傅里叶变换性质证明
傅里叶变换性质证明
傅里叶变换性质证明性质一：线性性质F[a*f(t)+b*g(t)]=a*F[f(t)]+b*F[g(t)]其中F表示傅里叶变换。
这个性质的证明非常简单，我们只需将傅里叶变换的定义代入到等式中即可。
性质二：时移性质时移性质指的是时域上的移动会导致频域上的相位变化。
设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[f(t - a)] = e^(-2πiaω) * F[f(t)]其中a是常数，ω是角频率。
这个性质的证明可以通过将f(t-a)展开成泰勒级数，并代入傅里叶变换的定义进行推导得到。
性质三：频移性质频移性质指的是频域上的移动会导致时域上的相位变化。
设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[e^(2πiaω0) * f(t)] = F[f(t - a)]其中a是常数，ω0是角频率。
这个性质的证明可以利用傅里叶变换的定义以及欧拉公式进行推导。
性质四：尺度变换性质尺度变换性质指的是时域上的信号缩放会导致频域上的信号压缩。
设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[f(a*t)]=，a，^(-1)*F[f(t/a)]其中a是常数。
这个性质的证明可以通过将f(a*t)展开成泰勒级数，并代入傅里叶变换的定义进行推导得到。
性质五：卷积定理卷积定理是傅里叶变换中最重要的性质之一、它指出卷积在频域上等于两个函数的傅里叶变换的乘积。
设f(t)和g(t)是两个函数，f(t)*g(t)表示它们的卷积，F[f(t)]和F[g(t)]表示它们的傅里叶变换，则有：F[f(t)*g(t)]=F[f(t)]*F[g(t)]其中*表示卷积，乘法表示两个函数的傅里叶变换的乘积。
这个性质的证明可以通过将卷积展开成积分形式，然后利用傅里叶变换的定义进行推导得到。
以上是傅里叶变换的几个重要性质及其证明。
这些性质使得傅里叶变换具有很强的分析和应用能力，在信号处理、图像处理、通信等领域得到广泛应用。
这些性质的正确性和证明对于理解和应用傅里叶变换非常重要。
傅里叶变换的性质
由于 满足绝对可积条件，其傅里叶变换不含冲激函数，故
10） 频谱如图 5.4-8(d)所示。
（5.4-
(a)
(b)
(c) 图 5.4-8 三角脉冲信号及其频谱 若傅里叶变换式对 求导，可得频域微分性质：
(d) （5.4-11）
例 5.4-6 利用频域微分性质求斜变函数 解
的傅里叶变换。
根据频域微分性质，有
4 傅里叶变换的性质
傅里叶变换建立了信号的时域与频域间的一般关系。实际上， 通过数学运算求解一个信号的傅里叶变换不是最终的目的，重要的是在信号分 析的理论研究与实际设计中能够了解当信号在时域进行某种运算后在频域将 发生何种变化，或反过来从频域的运算推测时域信号的变动。如果采用傅里叶 变换的基本性质求解复杂信号变换，不仅计算过程简单，而且物理概念清楚。
一、线性 傅里叶变换的线性性质包含齐次性与可加性，若
，
则
（5.4-1）
式中 、 为任意常数。
上面的结论可以容易地由傅里叶变换的定义式证明。即傅里 叶变换是一种线性运算，相加信号的频谱等于各个信号的频谱之和。
二、对偶性 若
则
如图 5.4-1 所示，其中
，
。
图 5.4-1 对偶性说明 证明 由逆傅里叶变换公式
（5.4-8）
图 5.4-7 符号函数及其频谱 利用常数 1 和符号函数的傅里叶变换，可求得阶跃函数的变换。由于
故有
（5.4-9）
阶跃函数的傅里叶变换在 处为
，在 处为
。
例 5.4-5 利用时域微分性质求图 5.4-8(a)所示三角脉冲 信号的傅里叶变换。
解 三角脉冲信号可表示为
对 求两次导数，波形如图 5.4-8(b)和(c)所示。根据微分性质得
信号分析与处理——傅里叶变换性质
1. 线性 2. 奇偶性 3. 对偶性 4. 尺度变换特性 5. 时移特性
6.
频移特性
7.
微分特性
8.
积分特性
9. 帕斯瓦尔定理
10. 卷积定理
1、线性（叠加性）
若:
x1 (t) X1 ()
x2 (t) X 2 ()
则: a1x1 (t) a2 x2 (t) a1 X 1 () a2 X 2 ()
Sa(t0
)e
j t0 2
2
由积分性质，可得 的x频2 (谱t)为
X 2 ()
X1() j
X1(0) ()
又因为： 所以得：
X1(0) 1
X 2 ()
1
Sa(
t0
)e
j
t0 2
j 2
()
9、帕斯瓦尔定理
若: x(t) X ()
则:
x(t) 2 dt 1 X () 2 d
2
式(2-100)为有限能量信号的帕斯瓦尔公式
2
)
由线性和时移特性，有:
X
2
()
3Sa(
3
2
)
X
()
1 2
e
j
5 2
X 1 ( )
e
j 5 2
X
2
()
e
j 5 2
1 2
Sa(
2
)
3Sa( 3
2
)
例：求三脉冲信号的频谱
g (t为)P36页的标准矩形脉冲信号
求如下三脉冲信号的频谱函数
x(t) g(t) g(t T ) g(t T )
解：
X () G()(1 e jT e jT ) G()(1 2 cosT ) E Sa( )(1 2 cosT )
信号分析与处理——傅里叶变换性质
信号分析与处理——傅里叶变换性质傅里叶变换是信号处理中常用的分析方法，通过将信号在频域上进行分解，可以获得信号的频谱信息，并对信号进行频谱分析，从而实现对信号的处理与改变。
傅里叶变换具有以下几个重要的性质，这些性质对于信号处理的理解和实际应用至关重要。
1.线性性质：傅里叶变换具有线性性质，即对于任意两个信号x(t)和y(t)，以及对应的傅里叶变换X(f)和Y(f)，有以下关系：a) 线性叠加：傅里叶变换对于信号的叠加是可线性的，即如果有h(t) = cx(t) + dy(t)，则H(f) = cX(f) + dY(f)。
b) 变换的线性组合：如果有z(t) = ax(t) + by(t)，则Z(f) =aX(f) + bY(f)。
这种线性性质为信号的分析和处理提供了很大的方便，可以通过分别对不同组成部分进行变换，再进行线性组合，得到最终的处理结果。
2. 平移性质：傅里叶变换具有平移性质，即如果一个信号x(t)的傅里叶变换为X(f)，则x(t - t0)的傅里叶变换为e^(-j2πft0)X(f)，其中t0为平移的时间。
这意味着信号在时域上的平移将对应于频域上的相位变化，而频域上的平移则对应于时域上的相位变化。
4.卷积定理：傅里叶变换还具有卷积定理，即信号的卷积在频域上等于信号的傅里叶变换之积。
具体来说，如果两个信号x(t)和h(t)的傅里叶变换分别为X(f)和H(f)，则它们的卷积y(t)=x(t)*h(t)的傅里叶变换为Y(f)=X(f)×H(f)。
这个性质在实际的信号处理中有着重要的应用。
通过将两个信号在时域上的卷积转化为频域上的乘法操作，可以方便地进行信号处理的设计和实现。
5. Parseval定理：傅里叶变换还具有Parseval定理，即信号的能量在时域和频域上是相等的。
具体来说，如果信号x(t)的傅里叶变换为X(f)，则有∫，x(t)，^2dt = ∫，X(f)，^2df。
这个性质意味着通过傅里叶变换可以实现信号的能量分析和功率谱估计，从而对信号的能量进行定量的测量。
信息光学傅里叶变换的基本性质和有关定理
1.7.3复振幅分布的空间频谱
任意的平面波可以用空间频率表示
(x, y)面上的平面波具有如下形式
在相干光照明下g(x,y)是xy面上复振幅分布
指数基元
表示传播方向余弦（cosα＝λξ，cosβ＝λη）
的单位振幅的单色平面波。而g(x,y)可看成无数基元函数代表的平 面波叠加。
空间频谱可用方向余弦表示
exp(i*x)=cos(x)+i*sin(x)
a (P)和φ(P)是P点的振幅和初相位。
通常用指数函数表示一点的光振动
优点：可以将与位置有关的φ(P)和与时间有关的2πνt分开。 定义复振幅 为单色波场P点的复振幅。它与时间无关，仅是空间的函数。 即描述了光振动的空间分布。而时间因子exp(2πνt）对各点均相 同，可省略。
3. 4.实函数
即
由于输入余弦函数的频率是任意的，上式可写为
说明在线性不变系统中，在有实值脉冲的响应情况下，余弦函 数将产生同频率的余弦输出。但有衰减和相移。其改变程度由传递 函数的模和辐角决定。
1.7 二维光场分析
光波的数学描述。 1.7.1. 单色光波场的复振幅表示 单色光波场中某点P在时刻t的振动为
1.5.2
傅里叶变换的基本定理
1. 卷积定理 如果 则
பைடு நூலகம்
2.相关定理 （1）互相关定理 如果 则 ☆ ,
称F*(ξ,η)G(ξ,η)为函数f(x,y)和g(x,y)的互谱能量密度（互谱密度）
（2）自相关定理 设 则 ☆
（3)巴塞伐定理 设 且积分
存在,则 表示能量守恒。
1.4.4.广义巴塞伐定理 设
称ξ为沿x方向的空间频率。 y方向的周期为无穷。
同样对y方向，当cosβ≠0也可得到 ，空间频率 在z方向 空间频率
傅里叶变换性质
傅里叶变换性质证明1. 线性变换 F {fc f c 2211+}=c 1F {f1}+c 2F {f2} (1.1)证明： F {fc f c 2211+}=[]dx x x efc fc iwx-∞∞⎰+-2211)()( =dx x dx x efc efc iwxiwx⎰⎰∞∞---∞∞-+)()(2211=c 1F {f1}+c 2F {f2}2. 尺度变换性质如果f(x)的傅里叶变换存在且为F(w),则f(ax)的傅里叶变换为⎪⎭⎫ ⎝⎛a w F a 1。
(也可记为 f(ax)↔⎪⎭⎫ ⎝⎛a w F a 1） 证明：因为 F {()ax f }=()dx ax f e iwx-+∞∞-⎰则，令du adx u a x ax u 1,1,===当a>0时， F {()u f }=()du u f ae ua wi -+∞∞-⎰1即，F {()ax f }=⎪⎭⎫ ⎝⎛a w F a 1 （或记为f(ax)↔⎪⎭⎫⎝⎛a w F a 1）当a<0时，a a -= 则，u adx u a x x a ax u 1,1,-=-=-== F {()u f }=()()du u f adu u f a ee u awi ua wi -+∞∞---∞∞+⎰⎰=11-综上所述，F {()ax f }=⎪⎭⎫ ⎝⎛a w F a 1 (亦或可记为 f(ax)↔⎪⎭⎫ ⎝⎛a w F a 1）物理意义：（1）0<a<1时域扩展，频带压缩； （2）a>1时域压缩，频域扩展； （3）a=-1，f(t)→f(-t);F(w)→F(-w)。
举个例子，1 -1≤t ≤1 f(t)=0 其他而函数f(t)的傅里叶变换F(w)为()()dt dt dt dt t f w F eeeeiwtiwtiwtiwt⎰⎰⎰⎰+∞----∞---+∞∞-∙++∙==111100()()ww w w sin 20sin 20∙=+∙+= f(t)图像为附属matlab代码：x=-10:0.01:10y=1.*(x>=-1&x<=1)+0.*(x<-1)+0.*(x>1)plot(x,y,'r','linewidth',2)axis([-10 10 0 2.1]) %在x取值[-10,10]内作图，在值域[0,1]内以0.2分度取值grid onF(w)的图像：附属代码：x=-10:0.01:10y=2.*sin(x)./xplot(x,y,'r','linewidth',2)grid on（1）当0<a<1时，我们任意取a=0.5，则1 -2≤t≤2f(0.5t)=0 其他同理，()() www F2sin=。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换的性质本质就是信号的时域运算关系在傅里叶变换域中的体现，也是求解信号傅里叶变换的基本手段。
傅里叶变换具有唯一性。
傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。
讨论傅里叶变换的性质，目的在于：1. 了解特性的内在联系2. 用性质求3. 了解在通信系统领域中的实用这些性质在内容和形式上具有某种程度的对称性。
§3.7.1对称性质1．性质2．意义例3-7-1例3-7-2例3-7-3§3.7.2 线性1．性质2．说明§3.7.3 奇偶虚实性奇偶虚实性实际上在§3.4的“傅里叶变换的特殊形式”中已经介绍过。
1.证明：由定义可以得到2.若，则证明：设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）显然§3.7.4 尺度变换性质1. 性质：2. 证明：综合上述两种情况3．意义(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
脉冲持续时间增加a倍，信号变化减缓，信号在频域的频带压缩a倍。
因此高频分量减少，幅度上升a倍。
(2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
持续时间短，变化加快。
信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降a倍。
此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以展开频带为代价。
§3.7.5 时移特性性质幅度频谱无变化，只影响相位频谱，例3-7-8求下图所示函数的傅里叶变换。
解：由对称关系求，又因为得幅频、相频特性分别如下图所示。
幅度频谱无变化，只影响相位频谱§3.7.6 时移+尺度变换1.性质：2. 证明：(仿的证明过程)当时，设，则例3-7-9方法一：先标度变换，再时延方法二：先时延再标度变换§3.7.7 频移特性1．性质2．证明3．说明4．应用通信中调制与解调，频分复用§3.7.8 频移特性1．性质2．证明3．说明4．应用通信中调制与解调，频分复用§3.7.9 时域微分性质2. 证明即3. 特别注意如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出直流分量单独求傅里变换，余下部分再用微分性质。
傅里叶变换性质
四．尺度变换性质
第 9
页
若f
(t)
F (),则f
at
1 a
F a
, a为非零实常数
意义
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。 (2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
(3) a 1 f t f t, F F 。
X
第
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
10
页
f t
F
E
E
o t
2
0
F
0
通信中调制与解调，频分复用。
X
七．微分性质
第 16
页
时域微分性质
f (t) F()，则f (t) jF()
频域微分性质
若f (t) F( ), 则tf (t) jd F d
d F
jtf (t)
d
jt n
f
(t)
dn F
d n
或
t n f (t) jn F n
X
1．时域微分
1、f(t)是实函数
实函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱分别为偶、 奇函数
若f(t)是实偶函数，F(ω)必为ω的实偶函数
F f ( t )e j t d t
20 f ( t )cost d t
若f(t)是实奇函数，F(ω)必为ω的虚奇函数
F
f
(
t
)e
j
t
d
t
2 j f ( t )sint d t
0
X
第
2、 f(t)是虚函数
7 页
令 f t jgt
F jgt e jt dt
jgt cos( t )dt gt sin( t )dt
傅里叶变换的性质
Sgn(t)
1
eat
1
eat t
lim
a0
a2
j2 2
2
j
2
j2 f
1
j f
uo (t)
1 2
Sgn(t)
1
j
u(t) 1 () j
14
7.对偶性: Duality
若 x(t) X ( j) 则 X ( jt) 2 x()
证明： x(t) 1 X ( j)e jtd
2
2 x() X ( jt)e jtdt
对称 : F (t)
2f ()
相似 : f (at) (a 0)
|
1 a
|
F
a
翻转 : f (t)
F ()
20
乘积定理 若F()=F [f(t)], G()=F [g(t)], 则
f (t)g(t) d t
1
F ()G() d (1.20)
2
证
f (t)g(t) d t
u(t) ue (t) uo (t)
1 ue (t) 2
uo (t)
1 2
Sgn(t)
1, t 0
Sgn(t)
1, t 0
u(t)
1
t
0
ue (t)
1/2
t
0
uo (t)
1/2
t
0
-1/2
13
ue(t) ()
Sgn(t) lim[eatu(t) eatu(t)] a0 [Sgn(t)] lim[ 1 1 ] a0 a j a j
X ( jt) 2 x()
利用时移特性有 X[ j(t t0 )] 2 x()e jt0
傅里叶变换的性质与应用
傅里叶变换的性质与应用傅里叶变换（Fourier Transform）是一种在信号和图像处理领域中广泛应用的数学工具。
它通过将一个函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合来描述时域和频域之间的关系。
在本文中，我们将探讨傅里叶变换的性质以及其在各个领域中的应用。
一、傅里叶变换的性质1. 线性性质傅里叶变换具有线性性质，即对于任意常数a和b以及函数f（t）和g（t），有以下等式成立：F（af（t） + bg（t））= aF（f（t））+ bF（g（t））其中F（f（t））表示对函数f（t）进行傅里叶变换后得到的频域函数。
2. 对称性质傅里叶变换具有一系列对称性质。
其中最为重要的对称性质为奇偶对称性。
当函数f（t）为实函数并满足奇偶对称时，其傅里叶变换具有如下关系：F（-t）= F（t）（偶对称函数）F（-t）= -F（t）（奇对称函数）3. 尺度变换性质傅里叶变换可以对函数的尺度进行变换。
对于函数f（a * t）的傅里叶变换后得到的频域函数为F（w / a），其中a为正数。
二、傅里叶变换的应用1. 信号处理傅里叶变换在信号处理中被广泛应用。
它可以将时域信号转换为频域信号，使得信号的频率成分更加明确。
通过傅里叶变换，我们可以分析和处理各种信号，例如音频信号、图像信号和视频信号等。
在音频领域中，傅里叶变换可以用于音乐频谱分析、滤波器设计和音频压缩等方面。
在图像处理领域中，傅里叶变换可以用于图像增强、图像去噪和图像压缩等方面。
2. 通信系统傅里叶变换在通信系统中具有重要的应用。
通过傅里叶变换，我们可以将信号转换为频域信号，并根据频域特性进行信号调制和解调。
傅里叶变换可以用于调制解调器的设计、信道估计和信号的频谱分析等方面。
在无线通信系统中，傅里叶变换也广泛应用于OFDM（正交频分复用）技术，以提高信号传输效率和抗干扰性能。
3. 图像处理傅里叶变换在图像处理中有广泛的应用。
通过将图像转换到频域，我们可以对图像进行滤波、增强和去噪等操作。
傅里叶变换性质
（2）a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频 带展宽，各分量的幅度下降a倍。 此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比， 有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则 要以展开频带为代价。
五．时移特性
幅度频谱无变化，只影响相位频谱，
时移加尺度变换
六．频移特性
交换积分顺序 ， 即先求时移的单位阶跃 信号的傅里叶变换
续……
……续
证明
即
(flash)
频谱图
1 1 F G 0 G 0 2 2 E 0 E 0 Sa Sa 2 2 2 2
将包络线的频谱一分为 二，向左、右各平移 0
E 2
f 0
f t
F 0
F
O
t
O
f t d t f 0
t 0
1 f 0 2 1 2
F e jt d F d
F 0
F d F 0B
B
f t d t
2
2
T
t
(a)三脉冲信号的波形
F0 E Sa 2
E
F0
2
O
(b)
例3-7-9
方法一：先标度变换，再时延
方法二：先时延再标度变换
相同
例3-7-6（教材例3-4） 已知矩形调幅信号 f t Gt cos 0 t ,
傅里叶变换性质证明
傅里叶变换的性质2.6.1线性若信号和的傅里叶变换分别为和, 则对于任意的常数a和b,有将其推广,若,则其中为常数,n为正整数;由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.显然傅里叶变换也是一种线性运算,在第一章我们已经知道了,线性有两个含义：均匀性和叠加性;均匀性表明,若信号乘以常数a,则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a,即叠加性表明,几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和2.6.2 反褶与共轭性设ft的傅里叶变换为,下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后,新信号的傅里叶变换;1反褶f-t是ft的反褶,其傅里叶变换为2共轭3既反褶又共轭本性质还可利用前两条性质来证明：设gt=f-t,ht=gt,则在上面三条性质的证明中,并没有特别指明ft是实函数还是复函数,因此,无论ft为实信号还是复信号,其傅里叶变换都满足下面三条性质2.6.3 奇偶虚实性已知ft的傅里叶变换为;在一般情况下,是复函数,因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分,即根据定义,上式还可以写成下面根据ft的虚实性来讨论F的虚实性;1 ft为实函数对比式2-33与2-34,由FT的唯一性可得ft是实的偶函数,即ft=f-tX的积分项是奇函数,而奇函数在对称区间内的积分为零,故这时X=0,于是可见,若ft是实偶函数,则F也是实偶函数,即左边反褶,右边共轭ft是实的奇函数,即-ft=f-tR的积分项是奇函数,而奇函数在对称区间内的积分为零,故这时R=0,于是可见,若ft是实奇函数,则F是虚奇函数,即左边反褶,右边共轭有了上面这两条性质,下面我们来看看一般实信号即可能既不是偶信号,又不是奇信号,反正不清楚,或者说是没有必要关心信号的奇偶特性的FT频谱特点;2.6.4对称性傅里叶变换与傅里叶反变换之间存在着对称关系,称为傅里叶变换的对称性质;若已知F=Fft则有Fft=2лf-证明：因为将变量t与互换,再将2乘过来,得上式右边是傅里叶正变换定义式,被变换函数是Ft所以FFt=2лf-若ft为偶信号,即ft=f-t,则有FFt=2f从上式可以看出,当ft为偶信号时,频域和时域的对称性完全成立――即ft 的频谱是F,Ft的频谱为f;若ft为奇信号,即ft=-f-t,则有FFt=-2f利用FT的对称性,我们可以很方便地一些信号的傅里叶变换;下面我们举些例子来说明这一点;2.6.5 尺度变换若Fft=F,则这里a是非零的实常数;下面利用FT的定义及积分的性质,分a>0和a<0两种情形来证明傅里叶变换的尺度变换特性;证明：因为令at=x,当a > 0时当a < 0时上述两种情况可综合成如下表达式：由上可见,若信号ft在时域上压缩到原来的1/a倍,则其频谱在频域上将展宽a倍,同时其幅度减小到原来的1/a;尺度变换性质表明,在时域中信号的压缩对应于频域中信号频带的扩展,反之,信号的时域扩展对应于频域的压缩;对于a=-1的特殊情况,它说明信号在时域中沿纵轴反褶等效于在频域中频谱也沿纵轴反褶;对傅里叶变换的尺度变换特性最通俗的解释可以采用生活中的实例来说明,在录音带快放时,其放音速度比原磁带的录制速度要快,这就相当于信号在时间上受到了压缩,于是其频谱就扩展,因而听起来就会感觉到声音发尖,即频率提高了;反之,当慢放时,放音的速度比原来速度要慢,听起来就会感觉到声音浑厚,即低频比原来丰富了频域压缩;2.6.6 时间平移延时下面进行证明证明：上式右边的积分项为傅里叶变换定义式,于是可以得到同理可以得到2.6.7 时域微分若Fft=F,则证明：因为 ,两边对t求导,可得所以同理,可以推出由上可见,在时域中ft对t取n阶导数等效于在频域中ft的频谱F乘以jn. 下面举一个简单的应用例子;若已知单位阶跃信号ut的傅里叶变换,可利用此定理求出t的FT2.6.8 频域微分若Fft=F,则证明：因为,两边分别对求导,可得所以2.6.9 时域积分可见,这与利用符号函数求得的结果一致;频域积分若Fft=F ,则有时域卷积定理频域卷积定理与时域卷积定理类似,证明方法同时域卷积定理,在这里不在重复,同学们可自己证明;由上可见,两个时间函数频谱的卷积等效于两个时间函数的乘积;或者说,两个时间函数乘积的频谱等于各个函数频谱乘积乘以1/2;显然,时域与频域卷积定理是对称的,这是由傅里叶变换的对称性决定的;帕斯瓦尔定理前面我们在讲信号分解时,提及帕斯瓦尔定理;下面我们来研究一下该定理在FT中的具体表现形式;若Fft=F ,则这就是帕斯瓦尔定理在傅里叶变换中体现,它表明了信号的能量在时域与频域是守恒的;下面利用FT的定义和性质,推导信号能量的求解;式中是信号ft的总能量,为信号ft的能量谱密度;帕斯瓦尔定理表明,这个总能量既可以按每单位时间的能量|ft|2在整个时间内积分计算出来,也可以按单位频率内的能量/2在整个频率范围内积分来得到;此定理也可以如下证明;由相关性定理可得取t=0,即得帕斯瓦尔定理;。
第二节 傅里叶变换的定义及性质
b F [ f (x at tb )]t , F代入上式得 f a t 令 0 a
它是偶函数. 由Fourier变换的 (2) 对称性质 , 设 F ( ) F [
sin t F [ f ( t )] F t 1 2 p2 ( ) 2
.
F (F )[ F ( t )] 2
证明 由Fourier逆变换有 f ( t
, 0,
1 F [ f (at )] F (其中 a 0 为常数). a a
证明 由Fourier变换的定义,
F [ f (at )]
f (at )e i t dt .
1 令 x at , 则 dt dx . 于是当a>0时, a
1 F [ f (at )] f ( x )e a
i
a
x
1 dx F ; a a
14
当a<0时,
i x 1 F [ f (at )] f ( x )e a dx a
i x 1 1 a f ( x )e dx F . a a a
1 综上所证, 即得 F [ f (at )] F . a a
(1) 线性性质 设a, 是常数，F1 ( ) F [ f1 ( t )],
F2 ( ) F [ f 2 ( t )], 则 F [a f1 ( t ) f 2 ( t )] a F1 ( ) F2 ( )
傅里叶变换的性质
∫−
jtx ( t ) e
− jΩ t
dt
dX ( j Ω ) tx ( t ) ←→ j dΩ
FT
例如： 例如： du (t ) (t
dt
对应的傅里叶变换
= δ (t )
jΩ 1 = j 0 ⋅ πδ(Ω) + =1 δ(t ) ←→ jΩ[πδ(Ω) + ] jΩ jΩ
FT
再例如： 再例如：
1 d [ πδ ( Ω ) + ] jΩ FT tu ( t ) ← → j dΩ
= j π δ ′( Ω ) −
1 Ω2
七、反褶与共轭特性 设 则
FT x(t ) ←→ X ( jΩ) FT x ( − t ) ← → X ( − j Ω ) FT x * ( t ) ← → X * ( − j Ω )
由傅里叶变换公式很容易证明。 由傅里叶变换公式很容易证明。 奇偶、 八、奇偶、虚实性 1、实信号 、
FT x(t ) = x* (t ) ←→ X ( jΩ) = X * (− jΩ)
设
X ( jΩ) = X ( jΩ) e jϕ( Ω ) = X R (Ω) + jX I (Ω)
X * ( jΩ) = X ( jΩ) e − jϕ( Ω ) = X R (Ω) − jX I (Ω)
六、微分特性 设 则
FT x(t ) ←→ X ( jΩ) FT x ′( t ) ← → j Ω X ( j Ω )
------时域微分性 时域微分性 ------频域微分性 ------频域微分性
1 x (t ) = 2π
∞
dX ( j Ω ) − jtx ( t ) ← → dΩ
FT
因为， 因为，由傅里叶反变换公式 等号两边同时对时间t求导数 等号两边同时对时间 求导数
傅里叶变换基本性质
傅里叶变换的基本性质（一）傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。
在实际信号分析中，经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。
因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。
一、线性傅里叶变换是一种线性运算。
若则其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。
例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数。
解因由式(3-55)得二、对称性若则证明因为有将上式中变量换为x，积分结果不变，即再将t用代之，上述关系依然成立，即最后再将x用t代替，则得所以证毕若是一个偶函数，即，相应有，则式(3-56)成为可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数。
式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。
例如：例3-7若信号的傅里叶变换为试求。
解将中的换成t，并考虑为的实函数，有该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为根据对称性故再将中的换成t，则得为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。
三、折叠性若则四、尺度变换性若则证明因a＞0，由令，则，代入前式，可得函数表示沿时间轴压缩(或时间尺度扩展) a倍，而则表示沿频率轴扩展(或频率尺度压缩) a倍。
该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。
例3-8已知,求频谱函数。
解前面已讨论了的频谱函数，且根据尺度变换性，信号比的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因此其频谱函数两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。
五、时移性若则此性质可根据傅里叶变换定义不难得到证明。
它表明若在时域平移时间，则其频谱函数的振幅并不改变，但其相位却将改变。
例3-9求的频谱函数。
解: 根据前面所讨论的矩形脉冲信号和傅里叶变换的时移性，有六、频移性若则证明证毕频移性说明若信号乘以，相当于信号所分解的每一指数分量都乘以，这就使频谱中的每条谱线都必须平移，亦即整个频谱相应地搬移了位置。
傅里叶变换性质证明
傅里叶变换性质证明The final revision was on November 23, 2020傅里叶变换的性质2.6.1线性若信号和的傅里叶变换分别为和，则对于任意的常数a和b，有将其推广，若,则其中为常数，n为正整数。
由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。
均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和?2.6.2 反褶与共轭性设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。
（1）反褶f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为（2）共轭（3）既反褶又共轭本性质还可利用前两条性质来证明：设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质2.6.3 奇偶虚实性已知f(t)的傅里叶变换为。
在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即?根据定义，上式还可以写成下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。
(1) f(t)为实函数对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得（）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时X()=0，于是可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即左边反褶，右边共轭（）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t)R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时R()=0，于是可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即左边反褶，右边共轭有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号（即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性）的FT频谱特点。
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或
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14
1．时域微分
注意
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15
注意
如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出单独求傅里 变换，余下部分再用微分性质。
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16
2．频域微分性质
推广 或
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17
八．时域积分性质
也可以记作：
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18
证明
因为
综合上述两种情况
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19
等效脉冲宽度与等效频带宽度
求图(a)所示三脉冲信号的
f t
频谱。
E
解：
令f0 t 表示矩形单脉冲
信号，其频谱函数F0 ,
F0
E
Sa
2
T
22
Tt
(a)三脉冲信号的波形
F0
E
2
O
(b)
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23
例3-7-9
方法一：先标度变换，再时延
方法二：先时延再标度变换
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相同
24
例3-7-6（教材例3-4）
已知矩形调幅信号 f t Gtcos0t ,
交换积分顺序
，
即先求时移的单位阶跃
信号的傅里叶变换
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35
……续
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36
证明
即
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37
(flash)
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X
29
第 页
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29
X
例3-7-8
解：
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30
例3-7-9
解：
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31
例3-7-10
傅里叶变换性质证明
2.6傅里叶变换的性质2.6.1线性若信号「和J的傅里叶变换分别为一「；和FJ-,则对于任意的常数a和b,有将其推广，若- - - 「出■,则其中匚为常数，n为正整数。
由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。
均匀性表明，若信号乘以常数a,则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即卩叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和砒心©］的©卜伽）12.6.2反褶与共轭性设f(t) 的傅里叶变换为F面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换（1）反褶f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为綁new九(2) 共轭=匸施)时论匸加門(幼因为曲是实数，所以(dtr=dt 彳寻共觇提到积分之外根据傅里叶变换的定义(3) 既反褶又共轭町(卯訂:厂(号叫fe本性质还可利用前两条性质来证明：设g(t)=f(-t) ，h(t)=g*(t)，则*曾筍％芳遛凸■_苗苫在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此，无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质FLTH)] = F® 町甘D FLH 心FH)2.6.3奇偶虚实性已知f(t)的傅里叶变换为。
在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示 成模与相位或者实部与虚部两部分，即下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。
(1) f(t) 为实函数对比式(2-33)与(2-34)，由FT 的唯一性可得尺(耐=][/(f)cosaf 址(1.1)f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时X( )=0，于是可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 匚】：’匚° :左边反褶，右边共轭 (1.2)f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t)R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时R( )=0，于是FQ)=卩(询片 眄' =盹)+歼询)根据定义，上式还可以写成(2-33)呎弊)=arc tan［制(曲)=2[f(唧)=-2小幷)sin(曲)dt可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即咆=[北)严自=[伽沁伽皿左边反褶，右边共轭有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号(即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性)的FT频谱特点。
傅里叶变换的性质
03
共轭性质
共轭对称
定义
如果一个函数的傅里叶变换和其共轭函数的傅里叶变 换相等，则称该函数具有共轭对称性质。
数学表达式
如果 $f(t)$ 的傅里叶变换是 $F(omega)$，那么 $f(t)$ 的傅里叶变换是 $F(-omega)$。
应用
在信号处理中，共轭对称性质可以用于对称信号的分 析和合成。
共轭反对称
定义
01
如果一个函数的傅里叶变换和其共轭函数的傅里叶变
换互为相反数，则称该函数具有共轭反对称性质。
数学表达式
02
如果 $f(t)$ 的傅里叶变换是 $F(omega)$，那么 $f(-
t)$ 的傅里叶变换是 $-F(-omega)$。
应用
03
在信号处理中，共轭反对称性质可以用于分析信号的
周期性
傅里叶变换具有周期性，这意味着对于一个函数进行傅里叶变换后，其结果仍具有周期性。这 是因为傅里叶变换将一个时域函数转换为频域函数，而频域函数中的频率分量具有周期性。
周期性的具体表现是，对于一个具有周期T的函数f(t)，其傅里叶变换F(ω)在频域中也是周期性 的，周期为2π/T。
傅里叶级数
傅里叶级数是傅里叶变换的一种特殊形式，它适用于具有有限个离散频率 分量的信号。
总结词
频域对称性质揭示了信号在频域和时间域之间的对称关系，为信号处理提供了重要的理论依据。
时间反转与频域反转
时间反转
将信号在时间轴上反转，其傅里叶变换在频域上会产生负 频率分量。
频域反转
将信号在频域上反转，其在时间域上会产生负时间位移。
总结词
时间反转与频域反转的性质表明，信号在时间域和频域的反转 具有对应关系，这种关系在信号处理和通信领域中具有重要应
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2.6 傅里叶变换的性质
2.6.1线性
若信号和的傅里叶变换分别为和，
则对于任意的常数a和b，有
将其推广，若,则
其中为常数，n为正整数。
由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.
显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。
均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换
也乘以相同的常数a，即
叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和
2.6.2 反褶与共轭性
设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。
（1）反褶
f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为
（2）共轭
（3）既反褶又共轭
本性质还可利用前两条性质来证明：
设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则
在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质
2.6.3 奇偶虚实性
已知f(t)的傅里叶变换为。
在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即
根据定义，上式还可以写成
下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。
(1) f(t)为实函数
对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得
（1.1）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)
X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故
这时X()=0，于是
可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即
左边反褶，右边共轭
（1.2）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t)
R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故
这时R()=0，于是
可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即
左边反褶，右边共轭
有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号（即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性）的FT频谱特点。
2.6.4对称性
傅里叶变换与傅里叶反变换之间存在着对称关系，称为傅里叶变换的对称性质。
若已知
F()=F[f(t)]
则有
F[f(t)]=2лf(-)
证明：因为
将变量t与互换，再将2乘过来，得
上式右边是傅里叶正变换定义式，被变换函数是F(t)
所以
F[F(t)]=2лf(-)
若f(t)为偶信号，即f(t)=f(-t)，则有
F[F(t)]=2f()
从上式可以看出，当f(t)为偶信号时，频域和时域的对称性完全成立――即f(t)的频谱是F()，F(t)的频谱为f()。
若f(t)为奇信号，即f(t)=-f(-t)，则有
F[F(t)]=-2f()
利用FT的对称性，我们可以很方便地一些信号的傅里叶变换。
下面我们举些例子来说明这一点。
2.6.5 尺度变换
若F[f(t)]=F()，则
这里a是非零的实常数。
下面利用FT的定义及积分的性质，分a>0和a<0两种情形来证明傅里叶变换的尺度变换特性。
证明：因为
令at=x，
当a > 0时
当a < 0时
上述两种情况可综合成如下表达式：
由上可见，若信号f(t)在时域上压缩到原来的1/a倍，则其频谱在频域上将展宽a倍，同时其幅度减小到原来的1/a。
尺度变换性质表明，在时域中信号的压缩对应于频域中信号频带的扩展，反之，信号的时域扩展对应于频域的压缩。
对于a=-1的特殊情况，它说明信号在时域中沿纵轴反褶等效于在频域中频谱也沿纵轴反褶。
对傅里叶变换的尺度变换特性最通俗的解释可以采用生活中的实例来说明，在录音带快放时，其放音速度比原磁带的录制速度要快，这就相当于信号在时间上受到了压缩，于是其频谱就扩展，因而听起来就会感觉到声音发尖，即频率提高了。
反之，当慢放时，放音的速度比原来速度要慢，听起来就会感觉到声音浑厚，即低频比原来丰富了（频域压缩）。
2.6.6 时间平移(延时)
下面进行证明
证明：
上式右边的积分项为傅里叶变换定义式，于是可以得到
同理可以得到
2.6.7 时域微分
若F[f(t)]=F()，则
证明：因为，两边对t求导，可得
所以
同理，可以推出
由上可见，在时域中f(t)对t取n阶导数等效于在频域中f(t)的频谱F()乘以(j)n. 下面举一个简单的应用例子。
若已知单位阶跃信号u(t)的傅里叶变换，可利用此定理求出(t)的FT
2.6.8 频域微分
若F[f(t)]=F()，则
证明：因为，两边分别对求导，可得所以
2.6.9 时域积分
可见，这与利用符号函数求得的结果一致。
2.6.10 频域积分
若F[f(t)]=F() ，则有
2.6.11 时域卷积定理
2.6.12 频域卷积定理
与时域卷积定理类似，
证明方法同时域卷积定理，在这里不在重复，同学们可自己证明。
由上可见，两个时间函数频谱的卷积等效于两个时间函数的乘积。
或者说，两个时间函数乘积的频谱等于各个函数频谱乘积乘以1/2。
显然，时域与频域卷积定理是对称的，这是由傅里叶变换的对称性决定的。
2.6.13 帕斯瓦尔定理
前面我们在讲信号分解时，提及帕斯瓦尔定理。
下面我们来研究一下该定理在FT中的具体表现形式。
若F[f(t)]=F() ，则
这就是帕斯瓦尔定理在傅里叶变换中体现，它表明了信号的能量在时域与频域是守恒的。
下面利用FT的定义和性质，推导信号能量的求解。
式中是信号f(t)的总能量，为信号f(t)的能量谱密度。
帕斯瓦尔定理表明，这个总能量既可以按每单位时间的能量|f(t)|2在整个时间内积分计算出来，也可以按单位频率内的能量/2在整个频率范围内积分来得到。
此定理也可以如下证明。
由相关性定理可得
取t=0，即得帕斯瓦尔定理。
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