题型-河南近几年中考数学第23题(全部整合)

河南近几年中考数学第23题23.（11分）（2016河南）
如图1，直线y=-4
3x+n交x轴于点A，交y轴于点C（0，4）抛物线y=2
3
x2+bx+c经过点A,交y
轴于点B（0,-2）.点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D,连接PB.
（1）求抛物线的解析式.
（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长.
（3）如图2，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD/P/，且∠PBP/=∠OAC，当点P的对应点P/落在坐标轴上时，请直接写出P点的坐标.
解：（1）由y=-4
3x+n过点C（0，4），得n=4，则y=-4
3
x+4
当y=0时，得-4
3
x+4=0，解得：x=3，
∴点A坐标是（3,0）…………………………………………………1分
∵y=2
3x2+bx+c经过点A（3,0）, B（0,-2）图1
备用图
∴
2
2
033b+c
3
2c
⎧
=⨯+
⎪
⎨
⎪-=
⎩
，解得：
4
b
3
c2
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=-
⎩
∴抛物线的解析式是2
3x2-4
3
x-2……………………………………………3分
（2）∵点P的横坐标为m，∴P（m，2
3m2-4
3
m-2），D（m，-2）…………4分
若△BDP为等腰直角三角形时，则PD=BD;
①当点P在直线BD上方时，PD=2
3m2-4
3
m-2+2=2
3
m2-4
3
m，
（ⅰ）若P在y轴左侧，则m＜0，BD=-m；
∴2 3m2-4
3
m=-m，解得：m=1
2
或m=0（舍去）…………………………………5分
（ⅱ）若P在y轴右侧，则m＞0，BD=m；
∴2 3m2-4
3
m=m，解得：m=7
2
或m=0（舍去）…………………………………6分
②当点P在直线BD下方时，PD=-2-(2
3m2-4
3
m-2) =-2
3
m2+4
3
m，则m＞0，BD=m；
∴-2
3m2+4
3
m=m，解得：m=1
2
或m=0（舍去）……………………………7分
综上：m=7
2或m=1
2。

即当△BDP为等腰直角三角形时，PD的长为7
2或1
2。

(3) P
4
3
）或P
4
3
-
）或P
（25
8，11
32
）
【提示】∵∠PBP/=∠OAC,OA=3,OC=4；∴AC=5，∴sin∠
PBP/=4
5，cos∠PBP/=3
5
，
①当点P/落在x轴上时，过点D/作D/N⊥x轴于N，交BD
于点M，
∠DBD/=∠ND/P/=∠PBP/,
如图1，ND/-MD/=2,
图2
即
35×(23m 2-43m)-（-4
5
m ）=2 如图2，ND /-MD /=2， 即
35×(23m 2-43m)-（-4
5
m ）=2 解得：P
4
3
） 或P
）
②当点P /落在y 轴上时，
如图3，过点D /作D /M ⊥x 轴交BD 于点M ， 过点P /作P /N ⊥y 轴，交MD /的延长线于点N ， ∠DBD /=∠ND /P /=∠PBP /, ∵PN=BM,即 45×(23m 2-43m)= 35m ∴P （258，11
32
）
23.（11分）（2015河南）
如图，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A,C 间的一个动点（含端点）过点P 作PF ⊥BC 于点F ，点D,E 的坐标分别是（0，6），（-4，0），连接PD,PE,DE.
(1)直接写出抛物线的解析式.
（2）小明探究点P 的位置发现：当点P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的差为定值.进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值.请你判断该猜想是否正确，并说明理由.
（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE 的面积为整数”的点P 记作“好点”，且存在多个“好点”， 且使△PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点”.请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 的周长最小时“好点”的坐标.
图3
理由：设P （x ，2
- x +88） 则
PF=8-(21- x +88)=21
x 8
…………………………………………………4分
过P 作PM ⊥y 轴于点M ，
则PD 2=PM 2+DM 2=(-x)2+2216--x +88
⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎣⎦
=4211x +x +4642=2
21x +28⎛⎫
⎪⎝⎭
∴PD=
2
1x 8+2, …………………………………………6分 ∴PD-PF=21x 8+2-21
x 8
=2,
∴猜想正确. …………………………………………7分 (3)“好点”共有11个。

……………………………………9分 当点P 运动时，∴PE 与PD ∵PD-PF=2,∴∴当P 、E 、F
此时点P 、E 的横坐标是-4， 将x=-4代入y=2
1-
x +88
，得y=6. ∴P （-4，6），此时△
且△PDE 的面积是12∴△PDE （-4，6）提示：直线ED 设
P （x ，21- x +88），则PN=21- x +88-（32x+6）=2- x x+282
-
△ PDE 的面积S=12×4×（213- x x+282-）=21-x -3x+44=()2
1-x+6+134
，
由-8≤x ≤0，知4≤S ≤13，
所以S 的整数值有10个，由图像可知，当S=12时，对应的“好点”有2个， 所以“好点”共有11个。

23.(11分）（2014河南）
如图，抛物线y=－x 2+bx+c 与x 轴交于A(-1,0),B(5,0）两点，直线y=－
3
4
x+3与y 轴交于点C ，，与x 轴交于点D.点P 是x 轴上方的抛物线上一动点，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，交直线CD 于点E.设点P 的横坐标为m 。

（1）求抛物线的解析式； （2）若PE =5EF,求m 的值；
（3）若点E /是点E 关于直线PC 的对称点、是否存在点P ，使点E /落在y 轴上？若存在，请直接写出相应的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

23.（2014河南）(1)∵抛物线y=－x 2+bx+c 与x 轴交于A (-1,0) , B(5,0)两点，
∴2
2
0=1b+c 0=55b+c
⎧---⎨-+⎩（） ∴b=4c=5⎧⎨⎩ ∴抛物线的解析式为y=-x 2+4x+5．………………………………………………3分 （2）点P 横坐标为m ，则P(m,－m 2＋4m ＋5）,E(m,－
3
4
m+3)，F(m,0), ∵点P 在x 轴上方，要使PE=5EF,点P 应在y 轴右侧，∴ 0＜m ＜5. PE=-m 2＋4m ＋5－(-34m ＋3)= -m 2＋19
4
m ＋2……………………………4分 分两种情况讨论：
①当点E 在点F 上方时，EF=－3
4
m ＋3. ∵PE=5EF ，∴-m 2＋194m ＋2=5(-3
4
m ＋3)
即2m 2－17m ＋26=0，解得m 1=2，m 2=13
2
（舍去）………………………………6分
②当点E 在点F 下方时，EF=3
4
m －3.
∵PE=5EF ，∴-m 2
＋194m ＋2=5(3
4
m －3)，
即m 2－m －17=0，解得m 3，m 4（舍去）， ∴m 的值为2或
12
………………………………………………………………8分 (3),点P 的坐标为P 1(-
12，11
4
),P 2(4，5), P 3-3).……………………11分 【提示】∵E 和E /关于直线PC 对称，∴∠E /CP=∠ECP; 又∵PE ∥y 轴，∴∠EPC=∠E /CP=∠PCE, ∴PE=EC, 又∵CE ＝CE /，∴．四边形PECE /为菱形． 过点E 作EM ⊥y 轴于点M,∴△CME ∽△COD ，∴CE=5
m 4
. ∵PE=CE,∴-m 2＋194m ＋2=54m 或-m 2＋194m ＋2=-5
4
m ， 解得m 1=-
1
2
，m 2=4， m 3，m 4（舍去）
可求得点P 的坐标为P 1(-12，11
4
),P 2(4，5), P 3(3-11，211-3)。

23.（11分）（2013河南）
如图，抛物线y =-x 2+bx +c 与直线22
1
+=
x y 交于C 、
D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为)27 3(，. 点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作P
E ⊥x 轴于点E ，交CD 于点
F . （1）求抛物线的解析式；
（2）若点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，以O 、C 、P 、F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明
理由.
（3）若存在点P ，使∠PCF =45°，请直接写出．．．．
相应的点P 的坐标.
P
E
O
F
C
D
B
A
x
y O
C
D
B
A 备用图
y
x
O
P B
D
C
A x
y
23（11分）（2012河南）
如图，在平面直角坐标系中，直线
1
12
y x =
+与抛物线
23y ax bx =+-交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点
P 是直线AB 下方的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 做x AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ．
（1）求a ，b 及sin ACP ∠的值； （2）设点P 的横坐标为m ，
①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；
②连接PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在合适的m 的值，使这两个三角形的面积之比为9:10？若存在，直接写出m 的
值；若不存在，说明理由．23．（2012
河南）解：（1）由
1
10,2,(2,0)2
x x A +==--得∴． ∵y =ax 2+bx -3经过A 、B 两点，
设直线AB 与y 轴交于点E ，则E （0,1）． ∵PC ∥y 轴，∴∠ACP =∠AEO ．
∴sin ∠ACP =sin ∠AEO
=..................................................45OA AE ． （分）
（2）①由（1）知，抛物线的解析式为211
322
y x x =
--． 1
13,4,(4,3)2
x x B +==由得∴．22(2)230,11,....................................................3224433a b a b a b ⎧-⋅--=⎪
==-⎨⋅+-=⎪⎩∴ ∴． （分）
．
在Rt △PCD 中，sin PD PC ACP =⋅∠
②存在满足条件的m 值．532
29
m =或．………（11分） 【提示】
如图，分别过点D 、B 作DF ⊥PC ，BG ⊥PC ，垂足分别为F 、G ．
在Rt △PDF 中，DF
=
=
又BG =4-m ,
x
2111
(,3),(,1)222
P m m m C m m --+∴．2
2
11111
(3)4...........................................62222PC m m m m m =+---=-++． （分）221(4)2(1)5m m m =-
++⨯=--+0,1.................................................855m PD -=∵∴当时，有最大值 （分）
21(28)
2545295,510221032
,599
PCD PBC
PCD PBC PCD PBC m m S DF m S BG m S m m S S m m S ∆∆∆∆∆∆---+===-+===+===∴
．当时解得；当
时解得．
23.（11分）（2011河南）如图，在平面直角坐标系中，直线3342y x =
-与抛物线214
y x bx c =-++交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标为－8.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P 是直线AB 上方．．
的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为C ，交直线AB 于点D ，作PE ⊥AB 于点E .
①设△PDE 的周长为l ，点P 的横坐标为x ，求l 关于x 的函数关系式，并求
出l 的最大值；
②连接PA ，以PA 为边作图示一侧的正方形APFG .随着点P 的运动，正方
形的大小、位置也随之改变.当顶点F 或G 恰好落在y 轴上时，直接写出对
应的点P 的坐标.
23.（2011河南）（1）对于3342y x =
-，当y =0，x =2.当x =-8时，y =-152
. ∴A 点坐标为（2，0），B 点坐标为15(8,).2
--………………………1分 由抛物线214y x bx c =-++经过A 、B 两点，得 012,15168.2
b c b c =-++⎧⎪⎨-=--+⎪⎩
解得235135..4
2442
b c y x x =-=
∴=--+，…………………………………………3分 （2）①设直线3342
y x =-与y 轴交于点M 当x =0时，y =32-. ∴OM =32
.
∵点A 的坐标为（2，0），∴OA =2.∴AM 5.2=……………………4分 ∵OM ：OA ：AM =3∶4：5.
由题意得，∠PDE =∠OMA ，∠AOM =∠PED =90°，∴△AOM ～△PED .
∴DE ：PE ：PD =3∶4：5.…………………………………………………………………5分
∵点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点，
∴PD =y P -y D 213533()()44242
x x x =--+-- =213444
x x --+.………………………………………………………………………6分 ∴21213(4)542
l x x =--+ 231848.555
x x =--+…………………………………………………………………7分 23(3)15.315.5
l x x l ∴=-++∴=-=最大时，……………………………………8分
②满足题意的点P 有三个，分别是1233(
2),(2),22P P --
3P ……………………………………………………………11分 【解法提示】
当点G 落在y 轴上时，由△ACP ≌△GOA 得PC =AO =2，即21352442
x x --+=，解得x =
以1233(2),(,2).22
P P -+--
当点F 落在y 轴上时，同法可得3P ，4P （舍去）. 23．（11分）（2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A )0,4(-，B )4,0(-，C )0,2(三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．
（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线x y -=上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．
M C B
A O x
y。