圆周运动加速度推导微积分
圆周运动加速度的微积分推导
1. 引言
圆周运动是物体在一个固定半径的圆轨道上做匀速或变速运动。在圆周运动中，我们经常关注物体的加速度，即物体在圆周轨道上的改变速度。
本文将通过微积分的方法来推导圆周运动的加速度公式。我们将首先回顾一些基本概念，然后介绍如何用微积分来描述和推导圆周运动的加速度。
2. 圆周运动基本概念回顾
在开始推导之前，我们先回顾一些与圆周运动相关的基本概念。
•角度：角度是描述物体在圆周轨道上位置的量。通常用弧度（radian）来表示，1弧度等于圆心角所对应的弧长等于半径长度。
•角速度：角速度是描述物体在单位时间内绕圆心转过的角度量。通常用符号ω表示，单位为弧度/秒。
•线速度：线速度是描述物体在单位时间内沿着轨道移动的距离量。对于圆周运动，线速度与角速度和半径有关系：v = ω * r，其中v为线速度，ω为角速度，r为半径。
3. 圆周运动的加速度
在圆周运动中，物体的加速度可以分为两个部分：切向加速度和径向加速度。•切向加速度：切向加速度是描述物体在圆周轨道上改变线速度的量。它的方向与物体在轨道上运动的方向相切，并且大小与线速度的变化率有关。•径向加速度：径向加速度是描述物体在圆周轨道上改变半径距离的量。它的方向指向圆心，并且大小与线速度和角速度之间的关系有关。
我们将重点研究径向加速度，因为它对于圆周运动来说更为重要。
4. 微积分推导
步骤1：定义问题
我们从一个简单的问题开始：一个物体以角速度ω绕半径为r的圆周轨道匀速运动。我们想要推导出物体在任意时刻t时的径向加速度。
步骤2：建立坐标系
我们建立一个以圆心O为原点、x轴沿着切线方向、y轴沿着法线方向的直角坐标系。在该坐标系下，物体的位置可以用向量r(t) = x(t)i + y(t)j表示。
步骤3：求解速度向量
根据圆周运动的定义，我们知道线速度与角速度和半径之间有关系：v = ω * r。因此，我们可以得到物体的速度向量v(t) = ωr(t)。将向量r(t)展开为x和y的分量形式，即 r(t) = x(t)i + y(t)j，则速度向量可以表示为v(t) = ω(x(t)i + y(t)j)。
步骤4：求解加速度向量
我们已经得到了速度向量v(t)，现在我们需要求解加速度向量a(t)，即物体在任意时刻t时的径向加速度。
由于加速度是速度的变化率，我们可以通过对时间t求导来获得加速度。对于x分量来说，aₓ = d(vₓ)/dt；对于y分量来说，aᵧ = d(vᵧ)/dt。
首先，我们计算x分量的加速度：
aₓ = d(vₓ)/dt
= d(ωx)/dt （根据步骤3）
= ω * dx/dt （常数倍法则）
= ω * vₓ/r （由于dx/dt等于vₓ）
同理，计算y分量的加速度：
aᵧ = d(vᵧ)/dt
= d(ωy)/dt （根据步骤3）
= ω * dy/dt （常数倍法则）
= ω * vᵧ/r （由于dy/dt等于vᵧ）
将x和y分量的加速度合并起来，得到加速度向量a(t) = aₓi + aᵧj：
a(t) = (ω * vₓ/r)i + (ω * vᵧ/r)j
= (ω²x/r)i + (ω²y/r)j （根据步骤3）
步骤5：化简加速度公式
我们可以进一步化简加速度公式。由于物体在圆周轨道上运动，所以有一个重要的几何关系：x² + y² = r²。
将该几何关系代入加速度公式中，得到：
a(t) = (ω²x/r)i + (ω²y/r)j
= (ω²(r² - y²)/r)i + (ω²y/r)j
= ω²r(i - y²/(r*r)) + ω²y(j/r)
= ω²r(cosθi - sinθj)
其中，θ是物体相对于x轴的角度。
步骤6：总结结果
最终，我们得到了物体在任意时刻t时的径向加速度公式：
a(t) = ω²r(cosθi - sinθj)
这个公式描述了物体在圆周轨道上的加速度，它的方向指向圆心，并且大小与角速度、半径和物体相对于x轴的角度有关。
5. 结论
通过微积分的方法，我们成功推导出了圆周运动的加速度公式。这个公式可以帮助我们理解和计算物体在圆周运动中的加速度情况。
需要注意的是，本文仅介绍了圆周运动加速度的微积分推导过程，并未涉及具体应用。在实际问题中，我们可以利用这个公式来解决与圆周运动相关的各种问题，如飞行器、车辆等在转弯时的加速度计算等。
希望本文对读者理解圆周运动加速度的微积分推导过程有所帮助！
圆周运动加速度推导微积分
圆周运动加速度的微积分推导 1. 引言 圆周运动是物体在一个固定半径的圆轨道上做匀速或变速运动。在圆周运动中，我们经常关注物体的加速度，即物体在圆周轨道上的改变速度。 本文将通过微积分的方法来推导圆周运动的加速度公式。我们将首先回顾一些基本概念，然后介绍如何用微积分来描述和推导圆周运动的加速度。 2. 圆周运动基本概念回顾 在开始推导之前，我们先回顾一些与圆周运动相关的基本概念。 •角度：角度是描述物体在圆周轨道上位置的量。通常用弧度（radian）来表示，1弧度等于圆心角所对应的弧长等于半径长度。 •角速度：角速度是描述物体在单位时间内绕圆心转过的角度量。通常用符号ω表示，单位为弧度/秒。 •线速度：线速度是描述物体在单位时间内沿着轨道移动的距离量。对于圆周运动，线速度与角速度和半径有关系：v = ω * r，其中v为线速度，ω为角速度，r为半径。 3. 圆周运动的加速度 在圆周运动中，物体的加速度可以分为两个部分：切向加速度和径向加速度。•切向加速度：切向加速度是描述物体在圆周轨道上改变线速度的量。它的方向与物体在轨道上运动的方向相切，并且大小与线速度的变化率有关。•径向加速度：径向加速度是描述物体在圆周轨道上改变半径距离的量。它的方向指向圆心，并且大小与线速度和角速度之间的关系有关。 我们将重点研究径向加速度，因为它对于圆周运动来说更为重要。 4. 微积分推导 步骤1：定义问题 我们从一个简单的问题开始：一个物体以角速度ω绕半径为r的圆周轨道匀速运动。我们想要推导出物体在任意时刻t时的径向加速度。 步骤2：建立坐标系 我们建立一个以圆心O为原点、x轴沿着切线方向、y轴沿着法线方向的直角坐标系。在该坐标系下，物体的位置可以用向量r(t) = x(t)i + y(t)j表示。
圆周加速度公式推导
圆周加速度公式推导 圆周运动是一种常见的运动形式，而圆周加速度则是描述圆周运动速度变化的物理量。在探讨圆周加速度公式推导之前，我们首先需要理解一些基础概念。 首先，圆周运动的线速度v是指物体在单位时间内所经过的圆周长度。公式表示为：v = 2πr/T，其中r是圆的半径，T是圆周运动的周期。 其次，角速度ω是描述物体绕圆心转动的快慢的物理量，其定义是：ω = 2π/T。这意味着物体在单位时间内转过的角度即为角速度。 现在，我们来推导圆周加速度公式。首先，加速度是速度的变化率，对于圆周运动来说，加速度即为线速度的变化率。根据线速度的定义，我们有：dv/dt = 2πr/T × dT/dt。化简得：dv/dt = 2πr × dω/dt。这就是线速度对时间的导数，表示线速度随时间的变化率。 进一步推导，我们得到：a = dv/dt = 2πr × dω/dt = 2πr × (dω/dr) × (dr/dT) × (dT/dt)。由于dT/dt = ω（角速度的定义），dr/dT = v（线速度的定义），我们可以继续化简为：a = 2πr × (dω/dr) × v = 2πr × (d ω/dr) × 2πr/T = 4π^2r × (dω/dr)。 最后一步，我们需要求出(dω/dr)。根据角速度的定义，我们有：dω/dr = -ω^2/r。代入上面的式子得：a = -4π^2 × r × (ω^2/r) = -4π^2 ×ω^2 × r。这就是圆周加速度的公式。 值得注意的是，这个公式只适用于匀速圆周运动的情况。对于变速圆周运动，我们需要考虑更多的因素来推导加速度公式。
(完整版)高中物理竞赛_话题4：曲率半径问题
话题4：曲率半径问题 一、曲率半径的引入 在研究曲线运动的速度时，我们作一级近似，把曲线运动用一系列元直线运动来逼近。因为在0t ?→ 的极限情况下，元位移的大小和元弧的长度是一致的，故“以直代曲”，对于描述速度这个反映运动快慢和方向的量来说已经足够了。 对于曲线运动中的加速度问题，若用同样的近似，把曲线运动用一系列元直线运动来代替，就不合适了。因为直线运动不能反映速度方向变化的因素。亦即，它不能全面反映加速度的所有特征。如何解决呢？圆周运动可以反映运动方向的变化，因此我们可以把一般的曲线运动，看成是一系列不同半径的圆周运动，即可以把整条曲线，用一系列不同半径的小圆弧来代替。也就是说，我们在处理曲线运动的加速度时，必须“以圆代曲”，而不是“以直代曲”。可以通过曲线上一点A 与无限接近的另外两个相邻点作一圆，在极限情况下，这个圆就是A 点的曲率圆。 二、曲线上某点曲率半径的定义 在向心加速度公式2 n v a ρ = 中ρ为曲线上该点的曲率半径。 圆上某点的曲率半径与圆半径相等，在中学物理中研究圆周运动问题时利用了这一特性顺利地解决了动力学问题。我们应该注意到，这也造成了对ρ意义的模糊，从而给其它运动的研究，如椭圆运动、抛体运动、旋轮线运动中的动力学问题设置了障碍。 曲率半径是微积分概念，中学数学和中学物理都没有介绍。曲率k 是用来描述曲线弯曲程度的概念。曲率越大，圆弯曲得越厉害，曲率半径ρ越小，且1 k ρ=。这就是说，曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数。 二、曲线上某点曲率半径的确定方法 1、 从向心加速度n a 的定义式2 n v a ρ = 出发。 将加速度沿着切向和法向进行分解，找到切向速度v 和法向加速度n a ，再利用2 n v a ρ =求出该点的曲率半径ρ。
大学物理学电子教案 第1章 质点运动学
第1章质点运动学 ◆本章学习目标 1．理解参考系和坐标系的概念； 2．掌握位矢和位移、瞬时速度和瞬时加速度概念； 3．掌握通过已知加速度和初始条件求解速度、运动方程的方法； 4．理解角速度、角加速度及其与线量的关系； 5．理解相对运动及其计算方法。 ◆本章教学内容 1．参照系和坐标系； 2．质点位矢和位移； 3．速度加速度； 4．直线运动； 5．曲线运动； 6．相对运动。 ◆本章教学重点 1．位矢和位移； 2．由已知加速度和初始条件求解速度、运动方程； 3．相对运动及其计算方法。 ◆本章教学难点 1．位矢与位移的区别； 2．速度和加速度的矢量性与相对性； 3．物理量的微积分计算。 ◆本章学习方法建议及参考资料 1．补充微积分的知识； 2．注意讲练结合； 3．要注意依据学生具体情况安排本章进度。 参考教材 东南大学等七所工科院校编，《物理学》，高等教育出版，1999年11月第4版
§1.1参照系和坐标系 一、机械运动 1．机械运动：所谓机械运动，是一个物体相对于另一个物体的位置，或一个物体内部的一部分的位置随时间的变化过程。 2．运动学：力学中描述物体怎样变化怎样运动的内容叫做运动学，它是描述物体的位移、速度、加速度等随时间的变化规律。 二、参照系和坐标系 1．参照系 为了描述物体的机械运动，即它的位置随时间的变化规律，就必须选择一个物体或几个相互间保持静止或相对静止的物体作为参考，被选为参考的物体称为参照系。 同一物体的运动，由于选择的参照系不同，会表现为各种不同的形式。如在地面匀速前进的车厢中一个自由下落的石块，以车厢为参照系，石块做直线运动，如果以地面为参照系，则石块将做曲线运动。物体运动的形式随参照系的不同而不同，这个事实叫运动的相对性。由于运动的相对性，当我们描述一个物体的运动时，就必须指明是相对于什么参照系来说的。 2．坐标系 为了定量地说明一个物体相对于某一参照系的空间的位置，就在该参照系上建立固定的坐标系。 一般选用迪卡尔直角坐标系，也可以选用极坐标系、自然坐标系等。 三、时间和时刻 在物理学中，它代表一个重要的物理量，是国际单位制（SI）中的七个基本物理量之一。 “时刻”是指时间流逝中的“一瞬”，对应于时间轴上的一点，时刻的正、负表明在计时起点以后或以前。 “时间”是指自某一初始时刻至终止时刻所经历的时间间隔，它对应于时间轴上一个区间，物体位置的变动总是在一定时间内发生。
大学物理公式及解题方法
时空与质点运动 内容纲要 位矢：k t z j t y i t x t r r )()()()( 位移：k z j y i x t r t t r r )()( 一般情况，r r 速度：k z j y i x k dt dz j dt dy i dt dx dt r d t r t ??? 0lim 加速度：k z j y i x k dt z d j dt y d i dt x d dt r d dt d t a t ?????? 222222220lim 圆周运动 角速度：? dt d 角加速度：? ? 22dt d dt d （或用 表示角加速度） 线加速度：t n a a a 法向加速度：22 R R a n 指向圆心 切向加速度： R dt d a t 沿切线方向 线速率： R 弧长： R s 伽利略速度变换：u （或者CB AC AB 参考矢量运算法则） 解题参考 大学物理是对中学物理的加深和拓展。本章对质点运动的描述相对于中学时更强调其瞬时性、相对性和矢量性，特别是处理问题时微积分的引入，使问题的讨论在空间和时间上更具普遍性。 对于本章习题的解答应注意对基本概念和数学方法的掌握。 矢量的引入使得对物理量的表述更科学和简洁。注意位矢、位移、速度和加速度定义式的矢量性，清楚圆周运动角位移、角速度和角加速度方向的规定。 微积分的应用是难点，应掌握运用微积分解题。这种题型分为两大类，一种是从运动方程出发，通过微分
的转换，掌握先分离变量后积分的数学方法。 内容提要 牛顿运动定律： 第一定律 惯性和力的概念，常矢量 第二定律 dt p d F m p m 为常量时 a m dt d m F 第三定律 2112F F 质心：一个物体或物体系的质心就是可以看作所有的质量集中点和所有外力的作用点的特殊 点。 常见力： 重力 mg P 弹簧力 kx F 摩擦力 N f 滑动摩擦 N f s 静摩擦 惯性力：为使用牛顿定律而在非惯性系中引入的假想力，由参照系的加速运动引起。 平动加速参照系 0a m F i
曲线运动中牛顿第一、第二定律的应用
曲线运动中牛顿第一、第二定律的应用 问题：学习圆周运动时，有学生提出了这样的问题：匀速圆周运动，速度沿切线方向，合力方向指向圆心，那物体就应该向圆心运动。还拿平抛运动寻找有力证据，初速度水平，重力竖直向下，物体就向下加速。 解答： 1.据加速度定义，要想从静止到有一定的速度，需要时间的积累。圆周运动，虽然有指向圆心的向心力，但这个力是瞬时变化的，而速度的改变需要一定的时间。 2. 充分理解牛顿第一、第二定律，这是经典力学的普适规律。 圆周运动之所有受到指向圆心的力，但并有积累出一定的速度，是因为这个力已经“竭尽全力”为改变切线方向的速度努力了，没有多余的“力”进行积累了。 1勉强接受；2又起波澜。 新版教材中，对向心加速度的推导，作为“拓展学习”内容让学有余力的同学自主学习。真正有能力自主学习的同学应该相当少。都是在死公式的情况下直接应用了。掌握推导过程、理解加速度的定义式具有普适性，对这个问题的理解应该要更好一点。 推导过程，极限思维、求导。数学导数的学习赶不上物理对数学需要的脚步，就导致了物理上理解的困难。本人认为，在教学中，向心加速度应该推导，在实验感受向心力的前提下，从理论上推导向心加速度也很有必要。实验与理论相结合就是物理学之所以发展的原因。 推导过程：建议用不用颜色做出初速、末速、速度变化量的图示，从极限思维、瞬时变化率得出向心加速的公式，对前面所学瞬时
速度的得出过程也是一种思维上的强化，正因为难理解，所以通过不同的事例去体现同一种思维方法，逐步让学生理解。 从理论上让学生信服后，我们不由得佩服定义概念的物理学家的伟大。加速度的定义和牛顿第二定律吻合得如此之好，直线、曲线同样适用。定义加速度时数学上还没有发明微积分。没有在参考书籍上找到伽利略定义加速度时是否考虑过定义式是否适用于圆周运动，甚至更一般的曲线运动。 另一方面，学生的思维深处，对动力学的认识，潜意识中还停留在“亚氏”运动观中，对牛顿的力学观可以说“口是心非”。即使在直线运动中，受力分析时总有在运动方向不论情况补一“维持物体此速度”的动力的冲动，如此也说明改变思维之难。
用微积分推导匀速圆周运动向心力公式
用微积分推导匀速圆周运动向心力公式在中学阶段，大部分同学对圆周运动的认识都停留在运动的惯性与加速度之间，就是对这个公式深信不疑。而其实，数学中还有一个重要的向心力公式，它在我们平常的学习中会经常用到。但是需要说明的是，它适用于所有圆周运动。比如速度为零，距离为零的圆周运动，我们可以用最小公倍数进行求解；再比如一个物体在静止状态下所受到的向心力大于它受到了外力（最小公倍数）的合力。只要有一定数量的物体围绕一个点或一条直线进行转动，我们就可以利用向心力公式求解。比如一个物体从高处往下掉，如果重力是匀速地往下落，角度有1/2就可以用到向心力公式求解：速度为零(1/2):向吸引力=(重力加速度-圆周半径）÷速度为0 (速度与向心力无关）。我们只需要在做题时学会借助微积分方程进行推导即可。 1.根据牛顿第二定律，物体离圆周周长一定，且该物体的运动轨迹为 y轴。 问：该物体的运动轨迹如图，在一条线段上，其半径为1,且直线段向两端成45度角，如图，其速度为0。如果该物体在圆周运动中受到一定的向心力，其向心力等于该运动本身在圆周中向外运动时产生的向心力乘以该物体的自身重力加速度。分析：这道题是一个有规律可循的题目，也是一个典型的例题，大家会发现在做这道题时，除了利用牛顿第二定律外，还可以利用向心力公式来分析物体自身的向心力大小问题。在做此题时，大家都知道了这个公式是可以推导出来的（注意：微积分只能说明所要求解的向心力大小问题),而且这个“向心力公式”也适用于所有圆周运动。这也就意味着我们可以用“向心发力”和“向心力合力”作为推导出向心力公式；不过需要注意，这里“向心发力”指得是向力合力，而非外力；而“向心力合力”指得是向心力合力与向力合力相乘后得到得出来（注意：微积分可忽略这一条件，但是我们要记住向外力大小与向心性无关）。 2.由方程1可知，如图, A点位于 A点的位置与 D点处于 B点位置的位置相同。 这道题的关键在于它要学会利用微积分方程求出 A点所受的向心力，然后求出圆周上的最小公倍数。对于这类题目，我们要注意一点，那就是不能要求其圆周上的最优点与方程2之间的关系要正确。因为在这里，如果不能做到把所有的函数关系都对应到公式里去就不能准确求解了。由于这个原因，这道题中使用到了 A、 B、 C三个函数。需要注意，如果求出两者之间的关系应为一种函数关系。而由于求出 A与 D之间的函数关系则不是一种函数关系。这也决定了在此题中，不必须借助微积分方程求出它们间的真正意义上的向心力（如果在方程中只需要注意第三点）。在这里要说明另外一点，由于该函数只考虑两个量之间的关系，所以我们在求这两个分量之间所需的向心力时就会很困难了。 3.由向心力公式可知，当 E=0时，物体受力大； 此时物体受到的向心力小，受力集中。可以证明物体受力大小的性质为 G= E。这道题目不难，在高中阶段我们很少接触到这样的知识点，因此只需要掌握方法即可。这里重点强调两点：第一点是什么呢？它就是向心力公式。这个公式在数学基础薄弱、对向心力不够了解的同学来说可能就是噩梦。举个例子：比如一颗卫星在某一个周期内沿某条直线运动，随着时间的推移，受力逐渐增大，到达最大加速度时已经接近于大飞机飞行速度了，这时再继续前进，将会很难再保持匀速飞行状态，因此需要通过微积分计算来推导出向心力公式。第二点是什么呢？向心力公式只适用于所有圆周运动，它没有实际意义哦！ 4.如图所示： 根据向心力公式，求出圆周曲线内一个点到另一个点所受的向心力，再根据圆周向心力公式：我们在解答这个题时应该注意一点：这里的向心力公式是一个整体式而不是一个部分式子。所以，只需要将它应用到解题中即可。这里还需要注意一下，当物体发生旋转时，惯性也是有一定比例的，所以这里可以利用惯性来保证在某一时刻物体都没有偏离原来轨道。另外还要注意，我们在做此题时，应该让它的向心力与物体受到的外力成正比。比如一个物体从高处往下掉，那么受到
圆周运动加速度推导微积分
圆周运动加速度推导微积分 圆周运动加速度推导微积分 一、圆周运动的定义和基本概念 圆周运动是指物体沿着一个圆形轨迹做匀速运动的现象。在圆周运动中，物体所处的位置可以用极坐标系表示，其中极径代表物体到圆心的距离，极角代表物体相对于某一固定方向的角度。 在圆周运动中，有一些基本概念需要了解： 1. 圆心：圆周上所有点到该点距离相等的点。 2. 半径：连接圆心和任意一点的线段。 3. 弧长：沿着圆周从一个点到另一个点所经过的路程长度。 4. 角度：以圆心为顶点，两条射线之间的夹角。 5. 弧度：弧长与半径之比。弧度是无量纲量，通常用符号rad表示。
6. 角速度：单位时间内角度变化量。通常用符号ω表示，单位是弧度每秒(rad/s)。 7. 角加速度：单位时间内角速度变化量。通常用符号α表示，单位是弧度每秒平方(rad/s²)。 二、推导圆周运动加速度公式 1. 圆周运动加速度定义 圆周运动加速度是指物体在圆周运动过程中，单位时间内角速度变化的大小。 2. 圆周运动加速度公式 根据微积分的定义，可以得到圆周运动加速度公式： a = lim(Δω/Δt) = dω/dt 其中，Δω表示角速度的变化量，Δt表示时间的变化量。当Δt趋近于0时，即可得到圆周运动加速度公式。 3. 圆周运动加速度推导过程
为了推导圆周运动加速度公式，需要先了解一些基本知识： 1. 圆周位移：物体在圆周上沿着弧长移动的距离。 2. 弧长与角度关系：弧长与对应的圆心角相等。 3. 角速度与角位移关系：单位时间内角位移的大小即为角速度。 4. 角加速度与角速度关系：单位时间内角速度的变化量即为角加速度。 根据上述基本知识，可以得到以下推导过程： 首先，假设物体在时间t1时刻处于点A，在时间t2时刻处于点B。此时，物体沿着弧AB移动了一个距离s，并且对应的圆心角为θ。则有： s = rθ 其中，r为圆的半径。 接着，根据角速度的定义，可以得到： ω = Δθ/Δt
微积分与物理学的关联
微积分与物理学的关联 引言 微积分是数学的一个分支，它研究的是极限、导数、积分等概念和方法。而物理学则是研究自然界的规律和现象的科学。尽管微积分和物理学看似是两个完全不同的学科，但它们之间有着密切的关联。本文将探讨微积分在物理学中的应用，以及微积分与物理学之间的相互影响。 微积分在物理学中的应用 1. 运动学 运动学是物理学的一个分支，研究物体的运动规律。微积分在运动学中有着广泛的应用。例如，通过对物体的位移-时间图像进行微积分，可以得到物体的速度-时间图像，进而求得物体的加速度。微积分还可以用来解决复杂的运动问题，如抛体运动、圆周运动等。 2. 动力学 动力学是研究物体运动的原因和规律的学科。微积分在动力学中也有着重要的应用。通过对物体受力的分析，可以建立物体的运动方程。而微积分则可以用来求解这些运动方程，得到物体的位置、速度和加速度随时间的变化规律。这为我们理解物体的运动提供了重要的工具。 3. 电磁学 电磁学是研究电荷和电流之间相互作用的学科。微积分在电磁学中的应用主要体现在电场和磁场的计算上。通过对电荷分布的积分，可以求得电场的分布情况。而对电流分布的积分，则可以得到磁场的分布情况。这些积分运算需要借助微积分的方法和技巧。
4. 热力学 热力学是研究热现象和能量转化的学科。微积分在热力学中的应用主要涉及到对能量的积分。例如，通过对压强和体积的积分，可以得到系统的功；通过对温度和熵的积分，可以得到系统的热量。微积分为热力学的定量描述提供了基础。 微积分对物理学的影响 1. 理论建立 微积分的发展推动了物理学理论的建立和发展。例如，牛顿的经典力学理论就是建立在微积分的基础上。微积分的概念和方法为物理学家提供了解决复杂问题的工具，推动了物理学的发展。 2. 精确计算 微积分的方法可以用来进行精确的数值计算。在物理学中，我们经常需要对物理量进行精确的计算，如精确的速度、加速度、力等。微积分提供了一种精确计算的手段，使得我们能够更准确地描述和预测物理现象。 3. 物理模型 微积分的方法也可以用来建立物理模型。物理模型是对物理现象的一种抽象和简化，通过建立数学模型，我们可以更好地理解和描述物理现象。微积分的方法可以帮助我们建立更精确和有效的物理模型，从而推动物理学的研究。 结论 微积分与物理学有着密不可分的关系。微积分在物理学中的应用广泛，涵盖了运动学、动力学、电磁学、热力学等多个领域。同时，微积分的发展也推动了物理学理论的建立和发展，为物理学家提供了解决复杂问题的工具。微积分与物理学之间的相互影响，使得我们能够更好地理解和揭示自然界的规律和现象。
高中物理公式推导
高中物理公式推导(匀速圆周运动向 向心力)(总4页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-- --内页可以根据需求调整合适字体及大小--
高中物理公式推导二 圆周运动向心加速度的推导 1、作图分析： 如图所示，在0t 、 t 时刻的速度位置为： 2、推导过程： 第一，几何上我们知道，弧长等于半径乘以圆心角（弧度制）；V0、Vt 和 v ∆可以组成一个三角形，从微积分的观点它也可以看 作是个扇形，设V0和Vt 夹角为θ∆则有：
θ θ∆=∆≈∆t v v v 0 第二，根据加速度的定义： t v a ∆∆= 则有： t v t v a n ∆∆= ∆∆=θ0 第三，根据圆周运动的相关关系知： R v t = ∆∆=θω 是故，圆周运动的向心加速度为： R v a n 2 = 第四，圆周运动的向心力的大小为：
R v m m a F n 2 == 3、意外收获： 第一，对于圆周运动，我们应该理解速度、角速度、周期之间的关系。具体为： R v =ω T πω2= v R πω2= 第二，我们应该掌握极限的相关知识，合理利用极限来解决相关问题。 第三，如果我们谈论的不是匀速圆周运动，我们同样可以利用此方法进行谈论。对于非匀速圆周运动（或者叫做曲线运动），不仅速度的方向发生了变化，而且速度的大小也发生了变化，所以， 不仅有向心加速度之外，应该也有使物体速度大小变化的加速度。但是，在这种情况下，我们的向心加速度，叫做径向加速度，速度大小变化的加速度，叫做切向加速度。故有：
（1）向心加速度为： R v a n 2 = （2）切向加速度为： t v a t ∆∆= （注意：这里的v ∆是指切向速度方向速度的变化量，并不是 指图上的v ∆。） 4、注意事项： 对于匀速圆周运动而言，需要掌握的知识点并不是很多，我们只要能够理解一些物理量之间的基本关系即可。本篇的讨论只为学有余力的高中学生推荐，不过，物理推导讲究的是方法，并不是死记硬背公式，掌握了这一知识点的推导过程对以后了解其他物理知识会有很大的帮助。
匀速圆周运动向心加速度公式推导
匀速圆周运动向心加速度公式推 导 本文将推导匀速圆周运动的向心加速度公式，涉及的数学知识有矢量加减法和余弦定理。其实推导过程中涉及的知识完全在高中生的能力范围之内。 1. 模型说明 假设一质点在做匀速圆周运动，其速率为 v ，速度为 \vec{v} 。经过一个极短的时间 \Delta t 后，物体走过一个极小的角度 \Delta \theta ，速度变为 \vec{v}+\Delta\vec{v} 。如图所示。 结合上述说明，我们将根据加速度的定义 \vec{a}=\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t} 来分别推导向心加速度的方向和大小。 2. 向心加速度的方向推导 根据 \vec{a}=\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t} 可知，加速度的方向应与 \Delta\vec{v} 方向一致。为了更清楚地看出\Delta\vec{v} 的方向，我们将 \vec{v} 和 \vec{v}+\Delta\vec{v} 平移至同一起点： 由于物体做匀速圆周运动，故有 \left|\vec{v}\right|= \left|\vec{v}+\Delta\vec{v}\right|=v ，即 \vec{v},\; \vec{v}+\Delta{\vec{v}},\;\Delta\vec{v} 构成一个等腰三角形。又根据图中的几何关系可得， \Delta\vec{v} 的对角亦为 \Delta\theta 。注意 \Delta\theta 是物体在 \Delta t 时间内转过的角度，当 \Delta t 趋近于零时，
\Delta\theta 亦趋近于零，此时 \Delta\vec{v} 的方向将与\vec{v} 垂直，而加速度 \vec{a}=\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t} 的方向也与 \vec{v} 垂直。也就是说，物体做匀速圆周运动时，加速度方向与速度方向垂直，指向圆心。 3. 向心加速度大小推导 由向心加速度的定义，易得 a=\frac{|\Delta\vec{v}|}{\Delta t} 。其中 |\Delta\vec{v}| 可由上图的几何关系经由余弦定理得到： \begin{aligned} |\Delta\vec{v}| &= \sqrt{|\vec{v}|^2+|\vec{v}+\Delta\vec{v}|^2- 2|\vec{v}||\vec{v}+\Delta\vec{v}|\cos \Delta\theta} \\ &= \sqrt{v^2+v^2-2v\cdot v\cdot \cos\Delta\theta} \\ &= \sqrt{2}v\sqrt{1-\cos\Delta\theta} \end{aligned} 此处用到二倍角公式： 1- \cos\Delta\theta=2\sin^2\frac{\Delta\theta}{2} 。代入上式得： \begin{aligned} |\Delta\vec{v}| &= \sqrt{2}v\cdot\sqrt{2\sin^2\frac{\Delta\theta}{2}} \\ &= 2v\sin\frac{\Delta\theta}{2} \end{aligned} 当 \Delta t 非常小时， \Delta\theta 也非常小，此时 \sin\frac{\Delta\theta}{2} \approx \frac{\Delta\theta}{2} 。代入上式得： \begin{aligned} |\Delta\vec{v}| &= 2v\cdot\frac{\Delta\theta}{2} \\ &= v\cdot\Delta\theta \\ &= v\cdot \omega\Delta t \end{aligned}
王德奎——里奇张量和韦尔张量实际的起源
王德奎——里奇张量和韦尔张量实际的起源 二、里奇张量和韦尔张量实际的起源 1、也许比张轩中认为的东西更基本、更早。因为数学如果以“速度”描述运动的快慢，那么涉及的纯数学和物理的标度、度规和规范，都会进化。这正是人们拭目以待新的时空定义出现在中国的第一步。因为速度等于位移和发生此位移所用时间的比值。 1）物理学中提到的“速度”一般指瞬时速度；而通常所说的速度都是指平均速度。在匀速直线运动中，平均速度与瞬时速度（即时速度）相等。瞬时速度是指运动物体经过某一点或在某一瞬时的速度。平均速度是物体位移跟发生这个位移所用的时间间隔之比。速度由于是矢量，有大小和方向，所以平移与圆周运动不同。当然，平移和圆周运动也有平均速度与瞬时速度的区别。21世纪初爱因斯坦的相对论，把光在真空中传播的速度定为物体运动的极限速度，从而把数学引向进化数学之路。因为圆周运动已经把速度概念又引向线速度和角速度的分类。角速度把时间概念，引向固定周期的描述，使极限速度神秘起来。 2）线速度是质点（或物体上各点）作曲线运动（包括圆周运动）时所具有的即时速度，其方向沿运动轨道的切线方向，故又称切向速度或圆周速度。角速度是连接运动质点和圆心的半径在单位时间内转过的弧度。刚体作定轴转动时，体内有一直线始终固定不动，转动刚体上各点速度的分布规律才为线性分布。线速度与角速度之间的关系：v = rω 。在匀速圆周运动中，线速度的大小等于运动质点通过的弧长（S或△l）和通过这段弧长所用的时间（△t）的比值。即v=S/△t或v=△l/△t，反映运动快慢的线速度，V=2πR/t。 3）从上也可以看出旋动与平动结合结构域的理论缺陷，即如果用旋动(自旋)代替圆周运动的地位，是不可能正确推导出如Dirac方程、Klein-Godon方程、达兰贝尔方程式、Maxwell方程、Lorentz力的公式、牛顿运动定律和万有引力定律等的。例如牛顿运动定律和万有引力定律，同时涉及平移与圆周运动，牛顿万有引力方程和牛顿力学
圆周运动公式推导过程
圆周运动公式推导过程 匀速圆周运动证明： 先把匀速圆周运动的运动轨迹用参数方程表示出来：（圆周运动圆心在坐标系原点） \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} x(t)&=r\cos\theta \\ y(t)&=r\sin\theta \\ \end{aligned} \right. \end{equation} 其中角度 \theta 为线性变化， \omega=\frac{\theta}{t} 为常数，将此关系式代入参数方程 求其质点运动速度，对参数方程求对时间的导数： \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} v_x(t)&=- ωr\sinωt \\ v_y(t)&=ωr\cosωt \\ \end{aligned} \right. \end{equation} 求其加速度，同理： \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} a_x(t)&=- ω^2r\cosωt \\ a_y(t)&=-ω^2r\sinωt \\ \end{aligned} \right. \end{equation} 那么匀速圆周运动的加速度就出来了： a_n=\sqrt{a_{x}^2+a_{y}^2}=ω^2r=\frac{v^2}{r} \rightarrowf_n=mω^2r=m\frac{v^2}{r} 可以证明变速圆周运动也满足上式
变速圆周运动证明： 继续使用参数方程的方法证明，仅仅增加复合函数求导（链式法则）和乘法求导的内容 先把变速圆周运动的运动轨迹用参数方程的形式表示出来： \begin{equation} \left\{\begin{aligned} x(t)&=r\cos[θ(t)]\\ y(t)&=r\sin[θ(t)]\\ \end{aligned} \right. \end{equation} （注意：这是复合函数的形式） 写成质点位置矢量的坐标形式： \vec{r(t)}=\{x(t),y(t)\} ，模长为 r 不同于匀速圆周运动，现在需要对非线性变化的角度 \theta(t) 求时间的导数，因此角速度 \omega(t) 现在为变量，需要增加一个瞬时角速度定义 ω(t)=\lim_{δt→0}{\frac{δθ}{δt}=\frac{\mathrm{d}θ}{\mathrm{d}t}}=\theta'(t) ，即对角度求时间的导数等 于瞬时角速度 对参数方程求时间的导数： \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} v_x(t)&=- rω(t)\sin[θ(t)] \\ v_y(t)&=rω(t)\cos[θ(t)] \\ \end{aligned} \right. \end{equation} 写成速度矢量的坐标形式： \vec{v(t)}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\{v_{ x}(t),v_{y}(t)\} ，模长为 v(t)=r\omega(t) （由曲线运动的性质可知，速度总是沿着曲线的切线方向）
圆周运动证明F=r分之mv^2
曲线运动定理证明 我在初中时，曾经自己在课余试着探究曲线运动，但是却发现，这样的创新并不容易，最终只能求助于网络，它又一次让我大开眼界。物体运动轨迹是曲线的运动，称为“曲线运动”。当物体所受的合外力（加速度）和它速度方向不在同一直线上，物体就是在做曲线运动。事实上，我们会发现，速度和力的转换，以及不同方向的速度是解决问题的重点。眼前，又一片天空…… 圆周运动 “在曲线运动中：当力矢量与速度矢量间的夹角等于90°时，作用力仅改变物体速度的方向，不改变速度的大小，例如匀速圆周运动；当夹角小于90°时，作用力不仅改变物体运动速度的方向，并且增大速度的量值；当夹角大于90°时，同样改变物体运动速度的方向，但是却减小速度的量值。” 这是引自百度百科，对于曲线运动分析的一段话。我们 先来理解一下！ 这是匀速圆周运动。图中S点运动轨迹由圆O的一段 带箭头的弧表示。点S在运动中受一个向心力F的影响，力 是有方向的，就是所谓的“力矢量”。点S在做匀速圆周运 动时，它的线速度就是S点在某一个瞬间的时间中，垂直于 圆心方向的速度（即为图中的v，上文中的“速度矢量”）。 线速度可表示为质点沿圆周运动通过的弧长ΔS与所用的时间Δt的比值。 然而，v和力F有什么关系呢？物理学告诉我们，向心力与物体速度的平方及它的质量和半径倒数成正比。（m为质点的质量） 这里详写一遍推理过程。推理要用到微积分中微分的思想，力和速度矢量的平行四边形定则。先引入物理量：r（圆半径）、a（加速度）、ω（omega角速度单位rad/s弧度/秒） 图中，质点在△t的时间内，从P运动到Q， OP为运动半径r。这里△t趋向于0，所以弧PQ 可以看成一条垂直于OP的线段。在直角坐标系 中，OPQ构成Rt三角形。图中Rt△CBP是速度 三角新，BP代表P在y轴上的运动速度v y，同 理，CB代表P在x轴上的运动速度v x。而且△ AOP∽△BPC。∠POA=θ，∠POQ=△θ，开始 推理： PQ=r△θ（弧长的定义：弧长/半径=弧度） 在强调一遍，这是微分思想，弧PQ可以看 成一条垂直于OP的线段，线段的长还用半径× 弧度计算。设点P运动到点Q，x轴上的运动距离为△x，y轴上的运动距离为△y。 △x=（PQ）sinθ= （r△θ）y/r=y△θ △y=（PQ）cosθ=（r△θ）x/r= x△θ
人教版必修二《圆周运动》主题单元设计1
人教版必修二《圆周运动》主题单元设计1圆周运动》主题单元 设计
学 习 活 动 设 计 （ 针 对 该 专 题 所 选 择 的 活 动 形 式 及 过 程 ） （一）引入新课 教师活动：通过前面的学习，我们已经知道，作曲线运动的物体，速度一定是 变化的，换句话说，作曲线运动的物体，一定有加速度。圆周运动 是曲线运动，那么做圆周运动的物体，加速度的大小和方向如何来 确定呢？下面我们就来学习这个问题。 （二）进行新课 教师活动：指导学生阅读教材“思考与讨论”部分，投影图6.6－1和图6.6－ 2以及对应的例题，引导学生思考并回答。 学生活动：认真阅读教材，思考问题，选出代表发表见解。。 教师活动：倾听学生回答，必要时给学是以有益的启发和帮助，引导学生解决 疑难，回答学生可能提出的问题。 设疑：我们这节课要研究匀速圆周运动的加速度，可以上两个例 题却在研究物体所受的力，这不是“南辕北辙”了吗？ 点评：激发学生的思维，唤起学生进一步探究新知的欲望。通过发表自己的见解，解除疑惑，同时为下一步的研究确定思路。 学生活动：思考后，积极发表见解。 教师活动：倾听学生回答，启发和引导学生解决疑难，总结并点评。同时引出下一课题。 1、速度变化量 教师活动：a.指导学生阅读教材“速度变化量”部分，引导学生在练习本上画 出物体加速运动和减速运动时速度变化量Δv的图示，思考并回答 问题： 速度的变化量Δv是矢量还是标量？ 如果初速度v1和末速度v2不在同一直线上，如何表示速度的变化量Δv？ b.教师视情况用多媒体进行这方面的展示 学生活动：认真阅读教材，思考问题，在练习本上画出物体加速运动和减速运 动时速度变化量的图示。 教师活动：投影学生所画的图示，点评、总结。 2、向心加速度 教师活动：指导学生阅读教材“向心加速度”部分，投影图6.6－5，引导学生 思考： （1）在A、B两点画速度矢量v A和v B时，要注意什么？ （2）将v A的起点移到B点时要注意什么？ （3）如何画出质点由A点运动到B点时速度的变化量Δv？ （4）Δv／Δt表示的意义是什么？ （5）Δv与圆的半径平行吗？在什么条件下，Δv与圆的半径平 行？ 学生活动：按照思考提纲认真阅读教材，思考问题，在练习本上独立完成上面的推导过程。
微积分在生活中的应用
微积分在生活中的应用 （何杰东陈新亮连冠才施楠信工一班北二830） 一.摘要 牛顿、莱布尼兹发明微积分以后，人们才有能力把握运动和过程。有了微积分，就有了工业革命，就有了大工业生产，也就有了现代化的社会。航天飞机、宇宙飞船等现代化交通工具都是在微积分的帮助下制造出来的。微积分在人类社会从农业文明跨入工业文明的过程中起到了决定性的作用。 微积分是为了解决变量的瞬时变化率而存在的。从数学的角度讲，是研究变量在函数中的作用。从物理的角度讲，是为了解决长期困扰人们的关于速度与加速度的定义的问题。“变”这个字是微积分最大的奥义。因此，了解微积分在生活中的应用对于我们解决实际问题有很大的帮助。 二．关键词：物理，经济，应用。 三．引言：通过研究微积分在物理，经济等方面的具体应用，得到微积分在现实生活中的重要意义，从而能够利用微积分这一数学工具科学地解决问题。获取资料的途径主要是互联网。 四（一）在物理中的应用 例1，研究物体做匀变速直线运动位移问题时； 对于匀速直线运动，位移和速度之间的关系我们都清楚,x=vt，但如果物体的速度大小时刻发生变化，那么物体的位移如何求解呢？此时，微积分就成了我
们有利工具。我们可以把物体运动的时间无限细分。在每一份时间内，速度的变化量非常小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加，即“无限求和”，则总的位移可以知道。现在我们明白，物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的面积； 例2，研究匀速圆周向心加速度的方向问题时； 根据牛顿第二定律，我们可以知道匀速圆周运动加速度的方向指向圆心；同时利用极限思想，也可以加速度的方向。当圆周上的两个点无限靠近时，速度变化量也无限的小，因此由VAVB△V围成的等腰三角形的底角接近90，因此速度变化量和速度垂直，而速度又和半径垂直，因此，匀变速圆周运动中，加速度的方向始终指向圆心。 例3.研究变力做功问题时； 对于恒力做功，我们可以利用公式直接求出；但对于变力，我们不能利用公式；这种情况下，我们要借助于微积分，我们可以把位移无限细分，在每一个小位移上，力的变化很小，可以看作是恒力，根据公式算出力所作的功；然后把每一个小位移上的功无限求和，那么就可以求出变力做的总功是多少。 （二）在经济上的应用 1.1 1.1.1 设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量，P为商品价格），则其边际函数Q=f(p)称为边际需求函数，简称边际需求。类似地，若供给函数Q=Q(P)可导（其中Q为供给量，P为商品价格），则其边际函数Q=Q(p)
高考物理全国卷第13讲 微元法-2023年高考物理解题方法大全(原卷版)
第13讲微元法（原卷版） —高中物理解题方法28法20讲 江苏省特级教师学科网特约金牌名师戴儒京 高考物理卷的最后一题，有的是用微元法解的题目，题目的难度很大，是为了区分最优秀的考生与优秀的考生的，本文通过研究微元法解的题目，探究微元法解题的方法和规律。 1.什么是微元法？ “微元法”是高中物理涉及到的一种数学方法,渗透着微积分的思想,是物理学发展过程中最重要的科学思维方法之一,是牛顿力学的数学基础. 通过对某一微元的研究求解物理量，有些物理问题中,当我们研究某个物体或某过程而无法求解时,可以把物体或过程进行无限分割,取某个微元做为研究对象,利用这个微元在一微小位移或微小时间内所遵循的物理规律列方程求解.这种方法常常叫做微元法。 微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法（如求和）或物理思想处理，进而使问题求解。 微元法在处理问题时，从对事物的极小部分(微元)分析入手，达到解决事物整体的方法。这是一种深刻的思维方法，是先分割逼近，找到规律，再累计求和，达到了解整体。微元法是对某事件做整体的观察后，取出该事件的某一微小单元进行分析，通过对微元的细节的物理分析和描述，最终解决整体的方法。 微元法是个比较深奥的东西,其原理是微积分,就是将整体化为局部,在局部中进行适当的省略计算后再累加。 3.“微元法”的取元原则：选取微元时所遵从的基本原则是 （1）可加性原则：由于所取的“微元” 最终必须参加叠加演算，所以，对“微元” 及相应的量的最基本要求是：应该具备“可加性”特征； （2）有序性原则：为了保证所取的“微元” 在叠加域内能够较为方便地获得“不遗漏”、“不重复”的完整叠加，在选取“微元”时，就应该注意：按照关于量的某种“序”来选取相应的“微元” ； （3）平权性原则：叠加演算实际上是一种的复杂的“加权叠加”。对于一般的“权函数” 来说，这种叠加演算（实际上就是要求定积分）极为复杂，但如果“权函数” 具备了“平权性”特征（在定义域内的值处处相等）就会蜕化为极为简单的形式。 4. “微元法”的换元技巧：就“微元法”的应用技巧而言，最为关键的是要掌握好换“元”的技巧。因为通常的解题中所直接选取的“微元”并不一定能使“权函数” 满足“平权”的条件，这将会给接下来的叠加演算带来困难，所以，必须运用换“元”的技巧来改变“权函数” ，使之具备“平权性”特征以遵从取元的“平权性原则”。最常见的换“元”技巧有如下几种
物理微积分
微积分的运用 ——雨雾整理试用稿。（所有信息来自互联网。） 微积分知识自从2001年引入高中数学教材，并把它作为高考数学必考内容以来，一直到今天，高中物理教材编纂者、高考物理命题者、高中物理知识传授者对微积分知识采取的不是把它作为一种处理物理问题的方法传授给学生，而采取的是回避态度。这一方面说明了高中物理编纂者、高考物理命题者、高中物理知识传授者思想的严重滞后，另一方面也不能真正体现数学这一学科的工具性。 一． 教材编写者不要回避微积分： 在现行高中物理教材中，教材编写者在解释某些概念和推导某些公式时，为了避开微积分，致使概念含混不清，给高中学生的正常学习带来了误解。 例如：在人民教育出版社物理室编著的全日制普通高级中学教科书(必修加选修)2002年审查通过的版本中，关于变压器原、副线圈电压关系的推导过程是这样的： 推导：设原线圈的匝数为1n ，副线圈的匝数为2n ，穿过闭合铁心的磁通量为Φ，原、副线圈中产生的感应电动势分别为21E E 、（如图1所示）。 t n E ∆∆Φ =1 1………………………⑴ t n E ∆∆Φ =2 2………………………⑵ 由于是理想变压器，原、副线圈的电阻可忽略不计，故： 11E U =……………………………⑶ 22E U =……………………………⑷ 图1
由以上四式得2 1 21n n U U = ，此即为理想变压器原副线圈的电压与线圈匝数的关系式。 这种方法的推导，笔者认为存在不足：由⑴⑵两式求得的感应电动势是平均值，变压器的输入、输出电压是交流电的有效值，平均值等于有效值存在知识性错误。笔者认为正确的方法应引入微积分，推导如下： 推导：如上图所示，因为变压器输入的是正弦交流电，所以穿过原、副线圈的磁通量随时间按下列规律变化：t BS ωsin =Φ………………⑸ 对⑸求导得t BS t ωωcos =∆∆Φ……………………⑹ 由⑴⑵⑹得：t BS n E ωωcos 11=…………………⑺ t BS n E ωωcos 22=…………………⑻ 由此可知，变压器输入、输出均为正弦交流电。又由正弦交流电有效值U 和最大值m ε的关系2 m U ε=可知：2 11ωBS n U =……………………⑼ 2 22ωBS n U = ……………………⑽ 由⑶⑷⑼⑽得 2 1 21n n U U = 当然，编者可能认为在利用⑴⑵两式时，取0→∆t ，笔者认为也不妥，因为这样求得的是感应电动势的瞬时值，有效值跟瞬时值也不是一个概念。 二．高考命题者不要回避微积分： 高考命题者在高考命题时，故意避开微积分，命的题实在避不开微积分，设计的答案也是取的一些中间过程或一些特殊情况，对高中学生的正常学习是一种错误引导。 例如：（2003年高考物理江苏卷）如图2所示，两根平行金属导轨固定在水