向量的坐标表示与运算公式
高二数学空间向量运算的坐标表示
一、向量的直角坐标运算
设a (a1, a2 , a3 ),b (b1 , b2 , b3 )则
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;
a (a1 , a2 , a3 ),( R) ;
F A1 B1 E D1 C1
D
C
A
B
练习三：
如图：直三棱柱ABC A1 B1C1 , 底面ABC 中， CA＝CB＝1，BCA＝90o，棱AA1＝2，M、 N分别为A1B1、AA1的中点， 1)求BN的长； 2)求 cos BA1 , CB1 的值； 3)求证：A1B C1M。
（3）当cos a , b 0 时，a b 。 思考：当 0 cos a , b 1 及 1 cos a , b 0时， 的夹角在什么范围内？
练习一：
1.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1) a (2 , 3 , 3) , b (1, 0 , 0) ;
解：设正方体的棱长为1，如图建
C1
z
D1 A1
F1 E1 B1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
3 B(1,1, 0) , E1 1, ,1 , 4
C
D
O
B
y
1 D(0 , 0 , 0) , F1 0 , ，1 . 4
A
x
1 3 BE1 1, ,1 (1,1, 0) 0 , ,1 , 4 4
（1）线段 AB 的中点坐标和长度； 解：设 M ( x , y , z ) 是 AB 的中点，则
向量的坐标运算公式
向量的坐标运算公式向量是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、计算机科学等。
在进行向量运算时，我们经常需要进行向量的坐标运算。
向量的坐标运算包括向量的加法、减法、数量乘法和点乘运算。
在本文中，我们将详细介绍向量的坐标运算公式及其应用。
1. 向量的加法向量的加法是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
设有两个向量A和B，其坐标分别为(A<sub>1</sub>,A<sub>2</sub>, A<sub>3</sub>)和(B<sub>1</sub>,B<sub>2</sub>, B<sub>3</sub>)，则它们的加法结果为：A +B = (A<sub>1</sub> + B<sub>1</sub>,A<sub>2</sub> + B<sub>2</sub>, A<sub>3</sub> +B<sub>3</sub>)向量的加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A 和 A + (B + C) = (A + B) + C。
向量的加法在几何上表示两个向量的相对位移，例如在物理学中，可以用来计算物体在不同力的作用下的位移。
2. 向量的减法向量的减法是将一个向量的对应分量减去另一个向量的对应分量得到一个新的向量。
设有两个向量A和B，其坐标分别为(A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>, A<sub>3</sub>)和(B<sub>1</sub>, B<sub>2</sub>, B<sub>3</sub>)，则它们的减法结果为：A -B = (A<sub>1</sub> - B<sub>1</sub>, A<sub>2</sub> - B<sub>2</sub>, A<sub>3</sub> - B<sub>3</sub>)向量的减法也满足交换律和结合律，即A - B ≠ B - A 和 A - (B - C) ≠ (A - B) - C。
高中数学知识点：平面向量的坐标运算
高中数学知识点：平面向量的坐标运算
1．平面向量坐标的加法、减法和数乘运算
记aλa=(λx，2．如何进行平面向量的坐标运算
在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．
（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．
（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．
（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置无关．。
空间向量的直角坐标及其运算
∴ AP AB ， AP AD，又 AB AD A ， AP 平面 ABCD，
∴ AP 是平面 ABCD的法向量； 解：（2） AB 22 12 42 21 ， AD 42 22 02 2 5 ，
∴ SABC
1 2
AB
AC
sin
A
101 。 2
7、在棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E, F 分别是 DD1、DB 中点，G 在棱CD 上，
CG
1 4
CD
，
H
是
C1G
的中点；
（1）求证： EF B1C ；（2）求 EF 与C1G 所成的角的余弦；（3）求 FH 的长。
解：如图以 D 为原点建立直角坐标系 D xyz ，
（3）证明线面平行：若直线的方向向量与平面的一个法向量垂直，则这直线与该平面平行；
（4）证明面面平行：若两个不重合平面的法向量平行，则这两个平面就互相平行。 11、用向量求异面直线所成角：
找出两条异面直线各自的一个方向向量，计算这两个向量的夹角 ，则 （或 的补角）
即为两条异面直线所成的角。
设 a、b 是异面直线， d1 是直线 a 的一个方向向量， d2 是直线b 的一个方向向量，异面
一、基本概念：
1、空间直角坐标系：
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用 i, j,k
表示；
（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底 i, j,k ，以点O 为原点，分别以 i, j,k 的方向
为正方向建立三条数轴：x 轴、 y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴；我们称建立了一个空间 直角坐标系 O xyz ，点O 叫原点，向量 i, j, k 都叫单位向量；通过每两个坐标轴的平
向量坐标平行和垂直公式
向量坐标平行和垂直公式向量是数学中一个重要的概念，它可以表示空间中的一个点或一个物理量。
在三维空间中，向量通常由三个分量表示，分别表示在x、y、z轴上的投影。
在向量的运算中，有两个重要的概念，分别是平行和垂直。
我们来看平行向量。
两个向量如果方向相同或相反，则称它们为平行向量。
具体来说，如果向量A(x1, y1, z1)和向量B(x2, y2, z2)平行，那么它们的比值应该相等，即x1/x2 = y1/y2 = z1/z2。
这个比值称为向量的分量比。
我们可以通过判断两个向量的分量比是否相等来确定它们是否平行。
接下来，我们来看垂直向量。
两个向量如果互相垂直，则称它们为垂直向量。
具体来说，如果向量A(x1, y1, z1)和向量B(x2, y2, z2)垂直，那么它们的点积（内积）应该为0，即x1*x2 + y1*y2 + z1*z2 = 0。
这个点积为0的条件可以用来判断两个向量是否垂直。
在实际应用中，判断两个向量是否平行或垂直是非常重要的。
例如，在几何学中，我们经常需要判断两条直线是否平行或垂直。
如果两条直线的方向向量平行，则两条直线平行；如果两条直线的方向向量垂直，则两条直线垂直。
又如在物理学中，力和位移的关系可以通过判断两个向量的平行或垂直来确定。
除了判断向量的平行和垂直关系外，我们还可以通过向量的坐标进行运算。
例如，可以将两个向量相加或相减，得到一个新的向量。
具体来说，如果向量A(x1, y1, z1)和向量B(x2, y2, z2)相加，得到的新向量C(x1+x2, y1+y2, z1+z2)。
如果向量A和向量B平行，则它们相加的结果也是一个平行向量。
如果向量A和向量B垂直，则它们相加的结果是一个斜向量。
除了向量的加法和减法，我们还可以通过向量的数量积（点积）和向量积（叉积）进行运算。
向量的数量积用来计算两个向量之间的夹角，具体公式为：cosθ = (x1*x2 + y1*y2 + z1*z2) / (|A| * |B|)，其中θ是两个向量之间的夹角，|A|和|B|分别是向量A和向量B的模长。
向量公式大全
向量公式大全『ps.加粗字母表示向量』1.向量加法AB+BC=ACa+b=(x+x'，y+y')a+0=0+a=a运算律：交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)2.向量减法AB-AC=CB 即“共同起点，指向被减”如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3.数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣当λ＞0时，λa与a同方向当λ＜0时，λa与a反方向当λ=0时，λa=0，方向任意当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0『ps.按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0』实数λ向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的∣λ∣倍当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩短为原来的∣λ∣倍数乘运算律:结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ4.向量的数量积定义：已知两个非零向量a,b作OA=a,OB=b,则∠AOB称作a和b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a•b若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•c os〈a，b〉若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'向量数量积运算律a•b=b•a(交换律)(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律)(a+b)•c=a•c+b•c(分配律)向量的数量积的性质a•a=|a|2a⊥b〈=〉a•b=0|a•b|≤|a|•|b|向量的数量积与实数运算的主要不同点『重要』1、(a•b)•c≠a•(b•c) 例如：(a•b)2≠a2•b22、由a•b=a•c (a≠0)，推不出b=c3、|a•b|≠|a|•|b|4、由|a|=|b| ，推不出a=b或a=-b5、向量向量积定义：两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b.若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉.a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线，则a×b=0.性质∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积a×a=0a//b〈=〉a×b=0运算律a×b=-b×a(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)(a+b)×c=a×c+b×c.『ps.向量没有除法“向量AB/向量CD”是没有意义的』6.向量的三角形不等式∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣①当且仅当a、b反向时，左边取等号②当且仅当a、b同向时，右边取等号∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣①当且仅当a、b同向时，左边取等号②当且仅当a、b反向时，右边取等号————————————————————————————————三点共线定理若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线三角形重心判断式在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心向量共线的重要条件若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb，xy'-x'y=0『零向量0平行于任何向量』向量垂直的充要条件a⊥b的充要条件是a•b=0 xx'+yy'=0『零向量0垂直于任何向量』7.定比分点定比分点公式P1P=λ• PP2设P1、P2是直线上的两点，P是直线上不同于P1、P2的任意一点则存在一个实数λ，使P1P=λ• PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有OP=(O P1+λO P2)(1+λ) (定比分点向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ)y=(y1+λy2)/(1+λ) (定比分点坐标公式)仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
向量坐标表示及运算
y
j
O
1 2
a
A(x, y)
a
（3）两个向量 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ) 相等的充要条件：a b x x
i
x
且y1 y2
(4)如图以原点O为起点作 OA a ，点A的位置 被 a 唯一确定. 此时点A的坐标即为 a 的坐标 （5）区别点的坐标和向量坐标 相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同
3．若 A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则 AB ＋2 BC ＝________.
解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)， ∴ AB ＝(2,3)， BC ＝(－3,3)． ∴ AB ＋2 BC ＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．
答案：(－4,9)
(x2－x1，y2－y1)
例1：已知 a (2,1), b ( 3, 4), 求a b, a b, 3a 4b 的坐 .
解： a b (2,1) (3,4) (1,5)
a b (2,1) (3,4) (5, 3)
3 a 4 b 3(2,1) 4( 3, 4) (6, 3) ( 12,16) ( 6,19)
例2、 1已知A(2,3), B (3,5), 求BA的坐标.
解： BA
2已知AB (1, 2), A(2,1), 求B的坐标.
解：设B x,y ,
2,3 3,5 5, 2.
AB 1, 2 x, y 2,1 ,
j
-4 -3
-1 -2
i1
2
3
4
x
c 2i 3 j ( 2, 3)
向量的数量积坐标表示公式
向量的数量积坐标表示公式
向量的数量积是两个向量之间的一种运算，它表示两个向量之间的相似程度，也称为点积或内积。
向量的数量积的坐标表示公式如下：设A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)是两个向量，则它们的数量积可以表示为：
A·B=x1x2+y1y2+z1z2
其中，x1、y1、z1分别是向量A的三个坐标分量，x2、y2、z2分别是向量B的三个坐标分量。
这个公式的意义是将向量的坐标分量分别相乘，然后将这些乘积相加得到向量的数量积。
这个结果是一个数，代表了向量A和向量B 之间的相似程度。
向量的数量积有很多应用，例如在力学、电磁学和几何学中都有广泛的应用。
在几何学中，向量的数量积可以用来计算向量的夹角和向量的长度。
在力学中，向量的数量积可以用来计算力的功和力矩。
在电磁学中，向量的数量积可以用来计算电场强度和磁场强度。
- 1 -。
向量公式大全
向量公式设a=（x，y），b=(x'，y')。
1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。
若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。
向量公式大全
向量公式大全向量是物理和数学中常用的重要概念，它可以用于描述力、速度、位移等物理量的大小和方向。
在数学中，向量可以用来表示空间中的点、线和平面等几何概念。
本文将为您介绍一些常用的向量公式和相关概念。
一、向量的基本概念和运算法则1.向量的表示方式向量通常用有向线段来表示，可以用线段的起点和终点表示。
2.向量的零元素对于向量a，存在一个特殊的向量0，使得a+0=a，称0为零向量。
3.向量的加法和减法向量的加法和减法遵循平行四边形法则：设a和b是两个向量，它们按照起点相连，那么a+b从起点到终点就是a和b相加的结果，a-b就是b的起点和a的终点连接而成的。
4.向量的数量乘法设k为一个实数，k乘以向量a，得到的向量ka，其大小为，ka，=，k，a，方向与a相同（当k为正数时），或者与a相反（当k为负数时）。
5.向量的数量除法设k为一个非零实数，向量a除以k，得到的向量a/k，其大小为，a/k，=，a，/，k，方向与a相同（k为正数）或者与a相反（k为负数）。
6.黎曼球面上的数量除法向量除以零是未定义的，但可以将这个向量限制到黎曼球面上，黎曼球面上的数量除法遵循“将除数和被除数投影到黎曼球面上，再进行数量除法”的原则。
7.向量的数量积向量a和b的数量积（也称内积、点积）表示为a·b=，a，b，cosθ，其中，a，和，b，分别表示a和b的大小，θ为它们之间的夹角，cosθ称为向量夹角的余弦值。
二、向量的坐标表示和坐标运算8.二维向量的坐标表示二维向量可以用有序数对(x,y)表示，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
9.二维向量的加法和减法设向量a和b的坐标表示分别为(a₁,a₂)和(b₁,b₂)，它们的和为(a₁+b₁,a₂+b₂)，差为(a₁-b₁,a₂-b₂)。
10.二维向量的数量乘法设向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，实数k的坐标表示为(k, k)，则ka的坐标表示为(ka₁, ka₂)。
高中数学公式大全向量的基本运算与坐标系转换公式
高中数学公式大全向量的基本运算与坐标系转换公式高中数学公式大全：向量的基本运算与坐标系转换公式向量是高中数学中的重要内容之一，它在几何、代数和物理等领域中都有广泛的应用。
本文将详细介绍向量的基本运算以及坐标系的转换公式。
1. 向量的基本运算在向量的基本运算中，常用到以下几种运算：加法、减法、数量乘法和点积。
1.1 向量的加法设有两个向量a和b，它们的加法可以表示为a + b。
向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a和(a + b) + c = a + (b + c)。
向量的加法可以简单地将它们的对应分量相加。
1.2 向量的减法向量的减法可以表示为a - b。
减法运算可以通过将被减向量b取反，即-b，然后进行加法运算来实现。
1.3 数量乘法数量乘法是指将一个标量与向量的每个分量相乘。
设有向量a和标量k，数量乘法可以表示为ka。
数量乘法满足结合律，即k(la) = (kl)a。
点积，也称为数量积或内积，在向量的运算中起着重要的作用。
设有向量a和b，它们的点积可以表示为a · b。
点积具有以下性质：- a · b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ为它们夹角的余弦。
- 点积满足交换律，即a · b = b · a。
- 如果a与b垂直，则它们的点积为0，即a · b = 0。
2. 坐标系转换公式在数学中，常用的坐标系有直角坐标系、极坐标系和球坐标系。
在进行向量运算时，有时需要在不同的坐标系之间进行转换。
下面介绍一些常见的坐标系转换公式。
2.1 直角坐标系与极坐标系的转换在直角坐标系中，一个二维向量可以由其x和y的分量表示为a = (x, y)。
在极坐标系中，向量的长度用其模长r表示，与x轴的夹角用θ表示。
直角坐标系到极坐标系的转换公式为：- r = √(x^2 + y^2)- θ = arctan(y/x) (其中arctan为反正切函数)极坐标系到直角坐标系的转换公式为：- y = rsinθ2.2 直角坐标系与球坐标系的转换在直角坐标系中，一个三维向量可以由其x、y和z的分量表示为a = (x, y, z)。
向量的基本概念公式e
向量的根本概念公式:1.向量的概念(1)向量的根本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ；坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝〔ｘ，ｙ〕. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ⇔｜a ｜＝O . 单位向量：a O 为单位向量⇔｜a O ｜＝1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝〔ｘ2，ｙ2〕⎩⎨⎧==⇔2121y y x x(6) 相反向量：a =-b ⇔b =-a ⇔a +b =0 (7a ∥b .平行向量也称为共线向量. 运算类型 几何方法坐标方法 运算性质向量的 加法1212(,)a b x x y y +=++a b b a +=+()()a b c a b c ++=++AC BC AB =+向量的减法三角形法那么1212(,)a b x x y y -=--()a b a b -=+-AB BA =-,AB OA OB =-数 乘 向 量1.a λ是一个向量,满足:||||||a a λλ=2.λ>0时, a a λ与同向; λ<0时, a a λ与异向;λ=0时, 0a λ=.(,)a x y λλλ=()()a a λμλμ=()a a a λμλμ+=+()a b a b λλλ+=+//a b a b λ⇔=3两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,那么∠AOB=θ 〔001800≤≤θ〕叫做向量a 与b 的夹角。
4．两个向量的数量积：两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，那么a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ． 其中︱b ︱cos θ称为向量b 在a 方向上的投影． 5．向量的数量积的性质：假设a =〔11,y x 〕,b =〔22,y x 〕那么e ·a =a ·e =︱a ︱cos θ (e 为单位向量);a ⊥b ⇔a ·b =0⇔12120x x y y +=〔a ，b 为非零向量〕;︱a ︱=2211a a x y •=+;cos θ=a ba b ••=121222221122x x y y x y x y ++⋅+． 6 ．向量的数量积的运算律：a ·b =b ·a ;(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb );(a ＋b )·c =a ·c +b ·c ．7.重要定理、公式(1)平面向量根本定理e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1， λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)两个向量平行的充要条件a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝O. (3)两个向量垂直的充要条件 a ⊥b ⇔a ·b ＝O ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝O. (4)线段的定比分点公式设点P 分有向线段21P P 所成的比为λ，即P P 1＝λ2PP ，那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x (线段定比分点的坐标公式)当λ＝1时，得中点公式：OP ＝21〔1OP ＋2OP 〕或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x。
向量知识点总结公式中职
向量知识点总结公式中职一、定义：向量（Vector）是数学中的一个重要概念，它是有大小和方向的量。
在实际应用中，向量可以表示位移、速度、力等物理量，也可以表示电场、磁场等场量。
向量通常用以粗体字母或有箭头的字母来表示，在坐标系中，向量可以用坐标表示，如(a1, a2, a3)。
二、向量的基本运算1．向量的加法：定义：如果有两个向量a和b，它们的起点相同，则a和b的和记做a＋b（读作a加b），即a＋b=（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）。
几何意义：将向量b的起点移到a的终点，然后连接a的起点和b的终点，新向量的终点就是a＋b的终点。
2．向量的减法：定义：如果有两个向量a和b，它们的起点相同，则a和b的差记作a－b（读作a减b），即a－b=（a1－b1，a2－b2，a3－b3）。
几何意义：将向量b的方向取反，然后进行向量相加，即可得到a－b的几何意义。
3．数乘：定义：如果有一个向量a和一个实数k，则k与a的乘积记作ka，其几何意义是将向量a拉长或缩短为原来的|k|倍，如果k小于0，那么反方向。
性质：k(a＋b)=ka＋kbka＝a，其中k≠0(k1k2)a=k1(k2a)，其中k1，k2均为实数数乘就是用一个实数去乘以一个向量，这样就可以调整向量的长度和方向。
三、向量的线性组合定义：设有n个向量a1,a2,…,an，以及n个实数k1,k2,…,kn，则表达式k1a1＋k2a2＋…＋knan称为这n个向量的线性组合。
性质：向量的线性组合还是向量四、向量的数量积（内积）1．定义：数量积的定义：给定两个向量u(a1,a2,a3)，v(b1,b2,b3)，u·v=a1b1＋a2b2＋a3b3。
数量积也叫内积，是两个向量之间的一种运算，得到的结果是一个标量。
2．性质：u·v=v·uu·(v＋w)=u·v＋u·w(ku)·v=k(u·v)五、向量的向量积（外积）1．定义：向量积的定义：给定两个向量u(a1,a2,a3)，v(b1,b2,b3)，u×v=（a2b3－a3b2，a3b1－a1b3，a1b2－a2b1）向量积也叫外积，得到的结果是一个向量。
向量的坐标表示及其运算
向量的坐标表示及其运算【知识概要】 1. 向量及其表示1）向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量（向量可以用一个小写英文字母上面加箭头ruuu来表示，如a 读作向量a ，向量也可以用两个大写字母上面加箭头来表示，如 AB ，表示由A 到B 的向量.A 为向量的起点， B 为向量的终点）r uuu |r （或 a ）的大小叫做向量的模，记作AB （或a ）.注：① 既有方向又有大小的量叫做向量， 只有大小没有方向的量叫做标量，向量与标量是两种不同的量，要加以区别；② 长度为0的向量叫零向量，记作 0 + 0的方向是任意的*注意0与0的区别+ ③ 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量•说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向 例3把平面上一切单位向量的始点放在同一点 ，那么这些向量的终点所构成的图形是 B 一段圆弧C. 圆上一群孤立点D. 一个单位圆2）向量坐标的有关概念① 基本单位向量：在平面直角坐标系中， 方向分别与x 轴和y 轴正方向相同的两个单位 向量叫做基本单位，记为 r 和j .r uuu r② 将向量a 的起点置于坐标原点 O ，作OA a ，则OA 叫做位置向量，如果点A 的坐uuu .向量AB例1下列各量中不是向量的是A. 浮力B. 风速 例2下列说法中错误的是（A. 零向量是没有方向的 C.零向量与任一向量平行（ D ）C. 位移D. 密度 A ）B. 零向量的长度为0D. 零向量的方向是任意的A.一条线段uuu uuuu UULT r uuu r r 标为（x, y），它在x轴和y轴上的投影分别为M,N，则OA O M O N , a OA xi y j.③ 向量的正交分解uur r r在②中，向量OA 能表示成两个相互垂直的向量 i 、j 分别 乘上实数x,y 后组成的和式，该和式称为I 、［的线性组合，这 种向量的表示方法叫做向量的正交分解， 把有序的实数对（x, y ） 叫做向量a 的坐标，记为a =（x,y ）.uuun般地，对于以点 R （x i ,如）为起点，点 P 2（X 2,y 2）为终点的向量 P 1P 2，容易推得uuur的坐标，记作 RP 2=(X 2 x 1, y 2 y 1).3)向量的坐标运算：a (x-,, y 1),b (x 2, y 2)， R则a b(为X 2,y ,y 2);a b (x , x ?,%y ?); a ( x ,, x ?).4）向量的模：设a （x, y ），由两点间距离公式，可求得向量注：① 向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示;②向量的模是个标量，并且是一个非负实数•uuu. I uuu例4已知点A 的坐标为(2,0)，点B 的坐标为(3,0)，且AP] 4, BP 3，求点P 的 坐标.6 12 612 解：点P 的坐标为(6,生)或(6, 12).5 5 5 5r r r r r r例 5 已知 2a b ( 4,3), a 2b (3,4)，求 a 、b 的坐标.rr解：a ( 1,2),b( 2, 1)例6设向量a,b,c,,R ，化简：rr r r r r r r(1)( a b c)( a b c) ( )(b c)；(2) 2( a b c) (2 a 2b) 2 c .uuur r PP 2区N )i 仏%）〔，于是相应地就可以把有序实数对uuur(X 2 32 y i )叫做 PP ?a 的模(norm).解：都为0 .2. 向量平行的充要条件平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量(我们规定0与任一向量平行)•已知a与b为非零向量，若a (x-!, y1),b (x2,y2)，则a//b的充要条件是x-i y2x2y1，所以，向量平行的充要条件可以表示为：a//b a b(其中为非零实数)x.)y2 x2y1.r uuu r uuu —例7已知向量a ( 2,3)，点A(2, 1)，若向量AB与a平行，且AB 2J13，求向量uuuOB的坐标•uuu解：OB的坐标为(6, 7)或(2,5).3. 定比分点公式1)定比分点公式和中点公式①P i,F2是直线I上的两点，P是I上不同于R,F2的任一点，存在实数，——umr ——使F i F = FF2 ，叫做点F分RP2所成的比，有三种情况V.■■Pl—------ 徉---------0巧-- —P*卫】(内分)>0 (外分)<-1 (外分)-1< <0uiur②已知P(X1,yJ、F2(X2,y2)是直线I上任一点，且RP= PF2 ( R, 1).P是直x线PF2上的一点，令P(x, y)，则y线段PP2的定比分点公式，特别地就是说，当1时，定比分点不存在•x1x2x 点，此时y X1X22y1 y2，叫做线段PP?的中点公式UU UT RPuuur uuuPP2可得RPuurPR；1时，定比分点的坐标公式x1辿——壮显然都无意义，也2)三角形重心坐标公式设 ABC 的三个点的坐标分别为 A(x 「yj, B(X 2,y 2),C(X 3, y 3), G 为 ABC 的重心，则X G解：当P 在P 1P 2上时，P(0,3);当P 在PF 2延长线上，P( 8,15).例9已知A(3, 1), B( 4, 2)，P 是直线AB 上一点，若2AP*方法提炼*几个重要结论r r rrrr rr1. 若a,b 为不共线向量，则a b ， a b 为以a,b 为邻边的平行四边形的对角线的向量;r 22( a[A(X 1, yJ,B(X 2, y 2)C(X 3”3)]例8在直角坐标系内y G% y 2 y 33R(4, 3),P 2( 2,6)，点 P 在直线 RF 2 上，且uuu3AB ，求点P 的坐标.解：注意定比分点的定点，可得P(152. a3. G 为ABC 的重心WGAMB uuGMX3y3y23y1,求出P【基础夯实】1.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由①向量AB与CD是共线向量，则A B C D四点必在一直线上;②单位向量都相等;③任一向量与它的相反向量不相等;④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB = DC⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件;⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的④、⑤正确.⑥不正确.如图AC与BC共线，虽起点 , -同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.2. 下列命题正确的是( C )A. a与b共线，b与c共线，则a与c也共线B. 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C. 向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D. 有相同起点的两个非零向量不平行3. 在下列结论中，正确的结论为( D )(1) a // b且| a|=| b|是a=b的必要不充分条件(2) a // b且| a|=| b|是a=b的既不充分也不必要条件(3) a与b方向相同且| a|=| b|是a=b的充要条件(4) a与b方向相反或| a|丰| b|是a丰b的充分不必要条件A. (1) (3)B.⑵(4)C.⑶(4)D. (1) (3)(4)4. 已知点A分有向线段BC的比为2，则在下列结论中错误的是( D )1A.点C分AB的比是-1B. 点C分BA的比是-33—2 —C点C分AC的比是- D •点A分CB的比是235.已知两点R( 1, 6)、P2(3,0)，点P( 7,y)分有向线段丽所成的比为，则、y3的值为(C )11 c 11A —, 8 B. ,—8C——8 D . 4,-44486. △ ABC的两个顶点A(3 , 7)和B(-2 , 5)，若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则顶点C的坐标是(A )A (2 , -7)B (-7 , 2)C . (-3,-5)D (-5 , -3)7. “两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的条件.答案：必要非充分8. 已知a、b是两非零向量，且a与b不共线,若非零向量c与a共线，则c与b必定___________答案：不共线9. 已知点A(x,2),B(5,1),C(-4,2x) 在同一条直线上，那么x= ______ •答案：2或-210. △ ABC的顶点A(2，3)，B(-4，-2)和重心G(2, -1)，贝U C 点坐标为___________.答案：(8,-4)1 —11. 已知ABC边AB上的一点，且S AMC -S ABC，贝y M分AB所成的比为______________ •81答案：丄7【巩固提高】12.已知点A (1,4) > B(5,2)，线段AB 上的三等分点依次为 P 、P 2，求R 、P 2点的 坐标以及代B 分P P 2所成的比.1 解：P 1(1,-2),P 2(3,0),A 、B 分pm ?所成的比入1、入2分别为- — ,-2 213. 过R(1,3)、P 2(7, 2)的直线与一次函数 成的比值.5解：一1214. 已知平行四边形ABCD 一个顶点坐标为 0)、N(-1 , -2)，求平行四边形的各个顶点坐标解：E(8,—l),C(4,—3) ,D2 8 —— y x 的图象交于点P ，求P 分RF 2所5 5A(-2,1), 一组对边 AB 、CD 的中点分别为 M(3 ,■*(—6,-1)16.若平面向量a,b 满足a b 1,a b 平行于x 轴,17.在厶 ABC 中，点 P 在 BC 上，且2PC ,点 Q 是 AC 的中点.若R A = (4,3), PQ = (1,5), 则B C 等于()A . (-6,21)B . (-2,7) C. (6, - 21)D . (2, - 7)解析：选 A.A C = 2AQ = 2(PQ — R A)= (-6,4), PC = R A + AC = (— 2,7), BC = 3PC = (- 6,21).uuu uuu uur18.已知O 为坐标原点，向量 OA ( 2,m),OB (n,1),OC (5, 1).若A,B,C 三点共线, 且m 2n ,求实数m, n 的值15.设 P 是 ABC uuu uuu (A). PA PB ' ' uuu uuu(C). PB PC所在平面内的一点,Or o uuu uur uuuBC BA 2BP^( B )uuu uja r(B). PC PA 0' ' uun uur uuur r (D). PA PB+PC 0(2, 1)，则 a ( 1,1 )或( 3,1).uuu19.已知点A(3, 0),B(-1 , -6), P 是直线AB 上一点，且| AP |20.已知向量m (cos ,sin )和n 2 sin ,cos ),求cos(—-)的值。
向量的坐标表示及其运算
1向量的坐标表示及其运算一、知识点（一）向量及其表示：1.平面向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示.对于平面直角坐标系内的任意一个向量a ，我们都能将它正交分解为基本单位向量,i j 的线性组合吗？如下图左.显然，如上图右，我们一定能够以原点O 为起点作一位置向量OA ，使OA a =.于是，可知：在平面直角坐标系内，任意一个向量a 都存在一个与它相等的位置向量OA .由于这一点，我们研究向量的性质就可以通过研究其相应的位置向量来实现.由于任意一个位置向量都可以正交分解为基本单位向量,i j 的线性组合，所以平面内任意的一个向量a 都可以正交分解为基本单位向量,i j 的线性组合.即：a =OA =xi y j +上式中基本单位向量,i j 前面的系数x,y 是与向量a 相等的位置向量OA 的终点A 的坐标.由于基本单位向量,i j 是固定不可变的，为了简便，通常我们将系数x,y 抽取出来，得到有序实数对（x,y ）.可知有序实数对（x,y ）与向量a 的位置向量OA 是一一对应的.因而可用有序实数对（x,y ）表示向量a ，并称（x,y ）为向量a 的坐标，记作：a =（x,y ）[说明]（x,y ）不仅是向量a 的坐标，而且也是与a 相等的位置向量OA 的终点A 的坐标！当将向量a 的起点置于坐标原点时，其终点A 的坐标是唯一的，所以向量a 的坐标也是唯一的.这样，我们就将点与向量、向量与坐标统一起来，使复杂问题简单化.显然，依上面的表示法，我们有：(1,0),(0,1),0(0,0)i j ===.（3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或|AB|.（4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.（5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.（6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.（7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2向量坐标的有关概念（1）基本单位向量（2）位置向量（3）向量的正交分解我们称在平面直角坐标系中，方向与x轴和y轴正方向分别相同的的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为,i j，如图，称以原点O为起点的向量为位置向量，如下图左，OA即为一个位置向量.如上图右，设如果点A的坐标为(),x y，它在小x轴，y轴上的投影分别为M，N，那么向量OA能用向量OM与ON来表示吗？（依向量加法的平行四边形法则可得OA OM ON=+），OM与ON 能用基本单位向量,i j来表示吗？（依向量与实数相乘的几何意义可得,OM xi ON y j==），于是可得：OA OM ON xi y j=+=+由上面这个式子，我们可以看到：平面直角坐标系内的任一位置向量OA都能表示成两个相互垂直的基本单位向量,i j的线性组合，这种向量的表示方法我们称为向量的正交分解.向量的坐标运算：设),(),(),(),,(1121212211yxayyxxbayxbyxaλλλλ=±±=±ℜ∈==，，3.向量的摸：22yxa+=（二）向量平行的充要条件：1向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥a⇔b=λa（a≠0）.2设a=（x1，y1），b=（x2，y2）则b∥a⇔1221yxyx=练习2：1．已知向量(2,3)a =，(,6)b x =，且//a b ，则x 为_________；2．设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则下列a 与b 共线的充要条件的有（ ） ① 存在一个实数λ，使a =λb 或b =λa ； ②2121y yx x =；③(a +b )//(a －b ) A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个3．设0a 为单位向量，有以下三个命题：（1）若a 为平面内的某个向量，则0a a a =⋅；(2)若a 与0a 平行，则0a a a =⋅；（3）若a 与0a 平行且1a =，则0a a =.上述命题中，其中假命题的序号为 ；问题一：已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k=____ [说明] 三点共线的证明方法总结： 法一：利用向量的模的等量关系法二：若A 、B 、C 三点满足AB AC λ=，则A 、B 、C 三点共线.*法三：若A 、B 、C 三点满足OC mOA nOB =+，当1m n +=时，A 、B 、C 三点共线. 问题二：定比分点公式：设点P 1（),11y x ，),(222y x P ，点P 是直线 21P P 上任意一点，且满足 12PP PP λ=，求点P 的坐标.解：由12PP PP λ= ，可知{)()(2121x x x x y y y y -=--=-λλ，因为λ≠-1， 所以⎩⎨⎧++=++=λλλλ112121x x x y y y ，这就是点P 的坐标.[说明]由定比分点公式可知λ=1 时有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=222121x x x y y y ，此公式叫做线段21P P 的中点公式.例、已知平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为A （),11y x ， ),(22y x B ， ),(33y x C ，G 是△ABC 的重心，求点G 的坐标.解：由于点G 是△ABC 的重心，因此CG 与AB 的交点D 是AB 的中点，于是点D 的坐标是（2,22121y y x x ++）. 设点G 的坐标为),(y x ，且2CG GD =则由定比分点公式得 ⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=21222122213213x x x x y y y y ，整理得 ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=3332121x x x x y y y y 这就是△ABC 的重心G 的坐标.例、)15,12(),0,3(),5,2(21P P P - 且有12PP PP λ=求实数λ的值. 解1： 由已知可求 1(10,10)PP =，2(15,15)PP λλ=-- 故10=λ .（-15），所以定比λ=-32.解2： 因为12PP PP λ=，所以P 1，P ，2P 三点共线，由定比分点公式得12=λλ+-⨯+1)3(2解出实数λ=-32.解3：由图形可知点P 在线段21P P 外，故λ﹤0 ，又21PP P P= 32 ，所以λ=-32 .3.向量的坐标表示的运算我们学过向量的运算，知道向量有加法、减法、实数与向量的乘法等运算，那么，在学习了向量的坐标表示以后，我们怎么用向量的坐标形式来表示这些运算呢？设λ是一个实数，1122(,),(,).a x y b x y == 由于1111(,),a x y x i y j ==+ 2222(,)b x y x i y j ==+ 所以1122(,)(,)a b x y x y ±=±()()1122x i y j x i y j =+±+()()()()()121212121212,x i x i y j y j x x i y y j x x y y =±+±=±+±=±± ()()11111111(,),a x y x i y j x i y j x y λλλλλλλ==+=+=于是有：1122(,)(,)x y x y ±()1212,x x y y =±±()1111(,),x y x y λλλ=[说明]上面第一个式子用语言可表述为：两个向量的和(差)的横坐标等于它们对应的横坐标的和(差)，两个向量的和(差)的纵坐标也等于它们对应的纵坐标的和(差)，可笼统地简称为：两个向量和(差)的坐标等于对应坐标的和(差)；同样，第二个式子用语言可表述为：数与向量的积的横坐标等于数与向量的横坐标的积，数与向量的积的纵坐标等于数与向量的纵坐标的积，也可笼统地简称为：数与向量积的坐标等于数与向量对应坐标的积. 例.如图，平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为()2,1、()3,2-、()1,3-.（1）写出向量,AC BC 的坐标； （2）如果四边形ABCD 是平行四边形，求D 的坐标.解：（1）()()12,313,2AC =---=- ()()()13,322,1BC =----=（2）在上图中，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以DC AB = 设点D 的坐标为(),D D x y ，于是有()1,3D D x y AB ---= 又 ()()32,215,1AB =---=- 故 ()()1,35,1D D x y ---=- 由此可得1531D D x y --=-⎧⎨-=⎩ 解得42D D x y =⎧⎨=⎩因此点D 的坐标为()4,2.1. 如图，写出向量,,a b c 的坐标.2.已知(1,2)a =-，若其终点坐标是(2,1),则其起点的坐标是 ；DC(-1,3)A(2,1)B(-3,2)yxO若其起点坐标是(2,1),则其终点的坐标是 . 3.已知向量()2,3a =-与()1,5b =-，求3a b -及3b a -的坐标.解：1.由题意：()()()()()()2,1,1,1,2,11,121,1(1)1,2a b c ==-=--=---=2.设起点的坐标是(x,y)，则(2,1)-(x,y)=(-1,2),解得：(x,y)=(3,-1)，即起点的坐标是(3,-1)；设终点的坐标是(x,y)，则(x,y)-(2,1) =(-1,2),解得：(x,y)=(1,3)，即起点的坐标是(1,3).3. 3a b -=3()7,14---()()1,57,14-=- 3b a -=()1,5--3()2,3-()7,14=-[另法]：3b a -=()3a b --=()7,14--()7,14=-二、典型例题例1若向量b a ,. 满足.b a b a -=+，则b a 与所成角的大小为多少?例2 下列哪些是向量？哪些是标量？（1）浓度 （2）年龄 （3）风力 （4） 面积 （5）位移 （6）人造卫星速度 （7）向心力 （8）电量 （9）盈利 （10）动量 例3． ∆ABC 中，A （1，1），B （-3，5）， C （8，-3），G 是ABC ∆重心，求GA 的坐标例4. 已知A ()()()()3,2,2,3,1,2,2,1--D C B ()反向的单位向量求与AB 1 ()()的坐标，求点，若E BE 522-= ()3若a BD AC a 求,-=()三点不共线，，求证：C B A 4 ()CD BD AD AC AB ++来表示，以5()()坐标三点共线，求点，，且若P P B A x P 3,6()如图7所示，若点M 分BA 的比λ为3：1，点N 在线段BC 上，且ABC AMNC S S ∆=32，求点N 点的坐标例5若ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，且AB =a ，AD =b ，则BE 等于 A.b +21a B.b －21a C.a +21b D.a －21b 例6.e 1、e 2是不共线的向量，a =e 1+k e 2，b =k e 1+e 2，则a 与b 共线的充要条件是实数k 等于 A.0 B.－1 C.－2 D.±1例7.若a =“向东走8 km ”，b =“向北走8 km ”，则｜a +b |=_______，a +b 的方向是_______.例8 已知向量a 、b 满足|a |=1，|b |=2，|a －b |=2，则|a +b |等于 A.1B.2C.5D.6. 例11若a 、b 是两个不共线的非零向量（t ∈R ）.（1）若a 与b 起点相同，t 为何值时，a 、t b 、31（a +b ）三向量的终点在一直线上?（2）若|a |=|b |且a 与b 夹角为60°，那么t 为何值时，|a －t b |的值最小?例12.若a 、b 为非零向量，且|a +b |=|a |+|b |，则有A.a ∥b 且a 、b 方向相同B.a =bC.a =－bD.以上都不对例13.设四边形ABCD 中，有DC =21AB 且|AD |=|BC |，则这个四边形是 A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形例15.设两向量e 1、e 2满足|e 1|=2，|e 2|=1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1+7e 2与向量e 1+t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围..例16已知向量a =2e 1－3e 2，b =2e 1+3e 2，其中e 1、e 2不共线，向量c =2e 1－9e 2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d =λa +μb 与c 共线?例17.如图所示，D 、E 是△ABC 中AB 、AC 边的中点，M 、N 分别是DE 、BC 的中点，已知BC =a ，BD =b ，试用a 、b 分别表示DE 、CE 和MN .AB CDMN E例18在△ABC 中，AM ∶AB =1∶3，AN ∶AC =1∶4，BN 与CM 交于点E ，AB =a ，AC =b ，用a 、b 表示AE .A BCMNE1.若平面向量b 与向量a =（1，－2）的夹角是180°，且|b |=35，则b 等于 A.（－3，6） B.（3，－6）C.（6，－3）D.（－6，3） 2.已知向量a =（3，4），b =（sin α，cos α），且a ∥b ，则tan α等于A.43 B.－43 C.34D.－343已知平面向量a =（3，1），b =（x ，－3）且a ⊥b ，则x 等于 A.3 B.1 C.－1 D.－31．如图，已知四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、AB 与CD 的中点，则EF 等于（ ）A ．BC AD +B ．DC AB +C ．DH AG +D ．GH BG +2．下列说法正确的是 （ ） A ．方向相同或相反的向量是平行向量 B ．零向量的长度为0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于（ ）A ．OB ．MD 4C ．MF 4D ．ME 4 4．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是（ ）A ．||||||b a b a -=-B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+5．在 ABCD 中，设d BD c AC b AD a AB ====,,,，则下列等式中不正确的是（ ） A ．c b a =+ B ．d b a =-C ．d a b =-D ．b a c =- 6．下列各量中是向量的是（ ） A ．质量 B ．距离C ．速度D ．电流强度7．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC e DC e BC 则213,5=== （ ）A ．)35(2121e e + B ．)35(2121e e - C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e - 8．若),,(,,,R o b a b a ∈=+μλμλ不共线则（ ）A ．o b o a ==,B ．o o a ==μ,C ．o b o ==,λD ．o o ==μλ, 9．化简)]24()82(21[31b a b a --+的结果是（ ）A ．b a -2B ．a b -2C ．a b -D ．b a -10．下列三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底 ②一个平面内有无数对不共线向量可作为该平面的所有向量的基底 ③零向量不可作为基底中的向量．其中正确的是 （ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 11．若2121,,PP P P b OP a OP λ===，则OP 等于 （ ）A ．b a λ+B ．b a +λC ．b a )1(λλ-+D ．b a λλλ+++111 12．对于菱形ABCD ，给出下列各式： ①BC AB =②||||BC AB =③||||BC AD CD AB +=-④||4||||22AB BD AC =+ 2其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上）13．21,e e 不共线，当k= 时，2121,e k e b e e k a +=+=共线. 14．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则b a ,的夹角为 . 15．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 .16．已知c b a ,,的模分别为1、2、3，则||c b a ++的最大值为 .三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分）17．设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=，若A 、 B 、D 三点共线，求k 的值.19．已知向量,,32,32212121e e e e b e e a 与其中+=-=不共线向量,9221e e c -=，问是否存在这样的实数,,μλ使向量c b a d 与μλ+=共线？20．如图，在△ABC 中，P 是BC 边上的任一点，求证：存在,1)1,0(,2121=+∈λλλλ且使AC AB AP 21λλ+=.1.已知(2,0),(1,3),a b ==-则a b +与a b -的坐标分别为( ) (A)(3,3),(3,-3) (B)(3,3),(1,-3) (C)(1,3),(3,3) (D)(1,3),(3,-3)2.若点A 坐标为(2,-1),AB 的坐标为(4,6),则B 点的坐标为( ) (A)(-2,-7) (B)(2,7) (C)(6,5) (D)(-2,5)3.已知(,4),(3,2).a x b y ==-若1,2a b =则x= ,y= . 4.已知AB (1)i x j +-=(2-x)，且AB 的坐标所表示的点在第四象限，则x 的取值范围是.5.已知A(5,-2),B(2,-5),C(7,4),D(4,1),求证：AB=CD .6.已知(1,2),(3,1),(11,7),a b c =-=-=-并且.c xa yb =+求x,y 的值.7.已知22(,2),(5,)a m n b mn =+=，且.a b =求,.m n 的值.。
向量坐标减法公式
向量坐标减法公式
向量坐标减法公式：A - B=（X1-X2，Y1-Y2）
在直角坐标系里面，定义原点为向量的起点两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差若向量的表示为 (x，y)形式：A (X1，Y1) B (X2，Y2)，A - B=（X1-X2，Y1-Y2）
一、坐标系解向量加减法：
在直角坐标系里面,定义原点为向量的起点，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差，向量的表示为(x,y)形式。
A(X1,Y1) B(X2,Y2)，则A+B=（X1+X2，Y1+Y2），A-B=（X1-X2，Y1-Y2）
二、三角形定则解决向量加减的方法：
将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。
三、平行四边形定则解决向量加法的方法：
将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果为公共起点的对角线。
四、平行四边形定则解决向量减法的方法：
将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果由减向量的终点指向被减向量的终点。
平行四边形定则只适用于两个非零非共线向量的加减。
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向量的坐标表示与运算公式
向量的坐标表示：
1. 在二维平面中，一个向量可以用有序实数对 (x, y) 表示，其中 x 和 y 分别表示向量的横坐标和纵坐标。
2. 在三维空间中，一个向量可以用有序实数三元组 (x, y, z) 表示，其中 x、y 和 z 分别表示向量的三个坐标分量。
向量的运算公式：
1. 向量的加法：
- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A + B = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
- 几何意义：向量加法就是把两个向量的起点放在一起，然后把两个向量终点连起来的向量。
2. 向量的数乘：
- 定义：对于任意实数 k，如果向量 A = (x, y)，则 kA = (kx, ky)。
- 几何意义：数乘就是把向量按比例放大或缩小。
3. 向量的减法：
- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A - B = (x₁ - x₂, y₁- y₂)。
- 几何意义：向量减法就是从第一个向量的终点指向第二个向量的终点的
向量。
4. 向量的数量积（点乘）：
- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A · B = xx' + yy'。
- 几何意义：数量积等于两向量的长度之积和它们夹角的余弦值的乘积。
5. 向量的向量积（叉乘）：
- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A × B 是一个垂直于
A 和
B 的向量，其大小等于A × B × sin(θ)，其中θ 是 A 和 B 之间的夹角，方向按照右手定则确定。
- 几何意义：向量积表示一个向量相对于另一个向量的旋转。
以上是向量的基本坐标表示和运算公式，是解析几何和线性代数中的基础概念。