直角三角形斜边上的中线
斜边中线定理推导
斜边中线定理推导摘要：1.斜边中线定理的概念2.斜边中线定理的推导过程3.斜边中线定理的应用正文：【1.斜边中线定理的概念】斜边中线定理，又称为直角三角形斜边中线定理，是指在直角三角形中，斜边的中线等于另外一条直角边的一半。
这个定理在我国初中数学课程中就会接触到，是直角三角形性质中一个非常基础且重要的定理。
【2.斜边中线定理的推导过程】斜边中线定理的推导过程主要分为两个步骤：步骤一：作图。
在直角三角形ABC 中，假设∠C=90°，AB 为斜边，CD 为AB 的中线，AE 为BC 的延长线，AF 为AC 的延长线，交于点E。
步骤二：证明。
根据三角形的全等条件，我们可以证明Rt△ADC≌Rt△AEB，具体如下：（1）∠ADC=∠AEB，因为它们都是对直角三角形的补角；（2）DC=EB，因为CD 是AB 的中线，所以DC=EB；（3）∠CAD=∠EBA，根据同理，它们都是对直角三角形的补角。
既然有两个三角形的三个对应角相等，且对应边长相等，那么根据三角形全等的SAS（边- 角-边）条件，我们可以得出Rt△ADC≌Rt△AEB。
【3.斜边中线定理的应用】斜边中线定理在实际应用中，主要体现在以下几个方面：（1）计算。
在直角三角形中，如果知道斜边和斜边的中线，可以很方便地计算出另外两条直角边的长度。
（2）证明。
在几何证明中，斜边中线定理可以作为一个基本的工具，帮助我们证明一些更复杂的几何问题。
（3）解决实际问题。
在一些实际问题中，可能会涉及到直角三角形的斜边和斜边的中线，这时候斜边中线定理就可以派上用场。
“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用
“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题，下面举例说明．一、有直角、有中点，利用垂直平分线性质【例1】如图，BD 、CE 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点，N 是DE 的中点．求证：MN 垂直平分DE ．二、有直角、无中点，取中点，连线出中线【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD ∥BC ，∠CBE=21∠ABE ，求证：DE=2AB ．三、有中点、无直角，造直角【例3】如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 是AB 、CD 的中点，∠ADC+∠BCD=270°，求证：MN=21（AB －CD ）．四、逆用性质解题【例4】如图，延长矩形ABCD 的边CB 至E ，使CE=CA ，P 是AE 的中点．求证：BP ⊥DP ．【习题练习】1、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠ABD=∠CBD ，BD ⊥DE 于D ，DE 交BC 于E ，求证：CD=21BE ．2、如图，△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 是BC 的中点，求证：AB=2DM ．3、如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=∠DCB=90°，点M 、N 分别是BD 、AC 的中点.确定MN 、AC 的位置关系．直角三角形斜边上中线性质的应用一、直角三角形斜边上中线的性质1、性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图，在Rt △BAC 中，∠BAC=90°，D 为BC 的中点，则BC 21AD =．2、性质的拓展：如图：因为D 为BC 中点，所以BC 21DC BD ==， 所以AD=BD=DC=BC 21， 所以∠1=∠2，∠3=∠4，因此∠ADB=2∠1=2∠2，∠ADC=2∠3=2∠4．因而可得如下几个结论：①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍．二、性质的应用1、21倍关系求值 例1、如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，若CD=4，则AB= ．2、证明线段相等例2、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，延长BA 到D 点，使AB 21AD =，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点．（1）求证：DF=BE ；（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于G ．求证：AG=DG ．3、证明角相等及角的倍分关系例3、已知，如图，在△ABC中，∠BAC 90°，BD、CE分别为AC、AB上的高，F为BC的中点，求证：∠FED=∠FDE．例4、已知：如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线。
直角三角形斜边上的中线应用题目
直角三角形斜边上的中线应用题目
直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为直角（90度角）。
在直角三角形中，斜边是指与直角的两条边不重合的另外那条边。
斜边上的中线是指从斜边中点垂直于斜边的线段。
直角三角形斜边上的中线有很多应用，下面是一些题目：
1. 题目一：
已知一个直角三角形的斜边长为10cm，求斜边上的中线的长度。
解答：
由于直角三角形中，斜边的一半就是中线的长度。
所以，中线的长度为10cm的一半，即5cm。
2. 题目二：
已知一个直角三角形的斜边长为12cm，中线的长度为6cm，求与中线相交的直角三角形两个直角边的长度。
解答：
由于中线是斜边的一半，所以斜边的长度是中线的两倍，即12cm。
因此，直角边的长度可以使用勾股定理求解。
设一个直角边为x，则另一个直角边为12-x。
根据勾股定理，我们可以得到以下方程：
x^2 + (12-x)^2 = 12^2
化简方程后，求解x的值，即可得到另一个直角边的长度。
这些题目是直角三角形斜边上的中线应用题目的一些例子。
通过解答这些题目，我们可以更深入地理解直角三角形的性质和中线的应用。
在解题过程中，可以运用勾股定理和直角三角形的基本性质，加深对数学知识的理解和应用能力。
希望以上内容对您有所帮助，如有其他问题，请随时提问。
直角三角形斜边上的中线的性质及其应用
“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 是直角三角形的重要性质之一， 而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、 底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线， 往往能帮助我们迅速打开解题思路, 明. 一、有直角、有中点，连线出中线，用性质 例1.如图1 , BD N 是DE 的中点.试问：猜想：MN B 直平分 1ME MD 在 Rt △ BEC 中，•••点 M 是斜边BC 的中点，• ME^ BC,又 NE = ND •2直线MN 是线段DE 的垂直平分线，• NMLDE 即 MN 垂直平分 DE. 评析：题目中给出了三角形的两条高与两个中点， 联想“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” ，证明：DE 的中点F ,连AF ,贝U AF=FD 」DE,所以/ DAF=Z ADF,又因为 AD// BC,所以/ CBE Z ADF, 21又因为/ CBEd Z ABE 所以/ ABF=/ AFB,所以 AF=AB 即 DE=2AB2评析：本题是有直角、无中点的情况，这时要取直角三角形的斜边上的中点，再连结该点与直角顶 点，然后用性质来解决问题.三、有中点、无直角，造直角，用性质 PM 交DC 于 K 下证N 和K 重合，贝U P 、N M 三点共线,PDC △ PAB 斜边上的中线，• PN=CN=DlN=CD PM=BM=D M=AB,2 2•••/ PNC=2/ PDN=2/ A Z PMB Z PKC=2/ A, •/ PNC / PKC •- N 、K 重合，问题便迎刃而解. 2△ ABF 均为等腰三角形，由此结论得证. CE 是厶ABC 的两条高，M 是BC 的中点,MN 与 DE 有什么关系？证明你的猜想.DE.证明：如图：连接例 3.如图 3,梯形 ABCD 中, AB// CD M / ADC+Z BCD=270,1求证：MN — (AB-CD .2证明：延长AD BC 交于 •••/ APB=9(°,连结 PN 连结P,vZ ADC y BCD=270,••• PN PM 分别是直角三角形△ B• MN=PM-PN= (AB-CD).2评析：本题只有中点，而没有直角，这时要想方设法构造直角，应用性质，而条件中正好有角的关系“Z ADC-Z BCD=270 ” ,这样问题就易以解决了四、逆用性质解题例4.如图4,延长矩形ABCD的边CB至E,使CE=CA , P是AE的中点.求证：BP丄DP .证明：如图3，连结BD交AC于点0,连结PO,•••四边形ABCD 是矩形，••• A0=0C=0B=0D ,1 1••• PA=PE ,• P0= — EC ,T EC=AC , • P0= — BD ,2 2即0P=0B=0D , • BP丄DP.评析：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质是众所周知的，而它的逆定理往往被大家所忽视，本题就是利用这个性质构造厶PBD ,请同学们试一试吧!1. 如图5,A ABC中, AB=AC 厶1求证：CD= BE22. 如图6,A ABC中，/ B=2/ C, 中点，求证：AB=2DM证BD边的中线等于BD的一半.1. 提示：结论中的BE是直角三角形的斜边，由半”，故应取BE的中点F,连结DF，只需证明1— BE应想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一2DC=DF，即证/ C=Z DFC2 .提示：取AB的中点N，连结DN、MN即可.直角三角形斜边上中线性质的应用直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质, 同时也是常考的知识点. 它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。
直角三角形斜边中线证明
直角三角形斜边中线证明对于一个直角三角形，以斜边为直径可以画出一个内切圆，如下图所示：[插入图片]设该直角三角形的斜边为 c ，直角边为 a ，另一直角边为 b 。
由内切圆的性质可知，圆心 O 位于斜边中点 M 上。
[插入图片]接下来我们来证明斜边中线 OM 的长度等于直角边的一半。
首先，根据勾股定理可知：a^2 + b^2 = c^2再根据正弦定理可知：$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} $$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $其中 A 为直角所在的角，B 为另一个角，C 为斜边所对的角。
因为斜边为直径的圆内角和为180度，所以C=90度。
将上面两个式子带入，可得：a = c $\sin A$b =c $\sin B$将斜边 c 写成 a 和 b 的平方和的形式，可得：c^2 = a^2 + b^2将 a 和 b 分别用 c 的正弦值表示，可得：c^2 = (c $\sin A$)^2 + (c $\sin B$)^2化简可得：$\sin ^2 A + \sin ^2 B = 1 $利用三角余弦定理，可得：$\cos C = \cos 90° = 0$而 $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2 a b}$带入可得：$\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2 a b} = 0$进一步化简可得：a^2 + b^2 = c^2这与最开始的勾股定理相同，因此我们得到了一个等式，即：$\sin ^2 A + \sin ^2 B = 1 $同时成立。
接下来考虑直角三角形斜边中线 OM 。
由三角形中线定理可知，直角三角形 CMO 的斜边长度为 $\frac{c}{2}$ ，所以我们只需要证明 OM 与直角边 a 的长度相等即可。
考虑三角形 OMC 。
由于三角形 CMO 的斜边长度为$\frac{c}{2}$ ，而圆心 O 位于斜边中点 M 上，所以 OM 也等于$\frac{c}{2}$ 。
直角三角形斜边中线定理 (3)
直角三角形斜边中线定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。
直角三角形的边可分为三种：斜边、邻边和对边。
直角三角形具有许多特性和性质，其中之一就是直角三角形斜边中线定理。
定理描述直角三角形斜边中线定理指出：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
换句话说，如果在一个直角三角形中，连接斜边的中点与直角顶点的直线段，那么这个直线段的长度等于斜边的一半。
下面是该定理的数学表达式：设直角三角形的斜边长度为c，斜边上的中线长度为m，则有：m = c / 2定理证明我们可以通过几何和代数的方法来证明直角三角形斜边中线定理。
几何证明设直角三角形的斜边为AC，斜边上的中线为BM，并连接顶点A和中点B。
首先，我们可以通过斜边上的中线构造一个三角形ABM。
根据直角三角形的性质，A和C分别为直角三角形ABM的直角顶点和斜边上的另一个顶点。
由于三角形ABM是直角三角形，我们可以利用勾股定理来求解等式AB和BM的关系。
根据勾股定理，直角三角形ABM的斜边AB的平方等于直角边AM的平方加上直角边BM的平方：AB² = AM² + BM²因为直角三角形ABM是等腰三角形（与斜边等长），所以直角边AM的长度等于斜边AC的一半（即AM=c/2），我们将其带入等式中化简：AB² = (c/2)² + BM²继续化简：AB² = c²/4 + BM²由于AB = AC（直角边）和AC = c（斜边），我们可以将AB替换为c，即：c² = c²/4 + BM²继续化简并整理：3c²/4 = BM²通过移项操作，得到：BM² = 3c²/4我们可以取开根号来求解BM的长度：BM = √(3c²/4) = (√3c) / 2接下来，我们将BM的长度与斜边的一半进行比较：BM = (√3c) / 2 c / 2我们可以发现，BM的长度等于斜边的一半（c/2），这证明了直角三角形斜边中线定理。
直角三角形斜边中线定理
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∵BE中点F ∴∠ABD=∠DBC=∠BDF
∠DFC=∠ABC ∵∠ABC=∠C ∴∠DFC=∠C ∴DF=DC ∴DF=1/2BE ∴CD=1/2BE
如图△ABC中，∠B=2∠C,AH为高,M是BC边的中点. 求证:AB=2HM.
取AC中点D,连HD,MD ∴MD∥AB,MD=1/2AB HD=1/2AC ∴∠C=∠DHM ∴∠B=∠ADH ∠CAB=∠CDM ∴∠HDM=∠C=∠DHM ∴DM=HM ∴AB=2HM
2
延长CD至点E 连接EA、EB
如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD=AB，点F
是BD的中点，点E是AC上一点，且AE=EF，AC=6.
求EF的ห้องสมุดไป่ตู้.
∵AF⊥BC,AE=EF ∴∠EAF=∠EFA,∠C=90°∠EFA
∠EFC=90°-∠EFA ∴∠C=∠EFC,EF=EC ∴E为AC中点，AC=6,EF=3
如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE， DF⊥CE，F为垂足. 求证:（1）F是CE的中点；（2）∠B＝2∠BCE.
∵DE=1/2AB=AE=BE=CD ∵DF⊥CE ∴F为BC中点
ED=BE ∴∠B=∠EDB=2∠BCE
角平分线+斜边中线
如图，在△ABC中，AB＝AC ，BD平分∠ABC，BD 与AC交于点D，DE⊥BD，DE与BC交于点E，猜想并 证明BE与CD的数量关系.
中 点 的 辅 助 倍长中线 线
三线合一
中位线定理 直角三角形斜边中线定理
直角三角形斜边中线的定义
直角三角形斜边中点和直角顶点的连线 叫做直角三角形斜边中线
斜边中线证明直角三角形
斜边中线证明直角三角形好嘞，今天咱们聊聊一个很有趣的话题，就是斜边中线在直角三角形里的那些事儿。
哎，听起来可能有点晦涩，但其实一点都不复杂，咱们慢慢来，保证让你听得乐呵呵的。
直角三角形大家肯定不陌生，特别是你上学的时候，老师一定给你讲过，它就是一个有个角是90度的三角形，特别简单明了。
现在想象一下，你有一个直角三角形，嘿，记得它的斜边吗？就是那条最长的边，对吧？然后，咱们来讲讲斜边中线。
简单说，斜边中线就是从直角三角形的一个角顶点到斜边中点的一条线。
嘿，听起来是不是很简单？但它的性质可真让人惊讶呢。
我们来个小小的演示。
想象一下，你在玩拼图，把这三角形拼好，斜边就是拼图的最上面那条边。
然后，中线从直角那边的角点出发，直直地朝着斜边的中点走去。
你可能会想，这有什么好特别的？这条中线有个神奇的地方，就是它的长度恰好是斜边长度的一半。
听起来不可思议吧？但真的是这样，数理化的世界总是充满惊喜。
再说说这条中线的好处，除了能告诉你斜边的一些秘密，它还在很多实际应用中帮了大忙。
比如说，建筑设计啊，平面图啊，都是需要用到这些基本的几何概念的。
想想，如果一个建筑设计师不知道斜边中线的存在，那可真是“掉进了牛角尖”，很容易就设计出问题。
中线就像一个小助手，默默地帮着设计师理清思路。
你知道吗，直角三角形里的这条中线，还有一个特别的地方。
它不仅仅是连接两个点的线，而是有助于平衡这个三角形。
想象一下，如果没有它，这个三角形就像一颗不稳的苹果，随时可能滚下去。
中线的存在让整个结构看起来稳当许多，真是“稳如老狗”。
咱们说说这个证明的过程。
想象一下，你在一块空地上，打算给朋友表演一个魔术。
你告诉他们，瞧，看到那条中线了吗？它的长度跟斜边的关系就像是泡泡糖跟糖果的关系，甜蜜又紧密。
然后你用尺子量一量，嘿，正好是斜边的一半。
没错，这就像是在告诉大家，数学里总有一些意想不到的惊喜等着你去发现。
玩这个中线的游戏，真的很有趣！你可以用绳子来做个实验，自己动手量一量。
“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用
“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题，下面举例说明．一、有直角、有中点，连线出中线，用性质 例1．如图1，BD 、CE 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点，N 是DE 的中点．试问：MN 与DE 有什么关系？证明你的猜想．猜想：MN 垂直平分DE.证明：如图：连接ME 、MD ，在Rt△BEC 中，∵点M 是斜边BC 的中点，∴ME=21BC ，又NE ＝ND ，∴直线MN 是线段DE 的垂直平分线，∴NM⊥DE．即MN 垂直平分DE.评析：题目中给出了三角形的两条高与两个中点，联想“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，问题便迎刃而解．二、有直角、无中点，取中点，连线出中线，用性质例2．如图2，在Rt △ABC 中，∠C=900，AD ∥BC ，∠图A DFCBE=12∠ABE ， 求证：DE=2AB分析：欲证DE=2AB ，则可寻DE 的一半，再让其与AB 相等，取DE 的中点F ，连AF ，则AF=FD=12DE ，可证得△A FD ， △ABF 均为等腰三角形，由此结论得证．证明：DE 的中点F ，连AF ，则AF=FD=12DE ，所以∠DAF=∠ADF ，又因为AD ∥BC ，所以∠CBE=∠ADF ，又因为∠CBE=12∠ABE ，所以∠ABF=∠AFB ，所以AF=AB ，即DE=2AB ．评析：本题是有直角、无中点的情况，这时要取直角三角形的斜边上的中点，再连结该点与直角顶点，然后用性质来解决问题．三、有中点、无直角，造直角，用性质 例3．如图3，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 是AB 、CD 的中点，∠ADC+∠BCD=2700，求证：MN=12（AB-CD ）． 证明：延长AD 、BC 交于P ，∵∠ADC+∠BCD=2700， ∴∠APB=900，连结PN ，连结PM 交DC 于K ，下证N 和K 重合，则P 、N 、M 三点共线， B AC D P M N K 图∵PN 、PM 分别是直角三角形△PDC 、△PAB 斜边上的中线，∴PN=CN=DN=12CD ，PM=BM=DM=12AB ， ∵∠PNC=2∠PDN=2∠A ，∠PMB=∠PKC=2∠A ，∴∠PNC=∠PKC ，∴N 、K 重合，∴MN=PM-PN=12（AB-CD ）． 评析：本题只有中点，而没有直角，这时要想方设法构造直角，应用性质，而条件中正好有角的关系“∠ADC+∠BCD=2700 ”，这样问题就易以解决了四、逆用性质解题例4．如图4，延长矩形ABCD 的边CB 至E ，使CE=CA ，P 是AE 的中点．求证：BP ⊥DP ．证明：如图3，连结BD 交AC 于点O ，连结PO ， ∵四边形ABCD 是矩形，∴AO=OC=OB=OD ，∵PA=PE ，∴PO=12EC ，∵EC=AC ，∴PO=12BD ， 即OP=OB=OD ，∴BP ⊥DP ．评析：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质是众所周知的，而它的逆定理往往被大家所忽视，本题就是利用这个性质构造△PBD ，证BD 边的中线等于BD 的一半．请同学们试一试吧！BA C D E P 图O1．如图5，△ABC 中，AB=AC ，∠ABD=∠CBD ，BD ⊥DE 于D ，DE 交BC 于E ， 求证：CD=12BE ． 2．如图6，△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 是BC 的中点，求证：AB=2DM ．1．提示：结论中的BE 是直角三角形的斜边，由12BE 应想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，故应取BE 的中点F ，连结DF ，只需证明DC=DF ，即证∠C=∠DFC ．2．提示：取AB 的中点N ，连结DN 、MN 即可．直角三角形斜边上中线性质的应用 直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，同时也是常考的知识点．它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。
直角三角形斜边中线定理几何语言
直角三角形斜边中线定理直角三角形是几何学中的基本概念之一，它由一个直角和两个锐角组成。
在直角三角形中，斜边是与直角相对的边，而其他两条边则分别称为直角边。
在研究直角三角形的性质时，我们常常会遇到斜边上的一些特殊线段，其中之一就是斜边中线。
定义在一个直角三角形ABC中，假设AC为斜边，M为AC上的一个点，则AM和MC就是AC的一个中线。
换句话说，AM等于MC。
斜边中线定理的证明我们可以通过几何推导来证明斜边中线定理。
首先，根据直角三角形的定义可知，在三角形ABC中有一个直角∠CAB。
假设点M 位于AC上，并且AM等于MC。
由于AM等于MC，所以AM和MC相等。
另一方面，在△ABC中，∠CAB为90度。
根据勾股定理可知：AB² = AC² - BC²同样地，在△AMB中也可以应用勾股定理：AB² = AM² + BM²由于AM等于MC，所以可以将上式改写为：AB² = MC² + BM²将这两个等式相等，我们可以得到：AC² - BC² = MC² + BM²进一步化简得到：AC² = BC² + MC²这就证明了斜边中线定理。
斜边中线定理的应用斜边中线定理在解决直角三角形相关问题时非常有用。
它可以帮助我们找到直角三角形的各个边长和角度。
例题1假设在一个直角三角形ABC中，已知AC=5cm，BC=12cm。
求斜边上的中线AM的长度。
根据斜边中线定理可知AM等于MC。
由于AC=5cm，所以MC=5cm/2=2.5cm。
因此，斜边上的中线AM的长度为2.5cm。
例题2假设在一个直角三角形ABC中，已知∠CAB=30度，BC=6cm。
求斜边上的中线AM的长度。
首先，我们需要找到∠CAB对应的直角边。
根据正弦函数sin(30°) = AC/BC可得：AC = sin(30°) * BC = 0.5 * 6cm = 3cm因此，在△ABC中，AC=3cm。
直角三角形斜边中线定理
4
a
如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE， DF⊥CE，F为垂足. 求证:（1）F是CE的中点；（2）∠B＝2∠BCE.
∵DE=1/2AB=AE=BE=CD ∵DF⊥CE ∴F为BC中点
ED=BE ∴∠B=∠EDB=2∠BCE
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a
角平分线+斜边中线
如图，在△ABC中，AB＝AC ，BD平分∠ABC，BD 与AC交于点D，DE⊥BD，DE与BC交于点E，猜想并 证明BE与CD的数量关系.
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延长CD至点E 连接EA、EB
3
a
如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD=AB，点F
是BD的中点，点E是AC上一点，且AE=EF，AC=6.
求EF的长.
∵AF⊥BC,AE=EF
∴∠EAF=∠EFA,∠C=90°-
∠EFA
∠EFC=90°-，AC=6,EF=3
∵BE中点F ∴∠ABD=∠DBC=∠BDF
∠DFC=∠ABC ∵∠ABC=∠C ∴∠DFC=∠C ∴DF=DC ∴DF=1/2BE ∴CD=1/2BE
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a
如图△ABC中，∠B=2∠C,AH为高,M是BC边的中点. 求证:AB=2HM.
取AC中点D,连HD,MD ∴MD∥AB,MD=1/2AB HD=1/2AC ∴∠C=∠DHM ∴∠B=∠ADH ∠CAB=∠CDM ∴∠HDM=∠C=∠DHM ∴DM=HM ∴AB=2HM
7
a
中
点
的
辅 助
倍长中线
线
三线合一
中位线定理 直角三角形斜边中线定理
1
a
直角三角形斜边中线的定义
直角三角形斜边中点和直角顶点的连线 叫做直角三角形斜边中线
中考经典题型--“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用
“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题，下面举例说明．一、有直角、有中点，利用垂直平分线性质【例1】如图，BD 、CE 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点，N 是DE 的中点．求证：MN 垂直平分DE ．二、有直角、无中点，取中点，连线出中线【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD ∥BC ，∠CBE=21∠ABE ，求证：DE=2AB ．三、有中点、无直角，造直角【例3】如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 是AB 、CD 的中点，∠ADC+∠BCD=270°，求证：MN=21（AB －CD ）．四、逆用性质解题 【例4】如图，延长矩形ABCD 的边CB 至E ，使CE=CA ，P 是AE 的中点．求证：BP ⊥DP ．【习题练习】1、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠ABD=∠CBD ，BD ⊥DE 于D ，DE 交BC 于E ，求证：CD=21BE ．2、如图，△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 是BC 的中点，求证：AB=2DM ．3、如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=∠DCB=90°，点M 、N 分别是BD 、AC 的中点.确定MN 、AC 的位置关系．直角三角形斜边上中线性质的应用 一、直角三角形斜边上中线的性质 1、性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图，在Rt △BAC 中，∠BAC=90°，D 为BC 的中点，则BC 21AD =． 2、性质的拓展：如图：因为D 为BC 中点，所以BC 21DC BD ==， 所以AD=BD=DC=BC 21， 所以∠1=∠2，∠3=∠4，因此∠ADB=2∠1=2∠2，∠ADC=2∠3=2∠4．因而可得如下几个结论：①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍．二、性质的应用1、21倍关系求值 例1、如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，若CD=4，则AB= ．2、证明线段相等例2、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，延长BA 到D 点，使AB 21AD =，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点．（1）求证：DF=BE ；（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于G ．求证：AG=DG ．3、证明角相等及角的倍分关系例3、已知，如图，在△ABC中，∠BAC 90°，BD、CE分别为AC、AB上的高，F为BC的中点，求证：∠FED=∠FDE．例4、已知：如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线。
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
A
D
O
在Rt△ABC中,
BO=
1 2
AC
B
C
得到：直角三角形的一个性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
数学语言:
在Rt△ABC中, 若BO是斜边AC上的中线 则 BO12= AC
已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90 °，BO是AC上的中线.
求证: BO =
1 2
AC
B
M
C
如图，在△ABC中， AD⊥BC于点D，E，F， G分别是BC，AC，AB的 中点，若 AB=BC=3DE=6，求四 边形DEFG的周长。
C DN
M A
如图，四边形ABCD中， ∠DAB=∠DCB=90°，点 M、N分别是BD、AC的 中点。MN、AC的位置 关系如何？ 证明你的猜想 。
B
∴CD＝AD＝斜边的一半）
1、已知Rt△ABC中，斜边AB=10cm，则斜边
上的中线的长为_5__c___ m
2、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中
线，∠CDA=80°，则∠A=__5__0_° ∠B=___4_0_°
D
B
C
训练营 A
已知 如图: △ABC是Rt△，∠ABC=Rt∠，
BD是斜边AC上的中线
┓
B
D C
• 若BD=3㎝，则AC＝ 6
㎝
2 若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝ 10
㎝，
BD＝ 5
㎝，∠BDC＝ 120°
3 判断△ABD形状： 等边三角形
判断△CBD形状： 等腰三角形
D 如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的中点，试 C 01
证明: 延长BO至D,使OD=BO, A
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A
EN D
B
M
C
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 B
数学语言表述为：
在Rt△ABC中
D
∵CD是斜边AB上的中线
∴CD＝AD＝BD＝
1 2
AB
A战营
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3、如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的中点，试判 断 DE与CDE是否相等C，并说明理由。
A
E
B
说明两条线段相等，有时还可以通过第三条线段 进行等量代换。
挑战营
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
4、如图所示，BD、CE是三角形ABC的两条高，M、N分别 是BC、DE的中点，请判断MN和DE的关系并说明理由。
荔湾区四中聚贤中学 林丽珊老师
四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一 个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的交 点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？
AA
DD
O
BB 因为OA=OC=OB=OD,
CC
这个游戏是公平的。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
推导
A┛
D
O
如图: 在矩形ABCD中
AO=CO=BO=DO=
1 2
AC=
1 2
B
BD
C
∵在Rt△ABD中，AO是斜边BD的中线
∴AO=
1
BD
2
训练营
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
1、已知Rt△ABC中，斜边AB=10cm，则斜边 上的中线的长为5_c_m____
2、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中 线，∠CDA=80°，则∠A=5__0_°__ ∠B=_4_0_°__