圆中与有关切线的问题
几何中的圆与圆的切线与切点
几何中的圆与圆的切线与切点几何学是一门研究空间关系与形状的学科，其中圆与圆之间的关系也是一个重要的研究方向。
当两个圆相交时，我们经常会考虑圆与圆之间的切线以及切点的问题。
本文将介绍几何中的圆与圆的切线与切点的相关知识和性质。
1. 切线的定义在几何学中，切线是与圆或曲线相切且仅与该圆或曲线于一个点相交的直线。
对于两个相交的圆而言，切线可以与两个圆的交点构成多个切点。
2. 圆与圆的切线问题当我们考虑两个圆之间的切线时，我们主要关注以下三种情况：外切线、内切线和相交线。
2.1 外切线当两个圆的半径相加等于两个圆心之间的距离时，我们称两个圆外切。
在这种情况下，两个圆之间的切线只有一条，并且切点与两个圆心连线在切点处垂直。
2.2 内切线当一个圆包含在另一个圆内部时，我们称它们为内切圆。
在这种情况下，两个圆之间存在两条内切线，分别与两个圆的切点相连并垂直于两个圆心连线。
2.3 相交线当两个圆相交但不是内切或外切关系时，我们称它们为相交圆。
对于相交圆而言，存在两条不同的切线与两个圆交于切点，并且切点与两个交点连线的垂线通过切点。
3. 切点的性质切点作为切线与圆相交的点，具有一些特殊的性质。
3.1 切点在切线上切点必须在切线上，这是切线与圆相切的定义。
在外切、内切和相交的情况下，切点与圆心连线在切点处垂直。
3.2 切线长度相等对于外切和内切的情况，一条切线上的两个切点到两个圆心的距离相等。
这是因为在这些情况下，切线与圆心连线在切点处垂直，形成等腰三角形。
3.3 切点所在直径垂直于切线对于外切和内切的情况，切点所在直径与切线垂直。
这是因为在这些情况下，切点与圆心连线在切点处垂直，并且切点与圆心的连线与切线共线。
4. 应用举例圆与圆的切线与切点问题在实际问题中有广泛的应用。
例如，当我们在建造公园或者修建街道时，需要考虑两个圆形雕塑或者绿地之间的切线，以使整个园区布局美观合理。
此外，在工程设计中，圆与圆的切线与切点问题也涉及到曲线路径的设计和计算。
专题 证明圆的切线的常用方法(六大题型)(解析版)
（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形---圆》专题证明圆的切线的常用的方法★★★方法指引：证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线作法：1、有交点：连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称：“有交点，连半径，证垂直”.2、无交点：作垂直、证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称：“无交点，作垂直，证半径”.类型一：有公共点：连半径，证垂直●●【典例一】（2022•雁塔区校级模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在直径AB 上（D 与A ，B 不重合），CD ⊥AB ，且CD ＝AB ，连接CB ，与⊙O 交于点F ，在CD 上取一点E ，使得EF ＝EC ．求证：EF 是⊙O 的切线；【分析】连接OF ，根据垂直定义可得∠CDB ＝90°，从而可得∠B +∠C ＝90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠B ＝∠OFB ，∠C ＝∠EFC ，从而可得∠OFB +∠EFC ＝90°，最后利用平角定义可得∠OFE ＝90°，即可解答；【解答】证明：连接OF ，∵CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°，∴∠B +∠C ＝90°，∵OB ＝OF ，EF ＝EC ，∴∠B ＝∠OFB ，∠C ＝∠EFC，∴∠OFB+∠EFC＝90°，∴∠OFE＝180°﹣（∠OFB+∠EFC）＝90°，∵OF是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线：【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式1-1】（2022•澄城县三模）如图，AB是△ABC外接圆⊙O的直径，过⊙O外一点D作BC的平行线分别交AC，AB于点G，E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠BAC＝∠D．求证：BD是⊙O的切线；【分析】证明∠ABD＝90°，根据切线的判定可得BD与⊙O相切；【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵DG∥BC，∴∠AGE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠AEG＝90°，又∵∠A＝∠D，∠AEG＝∠DEB，∴∠D+∠DEB＝90°，∴∠DBE＝90°，∴AB⊥BD，∵AB为直径，∴BD与⊙O相切；【点评】此题考查了切线的判定，垂径定理，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定．【变式1-2】如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，CD⊥AB于点D，点E是圆外一点，CA平分∠ECD．求证：CE是⊙O的切线．【分析】利用切线的判定定理证明∠OCE＝90°即可得出结论．【解答】证明：∵CA平分∠ECD，∴∠ECA＝∠DCA．∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠DCA＝90°，∴∠ECA+∠CAD＝90°．∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO，∴∠ECA+∠ACO＝90°，即∠OCE＝90°，∴OC⊥EC，∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，熟练应用圆的切线的判定定理是解题的关键．【变式1-3】（2022秋•阳谷县校级期末）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC＝∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．（1）求证：MN是半圆的切线．（2）求证：FD＝FG．【分析】（1）欲证明MN是半圆的切线，只需证得∠MAB＝90°，即MA⊥AB即可；（2）根据圆周角定理推论得到∠ACB＝90°，由DE⊥AB得到∠DEB＝90°，则∠1+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°，又D是弧AC的中点，即弧CD＝弧DA，得到∠3＝∠5，于是∠1＝∠4，利用对顶角相等易得∠1＝∠2，则有FD＝FG．【解答】证明：（1）如图，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°．又∵∠MAC＝∠ABC，∴∠MAC+∠CAB＝90°，即∠MAB＝90°，∴MA⊥AB．∴MN是半圆的切线．（2）∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，而DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠1+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°，∵D是弧AC的中点，即弧CD＝弧DA，∴∠3＝∠5，∴∠1＝∠4，而∠2＝∠4，∴∠1＝∠2，∴FD＝FG．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点，并且与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理及其推论、三角形外角的性质以及等腰三角形的判定．【变式1-4】如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB＝6，DB＝8，∠EDB＝∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径．（3）连接BE，求BE的长．【分析】（1）由已知角相等及直角三角形的性质得到∠OBP为直角，即可得证；（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC＝PB ＝6，由PD﹣PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC＝r，则有OD＝8﹣r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径．（3）延长PB、DE相交于点F，证明△PED≌△PEF（ASA），由全等三角形的性质得出PD＝PF＝10，DE ＝EF，求出DF的长，则可得出答案．【解答】（1）证明：∵DE⊥PE，∴∠DEO＝90°，∵∠EDB＝∠EPB，∠BOE＝∠EDB+∠DEO，∠BOE＝∠EPB+∠OBP，∴∠OBP＝∠DEO＝90°，∴OB⊥PB，∴PB为⊙O的切线；（2）解：在Rt△PBD中，PB＝6，DB＝8，根据勾股定理得：PD=10，∵PD与PB都为⊙O的切线，∴PC＝PB＝6，∴DC＝PD﹣PC＝10﹣6＝4；在Rt△CDO中，设OC＝r，则有OD＝8﹣r，根据勾股定理得：（8﹣r）2＝r2+42，解得：r＝3，则圆的半径为3．（3）延长PB、DE相交于点F，∵PD与PB都为⊙O的切线，∴OP平分∠CPB，∴∠DPE＝∠FPE，∵PE⊥DF，∴∠PED＝∠PEF＝90°，又∵PE＝PE，∴△PED ≌△PEF （ASA ），∴PD ＝PF ＝10，DE ＝EF ，∴BF ＝PF ﹣PB ＝10﹣6＝4，在Rt △DBF 中，DF==∴BE =12DF =【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．●●【典例二】 如图，△ABC 是直角三角形，点O 是线段AC 上的一点，以点O 为圆心，OA 为半径作圆．O 交线段AB 于点D ，作线段BD 的垂直平分线EF ，EF 交线段BC 于点．（1）若∠B ＝30°，求∠COD 的度数；（2）证明：ED 是⊙O 的切线．【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠A ＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA ＝∠A ＝60°，于是得到∠COD ＝∠ODA +∠A ＝120°；（2）根据线段垂直平分线的性质得到∠EDB ＝∠B ＝30°，求得ED ⊥DO ，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】（1）解：∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，∴∠A ＝60°，∵OD ＝OA，∴∠COD＝∠ODA+∠A＝120°；（2）证明：∵EF垂直平分BD，∴∠EDB＝∠B＝30°，∴∠EDO＝180°﹣∠EDB﹣∠ODA＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴ED⊥DO，∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．【变式2-1】如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=CD=DB，DE⊥AC．求证：DE是⊙O的切线．【分析】连接OD，根据已知条件得到∠BOD=13×180°=60°，求得∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，求得∠EDA＝60°，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】证明：连接OD，∵AC=CD=DB，∴∠BOD=13×180°=60°，∵CD=DB，∴∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式2-2】如图，AC是⊙O的直径，B在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE是⊙O的切线．【分析】连接OD，根据圆周角定理的推论得到∠ABC＝90°，根据角平分线的性质求出∠DBE＝45°，根据圆周角定理得到∠DOC，根据平行线的性质求出∠ODE＝90°，根据切线的判定定理证明结论；【解答】证明：连接OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝45°，∴∠DOC＝2∠DBE＝90°，∵DE∥AC，∴∠ODE＝∠DOC＝90°，∴DE是⊙O的切线；【点评】本题考查的是切线的判定定理、圆周角定理以及正方形的判定和性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．【变式2-3】（2023•鼓楼区校级模拟）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC为弦，OC＝4，∠OAC＝60°．（1）求∠AOC的度数；（2）在图（1）中，P为直径BA的延长线上一点，且S△PAC=PC为⊙O的切线；【分析】（1）根据等腰三角形中有一角为60度时是等边三角形得到△ACO是等边三角形，则∠AOC＝60°；（2）由等边三角形的性质以及勾股定理得出CD的长，再利用三角形外角的性质以及等腰三角形的性质得出∠PCA＝30°，进而得出答案；【解答】（1）解：在△OAC中，∵OA＝OC＝4，∠OAC＝60°，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOC＝60°；（2）证明：过点C作CD⊥AO于点D，∵△AOC是等边三角形，CD⊥AO，∴AD＝DO=12OA＝2，∠ACO＝60°，∴CD∵S △PAC ＝∴12PA •CD ＝∴PA ＝4，∴PA ＝AC ，∴∠P ＝∠PCA =12∠OAC ＝30°，∴∠PCO ＝∠PCA +∠ACO ＝30°+60°＝90°，∴OC ⊥PC ，∵OC 是⊙O 的半径，∴PC 为⊙O 的切线．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，切线的判定，熟练掌握相关的性质和判定是解决问题的关键．【变式2-4】（2023•门头沟区二模）如图，AB 是⊙O 直径，弦CD ⊥AB 于E ，点F 在CD 上，且AF ＝DF ，连接AD ，BC ．（1）求证：∠FAD ＝∠B（2）延长FA 到P ，使FP ＝FC ，作直线CP ．如果AF ∥BC ．求证：直线CP 为⊙O 的切线．【分析】（1）根据垂径定理、圆周角定理可得∠ACD ＝∠ACD ＝∠B ，根据等腰三角形的性质可得∠FAD＝∠FDA，进而可得∠FAD＝∠B；（2）根据平行线的性质以及三角形内角和定理可得∠FAB＝∠FAD＝∠FDA＝30°，进而得到∠CFP＝60°，再利用等边三角形的性质可得∠PCO＝60°+30°＝90°，由切线的判定方法可得结论．【解答】证明：（1）如图，连接AC，∵AB是⊙O直径，弦CD⊥AB，∴AC=AD，∴∠ACD＝∠ACD＝∠B，∵AF＝FD，∴∠FAD＝∠FDA，∴∠FAD＝∠B；（2）如图，连接OC，∵AF∥BC，∴∠FAB＝∠B，∴∠FAB＝∠FAD＝∠FDA，∵∠AED＝90°，∴∠FAB＝∠FAD＝∠FDA＝30°，∴∠CFP＝60°，∵FP＝FC，∴△CFP是等边三角形，∴∠PCF＝60°，∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB＝30°，∴∠OCD＝30°，∴∠PCO＝60°+30°＝90°，即OC⊥PC，∵OC是半径，∴PC是⊙O的切线．【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理、平行线的性质以及三角形内角和定理，掌握切线的判定方法，圆周角定理是正确解答的前提．●●【典例三】如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，过点C 作CE ⊥AD 交AD 的延长线于点E ，延长EC ，AB 交于点F ，∠ECD ＝∠BCF ．求证：CE 为⊙O 的切线；【分析】连接OC ，BD ，可推出EF ∥BD ，进而可证CD =BC ，进而得出CE 为⊙O 的切线；【解答】证明：如图1，连接OC ，BD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵CE ⊥AE，∴∠E＝∠ADB，∴EF∥BD，∴∠ECD＝∠CDB，∠BCF＝∠CBD，∵∠ECD＝∠BCF，∴∠CDB＝∠CBD，∴CD=BC，∴半径OC⊥EF，∴CE为⊙O的切线；【点评】本题考查了圆周角定理及其推论，圆的切线判定，解决问题的关键是作合适的辅助线．【变式3-1】（2022秋•阿瓦提县校级期末）已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．【分析】连接OD，根据OA＝OB，CD＝BD，得出OD∥AC，∠ODE＝∠CED，再根据DE⊥AC，即可证出OD⊥DE，从而得出答案．【解答】证明：如图，连接OD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴CD＝BD，∵OA＝OB，∴OD∥AC．∴∠ODE＝∠CED．∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°．∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定与性质，解决本题的关键是掌握圆周角定理的推论、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定，是一道常考题型．【变式3-2】已知，如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：点D是AB的中点；（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．【分析】（1）连接CD，如图，根据圆周角定理，由BC为直径得到∠BDC＝90°，然后根据等腰三角形的性质得AD＝BD；（2）连接OD，先得到OD为△ABC的中位线，再根据三角形中位线性质得OD∥AC，而DE⊥AC，则DE⊥OD，然后根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线．【解答】（1）证明：连接CD，如图，∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，∴CD⊥AB，∵AC＝BC，∴AD＝BD，即点D是AB的中点；（2）解：DE与⊙O相切．理由如下：连接OD，∵AD＝BD，OC＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，而DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE为⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．【变式3-3】如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）已知∠B＝30°，CD＝4，求线段AB的长．【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，而∠OAD＝∠ODA，则∠ODA＝∠CAD，于是判断OD∥AC，由于∠C＝90°，所以∠ODB＝90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由∠B＝30°得到∠BAC＝60°，则∠CAD＝30°，在Rt△ADC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC＝Rt△ABC中，根据含30度的直角三角形三边的关系可得到AB＝【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODB＝90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，∴∠CAD＝30°，在Rt△ADC中，DC＝4，∴AC=＝在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．【变式3-4】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC＝30°，DE＝1cm，求BD的长．【分析】（1）连接OA，根据角之间的互余关系可得∠OAE＝∠DEA＝90°，故AE⊥OA，即AE是⊙O的切线；（2）根据圆周角定理，可得在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，有AD＝2DE；在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，有BD＝2AD＝4DE，即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OA，∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠EDA，∴OA∥CE．∵AE⊥CE，∴AE⊥OA．∴AE是⊙O的切线．（2）解：∵BD是直径，∴∠BCD＝∠BAD＝90°．∵∠DBC＝30°，∠BDC＝60°，∴∠BDE＝120°．∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA＝60°．∴∠ABD＝∠EAD＝30°．∵在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，∴AD＝2DE．∵在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，∴BD＝2AD＝4DE．∵DE的长是1cm，∴BD的长是4cm．【点评】此题主要考查了切线的判定，角平分线的性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，构造出直角三角形是解本题的关键，是一道中等难度的中考常考题．●●【典例四】（2022•城关区一模）如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为6，PB=4，PC=8．求证：PC是⊙O的切线；【分析】可以证明OC2+PC2=OP2得△OCP是直角三角形，即OC⊥PC，PC是⊙O的切线；【解答】解：如图，连接OC、BC，∵⊙O的半径为6，PB=4，PC=8．∴OC=OB=6，OP=OB+BP=6+4=10，∴OC2+PC2=62+82=100，OP2=102=100，∴OC2+PC2=OP2，∴△OCP是直角三角形，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；【点评】本题考查圆的切线的判定和勾股定理逆定理，利用勾股定理的逆定理证明垂直是解决问题的关键．【变式4-1】如图，AD, BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD=2AD=8 ,点C是BD的延长线上的一点，CD=2，求证：AC是⊙O的切线.【分析】先由勾股定理的逆定理证明垂直，再由切线的判断进行解答即可.【解答】证明:连接AB，∵AD⊥BD，且BD=2AD=8 ，∴AB为直径，AB2 =82+42 =80，∵CD=2，AD=4 ，∴AC2 =22 ＋42=20，∵CD＝2，BD=8,∴BC=102=100，∴AC2+AB2=CB2，∴∠BAC=90° ，∴AC是⊙O的切线【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理的推论，勾股定理的逆定理，解题关键是作出辅助线构造直角三角形.【变式4-2】如图，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD＝8，点C是BD的延长线上的一点，CD＝2，求证：AC是⊙O的切线．【分析】先根据圆周角定理得到AB为⊙O的直径，再利用勾股定理计算出AB、AC，接着利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，所以AC⊥AB，然后根据切线的判定定理得到结论．【解答】证明：∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴AB为⊙O的直径，∵BD ＝2AD ＝8，∴AD ＝4，在Rt △ADB 中，AB 2＝AD 2+BD 2＝42+82＝80，在Rt △ADC 中，AC 2＝AD 2+CD 2＝42+22＝20，∵BC 2＝（2+8）2＝10，∴AC 2+AB 2＝BC 2，∴△ABC 为直角三角形，∠BAC ＝90°，∴AC ⊥AB ，∵AB 为直径，∴AC 是⊙O 的切线．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、勾股定理和勾股定理的逆定理．●●【典例五】（2022•鄞州区校级开学）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 和点D 是⊙O 上的两点，连接BC ，DC ，BC ＝CD ，CE ⊥DA 交DA 的延长线于点E ．求证：CE 是⊙O 的切线；【分析】连接OD ，OC ，证得△COD ≌△COB ，可得∠OCD ＝∠BCO ，从而得到∠ADC ＝∠DCO ，进而得到DA ∥CO ，利用切线的判定定理即可求证；【解答】证明：连接OD ，OC，如图，在△COD和△COB中，OD=OBOC=OC，CD=CB∴△COD≌△COB（SSS），∴∠OCD＝∠BCO，∵CO＝BO，∴∠B＝∠BCO，∵∠B＝∠ADC，∴∠ADC＝∠DCO．∴DA∥CO，∴∠E+∠ECO＝180°．∵CE⊥EA，∴∠E＝90°．∴∠ECO＝90°，∴EC⊥CO，∵CO是⊙O的半径，∴EC是⊙O的切线；【点评】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理等知识，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识是解题的关键．【变式5-1】如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连接OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．求证：CD是⊙O的切线；【分析】连接OD，利用SAS得到三角形COD与三角形COB全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠ODC 为直角，即可得证；【解答】证明：如图，连接OD．∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD，又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB，在△COD和△COB中，OC=OC∠COD=∠COB，OD=OB∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；【点评】此题考查了切线的判定和性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．【变式5-2】（2022秋•新抚区期末）如图，AB为⊙O的直径，四边形OBCD是矩形，连接AD，延长AD 交⊙O于E，连接CE．求证：CE为⊙O的切线．【分析】连接OC、BE，根据矩形性质和圆半径相等，推出∠CDE＝∠AEO，进而得到OP＝CP，然后根据OB∥CD，可以推出∠COE＝∠BOC，最后通过证明△BOC≌△EOC即可求解．【解答】证明：如图：连接OC、BE，OE，CD交于点P，∵四边形OBCD是矩形，∴OB∥CD，∠OBC＝90°，OB＝CD，∵OB∥CD，∴∠A＝∠CDE，∵在⊙O中，OA＝OB＝OE，∴OE＝CD，∵OA＝OE，∴∠A＝∠AEO，∴∠CDE＝∠AEO，∴DP＝PE，∵OE＝CD，∴OP＝CP，∴∠COE＝∠DCO，∵OB∥CD，∴∠DCO＝∠BOC，∴∠COE＝∠BOC，在△BOC和△EOC中，OB=OECO=CO，∠BOC=∠COE∴△BOC≌△EOC（SAS），∴∠CEO＝∠OBC＝90°，∴CE⊥OE，又∵OE为⊙O的半径，∴CE为⊙O的切线．【点评】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质等众多知识点，熟悉掌握以上知识点是解题关键．【变式5-3】（2022•建邺区二模）如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作⊙O，交CB于点F，点E在CD上，且CE＝CF，连接AE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接AC交⊙O于点P，若AP BF＝1，求⊙O的半径．【分析】（1）连接AF，根据菱形的性质得到∠ACF＝∠ACE，根据全等三角形的性质得到∠AFC＝∠AEC，推出OA⊥AE，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连接BP，根据圆周角定理得到∠APB＝90°，求得AC＝2AP＝【解答】（1）证明：连接AF，∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACF＝∠ACE，在△ACF与△ACE中，CF=CE∠ACF=∠ACEAC=AC，∴△ACF≌△ACE（SAS），∴∠AFC＝∠AEC，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝∠AFC＝90°，∴∠AEC＝90°，∵AB∥DC，∴∠BAE+∠AEC＝90°，∴∠BAE＝90°，∴OA⊥AE，∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：连接BP，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∵AB＝CB，AP=∴AC＝2AP＝设⊙O的半径为R，∵AC2﹣CF2＝AF2，AB2﹣BF2＝AF2，∴2−(2R−1)2=(2R)2−12，∴R=32（负值舍去），∴⊙O的半径为3 2．【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，菱形的性质，三角形全等的性质和判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题．类型二：无公共点：作垂直，证半径●●【典例六】如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE=OD，从而证得结论．【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，∵圆心到直线的距离等于半径，∴AC是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．【变式6-1】如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切．【分析】利用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON，即可得出答案．【解答】证明：如图所示，连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC，又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴ON为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及角平分线的性质，得出OM＝ON是解题关键．【变式6-2】如图，OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D和OA相切于点E，连接CE．（1）求证：OB与⊙D相切；（2）若OE＝4，⊙D的半径为3，求CE的长．【分析】（1）过点D作DF⊥OB于点F，先由切线的性质得DE⊥OA，则由角平分线的性质得DF＝DE，即可证得结论；（2）过E作EG⊥OD于G，先由勾股定理求出OD＝5，再由面积法求出EG=125，然后由勾股定理求出DG=95，最后由勾股定理求出CE即可．【解答】（1）证明：连接DE，过点D作DF⊥OB于点F，如图所示：∵⊙D与OA相切于点E，∴DE⊥OA，∵OC平分∠AOB，∴DF＝DE，又∵DF⊥OB，∴OB与⊙D相切；（2）解：过E作EG⊥OD于G，如图所示：由（1）得：DE⊥OA，∴∠OED＝90°，∵OE＝4，DE＝3，∴OD=5，∵EG⊥OD，∴12OD×EG=12OE×DE，∴EG=OE×DEOD=4×35=125，∴DG===9 5，∴CG＝CD+DG＝3+95=245，∴CE=【点评】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及角平分线的性质等知识，解题的关键是准确作出辅助线．【变式6-3】如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R．【分析】（1）过O点作OE⊥CD于点E，通过角平分线的性质得出OE＝OA即可证得结论．（2）过点D作DF⊥BC于点F，根据切线的性质可得出DC的长度，继而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长，继而可得出半径．【解答】（1）证明：过O点作OE⊥CD于点E，∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AD，又∵DO平分∠ADC，∴OE＝OA，∵OA为⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径，且OE⊥DC，∴CD是⊙O的切线．（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴四边形ABFD是矩形，∴AD＝BF，AB＝DF，又∵AD＝4，BC＝9，∴FC＝9﹣4＝5，∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，∴DA＝DE，CB＝CE，∴DC＝AD+BC＝4+9＝13，在Rt△DFC中，DC2＝DF2+FC2，∴DF=12，∴AB＝12，∴⊙O的半径R是6．【点评】此题考查了切线的性质、角平分线的性质及勾股定理的知识，证明第一问关键是掌握切线的判定定理，解答第二问关键是熟练切线的性质．【变式6-4】（2022秋•清原县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O 经过点C 且与AB 边相切于点E ，∠FAC =12∠BDC ．（1）求证：AF 是⊙O 的切线；（2）若BC ＝6，AB ＝10，求⊙O 的半径长．【分析】（1）作OH ⊥FA ，垂足为点H ，连接OE ，证明AC 是∠FAB 的平分线，进而根据OH ＝OE ，OE ⊥AB ，可得AF 是⊙O 的切线；（2）勾股定理得出AC ，设⊙O 的半径为r ，则OC ＝OE ＝r ，进而根据切线的性质，在Rt △OEA 中，勾股定理即可求解．【解答】（1）证明：如图，作OH ⊥FA ，垂足为点H ，连接OE ，∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，∴CD =AD =12AB ，∴∠CAD ＝∠ACD ，∵∠BDC ＝∠CAD +∠ACD ＝2∠CAD ，又∵∠FAC =12∠BDC ，∴∠FAC ＝∠CAD ，即AC 是∠FAB 的平分线，∵点O 在AC 上，⊙O 与AB 相切于点E ，∴OE ⊥AB ，且OE 是⊙O 的半径，∴OH ＝OE ，OH 是⊙O 的半径，∴AF 是⊙O 的切线；（2）解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，∴AC==8，∵BE，BC是⊙O的切线，∴BC＝BE＝6，∴AE＝10﹣6＝4设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，在Rt△OEA中，由勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，∴16+r2＝（8﹣r）2，∴r＝3．∴⊙O的半径长为3．【点评】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．1.如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝BE，点P在BA的延长线上，连接AE交⊙O于点D，过点D作PC⊥BE垂足为点C．求证：PC与⊙O相切；【分析】连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠BAE＝∠BEA，∠BAE＝∠ODA，等量代换得到∠ODA＝∠BEA，证明OD∥BE，根据平行线的性质得到PC⊥OD，根据切线的判定定理证明结论；【解答】证明：连接OD，∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∵OA＝OD，∴∠BAE＝∠ODA，∴∠ODA＝∠BEA，∴OD∥BE，∵PC⊥BE，∴PC⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴PC与⊙O相切；【点评】本题考查的是切线的判定、解直角三角形，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，点D是BC的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）若⊙O的直径是10，∠A＝45°，求CE的长．【分析】（1）连接OD，如图，先利用垂径定理得到OD⊥BC，再根据平行线的性质得到OD⊥DE，然后根据切线的判定方法得到结论；（2）先根据圆周角定理得到∠B＝90°，则∠ACB＝45°，再根据平行线的性质得到∠E＝45°，则可判断△ODE 为等腰直角三角形，于是可求出OE，然后计算OE﹣OC即可．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵点D是BC的中点，∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥DE，∴直线DE与⊙O相切；（2）解：∵AC是⊙O的直径，∴∠B＝90°，∵∠A＝45°，∴∠ACB＝45°，∵BC∥DE，∴∠E＝45°，而∠ODE＝90°，∴△ODE为等腰直角三角形，∴OE=＝∴CE＝OE﹣OC＝5．【点评】本题考查了切线的性质与判定：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和等腰直角三角形的性质．3．（2023•东城区校级模拟）如图，⊙O的半径OC与弦AB垂直于点D，连接BC，OB．（1）求证：2∠ABC+∠OBA＝90°；（2）分别延长BO、CO交⊙O于点E、F，连接AF，交BE于G，过点A作AM⊥BC，交BC延长线于点M，若G是AF的中点，求证：AM是⊙O的切线．【分析】（1）先根据垂径定理得到AC=BC，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠ABC，然后利用互余关系得∠BOD+∠OBD＝90°，从而得到结论；（2）如图，连接OA，根据垂径定理得到BE⊥AF，再根据圆周角定理得到∠CAF＝90°，则可判断BE ∥AC，所以∠ABE＝∠BAC，接着证明∠BAO＝∠CBA得到OA∥BC，根据平行线的性质得到AM⊥OA，然后根据切线的判断方法得到结论．【解答】证明：（1）∵OD⊥AB，∴AC=BC，∠ODB＝90°，∴∠BOC＝2∠ABC，∵∠BOD+∠OBD＝90°，∴2∠ABC+∠OBA＝90°；（2）如图，连接OA，∵G是AF的中点，∴BE⊥AF，∵CF为直径，∴∠CAF＝90°，∴CA⊥AF，∴BE∥AC，∴∠ABE＝∠BAC，∴AC=BC，∴∠CAB＝∠CBA，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO，∴∠BAO＝∠CBA，∴OA∥BC，∵AM⊥BC，∴AM⊥OA，而OA为⊙O的半径，∴AM是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、垂径定理．4．（2022•思明区校级二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O直径，BE∥AD交DC 延长线于点E，若BC平分∠ACE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若BE＝3，CD＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OB，由条件可以证明OB∥DE，从而证明OB⊥BE；（2）由垂径定理求出AD长，从而由勾股定理可求AC长．【解答】（1）证明：连接OB，∵″OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BCE＝∠OCB，∴∠OBC＝∠BCE，∴OB∥DE，∵AC是⊙O直径，∴AD⊥DE，∵BE∥AD，∴BE⊥DE，∴OB⊥BE，∵OB是⊙O半径，∴BE是⊙O切线；（2）解：延长BO交AD于F，∵∠D＝∠DEB＝∠EBF＝90°，∴四边形BEDF是矩形，∴BF⊥AD，DF＝BE＝3，∴AD＝2DF＝6，∵AC2＝AD2+CD2，∴AC2＝62+22＝40，∴AC＝∴⊙O【点评】本题考查切线的判定，矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，用到的知识点较多，关键是熟练掌握知识点，并能灵活应用．5．（2023•封开县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）当AB＝5，BC＝6时，求DE的长．【分析】（1）连接OD，由AC＝AB，根据等边对等角得到一对角相等，再由OD＝OB，根据等边对等角得到又一对角相等，等量代换可得一对同位角相等，根据同位角相等两直线平行可得OD与AC平行，又EF垂直于AC，根据垂直于两平行线中的一条，与另一条也垂直，得到EF与OD也垂直，可得EF为圆O的切线；（2）连接AD，由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得∠ADB＝90°，即AD与BC垂直，又AC＝AB，根据三线合一得到D为BC中点，由BC求出CD的长，再由AC的长，利用勾股定理求出AD的长，三角形ACD的面积有两种求法，AC乘以DE除以2，或CD乘以AD除以2，列出两个关系式，两关系式相等可求出DE的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB＝AC，∴∠C＝∠OBD，∵OD＝OB，∴∠1＝∠OBD，∴∠1＝∠C，∴OD∥AC，∵EF⊥AC，∴EF⊥OD，∴EF是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，且BC＝6，∴CD＝BD=12BC＝3，在Rt△ACD中，AC＝AB＝5，CD＝3，根据勾股定理得：AD=4，又S△ACD =12AC•ED=12AD•CD，即12×5×ED=12×4×3，∴ED=12 5．【点评】此题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，三角形面积的求法，以及切线的判定，其中证明切线的方法为：有点连接圆心与此点，证垂直；无点过圆心作垂线，证明垂线段长等于圆的半径．本题利用的是第一种方法．6．（2023•宁德模拟）如图，OM 为⊙O 的半径，且OM ＝3，点G 为OM 的中点，过点G 作AB ⊥OM 交⊙O 于点A ，B ，点D 在优弧AB 上运动，将AB 沿AD 方向平移得到DC ；连接BD ，BC ．（1）求∠ADB 的度数；（2）如图2，当点D 在MO 延长线上时，求证：BC 是⊙O 的切线．【分析】（1）连接AO ，BO ，先根据特殊角的正弦值可得∠OAG ＝30°，再根据等腰三角形的性质可得∠OAG ＝∠OBG ＝30°，从而可得∠AOB ＝120°，然后根据圆周角定理即可得；（2）连接AO ，BO ，CO ，先证出四边形ABCD 是平行四边形，再根据等边三角形的判定与性质可得AB ＝AD ，根据菱形的判定可得四边形ABCD 是菱形，根据菱形的性质可得CB ＝CD ，然后根据SSS 定理证出△COB ≌△COD ，根据全等三角形的性质可得∠OBC ＝∠ODC ＝90°，最后根据圆的切线的判定即可得证．【解答】（1）解：如图1，连接AO ，BO ．∵点G 为OM 的中点，且OM ＝3，∴OG =12OM =32，OA ＝OB ＝OM ＝3，∵AB ⊥OM ，在Rt △AOG 中，OG =12OA ．∴∠OAG ＝30°，又∵OA ＝OB ，∴∠OAG＝∠OBG＝30°，∴∠AOB＝120°，∴∠ADB=12∠AOB=60°．（2）证明：如图2，连接AO，BO，CO，由平移得：AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OM⊥AB，点D在MO延长线上，∴DM⊥CD，∵OA＝OB，AB⊥OM，∴AG＝BG，∴DM垂直平分AB，∴AD＝BD，∵∠ADB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴CB＝CD，在△COB和△COD中，CB=CDOB=ODOC=OC，∴△COB≌△COD（SSS），∴∠OBC＝∠ODC＝90°，又∵OB是⊙O的半径，。
圆中与切线有关的解题策略
圆中与切线有关的解题策略知识精解一、切线的三种判定方法：（1）和圆只有一公共点的直线是圆的切线；（2）圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）经过半径外端且与半径垂直的直线是圆的切线；证题中常用后两种方法，且往往需要添加辅助线。
常见证明切线的方法(添加辅助线)：（1）如果已知直线经过圆上一点，那么连结这点和圆心得到半径再证所作半径与这条直线垂直。
即“连半径，证_______”（2）如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径，即“作垂直，证_______”。
自主学习例1. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，E为BC中点。
求证：DE是⊙O切线。
例2. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=∠D=90°，且AD+BC=AB。
求证：以AB为直径的⊙O与CD相切。
练习1：直线MN∥PQ，点A在MN上，点B在PQ上，O是AB的中点，⊙O与MN 相切于K．求证：⊙O与PQ也相切．练习2：已知△ABC 中，=∠90 C ，=AC BC ，，D E 分别是，AC BC 的中点，⊙O 是△DCE 的外接圆．求证：AB 是⊙O 的切线．练习3：已知：∠MAN=30°，O 为边AN 上一点，以O 为圆心、2为半径作⊙O ，交AN 于D 、E 两点，设AD=x ，⑴如图⑴当x 取何值时，⊙O 与AM 相切；⑵如图⑵当x 为何值时，⊙O 与AM 相交于B 、C 两点，且∠BOC=90°．二. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等且这点和圆心连线平分两条切线的夹角。
如图，已知：P 是⊙O 外一点，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点；结论：(1)PA____PB ； (2)OP______∠APB 。
由切线长定理，可以推得如下重要结论：(1)圆外切四边形的对边和相等；(2)圆的两条平行切线的切点连线是圆的______。
圆的切线综合练习题与答案完整版
圆的切线综合练习题与答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】切线的判定与性质练习题一、选择题（答案唯一，每小题3分）1．下列说法中，正确的是( )A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．经过半径外端的直线是圆的切线C．经过切点的直线是圆的切线 D．圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线2. 如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为( )A．70° B．35° C．20° D．40°第2题第3题第4题第5题3. 如图，线段AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E＝50°，则∠CDB等于( )A．20° B．25° C．30° D．40°4.如图，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径为( )A．8 B．6 C．5 D．45.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是( )A．AG＝BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC＝∠ADC二．填空题（每小题3分）6．如图，在⊙O中，弦AB＝OA，P是半径OB的延长线上一点，且PB＝OB，则PA与⊙O的位置关系是_________．第6题第7题第8题7.如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为________________．8.如图，AB是⊙O的直径，O是圆心，BC与⊙O切于点B，CO交⊙O于点D，且BC＝8，CD＝4，那么⊙O的半径是______．9. 如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C＝_______度．第9题第10题第11题10. 如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC，BE.若AE＝6，OA＝5，则线段DC的长为______．11．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB＝30°，则∠B＝________度．三、解答题（写出详细解答或论证过程）12.（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.求证：AC是⊙O的切线．第12题第13题第14题13.（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.求证：∠BDC＝∠A.14.（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：AC与⊙D相切．15.（10分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD.(1)求∠D的度数；(2)若CD＝2，求BD的长．第15题第16题16．（12分）已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.(1)如图①，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种)：__________________________或者_______________________；(2)如图②，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．17.（12分）如图，已知直线PA交⊙O于A，B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长．答案：DDADC 6. 相切 7. ∠ABC＝90°不排除等效答案 8. 6 9. 45 10. 4 11. 6012. 解：连接OD，∵BD为∠ABC平分线，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD∥BC，∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，则AC为⊙O的切线13. 解：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，∴∠ODB＋∠BDC＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB＋∠ADO＝90°，∴∠BDC＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A14. 解：过D作DH⊥AC于H，由角平分线的性质可证DB＝DH，∴AC与⊙D相切15. 解：(1)∵∠COD＝2∠CAD，∠D＝2∠CAD，∴∠D＝∠COD.∵PD与⊙O相切于点C，∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°，∴∠D＝45°(2)由(1)可知△OCD是等腰直角三角形，∴OC＝CD＝2，由勾股定理，得OD＝22＋22＝22，∴BD＝OD－OB＝22－216. (1) ∠BAE＝90°∠EAC＝∠ABC(2) (2)EF是⊙O的切线．证明：作直径AM，连接CM，则∠ACM＝90°，∠M＝∠B，∴∠M＋∠CAM＝∠B＋∠CAM＝90°，∵∠CAE＝∠B，∴∠CAM＋∠CAE＝90°，∴AE⊥AM，∵AM为直径，∴EF是⊙O的切线17. 解：(1)连接OC，证∠DAC＝∠CAO＝∠ACO，∴PA∥CO，又∵CD⊥PA，∴CO⊥CD，∴CD为⊙O 的切线(2)过O作OF⊥AB，垂足为F，∴四边形OCDF为矩形．∵DC＋DA＝6，设AD＝x，则OF＝CD＝6－x，AF＝5－x，在Rt△AOF中，有AF2＋OF2＝OA2，即(5－x)2＋(6－x)2＝25，解得x1＝2，x2＝9，由AD＜DF知0＜x＜5，故x＝2，从而AD＝2，AF＝5－2＝3，由垂径定理得AB＝2AF＝6。
7、圆的培优专题：与切线有关的计算
则大圆的 的度数为.
8、如图，⊙O1和⊙O2交于A、B两点，且点O1在⊙O2上，若 D＝ ，则 C＝
9、如图，⊙O1和⊙O2外切于D，AB过点D，若 AO2D＝ ，C为优弧 上任一点，
则 DCB＝.答案：7、 ；8、40 ；9、 （过点D作两圆的切线）
4、如图，PA、PB为⊙Байду номын сангаас的切线，C为 上一点，
若 BCA＝ ，则 APB＝.
5、如图，点O是△ABC的内切圆的的圆心，若
BAC＝ ，则 BOC＝.
6、如图，PA切⊙O于A，若PA＝AB，PD平分
APB交AB于D，则 ADP＝.（设元，列方程）
二 切线与两个圆
7、如图，两同心圆的圆心为O，大圆的弦AB、AC
圆的培优专题7——与切线有关的角度计算
一 切线与一个圆答案：1、 ；2、 ；3、 ；4、 ；5、 ；6、
1、如图，AD切⊙O于A，BC为直径，若 ACB＝ ，则 CAD＝.
2、如图，AP切⊙O于P，PB过圆心，B在⊙O上，若 ABP＝ ，则 APB＝.
3、如图，PA、PB为⊙O的切线，C为 上一点，若 BCA＝ ，则 APB＝.
圆的切线问题
EA圆的切线专题练习----切线的判定与性质问题1、已知OA 平分∠BOC ，P 是OA 上的任意一点，如果以P 为圆心的圆与OC 相离，则⊙P 与OB 的位置关系是______ A 、相离 B 、相切 C 、相交 D 、不能确定2、已知：如图，以△ABC 的边AB 为直径的⊙o 交边AC 于点D ，且过点D 的切线DE 平分边BC ．（1）求证：BC 是⊙o 的切线；证明：（2）当△ABC 满足什么条件时，以点O 、B 、E 、D 为顶点的四边形是正方形？请说明理由．△ABC 满足的条件是理由：3、如图，已知⊙O 半径为8cm ，点A 为半径OB 的延长线上一点，射线AC 切⊙O 于点C ，弧BC 的长为34πcm ，求线段AB 的长。
（10分）4、如图（a ），AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，直线EF 和⊙O 相切于点C ，AD ⊥EF ，垂足为D（1）求证：∠DAC = ∠BAC （2）若把直线EF 向上平移，如图（b ），EF 交⊙O 于G 、C 两点，若题中的其他条件不变，这时与∠DAC 相等的角是哪一个？为什么？ （7分）5、已知：如图示，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点D 在OC 的延长线上，∠B ＝∠CAD ＝30°求证：AD 是⊙O 的切线。
6、如图10，P 是⊙O 外的一点，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，C 是 上的任意一点，过点C 的切线分别交PA 、PB于点D 、E.(1)若PA=4,求△PED 的周长； (2)若∠P=40°,求∠DOE 的度数．7、如图，⊙O 的直径AB=4，∠ABC=30°，，D是线段BC •的中点。
（1）试判断点D 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ，求证：直线DE 是⊙O 的切线。
AB8、如图8，在平面直角坐标系中，A B ，两点的坐标分别为(20)(80)A B -，，，，以AB 为直径的半圆P 与y 轴交于点M ，以AB 为一边作正方形ABCD ．（1）求C M ，两点的坐标；（2）连接CM ，试判断直线CM 是否与⊙P 相切？说明你的理由；9、已知：如图，ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点P ，PD AC ⊥于点D ． （1）求证：PD 是⊙O 的切线； （2）若1202CAB AB ∠==，，求BC 的值．（第9题）10、如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且ED 是⊙O的切线。
初三有关圆的解答题及答案
初三有关圆的解答题及答案初三数学教学中，圆是一个非常重要的内容，也是经常考察的一道题型。
下面，我们来探讨一些初三有关圆的解答题及其答案。
一、相切问题问题：两个圆相切，半径分别为$r_1$和$r_2$，求它们的公切线的长度$L$。
解析：根据勾股定理，可得：$(r_1 + r_2)^2 = L^2 + (r_1 - r_2)^2$化简得：$L = 2\sqrt{r_1r_2}$答案：$L = 2\sqrt{r_1r_2}$二、切线问题问题：已知一个圆心坐标$(a, b)$，与一直线$y=k$相切，求这个圆的方程。
解析：由于圆与直线相切，所以该直线的距离等于圆的半径。
直线$y=k$与圆的距离为$|b-k|$，因此圆的方程为：$(x-a)^2 + (y-b)^2 = (b-k)^2$答案：$(x-a)^2 + (y-b)^2 = (b-k)^2$三、垂直问题问题：已知直线$y=k$和圆$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$相交于点$P(x_0,y_0)$，求直线$OP$的斜率，其中$O(a,b)$为圆心。
解析：首先，求点$P$的坐标。
因为$P$是圆和直线的交点，所以可以列出以下方程组：$\begin{cases} y=k \\ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \end{cases}$将$y=k$代入第二个方程，可得：$(x-a)^2 + (k-b)^2 = r^2$将$(x,y)$代入，得到：$(x_0-a)^2 + (k-b)^2 = r^2$整理可得：$x_0 = a\pm \sqrt{r^2-(k-b)^2}$由于直线$OP$与$x$轴垂直，所以直线$OP$的斜率为$-\frac{1}{\frac{y_0-b}{x_0-a}}$。
代入$x_0$和$y_0$，即可得到答案。
答案：$-\frac{1}{\frac{y_0-b}{x_0-a}}$四、分割问题问题：一个圆$O$被圆弧$AB$和直径$CD$所分割，分别为弧$AB$和弧$BCD$。
与圆的切线有关问题探究及延伸
与圆的切线有关问题探究及延伸引例1：若点()21,P 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．引例2： 过点)2,3(P 向圆922=+y x 引切线，求切线方程。
引例3：过点A (4，－3)作圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的切线，求此切线方程．结论：⑴ 已知圆的方程为222r y x =+，过圆上一点),(00y x P 作圆的切线，则切线方程为200r y y x x =+⑵ （Ⅰ）、已知圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ,过圆上一点),(00y x P 作圆的切线，则切线方程()()0220000=++++++F y y E x x D y y x x （Ⅱ）、已知圆的方程为222),(00y x P 作圆的切线，则切线方程为)()()()200r y y b y x x a x =--+--⑶ 已知圆的方程为22=++++F Ey Dx y x ,过圆外一点),(00y x P 作圆的切线，则切线方程求法: ① 假设切线的斜率存在，设其为(),x x k y y 00-=-化成一般式；② 利用直线与圆相切，,r d =解出k 。
注意：过圆外一点),(00y x P 作圆的切线，有且只有两条。
变式1：过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为________________．变式2：若直线y x b =+与曲线则实数b 的取值范围是（ ）A B C D变式3：已知()0,4A -，()2,0B -，()0,2C 光线从点A 射出，经过线段BC (含线段端点)反射，恰好与圆()()22925x a y a -+-=相切，则（ ）A ．11a -≤≤B ．115a ≤≤C ．115a ≤≤D ．11a -≤≤拓展1： 已知圆的方程为222r y x =+，过圆外一点),(00y x P 作圆的两条切线PB PA 、，切点为B ,A ,则弦AB 的直线方程为_____________________.拓展2：过圆422=+y x 内的一点()11，A ，作一弦交圆于C ,B 两点，过C ,B 两点分别作圆的切线PC ,PB ，两切线交于点P ，则点P 的轨迹方程是（ ）A.922=+y xB.4=+y xC.522=+y xD. 423=+y x拓展3：已知点P 为直线221-=x y :l 上的动点，过点P 作曲线222=+y x :C 的两条切线PB ,PA ,切点为B ,A ,则直线必过定点________.。
圆的切线练习题
圆的切线练习题圆是基础几何学中的重要概念之一，掌握圆的性质和相关定理对于解决与圆有关的问题非常重要。
其中，在求解圆的切线问题时，可以遵循一定的方法和步骤。
本文将介绍一些常见的圆的切线练习题，以帮助读者更好地理解和掌握这一内容。
题目一：求过给定点的切线已知圆O的半径为r，圆心为C，给定一点A在圆外。
请问如何求解过点A的圆O的切线？解析：连接圆心C和点A，得到斜率为k的直线。
利用勾股定理可以得到斜边CA的长度为√(r^2+k^2)。
由于切线与半径的垂直，因此切线段与半径长相等。
所以，切线段的长度也是√(r^2+k^2)。
因此，可以通过先求解直线CA的斜率k，然后计算切线段长度来求解过点A的圆的切线。
题目二：求圆的切线方程已知圆O的半径为r，圆心为C，给定过圆上一点A的切线。
请问如何求解通过点A的切线的方程？解析：切线与半径的垂直，因此可以利用斜率来求解切线的方程。
先求解直线CA的斜率k，然后通过斜率和点A的坐标来确定切线的方程。
设点A的坐标为(x1, y1)，圆心C的坐标为(x0, y0)，则切线的斜率为k = -(x1 - x0)/(y1 - y0)。
由切线与点A的坐标可以确定方程为(y - y1) = k(x - x1)。
题目三：求两圆的外切线已知圆O1的半径为r1，圆心为C1，圆O2的半径为r2，圆心为C2。
请问如何求解这两个圆的外切线段的长度？解析：连接两个圆心C1和C2，得到直线L。
根据勾股定理可以求得直线L的长度为d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)，其中(x1, y1)和(x2,y2)分别为圆心C1和C2的坐标。
由于切线与圆心到切点的线段相等（切点为两圆的外切点），所以外切线段的长度等于d - r1 - r2。
题目四：切线和半径的关系已知圆O的半径为r，圆心为C，给定过圆上一点A的切线。
设切线与半径的交点为点B，请问切线AB与半径OC之间存在什么关系？解析：根据圆的性质，切线与半径的垂直。
圆中切割线定理
圆中切割线定理圆中切割线定理，又称为圆的切线定理，是指一个平面内过圆外一点的直线与圆相交，所得的两条切线长度相等。
这个定理在几何学中非常重要，因为它可以应用于许多不同的问题和证明中。
首先，我们来看一下如何证明这个定理。
假设有一个圆O和一条直线l，在圆外一点P处与圆相交。
现在我们要证明通过P点的两条切线AB和CD长度相等。
首先，我们可以将OP延长到与圆O相交于点E。
这样我们就得到了一个三角形OPE和一个四边形APBE。
由于AE和EB是弧AB的两个端点，所以它们的长度相等。
同样地，由于CE和ED是弧CD的两个端点，它们也具有相等的长度。
接下来，我们观察三角形OPE。
由于OE是半径，并且OP垂直于OE （因为l是过P点且垂直于OE的直线），所以三角形OPE是一个直角三角形。
因此，我们可以使用勾股定理来计算PE和OE之间的关系：$OP^2=OE^2+PE^2$。
现在让我们考虑四边形APBE。
根据正弦定理，我们可以得到：$\frac{AE}{\sin\angle AEP}=\frac{PE}{\sin\angle APE}$。
同样地，$\frac{EB}{\sin\angle BEP}=\frac{PE}{\sin\angle BPE}$。
由于角AEP和角BEP是对顶角，它们的大小相等。
因此，我们可以将上述两个等式相加并整理得到：$\frac{AE+EB}{PE}=\frac{\sin\angle AEP+\sin\angle BEP}{\sin\angle APE}=\frac{\sin(\angleAEP+\angle BEP)}{\sin\angle APE}$。
现在让我们回到三角形OPE。
根据正弦定理，我们可以得到：$\frac{OE}{OP}=\frac{\sin\angle OEP}{\sin\angle OPE}$。
因为OE 是半径，并且OP垂直于OE，所以$\angle OEP$是直角。
因此，$\sin \angle OEP=1$且$\cos \angle OEP=0$。
圆的切线问题二级结论
圆的切线问题二级结论一、圆的切线相关二级结论1. 切线长定理- 结论：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
- 题目解析- 例如：已知圆O，点P是圆O外一点，PA、PB是圆O的两条切线，切点分别为A、B。
- 求证：PA = PB，∠ APO=∠ BPO。
- 证明：连接OA、OB、OP。
因为PA、PB是圆O的切线，所以OA⊥PA，OB⊥ PB（切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径）。
- 在Rt△ PAO和Rt△ PBO中，OA = OB（圆的半径相等），OP = OP （公共边），所以Rt△ PAO≅ Rt△ PBO（HL定理）。
- 则PA = PB，∠ APO=∠ BPO。
2. 弦切角定理- 结论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
- 题目解析- 例如：已知圆O，AB是圆O的弦，CD是圆O的切线，切点为A，∠BAC是弦切角，∠ ADC是圆周角，widehat{AC}是它们所夹的弧。
- 求证：∠ BAC=∠ ADC。
- 证明：连接AO并延长交圆O于点E，连接EC。
- 因为CD是圆O的切线，所以∠ EAC +∠ BAC = 90^∘（切线的性质）。
- 又因为AE是直径，所以∠ ACE = 90^∘，在△ ACE中，∠ EAC+∠ E = 90^∘，所以∠ BAC=∠ E。
- 而∠ E和∠ ADC所对的弧都是widehat{AC}，根据同弧所对的圆周角相等，所以∠ E=∠ ADC，从而∠ BAC=∠ ADC。
3. 切割线定理- 结论：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
- 题目解析- 例如：已知圆O，点P是圆O外一点，PT是圆O的切线，切点为T，PAB是圆O的割线，A、B是割线与圆的交点。
- 求证：PT^2=PA· PB。
- 证明：连接TA、TB。
因为∠ PTA=∠ B（弦切角定理），∠ P=∠ P（公共角），所以△ PTAsim△ PBT（两角对应相等的两个三角形相似）。
24.2.2.3圆的切线及切线长定理
切线长定理的拓展
A
D
OHຫໍສະໝຸດ CPB（1）写出图中所有的垂直关系 （2）图中有哪些线段相等(除半径 外)、弧相等？
o．
．
o．
三角形外接圆
C
三角形内切圆
C
． o
A B B
． o
A
外接圆圆心：三角形三边 垂直平分线的交点。
外接圆的半径：交点到三 角形任意一个定点的距离。
内切圆圆心：三角形三个 内角平分线的交点。 内切圆的半径：交点到三 角形任意一边的垂直距离。
例2 已知：如图, △ABC的内切圆⊙O与 BC 、CA、 AB 分别相交于点D 、 E 、 F ，且AB＝9厘米，BC ＝14厘米,CA ＝ 13厘米,求AF、BD、CE的长。
A E F B D O C
小结：
（1）切线长定理。 （2）连接圆心和切点是我 们解决切线长定理相关问题 时常用的辅助线。
∵PA、PB是⊙o的两条切线，
关键是作辅助 ∴OA⊥AP，OB⊥BP 线~ 根据你的直观判断，猜想图中PA是否等于PB？∠1与∠2又 又OA=OB，OP=OP， 有什么关系？
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL） ∴PA=PB，∠1=∠2
⌒
P
A
O
P
B
• 切线长定理：
•
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线 长相等，这一点和圆心的连线平分两条切 线的夹角。
复习：
切线的判定：
切线的性质：
问题：
过平面内的一点作圆的切 线，可以作出几条切线？
A
O
P
B
过圆外一点作圆的切线，这点 和切点之间的线段的长，叫做这点 到圆的切线长。
A
O
P
解决圆的切线有关问题的方法
解决圆的切线有关问题的方法利用圆的切线性质和其判定定理解决一些有关圆的切线问题时，通常要添加辅助线，其中“连结”就是一种重要的辅助线作法。
即利用圆的切线进行运算或证明时，通常要把切点与圆心连结起来，充分利用“垂直”来解决问题；在证明圆的切线时，把该直线和圆的交点与圆心连结结起来，证明此半径垂直于该直线即可。
下面通过几例，让我们一起来体会一下“连结”的妙用。
一、利用圆的切线进行运算例1：如图1，在同心圆⊙O 中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，且AB=6cm ，求圆环的面积。
分析：因为大圆的弦AB 切于小圆C 点，所以连结OC ，可得OC ⊥AB ，进而根据垂径定理求得AC=12AB=3。
圆环的面积是大圆面积与小圆面积的差，连结OA ，此时OA 为大圆半径，OC 为小圆半径，在Rt ⊿AOC 中，利用勾股定理可求出(OA2－OC 2)的值，就可求出圆环的面积。
二、利用圆的切线进行证明例2：如图2，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 与过点C 的切线互相垂直，垂足为D 。
求证：AC 平分∠DAB分析：要证明AC 平分∠DAB ，就是要证∠1=∠2。
C 为切点，连结OC 可得OC ⊥AC ，进而证得AD ∥OC ，得到∠1=∠3，其它问题就会迎刃而解。
三、证明圆的切线例3，如图3，在⊿AEF 中，∠BAC 的平分线AD 与⊿AEF的外接圆⊙O 交于D 点，过D 点作BC ∥EF ，分别交AE 和AF 的延长线于点B 和点C 。
求证：BC 为⊙O 的切线。
分析：要证明BC 为⊙O 的切线，根据切线的判定定理需要两个条件：①BC 要过半径的外端；②BC 要与这条半径垂直。
现在BC 恰好过⊙O 上的一点D ，连结OD ，条件①就自然具备了，只要证明OD ⊥BC 问题就会解决。
试一试：1如图4，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过BC 上一点D ，过D 作DE ⊥AC 于E 点，且DE 为⊙O 切线。
求证：BD=CD2如图5，在⊙O 中，半径OA ⊥OB ，弦BC 交OA 于点D ，E 为OA 延长线上的一点，且EC=ED 。
圆的标准方程及切线问题【精选】
D AC
切 线
证明只需要用到勾股定理即可。
P
长
显然，若P点在圆上，则 f (x0, y0 ) 0
D 当f (x0, y0 ) 0时,一方面由f (x0, y0)的符号即可知P点在圆
内或圆外,另一方面它有上述定理的几何意义
B
例5、如图，过圆外一点P（a,b)作圆 x2 y2 k 2 的两条切线，切点 为A、B，求直线AB的方程。
圆的标准方程及切线问题圆的切线方程椭圆切线方程椭圆的切线方程圆切线方程过圆上一点的切线方程圆的切线方程公式圆外一点的切线方程圆锥曲线切线方程椭圆上一点的切线方程
求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的坐标系，用（x,y）表示曲线上任 意一点M的坐标
（2）写出适合条件P的点M的集合 P={M | p(M)};
M (x0 , y0 ) 的切线的方程。
解法三（利用平面向量知识）：
P(x , y )
M (x0 , y0 )
OM MP
OM MP= 0
O
x
x0x +y0 y = r2 x2 + y2 = r2 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为：
(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程 f(x,y)=0
(4)化方程 f(x,y)=0为最简形式
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲 线上的点。
建系、设点 条件立式 代换 化简方程 查缺补漏
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
设M(x,y)是圆上任意一点，
y
M
高考数学培优---圆的“双切线”问题
高考数学培优---圆的“双切线”问题【方法点拨】1.涉及从圆外一点向圆引两条切线的相关线段长计算问题，根据对称性,常将双切线问题转化为一条切线问题，抓住“特征直角三角形”(切点、圆心、圆外点为顶点)，向点与圆心的距离问题转化.2.圆上存在一点、圆心与圆外一点（或圆上存在两点与圆外一点）的张角有最大值，张角最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题.【典型题示例】例1已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ）A. 210x y --=B. 210x y +-=C. 210x y -+=D. 210x y ++=【答案】D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据22PAM PM AB S PA ⋅==△可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【解析】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l的距离为2d ==>，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以12222PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=△，而PA = 当直线MP l ⊥时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小． ∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．例2 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l :y =kx +6上存在点P ，过点P 作圆O : x 2+ y 2=4的切线，切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x【答案】(－∞，－52]∪[52，＋∞) 【分析】由x 1 x 2+ y 1y 2=－2直线l :y =kx +6上的点P 只需满足PC 以垂线段最短，故只需C 【解析】由x 1 x 2+ y 1y 2=－2得： 1212=cos x x y y OA OB OA OB +=⋅在△P AC ，∠APC =300，PC =4，当直线l 上的点 P 满足PC =4又因为点C 与直线上点间的距离，以垂线段最短，故只需C 到直线的距离不大于4.4≤，解之得22k k ≤-≥ 所以k 的取值范围为(－∞，－52]∪[52，＋∞).例 3 过点)1,1(-P 作圆C :)(1)2()(22R t t y t x ∈=+-+- 的切线,切点分别为B A ,,则PA PB ⋅ 的最小值为__________.【答案】214【分析】为了求出PA PB ⋅的最小值，需建立目标函数，这里选择使用数量积的定义作为突破口，选择线段PC 长为“元”.设∠APC =θ，则1sin PC θ=，222cos 212sin 1PC θθ=-=-， 故222222cos 2(1)(1)3PA PB PA PB PC PC PC PCθ⋅==--=+- 又点(,2)C t t -在直线20x y --=，故22PC ≥即28PC ≥所以2218384PA PB ⋅≥+-=，故PA PB ⋅ 的最小值为214. 点评：（1）求最值问题要牢固树立建立目标函数的意识；（2）涉及从圆外一点向圆引两条切线的相关线段长计算问题，常将双切线问题转化为一条切线问题，抓住“特征直角三角形”，向点与圆心的距离问题转化.例4 已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 与圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30︒，则a 的取值范围为 ．【答案】[－65，0] 【分析】双动点问题先转化为一点固定不动，另一点动.这里，先将Q 固定不动，则点P 在圆O 运动时，当PQ 为圆O 的切线时，∠OQP 最大，故满足题意，需∠OQP ≥30︒，再将角的范围转化为O 、Q 间的距离问题，即需OQ ≤2.再固定P 不动，易得只需OM ≤3即可，利用两点间距离公式(a ＋3)2＋(2a )2≤9，解得－65 ≤a ≤ 0.点评：圆上存在一点（或两点）与圆外一点的张角问题，张角最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题.例5 平面直角坐标系xOy 中，点P 在x 轴上，从点P 向圆C 1：x 2＋(y －3)2＝5引切线，切线长为d 1，从点P 向圆C 2：(x －5)2＋(y ＋4)2＝7引切线，切线长为d 2，则d 1＋d 2的最小值为_____．【答案】52【分析】求切线长问题再利用数形结合思想解决最值问题.【解析】设点P (x ，0)，则d 1＝x 2＋(－3)2－5，d 2＝(x －5)2＋42－7，d 1＋d 2＝x 2＋4＋(x －5)2＋9，几何意义：点P (x ，0)到点M (0，2)，N (5，－3)的距离和．当M，P，N三点共线时，d1＋d2有最小值52，此时P(2，0).【巩固训练】1.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 的长的取值范围是________．2.已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点．若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，则点A 横坐标的取值范围是__________．3.已知椭圆C 1：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与圆C 2：22234b x y +=，若在椭圆C 1上不存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是_______4.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O : x 2+ y 2= r 2 (r ＞0) 与圆C : (x －6)2+ (y －8)2=4，过圆O 上任意一点P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，6PA PB +≥，则实数r 的取值范围为 .5.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)(4)16x y +++=，若对于直线10x my ++= 上的任意一点P ，在圆C 上总存在Q 使∠PQC ＝2π，则实数m 的取值范围为 ． 6.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：x ＋ay －3＝0(a >0)，过直线l 上一点P 作圆O的两条切线，切点分别为M ，N .若PM →·PN →＝23，则正实数a 的取值范围是________． 7. 过直线l ：y ＝x －2上任意一点P 作圆C ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，当切线最短时，△P AB 的面积为________．8. 已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10上存在两点A ，B ，P 为直线x ＝5上的一个动点．且满足AP ⊥BP ，那么点P 的纵坐标的取值范围是________．。
关于圆的切线的各种定理
切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线几何语言：∵l ⊥OA，点A在⊙O上∴直线l是⊙O的切线（切线判定定理）切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径几何语言：∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A∴l ⊥OA（切线性质定理）推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角几何语言：∵直线PA、PB分别切⊙O于A、B两点∴PA=PB，∠APO=∠BPO（切线长定理）证明：连结OA、OB∵直线PA、PB分别切⊙O于A、B两点∴OA⊥AP、OB⊥PB∴∠OAP=∠OBP=90°在△OPA和△OPB中：∠OAP=∠OBPOP=OPOA=OB=r∴△OPA≌△OPB（HL）∴PA=PB，∠APO=∠BPO弦切角概念顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角．这种角必须满足三个条件：（1）顶点在圆上，即角的顶点是圆的一条切线的切点；（2）角的一边和圆相交，即角的一边是过切点的一条弦所在的射线；（3）角的另一边和圆相切，即角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线。
它们是判断一个角是否为弦切角的标准，三者缺一不可（4）弦切角可以认为是圆周角的一个特例，即圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角．正因为如此，弦切角具有与圆周角类似的性质．弦切角定理弦切角（即图中∠ACD)等于它所夹的弧(弧AC)对的圆周角等于所夹的弧的读数的一半等于1/2所夹的弧的圆心角 [注，由于网上找得的图不是很完整，图中没有连结OC]几何语言：∵∠ACD所夹的是弧AC∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA=1/2弧AC的度数(弦切角定理）推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等几何语言：∵∠1所夹的是弧MN ，∠2所夹的是PQ ，弧MN =弧PQ∴∠1=∠2证明：作AD⊥EC∵∠ADC=90°∴∠ACD+∠CAD=90°∵ED与⊙O切于点C∴OC⊥ED∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=90°∴∠OCA=∠CAD∵OC=OA=r∴∠OCA=∠OAC∴∠COA=180°-∠OCA-∠OAC=180°-2∠CAD又∵∠ACD=90°-∠CAD∴∠ACDC=1/2∠COA∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA=1/2弧AC的度数切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
与切线有关的问题
与切线有关的问题一如何判断一条直线是圆的切线当直线与圆有公共点（即事实上存在，公共点是已知的或隐含的），要证明该直线是圆的切线，需要用：过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线；当直线与圆没有公共点（即题目中没有说明或隐含条件中也没有告知公共点），要证明该直线是圆的切线，需要用：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线．即当已知直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要连接圆心和这个点，证明这个连线与已知直线垂直即可；当没告诉直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于圆的半径，此情形下题目中一般会存在一条已知切线．1.当直线与圆有公共点（即事实上存在，公共点是已知的或隐含的），要证明该直线是圆的切线，需要用：过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线；即当已知直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要连接圆心和这个点，证明这个连线与已知直线垂直即可.（1）已知：如图，AB为⊙O的直径，∠ABT＝450，AT＝AB，求证：AT与⊙O相切．分析：很显然点A是直径AB的一个端点，也是半径OA的外端点，所以此题应该用过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线来证明；由等腰三角形的性质得出∠T＝∠ABT＝450，由三角形内角和定理得出∠BAT＝900，即AT⊥AB，即可得出结论．证明：∵∠ABT＝450，AT＝AB，∴∠T＝∠ABT＝450，∴∠BAT＝900，即AT⊥AB，∵AB为⊙O的直径，∴AT 与⊙O相切．（2）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，O为AB上一点，以O为圆心、OB长为半径的圆交BC于D，DE ⊥AC交AC于E．求证：DE是⊙O的切线．分析：很显然点D是圆上一点，连接OD，则D是半径OD的外端点，所以此题应该用过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线来证明；连OD，由OB＝OD，AB＝AC，可得到∠ODB＝∠C，即OD∥AC，而DE⊥AC，即可得到OD⊥DE，从而得到DE是⊙O的切线．证明：连接OD，如图，则OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，又∵AB＝AC，∴∠OBD＝∠C．∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC．又∵DE⊥AC，∴OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．（3）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝900，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于D，E是C上一点．若E是AC的中点，则DE是⊙O的切线，为什么？分析：（1）很显然点D是圆上一点，连接OD，则D是半径OD的外端点，此题应该用过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线来证明；连接CD，根据圆周角定理得到∠BDC＝900，根据等腰三角形的性质得到∠ODE ＝900，于是得到结论；解：DE是⊙O的切线．理由：连接CD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝900，∴∠CDA＝900，∵E是AC的中点，∴CE＝DE，∴∠DCE＝∠CDE，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ODC+∠CDE＝∠OCD+∠DCE＝900，∴∠ODE＝900，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（4）如图，⊙D交y轴于A、B，交x轴于C，过点C的直线与y轴交于P，D点坐标（0，1），求证：PC是⊙D的切线．分析:已知直线交于x轴于点C，交y轴于P，易得点C，P的坐标，然后根据勾股定理求出PC，DC的长．最后根据勾股定理推出PC是⊙D的切线．证明：∵直线交于x轴于点C，交y轴于P，∴点C，P坐标分别为（），（0，﹣8）．∴OC＝OP＝8．又∵∠COP＝900，∴PC2＝OC2+OP2，∴PC＝或．又∵＜0，∴舍去．∵点D坐标为（0，1），∴DO＝1．又∵OC＝，∠DOC＝900，∴DC2＝DO2+OC2＝9．∴DC＝3或﹣3．又∵﹣3＜0，∴舍去．又∵DO＝1OP＝8，∴DP＝9．又∵DP2＝81＝72+9＝PC2+DC2,∴∠DCP＝900．即PC是⊙D的切线．（5）如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC，交直线BC于点E，交⊙O于点D．过点D作l∥BC，求证：l 是⊙O切线；分析：连接OD，根据角平分线求出∠BAD＝∠CAD，推出弧BD＝弧CD，根据垂径定理求出OD⊥BC，推出OD ⊥直线l，根据切线的判定推出即可；证明：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴弧BD＝弧CD，∵OD过O，∴OD⊥BC，∵直线l ∥BC，∴OD⊥直线l，∴直线l是圆O的切线.（6）已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．I：如图甲，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加条件（写出两种）：①或②；II：如图乙，AB是非直径的弦，若∠CAF＝∠B，求证：EF是⊙O的切线．分析：I：添加条件是：①OA⊥EF或∠FAC＝∠B根据切线的判定和圆周角定理推出即可．II：作直径AM，连接CM，推出∠M＝∠B＝∠EAC，求出∠FAC+∠CAM＝900，根据切线的判定推出即可．解：I：①OA⊥EF；②∠FAC＝∠B.理由是：①∵OA⊥EF，OA是半径，∴EF是⊙O切线. ②∵AB是⊙0直径，∴∠C＝900，∴∠B+∠BAC＝900，∵∠FAC＝∠B，∴∠BAC+∠FAC＝900，∴OA⊥EF，∵OA是半径，∴EF是⊙O切线，故答案为：OA⊥EF或∠FAC＝∠B.II：作直径AM，连接CM，则∠B＝∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∵∠FAC＝∠B，∴∠FAC ＝∠M，∵AM是⊙O的直径，∴∠ACM＝900，∴∠CAM+∠M＝900，∴∠FAC+∠CAM＝900，∴EF⊥AM，∵OA是半径，∴EF是⊙O的切线．2.当直线与圆没有公共点（即图形显示好像存在公共点，但题目中没有说明或隐含条件中也没有告知），要证明该直线是圆的切线，需要用：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线．即当没告诉直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于圆的半径．（1）如图，在Rt△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上一点，DE＝DC，以D为圆心，DB为半径作⊙D．求证：①AC是⊙O的切线；②AB+BE＝AC．分析：①过点D作DF⊥AC于F，求出BD＝DF等于半径，得出AC是⊙D的切线．②根据HL先证明Rt△BDE ≌Rt△DCF，再根据全等三角形对应边相等及切线的性质得出AB＝AF，即可得出AB+BE＝AC．解：①过点D作DF⊥AC于F；∵∠ABC=900，∴BC⊥AB，∴AB为⊙D的切线.∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，∴BD＝DF，∴AC与⊙D相切；②在△BDE和△DCF中，∵BD＝DF，DE＝DC，在Rt△BDE和Rt△DCF中，，∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），∴EB＝FC．∵AB＝AF，∴AB+EB＝AF+FC，即AB+EB＝AC．（2）如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O 相切．分析：欲证AC与⊙O相切，只要证明圆心O到AC的距离等于圆的半径即可，即连接OD，过点O作OE⊥AC 于E点，证明OE＝OD．证明：连接OD，过点O作OE⊥AC于E点，则∠OEC＝90°，∵AB切⊙O于D，∴OD⊥AB，∴∠ODB＝90°，∴∠ODB＝∠OEC；又∵O是BC的中点，∴OB＝OC，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△OBD≌△OCE，∴OE＝OD，即OE 是⊙O的半径，∴AC与⊙O相切．（3）已知O是∠ABC的角平分线BD上的一点，以点O为圆心的⊙O与AB相切，求证：BC与⊙O相切．分析：作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，如图，根据切线的性质得到OE为⊙O的半径，再根据角平分线的性质得OE＝OF，于是得到OF为⊙O的半径，然后根据切线的判定定理有BC与⊙O相切．证明：作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，如图，∵以点O为圆心的⊙O与AB相切，∴OE为⊙O的半径，∵O是∠ABC的角平分线BD上的一点，∴OE＝OF，即OF为⊙O的半径，而OF⊥BC，∴BC与⊙O相切．（4）如图，已知O为平行四边形ABCD的对角线的交点，⊙O与AB相切，求证：⊙O与CD相切分析：如图，作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，然后证明E、O、F三点在一条直线上，根据切线的性质得到OE 为⊙O的半径，全等三角形证得OF＝OE，于是得到OF为⊙O的半径，然后根据切线的判定定理有BC与⊙O相切．证明：如图，作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵OE⊥AB，OF⊥BC，AB∥CD，∴OF⊥AB，这样过点O就有两条直线OE、OF与AB垂直，根据垂线的性质，过一点有唯一直线与已知直线垂直，∴E、O、F三点在一条直线上.∵以点O为圆心的⊙O与AB相切，∴OE为⊙O的半径，∵ABCD是平行四边形，O是平行四边形ABCD的对角线的交点，∴CD∥AB，OB=OD，∴∠CDB=∠DBA，在△OFD与△OBE中，OB=OD，∠CDB=∠DBA，∠DOF=∠BOE，∴△DOF ≌△BOE，∴OF＝OE，即OF为⊙O的半径，而OF⊥BC，∴BC与⊙O相切．（5）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，E、F分别是AB、AC的中点，AD与EF相交于H．求证：以EF为直径的⊙O与BC相切．分析：作OG⊥BC于G，根据三角形中位线定理得到EF＝BC，得出AD＝EF，根据矩形的性质得到OG＝HD，得到OG＝EF，证明结论．证明：作OG⊥BC于G，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，EF＝BC，又AD＝BC，∴AD＝EF，∵AD⊥BC，OG⊥BC，EF∥BC，∴四边形HDGO为矩形，∴OG＝HD＝AD，∴OG＝EF，∴以EF为直径的⊙O与BC 相切．（6）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝900，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：AC与⊙D相切．分析：过点D作DF⊥AC于F，证出DF=BD（半径），即可得出AC是⊙D的切线．证明：过点D作DF⊥AC于F，∵AB为⊙D的切线，∴∠B＝900，∴AB⊥BC，∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，BD⊥AB，∴DF=BD，∵BD是⊙D的半径，而DF=BD，∴AC是⊙D的切线．（7）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，弦AB＝CD，AB切小圆于点E，求证：CD是小圆的切线．分析:要证CD是小圆的切线，过O作OF⊥CD于F，AB与小⊙O切于点E，根据同圆等弦的弦心距相等可知OE＝OF．证明：如右图所示，连结OE，过O作OF⊥CD于F．∵AB与小⊙O切于点E，∴OE⊥AB，∵AB＝CD，∴OE＝OF（同圆等弦的弦心距相等），∴CD与小⊙O相切．二与圆的切线的性质有关的问题切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．因为经过一点只有一条直线与已知直线垂直，所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；反之,过切点且垂直于切线的直线也一定过圆心.由此得到两个推论．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．已知一条直线是圆的切线时，辅助线常连结圆心和切点.1.如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，∠ACD＝1200，求证：CA ＝CD；分析:可通过证明角相等来证边相等．连接OC，则OC⊥CD，那么∠ACO＝300；根据等边对等角我们不难得出∠A＝300，∠COD＝600，直角三角形OCD中，∠COD＝600，因此∠A＝∠D＝300，由此便可得出CA＝CD．解：（1）连接OC．∵DC切⊙O于点C，∴∠OCD＝900．又∵∠ACD＝1200，∴∠ACO＝∠ACD﹣∠OCD＝1200﹣900＝300．∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO＝300，∴∠COD＝600．∴∠D＝300，∴CA＝DC．2.如图，AB为⊙O的直径，BC、CD为⊙O的切线，B、D为切点，求证：AD∥OC分析：如图，连接BD、OD，BD交OC于M．由切线的性质证出BD⊥OC，得∠ODM+∠DOC＝900，而AB为⊙O 直径，得∠ADO+∠ODM＝900，可得∠ADO＝∠DOC，从而得出AD∥OC；解：（1）如图，连接BD、OD，BD交OC于M．∵CB、CD是⊙O的两条切线，∴BD⊥OC，∴∠ODM+∠DOC＝900，又∵AB为⊙O直径，得AD⊥DB，∴∠ADO+∠ODM＝900，可得∠ADO＝∠DOC，∴AD∥OC3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线DE交BC于点E．求证：BE＝CE．分析:连接CD，根据切线的性质，就可以证出∠B＝∠BDE，从而证明BE＝CE．解：连接CD,∵∠ACB＝900，AC为⊙O直径，∴EC为⊙O切线，且∠ADC＝900；∵ED切⊙O于点D，∴EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC；∵∠B+∠ECD＝∠BDE+∠EDC＝900，∴∠B＝∠BDE，∴BE＝ED，∴BE＝CE．4.如图，已知：AB是⊙O的直径，AC是切线，A为切点，BC交⊙O于点D，切线DE交AC于点E．求证：AE＝EC．分析:连接AD，根据直径所对的圆周角是直角，即可证得△ADC是直角三角形，再根据切线长定理即可证得AE ＝DE，只要再证得DE＝EC即可．解：∵AB是圆的直径．∴∠ADB＝90°，则∠ADC＝90°,∴∠DAC+∠C＝90°.∵AE，DE是圆的切线．∴AE＝DE,∴∠DAE＝∠ADE,又∵∠DAE+∠C＝∠ADE+∠EDC＝90°,∴∠EDC＝∠C,∴DE＝EC,∴AE＝EC.5.如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD．①求∠D的度数；②若CD ＝2，求BD的长．分析:①根据等腰三角形性质和三角形外角性质求出∠COD＝2∠A，求出∠D＝∠COD，根据切线性质求出∠OCD＝90°，即可求出答案；②求出OC＝CD＝2，根据勾股定理求出BD即可．解：（1）∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠COD＝∠A+∠ACO＝2∠A，∵∠D＝2∠A，∴∠D＝∠COD，∵PD切⊙O于C，∴∠OCD＝90°，∴∠D＝∠COD＝45°；（2）∵∠D＝∠COD，CD＝2，∴OC＝OB＝CD＝2，在Rt△OCD中，由勾股定理得：22+22＝（2+BD）2，解得：BD＝2﹣2．6.如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．求证：∠BDC＝∠A．分析：连接OD，由CD是⊙O切线，得到∠ODC＝900，根据AB为⊙O的直径，得到∠ADB＝900，等量代换得到∠BDC＝∠ADO，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠A，即可得到结论；证明：连接OD，∵CD是⊙O切线，∴∠ODC＝900，即∠ODB+∠BDC＝900，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝900，即∠ODB+∠ADO＝900，∴∠BDC＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A；7.如图，PA切⊙O于点A，弦AB⊥OP，垂足为M，AB＝4，OM＝1，求PA的长.分析：先根据垂径定理得AM＝AB＝2，则利用勾股定理可计算出OA＝，再根据切线的性质得∠OAP＝900，可知△OMA、△OPA是直角三角形，可设PA=x，PM=a，根据勾股定理可列两个方程求得PA的长.解：∵AB⊥OP，∴AM＝BM＝AB＝×4＝2，在Rt△AOM中，OA＝＝＝，∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，AM⊥PO，∴∠OAP＝900，∴△OPA、△PMA都是直角三角形.设PA=x，PM=a，根据图形及勾股定理可得OA2=OM2+MA2，OP2=OA2+PA2，得到方程（1+a）2=x2+（）2，a2+22=x2，由这两个方程可得到x=2.8.如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．（1）求证：AT平分∠BAC；（2）若AD＝2，TC＝，求⊙O的半径．分析：（1）PQ切⊙O于T，则OT⊥PC，根据AC⊥PQ，则AC∥OT，要证明AT平分∠BAC，只要证明∠TAC＝∠ATO就可以了．（2）过点O作OM⊥AC于M，则满足垂径定理，在直角△AOM中根据勾股定理就可以求出半径OA．（1）证明：连接OT；∵PQ切⊙O于T，∴OT⊥PQ，又∵AC⊥PQ，∴OT∥AC，∴∠TAC＝∠ATO；又∵OT＝OA，∴∠ATO＝∠OAT，∴∠OAT＝∠TAC，即AT平分∠BAC．（2）解：过点O作OM⊥AC于M，∴AM＝MD＝＝1；又∠OTC＝∠ACT＝∠OMC＝900，∴四边形OTCM为矩形，∴OM＝TC＝，∴在Rt△AOM中，；即⊙O的半径为2．9.如图，点E在x轴正半轴上，以点E为圆心，OE为半径的⊙E与x轴相交于点C，直线AB与⊙E相切于点D，已知点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4）．（1）求线段AD的长；（2）连接BE、CD，则BE与CD平行吗，为什么？分析：（1）连接DE，由切线性质知OB＝DB＝4，AD＝AB﹣BD，需要求出AB，可以根据勾股定理求出AD；（2）连接BE、CD，要证明BE与CD平行可以通过平行线的判定，根据切线的性质，得出∠ADC＝∠ABE即可.解：（1）连接DE，∵A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5，∵以点E为圆心，OE为半径的⊙E与x轴相交于点C，直线AB与⊙E相切于点D，∴OB＝DB＝4，∴AD＝5﹣4＝1；（2）平行；连接BE、CD、OD，∵直线AB与⊙E相切于点D，∴∠ADC＝∠AOD，∵OB⊙E于点O，∴OB＝BD，∠OBE＝∠DBE，∴BE⊥OD，∴∠OBE+∠BOD＝900，∵∠BOD+∠COD＝900，∴∠OBE＝∠COD，∴∠ADC＝∠DBE，∴BE 与CD平行；10.如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E＝460，∠DCF＝320，则∠A 的度数是多少？分析：根据切线长定理得EC＝EB，则∠ECB＝∠EBC＝670，再根结合内接四边形的对角互补得∠A＝∠ECB+∠DCF＝670+320＝990．解：∵EB、EC是⊙O的切线，∴EB＝EC，又∵∠E＝460，∴∠ECB＝∠EBC＝670，∴∠BCD＝1800﹣（∠BCE+∠DCF）＝1800﹣990；∵四边形ADCB内接于⊙O，∴∠A+∠BCD＝1800，∴∠A＝990．三与切线有关的中考题1.如图，△OAB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝80°，以点O为圆心，6为半径的优弧分别交OA，OB于点M，N．（1）点P在右半弧上（∠BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′．求证：AP＝BP′；（2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T到OA的距离；（3）设点Q在优弧上，当△AOQ的面积最大时，直接写出∠BOQ的度数．分析:（1）首先根据已知得出∠AOP＝∠BOP′，进而得出△AOP≌△BOP′，即可得出答案；（2）利用切线的性质得出∠ATO＝90°，再利用勾股定理求出AT的长，进而得出TH的长即可得出答案；（3）当OQ⊥OA时，△AOQ 面积最大，且左右两半弧上各存在一点分别求出即可．（1）证明：如图1，∵∠AOP＝∠AOB+∠BOP＝80°+∠BOP，∠BOP′＝∠POP′+∠BOP＝80°+∠BOP，∴∠AOP＝∠BOP′，∵在△AOP和△BOP′中,∴△AOP≌△BOP′（SAS），∴AP＝BP′；（2）解：如图1，连接OT，过点T作TH⊥OA于点H，∵AT与相切，∴∠ATO＝90°，∴AT＝＝＝8，∵×OA×TH ＝×AT×OT，即×10×TH＝×8×6，解得：TH＝，即点T到OA的距离为；（3）解：如图2，当OQ⊥OA时，△AOQ的面积最大；理由：∵OQ⊥OA，∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大，∴∠BOQ＝∠AOQ+∠AOB＝90°+80°＝170°，当Q点在优弧右侧上，∵OQ⊥OA，∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大，∴∠BOQ＝∠AOQ﹣∠AOB＝90°﹣80°＝10°，综上所述：当∠BOQ的度数为10°或170°时，△AOQ的面积最大．2.图1和图2中，优弧所在⊙O的半径为2，AB＝2，点P为优弧上一点（点P不与A，B重合），将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．（Ⅰ）点O到弦AB的距离是，当BP经过点O时，∠ABA′＝；（Ⅱ）当BA′与⊙O相切时，如图2，求折痕的长．分析:（1）利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′．（2）根据切线的性质得到∠OBA′＝90°，从而得到∠ABA′＝120°，就可求出∠ABP，进而求出∠OBP＝30°．过点O作OG⊥BP，垂足为G，容易求出OG、BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长．解：（1）①过点O作OH⊥AB，垂足为H，连接OB，如图1①所示．∵OH⊥AB，AB＝2，∴AH＝BH＝．∵OB＝2，∴OH＝1．∴点O到AB的距离为1．②当BP经过点O时，如图1②所示．∵OH＝1，OB＝2，OH⊥AB，∴sin∠OBH＝0.5．∴∠OBH＝30°．由折叠可得：∠A′BP＝∠ABP＝30°．∴∠ABA′＝60°．故答案为：1、60．（2）过点O作OG⊥BP，垂足为G，如图2所示．∵BA′与⊙O相切，∴OB⊥A′B．∴∠OBA′＝900．∵∠OBH＝300，∴∠ABA′＝1200．∴∠A′BP＝∠ABP＝600．∴∠OBP＝300．∴OG＝0.5OB＝1．∴BG＝．∵OG⊥BP，∴BG＝PG＝．∴BP＝2．∴折痕的长为2．3.如图，半圆O的直径AB＝4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在AQ（弧）上且不与A 点重合，但Q点可与B点重合．发现：AP（弧）的长与QB（弧）的长之和为定值l，求l；思考：点M与AB的最大距离为，此时点P，A间的距离为；点M与AB的最小距离为，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为．探究：当半圆M与AB相切于T时，求AT的长．分析:发现：半圆O的长度是固定不变的，PQ也是定值，的长度也是固定值，所以与的长之和为定值；思考：过点M 作MC ⊥AB 于点C ，当C 与O 重合时，M 与AB 的距离最大，此时，∠AOP ＝60°，AP ＝2；当Q 与B 重合时，M 与AB 的距离最小，此时围成的封闭图形面积可以用扇形DMB 的面积减去△DMB 的面积即可；探究：当半圆M 与AB 相切时，此时MC ＝1，且分以下两种情况讨论，当C 在线段OA 上；当C 在线段OB 上，然后分别计出 的长．解：发现：如图1，连接OP 、OQ ，∵AB ＝4，∴OP ＝OQ ＝2，∵PQ ＝2，∴△OPQ 是等边三角形，∴∠POQ ＝60°，∴＝180260⨯•π＝32π，又∵半圆O 的长为：21π×4＝2π，∴+＝2π﹣32π＝34π，∴l ＝34π； 思考：如图2，过点M 作MC ⊥AB 于点C ，连接OM ，∵OP ＝2，PM ＝1，∴由勾股定理可知：OM ＝，当C 与O 重合时，M 与AB 的距离最大，最大值为3，连接AP ，此时，OM ⊥AB ，∴∠AOP ＝60°，∵OA ＝OP ，∴△AOP 是等边三角形，∴AP ＝2，如图3，当Q 与B 重合时，连接DM ，∵∠MOQ ＝30°，∴MC ＝21OM ＝23，此时，M 与AB 的距离最小，最小值为23，设此时半圆M 与AB 交于点D ，DM＝MB ＝1，∵∠ABP ＝60°，∴△DMB 是等边三角形，∴∠DMB ＝60°，∴扇形DMB 的面积为：3601602⨯•π＝6π，△DMB 的面积为：21MC •DB ＝21×23×1＝43，∴半圆M 的弧与AB 所围成的封闭图形面积为：436-π；故答案为3，2，23，436-π；探究：当半圆M 与AB 相切于T 时，此时，MT ＝1，如图4，当点C 在线段OA 上时，在Rt △OTM 中，由勾股定理可求得：OT＝＝2，∴AT＝OA﹣OT＝2﹣2如图5中，当点T在线段OB 上时，AT＝2+2．综上所述，AT的值为2±2．4.如图，点A 在数轴上对应的数为26，以原点O 为圆心，OA 为半径作优弧，使点B 在O 右下方，且tan ∠AOB ＝34，在优弧上任取一点P ，且能过P 作直线l ∥OB 交数轴于点Q ，设Q 在数轴上对应的数为x，连接OP．（1）若优弧上一段的长为13π，求∠AOP的度数及x的值；（2）求x的最小值，并指出此时直线l与所在圆的位置关系；（3）若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值．分析:（1）利用弧长公式求出圆心角即可解决问题；（2）如图当直线PQ 与⊙O 相切时时，x 的值最小．（3）由于P 是优弧上的任意一点，所以P 点的位置分三种情形，分别求解即可解决问题．解：（1）如图1中，由18026••πn ＝13π，解得n ＝900，∴∠POQ ＝900，∵PQ ∥OB ，∴∠PQO ＝∠BOQ ，∴tan∠PQO ＝tan ∠QOB ＝34＝OQ OP ，∴OQ ＝239，∴x ＝239．（2）如图当直线PQ 与⊙O 相切时时，x 的值最小．在Rt △OPQ 中，OQ ＝OP ÷54＝32.5，此时x 的值为﹣32.5．（3）分三种情况讨论：①如图2中，作OH ⊥PQ 于H ，设OH ＝4k ，QH ＝3k ．在Rt △OPH 中，∵OP 2＝OH 2+PH 2，∴262＝（4k ）2+（3k ﹣12.5）2，整理得：k 2﹣3k ﹣20.79＝0，解得k ＝6.3或﹣3.3（舍弃），∴OQ ＝5k ＝31.5．此时x的值为31.5；②如图3中，作OH ⊥PQ 交PQ 的延长线于H ．设OH ＝4k ，QH ＝3k ．在Rt △在Rt △OPH 中，∵OP 2＝OH 2+PH 2，∴262＝（4k ）2+（12.5+3k ）2，整理得：k 2+3k ﹣20.79＝0，解得k ＝﹣6.3（舍弃）或3.3，∴OQ ＝5k ＝16.5，此时x 的值为﹣16.5；③如图4中，作OH ⊥PQ 于H ，设OH ＝4k ，QH ＝3k ．在Rt △OPH 中，∵OP 2＝OH 2+PH 2，∴262＝（4k ）2+（3k ﹣12.5）2，整理得：k 2﹣3k ﹣20.79＝0，解得k ＝6.3或﹣3.3（舍弃），∴OQ ＝5k ＝31.5不合题意舍弃．此时x 的值为﹣31.5．综上所述，满足条件的x 的值为﹣16.5或31.5或﹣31.5．。
圆的切线的二级结论及其证明
圆的切线的二级结论及其证明结论一：过圆x 2＋y 2＝r 2上一点(x 0，y 0)的切线方程：x 0⋅x ＋y 0⋅y ＝r 2 标准方法：由题意可知切线过(x 0，y 0)，只需要求得斜率k 即可方法一：由初中阶段圆的切线知识可知，切线与过切点的半径互相垂直而过切点的半(直)径的斜率为y 0x 0∴切线的斜率k ＝－x 0y 0∴切线方程为 y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0) 即y 0y －y 02＝－x 0x ＋x 02点(x 0，y 0)在圆上∴x 02＋y 02＝r 2移项可得x 0⋅x ＋y 0⋅y ＝r 2方法二：圆心到直线的距离为r设直线为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y －kx 0＋y 0＝0圆心到该直线的距离d ＝|－kx 0＋y 0|k 2＋1＝r (注意目标：解出k ) k 2x 02－2kx 0y 0＋y 02＝r 2(k 2＋1) (解出k 恐怕不太容易)整理可得： (x 02－r 2)k 2－2x 0y 0k ＋y 02－r 2＝0 (由k 的唯一性可知这货的∆＝0)∴k ＝x 0y 0x 02－r2 ∴切线方程为： y －y 0＝x 0y 0x 02－r2(x －x 0) 整理为： x 02y －r 2y ＋y 0r 2＝x 0y 0x (这怎么能是答案呢？但真的是)∵点(x 0，y 0)在圆上∴x 02＋y 02＝r 2∴x 02 ＝r 2－y 02代入上式：(r 2－y 02)y －r 2y ＋y 0r 2＝x 0y 0x整理即为结论方法三：使用代数方法，联立直线和圆，应该有唯一解，即一个交点，求出k 当k 不存在时，切点就是(±r ，0)，易得切线即为x ＝±r ，符合结论⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝r 2y －y 0＝k ()x －x 0 x 2＋(x －x 0)2k 2＋2y 0(x －x 0)k ＋y 02－r 2＝0(k 2＋1)x 2－2k 2x 0x ＋2ky 0x ＋k 2x 02－2kx 0y 0＋y 02－r 2＝0(k 2＋1)x 2－2(k 2x 0－ky 0)x ＋k 2x 02－2kx 0y 0＋y 02－r 2＝0(k 2＋1)x 2－2k (kx 0－y 0)x ＋(kx 0－y 0)2－r 2＝0∆＝[2k (kx 0－y 0)]2－4(k 2＋1)[(kx 0－y 0)2－r 2]＝4k 2(kx 0－y 0)2－4k 2(kx 0－y 0)2＋4k 2r 2－4(kx 0－y 0)2＋4r 2＝4k 2r 2－4(kx 0－y 0)2＋4r 2＝0∴k 2r 2－(kx 0－y 0)2＋r 2＝0 (观察可知，只有k 是未知的，其余x 0、y 0、r 均为常量)整理可得：(r 2－x 02)k 2＋2x 0y 0k ＋r 2－y 02＝0有k 的唯一性可知，上面关于k 的一元二次方程有唯一解k ＝k 1＝k 2＝x 0y 0x 02－r 2 ∴切线方程为：y －y 0＝x 0y 0x 02－r 2 (x －x 0) x 02y －x 02y 0－r 2y ＋y 0r 2＝x 0y 0x －x 02y 0x 02y －r 2y ＋y 0r 2＝x 0y 0x ①∵x 02＝r 2－y 02代入①式：(r 2－y 02)y －r 2y ＋y 0r 2＝x 0y 0xr 2y －y 02y －r 2y ＋y 0r 2＝x 0y 0x－y 02y ＋y 0r 2＝x 0y 0x－y 0y ＋r 2＝x 0x即：x 0⋅x ＋y 0⋅y ＝r 2方法四：对x 2＋y 2＝r 2两侧求导2x ＋2yy '＝0∴k ＝y '＝－x 0y 0，同方法一点评：由于圆具有最丰富的特性，因此其切线的求法方法也比较多，利用几何特性、代数表达都可以，以上三个方法，方法一、二必须掌握，但仅仅限于圆的问题，椭圆就不可以了；方法三是对椭圆、双曲线、抛物线切线的热身；计算让人头晕目眩，不过到了椭圆、双曲线时，不得不采用；方法四有点擦边球，大题不能采用，但最简单。
圆的切线综合练习题与答案
切线的判定与性质练习题一、选择题（答案唯一，每小题3分）1．下列说法中，正确的是( )A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．经过半径外端的直线是圆的切线C．经过切点的直线是圆的切线 D．圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线2. 如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为( )A．70° B．35° C．20° D．40°第2题第3题第4题第5题3. 如图，线段AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E＝50°，则∠CDB等于( )A．20° B．25° C．30° D．40°4.如图，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径为( )A．8 B．6 C．5 D．45.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是( )A．AG＝BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC＝∠ADC二．填空题（每小题3分）6．如图，在⊙O中，弦AB＝OA，P是半径OB的延长线上一点，且PB＝OB，则PA与⊙O的位置关系是_________．第6题第7题第8题7.如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为________________．8.如图，AB是⊙O的直径，O是圆心，BC与⊙O切于点B，CO交⊙O于点D，且BC＝8，CD＝4，那么⊙O的半径是______．9. 如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C＝_______度．第9题第10题第11题10. 如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC，BE.若AE＝6，OA＝5，则线段DC的长为______．11．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB＝30°，则∠B＝________度．三、解答题（写出详细解答或论证过程）12.（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.求证：AC是⊙O的切线．第12题第13题第14题13.（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.求证：∠BDC＝∠A.14.（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：AC与⊙D相切．15.（10分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD.(1)求∠D的度数；(2)若CD＝2，求BD的长．第15题第16题16．（12分）已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.(1)如图①，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种)：__________________________或者_______________________；(2)如图②，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切线吗试证明你的判断．17.（12分）如图，已知直线PA交⊙O于A，B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长．答案：DDADC 6. 相切 7. ∠ABC＝90°不排除等效答案 8. 6 9. 45 10. 4 11. 60 12. 解：连接OD，∵BD为∠ABC平分线，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD∥BC，∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，则AC为⊙O的切线13. 解：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，∴∠ODB＋∠BDC＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB＋∠ADO＝90°，∴∠BDC＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A14. 解：过D作DH⊥AC于H，由角平分线的性质可证DB＝DH，∴AC与⊙D相切15. 解：(1)∵∠COD＝2∠CAD，∠D＝2∠CAD，∴∠D＝∠COD.∵PD与⊙O相切于点C，∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°，∴∠D＝45°(2)由(1)可知△OCD是等腰直角三角形，∴OC＝CD＝2，由勾股定理，得OD＝22＋22＝22，∴BD ＝OD－OB＝22－216. (1) ∠BAE＝90°∠EAC＝∠ABC(2) (2)EF是⊙O的切线．证明：作直径AM，连接CM，则∠ACM＝90°，∠M＝∠B，∴∠M＋∠CAM＝∠B＋∠CAM＝90°，∵∠CAE＝∠B，∴∠CAM＋∠CAE＝90°，∴AE⊥AM，∵AM为直径，∴EF是⊙O的切线17. 解：(1)连接OC，证∠DAC＝∠CAO＝∠ACO，∴PA∥CO，又∵CD⊥PA，∴CO⊥CD，∴CD为⊙O的切线(2)过O作OF⊥AB，垂足为F，∴四边形OCDF为矩形．∵DC＋DA＝6，设AD＝x，则OF＝CD＝6－x，AF＝5－x，在Rt△AOF中，有AF2＋OF2＝OA2，即(5－x)2＋(6－x)2＝25，解得x1＝2，x2＝9，由AD＜DF知0＜x＜5，故x＝2，从而AD＝2，AF＝5－2＝3，由垂径定理得AB＝2AF＝6。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆中与有关切线的问题
基础知识：
一、切线的定义：①与圆只有一个公共点的直线。
②若圆心到直线的距离与半径相等。
二、切线的性质：
1、若Ｌ是圆的切线，则圆心到直线的距离等于半径。
2、圆的切线垂直过切点的半径。
3、推论：圆心、切点、垂直
三、切线的判定：
1、定义法：与圆只有一个公共点。
2、数量法：∵d=r ∴直线是圆的切线
3、过半径的外端且与它垂直的直线。
方法：a、有明确的公共点，作半径，证垂直；
b、无明确公共点，过圆心作垂直，证半径。
四、与切线有关的问题：
1、切线长定理：
a、切线长定义：
b、切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，这两条切线相等，连接圆心与圆
外的点平分两切线所成的角。
2、弦切角：
a、弦切角的定义：
b、弦切角定理（不能直接用）
弦切角等于弦切角所夹弧所对的圆周角。
3、三角形的内切圆：
a、定义：如果三角形的三边都与这个圆相切，则这个圆叫这个三角形的内切圆。
b、Rt△内切圆半径公式：
Rt△内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半。
c、四边形内切圆：对边和相等。
d、公切线（长）
五、常用辅助线：作半径。
能力测试：
一、填空题。
1、直线L与半径为r的⊙O相交，且点O到直线L的距离为5，则r的取值范围是。
2、在射线OA上取一点P，使OP＝4cm，以P为圆心作直径为4cm的圆，若
⊙P与射线OB相交，则锐角∠AOB的取值范围是。
3、如图，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于B，DC的延长线交AB于A，∠A＝20°，则∠DBE＝。
4、如图，AB为⊙O的直径，延长AB至D，使BD=OB，DC切⊙O于C，则
AC：AD＝。
5、如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O的点，∠BAC＝20°，
⋂
⋂
=DC
AD，DE是
⊙O的切线，则∠EDC的度数为。
6、OA 、OB 是⊙O 的两条半径，BC 是⊙O 的切线，且∠AOB ＝84°，则∠ABC 的度数为 。
二、选择题。
1、下列命题中，错误的是（ ）
A 、垂直于弦的直径平分这弦；
B 、弦的垂直平分线过圆心；
C 、垂直于切线的直线必过圆心；
D 、经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。
2、如图，Rt △ABC ，∠C ＝90°，AC=4，BC=3，以BC 上一点O 为圆心作
⊙O 与AB 相切于E ，与AC 相切于C ，又⊙O 与BC 的另一个交点为D ，则线段BD 的长为（ ）
A 、1
B 、21
C 、31
D 、4
1 3、如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠ACB ＝90°，且AB ＝13，AC=12，则图中阴影部分的面积是（ ）
A 、30－π
B 、30－2π
C 、30－3π
D 、30－4π
4、如图，△ABC ，∠C ＝90°，AB ＝10cm ，AC=8cm ，点P 由C 出发，以每秒2cm 的速度沿线段CA 向点A 运动（不运动到A 点）⊙O 的圆心在BP 上，且 ⊙O 分别与AB 、AC 相切，当点P 运动2秒时，⊙O 的半径是（ ）
A 、712cm
B 、512cm
C 、35cm
D 、2cm
5、如图，直线PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 分别为切点，∠APB=120°，OP ＝10cm ，则弦AB 的长为（ ）
A 、35cm
B 、5cm
C 、310cm
D 、2
35cm ﹒ E B
A C O D 第3题图 ﹒ O A B
D C 第4题图 O · D
E C A B 第5题图 ﹒ O B D E C A 第2题图 ﹒ O A C
B 第3题图 ﹒ O A P D
C B E 第4题图 ﹒ O
A P
B 第5题图
6、已知两圆半径分别为1与5，圆心距为4，则这两圆的位置关系是（ ）
A 、外离
B 、外切
C 、相交
D 、内切
三、解答题
1、如图，A 是⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于B 点，
OC=BC ，AC=2
1OB 。
求证：（1）AB 是⊙O 的切线；
（2）若∠ACD ＝45°，OC ＝2，求弦CD 的长。
2、如图，在⊙O 中，AB 是直径，∠BOC ＝120°，PC 是⊙O 的切线，切点是C ，点D 在劣弧 BC 上运动，当∠CPD 满足什么条件时，直线PD 与直线AB 垂直证明你的结论。
3、已知：如图△ABC ，AD ⊥BC 于D ，AD=
2
1BC ，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，以EF 为直径作半圆O 。
求证：BC 是⊙O 的切线。
O ﹒
C
B A D O ﹒
A B
C P · C F O
G E A B D
4、已知⊙O 的两半径OA 、OB 互相垂直，过A 的一条直线交OB 于P ，交⊙O 于Q ，过Q 引圆的切线交OB 的延长线于C ，且QC=QP ，求∠A 。
5、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CA ⊥AB ，CB 交⊙O 于E ，过E 作⊙O 的切线交AC 于D 。
求证：CD=DA 。
6、如图，PA 切⊙O 于A ，AC 是⊙O 直径，PBC 是⊙O 的割线，AD 平分∠CAB ，∠APD 的平分线交AD 于E 。
求证：PE ⊥AD 。
7、已知：如图△ABC ，∠B ＝90°，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D 。
求证：（1）DE ∥OC
（2）AD=2，DC=3。
求tan ∠ADE 的值。
B O
﹒ C Q P A
O
﹒ B A D
E C
P O ﹒ E A B
D C O ﹒ C
B D
A E
8、如图，已知⊙O 的外切等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，AB=DC ，梯形中位线为EF 。
（1）求证：EF ＝AB ；
（2）若EF=5，AD ：BC ＝1：4，求此梯形ABCD 的面积。
9、如图，正方形ABCD 中，有一直径为BC 的半圆，BC=2cm ，现有两点E 、F ，分别从点B 、点A 同时出发，点E 沿线段BA 以1cm/s 的速度向点A 运动，点F 沿折现A －D －C 以2cm/s 的速度向点C 运动，设点E 离开点B 的时间为t(s)。
（1）当t 为何值时，线段EF 与BC 平行
（2）设1＜t ＜2；当t 为何值时，EF 与半圆相切。
10、已知：PA 、PB 切⊙O 1于A 、B ，⊙O 2与PA 、PB 、⋂AB 都相切，∠AO 1B ＝120°。
求证：⋂AB 的长等于⊙O 2的周长。
O ﹒ A
B
E D
F C
C A
E ﹒ O 1 ﹒ O 2 · P A B。