圆的基本性质

圆的基本性质

【基础知识】

知识点1：圆的对称性 （1）圆的旋转不变性

圆具有旋转不变性，即绕圆心旋转__________后，仍与原来的圆重合；

由于圆绕圆心旋转180°后与自身重合，圆是中心对称图形，对称中心是________； （2）圆的轴对称性

圆是轴对称图形，它的对称轴是________________________________________________； 知识点2：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧； 逆定理及其运用

知识点3：圆心角、弧、弦之间的关系

（1）在______________中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；

（2）在______________中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；

【经典例题】

【例1】判断正误：（1）直径是圆的对称轴；（2）平分弦的直径垂直于弦； 【例2】若O 的半径为5，弦AB 长为8，求拱高；

【例3】如图，O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知6AE cm =，2EB cm =，30CEA ∠=︒，求CD 的长；

【例4】如图，在O 中，弦8AB cm =，OC AB ⊥于C ，3OC cm =，求O 的半径长。

【例5】如图1，AB是O的直径，CD是弦，AE CD

⊥，垂足为E，BF CD

⊥，垂足为F，EC和DF相等吗？说明理由；

如图2，若直线EF平移到与直径AB相交于点P（P不与A、B重合），在其他条件不变的情况下，原结论是否改变？为什么？

如图3，当EF∥AB时，情况又怎样？

如图4，CD为弦，EC CD

⊥，FD CD

⊥，EC、FD分别交直径AB于E、F两点，你能说明AE和BF为什么相等吗？

【巩固练习】

1、判断：

（1）垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧（）

（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧（）

（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦（）

（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行（）

（5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧（）

2、已知：如图，O中,弦AB∥CD,AB CD

<，直径MN AB

⊥，垂足为E，交弦CD于点F；

图中相等的线段有；图中相等的劣弧有；

3、已知：如图，O中，AB为弦，C为AB的中点，OC交AB于D，6

AB cm

=，1

CD cm

=，求O的半径OA。

B

A

C D

O

N

M

F

E

A B

D

C

4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H，10

EF=，6

HG=，4

AH=，求BE的长。

5．储油罐的截面如图所示，装入一些油后，若油面宽600

AB mm

=，求油的最大深度。

6．“五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥（如图）已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图（1）．最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图（2）那么这个圆拱所在圆的直径为米。

A H G D

B E

O

F C

【例7】如图，已知ABC ∆是等边三角形，以BC 为直径的

O 交AB 、AC 于D 、E 。（1）求证：DOE ∆是等边三

角形；（2）如图，若60A ∠=︒，AB AC ≠，则①中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由？

【例8】已知等圆1O 和2O 相交于A 、B 两点，1O 经过2O ，点C 是2AO B 上任一点（不与A 、2O 、B 重合），连接BC 并延长交2O 于D ，连接AC 、AD 。求证：

。

（1）操作测量：图（a ）供操作测量用，测量时可使用刻度尺或圆规将图（a ）补充完整，并观察和度量AC 、CD 、

AD 三条线段的长短，通过观察或度量说出三条线段之间存在怎样的关系？

（2）猜想结论（求证部分），并证明你的猜想；（在补充完整的图（a ）中进行证明）；

（3）如图（b ），若C 点是2BO 的中点，AC 与12O O 相交于E 点，连接1O C ，2O C 。求证：2122CE O O EO =⋅；

【巩固练习】

30︒ B

∆中，

ABC

．4 C

内接于O，

．65︒ C．

A