高考数学 高频考点归类分析 排列组合、二项式定理(真
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考点26 排列与组合、二项式定理【考点剖析】 1.最新考试说明：1.分类加法计数原理、分步乘法计数原理 (1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.(2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题. 2.排列与组合(1)理解排列、组合的概念.(2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. (3)能解决简单的实际问题. 3.二项式定理(1)能用计数原理证明二项式定理.(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 2.命题方向预测：以实际问题为背景考查排列、组合的应用，同时考查分类讨论的思想．以选择题或填空题的形式考查，或在解答题中和概率相结合进行考查. 二项展开式中的特定项、特定项的系数、二项式系数等是高考的热点．常以选择题、填空题的形式考查,近几年试题难度呈降低趋势. 3.名师二级结论： 一个区别排列与组合，排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合． 两个公式(1)排列数公式n !A ()!mn n m =-(2)组合数公式n !C !()!m n m n m =-，利用这两个公式可计算排列问题中的排列数和组合问题中的组合数．①解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”．②要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果． 四字口诀求解排列组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．” 一个防范运用二项式定理一定要牢记通项T r ＋1＝C r n an －r b r，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C rn ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负． 一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续． 两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等． 三条性质 (1)对称性； (2)增减性；(3)各项二项式系数的和；以上性质可通过观察杨辉三角进行归纳总结． 4.考点交汇展示： (1)与基本不等式相结合若26()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22b a +的最小值 . 【答案】2(2)与定积分相结合已知11(1a dx -=⎰，则61()2a x x π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦展开式中的常数项为 。
35：排列组合和二项式定理高三复习数学知识点总结(全)
排列、组合与二项式定理1.两个计数原理（1）分类计数定理（加法原理）：如果完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有1m 种不同的方法，在第2类方式中有2m 种不同的方法，......，在第n 类方式中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法.（2）分步计数定理（乘法原理）：如果完成一件事，需要完成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，......，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法.（3）两个计数原理的区别分类计数原理与分步计数原理的区别关键在于看事件能否完成，事件完成了就是分类，分类后要将种数相加；事件必须要连续若干步才能完成的则是分步，分步后要将种数相乘.2.排列（1）排列的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.（2）排列数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示.（3）排列数公式：)1()2)(1()!(!+---=-=m n n n n m n n A m n .特别地：①（全排列）.123)2)(1(!⋅⋅--== n n n n A n n ②.1!0=3.组合（1）组合的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）组合数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示.（3）组合数公式：()()()()121!!!!m m n n m m n n n n m A n C A m m n m ---+===- .特别地：01n C =.（4）组合数的性质：①m n n m n C C -=；②11-++=m n m n m n C C C ；③11--=kn k n nC kC .4.解决排列与组合问题的常用方法通法：先特殊后一般（有限制条件问题），先组合后排列（分组问题），先分类后分步（综合问题）.例：某校开设9门课程供学生选修，其中A 、B 、C 三门由于上课时问相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修4门，共有多少种不同的选修方案？答：.75461336=+C C C （1）特殊元素、位置优先安排法：对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列，然后排列其他一般元素或位置.例4-1：0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？答：.3013131224=+C C C A （2）限制条件排除法：先求出不考虑限制条件的个数，然后减去不符合条件的个数.也适用于解决“至多”“至少”的排列组合问题.例4-2：从7名男同学和5名女同学中选出5人，若至少有2名女同学当选，问有多少种情况？答：.596)(471557512=+-C C C C（3）相邻问题“捆绑法”：将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列，待整个问题排好之后再考虑它们内部的排列数，它主要用于解决相邻问题.例4-3：5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？答：6363A A =4320（4）不相邻问题“插空法”：先把无位置要求的元素进行排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的“空档”中（注意两端）.例4-4：5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？答：5354A A （5）元素相同“隔板法”：若把n 个不加区分的相同元素分成m 组，可通过n 个相同元素排成一排，在元素之间插入1-m 块隔板来完成分组，共11--+m m n C 种方法.例4-5：10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？答：.49C （6）元素不多“列举法”：即把符合条件的一一列举出来.例4-6：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格内，每个方格填一个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有种。
高三数学 排列、组合、二项式定理
高三数学排列、组合、二项式定理【考点梳理】一、考试内容1.分类计数原理与分步计数原理。
2.排列、排列数公式。
3.组合、组合数公式。
分类计数原理中的分类。
分步计数原理中的分步。
正确地分类与分步是学好这一章的关键。
(2组合数公式:C n m =!(!!m n m n -=121(1m -(n 1-n (⨯⨯⨯-⨯+ m m n (3组合数的性质①C n m =C n n-m②r n r n r n C C C 11+-=+③rC n r=n ·C n-1r-1④C n0+C n1+…+C n n=2n⑤C n0-C n1+…+(-1n C n n=0即C n0+C n2+C n4+…=C n1+C n3+…=2n-15.二项式定理(1二项式展开公式(a+bn=C n0a n+C n1a n-1b+…+C n k a n-k b k+…+C n n b n(2通项公式:二项式展开式中第k+1项的通项公式是k n-k k本策略之一。
注意的是:分类不重复不遗漏,即:每两类的交集为空集,所有各类的并集为全集。
(3分步处理与分类处理类似,某些问题总体不好解决时,常常分成若干步,再由分步计数原理解决。
在处理排列组合问题时,常常既要分类,又要分步,其原则是先分类,后分步。
(4插入法(插空法某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插入法。
即先安排好没有限制条件的元素,然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。
(5“捆绑”法把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个大元素,然后再与其余“普通元素”全排列,最后再“松绑”。
将特殊元素在这些位置上全排列,即是“捆绑法”。
(6穷举法:将所有满足题设条件的排列与组合逐一排列出来。
(7探索法:对于复杂的情况,不易发现其规律的问题,需仔细分析,从特殊到一般,或一般到特殊,探索出其中规律,再给予解决。
(8消序处理对均匀分组问题的解决,一定要区分开是“有序分组”还是“无序分组”,若是“无序分组”,一定要清除均匀分组无形中产生的有序因素。
高考数学新课标复习资料——排列、组合和二项式定理
2008年高考数学新课标复习资料——排列、组合和二项式定理1.两个原理.（1）分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。
它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。
只不过利用分类计算原理时，每一种方法都可能独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。
利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性。
比较复杂的问题，常先分类再分步,分类相加，分步相乘. （2）一个模型： 影射B A f →:个数若A 有年n 个元素，B 有m 个元素，则从A 到B 能建立nm 个不同的影射①n 件不同物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：nm 种） ②四人去争夺三项冠军，有多少种方法？③从集合A={1，2，3}到集合B={3，4}的映射f 中满足条件f （3）=3的影射个数是多少？ ④求一个正整数的约数的个数 （3）含有可重元素．．．．．．的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n=.如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n .2.排列数mnA 中1,n m n m ≥≥∈N 、、组合数m n C 中,1,0,n m n m n m ≥≥≥∈、N . (1)排列数公式!(1)(2)(1)()()!mn n A n n n n m m n n m =---+=≤-；!(1)(2)21n n A n n n n ==--⋅。
如（1）1！+2！+3！+…+n ！（*4,n n N ≥∈）的个位数字为 （答：3）； （2）满足2886xx A A -<的x ＝ （答：8）(2)组合数公式()(1)(1)!()(1)21!!m mn n mm A n n n m n C m n A m m m n m ⋅-⋅⋅-+===≤⋅-⋅⋅⋅-；规定01！=，01n C =.如已知16mn mnm n C C A +++=，求 n ，m 的值（答：m ＝n ＝2）(3)排列数、组合数的性质： ①mn m nn C C -=；②111mm m nn n C C C ---=+；从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1m n 111m nC C C--=⋅一类是不含红球的选法有mn C ）根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C 1-m n ，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C mn 种，依分类原理有m n m n m n C C C11+-=+.③11kk nn kC nC --=；111111+++=+k n k n C n C k④1121++++=++++r n r n r r r r rrC C C C C ；⑤!(1)!!n n n n ⋅=+-；⑥11(1)!!(1)!n n n n =-++. (4)常用的证明组合等式方法. ① 裂项求和法. 如：)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n （利用!1)!1(1!1n n n n --=-）n.n!=(n+1)!-n! ② 导数法. ③ 数学归纳法. ④倒序求和法. 1321232-=++++n nn n n n n nC C C C一般地：已知等差数列{a n }的首项a 1，公差为d ，a 1C 0n＋a 2C 1n＋a 3C 2n＋…＋a n ＋1C nn=（2a 1＋nd )·2n -1．⑤ 递推法（即用m n m n m n C C C 11+-=+递推）如：413353433+=+++n n C C C C C .⑥ 构造二项式. 如：n nn n n n C C C C 222120)()()(=+++ 证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中nx 的系数，左边为22110nn n n n n n n n n n n C C C C C C C C ⋅++⋅+⋅+⋅-- ，22120)()()(n n n n C C C +++= 而右边n n C 2=. 更一般地：rnm r n m n r m n r m C C C C C C C +-=+++01103.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合． 如（1）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 种（答：53）；（2）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种（答：70）；（3）从集合{}1,2,3和{}1,4,5,6中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是___（答：23）；（4）72的正约数（包括1和72）共有 个（答：12）；（5）A ∠的一边AB 上有4个点，另一边AC 上有5个点，连同A ∠的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_____个三角形（答：90）；（6）用六种不同颜色把右图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有 种不同涂法（答：480）；（7）同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有 种（答：9）；（8）f是集合{},,M a b c =到集合{}1,0,1N =-的映射，且()()f a f b +()f c =，则不同的映射共有 个（答：7）；（9）满足}4,3,2,1{=C B A 的集合A 、B 、C 共有 组（答：47）3.解排列组合问题的方法有：一般先选再排，即先组合再排列，先分再排。
专题04 排列组合与二项式定理(解析版)--高二数学专题解析
专题04排列组合与二项式定理--高二数学专题解析知识点一：排列1：排列≤)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不（1）定义：一般地,从n个不同元素中取出m(m n同元素中取出m个元素的一个排列.（2）相同排列：两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.2：排列数与排列数公式1：组合（1）定义：一般地：从n个不同的元素中取出m(m n≤)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.（3）组合与排列的异同≤)个元素”.相同点:组合与排列都是“从n个不同的元素中取出m(m n不同点:组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题.2：组合数与组合数公式（1）组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m n≤)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元3：组合数的性质b一、单选题1．在()5232x x ++的展开式中x 的系数是（）A ．160B ．180C ．240D ．210【答案】C【分析】根据二项式的定义可知有4个因式中取2，1个因式中取3x 项，即可得解.【详解】在()5232x x ++的展开式中，要得到含x 的项，则有4个因式中取2，1个因式中取3x 项，故x 的系数为445C 32240⨯⨯=．故选：C7．高三（一）班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法．【答案】3600【答案】20【分析】根据题意，先对【详解】对于6盏不同的花灯进行取下，可先对因为取花灯每次只能取一盏，且只能从下往上取，又因为每串花灯先后顺序已经固定，所以除去重复的排列顺序，所以共有663333A20 A A=故答案为：20.13．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(4)6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．x16．（多选题）若()32+n x（=20．（多选题）有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（）A ．若丙在甲、乙的中间（可不相邻）排队，则不同的排法有20种B ．若五位同学排队甲不在最左端，乙不在最右端，则不同的排法共有78种C ．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且甲、丙不能相邻，则不同的排法有36种D ．若甲、乙、丙、丁、戊五位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每位同学只去一个社区，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有150种【答案】BCD【分析】对于A ：讨论甲、乙之间有几位同学，分析运算即可；对于B ：讨论甲、乙所在位置，分析运算即可；对于C ：先求甲、乙相邻的安排方法，再排除甲、乙相邻且甲、丙相邻的安排方法；对于D ：先将学生安排出去，再排除有小区没有人去的可能.【详解】对于选项A ：可知有三种可能：甲、乙之间只有一位同学，则不同的排法有2323A A 12=种；甲、乙之间有两位同学，则不同的排法有12222222C A A A 16=种；甲、乙之间有三位同学，则不同的排法有2323A A 12=种；不同的排法共有12161240++=种，故A 错误；对于选项B ：可知有四种可能：甲在最右端，乙在最左端，则不同的排法有33A 6=种；甲在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有1333C A 18=种；甲不在最右端，乙在最左端，则不同的排法有1333C A 18=种；甲不在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有2333A A 36=种；不同的排法共有618183678+++=种，故B 正确；对于选项C ：若甲、乙相邻，则不同的排法有2424A A 48=种；若甲、乙必须相邻且甲、丙相邻，则不同的排法有2323A A 12=种；不同的排法共有481236-=种，故C 正确；对于选项D ：若每位同学只去一个社区，则不同的排法有53243=种；若有小区没有人去，则有两种可能：所有人去了一个小区，则不同的排法有13C 3=种；所有人去了两个小区，则不同的排法有()25132C 2C 90-=种；不同的排法共有()243390150-+=种，故D 正确；故选：BCD.21．将5名学生分到A ，B ，C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A 宿舍的不同分法有__________．原理即可得出答案.【详解】首位是1，第二位是0，则后三位可以用剩下的数字全排列，共有33A 6=个，前两位是12，第三位是0，后两位可以用余下的两个数字进行全排列，共有22A 2=种结果.前三位是123，第四位是0，最后一位是4，只有1种结果，∴数字12340前面有6+2+1=9个数字，数字本身就是第十个数字.故答案为：10.27．重新排列1，2，3，4，5，6，7，8．(1)使得偶数在原来的位置上，而奇数不在原来的位置上，有多少种不同排法？(2)使得偶数在奇数的位置上，而奇数在偶数的位置上，有多少种不同的排法？(3)使得偶数在偶数位置上，但都不在原来的位置上；奇数在奇数位置上，但也都不在原来的位置上，有多少种不同的排法？(4)如果要有数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(5)如果只有4个数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(6)如果至少有4个数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(7)偶数在偶数位置上；但恰有两个数不在原来位置上，奇数在奇数位置上，但恰有两个数不在原来位置上，有多少种不同排法？(8)偶数在偶数位置上，且至少有两个数不在原来位置上；奇数在奇数位置上，也至少有两个数不在原来位置上，有多少种不同排法？【答案】(1)9；(2)576；(3)81；(4)25487；(5)630；(6)771；(7)36；(8)225.【分析】（1）利用匹配问题错排公式求解；（2）利用乘法分步原理求解；（3）利用匹配问题求解；（4）用排除法．对8个数进行全排列，再减去没有数在原来的位置上的排法，即得解；（5）利用乘法分步原理求解；（6）用排除法．先对8个数进行全排列，再去掉恰有i 个数在原来位置上的排法()0123i =,,,，即得解；（7）利用匹配问题和分步乘法原理得解；。
高中数学排列组合二项式概率统计知识点归纳及常考题型
“排列、组合、二项式、概率、统计”复习资料一、基础知识和方法梳理 （一）排列组合 1．计数两原理：分类计数原理：完成一件事情，有n 类方法，在第1类方法中又有m 1种不同的方式可以完成这件事情，在第2类方法中，又有m 2种方式，……第n 类方法中有m n 种方式可以完成，那么要完成这件事情的方法共有：n m m m N +++= 21分步计数原理：完成一件事情，需要分成n 步完成，在第1步中，有m 1种不同的方式可以完成这一步，在第2步中，有m 2种方式，……第n 步中，有m n 种方式可以完成这一步，那么要完成这件事情的方法共有：n m m m N ⨯⨯⨯= 21 2．排列：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
排列数)!(!)1()1(m n n m n n n A mn -=+--=3．组合：从n 个不同的元素中不重复选取m 个元素组成一组，与顺序无关； 组合公式：)!(!!!)1()1(m n m n m m n n n C mn -=+--=；组合数性质：m n n m n C C -=，mn m n m n C C C 11+-=+4．排列组合常用方法：分类讨论法：将0,1,2,3,4五个数字可以组成多少个无重复数字的五位偶数？间接法：100件产品含有5件次品，从中任取5件，则至少含有一件次品的取法有多少种？ 捆绑、插空法：将3本语文书，3本数学书，2本英语书排成一排，数学书必须排在一起，英语书不能相邻，则有多少中排列方式？特殊元素特殊位置优先考虑法：例如，将0,1,2,3可以组成多少个无重复数字的四位数 分组法：将5个苹果分给甲、乙、丙三人，每人至少一个苹果，有多少种分配方案？ 隔板法：例如，将10个相同的小球装入3个编号为1,2,3的盒子(每次要把10个球装完),要求每个盒子里球的个数不少盒子的编号数,这样的装法总数有多少种？ 等可能性法：六个字母a 、r 、r 、r 、b 、c 排成一排，有多少种排列方式？（二）二项式定理1．二项式定理：nn n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)(，其中rn C 为第1+r 项的二项式系数，=-nb a )(2．通项公式：rr n r n r b a C T -+=1,),1,0(n r =3．二项式定理的性质： （1）对称性，二项式系数是关于2n对称 （2）增减性与最大值，当n 为偶数时，二项式系数最大项为第12+n项，最大值为2nn C当n 为奇数时，二项式系数最大项为第121+-n 项和第121++n 项，最大值为2121+-=n n n n C C （3）二项式系数之和nn n n n C C C 210=+++奇数项与偶数项的二项式系数之和相等131202-=++=++n n n n n C C C C（三）概率1．概率的定义：在大量重复进行同一试验时事件A 发生的频率nm总是接近于某个常数p ，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记做)(A P ．2．事件的和A+B ：表示事件A 和B 至少有一个发生； 事件的积A ×B ：表示事件A 和B 同时发生B A B A B A B A ⋅=++=⋅,3．常见的几种类型的概率计算：（1）等可能事件：可预知的有限个结果，且每个结果出现的可能性相同 计算方法：nm A P =)( （2）互斥事件：在一次试验中，事件A 发生了，则事件B 一定不会发生，事件B 发生了，事件A 不可能发生互斥事件有一个发生的概率计算方法：)()()(B P A P B A P +=+， 特殊的，对立事件：1)()(=+A P A P（3）相互独立事件：在一次试验中，事件A 发生与否对事件B 发生的概率没有影响，同理，事件B 发生与否对事件A 发生的概率没有影响，若A 与B 是独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 都是独立事件 独立事件同时发生的概率的计算方法：)()()(B P A P B A P ⋅=⋅（4）n 次独立重复事件恰有k 次发生的概率：kn k k n n p p C k P --=)1()(4．关于两个事件常见的概率计算：（若21)(,)(p B P p A P ==）5．注意事项（1）等可能事件的概率中，基本事件数目的计算可以分化得细致一点或粗略一点，这样虽然形式上有所差别，结果往往是一样的，通常有这样一些不同考虑：“整体考虑或局部考虑” 、“元素可辨或不可辨” 、“元素放回或不放回” 、“元素有序或无序”.（2）重视几种概率类型的混合，注意概率加法、乘法的混合运算，适当注意概率类型的突破. （3）准确理解文字（生活）语言，如“至少”、“至多”、“都”、“不都”、“都不”、“恰有几个”、“有几个”，“只有第几次”、“第几次”，“直到第几次”等等，然后等价转化为数学（概率）语言，并注意表述规范.（四）统计1．离散型随机变量的定义：若随机试验的结果可以用一个变量表示，这个变量叫做随机变量。
高中数学知识点归纳排列组合与二项式定理
高中数学知识点归纳排列组合与二项式定理在高中数学中，排列组合是一种重要的概念与工具，它涉及到对对象的选取和排列的方式。
而在排列组合的基础上，我们还能引出二项式定理，进一步探讨多项式的展开与计算。
本文将对这些数学知识点进行归纳总结和讨论。
一、排列组合的基本概念1.1 排列排列是从给定的一组对象中，按照一定的顺序选择若干个对象进行排列。
假设有n个不同的对象，要从中选择r个对象进行排列，可以得到的排列数记为P(n,r)。
P(n,r) = n!/(n-r)!1.2 组合组合是指从给定的一组对象中，无视其顺序，选择若干个对象。
同样假设有n个不同的对象，要从中选择r个对象进行组合，可以得到的组合数记为C(n,r)。
C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)1.3 重复排列与重复组合当给定的一组对象中存在重复的元素时，我们可以计算可能的重复排列与重复组合。
计算公式如下：重复排列：P(n1,n2,...,nk) = n!/(n1!n2!...nk!)重复组合：C(n+r-1,r) = (n+r-1)!/(r!(n-1)!)二、排列组合的应用2.1 生日问题生日问题是指在一个房间里，至少有两个人生日相同的概率有多大。
利用排列组合的思想可以很方便地解决这个问题。
在一个房间里，有n 个人，假设有365天可以选作生日。
我们可以计算至少有两个人生日相同的概率，即为1减去没有人生日相同的概率。
P(at least two people have the same birthday) = 1 - P(no two people have the same birthday)= 1 - C(365,n)/365^n2.2 二项式定理与展开二项式定理是代数中的重要定理之一，它描述了两个数之和的幂展开后的表达式。
假设有实数a和b以及正整数n，根据二项式定理可以将(a+b)^n展开为：(a+b)^n = C(n,0)a^n*b^0 + C(n,1)a^(n-1)*b^1 + C(n,2)a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n-1)a^1*b^(n-1) + C(n,n)a^0*b^n2.3 二项式系数与组合恒等式二项式系数指的是二项式展开中各项的系数。
高中数学高考总复习---排列组合、二项式定理知识讲解及考点梳理
高中数学高考总复习---排列组合、二项式定理知识讲解及考点梳理【高考展望】命题角度：该部分的命题就是围绕两个点展开．第一个点是围绕排列，组合展开，设计利用排列组合和两个基本原理求解的实际计数问题的试题，目的是考查对排列组合基本方法的掌握程度，考查分类与整合的思想方法，试题都是选择题或者填空题，难度中等或者偏易；第二点是围绕二项式定理展开，涉及利用二项式的通项公式计算二项式中特定项的系数、常数项、系数和等试题，目的是考查对二项式定理的掌握程度和基本的运算求解能力，试题也都是选择题或者填空题，难度中等．预计高考对该部分的考查基本方向不变，即考查简单的计数问题、二项式定理的简单应用，但由于排列，组合试题的特点，也不排除出现难度稍大的试题的可能．复习建议：该部分的复习以基本问题为主，要点有两个：一个是引导学生掌握解决排列，组合问题的基本思想，即分类与分步的思想，使学生在解题时有正确的思维方向；一个是掌握好二项展开式的通项公式的应用，这是二项式定理的考查核心．【知识升华】一、排列与组合1、分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关.2、排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.3、排列与组合的主要公式①排列数公式：)1()1()!(!+-⋅⋅⋅-=-=mnnnmnnA mn(m≤n)A nn=n! =n(n―1)(n―2) ·…·2·1.②组合数公式：12)1()1()1()!(!!⨯⨯⋅⋅⋅⨯-⨯+-⋅⋅⋅-=-=mmmnnnmnmnC mn(m≤n).③组合数性质：①mnnmnCC-=(m≤n). ②nnnnnnCCCC2210=+⋅⋅⋅+++③1314202-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++nnnnnnCCCCC4、分类应在同一标准下进行，确保“不漏”、“不重”，分步要做到“步骤连续”和“步骤独立”，并能完成事项.5、界定“元素与位置”要辩证地看待，“特殊元素”、“特殊位置”可直接优先安排，也可间接处理.6、解排列组合综合问题注意先选后排的原则，复杂的排列、组合问题利用分类思想转化为简单问题求解.7、常见的解题策略有以下几种：（1）特殊元素优先安排的策略；（2）合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；（4）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题捆绑处理的策略；（6）不相邻问题插空处理的策略；（7）定序问题除法处理的策略；（8）分排问题直排处理的策略；（9）“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；（10）构造模型的策略.二、二项式定理1、二项式定理(a +b)n =C 0n an +C1n an－1b+…+Crn an－rbr +…＋Cnn bn，其中各项系数就是组合数Crn，展开式共有n+1项，第r+1项是Tr+1 =C rn an－rbr.2、二项展开式的通项公式二项展开式的第r+1项Tr+1=C rn an－rbr(r=0,1,…n)叫做二项展开式的通项公式。
高考数学知识考点精析24 计数原理、排列组合与二项式定理
高考数学知识考点精析24 计数原理、排列组合与二项式定理1、分类计数原理（也称加法原理）：完成一件事，有n 类方法，在第一类方法中有m 1种不同的方法，在第二类方法中有m 2种不同的方法，…，在第n 类方法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1+m 2+…+m n 不同的方法。
注：每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事。
分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，…做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1m 2…m n 不同的方法。
注：一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。
各步是关联的。
某些复杂的计数问题有时既要用分类计数原理，又要用分步计数原理，分类中有分步，分步中有分类。
2、全错位法，n 个编有号码1,2，3，…n 的元素，放入编有号码1,2，3，…n 的n 个位置，并使元素编号与位置编号不同，则共有多少种放法？n=1时，有0种，n=2时有1种,n=3时，有2种，n=4时，有9种，n=5时，有44种,…一般，()121()n n n a n a a --=-+，3、排列的概念：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
全排列：把n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做这n 个元素的一个全排列。
排列数的概念：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示。
A mn ＝n(n-1)(n-2)(n-3)…(n -m+1)=()!!m n n -,规定：0！＝1，排列数恒等式（1）1(1)m m n n A n m A -=-+;（2）1m mn n n A A n m-=-;（3）11m m n n A nA --=(4)11m m m n n n A mA A -++=阶乘：自然数1到n 的连乘积，用n!=1×2×3×…×n 表示 .()()()1!1!1!,!1!!1n n n n nn n n n =-=+=+-+ （1）1！+2！+3！+…+n ！（*4,n n N ≥∈）的个位数字为 3 ；（2）满足2886x x A A -<的x ＝ 8 4、组合的概念：从n 个不同元素中取出m 个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合。
高中数学排列组合及二项式定理知识点
高中数学之排列组合二项式定理一、分类计数原理和分步计数原理：分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。
分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而—个步骤中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。
区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有当n 个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。
二、排列与组合：（1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出n 个元素的问题； 区别：前者有顺序，后者无顺序。
（2）排列数、组合数：排列数的公式：)()!(!)1()2)(1(n m m n n m n n n n A m n ≤-=+---= 注意：①全排列：!n A n n =； ②记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；排列数的性质：①11--=m n m n nA A （将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两步完成：第一步从n 个元素中选出1个排在指定的一个位置上；第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上）②m n m n m n A mA A 111---+=（将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两类完成：第一类：m 个元素中含有a ，分两步完成：第一步将a 排在某一位置上，有m 不同的方法。
第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上）即有11--m n mA 种不同的方法。
第二类：m 个元素中不含有a ，从1-n 个元素中取出m 个元素排在m 个位置上，有m n A 1-种方法。
高中数学专题讲解排列组合及二项式定理
排列组合及二项式定理【基本知识点】1．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）． （2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2nn C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC -，12n nC+取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++，令1x =，则0122n rn nn n n n C C C C C =++++++【常见考点】一、可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数。
（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 【解析】：（1）43（2）34 （3）34二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.（4）,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种 （5）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，22223242C A A A =432 种其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.（6）七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种（7） 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（具体数字作答）【解析】： 111789A A A =504（8）马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的 二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？【解析】：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯35C 种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.四．元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元 素；再排其它的元素。
高中数学知识点总结及公式大全排列组合与二项式定理
高中数学知识点总结及公式大全排列组合与二项式定理高中数学知识点总结及公式大全：排列组合与二项式定理一. 排列组合排列组合是高中数学中重要的知识点之一，用于解决计数问题。
排列组合分为排列和组合两种情况。
1. 排列排列是指从一组对象中按照一定的顺序选择若干个对象进行排列。
高中数学中常用的排列公式为：An= n!/(n-r)!，其中n表示总数，r表示选取的个数。
排列的特点是考虑顺序，即不同的顺序被视为不同的排列。
2. 组合组合是指从一组对象中选择若干个对象进行组合，不考虑顺序。
高中数学中常用的组合公式为：Cn= n!/[(n-r)!*r!]，其中n表示总数，r表示选取的个数。
组合的特点是不考虑顺序，即不同的顺序被视为相同的组合。
二. 二项式定理二项式定理是高中数学中的重要定理之一，用于展开一个任意次数的二项式表达式。
二项式定理的公式为：(a+b)^n = Cn0 * a^n * b^0 + Cn1 * a^(n-1) * b^1 + Cn2 * a^(n-2) * b^2 + ... + Cnr * a^(n-r) * b^r + ... + Cnn * a^0 * b^n 其中Cnr代表组合数，表示从n中选取r个的组合数。
三. 相关数学公式除了排列组合和二项式定理，高中数学还有许多重要的公式需要掌握。
1. 三角函数相关公式：- 三角恒等式：sin^2x + cos^2x = 1；tanx = sinx/cosx- 三角和差公式：sin(x ± y) = sinx*cosy ± cosx*siny；cos(x ± y) = cosx*cosy - sinx*siny- 三角倍角公式：sin2x = 2sinxcosx；cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x2. 数列与数列求和公式：- 等差数列通项公式：an = a1 + (n-1)d；等差数列前n项和公式：Sn = n/2(a1 + an) = n/2(2a1 + (n-1)d)- 等比数列通项公式：an = a1 * r^(n-1)；等比数列前n项和公式：Sn = (a1(1-r^n))/(1-r)3. 平面几何相关公式：- 点到直线的距离公式：d = | Ax0 + By0 + C | / √(A^2 + B^2)- 两点间距离公式：d = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]- 矩形面积公式：S = a * b- 三角形面积公式：S = 1/2 * a * b * sinγ以上只是数学知识点的一部分，针对不同的题目和问题，可能还需要运用其他公式和方法进行解题。
【备战】高考数学 高频考点归类分析 排列组合、二项式定理(真题为例)
高频考点排列组合、二项式定理一、分类计数原理的应用：典型例题：例1. （2012年北京市理5分）从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为【】A. 24B. 18C. 12D. 6【答案】B。
【考点】排列组合问题。
【解析】由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇。
如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析（3 种情况），之后十位（2 种情况），最后百位（2 种情况），共12 种；如果是第二种情况偶奇奇：个位（3 种情况），十位（2 种情况），百位（不能是O ，一种倩况），共6 种。
因此总共有12 + 6 = 18 种情况。
故选B。
例2. （2012年安徽省理5分）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为【】()A1或3()B1或4()C2或3()D2或4【答案】D。
【考点】排列组合。
【解析】∵261315132C-=-=，∴在6位同学的两两交换中少2种情况。
不妨设甲、乙、丙、丁、戍、己6人①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则甲收到3份纪念品，乙、丙收到4份纪念品，丁、戍、己收到5份纪念品，此时收到4份纪念品的同学人数为2人；②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则甲、乙、丙、丁收到4份纪念品，戍、己收到5份纪念品，此时收到4份纪念品的同学人数为4人。
故选D。
例3. （2012年山东省理5分）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为【】A 232B 252C 472D 484【答案】C。
【考点】排列组合的应用。
【解析】3321164412161514416725608846C C 7C 2C ⨯⨯--=--=-=。
排列组合二项式定理概率与统计高考分析
排列组合二项式定理概率与统计高考分析一，高考考察高考对排列组合以及二项式定理的考查,往往以填空题或者选择题为主,题小而灵活，且往往较难.还有一种趋势,与其他知识综合，例如排列组合与概率、排列组合与不等式、二项式定理与函数、二项式定理与不等式等.不过从近3年湖北高考试卷中,还没出现这种题型.高考对统计、概率内容的考查，往往以实际应用题出现，这既是这类问题的特点，也符合高考发展的方向。
概率应用题文科侧重于古典概率,基本上是排列与组合的分类问题，理科侧重于分布列与期望。
应用题近几年的高考有以概率应用题替代传统应用题的趋势，05年高考概率统计应用题多数省份出现在解答题前三题的位置，有个别省份有后移的趋势，如05年全国卷I、05年辽宁试卷出现在解答题第20题，可见概率统计在高考中属于中档题，二．复习建议在复习中应重点做到以下几个方面：1、重视概率统计的基本知识、基本技能、基本方法的复习要做到：①四个了解，即了解随机事件的统计规律性；随机事件的概率；互斥事件；相互独立事件．②四个会，即会用排列组合基本公式计算等可能事件的概率；会用互斥事件的概率加法公式计算事件的概率；会用独立事件的概率乘法公式计算事件的概率；会计算事件在n次独立重复试验中恰发生k次的概率；③理科还应重点掌握离散型随机变量分布列和数学期望。
2、重视教材的基础作用教材是学习数学基础知识，形成基本技能的“蓝本”，是高考试题的重要知识载体。
对05年全国各地高考试卷概率应用题背景统计：(1)以“摸球”为背景的有山东卷、浙江卷、广东卷；(2)以“体育竞赛（比赛胜负、射击、投篮命中率）”为背景的有全国卷II、江苏卷、北京卷、福建卷；(3)其它的还有象投掷硬币（江西卷）、旅游（湖南）、照明（湖北）等，这些背景在教材中均可找到与其相关的习题、例题。
可见高考试卷中的概率统计试题，大多数试题源于教材，特别是客观题都是从课本上的练习题或习题改编的，既使是综合题，也是由教材例、习题的组合、加工和拓展而成，充分表现出教材的基础作用。
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高频考点排列组合、二项式定理一、分类计数原理的应用：典型例题：例1. （2012年北京市理5分）从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为【】A. 24B. 18C. 12D. 6【答案】B。
【考点】排列组合问题。
【解析】由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇。
如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析（3 种情况），之后十位（2 种情况），最后百位（2 种情况），共12 种；如果是第二种情况偶奇奇：个位（3 种情况），十位（2 种情况），百位（不能是O ，一种倩况），共6 种。
因此总共有12 + 6 = 18 种情况。
故选B。
例2. （2012年安徽省理5分）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为【】()A1或3()B1或4()C2或3()D2或4【答案】D。
【考点】排列组合。
【解析】∵261315132C-=-=，∴在6位同学的两两交换中少2种情况。
不妨设甲、乙、丙、丁、戍、己6人①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则甲收到3份纪念品，乙、丙收到4份纪念品，丁、戍、己收到5份纪念品，此时收到4份纪念品的同学人数为2人；②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则甲、乙、丙、丁收到4份纪念品，戍、己收到5份纪念品，此时收到4份纪念品的同学人数为4人。
故选D。
例3. （2012年山东省理5分）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为【】A 232B 252C 472D 484【答案】C。
【考点】排列组合的应用。
【解析】3321164412161514416725608846C C 7C 2C ⨯⨯--=--=-=。
故选C 。
例4. （2012年浙江省理5分）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有【 】A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种 【答案】D 。
【考点】分类讨论，计数原理的应用。
【解析】1，2，2，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有：4个都是偶数：1种；2个偶数，2个奇数：225460C C =种； 4个都是奇数：455C =种。
∴不同的取法共有66种。
故选D 。
例5. （2012年陕西省理5分） 两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有【 】A. 10种B.15种C. 20种D. 30种 【答案】D 。
【考点】排列、组合及简单计数问题，分类计数原理。
【解析】根据分类计数原理，所有可能情形可分为3:0，3:1，3:2三类，在每一类中可利用组合数公式计数，最后三类求和即可得结果：当比分为3:0时，共有2种情形；当比分为3:1时，共有12428C A =种情形； 当比分为3:2时，共有225220C A =种情形。
总共有282030++=种。
故选D 。
二、分步计数原理的应用： 典型例题：例1. （2012年全国大纲卷理5分）将字母 , , , , a a b b c c ,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每 列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有【 】A．12种 B．18种 C．24种 D．36种【答案】A。
【考点】排列组合的应用，分步计数原理。
【解析】利用分步计数原理，先填写最左上角的数，有3种，再填写右上角的数为2种，再填写第二行第一列的数有2种，一共有3×2×2=12种。
故选A。
例2. （2012年全国大纲卷文5分）6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有【】A. 240种B.360种C.480种D.720种【答案】C。
【考点】排列组合的应用。
【解析】根据特殊元素优先的原则，选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，在其余4个次序演讲有14C种组合，则其余5 位选手进行全排列。
因此，不同的演讲次序共有1545480C A⋅=种。
故选C。
例3. （2012年全国课标卷理5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有【】()A12种()B10种()C9种()D8种【答案】A。
[]【考点】排列组合。
【解析】每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有122412C C=种。
故选A。
例4. （2012年辽宁省理5分）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为【】(A)3×3！(B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！【答案】C。
【考点】分步计数原理。
【解析】此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有3!种排法，三个家庭共有3!3!3!⨯⨯3(3!)=种排法；再把三个家庭进行全排列有3!种排法。
因此不同的坐法种数为4(3!)。
故选C。
例5. （2012年湖北省理5分）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。
如22，,11,3443,94249等。
显然2位回文数有9个：11,22,33...，99.3位回文数有90个：101,111,121，...，191,202， (999)则（Ⅰ）4位回文数有 ▲ 个；（Ⅱ）2n ＋1（n ∈N +）位回文数有 ▲ 个。
【答案】（Ⅰ）90；（Ⅱ）910ng 。
【考点】计数原理的应用。
【解析】（I ）4位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个位数字，共有9种选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法，故4位回文数有9×10=90个。
（II ）第一步，选左边第一个数字，有9种选法；第二步，分别选左边第2、3、4、…、n 、n +1个数字，共有10×10×10×…×10=10n 种选法，故2n +1（n ∈N +）位回文数有910ng 个。
三、二项式定理的应用： 典型例题：例1. （2012年四川省理5分）7(1)x +的展开式中2x 的系数是【 】 A 、42 B 、35 C 、28 D 、21 【答案】D 。
【考点】二项式的通项公式。
【解析】∵二项式7(1)x +展开式的通项公式为+17k k k T C x =，∴令k =2，则2237T C x =。
∴2x 的系数是27C 21=。
故选D 。
例2. （2012年天津市理5分）在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为【 】 （A ）10 （Ｂ）-10 （Ｃ）40 （Ｄ）-40 【答案】D 。
【考点】二项式定理。
【分析】∵251+15=(2)()r r r r T C x x --⋅-=510352(1)r r r rC x ---，令103=1r -，得=3r ，∴x 的系数为23345=2(1)=40T C --。
故选D 。
例3. （2012年安徽省理5分）2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是【 】 ()A 3- ()B 2- ()C 2 ()D 321世纪教育网 【答案】D 。
【考点】二项式定理。
【解析】∵第一个因式取2x ，第二个因式取21x得：1451(1)5C ⨯-= ， 第一个因式取2，第二个因式取5(1)-得：52(1)2⨯-=-，∴展开式的常数项是5(2)3+-=。
故选D 。
例4. （2012年重庆市文5分）5(13)x - 的展开式中3x 的系数为【 】 （A ）-270 （B ）-90 （C ）90 （D ）270 【答案】A 。
【考点】二项式系数的性质。
【分析】设的展开式的通项公式为r 1T +，则r rr 15T C 3x+=-（）， 令r=3，得3x 的系数为：335C 3=270--（）。
故选A 。
例5. （2012年湖北省理5分）设a Z ∈，且013a ≤≤，若201251+a 能被13整除，则=a 【 】A.0B.1C.11D.12 【答案】D 。
【考点】二项式定理的应用。
【解析】∵52能被13整除， ∴()()20122012020121201120112012201220122012201251+=521+=5252++52++a a C C C C a ---L 。
显然上式除了20122012+=1+C a a 外，其余各个因式都能被13整除。
∴201251+a 能被13整除，只需=12a 。
故选D 。
例6. （2012年重庆市理5分）321⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中常数项为【 】A.1635 B.835 C.435D.105 【答案】B 。
【考点】二项式定理的应用【分析】求二项展开式中特定项一般利用通项公式解决： ∵8)21(xx +的展开式的通项为41881()(()22rr r r rr T C x C x x-+==，令4=0r -得=4r ，∴常数项为438135()28C =。
故选B 。
例7. （2012年全国大纲卷理5分）若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x 的系数为 ▲ 。
【答案】56。
【考点】二项式定理中通项公式的运用。
【解析】利用二项式系数相等，确定n 的值，然后进一步借助于通项公式，分析项的系数。
根据已知条件可知26268nn C C n =⇒=+=。
∴81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为882188r r r r rr T C x x C x ---+=⋅=，令822r -=-，5r =。
∴系数为5856C =。
例8. （2012年全国大纲卷文5分）81()2x x+的展开式中2x 的系数为 ▲ . 【答案】7。
【考点】二项式定理中通项公式的运用。
【解析】利用二项式系数展开，分析项的系数。
∵81()2x x +的展开式的通项为8821881122r rr r r r r T C x C xx --+⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令822r -=，3r =。
∴2x 的系数为33811678=728123C ⨯⨯⎛⎫=⨯ ⎪⨯⨯⎝⎭。
例9. （2012年上海市理4分）在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 ▲ . 【答案】－160。
【考点】二项式定理。
【解析】∵展开式通项662166(1)2(1)2r r r r r r r r rr T C x x C x ---+=-=-，令620r -=，得3r =.∴常数项为1602336-=⨯-C 。