二次型定理

二次型定理

二次型定理是线性代数中的重要定理之一，它将二次型与矩阵的特征值联系起来，通过特征值的求解，可以确定二次型的性质。本文将详细介绍二次型定理的概念、证明过程及其应用。

一、二次型的定义

在线性代数中，二次型是指由多个变量的平方和线性组合而成的函数。设有n

个实数变量x_1,x_2,...,x_n，记作x=(x_1,x_2,...,x_n)^T。二次型可以表示为：

f(x) = x^TAx

其中，A是一个n\times n的实对称矩阵。

二、二次型的矩阵表示

设A是一个n\times n的实对称矩阵，x=(x_1,x_2,...,x_n)^T，则f(x)=x^TAx

可以写成矩阵形式：

f(x)=\begin{pmatrix}

x_1 & x_2 & \cdots & x_n

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\

a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

x_1 \\

x_2 \\

\vdots \\

x_n

\end{pmatrix}

整理得：

f(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j

将此式称为二次型的矩阵表示。

三、二次型定理

二次型定理表明，任何一个二次型都可以通过正交变换转化为标准型。具体来说，对于一个n\times n的实对称矩阵A，必存在一个正交矩阵P，使得：

P^TAP = D

其中，D是一个对角矩阵，其对角线上的元素称为二次型的主元或特征值。进一步推广，在主元前面引入主元系数q_i，则有：

P^TAP = q_1\lambda_1 + q_2\lambda_2 + ... + q_n\lambda_n

其中，\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n是A的特征值，q_1, q_2, ..., q_n 是相应的特征向量。

四、二次型定理的证明

在证明二次型定理之前，我们需要先了解几个重要的概念和结论。

1. 实对称矩阵的特征值是实数。设A是一个n\times n的实对称矩阵，\lambda 是A的特征值，x是对应于\lambda的特征向量。由特征值和特征向量的定义得到以下等式：

Ax = \lambda x

对上式两边取共轭得到：

\bar{A}\bar{x} = \bar{\lambda}\bar{x}

由于A是实对称矩阵，所以\bar{A}=A，\bar{x}=x，所以上述等式可以简化为：

Ax = \lambda x

两边同时左乘\bar{x}^T，得到：

x^TAx = \lambda x^Tx

由于A是实对称矩阵，所以x^TAx = (Ax)^Tx = (\lambda x)^Tx = \lambda (x^Tx)，所以\lambda = \lambda^*，即特征值是实数。

2. 实对称矩阵的特征值对应的特征向量是正交的。设A是一个n\times n的实对称矩阵，\lambda_1和\lambda_2是A的两个不同特征值，x_1和x_2分别是对应于\lambda_1和\lambda_2的特征向量。由特征值和特征向量的定义得到以下等式：

Ax_1 = \lambda_1 x_1

Ax_2 = \lambda_2 x_2

两边同时左乘x_2^T，得到：

x_2^TAx_1 = \lambda_1 x_2^Tx_1

两边同时左乘x_1^T，得到：

x_1^TAx_2 = \lambda_2 x_1^Tx_2

由于A是实对称矩阵，所以x_2^TAx_1 = (Ax_1)^Tx_2 = (\lambda_1

x_1)^Tx_2 = \lambda_1 (x_1^Tx_2)，同样地，x_1^TAx_2 = \lambda_2 (x_1^Tx_2)。结合两个等式可得：

(\lambda_1 - \lambda_2) x_1^Tx_2 = 0

由于\lambda_1 \neq \lambda_2，所以x_1^Tx_2 = 0，即特征向量是正交的。

有了上述准备工作，我们可以开始证明二次型定理。

设A是一个n\times n的实对称矩阵，\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n 是A的特征值，x_1, x_2, ..., x_n是相应的特征向量。我们要证明P的存在性和形式。

由于特征向量是相互正交的，我们可以将它们单位化，得到一个正交矩阵Q，其

中第i列是x_i。设P=Q^{-1}，即P=Q^T。对于矩阵D（对角矩阵），我们有：

D = Q^{-1}AQ

将P代入上式可得：

D = P^TAP

即证明了二次型定理。从这个定理可以看出，特征值\lambda_i是二次型的主元，而P=(q_1, q_2, ..., q_n)的列向量是特征值\lambda_i对应的特征向量。

五、二次型的应用

二次型的矩阵表示形式非常便于计算和分析，使得我们可以研究二次型的性质和应用于实际问题中。

1. 正定二次型和半正定二次型：对于一个实对称矩阵A，如果对于任意非零向量x，都有x^TAx > 0，则称A是正定的；如果对于任意非零向量x，都有x^TAx \geq 0，则称A是半正定的。正定和半正定二次型在优化问题和概率统计中有重要应用。

2. 二次型配方法：二次型配方法是指通过适当的变量代换，将一个二次型化为标准型的方法。根据二次型定理，我们可以通过特征值分解将二次型转化为标准