圆中与有关切线的问题
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圆中与有关切线的问题
基础知识:
一、切线的定义:①与圆只有一个公共点的直线。
②若圆心到直线的距离与半径相等。
二、切线的性质:
1、若L是圆的切线,则圆心到直线的距离等于半径。
2、圆的切线垂直过切点的半径。
3、推论:圆心、切点、垂直
三、切线的判定:
1、定义法:与圆只有一个公共点。
2、数量法:∵d=r ∴直线是圆的切线
3、过半径的外端且与它垂直的直线。
方法:a、有明确的公共点,作半径,证垂直;
b、无明确公共点,过圆心作垂直,证半径。
四、与切线有关的问题:
1、切线长定理:
a、切线长定义:
b、切线长定理:过圆外一点引圆的两条切线,这两条切线相等,连接圆心与圆
外的点平分两切线所成的角。
2、弦切角:
a、弦切角的定义:
b、弦切角定理(不能直接用)
弦切角等于弦切角所夹弧所对的圆周角。
3、三角形的内切圆:
a、定义:如果三角形的三边都与这个圆相切,则这个圆叫这个三角形的内切圆。
b、Rt△内切圆半径公式:
Rt△内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半。
c、四边形内切圆:对边和相等。
d、公切线(长)
五、常用辅助线:作半径。
能力测试:
一、填空题。
1、直线L与半径为r的⊙O相交,且点O到直线L的距离为5,则r的取值范围是。
2、在射线OA上取一点P,使OP=4cm,以P为圆心作直径为4cm的圆,若
⊙P与射线OB相交,则锐角∠AOB的取值范围是。
3、如图,CD是⊙O的直径,AE切⊙O于B,DC的延长线交AB于A,∠A=20°,则∠DBE=。
4、如图,AB为⊙O的直径,延长AB至D,使BD=OB,DC切⊙O于C,则
AC:AD=。
5、如图,AB为⊙O的直径,C、D是⊙O的点,∠BAC=20°,
⋂
⋂
=DC
AD,DE是
⊙O的切线,则∠EDC的度数为。
6、OA 、OB 是⊙O 的两条半径,BC 是⊙O 的切线,且∠AOB =84°,则∠ABC 的度数为 。
二、选择题。
1、下列命题中,错误的是( )
A 、垂直于弦的直径平分这弦;
B 、弦的垂直平分线过圆心;
C 、垂直于切线的直线必过圆心;
D 、经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。
2、如图,Rt △ABC ,∠C =90°,AC=4,BC=3,以BC 上一点O 为圆心作
⊙O 与AB 相切于E ,与AC 相切于C ,又⊙O 与BC 的另一个交点为D ,则线段BD 的长为( )
A 、1
B 、21
C 、31
D 、4
1 3、如图,⊙O 是Rt △ABC 的内切圆,∠ACB =90°,且AB =13,AC=12,则图中阴影部分的面积是( )
A 、30-π
B 、30-2π
C 、30-3π
D 、30-4π
4、如图,△ABC ,∠C =90°,AB =10cm ,AC=8cm ,点P 由C 出发,以每秒2cm 的速度沿线段CA 向点A 运动(不运动到A 点)⊙O 的圆心在BP 上,且 ⊙O 分别与AB 、AC 相切,当点P 运动2秒时,⊙O 的半径是( )
A 、712cm
B 、512cm
C 、35cm
D 、2cm
5、如图,直线PA 、PB 是⊙O 的两条切线,A 、B 分别为切点,∠APB=120°,OP =10cm ,则弦AB 的长为( )
A 、35cm
B 、5cm
C 、310cm
D 、2
35cm ﹒ E B
A C O D 第3题图 ﹒ O A B
D C 第4题图 O · D
E C A B 第5题图 ﹒ O B D E C A 第2题图 ﹒ O A C
B 第3题图 ﹒ O A P D
C B E 第4题图 ﹒ O
A P
B 第5题图
6、已知两圆半径分别为1与5,圆心距为4,则这两圆的位置关系是( )
A 、外离
B 、外切
C 、相交
D 、内切
三、解答题
1、如图,A 是⊙O 上一点,半径OC 的延长线与过点A 的直线交于B 点,
OC=BC ,AC=2
1OB 。 求证:(1)AB 是⊙O 的切线;
(2)若∠ACD =45°,OC =2,求弦CD 的长。
2、如图,在⊙O 中,AB 是直径,∠BOC =120°,PC 是⊙O 的切线,切点是C ,点D 在劣弧 BC 上运动,当∠CPD 满足什么条件时,直线PD 与直线AB 垂直证明你的结论。
3、已知:如图△ABC ,AD ⊥BC 于D ,AD=
2
1BC ,E 、F 分别为AB 、AC 的中点,以EF 为直径作半圆O 。求证:BC 是⊙O 的切线。
O ﹒
C
B A D O ﹒
A B
C P · C F O
G E A B D
4、已知⊙O 的两半径OA 、OB 互相垂直,过A 的一条直线交OB 于P ,交⊙O 于Q ,过Q 引圆的切线交OB 的延长线于C ,且QC=QP ,求∠A 。
5、已知:如图,AB 是⊙O 的直径,CA ⊥AB ,CB 交⊙O 于E ,过E 作⊙O 的切线交AC 于D 。求证:CD=DA 。
6、如图,PA 切⊙O 于A ,AC 是⊙O 直径,PBC 是⊙O 的割线,AD 平分∠CAB ,∠APD 的平分线交AD 于E 。求证:PE ⊥AD 。
7、已知:如图△ABC ,∠B =90°,O 是AB 上一点,以O 为圆心,OB 为半径的圆与AB 交于点E ,与AC 切于点D 。
求证:(1)DE ∥OC
(2)AD=2,DC=3。求tan ∠ADE 的值。
B O
﹒ C Q P A
O
﹒ B A D
E C
P O ﹒ E A B
D C O ﹒ C
B D
A E