两个向量平行的条件

平面向量平行的条件

平面向量平行的条件
平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反的非零向量。

向量v={X，Y，Z}平行于平面Ax＋By＋Cz＋D=0的充要条件为：AX＋BY＋CZ=0。

在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小和方向的量。

它可以形象化地表示为带箭头的线段。

箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。

与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。

向量平行（共线）条件的两种形式： 1、a=λb，则a∥b。

2、设a(x1,y1)、b(x2,y2)，若x1y2=y1x2，则a∥b。

相等的向量一定平行，但是平行的向量并不一定相等。

两个向量相等并不一定这两个向量一定要重合。

只用这两个向量长度相等且方向相同即可。

平行向量公式：向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，x1y2-x2y1=0。

a⊥b的充要条件是a·b=0，即(x1x2+y1y2)=0。

“向量共线”和“向量平行”是同一个概念。

假定与某一直线共线（平行）的所有向量组成一个集合A.正是由于规定了零向量与任何向量都平行，才有0∈A，于是这个集合A 中的向量才满足下面三条： 1、任给a，b∈A,总有a+b∈A； 2、任给a，c∈A，则必存在b∈A,使a+b=c成立.我们说b=c-a;(只有封闭的运算才有逆运算）。

3、任给a，b∈A,(a≠0)，则必存在惟一的实数λ,使b=λa;反之，若a∈A,λ∈R,b=λa,则b∈A。

向量垂直和平行的公式

向量垂直和平行的公式
向量垂直，平行的公式为：
若a，b是两个向量：a＝（x，y）b＝（m，n）；
则a⊥b的充要条件是a·b=0，即(xm+yn)=0；
向量平行的公式为：a//b→a×b=xn-ym=0；
向量，最初被应用于物理学。

很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量。

大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到。

“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段。

最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。

从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。

向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起。

18世纪末期，挪威测
量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a+bi（a,b为有理数，且不同时等于0），并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算。

把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题。

人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学中。

空间向量的平行与垂直定理

空间向量的平行与垂直定理空间向量的平行与垂直定理是空间向量运算中的一条重要定理，它描述了空间中两个向量的平行和垂直关系。

在研究物理、几何和力学等领域时，我们经常需要判断两个向量之间的关系，这个定理就为我们提供了一个有力的工具。

我们来研究两个向量的平行性。

如果两个向量的方向相同或相反，那么它们是平行的。

也就是说，如果向量A和向量B的方向相同或相反，我们可以写成A∥B。

这种平行关系可以用向量的数量积来判断。

具体来说，如果两个向量A和B的数量积等于它们的模长的乘积，即A·B=|A||B|，那么向量A和向量B是平行的。

接下来，我们来研究两个向量的垂直性。

如果两个向量的数量积等于0，那么它们是垂直的。

也就是说，如果向量A和向量B的数量积为0，我们可以写成A⊥B。

这种垂直关系可以用向量的数量积来判断。

具体来说，如果两个向量A和B的数量积等于0，即A·B=0，那么向量A和向量B是垂直的。

空间向量的平行与垂直定理在几何和物理问题中有广泛的应用。

例如，在平面几何中，我们经常需要判断两条线段的平行性或垂直性。

根据空间向量的平行与垂直定理，我们可以通过计算两个向量的数量积来判断它们之间的关系。

这样，我们就可以得到准确的结论，避免了繁琐的几何证明过程。

在物理学中，空间向量的平行与垂直定理也具有重要的应用价值。

例如，在力学中，我们经常需要计算物体受力的情况。

如果两个力的方向相同或相反，那么它们是平行的；如果两个力的数量积为0，那么它们是垂直的。

根据空间向量的平行与垂直定理，我们可以通过计算向量的数量积来判断力的方向和性质，从而进行精确的力学分析。

除了在几何和物理中的应用，空间向量的平行与垂直定理还可以应用于其他领域。

例如，在计算机图形学中，我们经常需要计算向量的平行和垂直关系，以确定图形的方向和位置。

在工程学中，空间向量的平行与垂直定理可以应用于结构分析和力学设计等方面。

空间向量的平行与垂直定理是空间向量运算中的一条重要定理，它描述了空间中两个向量的平行和垂直关系。

两空间向量平行的公式

两空间向量平行是几何中的一个重要概念，它指的是两个向量的方向相同，但大小可能不同。

它的公式可以用来表示两个空间向量是否平行。

首先，我们来看一下两空间向量平行的公式：如果空间向量a和b是平行的，那么它们之间满足：a·b=|a||b|。

这里的·表示向量点乘，|a|表示向量a的模，|b|表示向量b的模。

如果a·b=|a||b|，则a和b是平行的，否则不是。

其次，我们来看一下这个公式的证明：设空间向量a和b的模分别为|a|和|b|，它们的夹角为α，则有a·b=|a||b|cosα。

当α=0时，cosα=1，即a·b=|a||b|，这时a和b是平行的。

第三，我们来看一下这个公式应用的例子：假设a=(1,2,3)，b=(2,4,6)，则|a|=3.7，|b|=7.2，a·b=20。

根据公式，a·b=|a||b|，即20=3.7*7.2，故a和b是平行的。

最后，我们可以用这个公式来解决一些几何问题，比如判断两条直线是否平行，判断两个平面是否平行，判断多边形的边是否平行等等。

总之，两空间向量平行的公式是几何学中的一个重要概念，它的公式可以帮助我们解决很多几何问题。

利用空间向量证明平行

利用空间向量证明平行平行是向量的重要性质之一，通过利用空间向量可以证明向量之间的平行关系。

在三维空间中，我们可以用向量表示空间中的点和线，向量的方向和长度性质可以用来描述空间中的各种几何关系，包括平行。

首先，让我们定义两个向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，它们的起点都在原点$O$。

假设这两个向量平行，我们可以利用以下空间向量的性质进行证明。

根据向量的叉乘公式，我们可以得到以下等式：$(a_2b_3-a_3b_2)\vec{i}+(a_3b_1-a_1b_3)\vec{j}+(a_1b_2-a_2b_1)\vec{k}=0$由于向量$\vec{i}$，$\vec{j}$，$\vec{k}$是线性无关的，所以上述等式成立的充分必要条件是：$a_2b_3-a_3b_2=0$$a_3b_1-a_1b_3=0$$a_1b_2-a_2b_1=0$以上等式即为判断向量$\vec{a}$和$\vec{b}$平行的条件式。

如果这三个条件式都成立，那么我们可以断定$\vec{a}$和$\vec{b}$平行。

在利用空间向量证明平行时，还需要注意以下几点：1.向量的起点需要相同，因为平行关系是两个向量共线的特殊情况，共享起点是判断平行性的前提条件。

2.以上证明的方法适用于三维空间，对于二维空间中的向量，只需要考虑平面内的坐标，即去掉$z$轴的分量即可。

证明的方法和步骤类似。

3.利用向量的坐标分量进行证明时，要注意考虑向量的方向。

如果两个向量的方向相反，那么它们的叉积为零，同样能够证明它们是平行的。

总之，通过利用空间向量的共线性和叉乘公式，我们可以证明两个向量是否平行。

这是一种简单但有效的方法，在几何学和向量分析中得到了广泛应用。

高二数学向量垂直、平行的充要条件及应用(教师版)

学科教师辅导讲义【知识梳理】(1)两个向量平行的充要条件a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝O.（λ不等于0） (2)两个向量垂直的充要条件 a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.课堂练习与讲解：(1)若向量(,1),(4,)a x b x ==r r ，当x ＝__2___时a r 与b r 共线且方向相同；(2)已知(1,2),(3,)OA OB m =-=u u u r u u u r ，若OA OB ⊥u u u r u u u r ，则m = 32 ；(3)已知向量(2,3)a =，(,6)b x =，且a b P ，则x 为___4__________．(4)已知向量5,(1,2)a b ==r r，且b a ρρ⊥，则a ρ的坐标是__(25,5-)或___(25,5)-____。

(5)若()221,2,a b a b a ==-⊥r r r r r，则b a ρρ与的夹角为_____045______。

(6)已知平面向量(1,2)a =r ，(2,)b m =-r，且a r //b r ，则23a b +r r ＝（ B ）A 、(5,10)--B 、(4,8)--C 、(3,6)--D 、(2,4)-- (7)已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为（ C ）A ．17B ．18C ．19D ．20(8)已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ，(,7)c k =r ，若()a c -r r∥b r ，则k = 5 ． (9)已知平面向量a =,1x （），b =2,x x （－），则向量+a b （ C ） A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线(10)已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是（ D ） A ．-2B ．0C ．1D ．2（11）已知(1,1),(4,)a b x ==r r ，2u a b =+r r r ，2v a b =+r r r ，且//u v r r ，则x ＝__ 4 ____；（12）以原点O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=︒，则点B 的坐标是_（1，3）或（3，-1）_____ __；（13）已知(1,2)n =r 向量n m ⊥r u r ，且n m=r u r ，则m u r 的坐标是 _ (2,1)-或(2,-1)___(14)已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r，且A 、B 、C 三点共线，则 k= 34-_ (15)已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =u u u r u u u r ，则顶点D 的坐标为（ A ）A ．722⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．(32)，D ．(13)，(16)已知向量(2,4)a =， (1,1)b =．若向量 ()b a b λ⊥+，则实数λ的值是 -3 ．(17)已知a,b 是非零向量,且满足(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是 60° ．(18)（2009浙江卷文）已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c = （ B ） A ．77(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93-- (19)已知向量a 、b 不共线，c k =a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c //d ，那么（ D ）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向(20)已知点(1,2)A -,若向量AB u u u r 与(2,3)a =r同向, ||AB u u u r =213,则点B 的坐标为 ( 5, 4 )或（-3，-8） .(21)已知向量(3,4),(sin ,cos ),a b αα==r r 且//a b r r,则tan α=（ C ）.A ．34 B. 34- C. 43 D. 43- (22)若，且，则向量与的夹角为（ C ）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150° (23)若平面向量a ，b 满足1=+b a ，b a +平行于x 轴，)1,2(-=b ，则=a （-1，1）或（-3，1） .(24)设向量a r ，b r ，c r 满足0a b c ++=r r r r ，()a b c -⊥r r r ，a b ⊥r r，若｜a r ｜=1,则｜a r ｜22||b +r +｜c r ｜2的值是 4 .(25)（本题12分）已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝（1，2） ⑴若|c |52=，且a c //，求c 的坐标； ⑵若|b |=,25且b a 2+与b a 2-垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：⑴设20,52,52||),,(2222=+∴=+∴==y x y x c y x c Θ23.已知ABC V 和ABC V 所在平面内一点O ,且,OA BC OB CA ⊥⊥,用向量的方法证明：OC AB ⊥.24．如图，一个质量为40N 的物体，由两根绳子,AC BC 悬挂起来，若,AC BC 与铅垂线所成的角分别为30°，45°，且物体静止不动，求绳子,AC BC 需要承受多大的力？答案：1.C 2.A 3.B 4.C 5.C 6.C 7.A 8.C 9.D 10.B 11.16 122233a b -rr 13.4 14.26-或 15.612,55⎛⎫- ⎪⎝⎭16.750焦耳 17.a b +r r 18.②④⑤19.()()6,86,8--或 20.221 21略 22略23.只要证明0OC AB =u u u r u u u rg24.()()4031,20231AC BC F N F N =-=-ABC。

高中数学-公式-平面向量

平面向量1.两个向量平行的充要条件,设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),λ为实数。

〔1〕向量式：a ∥b (b ≠0)⇔a =λb ;〔2〕坐标式：a ∥b (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1=0;2.两个向量垂直的充要条件, 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2), 〔1〕向量式：a ⊥b (b ≠0)⇔a b =0; 〔2〕坐标式：a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0;3.设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么a b θ=x 1x 2+y 1y 2;其几何意义是a b 等于a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积；4.设A 〔x 1,x 2〕、B(x 2,y 2)，那么S ⊿AOB ＝122121y x y x -； 5.平面向量数量积的坐标表示：〔1〕假设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么a b =x 1x 2+y 1y 2221221)()(y y x x -+-=; 〔2〕假设a =(x,y),那么a 2=a a =x 2+y 2,22y x a +=;十、向量法 1、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么：〔1〕线线平行：l ∥m ⇔a ∥b ⇔=a kb〔2〕线面平行：l ∥α⇔a ⊥u 0⇔=a u〔3〕面面平行：////αβ⇔⇔=u v u kv注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.2、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么：〔1〕线线垂直：⊥⇔l m a ⊥b 0⇔=a b〔2〕线面垂直：α⊥⇔l a ∥u ⇔=a ku〔3〕面面垂直：αβ⊥⇔u ⊥v 0⇔=u v3、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么：〔1〕直线、m l 所成的角(0)2πθθ≤≤，cos θ⋅=a ba b〔2〕直线l 与平面α所成的角(0)2πθθ≤≤，sin θ⋅=a ua u〔3〕平面α与平面β所成的二面角的平面角(0)θθπ≤≤，cos θ⋅=u vu v教学过程：二、新课讲授1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模.3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律． ⑴加法交换律：a +b = b + a ； ⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a ．4. 推广：⑴12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=；⑵122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .称平面向量共线定理，二、新课讲授1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b ．2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a 、b 〔b ≠0〕，a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：假设a ∥b 〔a ≠0〕，那么有b ＝λa ，其中λ是唯一确定的实数。

向量平行公式和垂直公式

向量平行公式和垂直公式向量是一个有大小和方向的量，表示空间中的一条有向线段。

向量可以相互作加法和数乘运算，从而形成向量空间。

在向量运算中，平行和垂直是非常常见的概念，对于解题有很大帮助。

下面将介绍向量平行公式和垂直公式。

1. 向量平行公式向量 a 和向量 b 是平行的，当且仅当它们的方向相同或相反，即 a // b 或a // -b。

向量平行的判定方法有很多种，其中最常用的是点积法和叉积法。

点积法适用于二维和三维空间，而叉积法则只适用于三维空间。

这里先介绍点积法。

点积法：给定向量 a = (a1, a2, a3) 和向量 b = (b1, b2, b3)，则它们平行的充分必要条件是它们的点积等于它们的模的积：a ·b = |a| |b|其中，|a| 和 |b| 分别表示向量 a 和向量 b 的模，也就是长度。

该公式可以用向量的坐标进行计算，即：a ·b = a1b1 + a2b2 + a3b3如果向量 a 和向量 b 的点积为 0，则它们垂直；如果点积为正，则它们锐角；如果点积为负，则它们钝角。

因为当它们垂直时，点积等于 0；当它们平行时，点积等于模的积；当它们夹角为其它角度时，点积小于模的积。

2. 向量垂直公式向量 a 和向量 b 是垂直的，当且仅当它们的点积等于 0，即 a ⊥ b。

向量垂直的判定方法只有一个，就是点积法。

点积法：给定向量 a = (a1, a2, a3) 和向量 b = (b1, b2, b3)，则它们垂直的充分必要条件是它们的点积等于 0：a ·b = 0同样，这个公式也可以用向量的坐标进行计算，即：a ·b = a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0如果向量 a 和向量 b 的点积为 0，则它们垂直；如果点积不为 0，则它们不垂直。

当它们夹角为 90°时，点积等于 0；当它们夹角为其他角度时，点积不等于 0。

总结：向量平行公式：a · b = |a| |b| 或 a // b 或 a // -b向量垂直公式：a · b = 0 或 a ⊥ b这两个公式在向量运算中非常重要，能够帮助我们解决许多问题，如：判断两个向量是否平行或垂直；计算向量的夹角等。

空间中向量平行公式

空间中向量平行公式在我们学习数学的旅程中，空间中向量平行公式就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开很多知识的大门。

咱们先来说说啥是向量。

想象一下，在一个大大的空间里，有个箭头，它不仅有长度，还有方向，这就是向量。

而向量平行呢，简单来说，就是两个向量朝着差不多的方向前进。

空间中向量平行公式是：若存在向量 a = (x1, y1, z1)，向量 b = (x2,y2, z2)，当且仅当 x1 / x2 = y1 / y2 = z1 / z2 时，这两个向量平行。

我还记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，发生了一件特别有意思的事儿。

那是一个阳光明媚的上午，我在黑板上写下了这个公式，然后开始讲解。

可是我发现，好多同学都是一脸迷茫的样子。

我就问他们：“咋啦，这公式很难懂吗？”一个平时特别活泼的小男生举起手说：“老师，感觉这些字母在我眼前飞来飞去，我抓不住它们的意思。

”这可把我逗乐了，我想了想，然后说：“那咱们来做个小游戏。

假设咱们的教室就是一个空间，你们每个人都是一个向量。

现在，第一排的同学站起来，朝左边走一步，这就是一个向量的方向。

然后第二排的同学，朝右边走两步。

大家想想，这两组同学的‘向量’平行吗？”同学们一下子来了精神，开始叽叽喳喳地讨论起来。

有的说平行，有的说不平行。

最后我们一起分析，发现因为他们移动的步数比例不一样，所以这两个“向量”不平行。

通过这样的小游戏，同学们好像对向量平行有了更直观的理解。

在实际生活中，向量平行的概念也有很多用处呢。

比如说，建筑工人在搭建高楼的时候，那些钢梁的方向如果平行，整个结构就会更稳固；飞机在飞行的时候，它的速度向量如果和气流的向量平行，就能更省油、更稳定地飞行。

再回到我们的数学学习中，掌握好空间中向量平行公式，对于解决很多几何问题、物理问题都特别有帮助。

比如说，在计算两个物体的运动方向是否一致，或者判断空间中的线条是否平行，都能派上用场。

当我们深入理解这个公式，并且能够熟练运用它的时候，就会发现数学的世界真的很奇妙。

空间两个向量平行的公式

空间两个向量平行的公式在空间中，两个向量平行的公式可以通过向量的内积来表示。

内积是向量运算中的一种操作，可以将两个向量的长度和夹角信息结合起来。

当两个向量的内积等于零时，它们是垂直的，而当内积不等于零时，它们是平行的。

设有两个向量a和b，它们的内积可以表示为a·b。

如果a·b=0，则a和b垂直；如果a·b≠0，则a和b平行。

要证明两个向量平行，可以使用向量的坐标表示。

假设a=(a1,a2,a3)和b=(b1,b2,b3)是两个空间向量。

那么它们的内积可以表示为：a·b=a1b1+a2b2+a3b3当a·b=0时，上述等式可以转化为以下形式：a1b1+a2b2+a3b3=0这就是两个空间向量平行的公式。

当满足上述等式时，可以推断出两个向量a和b是平行的。

这个公式可以应用于任意维度的空间向量。

接下来，让我们来看一些应用例子。

例1：判断两个向量是否平行考虑向量a=(1,-2,3)和b=(2,-4,6)。

我们可以计算它们的内积：a·b=1*2+(-2)*(-4)+3*6=2+8+18=28由于a·b≠0，我们可以得出结论：向量a和b是平行的。

例2：计算两个向量的夹角考虑向量a=(1,-2,3)和b=(2,-1,1)。

为了计算它们的夹角，我们需要先计算它们的内积和它们的长度。

a·b=1*2+(-2)*(-1)+3*1=2+2+3=7a，=√(1^2+(-2)^2+3^2)=√(1+4+9)=√14b，=√(2^2+(-1)^2+1^2)=√(4+1+1)=√6通过内积和长度的计算，我们可以得到两个向量的夹角的余弦值：cosθ = (a·b) / (，a， * ，b，) = 7 / (√14 * √6)现在，我们可以使用反余弦函数来计算夹角的大小θ：θ = arccos(cosθ)因此，我们可以得到两个向量a和b之间的夹角。

高中数学有关向量的经典结论

高中数学有关向量的经典结论
向量是数学中的重要概念，在高中数学中也有很多与向量相关的经典结论。

以下是一些常见的向量结论：
平行向量的性质
- 平行向量的定理：如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。

- 平行向量的性质：平行向量的模长相等或者成比例。

向量的加法
- 平行四边形法则：如果两个向量的作为边的平行四边形的两个对角线相交于一个点，则这两个向量的和向量也经过这个点。

- 三角形法则：如果两个向量的作为边的三角形的两个边相交于一个点，则这两个向量的和向量也经过这个点。

向量的数乘
- 数乘加倍定理：向量A经过原点，与向量A夹角不超过90°，则对于任意实数A，向量AA的模长都不超过向量AA的模长。

向量共线与共面
- 向量共线的定理：如果两个非零向量共线，则它们可以表示为一个数与另一个向量的乘积。

- 向量共面的定理：如果三个非零向量共面，则其中一个向量可以表示为另外两个向量的线性组合。

向量积的性质
- 向量积的模长：两个向量的向量积的模长等于这两个向量的模长与它们夹角的正弦值的乘积。

- 向量积的方向：两个向量的向量积的方向垂直于这两个向量所在的平面，遵循右手定则。

以上是高中数学中与向量相关的一些经典结论。

掌握这些结论可以帮助我们更好地理解和应用向量的概念，在解决数学问题时更加得心应手。

向量ab平行公式

向量ab平行公式
空间向量是根据空间定义的有方向的数量对，它可以用来表示方向和距离。

任意两个空间向量都可以构成平行关系。

平行意味着两个向量的方向相同，即它们在同一平面上，并且它们的距离一致。

空间中的两个向量如果满足上述条件，就可以用以下的矢量形式的平行公式来表示：
设A=(a1,a2,a3), B=(b1,b2,b3)是两个空间向量。

A, B之间的平行关系可以用下面公式表示，即：
a1/b1=a2/b2=a3/b3
这说明，当两个空间向量A和B满足a1/b1=a2/b2=a3/b3时，A，B为平行关系。

意思是A, B沿同一平面方向，且方向相同，距离一致，此时A，B之间就可以表示为平行关系。

平行公式是描述空间中任意两个向量间的平行关系的公式，其中的重要性在于基于参数的关联方面，按照相应的公式，可以通过一个空间向量得到另一个空间向量，反之亦然，这也是日常生活中经常使用的一个方法。

另外，关于空间向量平行关系，一定要牢记，它们要在同一平面上，方向相同，距离一致，才可以表示为平行关系。

两直线平行向量关系公式

两直线平行向量关系公式两直线平行向量关系公式是解决向量问题中常用的公式之一。

在平面向量中，两个向量平行的条件是它们的方向相同或相反，且模长成比例。

这个条件可以用向量的数学表示来表达，即两个向量的叉积为零。

下面我们将详细介绍这个公式的应用。

我们来看一下两个向量的叉积的定义。

设有两个向量a和b，它们的叉积为c，表示为c=a×b。

那么，向量c的模长等于向量a和向量b所构成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形。

如果向量a和向量b平行，则它们所构成的平行四边形的面积为零，因此向量c的模长也为零，即c=0。

根据这个定义，我们可以得到两个向量平行的条件：向量a和向量b的叉积为零，即a×b=0。

这个条件可以进一步转化为向量a和向量b的坐标分量的关系式，即ax*by-ay*bx=0。

这个关系式可以用来判断两个向量是否平行。

在实际应用中，我们可以利用这个公式来解决一些向量问题。

例如，我们可以用这个公式来求两个平面向量的夹角。

设有两个向量a和b，它们的夹角为θ，那么它们的叉积c的模长等于a和b的模长乘以sinθ，即|c|=|a||b|sinθ。

因此，我们可以得到两个向量的夹角公式：cosθ=a·b/|a||b|。

除了求夹角之外，我们还可以利用这个公式来解决一些平面几何问题。

例如，我们可以用这个公式来判断两条直线是否平行。

设有两条直线L1和L2，它们的方向向量分别为a和b，那么如果a和b 平行，则L1和L2平行。

我们可以用向量的坐标分量来表示a和b，然后利用上面的公式来判断它们是否平行。

两直线平行向量关系公式是解决向量问题中常用的公式之一。

它可以用来判断两个向量是否平行，求两个向量的夹角，以及判断两条直线是否平行。

在实际应用中，我们可以根据具体问题来选择合适的公式，从而解决问题。

高二数学向量垂直、平行的充要条件及应用(学生版)

学科教师辅导讲义【知识梳理】(1)两个向量平行的充要条件a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝O.（λ不等于0） (2)两个向量垂直的充要条件 a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.课堂练习与讲解：(1)若向量(,1),(4,)a x b x ==r r ，当x ＝ __时a r 与b r 共线且方向相同；(2)已知(1,2),(3,)OA OB m =-=u u u r u u u r ，若OA OB ⊥u u u r u u u r ，则m = ；(3)已知向量(2,3)a =，(,6)b x =，且a b P ，则x 为___ _________．(4)已知向量5,(1,2)a b ==r r，且b a ρρ⊥，则a ρ的坐标是_ _ 或___ ____。

(5)若()221,2,a b a b a ==-⊥r r r r r，则b a ρρ与的夹角为____ _____。

(6)已知平面向量(1,2)a =r ，(2,)b m =-r，且a r //b r ，则23a b +r r ＝（）A 、(5,10)--B 、(4,8)--C 、(3,6)--D 、(2,4)-- (7)已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为（）A ．17B ．18C ．19D ．20(8)已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ，(,7)c k =r ，若()a c -r r∥b r ，则k = ． (9)已知平面向量a =,1x （），b =2,x x （－），则向量+a b （）A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线(10)已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是（） A ．-2B ．0C ．1D ．2（11）已知(1,1),(4,)a b x ==r r ，2u a b =+r r r ，2v a b =+r r r ，且//u v r r ，则x ＝__ ____；（12）以原点O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=︒，则点B 的坐标是 _____ __；（13）已知(1,2)n =r 向量n m ⊥r u r ，且n m=r u r ，则m u r 的坐标是 _ ___(14)已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r，且A 、B 、C 三点共线，则 k=(15)已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =u u u r u u u r，则顶点D 的坐标为（）A ．722⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．(32)，D ．(13)，(16)已知向量(2,4)a =， (1,1)b =．若向量 ()b a b λ⊥+，则实数λ的值是．(17)已知a,b 是非零向量,且满足(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是．(18)（2009浙江卷文）已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c = （） A ．77(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93-- (19)已知向量a 、b 不共线，c k =a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c //d ，那么（） A ．1k =且c 与d 同向 B ．1k =且c 与d 反向 C ．1k =-且c 与d 同向 D ．1k =-且c 与d 反向(20)已知点(1,2)A -,若向量AB u u u r 与(2,3)a =r同向, ||AB u u u r =213,则点B 的坐标为(21)已知向量(3,4),(sin ,cos ),a b αα==r r 且//a b r r,则tan α=（）.A ．34 B. 34- C. 43 D. 43- (22)若，且，则向量与的夹角为（）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150° (23)若平面向量a ，b 满足1=+b a ，b a +平行于x 轴，)1,2(-=b ，则=a .(24)设向量a r ，b r ，c r 满足0a b c ++=r r r r ，()a b c -⊥r r r ，a b ⊥r r，若｜a r ｜=1,则｜a r ｜22||b +r +｜c r ｜2的值是 .(25)（本题12分）已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝（1，2） ⑴若|c |52=，且a c //，求c 的坐标； ⑵若|b |=,25且b a 2+与b a 2-垂直，求a 与b 的夹角θ.12.已知AD 、BE 分别为ABC V 的中线，若,AD a BE b ==u u u r u u u r r r ，则用,a b rr 表示AB u u u r ,得AB =u u u r ________13.已知向量()()1,2,3,OA OB m =-=u u u r u u u r，若OA u u u r ⊥OB uuu r ，则m =___________14.设()(),3,4,4x a y a ==+r r ，若x r ∥y r，则a =_________15.已知点()()2,0,3,0A B -，且4,3PA PB ==u u u r u u u r,则P 点的坐标为____________16.一人用绳拉车沿直线方向前进30米，若绳与行进方向的夹角为5π，人的拉力为50牛顿，则人对车所做的功为___________17.物体自点A 出发运动点B ，又折向点C ，若,AB a BC b ==u u u r u u u r r r , 用,a b rr 表示物体的实际移位，有AC =u u u r_____________18.有以下6个结论：①a b a b =r rr r gg ②00a =r r g ③00a -=r r ④0BA AB -=u u u r u u u r r ⑤a b a b ≤r r r r gg ⑥若,a b b c ⊥⊥r r r r ，则必有a r ∥c r，其中成立的序号是_____________ 三、解答题19.已知()4,3,,10a b a b =-⊥=r r rr ，求b r 的坐标。

向量垂直和平行公式

向量垂直和平行公式在向量的运算中，我们经常会遇到向量的垂直和平行问题。

了解这些问题的公式和性质，可以帮助我们更好地理解向量的运算规律，从而更加得心应手地处理向量的问题。

首先，让我们来看向量的垂直性质。

在平面直角坐标系中，两个向量垂直的条件是它们的数量积为0。

也就是说，若向量A(x1,y1)与向量B(x2,y2)垂直，则有：x1*x2 + y1*y2 = 0这个公式可以形象地理解为，两个向量的夹角为90度。

在三维空间中，向量的垂直公式稍有不同，但核心思想是一致的。

了解了向量的垂直性质，我们再来看向量的平行性质。

两个非零向量平行的条件是它们之间存在一个实数k，使得它们的各个分量之间成比例。

这个条件可以表示为：x1/x2 = y1/y2 = z1/z2 = k （三维空间）或者x1/x2 = y1/y2 = k （二维空间）这个公式也可以形象地理解为，两个向量的方向相同或相反，但可能长度不同。

需要注意的是，两个向量平行的条件不包括零向量，因为零向量可以与任何向量平行。

知道了向量的垂直和平行公式和性质，我们就可以应用它们来解决一些具体问题了。

比如，可以利用垂直性质求两个向量夹角的正弦、余弦、正切等值，或者利用平行性质判断两个向量是否共线或平行。

除了理解公式和应用性质之外，我们还需要知道如何求两个向量的垂直向量和平行向量。

对于平面向量而言，两个向量的和可以分解为它们的平行向量和垂直向量的和。

而对于三维向量而言，两个向量的和可以分解为它们的平行向量和垂直向量的和，其中平行向量由两个向量的叉积得到，垂直向量由两个向量的量积得到。

综上所述，向量的垂直和平行公式和性质是向量运算中非常重要的内容，我们需要认真理解和掌握它们，以便更好地处理向量问题。

同时，我们还需要知道如何应用这些公式和性质求解具体问题，才能在实践中灵活运用。

7.3.3 向量平行的条件

而我们要知道向量的共线和平行是同一个含义它与直线的平行重合不同两个向量的基线是同一条直线或两条平行直线时向量都称为共线或平行向量观察归纳形成概念它的表示方法是ab而且由于零向量0的方向不定所以可以把零向量认为成和任一向量平行的向量
第七章平面向量
7.3.3 向量平行的条件
观察归纳形成概念
在学习向量概念的时候,我们已经定义了什么是向量共线(即平行).而我们要知道向量的共线和平行是同一个含义,它与直线的平行、重合不同,两个向量的基线是同一条直线或两条平行直线时,向量都称为共线(或平行)向量,
则a // b x1 y2 x2 y1 0.
案例分析：
随堂练习：
课堂小结：
两个向量平行的判断：
对非零向量a,b,设a (x1, y1),b (x2 , y2 )，则a // b x1 y2 x2 y1 0.0题
业
再见
观察归纳形成概念
它的表示方法是a//b，而且由于零向量0的方向不定，所以可以把零向量认为成和任一向量平行的向量。
(1) 平行向量基本定理: 如果a=λb,则a//b; 反之,如果a//b,且b≠0, 则存
在唯一一个实数λ ,使得a=λb.
归纳总结概括定义探究：
结论：
对非零向量a,b,设a (x1, y1),b (x2 , y2 )，

两向量平行的坐标关系(一)

两向量平行的坐标关系(一)两向量平行的坐标关系引言向量是数学中常见的概念，描述了大小和方向的物理量。

当两个向量平行时，它们有着特定的坐标关系。

本文将对这种关系进行简要的介绍和解释。

坐标表示任意一个向量都可以使用坐标来表示。

在三维空间中，一个向量可以使用三个坐标来表示，分别对应于x轴、y轴和z轴上的分量。

假设有两个向量，分别为A⃗和B⃗⃗，它们可以表示为： [ =] [ =]平行的判断条件两个向量平行的判断条件是它们的方向相同或者相反。

对于坐标表示的向量来说，可以通过比较它们的分量比值来判断是否平行。

如果两个向量的每个对应分量的比值相等，那么它们是平行的。

具体而言，两个向量A⃗和B⃗⃗平行的条件可以表示为： [ = = ]数学表达用数学语言表示两个向量平行的坐标关系可以采用以下方式：定理：对于向量A ⃗=(x 1y 1z 1)和B ⃗⃗=(x 2y 2z 2)，如果存在常数k 使得x 1x 2=y 1y 2=z 1z 2=k ，则A⃗和B ⃗⃗是平行的。

解释说明向量的坐标关系是通过比较各个分量的比值来判断的。

当两个向量的各个对应分量的比值都相等时，它们是平行的。

这是因为向量的方向由它的分量比值确定。

如果两个向量的分量比值相同，它们的方向相同；如果分量比值相反，它们的方向相反。

因此，两个向量的分量比值相等是平行的一个必要且充分条件。

总结本文简要地介绍了两向量平行的坐标关系。

平行的判断条件是两个向量的分量比值相等。

向量的坐标关系描述了向量空间中的方向性，对于很多问题具有重要的意义。