(完整版)数学建模模拟试题及答案

数学建模模拟试题及答案

一、填空题(每题 5 分，共 20 分)

1.一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是.

2. 设银行的年利率为 0.2，则五年后的一百万元相当于现在的万元.

3. 在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N 将和下列因素有关：

(1) 参加展览会的人数n； (2)气温T 超过10o C；

(3)冰淇淋的售价p .

由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为 .

4. 如图一是一个邮路，邮递员从邮局 A 出发走遍所有 A

长方形街路后再返回邮局 .若每个小长方形街路的边长横向

均为 1km，纵向均为 2km，则他至少要走 km .

二、分析判断题(每题 10 分，共 20 分)

1. 有一大堆油腻的盘子和一盆热的洗涤剂水。为尽量图一

多洗干净盘子，有哪些因素应予以考虑？试至少列出四种。

2. 某种疾病每年新发生 1000 例，患者中有一半当年可治愈 .若 2000 年底时有

1200 个病人，到 2005 年将会出现什么结果？有人说，无论多少年过去，患者人数

只是趋向 2000 人，但不会达到 2000 人，试判断这个说法的正确性 .

三、计算题(每题 20 分，共 40 分)

1. 某工厂计划用两种原材料A, B 生产甲、乙两种产品，两种原材料的最高供应量依次为 22 和 20 个单位；每单位产品甲需用两种原材料依次为 1 、1 个单位，产值为 3 (百元)；乙的需要量依次为 3、1 个单位，产值为 9 (百元)；又根据市场预测，产品乙的市场需求量最多为 6 个单位，而甲、乙两种产品的需求比不超过 5： 2，试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答：

(1) 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由 .

(2) 原材料的利用情况 .

2. 两个水厂A

1 , A

2

将自来水供应三个小区B1 , B2 , B3 , 每天各水厂的供应量与各小区的

需求量以及各水厂调运到各小区的供水单价见下表 .试安排供水方案，使总供水费最小？

四、 综合应用题(本题 20 分)

某水库建有 10 个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全线，上游河水还在不断地流入 水库.为了防洪，须调节泄洪速度 .经测算，若打开一个泄洪闸， 30 个小时水位降至安全线， 若打开两个泄洪闸， 10 个小时水位降落至安全线 .现在，抗洪指挥部要求在 3 个小时内将水 位降至安全线以下，问至少要同时打开几个闸门？试组建数学模型给予解决 .

注：本题要求按照五步建模法给出全过程 .

小区 单价/元

水厂

A

1

A

供应量 / t

170

B

3

4

B

1

1 0

7 1

B

2

6

数学建模 06 春试题模拟试题参考解答

一、填空题(每题 5 分，共 20 分)

1. 奇数顶点个数是 0 或 2；

2. 约 40.1876 ；

3. N = Kn(T

10) / p, (T > 10 0 C), K 是比例常数； 4. 42.

二、分析判断题(每题 10 分，共 20 分)

1. 解： 问题与盘子、水和温度等因素直接相关，故有相关因素：

盘子的油腻程度，盘子的温度，盘子的尺寸大小；洗涤剂水的温度、浓度； 刷洗地点 的温度等.

注：列出的因素不足四个，每缺一个扣 2.5 分。

2. 解： 根据题意可知：下一年病人数 =当年患者数的一半+新患者. 于是令 X 为从 2000 年起计算的n 年后患者的人数，可得到递推关系模型：

X = 0.5X +1000

n+1 n

得递推公式 X n =

1

2n X 0 + 2000(1 2

1

n ). 由 X 0 = 1200 , 可以算出 2005 年时的患者数 X 5 = 1975 人. 由递推公式容易看出， X 是单调递增的正值数列， 且X

2000 , 故结论正确 .

三、计算题(每题 20 分，共 40 分)

1. 解：设 x 1 , x 2 表示甲、乙两种产品的产量，则有

原材料限制条件： x 1 + 3x 2

22和x 1 + x 2 20,

又由产品乙不超过 6 件以及两种产品比例条件有另外两个条件：

x 2 6, 以及 2x 1 5x 2 0,

n n

n

目标函数满足max z = 3x1 + 9x2 , 便可以得到线性规划模型：

max z = 3x

1+ 9x

2

|

1

|2x -

( x 1 +

| x +

s.t.〈

x 11

,

3x

2

x

2

x 2

5

x

2

x

2

共 共 共 共

>

2

2, 2

0, 6,

0, 0.

(1)使用图解法易得其最优生产方案将有无穷多组(这是因为第一个约束条件所在直 线的斜率与目标函数直线的斜率相等) ，其中的两个方案为该直线段上的两个端点：

X 1 = (4,6)T , X 2 = (10,4), 目标值均为 z = 66 (百元) .

(2)按照上面的第一个解，原材料 B 将有 10 个单位的剩余量，而按照第二个解，原 材料 B 将有 6 个单位的剩余量 .不论是哪一个解，原材料 A 都全部充分利用 .

2. 解： 本问题可以看成是一个产销不平衡的运输问题，属于供小于求问题 .为此，虚 设一个水厂 A ， 其供水量为30 吨，相应的运价均定为 0，便得到一个产销平衡的运输问题

如下表所示：

小区 单价/元 水厂

A

1

A

2

A

供应量/ t

170

200

B

2

6

5

B

3

4

6

B

1

10

7