数学竞赛专题讲座七年级第讲跨越—从算术到代数含答案

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初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑴

初一数学竞赛讲座第1讲数论的方法技巧（上）数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。

数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。

因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。

”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。

主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r （0≤r＜b），且q，r是唯一的。

特别地，如果r=0，那么a=bq。

这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a 的约数，a是b的倍数。

2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。

3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的。

（1）式称为n的质因数分解或标准分解。

4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）。

5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。

因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。

下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。

一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。

这些常用的形式有：1．十进制表示形式：n=a n10n+a n-110n-1+…+a0；2．带余形式：a=bq+r；4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t，其中t为奇数。

例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。

数学竞赛专题讲座七年级第讲计算工具与算法的变迁含答案

第五讲计算——工具与算法的变迁研究数学、学习数学总离不开计算，随着时代的变迁，计算工具在不断地改变，从中国古老的算盘、纸笔运算发展到利用计算器、计算机运算．初中代数中运算贯穿于始终，运算能力是运算技能与逻辑能力的结合，它体现在对算理算律的理解与使用，综合运算的能力及选择简捷合理的运算路径上，这要求我们要善于观察问题的结构特点，灵活选用算法和技巧，有理数的计算常用的方法与技巧有：1 ．巧用运算律；2 ．用字母代数；3 ．分解相约；4 ．裂项相消；5 ．利用公式；6．加强估算等． “当今科学活动可以分成理论、实验和计算三大类，科学计算已经与理论研究、科学实验一起，成为第三种科学方法．—— 威尔逊注：威尔逊，著名计算物理学家， 20世纪 80年代诺贝尔奖获得者．【例 1】现有四个有理数 3，4， 6 ，l0 ，将这 4 个数(每个数用且只用一次 )进行加、减、乘、除四则运算，使其结果等于 24，其三种本质不同的运算式有：(1)； (2) ；(3) ．( 浙江省杭州市中考题 ) 思路点拨从 24 最简单的不同表达式人手，逆推，拼凑．链接：今天，计算机泛应用于社会生活各个方面，计算机技术在数学上的应用，不但使许多繁难计算变得简单程序化，而且还日益改变着我们的观念与思维．著名的计算机专家沃斯说过： “程序 =算法十数据结构” ．有理数的计算与算术的计算有很大的不同，主要体现在：(1) 有理数的计算每一步要确定符号； (2)有理数计算常常是符号演算；(3) 运算的观念得以改变，如两个有理数相加，其和不一定大于任一加数；两个有理数相减，其差不一定小于被减数．程序框图是一种用规定、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形，能清晰地展现算法的逻辑结构，常见的逻辑结构有：顺序结构、条件结构和循环结构．【例 2】如果 4 个不同的正整数 m 、 n 、 p 、q 满足 (7 m)(7 n)(7 p)(7 q) 4 ，那么， m n p q 等于 ( ) ．A ．10B ． 2l C．24 D ．26 E ． 28 (新加坡数学竞赛题 )思路点拨解题的关键是把 4 表示成 4 个不同整数的形式．【例 3】计算：(1) 1111(“祖冲之杯” 邀请赛试题 )1 22123221 2 2 3 210022(2)1949 2— 1950 +1951 — 1952 +1997 — 19982+19992( 北京市竞赛题 )(3)5+5 2+53+⋯十 52002．思路点拨对于 (1) ，首先计算每个分母值，则易掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形人手；(2) 式使人易联想到平方差公式，对于(3) ，由于相邻的后一项与前一项的比都是5，可从用字母表示和式着手．运用某些公式，能使计算获得巧解，常用的公式有：（1） a 2 b 2 （a b ）（a b ）；（2）1 2 3 n n （n 1）．2错位相减、倒序相加也是计算中常用的技巧．【例 4】（1）若按奇偶分类，则 22004+32004+72004+92004是数；（2）设a 355，b 444，c 533 ，则a 、b 、c 的大小关系是（用“>”号连接）；（3）求证： 32002+42002是 5的倍数．思路点拨乘方运算是一种特殊的乘法运算，解与乘方运算相关问题常用到以下知识： ①乘方意义；②乘方法则；③ a 2n 0 ；④ a n 与a 的奇偶性相同；⑤在 n 4k r 中（ k ，r 为非负整思路点拨地运用同一种运算以获得高次，在进行适当的变换可以求解．链接：裂项常用到以下关系式：1；；b1 1；；a a 11 1．a a b1） 2）3）ab ab a(a 1)a(a b)数， n 0 ， 0≤ r <4) ，当 r =0 时， n 4k r 的个位数字与 n 4的个位数字相同；当 r 0时， ?4kn r 的个位数字与 n r 的个位数字相同．【例 5】有人编了一个程序：从 1 开始，是乘法），每次加法，将上次运算结果加例如， 30 可以这样得到：交替地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以 2 或加 3 ；每次乘法，将上次运算结果乘 2 或乘 3 ，1）证明：可以得到 22；2）证明；可以得到 2100297 2．1）试值可以得到 22，从计算中观察得数的规律性，为（ 2）做准备；（ 2）连续 1）已知 a 、 b 互为倒数， c 、 d互为相反数， e 0 且 e 1，那么2003( ab) 20032004 (c d )2004e2005的值为第 19 届江苏省竞赛题）2）已知S 12 14 348 16( 1)k 1 2k k数是 ____ ．思路点拨对于（ 1）从倒数、相反数的概念入手；范围．20062006 ，则小于 S 的最大整（第 11 届“华杯赛“试题） 2）通过对数式的分组，估算 S 的值的2005 22005例 7】按下面的程序计算，若开始输入的值 x 为正数，最后输出的结果为 656，则满足条 5. 根据图所示的程序计算 A.7B.9C.3, 若输入的 x 值为 3, 则输出的结果为 ( ).219 D. (2002 年北京市海淀区中考题22件的 x 的不同值最多有( )．思路点拨看懂程序图，循环运算是解本题的关键．【例 8】如图所示是一 3 3的幻方，当空格填上适当的数后，每行、每列及对角线上的和都是相等的，求 k 的值． (两岸四地少年数学邀请赛试题) 思路点拨为充分利用条件，需增设字母，运用关系式求出 k 的值．基础训练一、基础夯实1. _______________________________________________________ (1) 计算 :211 ×(-455)+365×455-211 ×545+545×365= ____________________________________ ;(2) 若 a= - 2004 ,b=- 2003 ,c=- 2002,则a 、b 、c 的大小关系是 _____________________ ( 用“〈”号2003 2002 2001连接〉 .4 35 1 2. _____________________________________________________ 计算 :(1)0.7 ×1 +2 × (-15)+0.7 × + × (-15)= ______________________________________ ;9 49 4( 第 15 届江苏省竞赛题 )191919 7676(2) 191919 - 7676 = ________________ . ( 第 12 届“希望杯”邀请赛试题 )767676 19191 1 1(3) ++⋯ +1= ____________ ; ( 天津市竞赛题 )3 5 5 7 1997 1999(4) (13.672 __________________________________________ × 125+136.72 ×12.25-1367.2 ×1.875) ÷17.09= ______________________________________ .( 第 14 届“五羊杯”竞赛题 )3. 在下式的每个方框内各填入一个四则运算符号 (不再添加括号 ),? 使得等式成立 :6 □3□2□ 12=24. ( 第 17 届江苏省竞赛题 )1 1 1 4.1999 加上它的得到一个数 , 再加上所得的数的又得到一个数 , 再加上这次得数的2341又得到一个数 , ⋯⋯ , 依此类推 , 一直加到上一次得数的 , 那么最后得到的数是 1999A ． 2 个 C ．4 个 D ．5 个义乌市中考题)观察下面一列数 :1,2,4,8, ⋯,我们发现 ,这一列数从第 2项起,?每一项与它前一项的比都等于 2.一般地 , 如果一列数从第二项起 , 每一项与它前一项的比都等于同一个常数 ,? 这一列数就叫做等比数列 , 这个常数叫做等比数列的公比 .(1) (2)所以 a 2=a 1q,a 3=a 2q=(a 1q)q=a 1q 2,a 4=a 3q=a 1q 3, ⋯,a n = _____ ( 用 a 1 与 q 的代数式表示 ). (3) 一个等比数列的第 2 项是 10, 第 3 项是 20, 求它的第 1 项与第 4 项 .(2003 年广西省中考题 )10.(1) 已知 a 、b 、c 都不等于零 , 且 a + b + c + abc 的最大值是 m,最小值为 |a| |b| |c| |abc |的值 .(2) 求证 :53 53-33 33 是 10 的倍数 .6. 已知 a=- 1998 abc=( A.-1 ). B.3C.-37. 如果有理数 a 、b 、 1998 19982000 20002001 2001 , 则2000第 11 届“希望杯”邀请赛试题c 满足关系 a<b<0<c, 那么代数式 bc 2 a 3c 的值 ( ).ab 2c 3可正可负 D. 可能为 0( ).910、414、810414、910、 810 ( 美国犹他州竞赛题 D.1 (A. 必为正数B. 必为负数C.8.将 322、414、910、810由大到小的排序是 A.3 22、 910、 810、 414 B.3 22、 C.9 10、 810、 414、 322D.322、9. 阅读下列一段话 ,并解决后面的问题 :等比数列 5,-15,45, ⋯的第 4 项是 ________ ;如果一列数 a 1,a 2,a 3,a 4,⋯是等比数列 ,且公比为 q,那么根据上述的规定 , 有a2=q, a3=q,a 1 a2a4 =q, ⋯ ,a3n, 求mn,b=-,c=- 1999 1999 19991999 1999、能力拓展2 20032 4004 2003 2002 4008 2003 200411. 计算 :(1) 220032 3005 2003 2003 2005 2005 3005( 第 15 届“希望杯”邀请赛试题 )(2)2-2 2-2 3-2 4-2 5-26-27-2 8 -2 9+210= _________ ;(3)1 2 3 3 6 9 5 10 15 7 14 211 3 5 3 9 15 5 15 25 7 21 3512. ____________________________________________ (1)3 2001× 72002× 132003所得积的末位数字是 ____________________________________________ ;( 第 17 届江苏省竞赛题 ) 13. _________________________________________________________________ 若 a 、 b 、 c 、 d 是互不相等的整数 (a<b<c<d), 且 abcd=121,则 a c +b d = __________________ . 14. 你能比较 20012002 与 20022001的大小吗 ?为了解决这个问题 ,我们先写出它的一般形式 ,即比较 n n+1与(n+1) n 的大小(n 是自然数), 然后 ,我们从分析 n=1,n=2,n=3, ⋯⋯中发现规律 , 经归纳、猜想得出结论 .(1)通过计算 , 比较下列各组中两数的大小 ( 在空格中填写“ ) ”、“＝”、 ?“〈”号〉 .①12 ___ 21;② 23 ____ 32; ③34 _____ 43; ④45 ____ 54; ⑤56 ____ 65; ⋯⋯(2)从第(1)题的结果经过归纳 ,可以猜想出 n n+1和(n+1) n 的大小关系是 ________ .(3) 根据上面归纳猜想得到的一般结论 , 试比较下列两个数的大小 20012002___20022001.( 江苏省常州市中考题 )15. 如果 t1 + t2 + t3 =1,则 |t1t2t3|的值为 ( ). |t 1 | |t 2 | |t 3 | t 1t 2t 3A.-1B.1C. ± 1D. 不确定 (2003 河北省竞赛题 )a16. 如果 ac<0, 那么下面的不等式 <0,a c 2<0,a 2c<0,c 3a<0,ca 3<0 中必定成立的有 ( ? ).cA.1 个B.2 个C.3 个D.4 个A.24999B.1-24999C.249-1 99249D. +199(第 14 届“五羊杯”竞赛题 )18.10 个互不相等的有理数 , 每 9 个的和都是“分母为 22 的既约真分数 ( 分子与分母无公约数的真分数 )”，则这 10 个有理数的和为 ( ).A. 1B. 11C. 7D. 5 ( 第 11 届江苏省竞赛题 )2 18 6 91119.图中显示的填数“魔方”只填了一部分 ,将下列 9 个数:, ,1,2,4,8,?16,?32,64 填42入方格中 ,使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等 ,求 x 的值.上海市竞赛题 )(4)98+998+9998+17.设 S= 2+ 2+ 2+⋯1335 572491,T=97 99322 + 7+⋯ 24899 ,则 S-T=( )..(2003 年“信利杯”竞赛题 )32x64 20. 设三个互不相等的有理数,既可分别表示为1,a+b,a 的形式,又可分别表示为0, a ,b 的b 形式, 求a2002+b2001的值.三、综合创新21. (1) 三个2, 不用运算符号, 写出尽可能大的数;(2) 三个4, 不用运算符号, 写出尽可能大的数.(3) 用相同的3个数字(1 ～9), 不用运算符号, 写出最大的数22. 如图,是一个计算装置示意图,J 1、J2是数据输入口,C 是计算输出口,计算过程是由J1、J2分别输入自然数m和n,经计算后得自然数K由C输出,此种计算装置完成的计算满足以下三个性质:(1) 若J1 、J=2 分别输入1，则输出结果为1;(2) 若J=1 输入任何固定的自然数不变,J 2输入自然数增大1, 则输出结果比原来增大2;(3) 若J2输入1,J 1输入自然数增大1,则输出结果为原来的 2 倍. 试问:(1) 若J1输入1,J 2输入自然数n,输出结果为多少?(2) 若J2 输入1,J 1 输入自然数m, 输出结果为多少?(3) 若J1输入自然数m,J2输入自然数n, 输出的结果为多少?(2002 年扬州中学招生试题)mnj 1 j 2答案：3 998;1.(1)154000,(2)a>b>c.2.(1)-43.6;(2)-3;(3)45997(4)?48,? 注意 13672=?8?× 1709.13.略4.1999000提示: 原式=1999× (1+ 1)(1+ ) 1 ×⋯× (1+ )2 31999 5.C 6.A 7.B 8.A 9.(1)-135;(2)an =a 1qn-1;(3)a 1=5,a 4=40.x10.(1)-16 提示 : =± 1,m=4,n=-4;(2)53 53 与 3333 的个位数字相同|x|2提示 :2 n+1-2 n =2n ;(3) ; (4)513. -1214. (1) 略;(2) 当 n<3时,n n+1<(n+1) n ;当 n ≥ 3时,n n+1>(n+1) n ;(3)>.1 1 1 115. A 16.C 17.B 提示 : ( ) 18.A n(n 2) 2 n n 21119. 这 9 个数的积为 × ×1×2× 4× 8×16× 32×64=643,42所以, 每行、每列、每条对角线上三个数字积为 64,11得 ac=1,ef=1,ax=2,a,c,e,f 分别为 , , 2,4 中的某个数 , 推得 x=8.4232 a x bcde 64 f20.2 提示: 这两个三数组在适当的顺序下对应相等 , 于是可以断定 ,a+b 与 a?中有一个为 0, b与 b 中有一个为 1, 再讨论得 a=-1,b=1.a21.(1)2 22;(2)4 44=4256>444;(3) 设所用数字为 a, 可得下面 4 种写法 :①当a=1时,111 最大; ②当a=2时,2 22最大; ③当 a=3时,333最大;④当a ≥4时,a 最大.22. 由题意设输出数 ,设 C(m,n) 为 k, 则 C(1,1)=1,C(m,n)=c(m,n-1)+2,C(m,?1)?=2C(m-1,1).(1)C(1,n)=C(1,n-1)+2=C(1,n-2)+2 × 2=⋯ = C(1,1)+2(n-1)=1+2(n-1)=2n-1 (2)C(m,1)=2C(m-1,1)=2 2· C(m-2,1)= ⋯ =2m-1C(1,1)=2 m-1.(3) C(m,n)=C(m,n-1)+2=C(m,n-2)+2 ×2=⋯ =C(m-1)+2(n-1)=22C(m-2,1)+2(n-1)= ⋯ =2m-1C(1,1)+2n-2=2 m-1+2n-2.11.(1) 667 ;(2)666812.(1)9;(2)115200提高训练1．若m m 1，则（4m 1）2004 = _______ ．2．符号“ f ”表示一种运算，他对一些数的运算结果是：“希望杯”邀请赛试题）1) f(1) 0，f(2) 1，f(3) 2，f(4) 3，1111(2)f(21) 2，f(13) 3，f(41) 4，f(51)1利用以上规律计算：f( ) f (2008) __________2008 5，⋯．（贵阳市中考题）3．12341415（）．等于24682830A ．111D ．1 B． C ．442220042003的值为（4．( 2)3(2)2003）．A．22003 B ．22003C ．22004 D．220045．自然数a、b、c、 d 满足1122 ab1122 cdA ．13C．715B ． D ．81632646．a、b、c、d 是互不相等的正整数，且abcdA ．30B ．32C ．34D ．36(“希望杯”邀请赛试题）(江苏省竞赛题）111，则34ab15 c16 等于（）．d（北京市竞赛题）441，那么a b c d 的值是（）希望杯”邀请赛试题）0．求ab 的值．（北京市迎春杯竞赛题）7．已知(a b)2b 5 b 5 ，且2a b 18．已知a、b、c都不等于0，且a a的最大值为m ，最小值为n ，则abc2005(m n) 重庆市竞赛题）9．从下面每组数中各取一个数，将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是第一5，3， 4.25 ，5.75 ；3第二组：21，1；315第三组：2.25，5，4．1210．计算：332461006 2 4 6100832 4 6 1004“华杯赛”试题）32 4 6 2006的值是（）．重庆市竞赛题）x这四个数中的三个数相等，则 y x 的（天津市竞赛题））．40 D ． abcd 4e 0 （江苏省竞赛题）1n）． n（华杯赛试题）A ． 3B ．3 C ．1D ． 1 1003 1004334100011．已知有理数 x 、第 18 届五羊杯竞赛题）y 、 z 两两不相等，则 x y yyz zxz x中负数的个数是（）． xy12．若有理数x 、 y 使得 x y 、 x y 、 xy 、值是（）．113A ．B ． 0C ．D ．22213．已知ab 2c 3d4e 50 ，下列判断正确的是（A ． a bcde 0B 24．ab cd e 0 C ． ab2cde14．已知 m ， n都是正整数，并且 A(11 B (1 )(1 12)(1 11 )(1 ) (11n )(1 2 2 33 nm1 n1证：（ 1） AB ；2m ，2n（ 2）若 A B 1,求m 和 n 的值26A ． 1 个B ． 2 个． 3 个D ．4 个C。

七年级奥数竞赛讲座含答案

初一奥数数学竞赛第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1计算：分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．例2计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789) =211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789) =1 000 000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．解S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例5计算3001×2999的值．解3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．例6计算103×97×10 009的值．解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．例7计算：分析与解直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690．例8计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……=(232-1)(232+1)=264-1．例9计算：分析在前面的例题中，应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2．这个公式也可以反着使用，即a2-b2=(a+b)(a-b)．本题就是一个例子通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．例10计算：我们用一个字母表示它以简化计算．3．观察算式找规律例11某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为90+(-1)÷20=89.95．例12 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1．②①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．从而有S=500 000．说明一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．例13计算1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．解设S=1+5+52+…+599+5100，①所以5S=5+52+53+…+5100+5101．②②—①得4S=5101-1，说明如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．例14 计算：分析一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．解由于所以说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．练习一1．计算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；(6)1+4+7+ (244)2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．第二讲:绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．解(1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．(3)对．(4)不对．当a≥0时成立．(5)不对．当b＞0时成立．(6)不对．当a＋b＞0时成立．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a ＜0，a＋c＜0，c-b＜0．再根据绝对值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0) =｜3+｜3+x｜｜=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)=｜-x｜=-x．解因为abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．(1)当y=2时，x+y=-1；(2)当y=-2时，x+y=-5．所以x+y的值为-1或-5．例6若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．解a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1，①或｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，所以｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．解依相反数的意义有｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得2y=2002，y=1001，所以例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们为三个部分(如图1－2所示)，即这样我们就可以分类讨论化简了．原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．即说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．例9已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．解有三个分界点：-3，1，-1．(1)当x≤-3时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．(2)当-3≤x≤-1时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．(3)当-1≤x≤1时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．(4)当x≥1时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．例10设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．解设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示：所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)．例11若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．分析与解要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．故x应满足的条件是此时原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7．练习二1．x是什么实数时，下列等式成立：(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．2．化简下列各式：(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x来说，T的最小值是多少？6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜那么B点应为( )．(1)在A，C点的右边；(2)在A，C点的左边；(3)在A，C点之间；(4)以上三种情况都有可能第三讲求代数式的值用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值．下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧．例1求下列代数式的值：分析上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错．我们可以利用已经学过的有关概念、法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性．=0-4a3b2-a2b-5=-4×13×(- 2)2- 12×(-2)-5=-16+2-5=-19．(2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2?[3x2y-(xyz-5x2z)]=3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z)=(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z) =2xyz-2x2z =2×(-1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3)=12+6=18．说明本例中(1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2)是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值．去、添括号时，一定要注意各项符号的变化．例2已知a-b=-1，求a3+3ab-b3的值．分析由已知条件a-b=-1，我们无法求出a，b的确定值，因此本题不能像例1那样，代入a，b的值求代数式的值．下面给出本题的五种解法．解法1由a-b=-1得a=b-1，代入所求代数式化简a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3=b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3=-1．说明这是用代入消元法消去a化简求值的．解法2因为a-b=-1，所以原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab=-1×(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2=-(-1)2=-1．说明这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的．解法3 因为a-b=-1，所以原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3 =a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3 =(-1)3=-1．说明这种解法巧妙地利用了-1=a-b，并将3ab化为-3ab(-1)=-3ab(a-b)，从而凑成了(a-b)3．解法4 因为a-b=-1，所以(a-b)3=(-1)3=1，即a3+3ab2-3a2b-b3=-1，a3-b3-3ab(a-b)=-1，所以a3-b3-3ab(-1)=-1，即a3-b3+3ab=-1．说明这种解法是由a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值．解法5a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab=(a-b)3+3ab(a-b)+3ab=(-1)3+3ab(-1)+3ab=-1．说明这种解法是添项，凑出(a-b)3，然后化简求值．通过这个例题可以看出，求代数式的值的方法是很灵活的，需要认真思考，才能找到简便的算法．在本例的各种解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结如下：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3；a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．解由已知，xy=2(x+y)，代入所求代数式中，消去xy，然后化简．所以解因为a=3b，所以c=5a=5×(3b)=15b．将a，c代入所求代数式，化简得解因为(x-5)2，｜m｜都是非负数，所以由(1)有由(2)得y+1=3，所以y=2．下面先化简所求代数式，然后再代入求值．=x2y+5m2x+10xy2=52×2+0+10×5×22=250例6如果4a-3b=7，并且3a+2b=19，求14a-2b的值．分析此题可以用方程组求出a，b的值，再分别代入14a-2b求值．下面介一种不必求出a，b的值的解法．解14a-2b=2(7a-b) =2[(4a+3a)+(-3b+2b)]=2[(4a-3b)+(3a+2b)]=2(7+19)=52．｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜+｜x-4｜+｜x-5｜的值．分析所求代数式中六个绝对值的分界点，分别为：0，1，2，据绝对值的意义去掉绝对值的符号，将有3个x和3个-x，这样将抵消掉x，使求值变得容易．原式=x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5) =-1-2+3+4+5=9．说明实际上，本题只要x的值在2与3之间，那么这个代数式的值就是9，即它与x具体的取值无关．例8若x:y:z=3:4:7，且2x-y+z=18，那么x+2y-z的值是多少？分析x:y:z=3:4:7可以写成的形式，对于等比，我们通常可以设它们的比值为常数k，这样可以给问题的解决带来便利．x=3k，y=4k，z=7k．因为2x-y+z=18，所以2×3k-4k+7k=18，所以k=2，所以x=6，y=8，z=14，所以x+2y-z=6+16-14=8．例9已知x=y=11，求(xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)的值．分析本题是可直接代入求值的．下面采用换元法，先将式子改写得较简洁，然后再求值．解设x+y=m，xy=n．原式=(n-1)2+(m-2)(m-2n)=(n-1)2+m2-2m-2mn+4n=n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2=(n+1)2-2m(n+1)+m2 =(n+1-m)2=(11×11+1-22)2=(121+1-22)2=1002=10000．说明换元法是处理较复杂的代数式的常用手法，通过换元，可以使代数式的特征更加突出，从而简化了题目的表述形式．练习三1．求下列代数式的值：(1)a4+3ab-6a2b2-3ab2+4ab+6a2b-7a2b2-2a4，其中a=-2，b=1；的值．3．已知a=3.5，b=-0.8，求代数式｜6-5b｜-｜3a-2b｜-｜8b-1｜的值．4．已知(a+1)2-(3a2+4ab+4b2+2)=0，求a，b的值．5．已知第四讲一元一次方程方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧．用等号连结两个代数式的式子叫等式．如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的．如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立的未知数的值叫作方程的解．方程的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定：(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解；(3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解．例1解方程解法1从里到外逐级去括号．去小括号得去中括号得去大括号得解法2按照分配律由外及里去括号．去大括号得化简为去中括号得去小括号得例2已知下面两个方程3(x+2)=5x，①4x-3(a-x)=6x-7(a-x) ②有相同的解，试求a的值．分析本题解题思路是从方程①中求出x的值，代入方程②，求出a的值．解由方程①可求得3x-5x=-6，所以x=3．由已知，x=3也是方程②的解，根据方程解的定义，把x=3代入方程②时，应有4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3)，7(a-3)-3(a-3)=18-12，例3已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2，求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解．解由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5．由题设知a+2=5，所以a=3．于是有2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3，-2x=-21，例4解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0．分析这个方程中未知数是x，m，n是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n取不同值时，方程解的情况．解把原方程化为m2x+mnx-mn-n2=0，整理得m(m+n)x=n(m+n)．当m+n≠0，且m=0时，方程无解；当m+n=0时，方程的解为一切实数．说明含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围．解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论．例5解方程(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2．分析本题将方程中的括号去掉后产生x2项，但整理化简后，可以消去x2，也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程．解将原方程整理化简得(a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2，即(a2-b2)x=(a-b)2．(1)当a2-b2≠0时，即a≠±b时，方程有唯一解(2)当a2-b2=0时，即a=b或a=-b时，若a-b≠0，即a≠b，即a=-b时，方程无解；若a-b=0，即a=b，方程有无数多个解．例6已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m的值．解因为(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，所以m2-1=0，即m=±1．(1)当m=1时，方程变为-2x+8=0，因此x=4，代数式的值为199(1+4)(4-2×1)+1=1991；(2)当m=-1时，原方程无解．所以所求代数式的值为1991．例7 已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值．解将原方程变形为2ax-a=3x-2，即(2a-3)x=a-2．由已知该方程无解，所以例8 k为何正数时，方程k2x-k2=2kx-5k的解是正数？来确定：(1)若b=0时，方程的解是零；反之，若方程ax=b的解是零，则b=0成立．(2)若ab＞0时，则方程的解是正数；反之，若方程ax=b的解是正数，则ab＞0成立．(3)若ab＜0时，则方程的解是负数；反之，若方程ax=b的解是负数，则ab＜0成立．解按未知数x整理方程得(k2-2k)x=k2-5k．要使方程的解为正数，需要(k2-2k)(k2-5k)＞0．看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)．因为k2≥0，所以只要k＞5或k＜2时上式大于零，所以当k＜2或k ＞5时，原方程的解是正数，所以k＞5或0＜k＜2即为所求．例9若abc=1，解方程解因为abc=1，所以原方程可变形为化简整理为化简整理为说明像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化．例10若a，b，c是正数，解方程解法1原方程两边乘以abc，得到方程ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc．移项、合并同类项得ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)]+ac[x-(a+b+c)]=0，因此有[x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0．因为a＞0，b＞0，c＞0，所以ab+bc+ac≠0，所以x-(a+b+c)=0，即x=a+b+c为原方程的解．解法2将原方程右边的3移到左边变为-3，再拆为三个“-1”，并注意到其余两项做类似处理．设m=a+b+c，则原方程变形为所以即x-(a+b+c)=0．所以x=a+b+c为原方程的解．说明注意观察，巧妙变形，是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一．例11设n为自然数，[x]表示不超过x的最大整数，解方程：分析要解此方程，必须先去掉[ ]，由于n是自然数，所以n与(n+1)…，n[x]都是整数，所以x必是整数．解根据分析，x必为整数，即x=[x]，所以原方程化为合并同类项得故有所以x=n(n+1)为原方程的解．例12已知关于x的方程且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值．解由原方程可解得a最小，所以x应取x=160．所以所以满足题设的自然数a的最小值为2．练习四1．解下列方程：*2．解下列关于x的方程：(1)a2(x-2)-3a=x+1；4．当k取何值时，关于x的方程3(x+1)=5-kx，分别有：(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解第五讲方程组的解法二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加减消元两种，下面结合例题予以介绍．例1解方程组解将原方程组改写为由方程②得x=6+4y，代入①化简得11y-4z=-19．④由③得2y+3z=4．⑤④×3+⑤×4得33y+8y=-57+16，所以y=-1．将y=-1代入⑤，得z=2．将y=-1代入②，得x=2．所以为原方程组的解．说明本题解法中，由①，②消x时，采用了代入消元法；解④，⑤组成的方程组时，若用代入法消元，无论消y，还是消z，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中z的系数是一正一负，且系数的绝对值较小，采用加减消元法较简单．解方程组消元时，是使用代入消元，还是使用加减消元，要根据方程的具体特点而定，灵活地采用各种方法与技巧，使解法简捷明快．例2解方程组解法1由①，④消x得由⑥，⑦消元，得解之得将y=2代入①得x=1．将z=3代入③得u=4．所以解法2由原方程组得所以x=5-2y=5-2(8-2z)=-11+4z=-11+4(11-2u)=33-8u=33-8(6-2x)=-15+16x，即x=-15+16x，解之得x=1．将x=1代入⑧得u=4．将u=4代入⑦得z=3．将z=3代入⑥得y=2．所以为原方程组的解．解法3①+②+③+④得x+y+z+u=10，⑤由⑤-(①+③)得y+u=6，⑥由①×2-④得4y-u=4，⑦⑥+⑦得y=2．以下略．说明解法2很好地利用了本题方程组的特点，解法简捷、流畅例3解方程组分析与解注意到各方程中同一未知数系数的关系，可以先得到下面四个二元方程：①+②得x+u=3，⑥②+③得y+v=5，⑦③+④得z+x=7，⑧④+⑤得u+y=9．⑨又①+②+③+④+⑤得x+y+z+u+v=15．⑩⑩-⑥-⑦得z=7，把z=7代入⑧得x=0，把x=0代入⑥得u=3，把u=3代入⑨得y=6，把y=6代入⑦得v=-1．所以为原方程组的解．例4解方程组解法1①×2+②得由③得代入④得为原方程组的解．为原方程组的解．说明解法1称为整体处理法，即从整体上进行加减消元或代入消为换元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”，从而简化方程组的求解过程．例5已知分析与解一般想法是利用方程组求出x，y，z的值之后，代入所求的代数式计算．但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的，因此无法求出x，y，z的确定有限解，但我们可以利用加减消元法将原方程组变形．①-②消去x得①×3+②消去y得①×5+②×3消去z得例6已知关于x，y的方程组分别求出当a为何值时，方程组(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解．分析与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程ax=b的形式进行讨论．但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零．解由①得2y=(1+a)-ax，③将③代入②得(a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2)．④(1)当(a-2)(a+1)≠0，即a≠2且a≠-1时，方程④有因而原方程组有唯一一组解．(2)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)≠0时，即a=-1时，方程④无解，因此原方程组无解．(3)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0时，即a=2时，方程④有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解．例7已知关于x，y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．解法1根据题意，可分别令a=1，a=-2代入原方程得到一个方程组将x=3，y=-1代入原方程得(a-1)·3+(a+2)·(-1)+5-2a=0．所以对任何a值都是原方程的解．说明取a=1为的是使方程中(a-1)x=0，方程无x项，可直接求出y值；取a=-2的道理类似．解法2可将原方程变形为a(x+y-2)-(x-2y-5)=0．由于公共解与a无关，故有例8甲、乙两人解方程组原方程的解．分析与解因为甲只看错了方程①中的a，所以甲所得到的解4×(-3)-b×(-1)=-2．③a×5+5×4=13．④解由③，④联立的方程组得所以原方程组应为练习五1．解方程组2．若x 1，x 2，x 3，x 4，x 5满足方程组试确定3x 4+2x 5的值．3．将式子3x 2+2x-5写成a(x+1)2+b(x+1)+c 的形式，试求4．k 为何值时，方程组有唯一一组解；无解；无穷多解？5．若方程组的解满足x+y=0，试求m 的值第六讲一次不等式(不等式组)的解法不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型．在概念方面，它与方程很类似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性质，而且“数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式”．本讲是系统学习不等式的基础．下面先介绍有关一次不等式的基本知识，然后进行例题分析．1．不等式的基本性质这里特别要强调的是在用一个不等于零的数或式子去乘(或去除)不等式时，一定要注意它与等式的类似性质上的差异，即当所乘(或除)的数或式子大于零时，不等号方向不变(性质(5))；当所乘(或除)的数或式子小于零时，不等号方向要改变(性质(6))．2．区间概念在许多情况下，可以用不等式表示数集和点集．如果设a，b为实数，且a＜b，那么(1)满足不等式a＜x＜b的数x的全体叫作一个开区间，记作(a，b)．如图1－4(a)．(2)满足不等式a≤x≤b的数x的全体叫作一个闭区间，记作[a，b]．如图1－4(b)．(3)满足不等式a＜x≤b(或a≤x＜b)的x的全体叫作一个半开半闭区间，记作(a，b](或[a，b))．如图1－4(c)，(d)．3．一次不等式的一般解法一元一次不等式像方程一样，经过移项、合并同类项、整理后，总可以写成下面的标准型：ax＞b，或ax＜b．为确定起见，下面仅讨论前一种形式．一元一次不等式ax＞b．(3)当a=0时，用区间表示为(-∞，+∞)．例1解不等式解两边同时乘以6得12(x+1)+2(x-2)≥21x-6，化简得-7x≥-14，两边同除以-7，有x≤2．所以不等式的解为x≤2，用区间表示为(-∞，2]．例2求不等式的正整数解．正整数解，所以原不等式的正整数解为x=1，2，3．例3解不等式分析与解因y2+1＞0，所以根据不等式的基本性质有例4解不等式为x+2＞7，解为x＞5．这种错误没有考虑到使原不等式有意义的条件：x≠6．解将原不等式变形为解之得所以原不等式的解为x＞5且x≠6．例5已知2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)，且y＜x+9，试比较解首先解关于x的方程得x=-10．将x=-10代入不等式得y＜-10+9，即y＜-1．例6解关于x的不等式：解显然a≠0，将原不等式变形为3x+3-2a2＞a-2ax，即(3+2a)x＞(2a+3)(a-1)．说明对含有字母系数的不等式的解，也要分情况讨论．。

2020-2021学年初一数学竞赛专题讲座含例题练习及答案⑵

2020-2021学年初一数学竞赛专题讲座（含例题练习及答案）第2讲数论的方法技巧（下）四、反证法反证法即首先对命题的结论作出相反的假设，并从此假设出发，经过正确的推理，导出矛盾的结果，这就否定了作为推理出发点的假设，从而肯定了原结论是正确的。

反证法的过程可简述为以下三个步骤：1．反设：假设所要证明的结论不成立，而其反面成立；2．归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；3．结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。

运用反证法的关键在于导致矛盾。

在数论中，不少问题是通过奇偶分析或同余等方法引出矛盾的。

解：如果存在这样的三位数，那么就有100a+10b+c=（10a+b）+（10b+c）+（10a+c）。

上式可化简为 80a=b+c，而这显然是不可能的，因为a≥1，b≤9，c≤9。

这表明所找的数是不存在的。

说明：在证明不存在性的问题时，常用反证法：先假设存在，即至少有一个元素，它符合命题中所述的一切要求，然后从这个存在的元素出发，进行推理，直到产生矛盾。

例2 将某个17位数的数字的排列顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加。

试说明，得到的和中至少有一个数字是偶数。

解：假设得到的和中没有一个数字是偶数，即全是奇数。

在如下式所示的加法算式中，末一列数字的和d+a为奇数，从而第一列也是如此，因此第二列数字的和b+c≤9。

将已知数的前两位数字a，b与末两位数字c，d去掉，所得的13位数仍具有“将它的数字颠倒，得到的数与它相加，和的数字都是奇数”这一性质。

照此进行，每次去掉首末各两位数字，最后得到一位数，它与自身相加是偶数，矛盾。

故和的数字中必有偶数。

说明：显然结论对（4k+1）位数也成立。

但对其他位数的数不一定成立。

如12+21，506+605等。

例3 有一个魔术钱币机，当塞入1枚1分硬币时，退出1枚1角和1枚5分的硬币；当塞入1枚5分硬币时，退出4枚1角硬币；当塞入1枚1角硬币时，退出3枚1分硬币。

初中数学竞赛代数专题讲义之代数式求值含例题习题及详解

代数式求值由数与字母经有限次代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）所组成的表达式叫做代数式。

已知一个代数式，把式中的字母用给定数值代替后，运算所得结果叫做在字母取给定数值时代数式的值。

一、专题知识1.基本公式（1）立方和公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+（2）立方差公式：2233()()a b a ab b a b-++=-（3）完全立方和：33223()33a b a a b ab b +=+++（4）完全立方差：33223()33a b a a b ab b -=-+-2.基本结论（1）33322()33a b a b a b ab +=+--（2）33322()33a b a b a b ab -=-+-（3）22()()4a b a b ab-=+-二、经典例题例题1已知y z x z x yx y z+++==求代数式y z x +的值。

【解】（1）0x y z ++≠，由等比性质得2()2x y z y zx y z x+++==++；（2）0x y z ++=，则y z x +=-，所以1y zx+=-。

例题2已知234100x y +-=，求代数式y x x y xy y x x 65034203152223--++++的值。

【解】32221532043506x x y xy y x x y++++--322222215205034103410105(3410)(3410)(3410)1010x xy x x y y y x y x x y y x y x y =+-++-++-+=+-++-++-+=例题3实数,,a b c满足条件：231224a b ab -=+=-，求代数式2a b c ++的值。

【解】22222442318224a b a ab b ab c ab ⎧-=⇒-+=⎪⎨+=-⇒+=-⎪⎩两式相加得，()2220a b ++=只有2=0a b +且0c =，所以20a b c ++=。

数学竞赛专题讲座七年级第5讲-计算—工具与算法的变迁(包含答案)

第五讲计算——工具与算法的变迁研究数学、学习数学总离不开计算，随着时代的变迁，计算工具在不断地改变，从中国古老的算盘、纸笔运算发展到利用计算器、计算机运算．初中代数中运算贯穿于始终，运算能力是运算技能与逻辑能力的结合，它体现在对算理算律的理解与使用，综合运算的能力及选择简捷合理的运算路径上，这要求我们要善于观察问题的结构特点，灵活选用算法和技巧，有理数的计算常用的方法与技巧有： 1．巧用运算律； 2．用字母代数； 3．分解相约； 4．裂项相消； 5．利用公式； 6．加强估算等．“当今科学活动可以分成理论、实验和计算三大类，科学计算已经与理论研究、科学实验一起，成为第三种科学方法．——威尔逊注：威尔逊，著名计算物理学家，20世纪80年代诺贝尔奖获得者．【例1】现有四个有理数3，4，6-，l0，将这4个数(每个数用且只用一次)进行加、减、乘、除四则运算，使其结果等于24，其三种本质不同的运算式有：(1) ；(2) ；(3) ． (浙江省杭州市中考题) 思路点拨从24最简单的不同表达式人手，逆推，拼凑．链接：今天，计算机泛应用于社会生活各个方面，计算机技术在数学上的应用，不但使许多繁难计算变得简单程序化，而且还日益改变着我们的观念与思维．著名的计算机专家沃斯说过：“程序=算法十数据结构”．有理数的计算与算术的计算有很大的不同，主要体现在： (1)有理数的计算每一步要确定符号；（2）有理数计算常常是符号演算；(3)运算的观念得以改变，如两个有理数相加，其和不一定大于任一加数；两个有理数相减，其差不一定小于被减数．程序框图是一种用规定、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形，能清晰地展现算法的逻辑结构，常见的逻辑结构有：顺序结构、条件结构和循环结构．【例2】如果4个不同的正整数q p n m 、、、满足4)7)(7)(7)(7(=----q p n m ，那么，q p n m +++等于( )．A ．10B ．2lC ．24D ．26E ．28 (新加坡数学竞赛题) 思路点拨解题的关键是把4表示成4个不同整数的形式．【例3】计算： (1)100321132112111+++++++++++； (“祖冲之杯”邀请赛试题) (2)19492—19502+19512—19522+…+19972—19982+19992(北京市竞赛题) (3)5+52+53+…十52002．思路点拨对于(1)，首先计算每个分母值，则易掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形人手；(2)式使人易联想到平方差公式，对于(3)，由于相邻的后一项与前一项的比都是5，可从用字母表示和式着手．链接：裂项常用到以下关系式：（1）ba ab b a 11+=+；（2）111)1(1+-=+a a a a ；（3）ba ab a a b +-=+11)(．运用某些公式，能使计算获得巧解，常用的公式有：（1）))((22b a b a b a -+=-；（2）2)1(321+=++++n n n ．错位相减、倒序相加也是计算中常用的技巧．【例4】(1)若按奇偶分类，则22004+32004+72004+92004是数；(2)设553=a ，444=b ，335=c ，则c b a 、、的大小关系是 (用“>”号连接)； (3)求证：32002+42002是5的倍数．思路点拨乘方运算是一种特殊的乘法运算，解与乘方运算相关问题常用到以下知识：①乘方意义；②乘方法则；③02≥na；④n a 与a 的奇偶性相同；⑤在r k n +4中(k ，r 为非负整数，0≠n ，0≤r <4)，当r =0时，rk n +4的个位数字与n 4的个位数字相同；当0≠r 时，?r k n +4的个位数字与r n 的个位数字相同．【例5】有人编了一个程序：从1开始，交替地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法），每次加法，将上次运算结果加2或加3；每次乘法，将上次运算结果乘2或乘3，例如，30可以这样得到：（1）证明：可以得到22；（2）证明；可以得到22297100-+．思路点拨（1）试值可以得到22，从计算中观察得数的规律性，为（2）做准备；（2）连续地运用同一种运算以获得高次，在进行适当的变换可以求解．【例6】（1）已知a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，0<e 且1=e ，那么200520042003)()(e d c ab -+--的值为__________． (第19届江苏省竞赛题)（2）已知20062005122006220052)1(164834121-++-++-+-=+ k k k S ，则小于S 的最大整数是______．（第11届“华杯赛“试题）思路点拨对于（1）从倒数、相反数的概念入手；（2）通过对数式的分组，估算S 的值的范围．【例7】按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x的不同值最多有（）．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个（义乌市中考题）思路点拨看懂程序图，循环运算是解本题的关键．【例8】如图所示是一33⨯的幻方，当空格填上适当的数后，每行、每列及对角线上的和都是相等的，求k的值．（两岸四地少年数学邀请赛试题）思路点拨为充分利用条件，需增设字母，运用关系式求出k的值．K=231121右边的数为X则右上角= 110+X121的对角线和K的列相等去掉中心项121+110+X=K+X所以K=231基础训练一、基础夯实1.(1)计算:211×(-455)+365×455-211×545+545×365=_________;(2)若a= -20042003,b=-20032002,c=-20022001,则a、b、c的大小关系是___________(用“〈”号连接〉.2.计算:(1)0.7×149+234×(-15)+0.7×59+14×(-15)=________;(第15届江苏省竞赛题)(2) 191919767676-76761919=________. (第12届“希望杯”邀请赛试题)(3)135⨯+157⨯+…+119971999⨯=________; (天津市竞赛题)(4)(13.672×125+136.72×12.25-1367.2×1.875)÷17.09=________.(第14届“五羊杯”竞赛题)3.在下式的每个方框内各填入一个四则运算符号(不再添加括号),•使得等式成立:6□3□2□12=24. (第17届江苏省竞赛题)4.1999加上它的12得到一个数,再加上所得的数的13又得到一个数,再加上这次得数的14又得到一个数,……,依此类推,一直加到上一次得数的11999,那么最后得到的数是_________.输出结果5.根据图所示的程序计算,若输入的x 值为32,则输出的结果为( ). A.72 B.94 C.12 D.92(2002年北京市海淀区中考题) y=-x+21<x ≤2y=x 2-1<x ≤1y=x+2-2≤x ≤-1输出y 值输入x 值6.已知a=-199919991999199819981998⨯-⨯+,b=-200020002000199919991999⨯-⨯+,c=-200120012001200020002000⨯-⨯+,则abc=( ).A.-1B.3C.-3D.1 (第11届“希望杯”邀请赛试题) 7.如果有理数a 、b 、c 满足关系a<b<0<c,那么代数式23bc acab c-的值( ). A.必为正数 B.必为负数 C.可正可负 D.可能为0 8.将322、414、910、810由大到小的排序是( ).A.322、910、810、414B.322、910、414、810C.910、810、414、322D.322、414、910、810 (美国犹他州竞赛题) 9.阅读下列一段话,并解决后面的问题:观察下面一列数:1,2,4,8,…,我们发现,这一列数从第2项起,•每一项与它前一项的比都等于2.一般地,如果一列数从第二项起,每一项与它前一项的比都等于同一个常数,•这一列数就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比. (1)等比数列5,-15,45,…的第4项是________;(2)如果一列数a 1,a 2,a 3,a 4,…是等比数列,且公比为q,那么根据上述的规定,有 •21a a =q, 32a a =q, 43aa =q,…, 所以a 2=a 1q,a 3=a 2q=(a 1q)q=a 1q 2,a 4=a 3q=a 1q 3,…,a n =_______(用a 1与q 的代数式表示). (3)一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项. (2003年广西省中考题)10.(1)已知a 、b 、c 都不等于零,且||a a +||b b +||c c +||abcabc 的最大值是m,最小值为n,求m n mn的值.(2)求证:5353-3333是10的倍数.二、能力拓展11.计算:(1) 2200340042003200240082003200422003300520032003200520053005-⨯+⨯-⨯-⨯-⨯+⨯=_________.(第15届“希望杯”邀请赛试题)(2)2-22-23-24-25-26-27-28-29+210=___________;(3) 123369510157142113539155152572135⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=_______________.(4)98+998+9998+…+5099998⋅⋅⋅个=_________.(2003年“信利杯”竞赛题)12.(1)32001×72002×132003所得积的末位数字是________;(第17届江苏省竞赛题) 13.若a 、b 、c 、d 是互不相等的整数(a<b<c<d),且abcd=121,则a c +b d =________. 14.你能比较20012002与20022001的大小吗?为了解决这个问题,我们先写出它的一般形式,即比较n n+1与(n+1)n 的大小(n 是自然数),然后,我们从分析n=1,n=2,n=3,……中发现规律,经归纳、猜想得出结论. (1)通过计算,比较下列各组中两数的大小(在空格中填写“)”、“＝”、•“〈”号〉. ①12_____21; ②23______32; ③34______43; ④45______54; ⑤56_____65;…… (2)从第(1)题的结果经过归纳,可以猜想出n n+1和(n+1)n 的大小关系是_______.(3)根据上面归纳猜想得到的一般结论,试比较下列两个数的大小20012002___20022001. (江苏省常州市中考题) 15.如果11||t t +22||tt +33||t t =1,则123123||t t t t t t 的值为( ). A.-1 B.1 C.±1 D.不确定 (2003河北省竞赛题) 16.如果ac<0,那么下面的不等式ac<0,a c 2<0,a 2c<0,c 3a<0,ca 3<0中必定成立的有( • ). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个17.设S=213⨯+2235⨯+3257⨯+…4929799⨯,T=13+25+227+…48299,则S-T=( ).A.49299B.1-49299C.49299-1D.49299+1 (第14届“五羊杯”竞赛题)18.10个互不相等的有理数,每9个的和都是“分母为22的既约真分数(分子与分母无公约数的真分数)”，则这10个有理数的和为( ).A.12 B. 1118C. 76D. 59 (第11届江苏省竞赛题) 19.图中显示的填数“魔方”只填了一部分,将下列9个数: 14,12,1,2,4,8,•16,•32,64填入方格中,使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等,求x的值. (上海市竞赛题)64x3220.设三个互不相等的有理数,既可分别表示为1,a+b,a的形式,又可分别表示为0, ab,b的形式,求a2002+b2001的值.三、综合创新21.(1)三个2,不用运算符号,写出尽可能大的数;(2)三个4,不用运算符号,写出尽可能大的数.(3)用相同的3个数字(1～9),不用运算符号,写出最大的数.22.如图,是一个计算装置示意图,J1、J2是数据输入口,C是计算输出口,计算过程是由J1、J2分别输入自然数m和n,经计算后得自然数K由C输出,此种计算装置完成的计算满足以下三个性质:(1)若J1、J=2分别输入1，则输出结果为1;(2)若J=1输入任何固定的自然数不变,J2输入自然数增大1,则输出结果比原来增大2;(3)若J2输入1,J1输入自然数增大1,则输出结果为原来的2倍.试问:(1)若J1输入1,J2输入自然数n,输出结果为多少?(2)若J2输入1,J1输入自然数m,输出结果为多少?(3)若J1输入自然数m,J2输入自然数n,输出的结果为多少?(2002年扬州中学招生试题)Cn m j 2j 1答案：1.(1)154000,(2)a>b>c.2.(1)-43.6;(2)-334;(3) 9985997; (4)•48,•注意13672=•8•×1709. 3.略 4.1999000 提示:原式=1999×(1+12)(1+13)×…×(1+11999) 5.C 6.A 7.B 8.A 9.(1)-135;(2)a n =a 1q n-1;(3)a 1=5,a 4=40. 10.(1)-16 提示:||xx =±1,m=4,n=-4;(2)5353与3333的个位数字相同. 11.(1)667668;(2)6 提示:2n+1-2n =2n ;(3)25; (4) 111000491⋅⋅⋅个 12.(1)9;(2)115200 13.-1214.(1)略;(2)当n<3时,n n+1<(n+1)n ;当n ≥3时,n n+1>(n+1)n ;(3)>. 15.A 16.C 17.B 提示:1111()(2)22n n n n =-++ 18.A 19.这9个数的积为14×12×1×2×4×8×16×32×64=643, 所以,每行、每列、每条对角线上三个数字积为64, 得ac=1,ef=1,ax=2,a,c,e,f 分别为14,12, 2,4中的某个数,推得x=8. fed c b a 64x 3220.2 提示:这两个三数组在适当的顺序下对应相等,于是可以断定,a+b 与a•中有一个为0,ba与b 中有一个为1,再讨论得a=-1,b=1. 21.(1)222;(2)444=4256>444;(3)设所用数字为a,可得下面4种写法:①当a=1时,111最大;②当a=2时,222最大;③当a=3时,333最大;④当a ≥4时,a 最大. 22.由题意设输出数,设C(m,n)为k,则C(1,1)=1,C(m,n)=c(m,n-1)+2,C(m,•1)•=2C(m-1,1).(1)C(1,n)=C(1,n-1)+2=C(1,n-2)+2×2=…= C(1,1)+2(n-1)=1+2(n-1)=2n-1 (2)C(m,1)=2C(m-1,1)=22·C(m-2,1)=…=2m-1C(1,1)=2m-1.(3)C(m,n)=C(m,n-1)+2=C(m,n-2)+2×2=…=C(m-1)+2(n-1)=22C(m-2,1)+2(n-1)=…=2m-1C(1,1)+2n-2=2m-1+2n-2.提高训练1．若1+=m m ，则2004)14(+m =______．（“希望杯”邀请赛试题）2．符号“f ”表示一种运算，他对一些数的运算结果是：（1）0)1(=f ，1)2(=f ，2)3(=f ，3)4(=f ，… （2）2)21(=f ，3)31(=f ，4)41(=f ，5)51(=f ，…利用以上规律计算：=-)2008()20081(f f ______．（贵阳市中考题）3．3028864215144321-+-+-+-+-+-+- 等于（）．A ．41B ．41-C ．21D ．21- （“希望杯”邀请赛试题）4．20032004)2(3)2(-⨯+- 的值为（）．A ．20032- B ．20032 C ．20042- D ．20042(江苏省竞赛题)5．自然数d c b a 、、、满足111112222=+++d c b a ，则65431111d c b a +++等于（）． A ．81 B ．163 C ．327 D ．6415 （北京市竞赛题）6．d c b a 、、、是互不相等的正整数，且441=abcd ，那么d c b a +++的值是（）．A ．30B ．32C ．34D ．36 (“希望杯”邀请赛试题) 7．已知55)(2+=+++b b b a ，且012=--b a ．求ab 的值．（北京市迎春杯竞赛题） 8．已知a 、b 、c 都不等于0，且abcabcc c b b a a +++的最大值为m ，最小值为n ，则=+2005)(n m ______． (重庆市竞赛题)9．从下面每组数中各取一个数，将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是______．第一组：5-，313，4.25，5.75；第二组：312-，151；第三组：2.25，125，4-．（“华杯赛”试题）10．计算：20066423100864231006642310046423++++++++++++++++++++ 的值是（）． A ．10033 B ．10043 C ．3341D ．10001 （第18届五羊杯竞赛题） 11．已知有理数x 、y 、z 两两不相等，则z y y x --，x z z y --，yx xz --中负数的个数是（）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个（重庆市竞赛题） 12．若有理数x 、y 使得y x +、y x -、xy 、yx这四个数中的三个数相等，则x y -的值是（）． A ．21-B ．0C ．21D ．23（天津市竞赛题）13．已知05432<e d c ab ，下列判断正确的是（）．A ．0<abcdeB ．042<e cd ab C ．02<cde ab D ．04<e abcd (江苏省竞赛题) 14．已知m ，n 都是正整数，并且)11)(11()311)(311)(211)(211(mm A +-+-+-= ，)11)(11()311)(311)(211)(211(n n B +-+-+-= ．证明：（1）m m A 21+=，nn B 21+=；（2）若261=-B A ,求m 和n 的值．（华杯赛试题）。

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第1讲走进追问求根公式

第一讲走进追问求根公式形如 ax2bx c0 （ a0 ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。

而公式法是解一元二次方程的最广泛、最拥有一般性的方法。

求根公式 x1,2bb 24ac内涵丰富：它包括了初中阶段已学过的所有代数运算；它回答了一元2a二次方程的诸如如何务实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展现了数学的简短美。

降次转变是解方程的基本思想，有些条件中含有 (或可转变为 )一元二次方程有关的问题，直接求解可能给解题带来很多不便，常常不是去解这个二次方程，而是对方程进行适合的变形来代换，进而使问题易于解决。

解题经常用到变形降次、整体代入、结构零值多项式等技巧与方法。

【例题求解】【例 1】知足(n2n 1)n2 1 的整数n有个。

思路点拨：从指数运算律、± 1 的特点人手，将问题转变为解方程。

【例 2】设 x1、 x2是二次方程 x2x 30 的两个根，那么x13 4 x2219的值等于（）A、一 4 B 、8C、 6D、 0思路点拨：求出 x1、 x2的值再代入计算，则计算繁难，解题的重点是利用根的定义及变形，使多项式降次，如 x123x1， x223x2。

【例 3】解对于x的方程(a1) x 22ax a 0 。

思路点拨：因不了解原方程的种类，故需分 a 10及 a10 两种状况议论。

【例 4】设方程 x22x140 ，求知足该方程的所有根之和。

思路点拨：经过议论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转变为一般的一元二次方程求解。

【例 5 】已知实数 a 、b、 c 、d互不相等，且a 1b11d1试求 x 的值。

b cc x ，d a思路点拨：运用连等式，经过迭代把 b 、c、 d 用a的代数式表示，由解方程求得x 的值。

注：一元二次方程常有的变形形式有：(1)把方程 ax2bx c0 （ a0 ）直接作零值多项式代换；(2)把方程 ax2bx c0 （ a0 ）变形为 ax 2bx c ，代换后降次；(3)把方程 ax2bx c0（ a0 ）变形为 ax 2bx c 或 ax2c bx ，代换后使之转变关系或整体地消去 x 。

初一数学竞赛教程含例题练习及答案

初一数学竞赛教程含例题练习及答案----3b244e1c-6eab-11ec-b5e7-7cb59b590d7d初一数学竞赛讲座第9课关于应用问题的精选讲座我们知道，数学是一门基础学科。

我们在学校中学习数学的目的，一方面是为学习其它学科和学习更深的数学知识打下一个基础，更重要的是为了现在和将来运用所学的数学知识去解决一些日常生活、科学实验、工农业生产以及经济活动中所遇到的实际问题。

运用数学知识解决实际问题的基本思想是将这个实际问题转化为一个数学问题（我们称之为建立数学模型），然后解决这个数学问题，从而解决这个实际问题。

即：这里，建立数学模型是关键的一步。

也就是说，要通过审题，将实际问题与自己学过的数学知识、数学方法联系起来，将其归结到某一类型的数学问题，然后解答这个数学问题。

下面介绍一些典型的数学模型。

一、两个量变化时，和一定的问题如果两个变化量之和在变化过程中保持不变，那么它们的差值和乘积之间的关系是什么？请遵守下表：我们不难得出如下的规律：如果两个变化量之和在变化过程中保持不变，那么它们之间的差值越小，乘积就越大。

如果它们可以相等，那么当它们相等时，乘积是最大的。

这条定律适用于三个或三个以上的变量。

例1农民叔叔阿根想用20块长2米、宽1.2米的金属网建一个靠墙的长方形鸡窝。

为了防止鸡飞出，所建鸡窝的高度不得低于2米，要使鸡窝面积最大，长方形的长和宽分别应是多少？解决方案：如上图所示，如果矩形的长度和宽度分别为x米和Y米，则x＋2y＝1.2×20＝24。

长方形的面积为因为X和2Y之和等于24是一个常量，所以当它们相等时，它们的乘积最大，矩形面积s也是最大的。

所以x=12，y=6。

例2如果将进货单价为40元的商品按50元售出，那么每个的利润是10元，但只能卖出500个。

当这种商品每个涨价1元时，其销售量就减少10个。

为了赚得最多的利润，售价应定为多少？解决方案：如果每种商品的售价为（50+x）元，则销售量为（500-10倍）。

初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑷

初一数学竞赛讲座第4讲整数的分拆整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。

整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。

在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。

例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。

我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。

如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。

由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。

例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。

所以最多可以播7天。

说明：本题实际上是问，把正整数30分拆成互不相等的正整数之和时，最多能写成几项之和？也可以问，把一个正整数拆成若干个整数之和时，有多少种分拆的办法？例如：5=1+1+1+1+1=1+1+1+2，=1+2+2 =1+1+3=2+3 =1+4，共有6种分拆法（不计分成的整数相加的顺序）。

例2 有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。

问：有多少种不同的支付方法？分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。

因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。

当使用3枚5分币时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有23=15+（2+2+2+2），23=15+（2+2+2+1+1），23=15+（2+2+1+1+1+1），共3种支付方法。

当使用4枚5分币时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用，从而可有23=20+（2+1），23=20+（1+1+1），共2种支付方法。

初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑼

初一数学竞赛讲座第9讲应用问题选讲我们知道，数学是一门基础学科。

运用数学知识解决实际问题的基本思路是：先将这个实际问题转化为一个数学问题（我们称之为建立数学模型），然后解答这个数学问题，从而解决这个实际问题。

即：这里，建立数学模型是关键的一步。

也就是说，要通过审题，将实际问题与自己学过的数学知识、数学方法联系起来，将其归结到某一类型的数学问题，然后解答这个数学问题。

下面介绍一些典型的数学模型。

一、两个量变化时，和一定的问题两个变化着的量，如果在变化的过程中，它们的和始终保持不变，那么它们的差与积之间有什么关系呢？观察下面的表：我们不难得出如下的规律：两个变化着的量，如果在变化的过程中，和始终保持不变，那么它们的差越小，积就越大。

若它们能够相等，则当它们相等时，积最大。

这个规律对于三个和三个以上的变量都是成立的。

例1农民叔叔阿根想用20块长2米、宽1.2米的金属网建一个靠墙的长方形鸡窝。

为了防止鸡飞出，所建鸡窝的高度不得低于2米，要使鸡窝面积最大，长方形的长和宽分别应是多少？解：如上图，设长方形的长和宽分别为x米和y米，则有x＋2y＝1.2×20＝24。

长方形的面积为因为x和2y的和等于24是一个定值，故它们的乘积当它们相等时最大，此时长方形面积S也最大。

于是有x=12， y＝6。

例2如果将进货单价为40元的商品按50元售出，那么每个的利润是10元，但只能卖出500个。

当这种商品每个涨价1元时，其销售量就减少10个。

为了赚得最多的利润，售价应定为多少？解：设每个商品售价为（50+x）元，则销量为（500-10X）个。

总共可以获利:（50＋x-40）×（500-10x）=10×（10+X）×（50-X）（元）。

专题03 从算术到代数(含答案)

专题03从算术到代数阅读与思考算术与代数是数学中两门不同的分科，它们之间联系紧密，代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的.用字母表示数是代数的一个重要特征，也是代数与算术的最显著的区别.在数学发展史上，从确定的数过渡到用字母表示数经历了一个漫长的过程，是数学发展史上的一个飞跃.用字母表示数有如下特点：1.任意性即字母可以表示任意的数.2.限制性即虽然字母表示任意的数，但字母的取值必须使代数式或实际问题有意义.3.确定性即在用字母表示的数中，如果字母取定某值，那么代数式的值也随之确定.4.抽象性即与具体的数值相比，用字母表示数具有更抽象的意义.例题与求解【例1】研究下列算式，你会发现什么规律：1×3＋1＝4＝222×4＋1＝9＝323×5＋1＝16＝424×6＋1＝25＝52…请将你找到的规律用代数式表示出来：___________________________________(山东菏泽地区中考试题)解题思路：观察给定的几个简单的、特殊的算式，寻找数字间的联系，发现一般规律，然后用代数式表示.【例2】下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（）A.1627384950B. 2345678910C. 3579111300D. 4692581470（江苏省竞赛试题）解题思路：设自然数从a＋1开始，这100个连续自然数的和为（a＋1）＋(a＋2)＋…＋(a＋100)＝100a＋5050，从揭示和的特征入手.【例3】设A＝221212222323223434＋…＋221003100410031004＋221004100510041005，求A的整数部分.（北京市竞赛试题）解题思路：从分析A 中第n 项22(1)(1)n n n n 的特征入手.【例4】现有a 根长度相同的火柴棒，按如图①摆放时可摆成m 个正方形，按如图②摆放时可摆成2n 个正方形.(1)用含n 的代数式表示m ；(2)当这a 根火柴棒还能摆成如图③所示的形状时，求a 的最小值.（浙江省竞赛试题）解题思路：由图①中有m 个正方形、图②中有2n 个正方形，可设图③中有3p 个正方形，无论怎样摆放，火柴棒的总数相同，可建立含m ，n ，p 的等式.【例5】化简个个个n n n 9199999999+⨯. （江苏省竞赛试题）解题思路：先考察n ＝1，2，3时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更明确.【例6】观察按下列规律排成的一列数：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，15，24，33，42，51，16，…，（*）（1）在（*）中，从左起第m 个数记为F (m )＝ 22001时，求m 的值和这m 个数的积.（2）在（*）中，未经约分且分母为2的数记为c ，它后面的一个数记为d ，是否存在这样的两个数c 和d ，使cd ＝2001000，如果存在，求出c 和d ；如果不存在，请说明理由.解题思路：解答此题，需先找到数列的规律，该数列可分组为（11），（12，21），（13，22，31），（14，23，32，41），（15，24，33，42，51），….能力训练A级1.已知等式：2＋23＝22×23，3＋38＝32×38，4＋415＝42×415，…，，10 ＋ab＝102×ab（a，b均为正整数），则a＋b＝___________________.(湖北省武汉市竞赛试题)2.下面每个图案都是若干个棋子围成的正方形图案，它的每边（包括顶点）都有n（n≥2）个棋子，每个图案棋子总数为s，按此规律推断s与n之间的关系是______________.n＝2 n＝3 n＝4s＝4 s＝8 s＝12(山东省青岛市中考试题)3.规定任意两个实数对（a，b）和（c，d），当且仅当a＝c且b＝d时，（a，b）＝（c，d）．定义运算“⊗”：（a，b）⊗（c，d）＝（ac－bd，ad＋bc）．若（1，2）⊗（p，q）＝（5，0），则p＋q＝________．(浙江省湖州市数学竞赛试题)4.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖______块，第n个图形中需要黑色瓷砖______块（含n代数式表示）．（广东省中考试题）-=5.如果a是一个三位数，现在把1放在它的右边得到一个四位数是（）A.1000a＋1B. 100a＋1C. 10a＋1D. a＋1(重庆市竞赛试题)6.一组按规律排列的多项式：a＋b，a2—b3，a3＋b5，a4—b7，…，其中第十个式子是（）A. a10＋b19B. a10-b19C. a10-b17D. a10-b21(四川省眉山市竞赛试题)7.有三组数x1，x2，x3；y1，y2，y3；z1，z2，z3，它们的平均数分别是a，b，c，那么x1＋y1－z1，x2＋y2－z2，x3＋y3－z3的平均数是（）A.3a b c B. 3a b cC. a ＋b －cD. 3(a ＋b －c ) (希望杯邀请赛试题)8.为了绿化环境，美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同，那么它们的面积S 1、S 2的大小关系是（）（东方航空杯竞赛试题）A . S 1＞S 2B ．S l ＜S 2C ．S 1＝S 2D ．无法比较9.一个圆形纸板，根据以下操作把它剪成若干个扇形面：第一次将圆纸等分为4个扇形面；第二次将上次得到的一个扇形面再等分成4个小扇形；以后按第二次剪裁法进行下去．（1）请通过操作，猜想将第3、第4次，…，第n 次剪裁后扇形面的总个数填入下表；（2）请你推断，能否按上述操作剪裁出33个扇形面？为什么？（山东省济南市中考试题）10.某玩具工厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个都原a （a ＞0）个成品，且每个每天都生产b （b ＞0）个成品，质检科派出若干名检验员星期一、星期二检验其中两个原的和这两天生产的所成品，然后，星期三至星期五检验另两个原的和本生产的所成品，假定每个检验员每天检验的成品数相同．（1）这若干名检验员1天检验多少个成品（用含a 、b 的代数式表示）；（2）试求出用b 表示a 的关系式；（3）若1名质检员1天能检验54b 个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？（广东省广州市中考试题）B 级1. 你能很快算出19952吗？为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成（10·n ＋5）（n 为自然数），即求（10·n ＋5）2的值（n 为自然数），分析n ＝1，n ＝2，n ＝3，…这些简单情况，从中探索其规律，并归纳猜想出结论（在下面的空格内填上你的探索结果）. （1）通过计算，探索规律.152＝225可写成100×1×（1＋1）＋25； 252＝625可写成100×2×（2＋1）＋25； 352＝1225可写成100×3×（3＋1）＋25； 452＝2025可写成100×4×（4＋1）＋25； ...752＝5625可写成______； 852＝7225可写成______；（2）从第（1）题的结果，归纳猜想得（10n ＋5）2＝______；（3）根据上面的归纳猜想，请算出19952＝______.（福建省三明市中考试题）2.已知12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)，计算：（1）112＋122＋…＋192＝_____________________； (2)22＋42＋…＋502＝__________________. 3.已知n 是正整数，a n ＝1×2×3×4×…×n ，则13a a ＋24a a ＋…＋20102012a a ＋20112013a a ＝_______________. (“希望杯”邀请赛训练题)4.已知17个连续整数的和是306，那么，紧接着这17个数后面的那17个整数的和为__________.（重庆市竞赛试题）5.A ，B 两地相距S 千米，甲、乙的速度分别为a 千米/时、b 千米/时（a ＞b ），甲、乙都从A 地到B地去开会，如果甲比乙先出发1小时，那么乙比甲晚到B 地的小时数是（）(1)s a b (1)s a (1)s a b (1)sa6.某商店经销一批衬衣，进价为每件m 元，零售价比高a %，后因市场的变化，该店把零售价调整原来零售价的b %出售，那么调价后的零售价是（）A ．m （1＋a %）（1－b %）元B ．m a %（1－b %）元C ．m （1＋a %）b %元D ．m （1＋a %b %）元（山东省竞赛试题）7.如果用a 名同学在b 小时内共搬运c 块砖，那么个以同样速度所需要的数是（）A ．22c a bB ．2c abC ．2abcD ．22a b c(“希望杯”邀请赛试题)8.甲、乙两班的人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，其中甲班参加天文小组的人数是乙班未参加人数的13，乙班参加天文小组的人数是甲班未参加人数的15．问甲班未参加的人数是乙班未参加人数的几分之几？9.将自然数1，2，3，…，21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于33.（重庆市竞赛试题）10.有四个互不相同的正整数，从中任取两个数组成一组，并在同一组中用较大的数减去较小的数，再将各组所得的数相加，其和恰好等于18.若这四个数的乘积是23100，求这四个数.（天津市竞赛试题）专题03 从算术到代数例1 2(2)1(1)n n n ++=+ 例2 A例3 原式=1111111112(1)2()2()2()2()223341003100410041005+-++-++-+++-++-=121004(1)1005⨯+-故其整数部分为2008 例4 设图③中含有3p 个正方形.(1) 由3152m n +=+,得513n m +=(2) 由315273,a m n p =+=+=+得325177m n p --==,因,,m n p 均是正整数, 所以当17,10m n ==时,7,p =此时317152a =⨯+=例5解法1:1n = 时,29919811910010⨯+=+==; 2n =时, 49999199(1001)991999900991991000010⨯+=-⨯+=-+==,猜想:2999999199910n n n n ⨯+=个个个个, 计算过程类似于2n =29999991999(101)9991999999000999199910n n n n n n n n n n n ⨯+=-⨯+=-+=个个个个个个个个个解法2: 1n =时,2991999109(999)1091010101010⨯+=⨯++=⨯++=⨯+=⨯=2n =时, 49999199999910099(999999)1009910010010010010⨯+=⨯++=⨯++=⨯+=⨯=猜想: 原式210n = 验证如下: 9999991999999999100099999999999910n n n n n n n n n n n ⨯+=⨯++=⨯++个个个个个个个个个个299910101010n n n n n =⨯=⨯=个反思结论必为一个数的平方形式, 不妨设999n a =个,得另一种解法解法3: 原式22222(1)a 21(1)(10)10n n a a a a a =+++=++=+==例6 (1)(※) 可分组为112123123412345(),(,),(,,),(,,,),(,,,,),,121321432154321可知各组数的个数依次为1,2,3,.按其规律22001应在第2002组1232002(,,,,)2002200120001中, 该组前面共有123420012003001+++++=个数. 故当2()2001F m =时,200300122003003m =+=. 又因各组的数积为1, 故这2003003个数的积为121200220012003001⨯=(2) 依题意,c 为每组倒数第2个数,d 为每组最后一个数,设它们在第n 组, 别1,,21n n c d -==(1)20010002n n -∴=.即(1)400200020012000n n -==⨯,2001,n ∴= 得20011200022c -==,20011d =A 级1. 100 提示:21010a ab b+=⨯ 中, 根据规律可得210,10199,a b ==-=故1099109a b +=+= 2. 4(1)(2)s n n =-≥3.1- 提示: 根据题中定义的运算可列代数式25,20p q q p -=+=,可得1,2,p q ==- 故1p q +=-4. 10 31n +5. C6. B7. B8. B9.(1) 10 13 31n + (2) 不能, 33不符合31n + 10. (1) 2a b +或2(5)3a b +或32b + (2) 由2(2)2(5)23a b a b ++=,得4a b = (3)2(2)47.5825a b b +÷=≈B 级1. (1) 1007(71)25,1008(81)25⨯⨯++⨯⨯++(2) 100(1)25n n ⨯++ (3) 3980025 2. (1) 2085(2) 22100 提示: 原式2224(1225)=⨯+++3. 20114026提示: 由1234n a n =⨯⨯⨯⨯⨯可得,原式111112334452011201220122013=+++++⨯⨯⨯⨯⨯ 111111112011233420122013220134026=-+-++-=-=4. 595 提示: 设17个连续整数为,1,,16,m m m ++且(1)(16)306m m m +++++=,它后面紧接的17个连续自然数应为17,18,19,,33m m m m ++++,可得它们之和为5955. D6. C7. D 提示: 每一名同学每小时所搬砖头为cab块,c 名同学按此速度每小时所搬砖头为2c ab 块.8．用a ，b 分别表示甲、乙两班参加天文小组的人数，m ，n 分别表示甲、乙两班未参加天文小组的人数，由a ＋m ＝b ＋n 得m －b ＝n －a ，又a ＝13n ，b ＝15m ，故m －15m ＝n －13n ，56m n =．9．证明：设任意分法将圆周上的每相邻三个数分为一组，他们三个数的和分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7（均为自然数），且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝()211212312⨯+=①．假设a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7中没一个数都小于33，则有a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＜231．与①矛盾，所以a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7中至少有一个不小于33，即一定有相邻的三个数，它们的和不小于33． 10．设四个不同整数为a 1，a 2，a 3，a 4（a 1＞a 2＞a 3＞a 4），则（a 1－a 2）＋（a 1－a 3）＋（a 1－a 4）＋（a 2－a 3）＋（a 2－a 4）＋（a 3－a 4）＝18，即3（a 1－a 4）＋（a 2－a 3）＝18．又因3（a 1－a 4），18均为3的倍数，故a 2－a 3也是3的倍数，a 2－a 3＜a 1－a 4，则a 2－a 3＝3，a 1－a 4＝5，a 1－a 2＝1，a 3－a 4＝1，又a 1a 2a 3a 4＝23100＝2×2×3×5×5×7×11．从而可得a 1＝15，a 2＝14，a 3＝11，a 4＝10．。

讲解初中数学竞赛试题及答案

讲解初中数学竞赛试题及答案初中数学竞赛试题通常涵盖代数、几何、数论和组合等数学领域。

下面是一个模拟的初中数学竞赛试题及其答案的讲解。

题目一：代数问题题目：已知 \( a, b \) 为正整数，且满足 \( a^2 - b^2 = 1 \)，求 \( a \) 和 \( b \) 的所有可能值。

答案：根据题目中的等式 \( a^2 - b^2 = 1 \)，我们可以将其转换为 \( (a+b)(a-b) = 1 \)。

因为 \( a \) 和 \( b \) 都是正整数，所以 \( a+b \) 和 \( a-b \) 也必须是正整数，并且它们的乘积为1。

考虑到正整数的性质，可能的组合只有 \( (a+b, a-b) = (1, 1) \)或 \( (2, 1) \)。

对于 \( (a+b, a-b) = (1, 1) \)，显然不可能，因为 \( a+b \) 和\( a-b \) 不能同时为1。

对于 \( (a+b, a-b) = (2, 1) \)，我们可以得到 \( a =\frac{3}{2} \) 和 \( b = \frac{1}{2} \)，但这不是正整数，所以不符合题意。

因此，我们考虑 \( (a+b, a-b) = (3, 2) \) 或 \( (4, 3) \)。

对于 \( (a+b, a-b) = (3, 2) \)，我们可以得到 \( a = 2.5 \) 和\( b = 0.5 \)，这同样不是正整数。

对于 \( (a+b, a-b) = (4, 3) \)，我们可以得到 \( a = 3.5 \) 和\( b = 0.5 \)，这也不是正整数。

但是，如果我们考虑 \( (a+b, a-b) = (2, 1) \) 的整数解，我们可以得到 \( a = 2 \) 和 \( b = 1 \)，这满足题目要求。

讲解：这个问题考察了平方差公式的应用，通过将等式转换为\( (a+b)(a-b) = 1 \) 并考虑正整数的性质来找到可能的解。

初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑽

初一数学竞赛讲座第10讲计数的方法与原理计数方法与原理是组合数学的主要课题之一，本讲介绍一些计数的基本方法及计数的基本原理。

一、枚举法一位旅客要从武汉乘火车去北京，他要了解所有可供乘坐的车次共有多少，一个最易行的办法是找一张全国列车运行时刻表，将所有从武汉到北京的车次逐一挑出来，共有多少次车也就数出来了，这种计数方法就是枚举法。

所谓枚举法，就是把所要求计数的所有对象一一列举出来，最后计算总数的方法。

运用枚举法进行列举时，必须注意无一重复，也无一遗漏。

例1四个学生每人做了一张贺年片，放在桌子上，然后每人去拿一张，但不能拿自己做的一张。

问：一共有多少种不同的方法？解：设四个学生分别是A，B，C，D，他们做的贺年片分别是a，b，c，d。

先考虑A拿B做的贺年片b的情况（如下表），一共有3种方法。

同样，A拿C或D做的贺年片也有3种方法。

一共有3＋3＋3=9（种）不同的方法。

例2甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止。

问：一共有多少种可能的情况？解：如下图，我们先考虑甲胜第一局的情况：图中打√的为胜者，一共有7种可能的情况。

同理，乙胜第一局也有 7种可能的情况。

一共有 7＋7=14（种）可能的情况。

二、加法原理如果完成一件事情有n类方法，而每一类方法中分别有m1，m2，…，mn种方法，而不论采用这些方法中的任何一种，都能单独地完成这件事情，那么要完成这件事情共有：N=m1+m2+…mn种方法。

这是我们所熟知的加法原理，也是利用分类法计数的依据。

例 3 一个自然数，如果它顺着数和倒着数都是一样的，则称这个数为“回文数”。

例如1331，7，202都是回文数，而220则不是回文数。

问：1到6位的回文数一共有多少个？按从小到大排，第2000个回文数是多少？解：一位回文数有：1，2，…，9，共9个；二位回文数有：11，22，…，99，共9个；三位回文数有：101，111，…，999，共90个；四位回文数有：1001，1111，…，9999，共90个；五位回文数有：10001，10101，…，99999，共900个；六位回文数有：100001，101101，…，999999，共900个。

初中数学竞赛专题选讲(含答案)

初中数学竞赛专题选讲一元二次方程的根一、内容提要1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的. 根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0) 2. 根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数.3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；② x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数.特殊的例子有：C=0⇔x 1=0 ， a+b+c=0⇔x 1=1 ， a －b+c=0⇔x 1=－1.二、例题例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.证明（用反证法）设两个方程都没有两个不相等的实数根，那么△1≤0和△2≤0.即⎪⎩⎪⎨⎧++=≤-≤ ③ ② ①－1040412c b a c a b由①得b ≥41，b+1 ≥45代入③，得 a －c=b+1≥45， 4c ≤4a －5 ④ ②＋④：a 2－4a+5≤0，即（a －2）2+1≤0，这是不能成立的.既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.∴方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数.例2. 已知首项系数不相等的两个方程：（a －1）x 2－(a 2+2)x+(a 2+2a)=0和 (b －1)x 2－(b 2+2)x+(b 2+2b)=0 (其中a,b 为正整数)有一个公共根. 求a, b 的值.解：用因式分解法求得：方程①的两个根是 a 和12-+a a ；方程②两根是b 和12-+b b . 由已知a>1, b>1且a ≠b.∴公共根是a=12-+b b 或b=12-+a a . 两个等式去分母后的结果是一样的.即ab －a=b+2, ab －a －b+1=3, (a －1)(b －1)=3.∵a,b 都是正整数， ∴ ⎩⎨⎧=-3111b a ＝－；或⎩⎨⎧=-1131b a ＝－. 解得⎩⎨⎧=42b a ＝；或⎩⎨⎧==24b a . 又解：设公共根为x 0那么⎪⎩⎪⎨⎧=+++--=+++--　②（　①0)2()2()10)2()2()1(22202220b b x b x b a a x a x a 先消去二次项： ①×（b －1）－②×（a －1）得［－（a 2+2）(b －1)+(b 2+2)(a －1)］x 0+(a 2+2a)(b －1)－(b 2+2b)(a －1)=0.整理得（a －b ）(ab －a －b －2)(x 0－1)=0.∵a ≠b∴x 0＝1；或 (ab －a －b －2)＝0.当x 0＝1时，由方程①得 a=1,∴a －1=0，∴方程①不是二次方程.∴x 0不是公共根.当(ab －a －b －2)＝0时，得(a －1)(b －1)=3 ……解法同上.例3. 已知：m, n 是不相等的实数，方程x 2+mx+n=0的两根差与方程y 2+ny+m=0的两根差相等.求：m+n 的值.解：方程①两根差是21x x -＝221)x x -（＝212214)(x x x x -+＝n m 42-同理方程②两根差是21y y -＝m n 42- 依题意，得n m 42-＝m n 42-.两边平方得：m 2－4n=n 2－4m.∴（m －n ）(m+n+4)=0∵m ≠n ，∴ m+n+4＝0， m+n ＝－4.例4. 若a, b, c 都是奇数，则二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.证明：设方程有一个有理数根n m （m, n 是互质的整数）. 那么a(n m )2+b(nm )+c=0, 即an 2+bmn+cm 2=0. 把m, n 按奇数、偶数分类讨论，∵m, n 互质，∴不可能同为偶数.① 当m, n 同为奇数时，则an 2+bmn+cm 2是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0；② 当m 为奇数, n 为偶数时，an 2+bmn+cm 2是偶数＋偶数＋奇数＝奇数≠0；③ 当m 为偶数, n 为奇数时，an 2+bmn+cm 2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0.综上所述不论m, n 取什么整数，方程a(n m )2+b(nm )+c=0都不成立. 即假设方程有一个有理数根是不成立的.∴当a, b, c 都是奇数时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.例5. 求证：对于任意一个矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A的周长比和面积比都等于k (k ≥1).证明：设矩形A 的长为a, 宽为b ，矩形B 的长为c, 宽为d.根据题意，得 k abcd b a d c ==++. ∴c+d=(a+b)k, cd=abk.由韦达定理的逆定理，得c, d 是方程z 2－(a+b)kz+abk=0 的两个根.△ ＝［－（a+b ）k ］2－4abk＝（a 2+2ab+b 2）k 2－4abk=k ［(a 2+2ab+b 2)k －4ab ］∵k ≥1，a 2+b 2≥2ab,∴a 2+2ab+b 2≥4ab ，(a 2+2ab+b 2)k ≥4ab.∴△≥0.∴一定有c, d 值满足题设的条件.即总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k(k ≥1).例6. k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？①（k 2－1）x 2－6(3k －1)x+72=0 ； ②kx 2+(k 2－2)x －(k+2)=0.解：①用因式分解法求得两个根是：x 1=112+k ， x 2=16－k . 由x 1是整数，得k+1=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.由x 2是整数，得k －1=±1, ±2, ±3, ±6.它们的公共解是：得k=0, 2, －2, 3, －5.答：当k=0, 2, －2, 3, －5时，方程①有两个整数解.②根据韦达定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=+-=--=+k k k k x x k k k k x x 222221221 ∵x 1, x 2, k 都是整数，∴k=±1，±2. （这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.）把k=1,－1, 2, －2，分别代入原方程检验，只有当k=2和k=－2 时适合.答：当k 取2和－2时，方程②有两个整数解.三、练习1. 写出下列方程的整数解：① 5x 2－3x=0的一个整数根是＿x=0＿＿.② 3x 2+(2－3)x －2=0的一个整数根是＿x=1＿＿.③ x 2+(5+1)x+5=0的一个整数根是＿＿x=-1＿.2. 方程（1－m ）x 2－x －1=0 有两个不相等的实数根，那么整数m 的最大值是＿5/4＿＿.3. 已知方程x 2－(2m －1)x －4m+2=0 的两个实数根的平方和等于5，则m=＿1＿＿.4. 若x ≠y ，且满足等式x 2+2x －5=0 和y 2+2y －5=0. 那么yx 11+＝＿＿1＿.（提示：x, y 是方程z 2+5z －5=0 的两个根.） 5. 如果方程x 2+px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p, q 应满足的关系是：＿＿＿＿＿9q=2p2＿＿＿＿＿＿.6. 若方程ax 2+bx+c=0中a>0, b>0, c<0. 那么两实数根的符号必是＿一正一负＿＿＿.7. 如果方程mx 2－2(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m －5）x 2－2mx+m=0实数根的个数是（ A ）.(A)2 （B ）1 （ C ）0 （D ）不能确定8. 当a, b 为何值时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0 有实数根？a=1b=-1/29. 两个方程x 2+kx －1=0和x 2－x －k=0有一个相同的实数根，则这个根是（ C ）(A)2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－110. 已知：方程x 2+ax+b=0与x 2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a, b 应满足的关系是：＿＿＿＿a 不等于 b ＿＿＿＿＿＿＿.11. 已知：方程x 2+bx+1=0与x 2－x －b=0有一个公共根为m ，求：m ，b 的值.M=-1 b=212. 已知：方程x 2+ax+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x 2－a 2x+ab=0的两个实数根.试求a, b 的值或取值范围.13. 已知：方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根和等于s 1，两根的平方和等于s 2, 两根的立方和等于s 3.求证：as 3+bs 2+cs 1=0.14. 求证：方程x 2－2(m+1)x+2(m －1)=0 的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）15. 已知：a, b 是方程x 2+mx+p=0的两个实数根；c, d 是方程x 2+nx+q=0的两个实数根.求证：（a －c ）(b －c)(a －d)(b －d)=(p －q)2.16. 如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.17. 如果方程（x －1）(x 2－2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m 的取值范围是（）（A ） 0≤m ≤1 （B ）m ≥43 （C ）43<m ≤1 （D ）43≤m ≤118.方程7x2－(k+13)x+k2－k－2=0 (k是整数)的两个实数根为α，β且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k的取值范围是( )（A）3<k<4(B)-2<k<-1 (C) 3<k<4 或-2<k<-1（D）无解参考答案1. ①0， ②1， ③－12. 03. 1（舍去－2）4. 52 5. 9q=2p 2 6. 一正一负 7. D 8. a=1,b=－0.5 9. C10. a+b+1=0, a ≠b 11. m=－1，b=2 12.⎩⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧≤=.1,241,1b a b a ： 13. 左边＝a(x 13+x 23)+b(x 12+x 22)+c(x 1+x 2)=……14. 用反证法，设x 1<0,x 2<0,由韦达定理推出矛盾（m<－1,m>1） 15. 由韦达定理,把左边化为 p, q16. x 2±3x+2=0 17. C 18. C初中数学竞赛专题选讲面积法一、内容提要1. 因为面积公式是用线段的代数式表示的，所以面积与线段可以互相转换。

2023年数学竞赛专题讲座七年级跨越从算术到代数含答案

第一讲跨越——从算术到代数“加里宁曾经说过: 数学是锻炼思维的体操, 体操能使你身体健康, 动作灵敏；数学能使你的思想对的灵敏, 有了对的的思想, 你们才有也许爬上科学的大山. ” _______华罗庚。

华罗庚, 我国现代有世界声誉的数学家, 初中毕业后, 靠自学成才, 在数论、矩阵几何等许多领域中做出过卓越奉献.纵观历史, 数学的发展发明了数学符号, 新的数学符号的使用又反过来促进了数学的发展. 历史是这样一步一步走过来的, 并将这样一步一步地继续走下去, 数学的每一个进步都必须随着着新的数学符号的产生. 在文明和科学的发展过程中, 人类发明用符号代替语言、文字的方法, 这是由于符号比语言、文字更简练、更直观、更具一般性.“算术”可以理解为“计算的方法”, 而“代数”可以理解为“以符号替代数字”, 即“数学符号化”. 著名数学教育家玻利亚曾说: “代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言. ”用字母表达数是数学发展史上的一件大事, 是由算术跨越到代数的桥梁, 是人类发展史上的一个奔腾, 也是代数与算术的最显著的区别.字母表达数使得数学具有简洁的语言, 能更普遍地说明数量关系, 在列代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用．例题讲解【例1】观测下列等式9—l=8, 16—4＝12, 25—9＝16, 36—16＝20, ……这些等式反映出自然数间的某种规律, 设表达自然数, 用关于的等式表达出来:. (河南省中考题)思绪点拨在观测给定的等式基础上, 寻找数字特点, 等式的共同特性, 发现一般规律.链接：从个别事物中发现一般性规律. 这种研究问题的方法叫“归纳法”, 是由特殊到一般的思维过程, 是发明发明的基础.【例2】某商品2023年比2023年涨价5％, 2023年又比2023年涨价10％, 2023年比2023年降价12％, 则2023年比2023年( )．A. 涨价3％B. 涨价1. 64％ C 涨价1. 2％ D. 降价1. 2％思绪点拨设此商品2023年的价格为元, 把相应年份的价格用的代数式表达, 由计算作出判断．【例3】计算)200113121)(20021211()2001131211)(200213121(++++++-+++++++ 思绪点拨直接计算复杂而繁难, 注意括号内数式的联系, 引入字母, 将复杂的数值计算转化为简朴的式的计算.【例4】有—张纸, 第1次把它分割成4片, 第2次把其中的1片分割成4片, 以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片, 如此进行下去, 试问: (1)经5次分割后, 共得到多少张纸片? (2)经次分割后, 共得到多少张纸片?(3)能否经若干次分割后共得到2023张纸片?为什么? (江苏省竞赛题)【例5】在右图中有9个方格, 规定每个方格填入不同的的数列、每条对角线上三个数之和都相等, 问: 思绪点拨虽然规定的只是右上角的数, 关, 因此, 需恰本地引进不同的字母表达数, 【例6】如图, 在图1中, 互补重叠的三角形共有4个, 在图的三角形共有7个, 在图3中, 互不重叠的三角形共有10个个图形中, 互不重叠的三角形共有______个（用含达）．（重庆市中考题）思绪点拨从三角形个数规律或图形生成特点入手. 【例7】（1）计算:)200413121(+++⨯ ；（广西竞赛题）（2）设 = , 求的整数部分. （2023年北京市竞赛题）思绪点拨对于（1）, 直接计算复杂而繁难, 字母, 将复杂的数值计算转化为简朴的式的计算；对于（2）项的特性入手.【例8】有这样的两位数, 个完全平方数. 例如, 29就是这样的两位数, 由于 , 位数.（1）思绪点拨设原数为 , 则新数为 , 发现（2）【例9】现有根长度相同的火柴棒, 按如图1图2图1方形, 按如图2摆放时可摆成个正方形．（3）用含n 的代数式表达m ；当这根火柴棒还能摆成如图3所示的形状时, 求的最小值.思绪点拨设图3中有3 个正方形（为什么这样设？）, 无论如何摆放, 火柴棒的总数相同, 这样可以建立含、、的等式.链接：① 用字母表达数, 有助于运用代数式揭示问题中的数量关系, 便于找到数量的相依关系或相等不等关系, 具有设元意识, 会用代数式表达, 是由算术习惯向代数过渡的重要环节, 是突破算术方法的定势的关键．② 本例的3个小题, 反映了我们结识事物、探究问题的基本过程．第(1)小题是研究具体对象, 第(2)小题是归纳出一般规律, 第(3)小题是再运用这些规律去分析、研究、解决问题．有些问题涉及的量比较多, 关系复杂, 我们就需要引入不同的字母, 便于把数量关系表达出来, 在解题中我们不需(或不能)求出所有字母的值, 只需求出关键的字母的值, 这种方法我们称之为“设而不求”．基础训练1. 给出下列算式: , , , ……观测上面一列算式, 你能发现什么规律, 用代数式子表达这个规图3图2图1⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅律：．(福州市中考题) 2. 已知: , , , ……, 若( 为正整数), 则= .(2023年武汉市中考题)3．若人完毕一项工程需要天, 则个人完毕这项工程需要天．(假定每个人的工作效率相同) (江苏省竞赛题) 4. 某同学上学时步行, 回家时坐车, 路上一共要用90分钟, 若往返都坐车. 所有行程只需30分钟, 假如往返都步行, 那么需要的时间是. (河南省竞赛题) 5. 一项工程, 甲建筑队单独承包需要天完毕, 乙建筑队单独承包需要天完毕, 现两队联合承包, 完毕这项工程需要( )天.. A. ...B. ...C. ...D.6．某专卖店在记录2023年第一季度的销售额时发现, 二月份比一月份增长10％, 三月份比二月份减少10％, 那么三月份比一月份( )．A. 增长10％B. 减少10％C. 不增不减D. 减少1％(河南省中考题)7. 如图, 在长方形中, 横向阴影部分是长方形, 另一阴影部分是平行四边形, 依照图中标注的数据, 计算图中空白部分的面积, 其面积是( ).A. B.C. D. （河北省中考题)8．为了绿化环境、美化城市, 在某居民社区铺设了正方形和圆形两块草坪, 假如两块草坪的周长相同, 那么它们的面积S1.S2的大小关系是( )．A. S1＞S2B. S1< S2C. S1=S2D. 无法比较9．从开始, 连续的奇数相加, 和的情况如下：21=；121=+；=2432=+1=+；935324167531==+++； 252597531==++++；(1)请你推测出, 从1开始, 个连续的奇数相加, 它们的和的公式是什么? (2)计算:①191715131197531+++++++++； ② .(3)已知 , 求整数的值.10．从小明的家到学校, 是一段长度为的上坡路接着一段长度为的下坡路(两段路的长度不等但坡度相同)．已知小明骑自行车走上坡路时的速度比走平路时的速度慢20％, 走下坡路时的速度比走平路时的速度快20％, 又知小明上学途中花10分钟, 放学途中花12分钟． (1)判断a 与b 的大小；(2)求与的的比值. (江苏省竞赛题)11.观测下列各正方形图案, 每条边上有（）个圆点, 每个图案中圆点的总数是S ．按此规律推断出S 与n 的关系式是 . (2023年广西中考题) 12．如图, 将面积为的小正方形与面积为的大正方形放在一起( > >0), 用表达的面积为． (天津市竞赛题)13. 已知17个连续整数的和是306, 那么, 紧接在这17个数后面的那17个整数的和为 .14. 用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律. 拼成若干个图案：(1)第4个图案中有白色地面砖块；(2)第个图案中有白色地面砖块. (2023年南昌市中考题)15. 下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是( ).A. B. C. D.(江苏省竞赛题) 16. 给出两列数: l, 3, 5, 7, 9, …, 2023和1, 6, 1l, 16, 21, …, 2023, 同时出现在两列数中的数的个数为( ).A. 199B. 200C. 201D. 202 (重庆市竞赛题) 17．—种商品每件进价为元, 按进价增长25％定出售价, 后因库存积压降价, 按售价的九折出售, 每件还能赚钱( )．A. 0.125B. 0.15C. 0.25D. 1.25 (山东泰安市中考题) 18．假如用名同学在小时内搬运块砖, 那么名同学以同样的速度搬运块砖所需的小时数是( )．A. B. C. D.19. 已知 ( =l, 2, 3, …2023).求当时, 的值.20. 在一次数学竞赛中, 组委会决定用NS公司的赞助款购买一批奖品, 若以1台NS计算器和3本《数学竞赛讲座》书为一份奖品. 则可买100份奖品；若以1台NS计算器和5本《数学竞赛讲座》书为一份奖品. 则可买80份奖品. 问这笔钱所有用来购买计算器或《数学竞赛讲座》书, 可各买多少? (湖北省黄冈市竞赛题)根据上述材料, 解答下列问题: 某校初三学生对我市一个乡的农民家庭进行抽样调查. 从1997年至2023年间, 该乡每户家庭消费支出总额每年平均增长500元, 其中食品消费支出总额每年平均增长200元, 1997年该乡农民家庭平均刚达成温饱水平, 已知该年每户家庭消费支出总额平均为8000元.求: (1)1997年该乡平均每户家庭食品消费支出总额为多少元?(2)设从1997年起m年后该乡平均每户的恩格尔系数为（为正整数）. 请用的代数式表达该乡平均每户当年的恩格尔系数, 并运用这个公式计算2023年该乡平均每户的恩格尔系数(百分号前保存整数).(3)按这样的发展, 该乡将于哪年开始进入小康家庭生活?该乡农民能否实现十六大提出的2023年我国全面进入小康社会的目的? (桂林市中考题)答案：1.n2+n=n(n+1.2.10.3..4.150分.5..6..7..8.B9.(1)S=n 2 (2)①100 ②132-52=144 (3)n=15 10.(1)a<b,(2)把骑车走平路时的速度作为“1”,则 ,得0.8a +1.2b =56(1.2a +0.8b ),得a b =38. 11.S=4n-4 12.12b 213.595 14.(1)18;(2)4n+2 15.A 设自然数从a+1开始,这100个连续自然数的和为(a+1)+(a+2)+•…+(a+100)=100a+5050.16.C 第一列数可表达为2m+1,第二列数可表达为5n+1,由2m+1=5n+1,得n=25m,m=0,5,10…1000 17.A18.D 提醒:每一名同学每小时所搬砖头为cab块,c 名同学按此速度每小时搬砖头2c ab 块.19.提醒:a 1=1,a 2=12,a 3=13……,a n =1n ,原式=20022003. 20.设每台计算器x 元,每本《数学竞赛讲座》书y 元,则100(x+3y)=80(x+5y),解得x=5y,故可购买计算器100(3)10085x y y x y +⨯==160(台),书100(3)1008x y yy y+⨯==800(本).21.提醒:设所填表中每行、每列、每条对角线四数之和为Ｓ, 则 4S=1+2+3+…16=16172⨯,得S=34. 再设左上角所擦的数为x,则左下角擦的数为14-x,右下角擦掉的数为15+x,其余各格中擦掉的数都可以表达为x 的代数式,•再将主对角线上的数相加应得34,•即30+4x=34,解得x=1.于是可以依次算出被擦掉的各数,恢复后如图所示.22.(1)8000×60%=4800元.(2)n m =48002008000500m m ++,即n m =482805mm++当m=2023-1997=6时.n 6=48268056+⨯+⨯≈0.55=55%.(3)取n=0.5,即482805m m ++=12,解得m=16, 即1997+16=2023<2023年,所以,2023•年该村进入小康生活,并能实现十六大提出的目的.提高训练1. 用同样大小的黑棋子按如图所示的方式摆图形, 按照这样的规律摆下去, 则第个图形需棋子_________枚（用含的代数式表达）. （2023年海南省中考题）2. 如图, 一块拼图卡片的长度为 , 两块相同的拼图卡片拼接在一起的长度为 , 则块相同的拼图卡片拼接在一起的长度为______ （用含的代数式表达）.（2023年长春市中考题）3. 假如是一个三位数, 现在把1放在它的右边得到一个四位数, 这个四位数是（）.A. B. C. D. （重庆市竞赛题）4．图中的三角形是有规律地从里到外逐层排列的．设为第层（为正整数）三角形的个数, 则下列关系式中对的的是（）．A. B. C. D. （吉林省中考题）5．某商场经销一批电视机, 进价为每台元, 原零售价比进价高 , 后根据市场变化, 把零售价调整为原零售价的 , 调整后的零售价为每台（）元．A. B. 图3图2图1●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●n 1块C. D. （2023年广东省竞赛题）6．已知是整数, 现有两个代数式: （1） , （2）．其中, 能表达“任意奇数”的（）．A. 只有（1）B. 只有（2）C. 有（1）和（2）D. 一个也没有7. 有一张纸, 第1次把它分割成4片, 第2次把其中的1片分割成4片, 以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片, 如此进行下去, 试问:（1）经五次分割后, 共得到多少张纸片？（2）经次分割后, 共得到多少张纸片？（3）能否经若干次分割后共得到2023张纸片？？（第17届江苏省竞赛题）8．如图, 用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面, 观测图形并猜想填空：当黑色瓷砖为20块时, 白色瓷砖为______块；当白色瓷砖为（为正整数）块时, 黑色瓷砖为______块．（宜昌市中考题）9. 在图甲中取阴影等边三角形各边的中点, 连成一个等边三角形, 将其挖去, 得到图乙；对图乙中的每个阴影等边三角形仿照先前的做法, 得到图丙, 如此继续. 假如图甲的等边三角形面积为1, 则第个图形中所有阴影三角形面积的和为______.（第18届江苏省竞赛题）10. 已知 , （ =1, 2, 3, …）, 则 =______. （重庆市竞赛题）11．老师报出一个5位数, 同学们将它的顺序倒排后得到的5位数减去原数, 学生甲、乙、丙、丁的结果分别是 34567, 34056, 23456, 34956．老师鉴定4个结果中只有一个对的, 答对的是（）．A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁（第16届“五羊杯”竞赛题）12．如图, 正方形和的边长分别为, , 那么△的面积的值（）．A. 只与的大小有关B. 只与的大小有关C. 与, 的大小都有关D．与, 的大小都无关（第19届江苏省竞赛题）13. 有四个互不相同的正整数, 从中任取两个数组成一组, 并在同一组中用较大的数减去较小的数, 再将各组所得的差相加, 其和恰好等于18. 若这四个数的乘积是23100, 求这四个数. （天津市竞赛题）。

七年级数学培优竞赛讲座第1讲_走进美妙的数学世界

第一讲走进美妙的数学世界从蛮荒时代的结绳计数到现代通讯和信息时代神奇的数学，人类任何时候都受到数学的恩惠和影响，数学科学是人类长期以来研究数、量的关系和空间形式而形成的庞大科学体系．走进美妙的数学世界，我们将一起走进崭新的“代数”世界，不断扩充的数系、奇妙的字母表示数、威力巨大的方程、不等式模型、运动变化的函数观念；走进美妙的数学世界，我们将一起走进丰富的“图形”世界，拼剪、折叠、平移、旋转，在操作与实验活动中，发现这些图形的奇妙的性质，用它们设计精美的图案；走进美妙的数学世界，我们将畅游在无边的“数据”世界，从图表中获取信息，并选择合适的图表来表达数据和信息；走进美妙的数学世界，它将开阔我们的视野，它提醒我们有无形的灵魂，它改变我们的思维方式，它涤尽我们的蒙昧与无知．诺贝尔奖获得者、著名物理学家杨振宁说：“我赞美数学的优美和力量，它有战术的机巧与灵活，又有战略上的雄才远虑，而且，奇迹的奇迹，它的一些美妙概念竟是支配物理世界的基本结构．”例题【例1】(1)我们平常用的数是十进制数，如2639＝2×103+6×102+3×10＋9，表示十进制的数要用10个数的数码(又叫数字)：0，1，2，3，……9，在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如二进制中101＝1×22+0×21+1等于十进制的数5，那么二进制中的1101等于十进制的数．(浙江省金华市中考题)(2)探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大．吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”．满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它吸进去，无一能逃脱它的魔掌，譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方．再相加。

得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和……．重复运算下去，就能得到一个固定的数T＝，我们称之为数字“黑洞”．(青岛市中考题) 思路点拨(1)从阅读中可知，无论何种进制的数都可表示与数位上的数字、进制值有关联的和的形式；(2)从一个具体的数操作，发豌规律．【例2】A、B、C、D、E、F六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时．统计出A、B、C、D、E五队已分别比赛了5、4、3、2、l场球，则还没有与B队比赛的球队是( )．A．C队B．D队C．L，队D．F队(第18届江苏竞赛题)思路点拨用算术或代数方法解，易陷入困境．用6个点表示A、B、C、D、E、F这6个足球队，若两队已经赛过一场，就在相应的两个点之间连一条线。

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初一数学竞赛讲座第10讲计数的方法与原理计数方法与原理是组合数学的主要课题之一，本讲介绍一些计数的基本方法及计数的基本原理。

所谓枚举法，就是把所要求计数的所有对象一一列举出来，最后计算总数的方法。

运用枚举法进行列举时，必须注意无一重复，也无一遗漏。

例1四个学生每人做了一张贺年片，放在桌子上，然后每人去拿一张，但不能拿自己做的一张。

问：一共有多少种不同的方法？解：设四个学生分别是A，B，C，D，他们做的贺年片分别是a，b，c，d。

先考虑A拿B做的贺年片b的情况（如下表），一共有3种方法。

同样，A拿C或D做的贺年片也有3种方法。

一共有3＋3＋3=9（种）不同的方法。

例2甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止。

问：一共有多少种可能的情况？解：如下图，我们先考虑甲胜第一局的情况：图中打√的为胜者，一共有7种可能的情况。

同理，乙胜第一局也有 7种可能的情况。

一共有 7＋7=14（种）可能的情况。

这是我们所熟知的加法原理，也是利用分类法计数的依据。

例 3 一个自然数，如果它顺着数和倒着数都是一样的，则称这个数为“回文数”。

例如1331，7，202都是回文数，而220则不是回文数。

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