三角形培优精选题大全

合集下载

三角形培优题型

专题一：8字形图型如图，90A B C D E F G n ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=⋅︒，求 n 的大小专题二：飞镖形图型如图，BE 是∠ABD 的角平分线，CF 是∠ACD 的角平分线，BE 与CF 交于点G ，∠BDC =140°，∠BGC =110°，则∠A 的度数为________专题三：双垂直型如图，在ABC ∆中，90ACB CD AB AF ∠=︒⊥，，是角平分线，交CD 于点E ，求证12∠=∠专题四：三角形角平分线型如图，点M 是△ABC 两个内角平分线的交点，点N 是△ABC 两个外角平分线的交点，如果∠CMB ：∠CNB =3：2，那么∠CAB = 度专题五：同一边上角平分线与高线结合型 1．2.如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，AE 是高，已知∠BAC =2∠B ，∠B =2∠DAE ，求∠ACB 的度数。

专题六：图形的折叠问题如图所示，将沿着DE 翻折，若，则．专题七：三角形高与面积的计算在△ABC 中，点D 为边BC 的中点，点E 为线段AD 上一点，且满足AE =2ED ，则△ABC 与△BDE 的面积之比为。

专题八：三角形三边关系与周长1.若一个等腰三角形的三边长均为整数，且周长为10，则底边长为2.等腰三角形一边长为cm 5，另一边为cm 10，则它的周长是 cm 。

3.已知：△ABC 中，AB ＝AC ，BD 是AC 边上的中线，如果D 点把三角形ABC 的周长分为12cm 和15cm 两部分，则此三角形腰长为__________．4.若a ，b ，c 分别是三角形的三边，化简│a -b -c │+│b -c -a │-│c -a +b │5.已知等腰三角形的底边长为8cm ，一腰的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长2cm ，则这个三角形的腰长为____________。

专题九：综合题型1.一个n 边形切去一个角后所得多边形的内角和为1800°，则这个多边形的边数是______________.2.如图，△ABC 中，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ．（∠ABC ＞∠C ），（1）试说明∠BOA=90°+∠C ；（2）当AD 是高，判断∠DAE 与∠C 、∠ABC 的关系，并说明理由．ABC △1280∠+∠=°B ∠= A EDCBG F12。

全等三角形专题培优(带答案)

全等三角形专题培优考试总分： 110 分考试时间： 120 分钟卷I（选择题）一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）1.如图为个边长相等的正方形的组合图形，则A. B.C. D.2.下列定理中逆定理不存在的是（）A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C.同位角相等，两直线平行D.全等三角形的对应角相等3.已知：如图，，，，则不正确的结论是（）A.与互为余角B.C.D.4.如图，是的中位线，延长至使，连接，则的值为（）A. B. C. D.5.如图，在平面直角坐标系中，在轴、轴的正半轴上分别截取、，使；再分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点．若点的坐标为，则与的关系为（）A. B.C. D.6.如图，是等边三角形，，于点，于点，，则下列结论：①点在的角平分线上；②；③；④．正确的有（）A.个B.个C.个D.个7.如图，直线、、″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A.一处B.二处C.三处D.四处8.如图，是的角平分线，则等于（）A. B.C. D.9.已知是的中线，且比的周长大，则与的差为（）A. B.C. D.10.若一个三角形的两条边与高重合，那么它的三个内角中（）A.都是锐角B.有一个是直角C.有一个是钝角D.不能确定卷II（非选择题）二、填空题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）11.问题情境：在中，，，点为边上一点（不与点，重合），交直线于点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得第1页，共7页第2页，共7页………外………○……………………○……………………○※※请※※不※※答※※题※………内………○……………………○……………………○到线段（旋转角为），连接．特例分析：如图．若，则图中与全等的一个三角形是________，的度数为________．类比探究：请从下列，两题中任选一题作答，我选择________题．：如图，当时，求的度数；：如图，当时，①猜想的度数与的关系，用含的式子表示猜想的结果，并证明猜想；②在图中将“点为边上的一点”改为“点在线段的延长线上”，其余条件不变，请直接写出的度数（用含的式子表示，不必证明）12.如图，正方形纸片的边长为，点、分别在边、上，将、分别沿、折叠，点、恰好都落在点处，已知，则的长为________．13.在中，为的平分线，于，于，面积是，，，则的长为________．14.在中，，的垂直平分线与所在的直线相交所得到锐角为，则等于________．15.如图，平分，于，于，，则图中有________对全等三角形．16.如图，在中，，点从点出发沿射线方向，在射线上运动．在点运动的过程中，连结，并以为边在射线上方，作等边，连结．当________时，；请添加一个条件：________，使得为等边三角形； ①如图，当为等边三角形时，求证：；②如图，当点运动到线段之外时，其它条件不变，①中结论还成立吗？请说明理由．17.如图，从圆外一点引圆的两条切线，，切点分别为，．如果，，那么弦的长是________．18.如图，在中，，，是的平分线，平分交于，则________．19.阅读下面材料：小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图，在中，，平分，，求的长．小聪思考：因为平分，所以可在边上取点，使，连接．这样很容易得到，经过推理能使问题得到解决（如图）．请回答：是________三角形．的长为________．参考小聪思考问题的方法，解决问题：如图，已知中，，，平分，，．求的长．20.如图，在和中，，，若要用“斜边直角边．．”直接证明，则还需补充条件：________．三、解答题（共 7 小题，每小题 10 分，共 70 分）21.如图，已知为等边三角形，为延长线上的一点，平分，，求证：为等边三角形．22.尺规作图（不要求写作法，保留作图痕迹）如图，作①的平分线；②边上的中线；22.一块三角形形状的玻璃破裂成如图所示的三块，请你用尺规作图作一个三角形，使所得的三角形和原来的三角形全等．（不要求写作法，保留作图痕迹．不能在原图上作三角形）22.如图：在正方形网格中有一个，按要求进行下列画图（只能借助于网格）：①画出中边上的高（需写出结论）．②画出先将向右平移格，再向上平移格后的．23.平行四边形中，，点为边上一点，连结，点在边所在直线上，过点作交于点．如图，若为边中点，交延长线于点，，，，求；如图，若点在边上，为中点，且平分，求证：；如图，若点在延长线上，为中点，且，问中结论还成立吗？若不成立，那么线段、、满足怎样的数量关系，请直接写出结论．24.如图，直线与轴、轴分别交于、两点，直线与直线关于轴对称，已知直线的解析式为，求直线的解析式；过点在的外部作一条直线，过点作于，过点作于，请画出图形并求证：；沿轴向下平移，边交轴于点，过点的直线与边的延长线相交于点，与轴相交于点，且，在平移的过程中，①为定值；②为定值．在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．25.如图：，，过点，于，于，．求证：．第3页，共7页第4页，共7页26.如图，点，在上，，，，与交于点．求证：；试判断的形状，并说明理由．27.如图，已知点是平分线上一点，，，垂足为、吗？为什么？是的垂直平分线吗？为什么？答案 1.B 2.D 3.D 4.A 5.B 6.D 7.D 8.A 9.B 10.B11.[ “”, “” ][ “” ] 12.[ “” ] 13.[ “” ] 14.[ “或” ]15.[ “” ] 16.[ “；” ][ "添加一个条件，可得为等边三角形；故答案为：；①∵与是等边三角形， ∴，，， ∴，即，在与中，， ∴， ∴；②成立，理由如下； ∵与是等边三角形， ∴，，， ∴，即，在与中，， ∴， ∴．" ] 17.[ “” ] 18.[ “” ]19.[ "解：是等腰三角形，在与中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，∴是等腰三角形；" ][ "的长为， ∵中，，， ∴， ∵平分， ∴，在边上取点，使，连接，则，∴， ∴， ∴，在边上取点，使，连接，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，∴．" ]\"go题库\"20.[ “” ]21.证明：∵为等边三角形，∴，，即，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，，又，∴，∴为等边三角形．22.解：如图所示：；如图所示：即为所求；；①如图所示：即为所求；②如图所示：即为所求；．．23.解：如图，在平行四边形中，，∴，∵在中，为的中点，，∴，又∵，∴，故可设，，则中，，解得，∴，又∵，，∴为的中点，∴；如图，延长交的延长线于点，则，∵，∴，又∵平分，∴，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴，，又∵为的中点，∴，∴，∴，∵，∴；第5页，共7页第6页，共7页…○…………装订…………○…※※请※※不※※内※※答※※题※※…○…………装订…………○…若点在延长线上，为中点，且，则中的结论不成立，正确结论为：．证明：如图，延长交的延长线于点，则，∵， ∴， ∴，又∵， ∴， ∴，，又∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．24.解：∵直线与轴、轴分别交于、两点， ∴，，∵直线与直线关于轴对称， ∴∴直线的解析式为：；如图．．∵直线与直线关于轴对称， ∴，∵与为象限平分线的平行线， ∴与为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴，，∴；①对，过点作轴于，直线与直线关于轴对称∵，，又∵， ∴，则， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴．25.证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，在和中，∴．26.证明：∵，∴，即．又∵，，∴，∴．解：为等腰三角形理由如下：∵，∴，∴，∴为等腰三角形．27.解：．理由：∵是的平分线，且，，∴，∴；是的垂直平分线．理由：∵，在和中，，∴，∴，由，，可知点、都是线段的垂直平分线上的点，从而是线段的垂直平分线．第7页，共7页。

培优专题02 与三角形有关的线段和角的问题-解析版

培优专题02 与三角形有关的线段和角的问题1．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在ABC V 中，20AB =，18AC =，AD 为中线．则ABD △与ACD △的周长之差为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】利用三角形中线的定义、三角形的周长公式进行计算即可得出结果．【详解】Q 在ABC V 中，AD 为中线,BD CD \=．ABD C AB BD AD =++Q △，ACD C AC CD AD =++△，20182ABD ACD C C AB AC \-=-=-=V V ．故选：B ．【点睛】本题考查三角形的中线的理解与运用能力．三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线．明确三角形的中线的定义，运用两个三角形的周长的差等于两边的差是解本题的关键．2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，ABC V 的面积是2，AD 是ABC V 的中线，13AF AD =，12CE EF =，则CDE △的面积为（）A ．29B ．16C ．23D ．49【答案】A【分析】根据中线的性质即可求出S △ACD ，然后根据等高时，面积之比等于底之比，即可依此求出3．（2022·四川成都·七年级期中）如图，ABC V 中，12Ð=Ð，G 为AD 中点，延长BG 交AC 于E ，F 为AB 上一点，且CF AD ^于H ，下列判断，其中正确的个数是（）①BG 是ABD V 中边AD 上的中线；②AD 既是ABC V 中BAC Ð的角平分线，也是ABE V 中BAE Ð的角平分线；③CH 既是ACD V 中AD 边上的高线，也是ACH V 中AH 边上的高线．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】根据三角形的高，中线，角平分线的定义可知．【详解】解：①G 为AD 中点，所以BG 是ABD △边AD 上的中线，故正确；②因为12Ð=Ð，所以AD 是ABC V 中BAC Ð的角平分线，AG 是ABE △中BAE Ð的角平分线，故错误；③因为CF AD ^于H ，所以CH 既是ACD △中AD 边上的高线，也是ACH V 中AH 边上的高线，故正确．故选：C ．【点睛】熟记三角形的高，中线，角平分线是解决此类问题的关键．4．（2018·江苏省江阴市第一中学七年级期中）如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A 、B 两点在网格格点上，若点C 也在网格格点上，以A 、B 、C 为顶点的三角形面积为1，则满足条件的点C 个数是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B 【分析】据三角形ABC 的面积为1，可知三角形的底边长为2，高为1，或者底边为1，高为2，可通过在正方形网格中画图得出结果．【详解】解：C 点所有的情况如图所示：由图可得共有6个，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的面积的求法，此类题应选取分类的标准，才能做到不遗不漏，难度适中．5．（2022·江苏·七年级专题练习）如图， D 、E 分别在∆ABC 的边 BC 、AC 上，13CD BC =，13CE AC =，CD = 1 ，CE = 1 ，AC ， AD 与 BE 交于点O ，已知∆ABC 的面积为 12，则∆ABO 的面积为（）A ．4B ．5C ．6D ．76．（2019·天津市静海区第二中学八年级期中）如图，在△ABC 中，∠B=70°,∠C=40°，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，则∠DAE 的度数是（）A ．15°B ．16°C ．70°D ．18°7．（2021·安徽·中考真题）两个直角三角板如图摆放，其中90BAC EDF Ð=Ð=°，45E Ð=°，30C Ð=°，AB 与DF 交于点M ．若//BC EF ，则BMD Ð的大小为（）A ．60°B ．67.5°C ．75°D ．82.5°【答案】C 【分析】根据//BC EF ，可得45FDB F Ð=Ð=°，再根据三角形内角和即可得出答案．【详解】由图可得6045B F Ð=°Ð=°，，∵//BC EF ，∴45FDB F Ð=Ð=°，∴180180456075BMD FDB B Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键．8．（2022·广西贵港·七年级期末）如图7，AB ⊥BC ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，AE ⊥DE ，∠1+∠2＝90°，M ，N 分别是BA ，CD 延长线上的点，∠EAM 和∠EDN 的平分线交于点F ．下列结论：①AB ∥CD ；②∠AEB +∠ADC ＝180°；③DE 平分∠ADC ；④∠F ＝135°，其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】先根据AB ⊥BC ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，AE ⊥DE ，∠1+∠2=90°，∠EAM 和∠EDN 的平分线交于点F ，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．【详解】解：标注角度如图所示：∵AB ⊥BC ，AE ⊥DE ，∴∠1+∠AEB =90°，∠DEC +∠AEB =90°，∴∠1=∠DEC ，又∵∠1+∠2=90°，∴∠DEC +∠2=90°，∴∠C =90°，∴∠B +∠C =180°，9．（2022·全国·八年级课时练习）如图，将ABC V 沿DH HG EF 、、翻折，三个顶点恰好落在点O 处．若140Ð=°，则2Ð的度数为（）A ．12B ．60°C ．90°D ．140°【答案】D【分析】根据翻折变换前后对应角不变，故∠B =∠EOF ，∠A =∠DOH ，∠C =∠HOG ，∠1+∠2+∠HOD +∠EOF +∠HOG =360°，进而求出∠1+∠2的度数．【详解】解：∵将△ABC 三个角分别沿DE 、HG 、EF 翻折，三个顶点均落在点O 处，∴∠B =∠EOF ，∠A =∠DOH ，∠C =∠HOG ，∠1+∠2+∠HOD +∠EOF +∠HOG =360°，∵∠HOD +∠EOF +∠HOG =∠A +∠B +∠C =180°，∴∠1+∠2=360°-180°=180°，∵∠1=40°，∴∠2=140°，故选：D ．【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质和三角形的内角和定理，根据已知得出∠HOD +∠EOF +∠HOG =∠A +∠B +∠C =180°是解题关键．10．（2022·全国·八年级专题练习）如图，a b ∥，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在直线b 上，若15854¢Ð=°，则∠2的度数为（）A ．1036¢°B ．1046¢°C ．10354¢°D ．10454¢°【答案】C 【分析】设∠2的同位角为∠3，∠3的邻补角为∠5，三角板的一个锐角为∠4，根据等腰三角板的特点可求出∠4，根据三角形内角和即可求出∠5，再根据平角的性质即可求出∠3，进而根据两直线平行同位角相等即可求出∠2．【详解】设∠2的同位角为∠3，∠3的邻补角为∠5，三角板的一个锐角为∠4，如图，∵直角三角板含一个45°的锐角，∴该三角板为等腰三角形，∴∠4=45°，∵∠1=58°54′，又∵在三角形中有∠1+∠4+∠5=180°，∴∠5=180°-(∠1+∠4)=180°-(58°54′+45°)=180°-103°54′=76°6′，∵∠3+∠5=180°，∴∠3=180°-∠5=180°-76°6′=103°54′，∵a b ∥，∴∠2=∠3，∴∠2=103°54′，故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和等知识，掌握两直线平行同位角相等是解答本题的关键．11．（2022·江苏·盐城市初级中学七年级期中）如图，AD 是ABC V 的高，45BAD Ð=°，65C =°∠，则BAC Ð=________．【答案】70°【分析】先由直角三角形的性质求得∠DAC ，然后再根据线段的和差求解即可．【详解】解：AD Q 是ABC V 的高，90ADC °\Ð=，∵65C =°∠=9025DAC C °\Ð-Ð=o ，254570BAC DAC BAD °°°\Ð=Ð+Ð=+=．故答案为：70°．【点睛】本题主要考查了角的和差、直角三角形的性质、三角形高的性质等知识点，掌握直角三角形两锐角互余是解答本题的关键．12．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校七年级期中）如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，点E 、F 在AB 上，点G 在DF 的延长线上，且∠B ＝∠DFB ，∠G ＝∠DEG ，若29BEG Ð=°，则∠BDE 的度数为_____．【答案】58°【分析】设BED x Ð=，则29G DEG x Ð=Ð=+°，再根据三角形的内角和定理可得1222EDG x Ð=°-，根据三角形的外角性质可得122B DFB x Ð=Ð=°-，然后在BDE V 中，根据三角形的内角和定理即可得．【详解】解：设BED x Ð=，29BEG Ð=°Q ，29BED G DEG BEG x Ð=Ð=Ð=++\Ð°，1801222EDG G DEG x \Ð=°-Ð-Ð=°-，122BED B DFB EDG x \Ð=Ð=Ð=Ð°-+，()()180********BED BDE B x x Ð+=\Ð=°-Ð°-°-=+°，故答案为：58°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．13．（2022·江苏·扬州市江都区第三中学七年级阶段练习）如图，∠A ＝45°，∠BCD ＝135°，∠AEB 与∠AFD 的平分线交于点P ．下列结论：①EP ⊥FP ；②∠AEB ＋∠AFD ＝∠P ；③∠A ＝∠PEB ＋∠PFD ．其中正确的结论是______．∵∠AEB与∠AFD的平分线交于点∴12BEPAEP AEB=Ð=ÐÐ∵∠BCD=135°，∴∠BCF=180°-∠BCD=45°14．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AM是△ABC的角平分线，AD是△ABC的高线．猜想∠MAD、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由．15．（2022·全国·八年级单元测试）在△ABC中，BC＝8，AB＝1；(1)若AC是整数，求AC的长；(2)已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为10，求△BCD的周长．【答案】(1)8(2)17【分析】（1）根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得7＜AC＜9，根据AC是整数得AC＝8；（2）根据BD是△ABC的中线得AD＝CD，根据△ABD的周长为17和AB＝1得AD+BD＝9，即可求解．（1）由题意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB，∴7＜AC＜9，∵AC是整数，∴AC＝8；（2）如图所示：∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，∵△ABD的周长为10，∴AB+AD+BD＝10，∵AB＝1，∴AD+BD＝9，∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝8+9＝17．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．16．（2022·河南周口·七年级期末）如图．AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，EF⊥BC于点F．(1)在△BEF中，请指出边EF上的高；(2)若BD＝5，EF＝2，求△ACD的面积；(3)若AB＝m，AC＝n，若△ACD的周长为a，请用含m，n，a的式子表示△ABD的周长．【答案】(1)边EF上的高是BF；(2)S△ACD=10；(3)△ABD的周长为m+a-n．【分析】（1）根据三角形高的定义即可得出边EF上的高是BF；（2）先求得△BDE的面积，然后根据三角形的中线将三角形分成两个三角形得到S△ABE=S△BDE=5，进一步得到S△ACD=S△ABD=10；（3）利用三角形周长公式即可求得．（1）解：∵EF⊥BC于点F，17．（2022·陕西渭南·七年级期末）如图，点A 在CB 的延长线上，点F 在DE 的延长线上，连接AF ，分别与BD 、CE 交于点G 、H ．已知∠1＝52°，∠2＝128°．(1)探索BD 与CE 的位置关系，并说明理由；(2)若∠C ＝78°，求∠A 的度数．【答案】(1)BD CE ∥，理由见解析(2)50°【分析】（1）由152DGF Ð=Ð=°，∠2＝128°，得到∠DGF ＋∠2＝180°，利用“同旁内角互补，两直线平行”可证出BD CE ∥；（2）由BD CE ∥得到78ABD C Ð=Ð=°，由三角形内角和定理求解即可．（1）BD CE ∥，理由：∵152DGF Ð=Ð=°，∠2＝128°，∴252128180DGF Ð+Ð=°+°=°，∴BD CE ∥．（2）∵BD CE ∥，∵78ABD C Ð=Ð=°，∴1801180785250A ABD Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关性质和定理．18．（2022·江苏·兴化市乐吾实验学校七年级阶段练习）(1)【问题背景】如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明A B C D Ð+Ð=Ð+Ð；(2)【简单应用】如图2，AP 、CP 分别平分BAD Ð、BCD Ð，若35ABC Ð=°，15ADC Ð=°，求P Ð的度数；(3)【问题探究】如图3，直线AP 平分BAD Ð的外角FAD Ð，CP 平分BCD Ð的外角BCE Ð，若35ABC Ð=°，29ADC Ð=°，请猜想P Ð的度数，并说明理由；(4)【拓展延伸】在图4中，若设C a Ð=，B b Ð=，13CAP CAB Ð=Ð，13CDP CDB Ð=Ð，试问P Ð与C Ð、B Ð之间的数量关系为：___．（用a 、b 表示P Ð，不必说明理由）【答案】(1)见解析(2)25P Ð=°(3)32P Ð=°；理由见解析。

培优专题2：巧用三角形的外角解决问题

＝107°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°－107°＝73°.
大小为 75° . ⁠来自9. [推理能力]如图， D ， E ， F 分别是△ ABC 三边延长线上的点，∠ D ＋∠ E ＋∠ F ＝107°，求∠1＋∠2＋∠3的度数.
◉答案解：易知∠ D ＋∠3＝∠ CAB ，∠ E ＋∠1＝∠ ABC ，∠ F ＋∠2＝∠ ACB ，∴∠ D ＋∠ E ＋∠ F ＋∠1＋∠2＋∠3＝∠ CAB ＋∠ ABC ＋∠ ACB ＝180°.∵∠ D ＋∠ E ＋∠ F
⁠
第6题图
7. [一题多解]如图，直线 AB ∥ EF ，点 C 是直线 AB 上一点，点 D 是直线 AB 外一
点，若∠ BCD ＝95°，∠ CDE ＝25°，则∠ DEF 的度数是
120° . ⁠
第7题图
8. [一题多解]如图，△ EFG 的三个顶点 E ， F 和 G 分别在平行线 AB ， CD 上， FH 平分∠ EFG ，交线段 EG 于点 H ，若∠ AEF ＝36°，∠ BEG ＝57°，则∠ EHF 的
第一章三角形
培优专题2：巧用三角形的外角解决问题
1. （贺州校级一模）如图，∠ A ，∠1，∠2的大小关系是（ BB ）
A. ∠ A ＞∠1＞∠2
B. ∠2＞∠1＞∠ A
C. ∠ A ＞∠2＞∠1
D. ∠2＞∠ A ＞∠1
第1题图
2. 如图，在△ ABC 中，点 D 在边 AB 上， BE ∥ AC ，连接 ED . 若∠ A ＝56°， ∠ E ＝48°，则∠ ADE ＝（ D ）D
A. 94°
B. 98°
第2题图 C. 102°
D. 104°
3. 图①是一路灯的实物图，图②是该路灯的平面示意图，则图②中∠ CBN 的度数

《三角形》培优专题

第三周培优专题《三角形》1出题人：陈乐宇审题人：刘凯迪班级：姓名：学号：一、热身题1、三角形的三个内角中，锐角的个数不少于（）A. 1 个B. 2 个C. 3个D. 不确定2. △ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，CD ⊥AB 于点D ，若BC=a ，则AD 等于（）A a B a C a D a (1232323)3. 下列命题的逆命题是真命题的是（）A. 对顶角相等B. 若a=b ，则|a|=|b|C. 末位是零的整数能被5整除D. 直角三角形的两个锐角互余4. 如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD ，则∠A 的度数为（）A. 30°B. 36°C. 45°D. 70°二、渐入佳境1. 等腰三角形的腰长为2cm ，面积等于1平方cm ，则它的顶角的度数为________。

2. 已知，如图，O 是△ABC 的∠ABC 、∠ACB 的角平分线的交点，OD ∥AB 交BC 于D ，OE ∥AC 交BC 于E ，若BC=10cm ，则△ODE 的周长________。

3. 如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=40°，AC 的垂直平分线MN 与AB 相交于D 点，则∠BCD 的度数是________。

第2题第3题第4题4. 如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC=4，则PD 的长为________。

三、思维大考验1、如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，求AD、CD的长。

2.如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。

求证：AD垂直平分EF。

3、如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，BM、CN相交于点F.图1 图2（1）求证：AN=BM；（2）求证：△CEF为等边三角形；（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立。

全等三角形经典培优题型(含标准答案)

三角形培优练习题1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠23已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC4已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C5已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE6如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

求证：BC=AB+DC 。

已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C78.P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-ABCDBA BC DEF 2 1ADBCA B CD ABACDF2 1 E9已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC10．如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．11如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B12如图：AE 、BC 交于点M ，F点在AM 上，BE∥CF ，BE=CF 。

求证：AM 是△ABC 的中线。

13已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F 。

求证：BE =CD ．14在△ABC 中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.15如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。

相似三角形培优难题集锦(含答案)

一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．2.如图，在△ABC 中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE 平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A 以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。

等边三角形(专项练习)(培优练)(教师版) 2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破

专题13.9等边三角形（精选精练）（专项练习）（培优练）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，ABC 是等边三角形，AD 为中线，E 为AB 上一点，且AD AE =，则EDB ∠等于（）A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．30︒2．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，P 是等边三角形ABC 的边AC 的中点，E 是BC 边延长线上一点，PE PB =，则CPE ∠的度数是（）A ．15︒B ．30︒C ．35︒D ．45︒3．（22-23八年级上·江西上饶·阶段练习）下列对ABC 的判断，错误的是（）A ．若AB AC =，=60B ∠︒，则ABC 是等边三角形B ．若::347A BC ∠∠∠=：：，则ABC 是直角三角形C ．若20A ∠=︒，80B ∠=︒，则ABC 是等腰三角形D ．若AB BC =，40C ∠=︒，则40B ∠=︒4．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，90MON ∠=︒，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM ，ON 于点A ，D ，再以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，与弧AD 交于点B ，连接OB 、AB ，AB 的延长线交ON 于点C ，若4OD =，则CB 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．65．（2024·山东·模拟预测）如图，两块三角板ABC 、BDE 按如图所示方式摆放，且45EBC ∠=︒，连接CE ，若3AB =，2BD =，则四边形ABEC 的面积为（）A ．9B ．11C ．D ．2126．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，已知30MON ∠=︒，点123,,A A A ，…在射线ON 上，点123,,B B B ，…在射线OM 上，112A B A △，223A B A △，334A B A △，…均为等边三角形，若12OA =，则202320232024A B A 的边长是（）A ．4046B ．4048C ．20232D ．202427．（2024·山东聊城·模拟预测）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，60BAC ∠=︒，以点A 为圆心，以AB 的长为半径画弧交AC 于点D ，连接BD ，再分别以点B ，D 为圆心，大于12BD 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BD 于点M ，交BC 于点E ，连接DE ，则:CDE ABC S S △△的值是（）A ．1:2B 3C ．2:5D ．1:38．（23-24八年级下·江西九江·期末）如图，在等腰ABC 中，顶角20A ∠=︒，点D 为AC 边上的一点，30ABD ∠=︒，点E 为AB 上一点，20ECB ∠=︒，则BDE ∠的度数为（）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒9．（23-24八年级下·陕西榆林·期中）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，=60B ∠︒，4AB =，点D 是直线BC 上一动点，连接AD ，在AD 的右侧作等边ADE V ，连接CE ，当线段CE 的长度最小时，线段CD 的长度为（）A ．3B ．1C ．2D 310．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，ABC 与ADE V 均为等边三角形，EB EP =，点B ，C ，D ，P 在一条直线上，2AB =，则PD 的长为（）．A ．4B ．23C ．25D ．1252-二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2024·吉林松原·三模）如图，已知线段AB ，分别以点A B 、为圆心，AB 长为半径作圆弧，两弧相交于点C 、D ，连接CD ，交线段AB 于点E ，以点E 为圆心，AE 长为半径作圆弧，交线段CE 于点F ，连接BC 、BF ，则FBC ∠=度．12．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在等边ABC 中，BD 平分ABC ∠，点E 是BC 延长线上一点，且CE CD =，连接DE ，则BDE ∠=．13．（23-24八年级上·江苏连云港·期末）已知：如图，在ABC 中，AB BC =，120ABC ∠=︒，BE AC ⊥于点D ，且DE DB =，则CEB 是三角形．14．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）将含30︒角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知60α∠=︒，点B ，点C 表示的刻度分别为1cm,3cm ，则ABC 的周长为cm ．15．（23-24八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB BC 、边上的两动点，AE 与CD 交于点F ，AG CD ⊥于点G ，若AD BE =，则FG AF =．16．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，将长方形纸片ABCD 对折，使AD 与BC 重合，展平纸片，得到折痕EF ；折叠纸片，使点B 落在EF 上，并使折痕经过点A ，得到折痕AM ，点B ，E 的对应点分别为G ，H ，展平纸片，连结BG ，BH ，则ABH ∠与GAM ∠的关系是．17．（23-24八年级上·浙江台州·期末）一副三角板如图叠放，90C DFE ∠=∠=︒，30,45,A D AC DE ∠=︒∠=︒=，,AC DE 互相平分于点O ，点F 在边AB 上，边,AC EF 交于点H ，边,AB DE 交于点G ．（1）AFE ∠=；（2）若GF a =，则AH =（用含a 的代数式表示）．18．（23-24八年级上·河北保定·期末）（1）如图1，ABD △，AEC △都是等边三角形，线段BE 和CD 之间的数量关系为．（2）如图2，AO MN ⊥，垂足为O ，6AO =，B 为直线MN 上一动点，以AB 为边向右作等边ABC ，则线段OC 的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）已知ABC ，ADE V 均为等边三角形，点E 是ABC 内的任意一点，(1)如图，试说明BD CE=(2)当DBE 为等腰直角三角形时，ABD ∠=________（直接写答案）20．（8分）（22-23八年级上·重庆丰都·期末）如图，点E 在ABC 的外部，点D 在BC 上，DE 交AC 于点F ，23∠∠=，AE AC =，DE BC =．(1)求证：ABC ADE △△≌．(2)若260∠=︒，猜想ABD △的形状并证明．21．（10分）（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，在ABC 中，90A ∠=︒，30B ∠=︒，3cm AC =，点D 从点A 以1cm /s 的速度向点C 运动，同时点E 从点C 以2cm /s 的速度向点B 运动，运动时间为()s t ．(1)当t =时，DEC 为等边三角形；（直接写结果）(2)当t 为何值时，DEC 为直角三角形？22．（10分）（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）ABC 是等边三角形，点D 是AC 边上动点，()030CBD αα∠=<< ，把ABD △沿BD 对折，得到A BD ' ．(1)如图1，若15α=o ，则CBA ∠'=____︒．(2)如图2，点P 在BD 延长线上，且DAP DBC α∠=∠=，连接CA '，若A '，C ，P 三点共线．①求证：BP 平分APC ∠；②若5cm BP =，1cm CP =，求CA '的长．23．（10分）（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，90ABC ADC ∠=∠=︒，AC 与BD 相交于点E ，ABD ADB ∠=∠．(1)求证：AC 垂直平分BD ；(2)如图2，过点B 作BF CD ∥交CA 的延长线于点F ，若AB AF =；①求证：BCD △是等边三角形；②如果G 、H 分别是线段AC 、线段CD 上的动点，当GH AH +的值最小时，写出此时GH 与CH 的数量关系，并说明理由．24．（12分）（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）在等腰ABC 中，AB AC =，点D 是AC 上一动点，点E 在BD 的延长线上，且AB AE =，AF 平分CAE ∠交DE 于点F ，连接FC ．(1)如图1，求证：ABE ACF ∠=∠；(2)如图2，当60ABC ∠=︒时，在BE 上取点M ，使BM EF =，连接AM ．求证：AFM △是等边三角形；(3)如图3，当45ABC ∠=︒，且AE BC ∥时，求证：2BD EF =．参考答案：1．A【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，由等边三角形的性质可求解30BAD ∠=︒，AD BC ⊥，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得ADE ∠的度数，进而可求解．【详解】解：ABC 为等边三角形，60BAC C ∴∠=∠=︒，AD 是等边三角形ABC 的中线，1302BAD BAC ∴∠=∠=︒，AD BC ⊥，AD AE = ，ADE AED ∴∠=∠，180AED ADE BAD ∠+∠+∠=︒ ，75ADE ∴∠=︒，15EDB ∴∠=︒，故选：A ．2．B【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，“三线合一”以及三角形外角的定义和性质等知识，掌握“三线合一”是解答本题的关键．根据“三线合一”可得BP 平分ABC ∠，可得30PBC ∠=︒，根据CPE ACB E ∠=∠-∠即可作答．【详解】∵P 是等边三角形ABC 的边AC 的中点，∴BP 平分ABC ∠，60ABC ACB ∠=︒=∠，∴30PBC ∠=︒，∵PE PB =，∴30PBC E ∠=∠=︒，∴30CPE ACB E ∠=∠-∠=︒，故选：B ．3．D【详解】解：A.AB AC = ，=60B ∠︒，ABC ∴△是等边三角形，故该选项正确；B.::347A B C ∠∠∠=：：，∴最大角为：718090347C ∠=︒⨯=︒++，ABC ∴△是直角三角形，故该选项正确；C.20A ∠=︒ ，80B ∠=︒，180180208080C A B ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，B C∴∠=∠ABC ∴△是等腰三角形，故该选项正确；D.AB BC = ，40C ∠=︒，40A C ∴∠=∠=︒，故该选项错误；故选：D【点拨】本题考查了等腰三角形、等边三角形、直角三角形的判定及性质，熟练掌握和运用各图形的判定与性质是解决本题的关键4．B【分析】由题意得4AO AB OB OD ====，则可得AOB 是等边三角形，则60AOB BAO ∠=∠=︒，进而可得COB BCO ∠=∠，则可得4CB OB ==．本题主要考查这了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识是解题的关键．【详解】解：由题意得4AO AB OB OD ====，AOB ∴ 是等边三角形，60AOB BAO ∴∠=∠=︒，90AOC ∠=︒ ，90AOB COB BAO BCO ∴∠+∠=∠+∠=︒，COB BCO ∴∠=∠，4CB OB ∴==．故选：B5．D【分析】本题考查直角三角形性质，等腰直角三角形性质，平行线的判定，以及梯形面积公式，利用直角三角形性质得到24BE BD ==，利用等腰三角形性质得到3AC AB ==，证明AC BE ∥，进而得到四边形ABEC 是直角梯形，再利用梯形的面积公式求解，即可解题．【详解】解：由题知，30BED ∠=︒，2BD =，24BE BD ∴==，由题知，45ABC ACB ∠=∠=︒，90A ∠=︒，3AB =，∴3AC AB ==，45EBC ACB ∠=︒=∠，∴∥AC BE ，∴四边形ABEC 是直角梯形，则四边形ABEC 的面积为()12134322⨯+⨯=．故选：D ．6．C【分析】本题考查的是等边三角形的性质、三角形的外角性质，等腰三角形的判定及其性质，总结出规律是解题的关键．根据等边三角形的性质得到11260∠=︒B A A ，根据三角形的外角性质求出1111230∠=∠-∠=︒OB A B A A MON ，得到11∠=∠OB A MON ，根据等腰三角形的判定定理得到1112A B OA ==，然后找到规律即可得解．【详解】∵112A B A △为等边三角形，∴11260∠=︒B A A ，∴1111230∠=∠-∠=︒OB A B A A MON ，∴11∠=∠OB A MON ，∴1112A B OA ==，同理可得222242A B OA ===，333382A B OA ===，……，∴202320232024A B A 的边长为20232．故选：C ．7．D【分析】先根据30︒角的直角三角形的性质得到12AB AC =，证明()SAS ABE ADE △≌△，再根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：∵90ABC ∠=︒，60BAC ∠=︒，∴90906030C BAC Ð=°-Ð=°-°=°，∴12AB AC =，由题意得：AB AD =，AP 平分BAC ∠，∴BAE DAE ∠=∠，在ABE 与ADE V 中，AB AD BAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABE ADE △≌△，∴ABE ADE S S =△△，∵12AD AB AC ==，∴AD CD =，∴ADE CDE S S = ，∴3ABC CDE S S =△△，∴:1:3CDE ABC S S =△△．故选：D ．【点拨】本题考查作图—基本作图，直角三角形两锐角互余，30︒角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等底同高的三角形面积相等．掌握基本作图及全等三角形的判定和性质是解题的关键．8．A【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质等知识，先根据等腰三角形的性质求出80ACB ABC ∠=∠=︒，再由三角形内角和定理得50BDC ∠=︒，可得BC DC =，再由三角形内角和定理求出80CEB ∠=︒，60ACE ∠=︒，得EC BC CD ==，即可得DCE △是等边三角形，可求出60CDE ∠=︒，从而可得结论．【详解】解：∵在等腰ABC 中，顶角20A ∠=︒，∴AB AC =，∴()118020802ACB ABC ∠=∠=⨯︒-︒=︒，∵30ABD ∠=︒，∴50CBD ABC ABD =-=︒∠∠∠，∵180BDC ACB DBC ∠+∠+∠=︒，∴180180508050BDC DBC BCD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴50DBC BDC ∠=∠=︒，∴BC DC =，∵80ACB ABC ∠=∠=︒，20BCE ∠=︒，∴18080CEB EBC BCE ∠=︒-∠-∠=︒，60ACE ACB BCE ∠=∠-∠=︒，∴CEB EBC ∠=∠，∴EC BC =，∴EC DC =，∵60ACE ∠=︒，∴DCE △是等边三角形，∴60EDC ∠=︒，∴605010BDE EDC BDC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：A9．A【分析】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，含30度的直角三角形的性质，灵活运用以上知识解题是解题的关键．在AC 的左侧作等边三角形ACF ，连接CE 、BF 、FD 、CF ，再证明,ADF AEC ≌可得,CE DF =再利用DF BC ⊥时，DF 最短，从而可得答案．【详解】解：在AC 的左侧作等边三角形ACF ，连接CE 、BF 、FD 、CF ，90,60,ACB B ∠=︒∠=︒ 则30,BAC ∠=︒∴603030FAB FAC BAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴点C 、F 关于AB 对称，∴60ABF ABC ∠=∠=︒，114222BF BC AB ====，,AFC ADE 均为等边三角形，60FAD DAC ∴∠+∠=︒，60DAC EAC ∠+∠=︒，,,AF AC AD AE ==FAD EAC ∴∠=∠，()SAS ADF AEC ∴ ≌，DF EC ∴=，∴当DF BC ⊥时，DF 最小，即此时CE 最小，∵60,2,ABC ABF BC BF ∠=∠=︒==60,30,FBD DFB ∴∠=︒∠=︒∴112122BD BF ===，∴CD 的长度为123BD CB +=+=，故选：A ．10．A【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关判定、性质定理成为解题的关键．连接CE ，过E 作EF BP ⊥与F ，根据等腰三角形的性质可得12BF PF BP ==，再根据等边三角形的性质可得2,60AB BC AC ABC ACB BAC ===∠=∠=∠=︒、2,60AD AE DE ADE AED DAE ===∠=∠=∠=︒，进而得到BAD CAE ∠=∠，再证()SAS ABD ACE ≌可得,60BD CE ABD ACE =∠=∠=︒；然后说明30CEF ∠=︒可得12CF EC =；设CF x =，则2CE x =，然后用x 表示出2BD CE x ==、242BP BF x ==+，然后根据线段的和差即可解答．【详解】解：如图：连接CE ，过E 作EF BP ⊥与F ，∵EB EP =，∴12BF PF BP ==，∵ABC 为等边三角形，∴2,60AB BC AC ABC ACB BAC ===∠=∠=∠=︒，∵ADE V 为等边三角形，∴,60AD AE DE ADE AED DAE ==∠=∠=∠=︒，∴60BAC DAE ∠=∠=︒，∴BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠，即BAD CAE ∠=∠，在ABD △和ACE △中，,,AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=，∴()SAS ABD ACE ≌，∴,60BD CE ABD ACE =∠=∠=︒，∵60ACB ∠=︒，∴60ECF ∠=︒，∵EF BP ⊥，∴30CEF ∠=︒，∴12CF EC =设CF x =，则2CE x=∴2BD CE x ==，∵2BC =，∴2BF BC CF x =+=+，即2BF PF x ==+，∴242BP BF x ==+，∴4224DP BP BD x x =-=+-=．故选A ．11．15【分析】本题考查了作图—基本作图、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质，由题意得出ABC 是等边三角形，BEF △为等腰直角三角形，从而得出60ABC ∠=︒，45EBF ∠=︒，最后再由FBC ABC EBF ∠=∠-∠计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：如图，连接AC ．由作图可知AC BC AB ==，EC 垂直平分线段AB ，BE EF =，∴ABC 是等边三角形，BEF △为等腰直角三角形，∴60ABC ∠=︒，45EBF ∠=︒，∴604515FBC ABC EBF ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：15．12．120︒/120度【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等边三角形的性质可得60ABC ACB ∠=∠=︒，=90BDC ∠︒，再由CE CD =，可得E CDE ∠=∠，然后根据三角形外角的性质可得1302CDE ACB ∠=∠=︒，即可求解．【详解】解：∵ABC 是等边三角形，∴60ABC ACB ∠=∠=︒，∵BD 平分ABC ∠，∴BD AC ⊥，即=90BDC ∠︒，∵CE CD =，∴E CDE ∠=∠，∵ACB E CDE ∠=∠+∠，∴1302CDE ACB ∠=∠=︒，∴120BDE BDC CDE ∠=∠+∠=︒．故答案为：120︒．13．等边【分析】本题考查等腰三角形的性质和等边三角形的判定，解答时先由三线合一得到CD AD =，再证明CDE ADB △≌△可得到CE AB BC ==，进而证明CEB 为等边三角形．【详解】解：∵ABC 中，AB BC =，120ABC ∠=︒，BE AC ⊥于点D ，∴CD AD =，1602CBE ABC ∠=∠=︒，∵DE DB =，CDE ABD ∠=∠，∴CDE ADB≌∴CE AB =，∵AB BC=∴CE BC=∵60CBE ∠=︒，∴CEB 为等边三角形．故答案为：等边14．6【分析】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出60ACB ∠=︒是解题的关键．根据平行线的性质得出60ACB ∠=︒，进而可得ABC 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．【详解】解：∵直尺的两边平行，∴60ACB α∠=∠=︒，又60A ∠=︒，∴ABC 是等边三角形，∵点B ，C 表示的刻度分别为1cm,3cm ，∴2cm BC =，∴2cm AB BC AC ===，∴ABC 的周长为6cm ，故答案为：6．15．12/0.5【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，证得60AFG =︒∠是解答的关键．先根据题意推出CAE BCD ≌△△，可知DCB CAE ∠=∠，因此60AFG =︒∠，所以30FAG ∠=︒，即可推出结论．【详解】解：∵等边三角形ABC ，∴AB BC AC ==，60ACB B ∠=∠=︒，∵AD BE =，∴AB AD BC BE -=-，∴CE BD =，∴()SAS CAE BCD ≌，∴DCB CAE ∠=∠，∴60AFG CAF ACF ACF DCB ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∵AG CD ⊥，∴30FAG ∠=︒，∴12FG AF =．故答案为：12．16．相等【分析】本题考查了翻折变换，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握翻折变换的性质、证明三角形全等是解题的关键．由翻折知，EF 垂直平分AB ，则AG BG =；又由翻折知，AB AG =，GAM BAM ∠=∠；从而得ABG 是等边三角形，则得30GAM ∠=︒；再证明AEG AHB △≌△得30ABH AGE ∠=∠=︒，即可得两角的关系．【详解】解：由第一次翻折知，EF 垂直平分AB ，12AG BG AGE AGB ∴=∠=∠，；又由第二次翻折知，AB AG =，GAM BAM ∠=∠；AG BG AB ∴==，ABG ∴ 是等边三角形，60BAG AGB ∴∠=∠=︒，30GAM ∴∠=︒，1302AGE AGB ∠=∠=︒；E 点的对应点为点H ，AE AH ∴=；GAM BAM AB AG ∠=∠= ，，AEG AHB ∴△≌△，30ABH AGE ∴∠=∠=︒，30ABH GAM ∴∠=∠=︒．故答案为：相等．17．75︒32a【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，掌握30度角所对应的直角边是斜边的一半，是解题的关键．（1）连接FO ，推出FO DE ⊥，OF OA =，进而得到30AFO A ∠=∠=︒，得到15AFD ∠=︒，利用互余关系，求出AFE ∠即可；（2）利用含30度的直角三角形的性质得到12OG FG =，证明AOG 为等腰三角形，进而得到AG OG =，求出AF 的长，证明AFH 为等腰三角形，得到AH AF =即可．【详解】解：（1）连接FO ，∵45D ∠=︒，∴45E ∠=︒，∴DF EF =，∵,AC DE 互相平分于点O ，DF FE =，∴OF DE ⊥，∴45OFD ∠=︒，∴OF OD =，∵AC DE =，∴OA OD OF ==，∴30AFO A ∠=∠=︒，∴15AFD OFD OFA ∠=∠-∠=︒，∴75AFE DFE AFD ∠=∠-∠=︒，故答案为：75︒；（2）∵75AFE ∠=︒，30A ∠=︒，∴180307575AHF ∠=︒-︒-︒=︒，∴AHF AFE ∠=∠，∴AH AF =，∵OF DE ⊥，30AFO ∠=︒，∴1122OG GF a ==，60OGF ∠=︒，∵OGF A AOG ∠=∠+∠，∴30AOG A ∠=︒=∠，∴12AG OG a ==，∴32AH AF AG GF a ==+=；故答案为：32a ．18．BE CD =3【分析】（1）根据SAS 证明DAC BAE ≌△△即可得出线段BE 和CD 之间的数量关系；（2）以AO 为一边在AO 的左边作等边AOE △，作ED MN ⊥于点D ，连接BE ，根据SAS 证明EAB OAC ≌即可得出，求出OE 的最小值即可．【详解】解：（1）∵ABD △，AEC △都是等边三角形，∴,,60AD AB AE AC BAD CAE ==∠=∠=︒，∴DAC BAE ∠=∠，∴()SAS DAC BAE ≌，∴BE CD =．故答案为：BE CD =；（2）以AO 为一边在AO 的左边作等边AOE △，作ED MN ⊥于点D ，连接BE ，∵ABC ，AEO △都是等边三角形，∴6,,60AO EO AB AC BAC OAE ===∠=∠=︒，∴EAB OAC ∠=∠，∴()SAS EAB OAC ≌，∴BE OC =，∴点B 与点D 重合时，线段OC 取得最小值．∵90,60AOB AOE ∠=︒∠=︒，∴30EOD ∠=︒，∴132DE EO ==，∴线段OC 的最小值为3．故答案为：3．【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，垂线段最短，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．19．(1)见解析(2)15︒或30︒或45︒【分析】本题考查了等边三角形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相关知识．（1）先根据等边三角形的性质得出AC AB BC ==，AE AD ED ==，CAB EAD ∠=∠，从而得到CAE BAD ∠=∠，证得()ACE ABD SAS ≌，即可得出结论；（2）当DBE 为等腰直角三角形时，有三种情况，90BDE ∠=︒，90BED ∠=︒，90DBE ∠=︒，分别讨论三种情况下ABD ∠的度数即可．【详解】（1）证明：ABC ，ADE V 均为等边三角形，AC AB BC ∴==，AE AD ED ==，CAB EAD ∠=∠，又CAB CAE EAB EAB BAD EAD ∠=∠+∠=∠+∠=∠ ，CAE BAD ∴∠=∠，()ACE ABD SAS ∴ ≌，BD CE ∴=；（2）解：当DBE 为等腰直角三角形时，若90BDE ∠=︒，则BD DE AD ==，150ADB ADE BDE ∠=∠+∠=︒，()1180152ABD BAD ADB ∴∠=∠=⨯︒-∠=︒；若90BED ∠=︒，则BE DE AE ==，150AEB AED BED ∠=∠+∠=︒，45BDE DEB ∴∠=∠=︒，180152AEB ABE BAE ︒-∠∠=∠==︒，30ABD DBE ABE ∴∠=∠-∠=︒；若90DBE ∠=︒，则BD BE =，∴点B 在线段DE 的垂直平分线上，AD AE = ，∴点A 在线段DE 的垂直平分线上，AB ∴垂直平分线段DE ，190452ABD ABE ∴∠=∠=⨯︒=︒，即15ABD ∠=︒或30︒或45︒，故答案为：15︒或30︒或45︒．20．(1)见解析(2)等边三角形，见解析【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．（1）根据SAS 证明三角形全等即可；（2）根据ABC ADE △△≌，得出AB AD =，B ADE ∠=∠，求出1602ADB BDE ∠=∠=︒，即可证明结论．【详解】（1）证明：∵2180AFE E ∠+∠+∠=︒，∴1802E AFE ∠=︒-∠-∠，∵3180CFD C ∠+∠+∠=︒，∴1803C CFD ∠=︒-∠-∠，∵23∠∠=，AFE CFD ∠=∠，∴E C ∠=∠，在ABC 和ADE V 中，AC AE C E BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABC ADE ≌；（2）解：ABD △是等边三角形，理由如下：∵3260∠=∠=︒，∴1803120BDE ∠=︒-∠=︒，∵ABC ADE △△≌，∴AB AD =，B ADE ∠=∠，∴B ADB ∠=∠，∴ADB ADE ∠=∠，∴1602ADB BDE ∠=∠=︒，∴ABD △是等边三角形．21．(1)1(2)35t =或32【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握30度角的直角三角形的边角关系是解题的关键.（1）根据等边三角形的性质列出方程求出t 的值；（2）分两种情况讨论:①当DEC ∠为直角时,②当EDC ∠为直角时，分别利用30度角所对的直角边等于斜边的一半列方程求出t 的值.【详解】（1）解：根据题意可得AD t =,3,2CD t CE t =-=，∵30,3cm B AC ∠=︒=，∴26cm BC AC ==,∵903060C B ∠=︒-∠=︒=︒,DEC 为等边三角形,∴CD CE =,即32t t -=,解得：1t =,∴当t 为1时,DEC 为等边三角形；（2）①当DEC ∠为直角时,30EDC ∠=︒,12CE DC ∴=，即()123,2t t =-解得35t =；②当EDC ∠为直角时,30DEC ∠=︒,∴1,2CD CE =即132,2t t -=⋅解得32t =.∴当t 为35或32时,DEC 为直角三角形.22．(1)30(2)①见解析；②3CA '=【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质是解题的关键．（1）由ABC 是等边三角形知，60ABC ∠=︒，由15CBD α︒∠==，知A BD ABD ABC α'∠=∠=∠-，2602CBA A BD αABC αα''∠=∠-=∠-=︒-，代入α值即可；（2）①通过折叠性质证明APD A PD ' ≌即可得到结论；②在BP 上取一点P '，使BP AP '=，连接CP '，根据SAS 证BP C APC '≌△△，得CP CP '=，再证CPP ' 是等边三角形，即可得出BP AP CP =+，由ADP A DP '≌△△，得出A P AP '=，即可求出CA '的值．【详解】（1）解：ABC 是等边三角形，60ABC ∴∠=︒，CBD α∠= ，A BD ABD ABC α'∴∠=∠=∠-，2602CBA A BD ABC ααα''∴∠=∠-=∠-=︒-，15α=︒ ，6021530CBA '∴∠=︒-⨯︒=︒，故答案为：30；（2）①证明：把ABD △沿BD 对折，得到A BD ' ，ABD A BD '∴△≌△，AD A D ADB A DB ''∴=∠=∠，，ADP A DP '∴∠=∠，又PD PD = ，()SAS APD A PD '∴ ≌，APD A PD '∴∠=∠，点P 在BD 延长线上，BP ∴平分APC ∠；②如图，在BP 上取一点P '，使BP AP '=，连接CP '，A P ''，ABC 是等边三角形，60ACB BC AC ∴∠=︒=，，DAP DBC α∠=∠= ，()SAS BP C APC ∴' ≌，CP CP BCP ACP ''∴=∠=∠，，60PCP ACP ACP BCP ACP ACB ''''∴∠=∠+=∠+∠=∠=︒，CP CP '= ，CPP '∴△是等边三角形，60CPB PP CP '∴∠=︒=，，BP BP PP AP CP ''∴=+=+，即BP AP CP =+，点A C P '、、在同一直线上，即PA PC CA ''=+，由①知，APD A PD ' ≌，PA PA '∴=5cm BP = ，1cm CP =，514AP BP CP ∴=-=-=，4A P AP '∴==，413CA A P CP ''∴=-=-=．23．(1)见解析(2)①见解析；②2CH GH =，见解析【分析】（1）根据ABD ADB ∠=∠，可得AB AD =，再由90ABC ADC ∠=∠=︒证明CBD CDB ∠=∠，则CB CD =，利用中垂线的判定定理即可证明；（2）①设F α∠=，根据AB AF =可得ABF F α∠=∠=，由于BF CD ，可得F DCE ∠=∠，根据BAC ∠是ABF △的外角，则2BAC F AFB α∠=∠+∠=，由于90ABC ∠=︒，所以90BCE BAC ∠+∠=︒，从而30α=︒，进而60ACB ∠=︒，结论得证；②延长AD 至A '，使DA DA '=，可得A 与A '关于CD 成轴对称，过A '作A G AC '⊥于G 交CD 于H ，即可，再利用直角三角形中30度角的性质即可得数量关系．【详解】（1）证明：ABD ADB ∠=∠ ，90ABC ADC ∠=∠=︒，AB AD ∴=，ABC ABD ADC ADB ∠-∠=∠-∠，A ∴在BD 的垂直平分上，CBD CDB ∠=∠，CB CD ∴=，C ∴在BD 的垂直平分上，AC ∴垂直平分BD ；（2）①证明：设F α∠=，AB AF = ，ABF F α∴∠=∠=，BAC ∠ 是ABF △的外角，2BAC F AFB α∴∠=∠+∠=，由（1）AC BD ⊥，CB CD =，BCE DCE ∴∠=∠，BF CD ∥，F DCE ∴∠=∠，F BCE α∴∠=∠=，90ABC ∠=︒ ，90BCE BAC ︒∴∠+∠=，即290αα+=︒，则30α=︒，260DCB BCE ∴︒∠=∠=，BC CD = ，BCD ∴△是等边三角形；②GH AH +为最小值时，GH 与CH 的数量关系是2CH GH =，理由：延长AD 至A '，使DA DA '=，CD AD ⊥ ，A ∴与A '关于CD 成轴对称，过A '作A G AC '⊥于G 交CD 于H ，连接AH ，AH A H '∴=，AH GH A H GH A G ''∴+=+=，此时GH AH +为最小，由①知：30DCE ∠=︒，即30GCH ∠=︒，A G AC '⊥ 即GH CG ⊥，∴在GCH Rt 中，30GCH ∠=︒，2CH GH ∴=，GH AH ∴+为最小值时，GH 与CH 的数量关系是2CH GH =．【点拨】本题考查中垂线的判定定理、等腰三角形的判定和性质、含30︒角得的直角三角形的性质、轴对称的性质，综合题，理解题意是解决问题的关键．24．(1)见详解(2)见详解(3)见详解【分析】（1）利用SAS 定理证明ACF AEF △△≌，根据全等三角形的性质得到E ACF ∠=∠，根据等腰三角形的性质得到E ∠=∠ABE ，等量代换证明结论；（2）在FB 上截取BM CF =，连接AM ，证明ABM ACF △≌△，根据全等三角形的性质得到,AM AF BAM CAF =∠=∠，进而证明AMF 为等边三角形；（3）延长,BA CF 交于N ，证明BFN BFC ≌，得到22CN CF EF ==，再证明BAD CAN △≌△，得到BD CN =，等量代换得到答案．【详解】（1）证明：∵AF 平分CAE ∠，EAF CAF ∴∠=∠，,AB AC AB AE == ，AE AC ∴=，在ACF △和AEF △中，AE AC EAF CAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACF AEF SAS ∴ ≌，E ACF ∴∠=∠，AB AE = ，E ABE ∴∠=∠，ABE ACF ∴∠=∠；（2）证明：如图，在FB 上截取BM EF =，连接AM，∵ACF AEF △△≌，∴,EF CF BM E ACF ABM ==∠=∠=∠，在ABM 和ACF △中，AB AC ABM ACF BM CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABM ACF SAS ≌，∴,AM AF BAM CAF =∠=∠，∵,60AB AC ABC =∠=︒，∴ABC 是等边三角形，∴60BAC ∠=︒，∴60MAF MAC CAF MAC BAM BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，∵AM AF =，∴AMF 为等边三角形；（3）证明：如图3，延长BA 、CF 交于N，AE BC ∥，E EBC ∴∠=∠，AB AE = ，ABE E ∴∠=∠，ABF CBF ∴∠=∠，45ABC ∠=︒ ，22.5,45,180454590ABF CBF ACB BAC ∴∠=∠=︒∠=︒∠=︒-︒-︒=︒，22.5ACF ABF ∴∠=∠=︒，18022.54522.590BFC ∴∠=︒-︒-︒-︒=︒，90BFN BFC ∴∠=∠=︒，在BFN 和BFC △中，NBF CBF BF BF BFN BFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()BFN BFC ASA ∴ ≌，CF FN ∴=，即22CN CF EF ==，90BAC ∠=︒ ，90NAC BAD ∴∠=∠=︒，在BAD 和CAN △中，ABD ACN AB AC BAD CAN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()BAD CAN ASA ∴ ≌，BD CN ∴=，2BD EF ∴=．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．。

完整word版,三角形提高培优经典题

三角形提高培优经典题题1.如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，BE 、DF 分别是∠A BC 、∠A DC 的平分线.（1）∠1与∠2有何关系，为什么? （2）BE 与DF 有何关系?请说明理由.2.已知：∠A=∠C=90°.(1)如图，若DE 平分∠ADC,BF 平分∠ABC 的外角,问DE 与BF 的位置关系，并证明；(2)如图，若BF 、DE 分别平分∠ABC 、∠ADC 的外角，问BF 与DE 的位置关系并证明.3.如图，AC 、BD 相交于点O,BE 、CE 分别平分∠ABD 、∠ACD,且交于点E,求证： ∠E=1/2(∠A+∠D)FEDCBAABCDFE OE DCB A4.如图，∠AEB 、∠AFD 的平分线相交于O 点，求证：∠EOF=1/2(∠DAB+∠BCD).5.在 △ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的平分线相交于点P,求证： ∠P ＝90°+12∠A 6．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACD ，且BP 、CP 交于321FEDCB A点P . 求证：∠P ＝12∠A . OFE DCBABB8.在平面直角坐标系中，B 为x 轴负半轴上一点，A 为第二象限内的点. （1）如图，PB 、PO 分别平分∠ABO 、∠AOB, ∠A=70°，则∠BPO= ; (2)如图，将△ABO 沿x 轴向右平移后可得△COD,PB 、PD 分别平分∠ABO 、∠CDO. ∠A=α,求∠BPD,(3)如图，直线OA 与直线ED 交于C ，MA 、MB 分别平分∠OAB 、∠OBA,NC 、ND 分别平分∠OCD 、∠ODE,试探究∠AMB 与∠CND 有何确定的数量关系，并说明理由.9如图，三角形ABC内任一点P ，连接PA、PB、PC，求证：1/2（AB+BC+AC）<AP+BP+CP<AB+AC+BC10已知三角形ABC中，∠A=52◦，三条高所在直线的交点为H，求∠BCH的度数。

2023年九年级中考数学专题培优训练：三角形的内切圆与圆心【含答案】

2023年九年级中考数学专题培优训练：三角形的内切圆与圆心一、综合题1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8．（1）尺规作图：作三角形ABC 的内切圆⊙O ，⊙O 分别与AB 、BC 、CA 相切于点D 、E 、F 保留作图痕迹，不写作法．（2）求⊙O 的半径r ．2．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，过 E ABC AE ABC O D 作直线 .D //DG BC（1）求证：是的切线；DG O （2）求证：；DE CD =（3）若，，求的半径.DE =8BC =O 3．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设，，为三角形b三边，为面积，则 ①S S =这是中国古代数学的瑰宝之一．而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设（周长的一半），则 ②2a b cp ++=S =（1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；（2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从①②或者②① ；⇒⇒)（3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，的内切圆半径为，三角形三边长为，，仍ABC ∆b 记，为三角形面积，则．2a b c p ++=S S pr =4．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，BC=12cm ，半圆O 的直径DE=12cm.点E 与点C 重合，半圆O 以2cm/s 的速度从左向右移动，在运动过程中，点D 、E 始终在BC 所在的直线上.设运动时间为x(s ），半圆O 与△ABC 的重叠部分的面积为S(cm 2).（1）当x=0时，设点M 是半圆O 上一点，点N 是线段AB 上一点，则MN 的最大值为：MN 的最小值为 .（2）在平移过程中，当点O 与BC 的中点重合时，求半圆O 与△ABC 重叠部分的面积S ；（3）当x 为何值时，半圆O 与△ABC 的边所在的直线相切?5．如图，在△ABC 中，E 是内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点D.（1）求证：DB=DC ；（2）若AB=AC ，∠BAC=80°，AD=3.求的长.AB 6．如图1，经过原点的抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的另一个交点为点C ；与双曲线y= 相交于点kx A ，B ；直线AB 与分别与x 轴、y 轴交于点D ，E ．已知点A 的坐标为（﹣1，4），点B 在第四象限内且到x 轴、y 轴的距离相等．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC 的面积；（3）如图2，将抛物线平移至顶点在原点上时，直线AB 随之平移，试判断：在y 轴的负半轴上是否存在点P ，使△PAB 的内切圆的圆心在y 轴上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7．在△ABC 中，∠C= ，⊙O 是△ABC 的内切圆，⊙P 分别与CA 的延长线、CB 的延长线以及直线AB 均相切，⊙O 的半径为m ，⊙P 的半径为n.（1）当 =90°时，AC=6，BC=8时，m= ，n= .α（2）当取下列度数时，求△ABC 的面积（用含有m 、n 的代数式表示，并直接写出答案）.①α如图， =90°；②如图， =60°.αα8．如图，以的直角边为直径的交斜边于点，过点作 Rt ABC AB O AC D D O 的切线与交于点，弦与垂直，垂足为．BC E DM AB H（1）求证：为的中点；E BC （2）若的面积为，两个三角形和的外接圆面积之比为，求 O 12πAHD BMH 3 的内切圆面积和四边形的外接圆面积的比．DEC 1S OBED 2S 9．如图①，P 为△ABC 内一点，连接PA 、PB 、PC ，在△PAB 、△PBC 和△PAC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点．（1）如图②，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC ＞∠A ，CD 是AB 上的中线，过点B 作BE 丄CD ，垂足为E ．试说明E 是△ABC 的自相似点；（2）在△ABC 中，∠A ＜∠B ＜∠C ．①如图③，利用尺规作出△ABC 的自相似点P （写出作法并保留作图痕迹）；②若△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．10．有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等邻边互补四边形.（1）如图1，在等邻边互补四边形ABCD 中，AD=CD ，且AD//BC ， BC=2AD ，求∠B 的度数;（2）如图2，四边形ABCD 内接于圆O ，连结DO 交AC 于点E (不与点O 重合)，若E 是AC 的中点，求证:四边形ABCD 是等邻边互补四边形;（3）在(2) 的条件下，延长DO 交BC 于点F ，交圆0于点G ，若弧BG=弧AB, tan ∠ABC= 247，AC=12,求FG 的长;（4）如图3,四边形ABCD 内接于圆O ，AB=BC, BD 为圆0的直径，连结AO 并延长交BC 于点E ，交圆0于点F,连结FC ，设tan ∠BAF=x ，，求y 与x 之间的函数关系式.EF y AE 11．如图：AB 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于G ，E 是AG 上一点，D 为△BCE 内心，BE 交AD 于F ，且∠DBE=∠BAD ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）求证：DF=DG ；（3）若∠ADG=45°，DF=1，则有两个结论：①AD•BD 的值不变；②AD －BD 的值不变，其中有且只有一个结论正确，请选择正确的结论，证明并求其值．12．如图，在菱形ABCD 中，CE ⊥AB 于点E.（1）若CE=4，AE=2BE ，求菱形ABCD 的周长.（2）连结BD 交CE 于点F.①若DF=BF ＋2EF ，求证：AE=BE.②设四边形AEFD 和的面积分别是和，若，求线段CDF 1S 2S 124AE S S =-=，BF 的长.13．如图，已知是的直径，点D 在的延长线上，为的切线，过D 作 AB O AB CD O，与的延长线相交于E ，， ED AD ⊥AC 1BD =DE =（1）求证：；CD DE =（2）求的半径；O （3）若的平分线与交于点F ，P 为的内心，求的长.ACB ∠O ABC PF 14．如图, 点I 是△ABC 的内心, BI 的延长线与△ABC 的外接圆⊙O 交于点D, 与AC 交于点E, 延长CD, BA 相交于点F, ∠ADF 的平分线交AF 于点G, 连接AI（1）求证: DG 为⊙O 的切线;（2）求证:ID·FG = DF·AG;（3）若DE = 1, BE = 3, 求BI 的长.15．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler ）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC 中，R 和r 分别为外接圆和内切圆的半径，O 和I 分别为其外心和内心，则OI =R -2Rr.22下面是该定理的证明过程（借助了第（2）问的结论）：延长AI 交⊙O 于点D ，过点I 作⊙O 的直径MN ，连接DM ，AN.∵∠D=∠N ，∴∠DMI=∠NAI （同弧所对的圆周角相等），∴△MDI ∽△ANI.∴ ，∴IA×ID=IM×IN ①IM IDIA IN =如图②，在图1（隐去MD ，AN ）的基础上作⊙O 的直径DE ，连接BE ，BD ，BI ，IF∵DE 是⊙O 的直径，∴∠DBE=90°.∵⊙I 与AB 相切于点F ，∴∠AFI=90°，∴∠DBE=∠IFA ．∵∠BAD=∠E （同弧所对圆周角相等），∴△AIF ∽△EDB ．∴ ，∴②，IA IFDE BD =IA BD DE IF ⋅=⋅由（2）知：，BD ID =∴IA ID DE IF⋅=⋅又∵ ，=DE IF IM IN ⋅⋅∴2Rr=（R+d ）（R-d ），∴R -d =2Rr22∴d =R -2Rr22任务：（1）观察发现：IM=R+d ，IN= （用含R ，d 的代数式表示）；（2）请判断BD 和ID 的数量关系，并说明理由.（请利用图1证明）（3）应用：若△ABC 的外接圆的半径为6cm ，内切圆的半径为2cm ，则△ABC 的外心与内心之间的距离 cm ．16．如图，是的切线，切点为，是的直径，连接交于 PA O A AC O OP O E ．过点作于点，交于，连接，．A AB PO ⊥D O B BCPB （1）求证：是的切线；PB O （2）求证：为的内心；E PAB ∆（3）若，，求的长．cos PAB ∠=1BC =PO答案解析部分1．（1）解：如图所示，⊙O 即为所求；（2）解：如图，连接OC ，OD ，OF ，设△ABC 内切圆的半径为r ，则＝OE ＝OF ＝r ，∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，∴AB ＝10，∴S △ABC ＝ AC•BC ＝ ×6×8＝24，AB+AC+BC ＝24，1212∵S △ABC ＝S △AOB + S △BOC + S △AOC＝ AB·OD+ BC·OE+ AC·OF121212＝ AB·r + BC·r + AC·r121212＝（AB+AC+BC ）r ，12∴r ＝ 2ABCSAB AC BC++ ＝ 22424⨯＝2．2．（1）证明：连接交于，如图， OD BCH ∵点是的内心，E ABC ∴ 平分，即，AD BAC ∠BAD CAD ∠=∠∴ ，BD CD =∴ ， OD BC ⊥BH CH=∵ ，//DG BC ∴ ，OD DG ⊥∴ 是的切线；DG O （2）连接，如图，BD ∵点是的内心，E ABC ∴ ，ABE CBE ∠=∠∵ ，DBC BAD ∠=∠∴ ，DEB BAD ABE DBC CBE DBE ∠=∠+∠=∠+∠=∠ 为等腰三角形BDE ∴ BD DE∴=BAD CADBD DC∠=∠∴= ∴ .DE DC =（3），BD DC = 垂直平分BC∴OD 90BHD BHO ∴∠=∠=︒8142BC BH BC =∴==DE BD == 在中∴Rt BHD2DH ===设半径为，则 r ,2OB r OH r ==- 在中, ∴Rt BHO 222OB OH BH =+()22242r r ∴=+-解得 5r = ⊙O 的半径为：5.∴3．（1）解：由①得：，S ==由②得：，578102p ++==S ==（2）解：公式①和②等价；推导过程如下：，2a b cp ++= ，2p a b c ∴=++①中根号内的式子可化为：2222221()(422a b c a b c ab ab +-+-+-2222221(2)(2)16ab a b c ab a b c =++---+22221[()][()]16a b c c a b =+---1()()()()16a b c a b c c a b c a b =+++-+--+12(22)(22)(22)16p p c p b p a =⨯⨯--- ，()()()p p a p b p c =---=（3）解：连接、、，如图所示：OA OB OC ．111(2222AOB AOC BOC a b cS S S S rc rb ra r pr ∆∆∆++=++=++==4．（1）24cm ；-6）cm（2）解：当点O 与BC 的中点重合时，点O 移动了12cm ，如解图3，设半圆O 与AB 交于点H ，连接OH,CH.∵BC 是半圆O 的直径，∴∠CHB=90°，∵AC=BC,∠ACB=90°, ∴∠HBC=∠HCB=45°,∴HC=HB, ∴OH ⊥BC,OH=OB=OC=6cm,∴S=S 扇形OHC 十S △OHB= π×62+ ×62=(18+9π）cm 21412（3）解：当半圆O 与直线AC 相切时，x=0或x=6，当半圆O 与直线AB 相切，如解图4，则半圆O 在直线AB 左侧且与直线AB 相切，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，由题意得OH=6cm ，∵∠ABC=450,∠OHB=90°,∴cm ，∴）cm，∴综上所述，当x=0或x=6或时，半圆O 所在的圆与△ABC 的边所在的直线相切5．（1）证明：∵E 为△ABC 的内心，∴∠BAD=∠DAC ，∴BD=DC.（2）解：∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC，∴AD 是△ABC 的外接圆的直径，如图，设圆心为O ，连接OB ，∵∠BAC ＝80°，OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠OAB ＝∠OAC ＝40°，∴∠AOB ＝100°，∵AD ＝3，∴半径为1.5，∴ 的长为：． AB 100 1.551806ππ⨯=6．（1）解：把点A 的坐标代入双曲线的解析式得：k=﹣1×4=﹣4．所以双曲线的解析式为y=﹣ ．4x设点B 的坐标为（m ，﹣m ）．∵点B 在双曲线上，∴﹣m 2=﹣4，解得m=2或m=﹣2．∵点B 在第四象限，∴m=2．∴B （2，﹣2）．将点A 、B 、C 的坐标代入得：，44220a b c a b c c -+=⎧⎪++=-⎨⎪=⎩解得：．130a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ．（2）解：如图1，连接AC 、BC．令y=0，则x 2﹣3x=0，∴x=0或x=3，∴C （3，0），∵A （﹣1，4），B （2，﹣2），∴直线AB 的解析式为y=﹣2x+2，∵点D 是直线AB 与x 轴的交点，∴D （1，0），∴S △ABC =S △ADC +S △BDC = ×2×4+ ×2×2=6；1212（3）解：存在，理由：如图2，由原抛物线的解析式为y=x 2﹣3x=（x﹣ ）322﹣ ，∴原抛物线的顶点坐标为（，﹣ ），∴抛物线向左平移个单位，再向上平移9432943294个单位，而平移前A （﹣1，4），B （2，﹣2），∴平移后点A （﹣ ，），B （，），∴522541214点A 关于y 轴的对称点A'（，），连接A'B 并延长交y 轴于点P ，连接AP ，由对称性知，52254∠APE=∠BPE ，∴△APB 的内切圆的圆心在y 轴上，∵B （，），A'（，），∴直线A'B 的解析式为y=3x﹣ ，∴P （0，﹣ ）．12145225454547．（1）2；12（2）解：①如图，由（1）可知，，，即，2ABC ABC S m C =2AC BC AB n ++=2ABC C n = 由这两个式子可得；ABC S mn= ②如图，设点D 、E 、F 分别是3个切点，连接PD 、PE 、PF 、CP ，由切线长定理得，2222ABCCCD CE AD AC BE BC AC BC AB CD CE ++++++===== ∵ ，，PD CD ⊥PE BC ⊥∴ 平分，CP ACB ∠∴ ，30PCE ∠=︒∴，tan 302ABC C n PE CE ==⋅︒===∵ ，2ABCABC Sm C = ∴ .2ABCABC mCS == 8．（1）证明：连接，BD OE 、是直径，则，AB ADB 90ADO ODB ∠︒∠+∠＝＝是切线，DE ，ODE 90EDB BDO ∴∠︒∠+∠＝＝，EDB ADO CAB ∴∠∠∠＝＝，即是圆的切线，ABC 90∠︒ ＝BC ，DBC CAB ∴∠∠＝，则，EDB EBD ∴∠∠＝BDC 90∠︒＝为的中点E ∴BC （2）和的外接圆面积之比为，AHD BMH 3则两个三角形的外接圆的直径分别为，AD BM 、，AD :BM ∴而，ADH MBH∽，DH BH ∴：＝则，DH HM＝，HM BH ∴：＝，BMH 30BAC ∴∠︒∠＝＝是直角三角形的中线，C 60E ∴∠︒＝，，DE CE ∴＝为等边三角形，DEC ∴ 的面积：，O 2112πAB π2＝（）则，AB CAB 30∠︒，BD BC 4AC 8∴1OE AC 42＝＝四边形的外接圆面积，OBED 22S π22π＝（）＝等边三角形边长为，则其内切圆的半径为：，面积为，DEC2π3故的内切圆面积和四边形的外接圆面积的比为： DEC 1S OBED 2S 1129．（1）解：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 上的中线，∴CD= AB ，12∴CD=BD ，∴∠BCE=∠ABC ，∵BE ⊥CD ，∴∠BEC=90°，∴∠BEC=∠ACB ，∴△BCE ∽△ABC ，∴E 是△ABC 的自相似点（2）解：①如图所示，作法：①在∠ABC 内，作∠CBD=∠A ，②在∠ACB 内，作∠BCE=∠ABC ，BD 交CE 于点P ，则P 为△ABC 的自相似点；②∵P 是△ABC 的内心，∴∠PBC= ∠ABC ，∠PCB= ∠ACB ，1212∵△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，∴∠PBC=∠A ，∠BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠A ，∠ACB=2∠BCP=4∠A ，∴∠A+2∠A+4∠A=180°，∴∠A= ，1807∴该三角形三个内角度数为：，，．1807 3607 720710．（1）解：如图，作AH ∥DC.∵AD ∥BC ，AH ∥DC ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴AH=CD ，AD=HC.∵AB=AD=CD ，BC=2AD ，∴AB=AH=BH ，∴△ABH 为等边三角形，∴∠B=60°.（2）证明：连接CD，如图所示：∵ABCD 为○O 的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC=180°.∵点E 为AC 的中点，∴AE=EC ，∴OD ⊥AC ，∴DA=DC ，∴四边形ABCD 是等邻边互补四边形.（3）解：如图，连接OA ，OC ，AG ，CG ，作FM ⊥GC 于点M ，FN ⊥AG 于点N，∵E 为AC 的中点，AC=12，∴AE=EC=6，∴OD ⊥AC ，，AD DC =∴∠AOE=∠COE ，GA=GC.∵∠AOC=2∠ABC ，∴∠AOE=∠ABC ，∴tan ∠AOE=tan ∠ABC==，AE OE 247∴OE=，,74254=∴CD=2OA=，DE=，25292∴，152AD ==∴GA=10.∵,BG AB =∴∠ACB=∠BCG.∵∠AGF=∠CGF ，∴点F 为△AGC 的内心，∴FM=FN=FE ，设FM=FN=FE=a ，则S △ACG =(AC+AG+GC)·a=·AC·EG ，1212∴a=3，∴EF=3，∴GF=EG-EF=5.（4）解：连接AC ，作AM ⊥BC ，FN ⊥BC，设AC 交BD 于点K.∵BD 是直径，∴∠BAD=∠BCD=90°.∵BA=BC ，BD=BD ，∴△ABD ≌△CBD ，∴∠ABD=∠CBD.∵OA=OB ，∴∠BAF=∠ABD=∠CBD ，令∠BAF=α，则∠BCF=∠ABF=α.∵AB=BC ，∠DBA=∠DBC ，∴BD ⊥AC ，∴∠ACM+∠CAM=90°，∴∠CAM=∠CBD=α.∵AM ∥FN ，∴.sin tan cos EFFMCF CFCFy x AE AM AC AC AC ααα⋅=====⋅⋅ 设OK=m ，AK=m ，OB=OA=r ，则CF=2m ，AC=2n.∵m 2+n 2=r 2，tan ∠ABK=tanα=x=，nm r +∴，n mxr x -=∴，222()n mx m n x -+=∴，212m x n x -=∴.22110222m y x x x x n =⋅=-+>（）11．（1）证明：∵D 为△BCE 内心，∴∠DBC=∠DBE ，∵∠DBE=∠BAD.∴∠DBC=∠BAD ，∵AB 是的直径，O ∴90ADB ∠= ，∴90BAD ABD ∠+∠= ，∴90DBC ABD ∠+∠= ，即 90ABC ∠= ，∴AB ⊥BC ，∴BC 是的切线O （2）证明：如图1，连接DE ，∵∠DBC=∠BAD ，∠DBC=∠DBE ，∴∠DBE=∠BAD ，∴∠ABF+∠BAD=∠ABF+∠DBE ，∴∠BFD=∠ABD ，∵∠DGC=∠ABD ，∴∠BFD=∠DGC ，∴∠DFE=∠DGE ，∵D 为△BCE 内心，∴∠DEG=∠DEB ，在△DEF 和△DEG 中，DFE DGEDEG DEFDE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEF ≌△DEG(AAS)，∴DF=DG ；（3）解：AD−BD 的值不变；如图2，在AD 上截取DH=BD ，连接BH 、BG，∵AB 是直径，∴90ADB AGB ∠=∠= ，∵45ADG ∠= ，∴45ABG ADG ∠=∠= ，∴AB =，∵90BDH BD DH∠== ，，∴45BHD ∠= ，∴18045135AHB ∠=-= ，∵9045135BDG ADB ADG ∠=∠+∠=+= ，∴∠AHB=∠BDG ，∵∠BAD=∠BGD ，∴△ABH ∽△GBD ，∴AH AB DG BG==∵DG=1，∴AH =∵AD−BD=AD−DH=AH ，∴AD BD -=12．（1）解：∵AE=2BE ，∴AB=3BE.∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=CD=AD=3BE.在Rt 中，，BCE 222BE CE BC +=∴ ，解得 (负值舍去)，2224(3)BE BE +=BE =∴3AB BC CD AD BE =====所以菱形ABCD 的周长是 4=（2）解：①证明：如图，连结AF ，连结AC 交BD 于点О，∵四边形ABCD 是菱形，∴BD 平分∠ABD ，AC ⊥BD ，BO=DO ，∴DF-DO+OF=BF ＋OF+OF=BF ＋2OF.∵DF=BF ＋2EF∴OF=EF.∵CE ⊥AB ，AC ⊥BD∴AF 平分∠BAC ，∴CF 平分∠BCA∴∠BCE=∠ACE.∵CE=CE ，∠CEB=∠CEA=90°∴()CBE CAE ASA ≅ ∴AE BE=②∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO=CO ，BD 平分∠ADC ，AD=CD ，∴∠ADF=∠CDF.∵DF=DF ，∴()ADF CDF SAS ≅ ∴ADF CDFAF CF S S == ，∵四边形AEFD 和的面积分别是和，CDF 1S 2S，12S S -=∴121.2ADF AEF CDF AEF S S S S S S AE EF -=+-===⋅∵4AE =∴EF =∴CF AF ===∴CE EF CF =+=设，则，BE a =4BC AB AE BE a ==+=+在Rt 中，，BCE 222BE CE BC +=即，222(4)a a +=+解得，即，2a =2BE =在Rt △BEF 中 BE ==13．（1）证明：如图，连接， OC，OA OC = ，OAC OCA ∴∠=∠ 是的切线，CD O ，即，OC CD ∴⊥90OCD ∠=︒ ，90OCA DCE ∴∠+∠=︒ ，ED AD ⊥ ，90OAC E ∴∠+∠=︒ ，DCE E ∴∠=∠ ；CD DE ∴=（2）解：设的半径为，则，O r OB OC r == ，1BD =，1OD OB BD r ∴=+=+由（1）已证：，CD DE =，CD ∴=在中，，即，Rt COD 222OC CDOD +=222(1)r r +=+解得，2r =即的半径为2；O （3）解：如图，连接，AF BF PB ，，是的直径，AB O ，90ACB AFB ∴∠=∠=︒ 平分，CF ACB ∠ ，14452ACF ACB ∴∠=∠=∠=︒由圆周角定理得：，1454ACF ∠=∠=︒=∠ 是等腰直角三角形，，Rt ABF ∴ AF BF =，AB ∴==由（2）已得：，24AB OB == ，解得4=BF = 为的内心，P ABC ，23∴∠=∠ ，3421FPBFBP ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠PF BF ∴==14．（1）证明：如图，连接OD ，∵点I 为△ABC 的内心，∴∠ABD=∠CBD，∴ AD CD=∴∠CDO=∠ADO又DG平分△ADF，∴∠ADG=∠FDG∵∠CDO+∠ADO+∠ADG+∠FDG=180°，∴∠ODA+∠ADG=∠ODG=90°，∴DG为⊙O的切线--（2）证明：∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠FDA=180°，∴∠FDA=∠ABC，∵DG，BD分别为∠ADF，∠ABC的平分线，∴∠FDG=∠ABD∵∠ABD=∠ACD，∴∠FDG=∠ACD，∴DG∥AC，∴CD AG DF CF=由(1)知CD=AD，∴AD AG DF CF=∵点I是△ABC的内心，∴∠BAI=∠EAI，∵∠DIA=∠DBA+∠IAB=∠DAC+∠IAC，∠DBA=∠DAC，∴∠DIA=∠DAI∴DA=DI∴DI AG DF GF=∴ID·FG=DF·AG（3）解：∵∠DAC=∠CBD=∠ABD，∴△DAE ∽△DBA ∴AD DEDB DA=即AD 2=DE·DB=1×(3+1)=4∴AD=2∴DI=2∴BI=BD-DI=(3+1)-2=215．（1）R d-（2）解： BD ID=∵点I 是△ABC 的内心∴,BAD CAD CBI ABI∠=∠∠=∠∵,,DBC CAD BID BAD ABI DBI DBC CBI ∠=∠∠=∠+∠∠=∠+∠∴BID DBI∠=∠∴BD ID=（3）16．（1）证明：连结，OB ∵ 为的直径，AC O ∴ ，90ABC ∠= ∵ ，AB PO ⊥∴ ，PO BC ∴ ，，AOP C ∠=∠POB OBC ∠=∠ ，OB OC =∴ ，OBC C ∠=∠∴ ，AOP POB ∠=∠在和中，AOP ∆BOP ∆ ，OA OBAOP POBPO PO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ ，()AOP BOP SAS ∆≅∆∴ ，OBP OAP ∠=∠∵ 为的切线，PA O ∴ ，90OAP ∠= ∴ ，90OBP ∠= ∴ 是的切线PB O （2）证明：连结，AE ∵ 为的切线，PA O ∴ ，90PAE OAE ∠+∠= ∵ ，AD ED ⊥∴ ，90EAD AED ∠+∠= ∵ ，OE OA =∴ ，OAE AED ∠=∠∴ ，即平分，PAE DAE ∠=∠EA PAD ∠∵ 、为的切线，PA PD O ∴ 平分，PD APB ∠∴ 为的内心E PAB ∆（3）解：∵ ，，90PAB BAC ∠+∠= 90C BAC ∠+∠= ∴ ，PAB C ∠=∠∴，cos cos C PAB ∠=∠=在中，，Rt ABC ∆1cos BC C AC AC ∠===∴ ，，AC =AO =∵ ，PAO ABC ∆~∆∴ ，POAOAC BC =∴5AO PO AC BC =⋅==31 / 31。

全等三角形经典培优题型(含答案)

全等三角形经典培优题型(含答案)1.已知三角形ABC中，AB=4，AC=2，D是BC的中点，AD是整数，求AD的长度。

解：由题意可得AD=AB-DB，又BD=DC=AC/2=1，故AB=AD+DB=AD+1，代入AB=4得AD=3.2.已知四边形BCDE中，BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD的中点，证明∠1=∠2.解：由于BC=DE，且∠B=∠E，所以△BCE≌△EDC，从而∠1=∠BCE=∠EDC=∠2.3.已知四边形ABCD中，∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，证明EF=AC。

解：由于EF//AB，所以△EFC∼△ABC，从而EF/AC=FC/BC，而CD=DE，所以FC=CD，代入得EF/AC=CD/BC，又由于∠1=∠2，所以△BCD∼△ECD，从而CD/BC=ED/AC，代入得EF/AC=ED/AC，即EF=AC。

4.已知三角形ABC中，AD平分∠BAC，AC=AB+BD，证明∠B=2∠C。

解：由于AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD，从而∠B=∠BAD+∠ABD=∠CAD+∠ACD，又由于AC=AB+BD，所以BD=AC-AB，代入得∠B=∠CAD+∠ACD=∠CAD+∠ABC，又由于∠CAD=∠CAB，所以∠B=∠CAB+∠ABC=2∠C。

5.已知三角形ABC中，AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，证明AE=AD+BE。

解：由于AC平分∠BAD，所以∠CAD=∠CAB，从而△ABE∼△DCE，所以AE/AD=BE/CD，又由于∠B+∠D=180°，所以CD=AB，代入得AE/AD=BE/AB，即AE=AD·(BE/AB)，又由于CE⊥AB，所以△CEB为直角三角形，从而BE/AB=CE/AC，代入得AE=AD·(CE/AC)，又由于AC平分∠BAD，所以△ACD∼△ABC，从而CE/AC=CD/AB，代入得AE=AD·(CD/AB)，又由于CD=AB-BD，所以AE=AD·((AB-BD)/AB)，即AE=AD+BE·(AB/AD-1)，又由于AB>AD，所以AB/AD-1<AB/AD，从而AE<AD+BE·(AB/AD)，即AE<AD+BE。

全等三角形培优(含答案解析)

三角形培优练习题1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠23已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC4已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C AD BCB ACD F2 1 E5已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE6 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

求证：BC=AB+DC。

7已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C8.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB<AC-ABCDBAB CDA9已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC10．如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．11如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B12如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。

P D A C B FA E D CB P E DC BA D CB A求证：AM是△ABC的中线。

13已知：如图，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F。

求证：BE=CD．14在△ABC中，︒=∠90ACB，BCAC=，直线MN经过点C，且MNAD⊥于D，MNBE⊥于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①ADC∆≌CEB∆；②BEADDE+=；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.15如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。

相似三角形培优专题训练

相似三角形培优专题训练1.给定平行四边形ABCD，点G在边DC的延长线上，AG交BC于点E，BG交CD于点F。

证明△AGD∽△EGC∽△EAB。

2.给定△ABC，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线。

证明△ABC∽△BCD。

3.给定△ABC，D为内点，ED、AD分别与BC、AB相交，以BC为边在△ABC外作∠XXX∠ABD，∠XXX∠BAD。

证明△DBE∽△ABC。

4.给定矩形ABCD，BC=3AB，E、F是BC边上的三等分点，连结AE、AF、AC。

证明图中不存在非全等的相似三角形。

5.给定△ABC，AC上截取AD，CB延长线上截取BE，使AD=BE。

证明DF•AC=BC•FE。

6.给定△ABC，∠BAC=90°，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延长线于点D。

证明（1）MA=MD•ME；（2）2MD²=AD²+4AE²。

7.给定△ABC，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于点E，交AB于点F。

证明AE：ED=2AF：FB。

8.给定正方形ABCD，E、F分别是XXX和AD上的点，且。

证明∠XXX∠XXX。

9.给定平行四边形ABCD，AR、BR、CP、DP各为四角的平分线。

证明SQ∥AB，RP∥BC。

10.给定四边形XXX和四边形BDFE，其中AB∥ED，BC∥FE。

证明AF∥CD。

11.给定直角三角形ABC，BCDE是正方形，AE交BC于点F，FG∥AC交AB于点G。

证明FC=FG。

12.给定锐角三角形ABC，C的平分线交AB于点E，交斜边上的高AD于点O，过O引BC的平行线交AB于点F。

证明OE=OF。

《全等三角形》培优题型全集

《全等三角形》培优题型全集题型一：倍长中线（线段）造全等1、已知：如图，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且 AE=EF ，求证：AC=BFC2、如图，△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是______.DCBA3、在△ABC 中,AC=5,中线AD=7，则AB 边的取值范围是( ) A 、1<AB<29 B 、4<AB<24C 、5<AB<19D 、9<AB<194、已知：AD 、AE 分别是△ABC 和△ABD 的中线，且BA=BD ，求证：AE=21AC CE5、已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ABFDEC题型二：截长补短1、已知，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠1＝∠2，∠3＝∠4。

求证：BC ＝AB ＋CD 。

2、已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2，求证：AB=AC+CD.3、如图，在△ABC 中，∠BAC=60°， AD 是∠BAC 的平分线，且AC=AB+BD ，求∠ABC 的度数DCBA4、已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．DOECB ADCB A 12题型三：角平分线上的点向角两边引垂线段1、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，求证：∠BAD+∠C=180°DCBA2、如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E ，AD+AB=2AE，则∠B与∠ADC互补，为什么？3、如图，△ABD和△ACD，BD=CD，∠ABD=∠ACD,求证AD平分∠BAC.4、已知，AB＞AD，∠1＝∠2，CD＝BC。

三角形培优训练100题集锦(学生用)

精心整理精心整理三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

【常见辅助线的作法有以下几种】123456、71解:∴∆∵即2∴41 AD2、如图，ABC ∆中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DF DE ⊥，D 是中点，试比较CF BE +与EF 的大小。

证明：延长FD 到点G ，使DF DG =，连接BG 、EG ∵CD BD =，DG FD =，CDF BDG ∠=∠ ∴CDF BDG ∆≅∆∴CF BG =EFECABD图1C图2∵DF DE ⊥∴EG EF =在BEG ∆中，EG BG BE + ∵CF BG =，EG EF = ∴EF CF BE +3、如图，ABC ∆中，AC DC BD ==，E 是DC 的中点，求证：AD 平分BAE ∠. 证明方法一：利用相似论证。

证明：∵AC DC BD == ∴∵E ∴∴∴∵∴∴∴即∴∴∴∴∴即AD 平分BAE ∠4、以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，︒=∠=∠90CAE BAD ，连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点。

探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系。

（1）如图1当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是，线段AM 与DE 的数量关系是；（2）将图1中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ（︒︒︒900 θ）后，如图2所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由。

精心整理∵AD 平分BAC ∠ ∴CAD BAD ∠=∠ 在ADC ∆和ADM ∆中AM AC =，CAD BAD ∠=∠，AD AD = ∴ADC ADM ∆≅∆∴︒=∠=∠90ADM ACD 即:AC CD ⊥6、如图，BD AC //，EA ，EB 分别平分CAB ∠，DBA ∠，CD 过点E ，求证：BD AC AB +=精心整理证明：在AB 上截取AC AF =，连接EF在CAE ∆和FAE ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE FAE CAE AF AC ∴∴∴即在∴∴∴7，BQ 分别是∠∵∴∴又∴在AP ∴∴即∴8、如图，在四边形ABCD 中，BA BC ，CD AD =，BD 平分ABC ∠. 求证：︒=∠+∠180C A解：过点D 作BC DE ⊥于E ，过点D 作AB DF ⊥交BA 的延长线于F ∵BD 平分ABC ∠∴DF DE =，︒=∠=∠90DEB F在CDE Rt ∆和ADF Rt ∆中 ∴≅∆CDE Rt ADF Rt ∆（HL ） ∴C FAD ∠=∠∴︒=∠+∠=∠+∠180FAD BAD C BAD EFDC A B精心整理9、如图，在ABC ∆中，AC AB ，CAD BAD ∠=∠，P 为AD 上任意一点。

三角形、全等三角形培优

C 三角形、全等三角形培优（C 层）1、如图，△ABC 中，O 是内角平分线AD , BE ,CF 的交点.(1)求证：∠BOC =90°+21∠A ；(2) 求证：∠OAB +∠OBC +∠OCA = 90°(3)过O 作OG ⊥BC 于G ，求证：∠DOB =∠GOC ．2、如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DE 平分∠ADB ，∠BDC=∠BCD ，（1）求证：∠1+∠2＝90°。

（2）若∠ABD 的平分线与CD 的延长线交于F ，且∠F=55求∠ABC 。

（3）若H 是BC 上一动点，F 是BA 延长线上一点，FH 交BD 于M ，FG 平分∠BFH ，交DE 于N ，交BC 于G 。

当H 在BC 上运动时（不与B 点重合），BAD DMHDNG∠+∠∠的值是否变化，如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值。

OG FED CBAG 1234EAD FCG1234ABCDFE 3、 D 为等腰直角△ACB 的直角边AC 上任一点，E 为AB 上的点，直线BC 上一点,G 为直线AC 上一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：DE ⊥GF变式：把“D 为等腰直角△ACB 的直角边AC 上任一点”，改为“D 为等腰直角△ACB 的直角边AC 所在直线上任一点”，其它条件不变，如图1，2. 求证：DE ⊥GF4、如图，在平面直角坐标系中，△AOB 是直角三角形，∠AOB=90°，斜边AB 与y 轴交于点C.(1)若∠A=∠AOC ，求证：∠B=∠BOC ；(2)延长AB 交x 轴于点E ，过O 作OD ⊥AB ，且∠DOB=∠EOB ，∠OAE=∠OEA ，求∠A 度数；(3)如图，OF 平分∠AOM ，∠BCO 的平分线交FO 的延长线于点P.当△ABO 绕O 点旋转时（斜边AB 与y 轴正半轴始终相交于点C ），在(2)的条件下，试问∠P 的度数是否发生改变？若不变，请求其度数；若改变，请说明理由．MCBA5、如图，已知等边△ABC ，P 在AC 延长线上一点，以PA 为边作等边△APE,EC 延长线交BP 于M ，连接AM,求证：（1）BP=CE ；（2）试证明：EM-PM=AM.6、如图，已知在ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。