近世代数基础 第五章 扩域

第五章 扩域

● 课时安排 约2课时

● 教学内容 （《近世代数基础》 （1978年修订本） 张和瑞 著 154151-p ）

在这一章里我们要对于域做一些进一步的讨论。我们不准备证明一些复杂的结构定理，而主要是对单扩域、代数扩域、多项式的分裂域、有限域和可离扩域做一些讨论。

§5.1 扩域、素域

我们先说明一下，研究域所用的方法。

定义 一个域E 叫做一个域F 的扩域（扩张），假如F 是E 的子域。

我们知道，实数域是在它的子域有理数域上建立起来的，而复数域是在它的子域实数域上建立起来的。研究域的方法就是：从一个给定的域F 出发，来研究它的扩域。 这就有如何选择域F 的问题。我们有以下的事实。

定理1 令E 是一个域。若E 的特征是∞，那么E 含有一个与有理数域同构的子域；若E 的特征是素数p ，那么E 含有一个与)(p R 同构的子域，这里R 是整数环，（p ）是由p 生成的主理想。

证明：域E 包含一个单位元e 。因此E 也包含所有ne （n 是整数）。令R '是所有ne 作成的集合。那么

φ： ne n −→−

显然是整数环R 到R '的一个同态满射。

情形1 E 的特征是∞。 这时φ是一个同构映射：

R R '≅

但E 包含R '的商域F '。由Ⅲ，10，定理4，F '与R 的商域，也就是有理数域同构。 情形2 E 的特征是素数p 。这时

/R µR '≅

此处µ是φ的核。但

p pe −→−=0

所以p ∈µ，因而µ)(p ⊃。由Ⅳ，3，引理2，)(p 是一个最大理想。另一方面01≠−→−

e 所以R ≠μ，而µ=)(p ，因而

/R （p ）R '≅

有理数域和/R （p ）显然都不含真子域。

定义 一个域叫做素域，假如它不含真子域。

由定理1知道：一个素域或是与有理数域同构，或是与/R （p ）同构。因此定理1的另一形式是

定理2 令E 是一个域。若E 的特征是∞，那么E 含有一个与有理数域同构的素域；若E 的特征是素数p ，那么E 包含一个与)(p R 同构的素域。

由定理2，一个任意域都是一个素域的扩域，我们就掌握了所有的域。但事实上研究素域的扩域并不比研究一个任意域的扩域来得容易。因此我们研究域的普通方法是：设法决定一个任意域F 的所有扩域E 。

现在我们极粗略地描述一下一个扩域的结构。

令E 是F 的一个扩域。我们从E 里取出一个子集S 来。我们用F （S ）表示含F 和S 的E 的最小子域，把它叫做添加集合S 于F 所得的扩域。

F （S ）的存在容易看出。因为，E 的确有含F 和S 的子域，例如E 本身，一切这样的子域的交集显然是含F 和S 的E 的最小子域。

更具体的说，F （S ）刚好包含E 的一切可以写成

（1）

),,,(),,,(212211n n a a a f a a a f 形式的元。这里n a a a ,,,21 是S 中的任意有限个元素，而1f 和2f （0≠）是F 上的这些α的多项式。这是因为：F （S ）既然是含有F 和S 的一个域，它必然含有一切可以写成形式（1）的元；另一方面，一切可以写成形式（1）的元已经作成一个含有F 和S 的域。

适当选择S ，我们可以使E =F （S ）。例如S=E ，就可以作到这一点。实际上，为了作到这一点，常常只须取E 的一个真子集S 。

若S 是一个有限集：S={n a a a ,,,21 }，那么我们也把F （S ）记作

F （n a a a ,,,21 ）

叫做添加元素n a a a ,,,21 于F 所得的子域。

为了便于讨E 是域F 的一个扩域，而1S 和2S 是E 的两个子集。那么

F （1S ）（2S ）= F （21S S ）=F （2S ）（1S ）

证明： F （1S ）（2S ）是一个包含F 、1S 和2S 的E 的子域，而F （21S S ）是包含F 和21S S 的E 的最小子域。因此

（2） F （1S ）（2S ）⊃F （21S S ）

另一方面F （21S S ）是一个包含F 、1S 和2S ，因而是一个包含F （1S ）和2S 的E 的子域。但F （1S ）（2S ）是包含F （1S ）和2S 的E 的最小子域，因此

（3） F （1S ）（2S ）⊂F （21S S ）

有（2）和（3），得

F （1S ）（2S ）= F （21S S ）

同样可以得到

F （2S ）（1S ）= F （21S S ）

证完

根据定理3，我们可以添加一个有限集归结为陆续添加单个元素，例如

F （n a a a ,,,21 ）= F )())((21n a a a

定义 添加一个元素α于域F 所得的扩域F （α）叫F 的单扩域（扩张）。

单扩域是最简单的扩域。我们在下一节将先讨论这种扩域结构。

● 教学重点 扩域与素域的定义。

● 教学难点 定理1的证明。

● 教学要求 使学生掌握扩域与素域的定义，利用扩域和素域的定义以及定理1，2，3

能证明相关的命题。

● 布置作业 154p 习题。

● 教学辅导 利用参考书，给学生辅导相关的内容。

§5.2 单扩域

● 课时安排 约2学时。

● 教学内容 （《近世代数基础》 （1978年修订本） 张和瑞 著 160154-p ）

假设E 是F 的扩域，而α是E 的一个元。

要讨论单扩域F （α）的结构，我们把E 的元分成两类。

定义 α叫做域F 的一个代数元，假如存在F 的不都等于零的元n a a a ,,10，使得

010=+++n n a a a αα

假如这样的n a a a ,,10不存在，α就叫做F 上的一个超越元。若α是F 的一个代数元，F （α）就叫做F 的一个单代数扩域；若α是F 的一个超越元，F （α）就叫做F 的一个单超越扩域。

单扩域的结构通过以下定理可以掌握。

定理1 若α是F 的一个超越元，那么

F （α）≅ F[x ]的商域

这里F[x ]是F 上的一个未定元x 的多项式环。

若α是F 的一个代数元，那么

F （α）≅ F[x ]/))((x p

这里)(x p 是F[x ]的一个唯一确定的、最高系数为1的不可约多项式，并且0)(=αp 。 证明 F （α）包含F 上的α的多项式环

{}

∑∈=F a a F k k k ,][αα一切

我们知道， ∑∑−→−k k k k a x a α

是F 上的未定元x 的多项式环F[x ]到][αF 的同态满射。现在我们分两个情形来看。

情形1 α是F 的一个超越元。这时以上的映射是同构映射：

F[α]≅ F[x ]