椭圆及其性质

§8.5椭圆及其性质

学习目标

1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.

2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)

.3.掌握椭圆的简单应用．

知识梳理

1．椭圆的定义

把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．

2．椭圆的简单几何性质

焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上

图形

标准方程x2

a2＋

y2

b2＝1 (a>b>0)

y2

a2＋

x2

b2＝1 (a>b>0)

范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a

顶点A1(－a，0)，A2(a，0)

B1(0，－b)，B2(0，b)

A1(0，－a)，

A2(0，a)

B1(－b，0)，

B2(b，0)

轴长短轴长为2b，长轴长为2a

焦点F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|＝2c

对称性对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点

离心率e＝c

a(0

常用结论

椭圆的焦点三角形

椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F 1PF 2＝θ.

(1)当P 为短轴端点时，θ最大，1

2

F PF S △最大．

(2) 12F PF S △＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝b 2tan θ

2＝c |y 0|.

(3)|PF 1|max ＝a ＋c ，|PF 1|min ＝a －c . (4)|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛

⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2

.

(5)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ. 思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × ) (2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( √ ) (3)y 2m 2＋x 2

n 2＝1(m ≠n )表示焦点在y 轴上的椭圆．( × ) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．( √ ) 教材改编题

1．设P 是椭圆x 225＋y 2

16＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )

A ．4

B ．5

C ．8

D ．10 答案 D

解析 依椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10.

2．若椭圆C ：x 24＋y 2

3＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为( )

A ．3

B ．2＋ 3

C ．2 D.3＋1

答案 A

解析 由题意知a ＝2，b ＝3，所以c ＝1，距离的最大值为a ＋c ＝3.

3．(2022·深圳模拟)已知椭圆C 的焦点在x 轴上，且离心率为1

2，则C 的方程可以为________．

答案 x 24＋y 2

3

＝1(答案不唯一)

解析 因为焦点在x 轴上，所以设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1，a >b >0，

因为离心率为1

2，

所以c a ＝12，

所以c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，

则b 2a 2＝34

.

题型一 椭圆的定义及其应用

例1 (1)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 是圆上任意一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 答案 B

解析 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|P A |＝|PN |.又AM 是圆的半径，所以|PM |＋|PN |＝|PM |＋|P A |＝|AM |＝6>|MN |.由椭圆的定义知，P 的轨迹是椭圆．

(2)设点P 为椭圆C ：x 2a 2＋y 2

4＝1(a >2)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，

则△PF 1F 2的面积为________． 答案

43

3

解析 由题意知，c ＝a 2－4. 又∠F 1PF 2＝60°，|F 1P |＋|PF 2|＝2a ， |F 1F 2|＝2a 2－4，

∴|F 1F 2|2＝(|F 1P |＋|PF 2|)2－2|F 1P ||PF 2|－ 2|F 1P |·|PF 2|cos 60°

＝4a 2－3|F 1P |·|PF 2|＝4a 2－16， ∴|F 1P |·|PF 2|＝163

，

∴12PF F S △＝1

2|F 1P |·|PF 2|sin 60°

＝12×163×3

2 ＝43

3

. 延伸探究 若将本例(2)中“∠F 1PF 2＝60°”改成“PF 1⊥PF 2”，求△PF 1F 2的面积． 解 ∵PF 1⊥PF 2，