或有效值。
❖ 为了使计算成果能直接表达正弦量旳有效值，一般使相量旳模等于正弦量旳有效值，即能够表达为： U Ue j U
❖ 将几种同频率旳正弦量用相应旳相量表达并画在同一种坐标平面上，这么旳图叫做相量图。
❖ 在同一量图中，以t＝0时刻旳相量表达正弦量。
作业：
❖ 课后复习本节内容。 ❖ 预习下一节“交流电路基本元件”。
谢谢,再见!
2023年9月
（ 4 ）正弦量旳瞬时值＝相量虚部
u U
例1：已知 i1 10 2sin t 30A
+j
试i2 写 5出I21s和inI2旳t 体 6现0式A，并
画出其向量图。
I1 解: i1 和 i2 相应旳电流向量
30
体现式分别为
0 -60
+1
I1 1030 A
I2
I2 5 60A
I1旳长度是I2旳二倍。
例2：
已知 A1 10 j5，A2 3 j4
求
A1 A2 和
A1 A2
。
解: A1 10 j5 11.1826.57
A2 3 j4 553.13
A1 A2 11.1826.57 553.13
55.9079.70
A1 A2
11.1826.57 553.13
2.236 26.56
这么，表达正弦电压 u Umsin t
旳相量为
U m Ume j Um
为了使计算成果能直接表达正弦量旳有效值，一般使相量旳模等于正弦量旳有效值，即能够表达为：

电路的相量法

法
θ2
F1 |F2|F1
F2
乘法的几何意义如图所示
θ1 θ2
+1
8-2:
二：复数的运算
正设两个复数: 弦 F1=a1+jb1=|F1|cosθ1+ j|F1|sinθ1= |F1|e jθ1
量 F2=a2+jb2=|F2|cosθ2+ j|F2|sinθ2= |F2|e jθ2
的则:
相 (2) F=F1F2 =|F1|e jθ1|F2|e jθ2 =|F1||F2|e j(θ1+θ2)
弦 i1(t) Im1 cos(t i1) i1的相位
量的
i2 (t) Im2 cos(t i2 ) i2的相位
基 i1和i2的相位差定义为:
本概
(t i1) (t i2 ) i1 i2
念可见：两个同频率正弦量的相位差就等于它
们的初相位之差。并且：
(2)、交流电气设备的额定电压、额定电流都
是有效值；交流电压表、电流表上标出的数
字也是有效值。
8-2:
一：复数
虚部:Im[F]=b +j
b
F
正 F=a+jb (代数形式)
θ
+1
弦 =|F|cosθ+ j|F|sinθ (三角形式)
a
量的
其中: |F|=
a2 b2 (模)
实部:Re[F]=a
相量表
念就是说正弦电流的有效值定义为：
I
1 T
T
0
i(t)2
dt
8-1:
对正弦电流 i(t) Im cos(t i )其有效值
正弦量

电工技术：正弦交流电的相量表示法(1)

I 560 A
I
60
U
30
只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上，可不画坐标轴。
二、相量图
例题1: 将 u1、u2 用相量表示,并画出相量图。
解:
(1) 相量式
220 20V U 1
110 45 V U 2
u1 220 2 sin(ω t 20 ) V
一、正弦量的相量表示法：正误判断
1.已知：
u 220 sin(ω t 45)V
3.已知：
4 e j30 A I
• 220 U 45 V 2 有效值
？
4 2 sin (ω t 30 )A
瞬时值形式
？
复数形式
j45
220 e45 V U m
2.已知：
正弦交流电的相量表示法
正弦交流电有哪些表达形式？
（1）正弦函数（瞬时值表达式）如
i I m sin (ω t ψ )
Im
（2）正弦曲线波形，如i源自 -ImO
2
T
t
t
这两种表达形式直观，但运算繁琐，绘制困难。
正弦交流电为什么要用相量表示？
两个正弦量
i1 2 I1m sin(t 1 )
u2 110 2sin(ω t 450 ) V
(2) 相量图
+j
U 2
U2
超前 U1
U 1
+1
45 20
正弦交流电的相量表示法（1）：知识点小结
（1）正弦交流电用相量（复数）表示方法
u U m sin ( ω t ψ )
（2）相量图
U U ψ
U

正弦交流电表示法

正弦交流电的表示法2.1.2 正弦量的相量表示法如前所述，一个正弦量由幅值、角频率和初相位三个要素确定，而正弦量的这些特征，可以用正弦波和三角函数表示出来。

除此之外，还可以用相量表示，复数是相量的基础。

（1）复数如图2-6所示，一复数A，a1为其实部，a2为其虚部，a为其长度，则复数A可用四种形式来表示：图2-6 复平面上表示复数A①代数式A=a1+j a2（2-8）为虚单位。

②三角函数式令复数A的模|A|=a，φ角是复数A的辐角，有A=｜A｜（cosφ+jsinφ）=a（cosφ+jsinφ）（2-9）式中，，，③指数式根据欧拉公式e jφ=cosφ+jsinφA=a e jφ（2-10）④极坐标式极坐标式是复数指数式的简写，这四种复数的表示形式，可以相互转换。

复数的指数形式（或极坐标形式）与复数的三角函数式之间可以通过欧拉公式进行转换，指数形式（或极坐标形式）要变换成代数式可以通过欧拉公式进行转换；代数式变换成指数形式（或极坐标形式）可以通过式（2-9）进行转换。

（2）正弦量的相量表示用复数来表示正弦量的方法称为正弦量的相量表示法，即用复数的模来表示正弦量的幅值（最大值或有效值），用复数的辐角来表示正弦量的初相位。

只有同频率的正弦量用相量进行分析计算才有意义，它使得正弦交流电路的分析和计算变得更为简单。

在线性正弦交流电路中，各部分的电流和电压都是同频率的正弦量。

因为频率不变，所以可以用相量来表示正弦量。

正弦量的相量形式是用大写字母上面加小圆点表示。

例如，“”“”“”等。

同理，可自行写出和相量。

相量、、称为有效值相量，、、称为最大值相量或幅值相量。

相量在复平面上的几何图形叫做相量图，如图2-7所示。

图2-7 正弦量的相量图同频率的正弦量，由于它们之间相位的相对位置不变，即相位差不变，因此可以将它们的相量画在同一个坐标上。

不同频率的正弦量，用相量表示时，不能画在同一相量图上。

（3）相量运算相量的运算规则符合复数运算中的交换律、结合律和分配律等。

电工电子技术正弦交流电路

复数的四种形式
(1)复数的代数形式 (2) 复数的三角形式 (3) 复数的指数形式 (4) 复数的极坐标形式
A a jb
A r cos jrsin
A re j
A r
复数的运算法则
设有两个复数分别为：A a a a1 ja2
B b b b1 jb2
A、B加、减、乘、除时运算公式如下：
利用相量图中的几何关系，可以简化同频率正弦量之间的加、减运算及其电路分析。举例如下：
已知u1 2U1 sin t 1 ，u2 2U2 sin t 2 ，求u u1 u2。
利用相量图辅助分析，根据平行四边形法则，由相
U 量图可以清楚地看出：根据直角三角
U2
U1sinψ1+U2sinψ2 形的勾股弦定理：
A B (a1 b1) j(a2 b2 )
A B (a1 b1) j(a2 b2 )
A • B ab a b
A B
a b
a
b
显然，复数相加、减时用代数形式比较方便；复数相乘、除时用极坐标形式比较方便。
正弦量的相量表示法
与正弦量相对应的复数形式的电压和电流称为相量。为
区别与一般复数，相量的头顶上一般加符号“·”。例：正弦量i=14.1sin(ωt+36.9°)A的最大值相量表示为：
三角函数运算由几何分析运算所替代，化复杂为简单！
如何把代数形式变换成极坐标形式？
极坐标形式又如何化为代数形式？
相量等于正弦量的说法对吗？正弦量的解析式和相量式之间能用等号吗？
利用几何图形关系，如 6 j8 62 82 arctan8 1053.1
6
利用三角函数关系，如 1053.1 10 cos53.1 j10 sin 53.1

正弦交流电路的相量法

正弦交流电路的相量法
正弦交流电路的分析计算与直流电路的分析计算一样，也是应用基尔霍夫定律和欧姆定律来进行。在正弦交流电路中，基尔霍夫定律和欧姆定律的相量形式与直流电路中相应的表达式相似，因而同样可以推出类似于直流电路的分析计算方法。只要把电路中无源元件用阻抗或导纳表示，正弦量用相量表示，那么分析计算直流电路的方法都可以推广到正弦交流电路，这样的分析计算方法，称为相量法。
正弦交流电路的功率
• 无功功率
无功功率定义为 Q UI sin Q 0 ，二端网络接 0，对于电感性二端网络， Q 0 ，二 0 ，受无功功率；对于电容性二端网络，端网络发出无功功率。在既有电感又有电容的二端网络中，其无功功率应等于两者的代数和，即
Q QL QC
而把线路的功率因数提高。
正弦交流电路的功率
（a）图3.49 功率因数的提高
（b）
载的正常工作。
正弦交流电路的功率
• 一般负载都是电感性的，对于这样的负载，常用
电容器与负载并联来提高电路的功率因数。可用 RL串联表示感性负载，如图3.49（a）所示，画出电路的相量图如图3.49（b）所示。在未并电容C 时，线路电流 I 等于负载电流I1 ，此时功率因数
I I ，功率为 cos ；并联电容后，线路电流 I 1 2 因数为 cos 。因为，所以 cos cos ，从
• 其波形如图3.44（b）所示。在一个周期里，有两段时 p 0 。这表明二端网络与外电路往返交换间 p0 ，能量，这是由于二端网络中含有储能元件的缘故。
图3.44 二端网络的瞬时功率
正弦交流电路的功率
• 有功功率和功率因数将式 p ui 2U sint