数列练习题(附答案)

数列综合题

一、填空题

1． 各项都是正数的等比数列{a n }，公比q ≠1,a 5,a 7,a 8成等差数列，则公比q= 2． 已知等差数列{a n }，公差d ≠0,a 1,a 5,a 17成等比数列，则

18

621751a a a a a a ++++=

3． 3已知数列{a n }满足S n =1+

n a 4

1,则a n =

4．已知二次函数f(x)=n(n+1)x 2-(2n+1)x+1,当n=1,2,…，12时，这些函数的图像在x 轴上截得的线段长度之和为

5.已知数列{a n }的通项公式为a n =log (n+1)(n+2),则它的前n 项之积为

6.数列{(-1)n-1

n 2

}的前n 项之和为

7．一种堆垛方式，最高一层2个物品，第二层6个物品，第三层12个物品，第四层20个物品，第五层30个物品，…，当堆到第n 层时的物品的个数为

8．已知数列1，1，2，…，它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对应项相加而得到，则该数列前10项之和为

9．在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为

10．已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），……，则第60个数对为 11．设等差数列｛a n ｝的前n 项和是S n ，若a 5=20－a 16，则S 20=___________． 12．若｛a n ｝是等比数列，a 4· a 7= －512，a 3+ a 8=124，且公比q 为整数，则a 10等于___________．

13．在数列｛a n ｝中，a 1=1，当n ≥2时，a 1 a 2… a n =n 2

恒成立，则a 3+ a 5=___________． 14．设｛a n ｝是首项为1的正项数列，且（n ＋1）2

1+n a －na 2

n ＋a n +1 a n =0（n =1，2，3，…），则它的通项公式是a n =___________． 二.解答题

1.已知数列{a n }的通项公式为a n =3n +2n +(2n-1),求前n 项和

2．已知数列{a n }是公差d 不为零的等差数列，数列{a bn }是公比为q 的等比数列， b 1=1,b 2=10,b 3=46,，求公比q 及bn 。

3．已知等差数列{a n }的公差与等比数列{b n }的公比相等，且都等于d(d>0,d ≠1),a 1=b 1 ，a 3=3b 3,a 5=5b 5,求a n ,

4． 有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，

求这四个数。

5.已知等差数列｛a n ｝中，a 1＋a 4＋a 7 =15，a 2 a 4 a 6=45，求｛a n ｝的通项公式．

6.在等差数列｛a n ｝中，a 1=13，前n 项和为S n ，且S 3= S 11，求S n 的最大值．

参考答案

1.

2

51+

2. 2926

3. n

)

31(3

4-

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧

+=+=--1

1411411n n n n a S a S ,相减得

a n =1

4

14

1

--

n n a a 故a n =-1

3

1

-n a

4. 1312

1

1

1)

1(14)(212

2121+-

=

+=

-+=

-n n

n n x x x x x x

5. log 2(n+2)

6. (-1)

n-1

2

)

1(+n n

7. n 2

+n 8. 978 9. ±63

10.(5,7)

规律：（1）两个数之和为n 的整数对共有n-1个。（2）在两个数之和为n 的n-1个整数对中，排列顺序为，第1个数由1起越来越大，第2个数由n-1起来越来越小。设两个数之和为2的数对方第1组，数对个数为1；两个数之和为3的数对为第二组，数对个数2;…… ,两个数之和为n+1的数对为第n 组，数对个数为 n 。

∵ 1+2+…+10=55，1+2+…+11=66 ∴∴ 第60个数对在第11组之中的第5个数，从而两数之和为12，应为（5，7）

11．200．a 1＋ a 20= a 5＋a 16=20，∴S 20=

()

2

2020

1a a +=10×20=200．

12．512．∵ a 3＋ a 8=124，又a 3 ·a 8= a 4·a 7=－512，

故a 3， a 8是方程x 2－124x －512=0的两个根．

于是，a 3=－4，a 8=128，或a 3=128，a 8=－4．

由于q 为整数，故只有a 3=－4，a

8=128

因此－4· q 5

=128，q =－2．所以a 10= a 8·

·q 2=128×4=512． 13．1661

． a 1 a 2…a n =n 2，∴a 1 a 2…

a n －1 =（n －1）2

．

两式相除，得

2

1⎪

⎭⎫ ⎝⎛-=n n a n （n ≥2）．所以，a 3＋ a 5=166145232

2

=

⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛．

14．n 1

．所给条件式即（a n ＋1 a n ）[（n ＋1）a n ＋1－n a n ]=0，由于a n ＋1 a n ＞0，

所以（n ＋1）a n ＋1= na n ，

又a 1=1，故na n =（n －1）a n －1=（n －2）

a n －2=…=2a 2= a 1=1，∴a n =n 1

． 三、解答题

1． S n =a 1+a 2+…

+a n =(31+21+1)+(32+22+3)+ …+[3n

+2n

+(2n-1)]=(31

+32

+…+3n )+(21+22+…2n )++[1+3+…+(2n-1)]=2

7

2

2

3

2

)

121(2

1)21(23

1)31(32

1

1

-

++=

-++

--+

--++n n n n n n

n

2.a 1

b =a 1,a 2

b =a 10=a 1+9d,a 3

b =a 46=a 1+45d

由{a bn }为等比数例，得（a 1+9d ）

2

=a 1(a 1+45d)得a 1=3d,即a b1=3d,a b2=12d,a b3=48d.

∴q=4 又由{a bn }是{a n }中的第b n a 项，及a bn =a b1·4n-1

=3d ·4n-1

,a 1+(bn-1)d=3d ·4n-1

∴b n =3·4n-1-2

3.∴ a 3=3b 3 , ∴a 1+2d=3a 1d 2 ,

∴a1(1-3d 2)=-2d ① a 5=5b 5, ∴a 1+4d=5a 1d 4 , ∴a 1(1-5d 4)=-4d ②

②/①,得2

43151d

d

--=2，∴ d 2

=1或d 2

=51

,

由题意，d=55

,a 1=-5。∴