《线性代数》补考模拟卷答案
线性代数模拟试卷及答案
线性代数(文)模拟试卷(一)参考答案一。
填空题(每小题3分，共12分）1.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333222111c b a c b a c b a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333222111d b a d b a d b a B ，2=A ,3=B ，则B A -2=1. 解 B A -2=3332221113332221113333222211112222d b a d b a d b a c b a c b a c b a d c b a d c b a d c b a -=---=12=-B A .2。
已知向量)3,2,1(=α，)31,21,1(=β,设βαT A =，其中T α是α的转置，则n A =A n 13-.解 注意到3321)31,21,1(=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T βα,故n A =βαβαβαβαT n T T T 个)())((=ββαβαβααβαTn T T T T 个)1()())((-=A n T n 1133--=βα。
注 若先写出A ，再求2A ,…,n A 将花比前更多的时间.3。
若向量组T )1,0,1(1-=α，T k )0,3,(2=α，T k ),4,1(3-=α线性相关，则k =3-.解 由1α,2α,3α线性相关，则有321,,ααα=k k 0143011--=1043011--k k k =04)1(3143=--=-k k k k 。
由此解得3-=k .4。
若4阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为21，31，41,51,则行列式E B --1 =24.解 因为A 与B 相似,所以A ,B 有相似的特征值，从而E B --1有特征值1，2，3,4。
故2443211=⋅⋅⋅=--E B . 注 本题解答中要用到以下结论:(1)若A 可逆,A 的特征值为λ,则1-A 的特征值为λ1。
(2)若λ是A 的特征值，则)(A f 的特征值为)(λf ，其中)(x f 为任意关于x 的多项式。
线性代数模拟题1含答案
（A）若 m n ，则 Ax b 有无穷多解；
（B）若 m n ，则 Ax 0 有非零解，且基础解系含有 n m 个线性无关解；
（C）若 A 有 n 阶子式不为零，则 Ax b 有唯一解；
模一第 1 页 共 2 页
（D）若 A 有 n 阶子式不为零，则 Ax 0 仅有零解.
5．若 n 阶矩阵 A，B 有共同的特征值，且各有 n 个线性无关的特征向量，则（ ）.
.
二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1．下列矩阵中，（
）不是初等矩阵.
0 0 1
1 0 0
1 0 0
1 0 0
（A） 0 1 0 （B） 0 1 2 （C） 0 2 0 （D） 0 0 0
1 0 0
0 0 1
0 0 1
0 1 0
2．设向量组1,2 ,3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）.
5.(11 分) 设二次型 f (x1, x2 , x3 ) 5x12 5x22 3x32 2x1x2 6x1x3 6x2 x3 ，
（1）写出 f 对应的对称矩阵 A ；（2）求一个正交变换，化二次型为标准型.
四、证明题(13 分)
1.(6 分)向量组 A :1＝(0,1,1)T, 2＝(1,1, 0)T; 向量组 B : 1＝(1, 0,1)T ,
（2） A E 1 5 3 4 5 3 3 3 5 0 3 3
= (-4)(-9) ….. ……. ….. ……. ……. ……. ….. ……. ……. ……...(3 分)
3. n 元齐次线性方程组 Ax 0 有非零解的充要条件是______ .
4.设 B 可逆，矩阵 C 的秩 R C 3 , A BC ，则矩阵 A 的秩 R A
线性代数补充习题与参考答案
线性代数补充习题 第一章 行列式 一、填空题 1．若 01 0100 =---a b ba ，则 b a ,满足的条件是________ ． 2．排列 36715284 的逆序数为________ ． 3．行列式 =c bf e da0 002101030________ ． 4．行列式=-0 000100 200 1 00 n
=a a a a a a a a a ，则=+-+-+-33 3132 31312321222121 13 11121111322 13221 3221a a a a a a a a a a a a a a a （ ）． （A ）-2 （B ） -1 （C ）2 3 （D ）2 4．设 033 32 31 232221 13 1211 ≠=a a a a a a a a a D ，ij A 是 D 元素 ij a 的代数余子式 （3,2,1,=j i ），若 0333223113≠++j j j A a A a A a ， 则（ ）． （A ）1=j （B ）2=j （C ）3=j （D ）1=j 或 3=j 5．若方程组???????=+=++=-=+020020
必线性相关．（ ） 4．设 n ααα,,,21 为 n 个 m 维向量，且 m n >，则该向量组 必定线性相关．（ ） 5．设 321,,ααα是线性无关向量组， 则向量组 32121105,3,2ααααα+-也线性无关．（ ） 6．设向量组 r ααα,,,21 与 s βββ,,,21 等价，则 r α αα,,,21 的任一极大无关组与 s βββ,,,21 的任一极大无 关组可互相线性表示．（ ） 第四章 线性方程组 一、填空题 1．若方程组??? ??=++=++=++2 3213213211 k kx x x k x kx x x x kx 无解，则=k ． 2．设方程组??? ??-=-+=+-=-+1 554212321321321x x x x x x x x x λλ有唯一解，则≠λ ． 3．齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ有非零解，则=λ ． 二、选择题 1．设 n 元齐次线性方程组 0=Ax 的系数矩阵 A 的秩为 r ，则
线性代数补充习题与参考答案
=a a a a a a a a a ，则=+-+-+-33 3132 31312321222121 13 11121111322 13221 3221a a a a a a a a a a a a a a a （ ）． （A ）-2 （B ） -1 （C ）2 3 （D ）2 4．设 033 32 31 232221 13 1211 ≠=a a a a a a a a a D ，ij A 是 D 元素 ij a 的代数余子式 （3,2,1,=j i ），若 0333223113≠++j j j A a A a A a ， 则（ ）． （A ）1=j （B ）2=j （C ）3=j （D ）1=j 或 3=j 5．若方程组???????=+=++=-=+020020
A ． 6．设)0(≠-? ? ?? ??=cb ad d c b a A ，则 A -1 = ． 7．若???? ? ???? ? ? ?=n a a a A 2 1（n i a i ,,2,1,0 =≠），则=-1A ． 8．设 2=A ，且 A 为三阶方阵，则 =A 3 ． 9．已知??????=101121A ，???? ? ?????=111121B ，则 =AB ． 10．? ? ? ???-=???? ??12643252X ，则=X ． 二、选择题
0101000011110100011001110011111000101 111 000 100 01d c b a d c b a +++=． （ ） 第二章 矩阵 一、填空题 1．设??????????=??????????=101010101,10010101B x A ，且 B A =，则=x ________ ． 2．设???? ??????=??????????=000220001,100120301B A ，则()()=-+B A B A ． 3．设? ? ?? ??=101a A ，则=n A ． 4．设()?? ? ? ??=--=1231,12A x x x f ，则()=A f ． 5．设? ? ????=4321A ，则 A 的伴随矩阵=*
《线性代数》模拟试卷C及答案
《线性代数》模拟试卷C 及答案一、填空题（每小题3分，共30分）1.已知行列式422221111-=-+-+b a b a b a b a ，则=2211b a b a______.2.行列式0111101111011110D ------=的第一行元素的代数余子式之和=+++14131211A A A A ______.3. 已知3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=i h g f ed c b a A 的行列式1-=A ，*A 是A 的伴随矩阵，则=-1*)(A ____________.4. 已知矩阵)1,2,1(-=A ，)1,1,2(-=B 且B A C T =，则=7C ______.5. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111131111A 的三个特征值分别为321,,λλλ，则=λ+λ+λ321______.6. 如果线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211111111321x x x a a a 有无穷多个解，则a =_________.7.设A 是n m ⨯实矩阵，若矩阵A 的秩3)(=A r ，则A A T的秩=)(A A r T_________.8.设B A ,分别为n n m m ⨯⨯,阶矩阵，**,B A 分别为B A ,的伴随矩阵，若2=A ，3=B ，则分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B O O A C 的伴随矩阵=*C _________. 9. 设三阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=403212221A ，三维向量Ta ),1,1,(=α，已知αA 与α线性相关，则=a 。
10. 已知二次型32312123222132166255),,(x x x x x x cx x x x x x f -+-++=的秩为2，则参数=c ________..二、计算题一（每小题8分，共32分）1.计算行列式3315112043512131D ------=2. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211121112A ,,213131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=121112C 。
线性代数模拟试题及答案(三套)
第一套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分)1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12i j ==。
令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。
2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D =(1)n D- 。
即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D =(1)n D-。
3、设1101A ⎛⎫=⎪⎝⎭, 则100A =110001⎛⎫ ⎪⎝⎭。
23111112121113,,010*********A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =15n +。
由矩阵的行列式运算法则可知：1555n n A A +==。
5、A 为n 阶方阵,TAA E =且=+<E A A 则,0 0 。
由已知条件：211,1T T TAA E AA A A A E A A =⇒====⇒=±⇒=-， 而 ：0TTA E A AA A E A A A E A E A E +=+=+=+=-+⇒+=。
6、设三阶方阵2000023A x y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可逆，则,x y 应满足条件32x y ≠。
可逆，则行列式不等于零：2002(32)032023A x y x y x y ==⨯-≠⇒≠。
二、单项选择题(每小题4分，共24分) 7、设0333231232221131211≠=M a a a a a aa a a ，则行列式=---------232221333231131211222222222a a a a a a a a a A 。
A ．M 8 B ．M 2 C ．M 2- D ．M 8-由于 ()()111213111213111213331323331323321222321222321222331323322222228(1)8222a a a a a a a a a a a a a a a a a a M a a a a a a a a a ------=-=--=---8、设n 阶行列式n D ，则0n D =的必要条件是 D 。
线性代数补考 (参考答案)
4．设 ， 是非齐次线性方程组 的解， ， 为常数，若 也是 的一个解，则 =（A）
A．1 B．0 C．－1 D．2
5．若二次型 的秩为2，则k=（C）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(共15分，每题3分)
1． 。
2．若 为三阶矩阵且 =5，则 25。
（6分）；
令 ，即有正交变换 使得： （2分）
四、证明：令 得： （2分）
由向量组 线性无关得 （2分）；
即: ，而 ，由克莱姆法则，方程组只有唯一解 （4分）
所以 ， ， 也线性无关（2分）
一、选择题(共15分，每题3分)
1．设行列式 ，则 等于（C）
A．8 B．－12 C．－24 D．24
2．设A，B，C均为n阶方阵，下列等式一定成立的是（C）
A． B．若 ，则
C． D．
3．若向量组 ， ，…， 线性相关，则（B）
A．向量组中任一向量可由其它向量线性表示B．向量组中至少有一向量可由其它向量线性表示
（2分）；
所以 （3分）
4．解： （6分）；
向量组的秩： （2分）；一个最大无关组： （2分）。
5．解：由 ， ，（6分）
得 ， ，所以方程组有解（2分）；
从而得 ，即 ，令 ， ， ，则方程组的通解为： （其中k1，k2为任意常数）（4分）。
6．解： ，所以 ，
由 ，即 ，得 ， ， （4分）；
由 ，得特征向量分别为： ， ， ，单位化得 ， ，
3．向量组 ， ， ，则 ， ， 是线性相关。（填相关或无关）
4．含有n个未知数的线性方程组 有唯一解的充分必要条件是 。
线性代数模拟试题及答案
3、
1 1 =__________。 2 2 é 2 3ù é - 1ù ú ê ú =__________。 ë - 1 0û ë 3 û
4、矩阵 ê
5、若 A，B 为 n 阶矩阵，则 ( A + B )( A - B ) =__________。 6.设 A, B 为 3 阶方阵，且 A = 4, B = 2 ，则 2( B* A-1 ) = 7、若 A 是可逆矩阵，则 ( A¢ ) -1 =__________。 .
æ- 2 0 0 ö æ1 0 0 ö ÷ ç ç ÷ A - 3E = ç - 2 2 - 2 ÷ ~ ç 0 1 - 1÷ ç - 2 4 - 4÷ ç0 0 0 ÷ ø è è ø æ0ö ç ÷ ì x 2 - x3 = 0 从而解得基础解系 p1 = ç 1 ÷ 得对应的方程组为 í î x1 = 0 ç1÷ è ø
.
A+ B = A + B
A. 若矩阵 A, B 满足 AB = O ，则有 A = O 或 B = O B. 若矩阵 A, B 满足 AB = E ，则矩阵 A, B 都可逆。 C. 若 A* 是 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵，则 A* = A D. 若 A ¹ O ，则 A ¹ 0
7．下列说法不正确的是（ ） 。
æ1 ç 0 8.设矩阵 A = ç ç0 ç ç0 è
2 0 0ö ÷ 1 0 0÷ -1 ，则 A = ÷ 0 3 3 ÷ 0 2 1÷ ø
.
9 、 在 线性方程组 AX = O 中，若 末知 量的个数 n=5 ， r ( A) = 3 ，则方程组的一 般 解中 自由末知 量的个数为 _________。 10. 设向量组 a1 , a 2 , a3 线性无关，则向量组 a1 , a1 + a 2 , a1 + a2 + a3 （填线性相关，线性无关） 。
《线性代数》模拟题(一)及参考答案
线性代数一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题到出的备选项中只有一项是符合题目要求的，请将其选出）1.若A 为4阶方阵,且|A|=5，则|3A|=( )。
A.15B.60C.405D.45中含有4x 的项目的系数是（ ）。
2.设A.1B.-1C.2D.-2 3.设A 和B 都是n 阶矩阵，且|A+AB|=0，则有（ ）。
A.|A|=0 B.|E+B|=0 C.|A|=0 或|E+B|=0 D.|A|=0且 |E+B|=04.若C=AB ，则（ ）。
A.A 与B 的阶数相同; B.A 与B 的行数相同; C.A 与B 的列数相同;D.C 与A 的行数相同。
5.A *是A 的伴随矩阵，且|A |≠0，刚A 的逆矩阵A -1=（ ）。
A.AA* B.|A |A * C. D.A'A * 6.当（ ）时，A =是正交阵。
A.a = 1, b = 2, c = 3B.a = b = c = 1C.a=1,b=0,c ±1D.a=b=1,c=0 7.设A 为三阶方阵，且A 2=0，以下成立的是（ ）。
A.A=0 B.A 3=0C.R(A)=0D.R(A)=3 8.在下列命题中，正确的是（ ）。
A. B.若A ≠B ，则|A|≠|B|C.设A,B 是三角矩阵，则A+B 也是三角矩阵；D.A ²-E ²=（A-E ）（A+E ）9.下列命题中正确的是（ ）。
A.任意n 个n +1维向量线性相关； B.任意n 个n +1维向量线性无关；C.任意n + 1个n 维向量线性相关；D.任意n + 1个n 维向量线性无关. 10.若4321,,,y y y y 是线性方程组AX=O 的基础解系，则4321y y y y +++是AX=O 的（ ）。
A.解向量B.基础解系C.通解D.A 的行向量 11.设 λ =－4 是方阵A 的一个特征值, 则矩阵A －5E 的一个特征值是（ ）。
线性代数模拟题二答案
线性代数 试题 班级 姓名 学号 第 1 页线性代数模拟题（二）答案一、 判断题（正确画“ √ ”，错误画“×”）（每题2分，共10分）（ √ ） 1. 任何矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行最简形矩阵。
（ × ） 2. 若向量组的秩为r ，则向量组中任意1r -个向量线性无关。
（ √ ） 3. 任意两个行列式都可以相乘。
（ × ） 4. 设A ，B 是n 阶方阵，则()222AB A B =。
（ × ） 5. 若两个向量组等价，则它们含有相同个数的向量。
二、 填空题（每空3分，共30分）1．已知4阶行列式1124307115392680D --=----，则11121314539M M M M -+++的值为 0 ，其中M ij 为D 的第i 行第j 列元素的余子式。
2．已知3阶矩阵A 的行列式2A =，则12A -= 4 ，*A = 4 。
3．已知5元齐次线性方程组0Ax =，若利用MATLAB 软件中命令null(A, ‘r ’)可得如下结果：ans =-1 0 -3 1 1 -1 1 0 0 1则（I ）的系数矩阵A 的秩为 3 ，（I ）的通解为12121031,,111001x k k k k R ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪=+∈- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
4．已知非齐次线性方程组的增广矩阵为B =221002101100001010001k k k k -⎛⎫⎪-⎪⎪--⎪+⎝⎭，则当k =0时方程组无解；当k =1时方程组有无穷解。
5．可逆矩阵的列向量组的线性相关性为 线性无关 。
6．已知101010011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的3个特征值为123,,λλλ，则123λλλ++= 1 ，A 的3个特征值的乘积为⋅⋅=123λλλ -1 。
三、 计算题（本题共2小题，每题10分，共20分）1. 已知矩阵201021,112101A B --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，1221C ⎛⎫= ⎪-⎝⎭。
《线性代数》补考试卷A及参考答案
《线性代数》补考试卷A 含答案适用专业：农学.林学.动科等. 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 总分100分 考试日期：2021.9一.选择题（2分×5=10分）1.排列5 1 3 2 4 的逆序数为（ D ） A.4 B.1 C.3 D.52. 设A 为n(n ≥2)阶方阵，且A 的行列式|A |=a ≠0，则1A -等于（ A ） A.1-a B. a C.1-n aD.n a3. 设A 为n 阶可逆阵，则下列成立的是( C ) A.112)2(--=A A B. 11)2()2(--=TTA AC. [][]1111)()(----=TTA A D.[][]TTT AA 111)()(---=4.设B A 、为n 阶可逆方阵，则下列结论成立的是（ C ）。
A 、B A B A +=+ B 、BA AB =C 、BA AB =D 、111)(---+=+B A B A5．设A 为3阶方阵，且2=A ，则A 2=（ C ） A.4 B.8 C.16 D. 21二．填空题（2分×10=20分）1．设A 、B 均为3阶方阵，且|A |=3，|B |=-2，则|AB |= -62. 设A 为方程组⎩⎨⎧=+=+002121x x x x λλ有非零解,则λ=1±3．已知3阶方阵A 的特征值为1,1,2-，则方阵2A 的特征值是4 、 1 、 14.向量α=111,120β⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则[],αβ= 05. 向量α线性相关的充分必要条件是0α=6．设00a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则n A =00nn a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦7.设y x ,为实数，则当=x 0 ， 且=y 0 时，010100=---y x yx三. 计算题：（总共70分）1.计算 cos sin sin cos D θθθθ-=（5分） 2.求13211A -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=（5分）解22cos sin 1D θθ=+= （5分） 解13121A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（5分）3．设矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321212113,B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101012111,求,2TA AB A -（10分） 解：T321A 112,123⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5分） 002AB 2A 210,652⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦（5分）4.求矩阵A 的特征值与特征向量，其中A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---131312121（10分）解=-)det(A E λ]14)1)[(1(1313121212+--=------λλλλλ（3分）11=λ （5分）院系________________ 姓名_____________ 班级________________ 序号_______________当11=λ时：0)(=-X A E （7分）基础解系T )2,1,3(1-=α特征向量为X=K 1α（10分）5．求矩阵E A 2-的逆矩阵，其中A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡300041003 （ 10分） 解：3002002140020003002A E ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（ 3分） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1000210012000200023000410032E A （ 5分）利用分块法可求得其逆矩阵()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=--1000212100121E A （ 10分）6设矩阵1101121301120111A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦,求矩阵A 的列向量组的秩，并求A 的列向量组的一个最大无关组。
线性代数模拟试卷及答案4套
线性代数模拟试卷（一）一、 填空题（每小题3分，共6小题，总分18分）1、四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a 展开式中，含有因子3214a a 且带正号的项为___________2、设A 为n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为B ，则AB -1=_________3、已知向量组)2- 5, 4,- ,0( , )0 t,0, ,2( , )1 1,- 2, ,1(321'='='=ααα线性相关，则t =_________4、设三阶方阵) , ,(B ), , ,(2121γγβγγα==A ，其中 , ,,21γγβα都是三维列向量且2B 1, ==A ，则=- 2B A _________5、A 为n 阶正交矩阵， , ,,21n ααα 为A 的列向量组，当i ≠j 时，)21 ,31(j i αα=_________ 6、三阶方阵A 的特征值为1，-2，-3，则 A =_______; E+A -1的特征值为______ 二、 单项选择题（每小题2分，共6小题，总分12分） 1、 设齐次线性方程组AX=0有非零解，其中A=()nn ija ⨯，A ij 为a ij (i,j=1,2,…n) 的代数余子式，则（ ） (A)0111=∑=ni i i A a(B)0111≠∑=ni i i A a(C)n A ani i i =∑=111(D)n A ani i i ≠∑=1112、若A -1+ E, E+A, A 均为可逆矩阵，E 为单位矩阵，则(A -1+ E)-1=( ) (A) A+E (B) (A+E)-1 (C) A -1+ E (D) A(A+E)-13、设A, B 为n 阶方阵 ，A*,B*分别为A, B 对应的伴随矩阵，分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B 00 A C ，则C 的伴随矩阵C* =( )(A) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*A B 0 0 *B A (B) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*B A 0 0 *A B(C) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*B B 0 0 *A A (D) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*A A 0 0 *B B 4、若向量组 , ,,21m ααα 的秩为r ，则（ ）(A) 必有 r<m (B)向量组中任意小于 r 个向量的部分组线性无关 (C) 向量组中任意 r 个向量线性无关(D) 向量组中任意 r+1个向量必线性相关5、已知 ,,321ααα是四元非齐次线性方程组AX=B 的三个解，且r(A)=3, 已知)3 2, 1, ,0( , )4 3, 2, ,1(321'=+'=ααα，C 为任意常数，则AX=B 通解X=( )(A) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11114321C (B)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32104321C(C) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛54324321C (D) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛65434321C6、设A 为三阶方阵，有特征值λ1=1，λ2= -1， λ3=2，其对应的特征向量分别为 ,,321ααα，记P=(132 ,ααα)，则P -1AP=( )(A) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1 2 1- (B)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1- 1 2(C) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 1- 1 (D) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 1 1-三、计算下列行列式 （12分）1、 D=1- 3 3- 131 1 41- 3 0 5-21- 1 3 2、D n = n1 1 1 1.....................1 1 3 1 111 12 111 1 1 1四、已知A 、B 同为3阶方阵，且满足AB=4A+2B (12分) （1）证明：矩阵A-2E 可逆（2）若B=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 0 00 2 10 2- 1 ，求A五、求向量组 )1 1, 1,- ,1( , )3 2, 1, ,1(21'='=αα， , )6 5, 2,- ,4( , )1 3, 3, ,1( 43'='=αα)7- 4,- 1,- ,3(5'-=α的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示（10分）六、已知线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=+++-=+-=+-+bx x x x x ax x x x x x x x x x 432143214314321 6 - 17231 4 032 ，讨论参数a 、b 为何值方程组有解，在有解时，求出通解 （12分）七、用正交变换化二次型323121232221321222333),,(x x x x x x x x x x x x f ---++=为标准形，并写出相应的正交变换 （16分）八、已知 ,,,4321αααα是AX = 0的一个基础解系，若322211,ααβααβt t +=+=，144433,ααβααβt t +=+=,讨论t 为何值， ,,,4321ββββ是AX = 0的一个基础解系 （8分）线性代数模拟试卷(二)三、 填空题（每小题3分，共5小题，总分15分）1、j i a a a a a 53544231是五阶行列式展开式中带正号的一项，则i=_____, j=_____2、设n 阶方阵A 满足A 2 =A ，则A+E 可逆且（A+E ）-1=_______________(E 为n 阶单位阵)3、已知向量组)0 6, 1,- ,1( , )2k - k,- ,3 ,1( , )2- 2, 1, ,1(321'='='=ααα 若该向量组的秩为2，则k =_________4、已知四阶方阵A 相似于B ，A 的特征值为2，3，4，5，E 是单位阵，则=- E B _________5、 向量α=（4，0，5）′在基)1 ,1- ,1(,)0 ,1 ,1( ,)1 ,2 ,1(321'='='=ηηη下的坐标为_________四、 单项选择题（每小题2分，共5小题，总分10分）1、 设 A 是三阶方阵A 的行列式，A 的三个列向量以γβα ,,表示，则 A =（ ） (A)αβγ (B) γβα---(C)αγγββα+++ (D) γβαβαα+++2、设A, B ，C 为n 阶方阵, 若 AB = BA, AC = CA, 则ABC=( ) (A) BCA (B) ACB (C) CBA (D) CAB3、 A, B 均为n 阶方阵, A*为A 的伴随矩阵， 3B 2, -==A ，则21-*B A = ( )(A) 32 12--n (B) 32 1--n (C) 23 12--n (D) 23 1--n4、已知向量组 , ,,4321αααα线性无关，则向量组（ ） (A)14433221 , , ,αααααααα++++线性无关(B)14433221 , , ,αααααααα----线性无关(C)14433221 , , ,αααααααα-+++线性无关 (D)14433221 , , ,αααααααα--++线性无关5、若A ～ B ，则 有 ( )(A) A 、B 有相同的特征矩阵 (B) B =A(C) 对于相同的特征值λ，矩阵A 与B 有相同的特征向量 (D) A 、B 均与同一个对角矩阵相似三、计算下列行列式 （13分）2、 D=2- 3 0 112 1 - 121 0 331- 2 1 4、D n = 11 1 111 x 1 1 (1)1 1 1 x 1 1 1 1 x x ++++a)设B= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 0 0 01- 1 0 00 1- 1 00 0 1- 1 ，C=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2 0 0 01 2 0 03 12 043 12 ,且矩阵A 满足 E C B C E A =''--)(1, 试将关系式化简并求A (12分)b)求向量组, )4 1,- 2, ,1(1'=α )2 3, 1, ,0( 2'=α， , )14 0, 7, 3,(3'=α , )10 1, 5, 2,( 4'=α)0 2,- 2, ,1(5'=α的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示 （13分）六、k 为何值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++---=+++=+++kx x x x x k x x x x x x x x x x x 9 10 5 - 3)5(2 31 6 3 13 2 4321432143214321 有无穷多个解并求出通解 （14分）七、用正交变换化二次型31232221321422),,(x x x x x x x x f +-+=为标准形，并写出相应的正交变换 （16分）八、若矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0y 10 1- 01 x0 有三个线性无关的特征向量，证明：x – y = 0线性代数模拟试卷(三)一、填空题（每小题3分，共18分）1、A 是三阶方阵，且|A|＝6，则 |(3A)-1|＝ 。
线性代数模拟题及答案
模拟试题一一. 填空题 （将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1．n 阶行列式D 的值为c, 若将D 的所有元素改变符号, 得到的行列式值为 .2．设矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101020101 ，矩阵X 满足 E AX + = X A +2 ，则X = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2010301023．设n 阶矩阵A 满足 E A A 552+- = 0 ，其中E 为n 阶单位阵，则 1)2(--E A =4．设A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为 1，2，3，则EA +*= .5．当 λ 满足条件 时线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-++-=-++-=+--00004321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x λλλλ 只有零解．二、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案, 将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共20分)1．131211232221333231333231232221131211222333 d a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---=则=( ).① 6d ② ―6d ③ 4d ④ ―4d 2. 向量组 s ααα,,,21Λ的秩为s 的充要条件是（ ）。
① 向量组不含零向量② 向量组没有两个向量的对应分量成比例 ③ 向量组有一个向量不能由其余向量线性表示 ④向量组线性无关3. 当t =（ ）时，向量组 ),4,5( , )5,2,3( , )0,1,2(321t ===ααα线性相关。
① 5 ② 10③ 15 ④ 204．已知向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组（ ）线性无关。
① α1+2α2+α3, 2α1+4α2+α3, 3α1+6α2 ② α1, α1+α2, α1+α2+α3 ③ α1+α2, α2+α3, α1+2α2+α3 ④ α1-α2, α2-α3, α3-α15. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=63322211t A , B 为三阶非零矩阵且AB = 0, 则( ). ① 当t = 4时,B 的秩必为1 ② 当t = 4时,B 的秩必为2 ③ 当t ≠ 4时,B 的秩必为1 ④ 当t ≠ 4时,B 的秩必为26．设非齐次线性方程组A X = b 中未知量个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则 ．① r = m 时，方程组A X = b 有解 ② r = n 时，方程组A X = b 有唯一解 ③ m = n 时，方程组A X = b 有唯一解 ④ r ＜ n 时，方程组A X = b 有无穷多解7． 设矩阵A 和B 等价，A 有一个k 阶子式不等于零，则B 的秩（ ）k.① < ② = ③ ≥ ④ ≤8. 一个向量组的极大线性无关组（ ）. ① 个数唯一 ② 个数不唯一 ③ 所含向量个数唯一 ④ 所含向量个数不唯一9. 下列关于同阶不可逆矩阵及可逆矩阵的命题正确的是( ). ① 两个不可逆矩阵之和仍是不可逆矩阵 ② 两个可逆矩阵之和仍是可逆矩阵 ③ 两个不可逆矩阵之积仍是不可逆矩阵④ 一个不可逆矩阵与一个可逆矩阵之积必是可逆矩阵10．已知任一n 维向量均可由n ααα,,,21Λ线性表示，则n ααα,,,21Λ（ ）。
线性代数模拟试题 答案
线性代数模拟题一、 填空（3＊5）。
1、设f (x )=|x2112x 3232x 101x x |,则f (x )中常数项为（）,项的系数为（）。
2、若A 为五阶方阵，且A=3，则AA T =（），（A *）*=（），2A -1-A *=（） 3、设A=[a b bba b bba]，r （A *）=1，则a,b 关系为（）。
4、设A 是n 阶矩阵，对于其次线性方程组AX=0，如A 中每行元素之和全部为零，且r(A)=n-1,则方程组的通解是（）。
5、A 与B 有相同的特征值是A~B 的（）条件。
二、选择（3＊5）。
6、已知2n 阶行列式D 的某一列元素及其余子式都等于a ，则D=（） （A ）0 （B ）a 2 （C ）-a 2 （D ）na 27、已知A ，B 均为n 阶矩阵，满足AB=0，若r （A ）=n-2，则（） （A ）r （B ）=2 （B ）r （B ）<2 （C ）r （B ）<=2 （D ）r （B ）>=18、要使ε1=[102]ε2=[01−1]都是线性方程组的解，只要系数矩阵A 为（）（A ）[−2114−2−2]（B ）[20−1011]（C ）[−10210−2]（D ）[01−1 4−2−2 011]9、设A为m*n矩阵，线性方程组AX=B对应的导出组为AX=0，则下列结论中正确的是（）（A）若AX=0仅有零解，则AX=B有唯一解（B）若AX=0有非零解，则AX=B有无穷多解（C）若AX=B有无穷多解，则AX=0有非零解（D）若AX=B有无穷多解，则AX=0仅有零解10、设A是三阶矩阵，A，A+I，I-2A均不可逆，则A的三个特征值是（）（A）0，1，2 （B）0，-1，2（C）0，-1，1/2（D）0，1，-1/2二、判断（2＊5）。
11、每行元素之和为零的行列式值为零。
（）12、若A，B，C都是n阶方阵，则（ABC）k=A k B k C k. （）13、设n阶方阵A经过若干次初等变换后变成B，则|A|=|B|. （）14、向量组α1α2…αs 的秩不为零的充分必要条件是α1α2…αs中至少有一个非零向量。
线性代数B模拟试卷参考答案
线性代数B模拟试卷参考答案线性代数B 模拟试卷参考答案模拟试卷⼀⼀、（15分）填空题：1.设123456110A ??=-，则 |A|= , A*=,A -1=.2.设4维向量α=(1,2,0,-3)T , β=(2,-1,5,0)T ,则α与β的内积(α,β)= , 夹⾓<α,β>= .3.齐次线性⽅程组123412341234123423024025200ax x x x x x x x x x x x x x x x +++=??-+-=??+--=??+++=?有⾮零解，则a= . （由系数⾏列式为0推得） 4.设矩阵123456A ??=??-??，1224510B ??=??-??，初等矩阵P 满⾜：AP=B,则P=.（A 的第3列-第1列得B ，所以P 为E 的第3列-第1列所得初等阵） 5. α1,α2,α3,α4均为3维向量，则向量组α1,α2,α3,α4必线性关. （ch3/Th7/推论2）⼆、（15分）选择题： 1.设3阶⾏列式112233112233112233a x a x a x Db y b y b yc z c z c z +++=++++++则（）. （A ）123123123123123123a a a x x x D b b b y y y c c c z z z =+；（B ）122331223312233122331223312233a a x a x x a x a x D b b y b y y b y b y c c z c z z c z c z ++++=+++++++++ （C ）123123123123123123123123123a a x a x a x a a Db b y b y b y b bc c z c z c z c c =++. (ch1/⾏列式性质5)2.设矩阵A 的秩R(A)=r,则（）.(A)A 中只有⼀个r 阶⼦式不为零，其余的r 阶⼦式全为零；(B) A 中存在⼀个r 阶⼦式不为零，所有的r+1阶⼦式（若有）全为零； (C) A 中所有的r 阶⼦式均不为零，⽽⾼阶⼦式全为零.3. 设线性⽅程组12312321231ax x x x ax x a x x ax a ++=??++=??++=?有唯⼀解，则（）. (A)a=1;(B)a=-2;(C)a ≠1且a ≠-2.4.设向量组α1,α2,…，αs 线性相关，则（）.(A) α1⼀定可由α2,α3,…，αs 线性表⽰； (B) α1⼀定不可由α2,α3,…，αs 线性表⽰；(C) 其中⾄少有⼀个向量可由其余s-1个向量线性表⽰. 5.n 阶⽅阵A 与对⾓阵相似，则（）.(A)A 有n 个不同的特征值；(B) A 有n 个相同的特征值；(C) A 有n 个线性⽆关的特征向量. 三、（14分）设n 维向量αT = (1/2,0,…,0,1/2),⼜A=E-ααT , B=E+2ααT ,其中E 为n 阶单位矩阵，求AB,A -1,B -1,并写出A -1与B -1的具体形式.四、（16分）设向量组α1=(1,2,3,4)T , α2=(2,3,4,5)T , α3=(3,4,5,6)T , α4=(4,5,6,7)T ,求该向量组的秩及⼀个最⼤⽆关组，并将其余向量表⽰成最⼤⽆关组的线性组合. 五、（14分）求⾮齐次线性⽅程组1234123412342546235843622x x x x x x x x x x x x +-+=??-+-=??-+-=?的通解.六、（18分）设⼆次型f=2x 12+3x 22+3x 32+4x 2x 3. 1.写出f 的矩阵；2.求A 的特征值与特征向量；3.⽤正交变换X=QY 将f 化为标准形，并写出正交矩阵Q. 七、（8分）证明：若为A 正交矩阵，则A 的伴随矩阵A*也为正交矩阵.模拟试卷⼆⼀、（15分）填空题：1.在4阶⾏列式det[aij]中，含有因⼦a 11a 32的项有：.130121A ??=A T 为A 的转置矩阵，则矩阵乘积AA T = ，A T A= .3. 矩阵103211000000A =??的秩= . 4.设B,C 为可逆矩阵，分块矩阵O B A C O ??=??, 则A -1= 5. ⽤矩阵形式表⽰⼆次型f=x 12+x 1x 2+2x 22+3x 32-2x 2x 3,f= X T AX ，其中X=123x x x ?? ?，.⼆、（15分）选择题：1.设α=(1,2,3)T , β=(1,1/2,1/3)T ,A=αβT ,则A 10=（）.（A ）310; (B) 911/21/33212/333/21；（C ）10101010101011123221()333()12. .2.设线性⽅程组1231232312(2)(2)33(2)3x x x x a x b x ax a b x +-=?++-+=??-++=-?有⽆穷多组解，则（）.(A)a=b ≠0;(B) a ≠0且a ≠b;(C)a=b=0.. 向量组α1,α2,…，αs 线性⽆关的充要条件为（）.(A) α1不能由α2,α3,…，αs 线性表⽰；(B)α1,α2,…，αs 的秩⼩于s ； (C) α1,α2,…，αs 的秩等于s. 4.设b A a ??=为正交矩阵，则（）. （b=(B) a=b=(C) a=b=0. 5.设3阶⽅阵A 与对⾓阵100020003??-??相似，则（）.(A)A -1有特征值1，2，-3；(B) A+E 有特征值2,3,-2；(C) A 2有特征向量1,2,-3 三、（18分）设矩阵1201512031001000A=，,试求1.|A|;2.A -1;3.|A 4|. 2.12011000100000015120010002011001[|]31000010010000131000000101200105r A E-?--1000001100001010000130100001300011025001001/21/210020011200011025r r--→→---???---, ∴A -1=0001001301/21/211025-?--??-??. 3.|A 4|=|A|4=16.四、（16分）求齐次线性⽅程组1234123412342546235843622x x x x x x x x x x x x +-+=??-+-=??-+-=?的通解.五、（16分）设向量组α1=(1,2,3,4)T , α2=(-1,1,-1,0)T ,α3=(2,-1,3,1)T , α4=(0,3,2,4)T ,求该向量组的秩及⼀个最⼤⽆关组，并将其余向量表⽰成最⼤⽆关组的线性组合.六、（20分）设对称矩阵A=2000120211.求A 的特征值与特征向量；2.求⼀个正交矩阵Q 和对⾓阵Λ,使得Q -1AQ=Λ.模拟试卷三⼀、（15分）填空题：1.设n 阶⽅阵A 的⾏列式|A|=2,则A 的伴随阵的⾏列式|A*|= .123110,111A =--??121111,110B ??=--矩阵X 满⾜： AX=B,则X=A -1B=3. 设ξ1=(2,0,-1)T, ξ2=(1,0,0)T 为线性⽅程组1231231232112225x x x x x x ax bx cx ++=??-+=??++=? 的两个解向量，则⽅程的通解为 .（⽅程解不唯⼀，故系数⾏列式|A|=0，R （A ）=2，AX=0基础解系有n- R （A ）=3-2=1个解向量, ξ=ξ1-ξ2=(1,0,-1)T 为基础解系）4. 向量组α1=(1,2,-3)T , α2=(-2,1, 0)T , α3=(0,5,-6)T ,线性关.5. 设n 阶⽅阵A 与B 相似，A 有特征值1，2，-3,则 B -1+E 有特征值 . ⼆、（15分）多项选择题：1.设A,B 均为n 阶可逆⽅阵,则（）.(A)齐次线性⽅程组ABX=0只有零解; (B)(A+B)-1=A -1+B -1; (C) A 的特征值全不为零.2.设A,B 均为n(n ≠1)阶矩阵则（）. (A)(AB)T =A T B T ;(B)|AB|=|A||B|;(C)|2A|=2|A|.3.设λ为n 阶可逆矩阵A 的特征值，则（）. (A)1/λ为A -1的特征值；(B) λ2为A 2的特征值； (C)φ(λ) 为φ(A)的特征值,其中φ(x)为x 的多项式.4.n 阶⾏列式.....................a b b b a bb b a的值为（）. (A)(a+nb)(a-b)n-1;(B) (a-b)n +nb(a-b)n-1；(C)[a+(n-1)b](a-b)n-1. 5.设α1=(1,-2,5)T , α2=(-2,4,-10)T ,则（）.(A)(α1,α2)= -60；(B) α1 与α2正交；(C) α1,α2线性相关. 三、（10分）求⾮齐次线性⽅程组四、（10分）求向量组α1= (1,1,2,3)T , α2=(1,-1, 1,1)T , α3=(1,3,3,5)T , α4=(4,4,8,12)T ,的秩及五、（15分）问a,b 为何值时，线性⽅程组1231231234324ax x x x bx x x bx x ++=??++=??++=?有唯⼀解？有⽆穷多组解？⽆解？六、（20分）设对称矩阵A=120 220 001-1.求A的特征值与全部特征向量；2.求⼀个正交矩阵Q和对⾓阵Λ,使得Q-1AQ=Λ.七、证明题：1.（7分）设A,B均为n阶正交矩阵，试证A-1B也是正交矩阵.2.（8分）设向量组α1,α2,…，αs（s>1）线性⽆关，⼜β1=α2+α3+…+αs，β2=α1+α3+…+αs ，β3=α1+α2+α4+…+αs，… ，βs=α1+α2+…+αs-1，证明向量组β1, β2,…，βs线性⽆关.。
线性代数模拟试题及答案
线性代数模拟试题及答案. . .. . ... .专业 . .《线性代数期末模拟试题⼀》⼀、填空（本题20分每⼩题2分） 1．设)det(ij a 为四阶⾏列式,若23M 表⽰元素23a 的余⼦式，23A 表⽰元素23a 的代数余⼦式，则23M +23A = 。
2．三阶⾏列式3331221311000a a a a a 中只有位于两条对⾓线上的元素均不为零，则该三阶⾏列式的所有项中有项不为零，这⼀结论对n 阶⾏列式（填成⽴或不成⽴）。
3．设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,,(321ααα=A 记矩阵),,2(313221αααααα-+-=B ，若6=B ，则=A 。
4．设矩阵???-=?-= -=458271,131027241,213012C B A ，则=-C B A T2。
5．设矩阵A 可逆，且矩阵AB C =，所以矩阵C ⼀定可以由矩阵B 经过（填⾏或列）初等变换⽽得到。
6．设向量组43,21,,,αααα，若,3),,(,2),,(432321==ααααααR R 则1α⼀定得分阅卷⼈. . .. . ... .专业 . .可以由向量唯⼀的线性表⽰。
7．⾮齐次线性⽅程组b Ax =有唯⼀的解是对应的齐次⽅程组0=Ax 只有零解的充分但不必要条件。
8．设3阶矩阵A 的⾏列式0=A ，则矩阵A ⼀定有⼀个特征值。
9．n 阶矩阵A 有n 个特征值1，2，, n ，n 阶矩阵B 与A 相似，则=B 。
10．向量组：[][]1,121,1,12121-==p p（填是或不是）向量空间2R ⼀个规正交基。
⼆、单项选择（本题10分，每⼩题2分）注意：请务必将你的选择题的答案按要求填⼊下表，否则答案⽆效！1．设矩阵A 为n 阶⽅阵，则关于⾮齐次线性⽅程组b Ax =的解下列说法（）. . .. . ... .专业 . .不正确（A ）若⽅程组有解，则系数⾏列式0≠A ; （B ）若⽅程组⽆解，则系数⾏列式0=A ;（C ）若⽅程组有解，则或者有唯⼀解或者有⽆穷多解; （D ）系数⾏列式0≠A 是⽅程组有唯⼀解的充分必要条件. 2. 设A 为n 阶可逆矩阵，下列正确的是（）（A ） (2)2T T A A =； (B) 11(2)2A A --=； (C) 111[()][()]T T A A ---=；(D) 111[()][()]T T T A A ---=。
线代模拟测试4-答案
上式左乘 An1 ，得 k1An x = k1 0. 同理，得 k2 k3 kn 0 ，由定义知，向量组 x, Ax, A2 x, , An x 线性无关. 又 x, Ax, A2 x, , An x 为 n 1个 n 维向量，故必线性相关，矛盾，假设不成立. 因 此 An x ，故（II）的解必是（I）的解.
因为 AA* A E 0, 故 A* 的列向量均为 Ax 0 的解，又 A11 0 ，故可取 A* 的
第一列 A11, A12 , , A1n T 为基础解系，从而 Ax 0 的通解为 k A11, A12 , , A1n T ， k 为任意常数.
三、解答题
（10）【解析】(Ⅰ)因为 AB O ，又 B O, 故 Ax 0 有非零解，则
2020 班模考试卷解析
线性代数模拟测试题（4）
参考答案与解析
一、选择题
（1）【答案】（A）.
【解析】方程组 Ax b 无解 r( A) r( A,b), 又
1 2 1 1 1 2 1 1
(
A,b )
2
3
a2
3
0
1
a
1
1 a 2 0 0 a 2 3 1
1 2
1
1
0
1
a
1 .
12 1
A 1 a 2 a 1 a a 2 0 a 0或2.
1 a 2 2a 3
1 2 1 1 2 1
2
（Ⅱ）当 a
0
时，A
1
2
1
0
0
1
,
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《线性代数一》2010年下半年补考模拟题答案一、填空题（每小题3分，共18分）1. 用行列式性质计算：xy x y y x y x x yxy+++= .解：考察知识点：行列式性质，包括最常见的初等变换（初等行变换3种，哪3种？对行列式变化有何影响？）(1)(2)2()2()2()1112()x y x y x y x y x y y x y x y x y x x y y x y x x yx yx yxyx yxy+++++=+=+++++(3)22331112()02()2()()2()0x x yx y x x y x y x y x xy y x y y xyx-=+-=+=+-+-=-+----其中：（1）将第二、三行加到第一行； （2）提出第一行的公因子；（3）将第一行依次乘以-y,-(x+y),分别加到第三行和第四行。
注意：行列式的性质非常重要，一定要熟练掌握，灵活应用。
2. 排列123456789的逆序数为 0 .解：一定要理解记住逆序数的定义。
按顺序来，从第一个元素到最后一个元素，都拿它与后面的元素进行比较，结果进行累计。
第一个元素为1，后面的元素均比它大，故有0个逆序； 第二个元素为2，后面的元素都比它大，同样有0个逆序； 依此类推。
得出每个元素，与其后面的元素进行比较，都没有逆序出现，故逆序数为 0+0+……+0=03. 已知向量()1234,2,1,(0,1,6),(8,9,10)ααα===-，则122322()Tααααα-+= 。
解：考察向量的四则运算()()()1223282()4,2,12(0,1,6)((0,1,6)9)(0,1,6)104,0,11(51)(0,1,6)4,0,11(0,51,306)(4,51,317)T ααααα⎛⎫⎪-+=-+ ⎪ ⎪-⎝⎭=-+-=--=-- 4. 设011510310A B -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，, 则=AB ；21n A += 。
（其中n 为自然数）。
解：考察矩阵间的乘积运算和幂运算。
直接根据定义计算即可31015AB ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，在求幂方时，由于指数是抽象的，所以必须找出规律，因为21001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭2=I 为单位矩阵，则由单位矩阵性质知对,P ∀矩阵则PI P =342,A A A A I ⇒===……..所以，得出规律当幂指数为偶数时，则结果其实就是单位矩阵，当为奇数时，结果就是A 本身，故210110n A +⎛⎫= ⎪⎝⎭.5. 设n 阶矩阵A 非奇异(2)n ≥，*A 是A 的伴随矩阵，则**()A = 。
解：*1**1112()()11()*()nn A A A A A A A A A A A A A A-----=⇒===若这样看起来比较复杂，则可以令*1A A A B -==则有：***11112()()11()*()nn A B B B A A A A A A A A A A-----=====结果其实是一样的，只是看起来容易理解一点。
6. 设s ηηη,,,21 是非齐次线性方程组b Ax =的解，s s k k k ηηη+++ 2211 也是b Ax =的解，则s k k k ,,,21 应满足的关系为12s k k k +++= 。
解：由题目条件得有,1,2,...,i A b i s η==，要使得s s k k k ηηη+++ 2211也是解，则应该有：1122()s s A k k k b ηηη+++=，而我们知，1122112212()...()s s s s s A k k k k A k A k A k k k b b ηηηηηη+++=+++=+++=因此，要求12s k k k +++=1二、选择题（每小题3分，共27分）1.203210k k k k +≠++的充分必要条件是（C ）。
A 、1k ≠ B 、6k ≠- C 、61k k ≠-≠且 D 、61k k ≠-≠或 解：直接计算得2(210)(2)(3)(6)(1)3210k k k k k k k k k k +=+-++=+-++0≠61k k ⇔≠-≠且，选C2．设,,A B A B +以及11A B --+均为n 阶可逆矩阵，则111()A B ---+等于（C ） A 、11A B --+ B 、A B + C 、1()A A B B -+ D 、1()A B -+解：考察矩阵的逆运算。
A 的逆必须满足11*AA A A I --==，11()A A --=。
选项A 中，1111112()()()A B A B A B ------++=+不会恒等于I ；选项B 中 11111111()()2A B A B AA BA AB BB I BA AB --------++=+++=++，不恒等于I ；同理运算D ，不是答案；选项C 中，设1()A A B B -+的逆为P ，要证P 即为11A B --+，1111(())()()A A B B P I A B BP A BP A B A ----+=⇒+=⇒=+11111111()P B A B A B AA B BA B A --------⇒=+=+=+111(())()A A B B A B I ---⇒++=，即111()A B ---+为1()A A B B -+，选C3. 设n 阶方阵,,A B C 满足关系式ABC I =，其中I 是n 阶单位矩阵，则必有（D ）。
A 、ACB I = B 、CBA I = C 、 BAC I = D 、 BCA I =解：同样考察矩阵，包括逆矩阵、矩阵乘积等运算。
由于ABC I =，一般我们有11PP P P I --==，因此题目我们可以得出有以下两种结果：()()()()AB C C AB IA BC BC A I====将与之四个选项对比，明显选D 。
4. 已知,P Q 为n 阶正交矩阵，则下列为错误的是（A ） A 、1Q = B 、PQ 也为正交矩阵 C 、1TQ Q -= D 、1Q Q -=解：考察正交矩阵的性质，看教材P188：由性质1和正交矩阵行列式值有两种可能，1或-1，故A 错； 由性质3知PQ 也为正交矩阵，故B 正确；由性质2知1T Q Q -=，而我们知1T Q Q Q -==，因此C 项与D 项均正确，答案选A 。
5. 下列所指明的各向量组中,( B )中的向量组是线性无关的. A.向量组中含有零向量B.任何一个向量都不能被其余向量线性表出C.存在一个向量可以被其余向量线性表出D.向量组的向量个数大于向量的维数解： 考察线性相关和无关的性质。
首先，零向量与任何向量都是线性相关的，因此线性无关的向理组中不可能有零向量，A 错； 定理3.7，教材P132，向量组线性相关充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合，即至少有一个向量可以由其余向量线性表出（见P124定义3.5）,其逆否定题为：任何一个向量都不能被其余向量线性表出则是线性无关，B 正确； C 中是使得定理3.5线性相关成立的条件，故错误；D 中，向量组的维数即等于向量组的秩，即是其极大无关组所含向量的个数，若向量组的向量个数大于向量的维数，说明极大无关组不是向量组本身，而只是其子集，说明向量组线性相关，D 错误，选择B 。
6.下列叙述中，错误的有（ C ）A 、若向量αβ与正交，则对于任意实数,,a b a b αβ与也正交B 、若向量β与向量12αα，都正交，则β与12αα，的任一线性组合也正交C 、若向量αβ与正交，则αβ与中至少有一个零向量D 、若向量α与任意同维向量正交，则α是零向量解： 对于A ，因0T αβ=，则()()()0T T a b ab αβαβ==对于B ，因10T αβ=，20Tαβ=，则1122112212()000T T T T k k k k k k ααβαβαβ+=+=+= 对于C ，设(1,0),(0,1)T T αβ==,则0T αβ=，但是αβ与均为非零向量，C 错。
对于D ，设121(,,),(1,0,0)T T n x x x αε==…，，…，0,则110T x αε==，同理可证230n x x x ====…，故α是零向量。
选C 。
7. 设,A B 为n 阶矩阵，且,A B 相似，则以下错误的是（C ） A 、()()r A r B =； B 、A B =； C 、,A B 有相同的特征向量；D 、,A B 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。
解：考察相似的定义及相关性质，教材P117相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征值，有相同的秩，有相同的行列式值，但不一定有相同的特征向量，因此，明显选C 。
8. 若A 是m n ⨯矩阵，0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的导出组，则下列结论正确的是（D ）A 、若0Ax =仅有零解，则Ax b =有惟一解；B 、若0Ax =有非零解，则Ax b =有无穷多个解；C 、若Ax b =有无穷多个解，则0Ax =仅有零解；D 、若Ax b =有无穷多个解，则0Ax =有非零解。
解：考察0Ax =与Ax b =之间的关系，请参看教材第三章第五节。
同时要注意到0,.Ax Ax b ==有解时未必有解因为Ax b =解的形式为：一个特解+ 0Ax =的基础解系，当然它也可以无解；若0Ax =仅有零解，等价于0Ax =只有唯一解，即基础解系就为零，因此Ax b =要么无解，要么解的形式：一个特解+0（即唯一解），因此A 错；若0Ax =有非零解，即基础解系不等于0，则Ax b =要么无解，要么解的形式：一个特解+ 0Ax =的非零基础解系，即有无穷多解，因此B 错；反过来，若Ax b =有无穷多个解，则解的形式必为：一个特解+ 0Ax =的非零基础解系，因此0Ax =有非零解，故C 错，选D 。
9. 设向量组()12341,1,3,1,(1,1,1,3),(5,2,8,9),(1,3,1,8)αααα==--=--=-，则其极大线性无关组为（C ）。
A 、1234,,,ααααB 、123,,αααC 、 124,,αααD 、 14,αα解:考察极大线性无关组的定义及求解， 设()1234TT T TA αααα=进行初等行变换(1)(2)(5)(3)(4)115111511151112302740274318102740000139804149000131151100115127027401220001000100000000A ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪=−−→−−→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪−−→−−→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7010200010000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中：（1）将第一行的(-1)倍加到第二行,第一行的(-3)倍加到第三行,第一行的（-1）倍加到第四行;（2）将第二行的(-1)倍加到第三行，第一行的（-2）倍加到第四行; （3）互换第三行和第四行； （4）将第二行除以2;（5）将第三行加到第一行；第三行的（-2）倍加到第二行；第二行加到第一行;由于矩阵的初等变换不改变其列向量的线性关系,故得该向量组有两个极大线性无关组，分别为124134,,,,αααααα或（实际上,上式只需化简到(2)后面的矩阵(记为B)即可.对矩阵B,通过观察可知.）因此，只有选项C 符合答案，故选C 。