方差和标准差 知识讲解

方差和标准差——知识讲解
责编：杜少波
【学习目标】
1. 了解方差和标准差的概念，会计算简单数据的方差，体会它们刻画数据离散程度的意义；
2. 知道可以通过样本的方差来推断总体的方差.能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测；
3. 能综合运用统计知识解决一些简单的实际问题. 【要点梳理】
要点一、方差和标准差 1.方差
在一组数据12,,n x x x …，中，设它们的平均数是x ，各数据与平均数的差的平方的平均数()[]
222212
)(...)(1
x x x x x x n
S n -++-+-=
叫做这组数据的方差. 方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定. 要点诠释：
（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况. 方差越大，稳定性越差；反之，则稳定性越好．
（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的k 倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的2
k 倍.
2.标准差
一般地，一组数据的方差的算术平方根
称为这组数据的标准差. 要点诠释：
（1）标准差的数量单位与原数据一致.
（2）一组数据的方差或标准差越小，这组数据的离散程度越小，这组数据就越稳定. 要点二、方差和标准差的联系与区别
联系：方差和标准差都是用来衡量一组数据偏离平均数的大小（即波动大小）的指标，常用来比较两组数据的波动情况.
区别：方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法得到的结果，主要反映整组数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感的指标.
在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小. 方差的单位是原数据单位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同.
【典型例题】
类型一、方差和标准差
1. 一组数据－2，－1，0，1，2的方差是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【思路点拨】按照“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法，利用求方差的公式：
()[]
222212)(...)(1
x x x x x x n
S n -++-+-=
计算. 【答案】B
【解析】该组数据的平均数是0，所以2
15
s =
2222
(2)(1)12⎡⎤-+-++⎣⎦=2. 【总结升华】此类题关键是掌握求方差的步骤，记准求方差的公式.
举一反三：
【变式】学校篮球队五名队员的年龄分别为1715171615，，，，，其方差为0.8，则3年后这五名队员年龄的方差为______． 【答案】0.8.
2.已知某样本的标准差是2，则这个样本的方差是（ ） A.1 B.2 C.2 D.4
【思路点拨】根据标准差的概念计算．标准差是方差的算术平方根． 【答案】D ；
【解析】解：由于方差的算术平方根就是标准差，所以样本的方差=22
=4．
故选D ．
【总结升华】正确理解标准差的概念，是解决本题的关键．标准差是方差的算术平方根． 举一反三：
【变式】下列说法：其中正确的个数有（ ） （1）方差越小，波动性越小，说明稳定性越好； （2）一组数据的众数只有一个；
（3）数据2，2，3，2，2，5的众数为4； （4）一组数据的标准差一定是正数．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．4个 【答案】B.
提示：（1）正确.
类型二、方差和标准差的实际应用
3.甲、乙两班举行汉字输入比赛，•参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后，填入下表：
班级 参加人数 中位数 方差 平均字数 甲 55 149 191 135 乙
55
151
110
135
分析此表得出如下结论：（ ）
（1）甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；
（2）乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字150个为优秀） （3）甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大． A ．（1）（2） B ．（1）（2）（3） C ．（2）（3） D ．（1）（3） 【思路点拨】理清表格中所列数据代表的含义，以及数据差异而导致的不同. 【答案】B
【解析】甲、乙两班学生的平均字数都是135个/分钟，所以平均水平相同；从中位数上看，乙班的151大于甲班的149，表明乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；从方差上看，甲班的方差大于乙班的方差，所以甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大.因此，（1）（2）（3）都正确，选B. 【总结升华】此类题关键是要能从表格中筛选出所需要的信息，理解每个数据所代表的含义. 举一反三： 【变式】（2015•崇左）甲、乙、丙、丁四位同学在三次数学测验中，他们成绩的平均分是
x 甲=85,x 乙=85，x 丙=85，x 丁=85，方差是2S 甲=3.8，2S 乙=2.3，2S 丙=6.2，2S 丁=5.2，则
成绩最稳定的是（ ）
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁 【答案】B.
解：∵2
S 甲=3.8，2
S 乙=2.3，2
S 丙=6.2，2
S 丁=5.2，
∴2
S 乙＜2
S 甲＜2
S 丁＜2
S 丙， ∴成绩最稳定的是乙． 故选B ．
4.（2016春•商水县期末）甲、乙两种水稻试验田连续5年的平均单位面积产量如下：（单位：吨/公顷）
品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5 年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
（1）哪种水稻的平均单位面积产量比较高？ （2）哪种水稻的产量比较稳定．
【思路点拨】首先求得平均产量，然后求得方差，比较方差，越小越稳定． 【答案与解析】 解：（1）()1
9.89.910.11010.2105
=
++++=x 甲， ()1
9.410.310.89.7105
=
++++9.8=x 乙， 所以甲、乙两种水稻的平均产量一样高； （2）甲中水稻产量的方差是：
[（9.8﹣10）2
+（9.9﹣10）2
+（10.1﹣10）2
+（10﹣10）2
+（10.2﹣10）2
]=0.02， 乙种水稻产量的方差是：
[（9.4﹣10）2
+（10.3﹣10）2
+（10.8﹣10）2
+（9.7﹣10）2
+（9.8﹣10）2
]=0.244． ∴0.02＜0.244，
∴产量比较稳定的水稻品种是甲．
【总结升华】此题考查了方差，用到的知识点是方差和平均数的计算公式，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
举一反三：
【变式】
为了比较甲、乙两种水稻的长势，农技人员从两块试验田中，分别随机抽取5棵植株，将测得的苗高数据绘制成下图：
请你根据统计图所提供的数据，计算平均数和方差，并比较两种水稻的长势．
【答案】
5.85.2
x x
==
乙
甲
∵，，
∴甲种水稻比乙种水稻长得更高一些．
22
2.160.56
S S
==
乙
甲
∵，，
∴乙种水稻比甲种水稻长得更整齐一些．
5.（2015春•安达市期末）甲、乙两台机床同时加工直径为10mm的同种规格零件，为了检查两台机床加工零件的稳定性，质检员从两台机床的产品中各抽取5件进行检测，结果如下（单位：mm）：
甲10 9.8 10 10.2 10
乙9.9 10 10 10.1 10
（1）分别求出这两台机床所加工零件直径的平均数和方差；
（2）根据所学的统计知识，你认为哪一台机床生产零件的稳定性更好一些，说明理由．【思路点拨】（1）根据所给的两组数据，分布求出两组数据的平均数，再利用方差公式求两组数据的方差即可．
（2）根据甲的方差大于乙的方差，即可得出乙机床生产的零件稳定性更好一些．
【答案与解析】
解：（1）∵甲机床所加工零件直径的平均数是：（10+9.8+10+10.2+10）÷5=10，乙机床所加工零件直径的平均数是：（9.9+10+10+10.1+10）÷5=10，
植株编号 1 2 3 4 5
甲种苗高7 5 4 5 8
乙种苗高 6 4 5 6 5
∴甲机床所加工零件直径的方差=[（10﹣10）2+（9.8﹣10）2+（10﹣10）2
+（10.2﹣10）2
+（10﹣10）2
]=0.013，
乙机床所加工零件直径的方差=[（9.9﹣10）2
+（10﹣10）2
+（10﹣10）2
+（10.1﹣10）2
+（10﹣10）2
]=0.004，
（2）∵S 2甲＞S 2
乙，
∴乙机床生产零件的稳定性更好一些．
【总结升华】本题考查了平均数和方差，一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为，则方差S 2
=[（x 1﹣）2
+（x 2﹣）2
+…+（x n ﹣）2
]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大． 举一反三：
【变式】某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下(单位：分)
甲 95 82 88 81 93 79 84 78 乙
83
75
80
80
90
85
92
95
(1)请你计算这两组数据的平均数、中位数；
(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适?请说明理由． 【答案】
解：1
(9582888193798478)858x =
+++++++=甲(分)， 1
(8375808090859295)858
x =+++++++=乙(分)．
甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分． (2)由(1)知85x x ==甲乙分，所以
2
2221[(9585)(8285)(7885)]35.58s =-+-+
+-=甲， 2
2221[(8385)(7585)(9585)]418
s =-+-+
+-=乙．
①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同； ②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；
③从方差来看，因为x x =甲乙，22
s s <乙甲，所以甲的成绩较稳定；
④从数据特点看，获得85分以上（含85分）的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；
⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力． 综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得好成绩．。