2020年九年级数学中考复习专题专题：函数模型的应用(含答案)

专题：函数模型的应用
1.超市以每千克40元的价格购进夏威夷果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种夏威夷果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）超市要想获利2090元，则这种夏威夷果每千克应降价多少元？
2.如图①，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h(单位：m)与下行时
间x(单位：s)之间具有函数关系h＝－3
10x＋6，乙离一楼地面
的高度y(单位：m)与下行时间x(单位：s)的函数关系如图②所
示．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面．
3.某智能品牌店，在销售某型号运动手环时，以高出进价的50%标价.已知按标价九折销售该型号运动手环8个与将标价直降100元销售7个获利相同.
（1）求该型号运动手环的进价和标价分别是多少元？
（2）若该型号运动手环的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出38个；若每个运动手环每降价20元，每月可多售出2辆，求该型号运动手环降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？
4.一水果店以进价为每千克16元购进万荣苹果，销售中发现，销售单价定为20元时，日销售量为50千克；当销售单价每上涨1元，日销售量就减少5千克，设销售单价为x（元），每天的销售量为y（千克），每天获利为w（元）.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求w与x之间的函数关系式；该苹果售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果商家规定这种苹果每天的销售量不低于40千克，求商家每天销售利润的最大值是多少元？
5.挂灯笼成为我国的一种传统文化. 小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元.
（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；
（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对；物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元.
①求出y与x之间的函数解析式；
②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？
6.甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg.在乙批发店，一次购买数量不超过50 kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过50 kg时，其中有50 kg的价格仍为7元/kg，超出50 kg部分的价格为5元/kg.
设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为x kg(x＞0)．
(Ⅰ)根据题意填表：
(Ⅱ)设在甲批发店花费y1元，在乙批发店花费y2元，分别求y1，y2关于x的函数解析式；
(Ⅲ)根据题意填空：
①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为________kg；
②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120 kg，则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买花费少；
③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买数量多．
7.某工厂计划生产甲乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元，设该工厂生产了甲产品x(吨)，生产甲、乙两种产品获得的总利润为y(万元)．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨，受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．
8.某商场销售一批足球文化衫，已知该文化衫的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每个月可销售出100件，根据市场行情，现决定涨价销售，调查表明，每件商品的售价每上涨1元，每月少销售出2件，设每件商品的售价为x元．每个月的销售为y件．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为2250元；
(3)当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大月利润为多少？
9.某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化，设该产品在第x(x为正整数)个销售周期每台的销售价格为y元，y与x 之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x之间的关系式；
(2)设该产品在第x 个销售周期的销售数量为p (万台)，p 与x 的关系可以用p ＝12x ＋1
2来
描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？
10. 某商店销售一种商品，经市场调查发现，该商品的周销售量y (件)是售价x (元/件)的一次函数，其售价，周销售量，周销售利润w (元)的三组对应值如下表：
(1)①求y 关于x 的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
②该商品进价是________元/件；当售价是____元/件时，周销售利润最大，最大利润是______元；
(2)由于某种原因，该商品进价提高了m 元/件(m >0)，物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m 的值．
参考答案
1. 解：(1)设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ， ∵当x ＝2，y ＝120；当x ＝4，y ＝140；
∴⎩
⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝120，4k ＋b ＝140， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝10，b ＝100.
∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝10x ＋100； (2)由题意得
(60－40－x )(10x ＋100)＝2090， 整理得x 2－10x ＋9＝0， 解得x 1＝1，x 2＝9. ∵让顾客得到更大的实惠， ∴x ＝9，
答：超市要想获利2090元，则这种夏威夷果每千克应降价9元．
2. 解：(1)设y 关于x 的函数解析式为y ＝kx ＋b ，
把点(0，6)(15，3)代入y ＝kx ＋b 得⎩
⎪⎨⎪⎧6＝b ，3＝15k ＋b ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－15，
b ＝6，
∴y 关于x 的函数解析式为y ＝－1
5x ＋6；
(2)甲：当h ＝0时，得x ＝20.
乙：当y＝0时，得x＝30.
∵20＜30，
∴甲先到达一楼地面．
3.解：(1)设该型号运动手环的进价为x元，
根据题意得
[(1＋50%)x×0.9－x]×8＝[(1＋50%)x－100－x]×7，
∴x＝1000，
∴(1＋50%)x＝1500元，
∴该型号运动手环的进价为1000元，标价为1500元；(4分) (2)设该型号运动手环降价y元，利润为w元．
根据题意得
w＝(38＋y
20×2)(1500－1000－y)＝(38＋0.1y)(500－y)＝
－0.1(y－60)2＋19360，
当y＝60时，w有最大值19360.
∴降价60元，每月获利最大，最大利润为19360元．
4.解：(1)根据题意得y＝50－5(x－20)＝－5x＋150；
(2)根据题意得w＝(x－16)(－5x＋150)＝－5x2＋230x－2400，
∴w与x的函数关系式为：w＝－5x2＋230x－2400＝－5(x－23)2＋245.
∵－5 <0，
∴当x＝23时，w有最大值，最大值为245.(5分)
答：w与x之间的函数关系式为w＝－5x2＋230x－2400.该苹果售价定为每千克23元时，每天销售利润最大，最大利润是245元；
(3)根据题意得－5x＋150≥40，
解得x≤22.
∵w＝－5(x－23)2＋245.
∵－5＜0，w≤23时，w随x增大而增大，
∴当x＝22时w有最大值，其最大值为－5×(22－23)2＋245＝240(元)．
答：商家每天销售利润的最大值是240元．
5.解：(1)设甲种灯笼进价为x元/对，则乙种灯笼的进价为(x＋9)元/对，由题意得
3120 x＝4200 x＋9
，
解得x＝26，
经检验，x＝26是原方程的解，且符合题意，
∴x＋9＝26＋9＝35，
答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对；
(2)①y＝(50＋x－35)(98－2x)＝－2x2＋68x＋1470，
答：y与x之间的函数解析式为：y＝－2x2＋68x＋1470；
②∵a＝－2<0，
∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：x＝－b
2a＝17，
物价部门规定其销售单价不高于每对65元，
∴x＋50≤65，
∴x≤15，
∵x<17时，y随x的增大而增大，
∴当x＝15时，y最大＝2040.
∴15＋50＝65.
答：乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．6.解：(Ⅰ)180，900，210，850；
【解法提示】甲批发店花费：当x＝30时，花费为30×6＝180；当x＝150时，花费为
150×6＝900.
乙批发店花费：当x ＝30时，花费为30×7＝210；当x ＝150时，花费为50×7＋(150－50)×5＝850.
(Ⅱ)y 1＝6x (x >0)， 当0<x ≤50时，y 2＝7x ；
当x >50时，y 2＝7×50＋5(x －50)，即y 2＝5x ＋100；
即y 2＝⎩
⎪⎨⎪⎧7x （0＜x ≤50），
5x ＋100（x ＞50）.
(Ⅲ)①100；②乙；③甲．
【解法提示】①当0＜x ≤50时，甲批发店和乙批发店花费不可能相同，则x ＞50时，令y 1＝y 2，则6x ＝5x ＋100，解得x ＝100；
②当x ＝120时，y 1＝6×120＝720，y 2＝5×120＋100＝700，∵720＞700，∴在乙批发店购买花费少；
③对甲批发店而言：令y 1＝360，则6x ＝360，解得x ＝60.对乙批发店而言：当x ＝50时，花费为350＜360，则令5x ＋100＝360，解得x ＝52，∵60＞52，∴小王花费360元时，在甲批发店购买数量多．
7. 解：(1)y ＝x ·0.3＋(2500－x )·0.4＝－0.1x ＋1000； (2)由题意得x ·0.25＋(2500－x )·0.5≤1000，解得x ≥1000. 又∵x ≤2500， ∴1000≤x ≤2500. 由(1)可知，－0.1<0，
∴y 的值随着x 的增加而减小，
∴当x ＝1000时，y 取最大值，此时生产乙种产品2500－1000＝1500(吨) 答：工厂生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，能获得最大利润． 8. 解：(1)根据题意得y ＝ 100－2(x －60)＝－2x ＋220(60≤x ≤110)；
(2)由题意可得：(－2x ＋220)(x －40)＝2250. x 2－150x ＋5525＝0， 解得x 1＝65，x 2＝85.
答：当每件商品的售价定为65元或85元时，利润恰好是2250元； (3)设利润为W 元，
∴W ＝(x －40)(－2x ＋220)＝－2x 2＋300x －8800＝－2(x －75)2＋2450. ∵a ＝－2<0， ∴抛物线开口向下． ∵60≤x ≤110，
∴当x ＝75时，W 有最大值，W 最大＝2450(元)．
答：当售价定为75元时，获得最大利润，最大利润是2450元． 9. 解：(1)设y 关于x 的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由图象可知，
将点(1，7000)，(5，5000)代入得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝7000，
5k ＋b ＝5000，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝－500，
b ＝7500，
∴y 关于x 的函数关系式为y ＝－500x ＋7500； (2)设销售收入为W ，根据题意得 W ＝yp ＝(－500x ＋7500)·(12x ＋12)，
整理得W ＝－250(x －7)2＋16000，
∵－250＜0，∴W 在x ＝7时取得最大值，最大值为16000元， 此时该产品每台的销售价格为－500×7＋7500＝4000元．
答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格为4000元．
10. 解：(1)①y ＝－2x ＋200； ②40，70，1800；
(2)由题意可知w ＝(－2x ＋200)×(x －40－m )＝－2x 2＋(280＋2m )x －8000－200m ，对称轴为直线x ＝140＋m
2
，
∵m ＞0，
∴对称轴x ＝140＋m
2
＞70，
∵抛物线开口向下，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝65时，y max ＝1400，代入表达式解得m ＝5.。